Konu özeti

  • Mantık II 2004 Bahar Dönemi



    Öğretim Üyesi: Prof. Vann McGee

    MIT Ders Numarası: 24.242

    Seviye:
    Lisans

    Çevirmen:
    Doç. Dr. Samet Bağçe
    Standart Modelde Doğruluk, “Aritmetik Dili” Dersinden (Resim MIT OpenCourseWare'e ait.)




    Dersin İçeriği:

    Seçilmiş ders notları    



    Dersin Tasviri:

    Bu ders, hesaplanabilirlik kuramına bir girişle başlayıp, onun en tanınmış vargısının, yani Kurt Gödel'in şunu söyleyen teoreminin ayrıntılı bir incelemesiyle ilerlemektedir: aritmetik doğruları ispatlarken dayanılacak bir aksiyomlar temeli olarak öne sürebileceğimiz her doğru aritmetik cümleler sistemi için, bu sistemin sonucu olmasa bile doğru olduğunu bilebileceğimiz aritmetik cümleler vardır. Yaygın olarak da paylaşılan şahsi görüşüme göre bu, bütün bir mantık tarihindeki en önemli tek vargıdır; önemi, yalnızca kendi kendinden değil, ama aynı zamanda ispatında kullanılan tekniğin çok sayıdaki uygulamalarından kaynaklanır. Bazılarını ele alacağımız bu uygulamalar arasında şunlar da bulunuyor: Church’ün, yüklemler dizgesinde bir tamdeyimin hangi durumlarda geçerli olduğuna karar verecek bir algoritma bulunmadığını söyleyen teoremi; Tarski’nin, bir dilin doğru cümlelerinin kümesinin, o dilde tanımlanabilir olmadığını söyleyen teoremi; ve Gödel’in, hiçbir tutarlı aksiyomlar sisteminin kendi tutarlılığını ispat edemeyeceğini söyleyen ikinci eksiklik teoremi.


    • Ders İzlencesi

      Derslere göre konuların dökümü aşağıdaki takvimdedir.

      İçerik
      Bu ders, hesaplanabilirlik kuramına bir girişle başlayıp, onun en tanınmış vargısının, yani Kurt Gödel'in şunu söyleyen teoreminin ayrıntılı bir incelemesiyle ilerlemektedir: aritmetik doğruları ispatlarken dayanılacak bir aksiyomlar temeli olarak öne sürebileceğimiz her doğru aritmetik cümleler sistemi için, bu sistemin sonucu olmasa bile doğru olduğunu bilebileceğimiz aritmetik cümleler vardır. Yaygın olarak da paylaşılan şahsi görüşüme göre bu, bütün bir mantık tarihindeki en önemli tek vargıdır; önemi, yalnızca kendi kendinden değil, ama aynı zamanda ispatında kullanılan tekniğin çok sayıdaki uygulamalarından kaynaklanır. Bazılarını ele alacağımız bu uygulamalar arasında şunlar da bulunuyor: Church’ün, yüklemler dizgesinde bir tamdeyimin hangi durumlarda geçerli olduğuna karar verecek bir algoritma bulunmadığını söyleyen teoremi; Tarski’nin, bir dilin doğru cümlelerinin kümesinin, o dilde tanımlanabilir olmadığını söyleyen teoremi; ve Gödel’in, hiçbir tutarlı aksiyomlar sisteminin kendi tutarlılığını ispat edemeyeceğini söyleyen ikinci eksiklik teoremi. 

      Takvim

      DERS NUMARALARIKONULARÖNEMLİ TARİHLER
      1Neden Hesaplanabilirlik Çalışılmalı? 
      2-3Anahtar Hesaplanabilirlik Kavramları 
      4Aritmetik Dili 
      5Church-Turing Savı 
      6Aritmetiğin Standart Olmayan Modelleri 
      7Gödel NumaralandırmasıÖdev 1 son tarih
      8Robinson AritmetiğiÖdev 2 son tarih
      9-10İspatların Kodlanması 
      11-12Peano AritmetiğiÖdev 3 12. Derste gelecek
      13-14Kendine Gönderim Lemması 
      15-16Birinci Eksiklik TeoremiÖdev 4 16. Derste gelecek
      17Yorumlamalar 
      18Tarski’nin Doğruluk KuramıÖdev 5 son tarih
      19Lucas ve Benacerraf’ın “Gödel, Mechanism, and Mind” Makaleleri 
      20-21İkinci Eksiklik TeoremiÖdev 6 21. Derste gelecek
      22Kiplik Mantığına Giriş 
      23-24İspatlanabilirlik MantığıÖdev 7 24. Derste gelecek
      25Üs Almanın TanımlanmasıÖdev 8 son tarih

      • Ders Notları

        DERS NUMARALARIKONULAR
        1Neden Hesaplanabilirlik Çalışılmalı? (PDF)
        2-3Anahtar Hesaplanabilirlik Kavramları (PDF)
        4Aritmetik Dili (PDF)
        5Church-Turing Savı (PDF)
        6Aritmetiğin Standart Olmayan Modelleri (PDF)
        7Gödel Numaralandırması (PDF)
        8Robinson Aritmetiği (PDF)
        9-10İspatların Kodlanması (PDF)
        11-12Peano Aritmetiği (PDF)
        13-14Kendine Gönderim Lemması (PDF)
        15-16Birinci Eksiklik Teoremi (PDF)
        17Yorumlamalar (PDF)
        18Tarski’nin Doğruluk Kuramı (PDF)
        19Lucas ve Benacerraf’ın “Gödel, Mechanism, and Mind” Makaleleri
        20-21İkinci Eksiklik Teoremi (PDF)
        22Kiplik Mantığına Giriş (PDF)
        23-24İspatlanabilirlik Mantığı (PDF)
        25Üs Almanın Tanımlanması (PDF)

         


        • Terimler Sözlüğü