Ders: Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar (MIT) (Prof. Sigurdur Helgason)

Konu özeti

18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Güz 2008

		Düzey: Lisans Öğretim Üyesi: Prof. Sigurdur Helgason Çevirmenler: Prof.Dr.Yusuf Avcı Dr. Faruk Uçar
23. derste incelenen Zeta fonksiyonu için Riemann'ın fonksiyonel denklemi. (Resim MIT OpenCourseWare tarafından hazırlanmıştır.)

Ders Materyalleri
D ers Notları		Ödevler ve Çözümleri
Sınavlar ve Çözümleri
Dersin Tanımı
Bu ders, geometrik vurgusu olan, bir değişkenli kompleks analiz ile ilgili bir ileri seviyede lisans dersidir. Analysis I (18.100B) dersi önkoşul olduğundan, kompaktlık, bağlantılılık gibi topolojik kavramlar ve sürekli fonksiyonların ilgili özelliklerinin bilindiği varsayılacaktır. Bu derste, iki haftada bir çözümleri ile birlikte problemler, tüm çözümleriyle birlikte iki ara sınav ve bir final sınavı verilecektir.

Ders İzlencesi
Ders İzlencesi
Herhangi bir alıntının sol tarafındaki Amazon logosunun üzerine tıkladığınızda ve Amazon.com’ dan kitap (veya diğer medya) satın alırsanız, MIT Açık Ders Malzemeleri bu satın alımınızdan ve yaptığınız diğer alımlardan %10 kazanacaktır. Bu satın alma maliyetinin artacağı anlamına gelmemektedir. Linkler ABD Amazon sitesine sağlanmıştır, ancak diğer bölgelerden de Amazon siteleri vasıtasıyla ADM’ yi destekleyebilirsiniz. Daha fazla bilgi edinin.

Haftalık Ders Saatleri
Dersler: 2 kez / hafta, 1.5 saat / ders

Dersin Amacı
Bu dersin amacı, analitik fonksiyonlar teorisinin yöntemlerini ve esas tekniklerini öğretmektir. Bu notlar reel analizden oldukça farklı olup biraz daha fazla geometrik vurguya sahiptir. Ayrıca analitik sayılar kuramı gibi diğer alanlara da önemli uygulamaları vardır.

Önkoşul
Analiz I (18.100B) veya dengi.

Ders Kitabı
Ahlfors, Lars V. Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. 3rd ed. New York, NY: McGraw-Hill, 1979. ISBN: 9780070006577.

Bu ders kitabı, geometrik havası olan ilgi çekici bir kitaptır. Bu ders, 232. sayfaya kadar olan konuların çoğunu kapsayacak fakat, kitaptaki Riemann zeta fonksiyonu ile doğal olarak oldukça ilgili olan, Asal Sayı Teoreminin tam ispatına ayrılmış iki ders eklenecektir.

Derslerin birçoğunda kitapta olmayan, kısmen değişik ispatlarla, bazı konular verilecek ve kısmen biraz daha ilginç soruların çözümleri ile çalışılacaktır. Ders #2, 13, 14, 16, 19, 21 ve 22 deki işleyiş kitapta bu konulara karşı gelen notlardan gerçekten oldukça farklıdır. Ders #21 ve 22 aslında Asal Sayı Teoreminin tam ispatını içerir.
Dersler kitaptaki biçiminden oldukça ayrıldığı için, derslere düzenli katılımı şiddetle tavsiye ederim.
Ödevler
Her Perşembe günü verilecek ve sonraki Perşembe toplanacaktır. Ödevler ders kitabındaki problemler arasından seçilecektir.

Sınavlar
4. ve 16. derslerden sonra sınıfta 2 test uygulanacaktır. Bunlara ek olarak bir final sınavı yapılacaktır.
Puanlama
Final notu birikimli puan üzerinden hesaplanacaktır.
ETKİNLİKLER YÜZDELERİ
Ödevler 10%
İki sınıf içi testi (her biri 20%) 40%
Final sınavı 50%

