Konu özeti

  • 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar

    x-ray of a nautilius shell


    Düzey: 
    Lisans

    Öğretim Üyesi: 
    Dr. Vera Mikyoung Hur

    Çevirmenler:
    Prof. Dr. Ağacık Zafer 
    Prof. Dr. Aydın Tiryaki 
    Odacıklı natilus kabuğunun X-ray’i dr/dθ=br diferansiyel denkleminin çözümünün grafiği olan logaritmik spirale benzer özellikler göstermektedir. (X-ray: C. C. Jones, Union College, Schenectady, NY nin izni ile; Logaritmik Spiral: Wolfram Web Kaynağı MathWorld’den Eric W. Weisstein’nın izni ile) 




    Dersin Özellikleri


    Seçilmiş ders notları

    		Ödevler ve çözümleri



    Dersin Tanımı


    Bu ders teoriye daha fazla ağırlık vererek 18.03 (Diferansiyel Denklemler) dersinin aynı konularını kapsamaktadır. Ek olarak, diferansiyel denklemlerin varlık ve teklik teoremleri gibi matematiksel yönlerini ele alır.

    • Ders İzlencesi

      Haftalık Ders Planı 
      Dersler: 3 oturum / hafta, 1 saat / oturum
      Uygulamalar: 2 oturum / hafta, 1 saat / oturum

      Önkoşul
      Çok değişkenli Kalkülüs (18.02) veya Çok değişkenli Kalkülüsün diğer versiyonları (18.02A veya 18.022 veya 18.023 veya 18.024).

      Yan Koşul
      Öğrenciler aynı dönemde 18.02x and 18.034 derslerini alabilirler (bu durumda, Tek Değişkenli Kalkulüs (18.01) veya Teorik Tek Değişkenli Kalkulüs (18.014) önkoşuldur). 18.034 adi diferansiyel denklemlerin teorisini inceler, ve aslında 18.014 dersini alan öğrencilere tavsiye edilir.

      Ders Tanımı
      18.034 dersinin resmi adı İleri Diferaniyel Denklemlerdir. Daha uygun bir başlık Diferansiyel Denklemler Teorisi olurdu. Bu ders teoriye daha fazla ağırlık vererek 18.03 (Diferansiyel Denklemler)  dersinin aynı konularını kapsamaktadır. Ek olarak, diferansiyel denklemlerin varlık ve teklik teoremleri gibi matematiksel yönlerini ele alır. İki sömestirlik Kalulus Teorisi I ve II (18.014 ve 18.024) dizi dersleriyle ile aynı tabiattadır.   
      İçerilen konular:  Birinci ve ikinci mertebeden lineer denklemler; n'inci mertebeden sabit katsayılı lineer denklemler;   Green fonksiyonları,  konvolusyon, Laplace dönüşüm yöntemleri;  Kuvvet serileri ile çözümler ve majorantlar yöntemi;  Birinci mertebeden sistemler; Varlık, teklik ve süreklilik; Nümerik yöntemler; Fourier seri yöntemi; Sturm-Liouville teorisi ve çatallanma teorisi (zaman kalırsa).^

      Ders Kitabı
      Birkhoff, Garret, and Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations. 4th ed. New York, NY: Wiley, 1989. ISBN: 9780471860037.

      Ödevler
      Problem saatlerinde verilecek haftalık problem setleri olacaktır. Ödevler, izleyen hafta teslim edilecektir. Yardımlaşmayı teşvik ediyorum, ançak öğrenciler problemlerin yanıtları için kendi yazdıklarını  teslim etmeli ve cevap kağıtına birlikte çalışan öğrencilerin isimleri yazılmalıdır.  Ayrıca bir de isteğe bağlı proje var.

      Sınavlar
      Üç ara sınav ve bir de kapsamlı final sınavı olacak.

      d'AIMP apletler/CAD/Hesap makinaları
      Derslerde ve problem saatlerinde "d'AIMP appletler" denilen özel olarak yazılmış bir dizi JAVA™ Aplet uygulayacağız.   Bunlara ilgili bölümlerden bağlanılmaktadır. Kendi menfaatiniz için ödevlerde  d'AIMP appletlerini veya diğer CAD araçlarını (Mathematica® ve MATLAB® gibi) kullanmanızı teşvik ediyoruz. bununla birlikte, sınavlarda hesap makinalarına izin verlmeyecektir. 

      Notlandırma
      Final notu  %100 kümülatif toplama dayanılarak aşağıdaki bibi hesaplanacaktır:

       
      AKTİVİTELERYÜZDELER
      Ödevler%20
      İki ara sınav (herbiri %20)%40
      Final sınavı%40

      • Takvim

        OTURUMLARKONULARÖNEMİ TARİHLER
        D0Terminoloji ve kapalı çözümler 
        Bölüm I: Birinci mertebeden diferansiyel denklemeler
        D1Integrasyon ve çözümler 
        PS1Problem saati 1 
        D2Temel prensipler 
        D3Birinci mertebeden lineer denklemler 
        PS2Problem saati 2 
        D4Değişkenlerine ayrılabilir denklemler 
        PS3Problem saati 3 
        D5Lineer rasyonel denklemlerProblem seti 1
        Bölüm II: İkinci mertebeden lineer denklemeler
        D6İkinci mertebeden lineer denklemler 
        D7Mekanik salınım 
        PS4Problem saati 4 
        D8Teklik ve wronskiyenProblem seti 2
        D9Ayırma ve karşılaştırma teoremleri 
        PS5Deneme sınavı 1 
        AS1Ara sınav 1 
        PS6Problem saati 6 
        D10Maksimum prensibi 
        Bölüm III: Yüksek mertebeden lineer denklemeler
        D11Yüksek mertebeden lineer denklemeler 
        PS7Problem saati 7 
        D12Temel çözümler 
        PS8Problem saati 8 
        D13Homogen olmayan denklemlerProblem seti 3
        D14Kararlılık 
        PS9Problem saati 9 
        D15İyi tanımlılık; Giriş 
        PS10Problem saati 10 
        D16Düzgün yakınsaklıkProblem seti 4
        D17Teklik ve süreklilik 
        PS11Deneme sınavı 2 
        AS2Ara sınav 2 
        D18İyi tanımlılık üzerine uyarılar 
        Bölüm V: Laplace dönüşümü
        D19Laplace dönüşümü 
        D20Laplace dönüşümü ve diferansiyel denklemler: genelleştirilmiş çözümle, ADD'e uygulamalar 
        PS12Problem saati 12 
        D21Basamak fonksiyonlarıProblem seti  5
        D22Konvolusyon 
        PS13Problem saati 13 
        D23Dirac distribüsyonu 
        PS14Problem saati 14 
        D24Transfer fonksiyonu ve kutup diyagramıProblem seti  6
        Bölüm VI: Lineer sistemler
        D25Lineer sistemler 
        PS15Problem saati 15 
        D26Özdeğer ve özvektörler 
        PS16Problem saati 16Problem seti  7
        D27Karmaşık (değerli) çözümler ve temel matris 
        PS17Deneme sınavı 3 
        AS3Ara sınav 3 
        D28Tekrarlanan özdeğerler ve üstel matris 
        D29Faz uzayları I 
        D30Faz uzayları II 
        D31Düzlem otonom sistemlerProblem seti  8
        D32Kararlılık ve hemen hemen lineer sistemler 
        D33Ekolojiden problemler 
        D34Lyapunov yöntemiProblem seti  9
        D35Lineer olmayan salınımlar 
        D36Poincare-Bendixson teoremi 
        PS18Problem saati 18 
        FSFinal sınavı 

        • Ders Notları

          Ders kitabından bölümler aşağıdaki tabloda listelenmiştir. Öğretim üyesinin geliştirdiği ders notları ayrıca verilmiştir. D15-18 ve D31-35 için deskteleyici malzeme yoktur.

          [BR] Bölüm numaraları “Birkhoff, Garret, and Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations. 4th ed. New York, NY: Wiley, 1989. ISBN: 9780471860037” kitabına aittir. 

           
          OTURUMLARKONULARDERS NOTLARIİLGİLİ BÖLÜMLER
          D0Terminoloji ve kapalı çözümler(PDF)[BR] Böl. 1.1 Terminoloji & kapalı çözümler
          Bölüm I: Birinci mertebeden diferansiyel denklemeler
          D1Integrasyon ve çözümler(PDF)[BR] Böl. 1.2 Kalkulüsün temel teoremi & Kareleme yöntemi
          D2Temel prensipler(PDF)[BR] Böl. 1.9 Temel prensipler-lineerlik, varlık ve teklik, kararlılık
          D3Birinci mertebeden lineer denklemler(PDF)[BR] Böl. 1.3 Birinci mertebeden lineer denklemler & Logaritmik spiral
          D4Değişkenlerine ayrılabilir denklemler(PDF)[BR] Böl. 1.4 Değişkenlerine ayrılabilir denklemler &Dik yörüngeler
          D5Lineer rasyonel denklemler(PDF)[BR] Sec. 1.7 Linear Fractional Equations
          Bölüm II: İkinci mertebeden lineer denklemeler
          D6İkinci mertebeden lineer denklemler(PDF)[BR] Böl. 2.1-2.2 İkinci mertebeden lineer denklemler
          D7Mekanik salınım(PDF) 
          D8Teklik ve wronskiyen(PDF)[BR] Böl. 2.4-2.5Teklik & Wronskiyen
          D9Ayırma ve karşılaştırma teoremleri(PDF)[BR] Böl. 2.6 Ayırma ve karşılaştırma teoremleri
          D10Maksimum prensibi(PDF) 
          Bölüm III: Yüksek mertebeden lineer denklemeler
          D11Yüksek mertebeden lineer denklemeler(PDF)[BR] Böl. 3.1-3.3 Karakteristik polinom
          D12Temel çözümler(PDF)[BR] Böl. 3.4 Temel çözümler-Varlik & Teklik
          D13Homogen olmayan denklemler(PDF)[BR] Böl. 3.5 Homogen olmayan denklemler
          D14Kararlılık(PDF)[BR] Böl. 2.3,3.7 Asimtotik kararlılık
          D15İyi tanımlılık; Giriş [BR] Böl. 6.2,6.6 İyi tanımlılık; Giriş
          D16Düzgün yakınsaklık [BR] Böl. 6.7,6.9 Picard iterasyonu
          D17Teklik ve süreklilik [BR] Böl. 6.3,1.9-1.10 Teklik ve süreklilik
          D18İyi tanımlılık üzerine uyarılar [BR] Böl. 6.5,6.8,6.10 İyi tanımlılık üzerine uyarılar
          Bölüm V: Laplace dönüşümü
          D19Laplace dönüşümü(PDF) 
          D20Laplace dönüşümü ve diferansiyel denklemler: genelleştirilmiş çözümle, ADD'e uygulamalar(PDF) 
          D21Basamak fonksiyonları(PDF) 
          D22Konvolusyon(PDF) 
          D23Dirac distribüsyonu(PDF) 
          D24Transfer fonksiyonu ve kutup diyagramı(PDF) 
          Bölüm VI: Lineer sistemler
          D25Lineer sistemler(PDF)[BR] Böl. 5.4 Matrisler & Lineer sistemler
          D26Özdeğer ve özvektörler(PDF)[BR] Böl. 5.4 Özdeğer & Özvektörler
          D27Karmaşık (değerli) çözümler ve temel matris(PDF) 
          D28Tekrarlanan özdeğerler ve üstel matris(PDF)[BR] App. A1-2 Tekrarlanan özdeğerler & Üstel matris
          D29Faz uzayları I(PDF)[BR] Böl. 5.5 Faz uzayları
          D30Faz uzayları II(PDF)[BR] Böl. 5.5 Faz uzayları; Dejenere durumlar
          D31Düzlem otonom sistemler [BR] Böl. 5.1-5.2,5.7 Düzlem otonom sistemler
          D32Kararlılık ve hemen hemen lineer sistemler [BR] Böl. 5.7-5.8 Kararlılık ve hemen hemen lineer sistemler
          D33Ekolojiden problemler  
          D34Lyapunov yöntemi [BR] Böl. 5.7-5.8 Kararlılık ve hemen hemen lineer sistemler
          D35Lineer olmayan salınımlar [BR] Böl. 5.7-5.8 Lineer olmayan salınımlar
          D36Poincare-Bendixson teoremi(PDF)[BR] Böl. 5.12 Poincare-Bendixson teoremi