Genel Uyarılar
Ödev problemlerle uğraşmak konuyu anlamanız ve öğrenmeniz için çok önemlidir. Bunun için oldukça fazla zamanınız olduğunu unutmayınız. Arkadaşlarınızla problemlerin çözümü üzerine tartışmanız sizin için yararlı olacaktır, ancak çözümleri kendi açıklamalarınızla yapmanız gerekmektedir. Bu süreç, sizin daha iyi bir çözüm bulmanıza yardımcı olacaktır. Çözümlerinizi özenle sunmanız sizin için oldukça önemlidir. Bu sizin matematiksel yazım sitilinizi geliştirmeniz için en uygun yerdir. (Tex yazılımı en çok rağbet görendir). Dikkatsizce ve özensizce yapılmış ödevler kabul edilmeyecektir.
Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisi üzerine yayımlanmış birçok kitap mevcuttur. Bunların bazılarını kütüphanede taramanızı tavsiye ederim. Örneğin, Caratheódory’ nin Fonksiyonlar Teorisi cilt I ve II bizim kitabımıza oldukça yakındır. Buna ek olarak, özellikle Pólya and Szegö’ nin yazdığı Analizde Teoremler ve Problemler isimli kitabın birçok bölümü kompleks değişkenler konusu üzerinedir. Rudin’in Reel ve Kompleks Analiz isimli kitabı da oldukça önemli kaynakçadır.
Caratheódory, Constantin. Theory of Functions of a Complex Variable. Rhode Island: AMS Chelsea Pub, 2001. ISBN: 9780821828311.
Caratheódory, Constantin, and F. Steinhardt. Theory of Functions of a Complex Variable. Vol. 2. New York, NY: Chelsea, 1960.

Pólya, George, and Gábor Szego. Problems and Theorems in Analysis. Berlin: Springer, 1978. ISBN: 9780387056722.
Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. New York, NY: McGraw-Hill, 1986. ISBN: 9780070542341.

ETKİNLİKLER	YÜZDELERİ
Ödevler	10%
İki sınıf içi testi (her biri 20%)	40%
Final sınavı	50%

Takvim

Aşağıdaki takvim Ders konuları (D) ve Sınav oturumları (S) ile ilgili olarak bilgi amaçlıdır.

OTURUM #	KONULAR
D1	Kompleks sayılar cismi: Kompleks düzlemin geometrisi, küresel gösteriliş
D2	Üstel Fonksiyon ve Kompleks değişkenler için Logaritma Fonksiyonu: Kompleks üs ve trigonometrik fonksiyonlar, kompleks logaritma
D3	Analitik Fonksiyonlar; rasyonel fonksiyonlar: Cauchy-Riemann denklemlerinin rolü
D4	Kuvvet serileri: kompleks kuvvet serileri, düzgün yakınsaklık
S1	Sınıf içi testi -1
D5	Üstel ve Trigonometrik fonksiyonlar
D6	Konform dönüşümler; Doğrusal dönüşümler: Analitik fonksiyonlar ve elemanter geometrik özellikleri, konformluk ve skalar değişmezlik
D7	Doğrusal dönüşümler (devamı): çifte oran, simetri, çemberlerin rolü
D8	Eğrisel integral: yoldan bağımsızlık ve ilkel fonksiyonun varlığına denkliği
D9	Cauchy-Goursat teoremi
D10	Özel Cauchy formülü ve uygulamaları: Kaldırılabilir tekil noktalar, kalan terimli kompleks Taylor teoremi
D11	Ayrık Tekil noktalar
D12	Yerel tasvir; Schwarz lemması ve Öklidyen olmayan yorum: topolojik özellikleri, maksimum modül teoremi
D13	Genelleştirilmiş Cauchy Teoremi
D14	Rezidü teoremi ve uygulamaları: Rezidülerin hesaplanması, argüman prensibi ve Rouché teoremi
D15	Çevre integrali ve uygulamaları: Belirli integrallerin hesabı, logaritmanın özenli kullanımı
D16	Harmonik fonksiyonlar: Harmonik fonksiyonlar ve holomorfik fonksiyonlar, Poisson formülü, Schwarz teoremi
S2	Sınıf içi testi -2
D17	Mittag-Leffer Teoremi: Laurent serileri, basit kesirlere ayrılış
D18	Sonsuz çarpımlar: Weierstrass kanonik çarpımı, Gamma fonksiyonu
D19	Normal aileler: holomorfik fonksiyonlar için eşsüreklilik, Arzela teoremi
D20	Riemann tasvir teoremi
D21-D22	Asal sayı teoremi: teoremin tarihçesi ve ispatı, ispatın ayrıntıları
D23	Zeta fonksiyonunun C ye genişlemesi, fonksiyonel denklem
S3	Final sınavı

Ders Notları

Herhangi bir alıntının sol tarafındaki Amazon logosunun üzerine tıkladığınızda ve Amazon.com’ dan kitap (veya diğer medya) satın alırsanız, MIT Açık Ders Malzemeleri bu satın alımınızdan ve yaptığınız diğer alımlardan %10 kazanacaktır. Bu satın alma maliyetinin artacağı anlamına gelmemektedir. Linkler ABD Amazon sitesine sağlanmıştır, ancak diğer bölgelerden de Amazon siteleri vasıtasıyla ADM’ yi destekleyebilirsiniz. Daha fazla bilgi edinin.