          • Problem Saatleri

            Bazı problemler ders kitabından alınmıştır.  Problem saatlerinde, öğrenciler soruları asistanlarla birlikte inceleme fırsatı bulacaktırlar.

            Birkhoff, Garret, and Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations. 4th ed. New York, NY: Wiley, 1989. ISBN: 9780471860037.

             
            OTURUMLARKONULAR
            Bölüm I: Birinci mertebeden diferansiyel denklemeler
            PS1Problem Saati 1 (PDF)
            PS2Problem Saati 2 (PDF)
            PS3Problem Saati 3 (PDF)
            Bölüm II: İkinci mertebeden lineer denklemeler
            PS4Problem Saati 4 (PDF)
            PS5Deneme Sınavı 1 (PDF) 
            PS6Problem Saati 6 (PDF)
            Bölüm III: Yüksek mertebeden lineer denklemeler
            PS7Problem Saati 7 (PDF)
            PS8Problem Saati 8 (PDF)
            PS9Problem Saati 9 (PDF)
            PS10Problem Saati 10 (PDF)
            PS11Deneme Sınavı 2 (PDF)
            Bölüm V: Laplace dönüşümü
            PS12Problem Saati 12 (PDF)
            PS13Problem Saati 13 (PDF)
            PS14Problem Saati 14 (PDF)
            Bölüm VI: Lineer sistemler
            PS15Problem Saati 15 (PDF)
            PS16Problem Saati 16 (PDF)
            PS17Deneme Sınavı 3 (PDF)
            PS18Problem Saati 18 (PDF)

            • Ödevler

              Tavsiye: Çalışmalarınızı kü*** bölümler halinde yapınız. Her şeyi son dakikaya bırakmayınız.

              Ödev Kuralları 
              1. Her problemi kendiniz deneyin. Yardım istemeden önce problemin her parçasını okuyunuz. Ne sorulduğunu anlamıyorsanız, problemi yorumlayarak yardım isteyiniz ve sonrasında problemi içtenlikle bir hamle ile çözünüz.  
              2. Her problemi bağımsız biçimde yazınız. Yanıtınızı kendi kelimelerinizle yazmanız beklenmektedir. 
              3. Problem üzerine kimden yardım aldığınızı ve hangi kaynakları kullandığınızı yazınız. Aksi halde, intihal yapmakla suçlanırsınız ve ciddi cezalara maruz kalırsınız. 

              Ödevler
              Problem setileri tabloda listelenen oturumlarda teslim edilecektir. Sayfa numaraları aşağıdaki ders kitabına aittir:
              Birkhoff, Garret, and Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations. 4th ed. New York, NY: Wiley, 1989. ISBN: 9780471860037.

               
              OTURUMÖDEVLERCEVAPLAR
              D5Problem seti 1 (PDF)(PDF)
              D8Problem seti 2 (PDF)(PDF)
              D13Problem seti 3 (PDF)(PDF)
              D16Problem seti 4 (PDF)(PDF)
              D21Problem seti 5 (PDF)(PDF)
              D24Problem seti 6 (PDF)(PDF)
              PS16Problem seti 7 (PDF)(PDF)
              D31Problem seti 8 (PDF)(PDF)
              D34Problem seti 9 (PDF)(PDF)

              • Sınavlar

                Üç ara sınav ve bir de kapsamlı final sınavı olacak. Tüm sınavlar kitaplar kapalı şekilde derste yapılacaktır. Sınavlarda hesap makinası kullanmaya izin verilmeyecektir.

                 
                SINAV SAYILARIDENEME SINAVLARISINAVLAR
                1(PDF)(PDF)
                2(PDF)(PDF)
                3(PDF)(PDF)
                4(PDF)Final sınavı eksik

                • Projeler

                  İsteğe Bağlı Final Projesi

                  Final projesinin amacı, herbirinizi diferansiyel denklemler üzerine ilginç konular hakkında düşündürmek, kendiniz veya arkadaşlarınız için teori ve metotlar öğretmek ve matematiksel yazılarla diğer insanlarla iletişim kurmayı sağlamaktır.

                  Kendi konunuza yaklaşık iki hafta çalşacaksınız ve yaklaşık beş sayfalık bir raporu son dersten önce teslim edeceksiniz. Proje isteğe bağlı olmasına rağmen, yapılması durumunda notlandırılacaktır.  Projeyi tamamlayan bir öğrenci  final notunda %5'e kadar ilave puan alabilir.  bir group içerisinde çalışmanız tavsiye edilmektedir.

                  Proje, 18.034 dersindeki bir  arkadaşınızın ne yaptığınızı anlayacağı ve yazdıklarınızdan iş üretebileceği şekilde (anlaşılır) yazılmalıdır.

                  Tavsiye Edilen Projeler

                  Bazı konular aşağıdakileri içermektedir:

                  • Dirichlet sınır koşulu için Green fonksiyonları;
                  • Kuvvet serisi yöntemi ile çözüm ve majjorant yöntemi; 
                  • Başlangıç değer probleminin düzgünlüğü (smoothness); 
                  • Sturm-Liouville sistemi olarak  Schrodinger denklemi; 
                  • Diferansiyel denklemlerin nümerik çözüm yöntemleri; 
                  • Gezegen hareketi ve koruma kanunlari; 
                  • Dallanma teorisi ve elastik cubuk; 
                  • Davulun şekli duyulabilir mi? 
                  • Sınır tekilliğinden kaynaklanan serbest yüzey kesme akışının lineer kararsızlığı  

                  Kendi proje konunuzu kendiniz seçebilirsiniz.

                  Örnek Öğrenci Projeleri

                  Çevirmenlerin notu: Projelerdeki matematiksel hatalar düzeltilmemiştir.

                  1. Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri için  Adım Boyu Uyarlamalı Sayısal Yöntemler
                    (PDF) (Oleg Golberg'in izni ile kullanılmıştır.) 
                  2. Nümerik İntegrasyon İin Euler Yönteminin Kısıtlamaları (PDF) (Laura Evans'ın izni ile kullanılmıştır.) 
                  3. Diferansiyel Denklemlerde Nümerik Çözümler Runge-Kutta Yöntemi (PDF) (Ernest Ngaruiya'nın izni ile kullanılmıştır.) 
                  4. Yüksek Mertebeden Taylor Yöntemleri (PDF) (Marcelo Julio Alvisio ve Lisa Marie Danz'ın izni ile kullanılmıştır.) 

                  • İlgili Kaynaklar

                    Bu bölüm sayfa okuyan yazılımların ulaşamadığı dosyalar içermektedir. # işareti bu tip dosyaları göstermek için kullanılmıştır.

                    18.03 AçıkDersMalzemeleri, Bahar 2006 

                    Açık Ders Malzemeleri 18.03 web sitesi, ders notları, ödevler, ve video derslerinin tam bir takımını içermektedir. Bunlar, 18.034 dersinde yaptıklarımızı iyi bir şekilde tamamlamaktadır. Özellikle, diferansiyel denklemlerin basit problemlerini çözmek isteyenler 18.03 dersinin ödevlerini faydalı bulabilirler.

                    d'IAMP Appletler ("Mathletler")

                    Ders ve problem saatlerinde biz özel olarak yazılmış bir dizi Java ™ Apleti veya uygulmalarını kullanacağız.

                    MIT Mezunlar Derneği'nden (Nisan 1997), Gian-Carlo Rota (PDF)# tarafından yazılmış MIT eğitiminin 10 dersi.