Bu ders için okuma bölümleri ders kitabından belirlenmiştir ve Prof. Helgason’un yazdığı orijinal notlarla desteklenmektedir. Ders notları Prof. Helgason rehberliğinde Zuoqin Wang tarafından hazırlanmıştır.

Text

Ahlfors, Lars V. Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. 3rd ed. New York, NY: McGraw-Hill, 1979. ISBN: 9780070006577.

DERS #	KONULAR	OKUNACAK BÖLÜMLER	DESTEKLEYİCİ NOTLAR
D1	Kompleks sayılar cismi: Kompleks düzlemin geometrisi, küresel gösteriliş	Ahlfors, ss. 1-11 ve 19-20.	(PDF)
D2	Üstel Fonksiyon ve Kompleks değişkenler için Logaritma Fonksiyonu: Kompleks üs ve trigonometrik fonksiyonlar, kompleks logaritma		(PDF)
D3	Analitik Fonksiyonlar; Rasyonel fonksiyonlar: Cauchy-Riemann denklemlerinin rolü	Ahlfors, ss. 21-32.	(PDF)
D4	Kuvvet serileri: kompleks kuvvet serileri, düzgün yakınsaklık	Ahlfors, ss. 33-42.	(PDF)
D5	Üstel ve Trigonometrik fonksiyonlar	Ahlfors, ss. 42-47.	(PDF)
D6	Konform dönüşümler; Doğrusal dönüşümler: Analitik fonksiyonlar ve elemanter geometrik özellikleri, konformluk ve skalar değişmezlik	Ahlfors, ss. 69-80.	(PDF)
D7	Doğrusal dönüşümler (devamı): çifte oran, simetri, çemberlerin rolü	Ahlfors, ss. 80-89.	(PDF)
D8	Eğrisel integral: yoldan bağımsızlık ve ilkel fonksiyonun varlığına denkliği	Ahlfors, ss. 101-108.	(PDF)
D9	Cauchy-Goursat Teoremi	Ahlfors, ss. 109-115.	(PDF)
D10	Özel Cauchy formülü ve uygulamaları: Kaldırılabilir tekil noktalar, kalan terimli kompleks Taylor teoremi	Ahlfors, ss. 118-126.	(PDF)
D11	Ayrık Tekil noktalar	Ahlfors, ss. 126-130	(PDF)
D12	Yerel tasvir; Schwarz lemması ve Öklidyen olmayan yorum: topolojik özellikleri, maksimum modül teoremi	Ahlfors, ss. 130-136	(PDF)
D13	Genelleştirilmiş Cauchy Teoremi		(PDF)
D14	Rezidü teoremi ve uygulamaları: Rezidülerin hesaplanması, argüman prensibi ve Rouché teoremi		(PDF)
D15	Çevre üzerindeki integraller ve uygulamaları: Belirli integrallerin hesabı, logaritmanın özenli kullanımı	Ahlfors, ss. 154-161	(PDF)
D16	Harmonik fonksiyonlar: Harmonik fonksiyonlar ve holomorfik fonksiyonlar, Poisson formülü, Schwarz teoremi		(PDF)
D17	Mittag-Leffer Teoremi: Laurent serileri, basit kesirlere ayrılış	Ahlfors, ss. 187-190	(PDF)
D18	Sonsuz çarpımlar: Weierstrass kanonik çarpımı, Gamma fonksiyonu	Ahlfors, ss. 191-200	(PDF)
D19	Normal aileler: holomorfik fonksiyonlar için eşsüreklilik, Arzela teoremi		(PDF)
D20	Riemann tasvir teoremi	Ahlfors, ss. 229-231	(PDF)
D21-D22	Asal sayı teoremi: teoremin tarihçesi ve ispatı, ispatın ayrıntıları		(PDF)
D23	Zeta fonksiyonunun C ye genişlemesi, fonksiyonel denklem	Ahlfors, pp. 214-217 Orjinal ispat için bkz. s. 146, Heinrich Weber, ed.The Collected Works of Bernhard Riemann. Reprint ed. New York, NY: Dover Publications, 1953. ASIN: B000KGER80. (Richard Dedekind in Yardımıyla).	(PDF)

Ödevler

Ödevler aşağıdaki ders kitabından hazırlanmıştır: