Konu özeti

  • 18.701 Cebir I Sonbahar 2007

    18.701 Cebir I
    Sonbahar 2007 dönemi versiyonu 





    Düzey: 
    Lisans

    Öğretim Üyesi: 
    Prof. Michael Artin

    Çevirmenler:
    Prof. Dr. Muhammed Uludağ
    Dodekahedronun içine yerleşik küplerden biri (Resim: MIT OCW)




    Dersin Özellikleri


    Seçilmiş ders notları

    		Ödevler
    Sınavlar





    Dersin Tanımı


    Bu lisans düzeyi Cebir I dersi; gruplar, vektör uzayları, doğrusal dönüşümler, simetri grupları, bilineer formlar ve doğrusal gruplar konularını kapsar.

    • Ders İzlencesi

      Ders Saatleri
      Dersler: haftada iki kez 1.5 saatlik ders 

      Önşartlar
      Doğrusal Cebir (18.700) ve Analiz I (18.100) derslerini almış olmak veya ders hocasının izni. 
      Kanıtlarla biraz aşinalığınız bulunmalı. Kitapta matris işlemleri hakkındaki bölümü düzenli işlemeyeceğiz.
      Matris işlemleri konusunda rahat değilseniz lütfen bu bölümü kendi başınıza çalışınız.

      Ders Kitabı
      Artin, M. Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. ISBN: 9780130047632.

      Kapsanan Konular
      Gruplar, vektör uzayları, doğrusal dönüşümler, simetri grupları, bilineer formlar ve doğrusal gruplar. Bu konuların tümünün ilginç ve kullanışlı olduğunu düşünüyorum. Ders kitabının "İçindekiler" sayfalarında Bölüm 2--8 için verilen içerik genel bir bakış veriyor ancak zaman kısıtlamaları sebebiyle adıgeçen bölümlerdeki konulardan bazılarını atlamak zorunda kalacağız. 

      Ödevler ve Sınavlar
      Her hafta bir problem kağıdı vereceğiz, bunların çözümleri okunup notlandırılacak. Ders saati içinde üç kısa sınav yapılacak ve final sınavı olmayacak. Dersten geçer not alabilmek için problem kağıtlarının en az %75ini teslim etmeniz gereklidir. Bu yapıldığı takdirde, nihai notun hesaplanmasında problemler kabaca %25 üzerinden ve her bir kısa sınav da %25 üzerinden değerlendirilecek.  

      Derslere Hazırlık
      Ders özeti her dersin konusu üzerine okuma ödevleri ve alıştırmalar içermektedir. Her konuyu derste muntazaman işlemek sıkıcı olabilir, bu nedenle bunu yapmayacağım. Mümkünse dersin önünden giderek okumanız için size güveniyorum. Dersten önce ayıracağınız birkaç dakika bile anlayışınıza çok yardımcı olabilir. Ders özetindeki alıştırmaları yapın ancak bunları teslim etmenize gerek yok. Ders malzemesi iyi hazmedildiyse bu alıştırmalar aşırı zor gelmeyecektir. Bu alıştırmalar hakkında ciddi sorunlarınız varsa hemen beni görünüz. Tekrar mahiyetindeki soruları asgari düzeyde tutmaya çalıştığımdan, zaman zaman fazladan pratik yapma gereği duyacaksınız. 

      Ödevler
      Problem kağıtları dersin esas kısmıdır. Bu kağıtlarda bazı kapsamlı ve zor problemler bulunmaktadır ve zorlu bir çalışma gerektirirler. Bunları bir oturuşta yapamazsınız. Bu ödevler için diğer öğrencilerle birararaya gelmenizi tavsiye ederim. Ancak, internetten geçen senelerin problem kağıtlarının çözümlerine bakmaya izin yoktur, ve teslim ettiğiniz çözümler tamamiyle sizin elinizden çıkmış olmalıdır. 
       
      Geçen senelerde kimi öğrenciler ödevlerini zamanında bitirmede sorun yaşadı ve her hafta gittikçe daha geri kaldılar. Bunun getirdiği gerilime mahal vermemek için, ve kağıtlarınızı okuyanlara zorluk çıkarmamak için, katı bir kural koydum: Yazılı ödevler mutlaka gününde teslim edilmelidir. Bitmemiş bir ödevi ileride bitirmek ümidiyle bir kenara atmaktansa teslim etmek sizin için daha iyi olur.

      Çözümleri dağıtmayacağım çünkü ilginç problem bulmak zor ve elimin altındaki problemleri önümüzdeki senelerde de kullanabilmek istiyorum. 

      Notlama

      ETKİNLİKYÜZDE
      Ödevler%25
      Üç kısa sınav (herbiri %25)%75

      • Takvim

        DERS NOKONULARÖDEVLER
        1Gruplar, matrisler, permütasyonlar1. Problem kağıdının dağıtımı
        2Altgruplar, devirli gruplar 
        3İzomorfizmler 
        4Homomorfizmler

        1. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        2. Problem kağıdının dağıtımı

        5Eşkümeler 
        6Bölüm grupları 
        7Modüler aritmetik, cisimler

        2. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        3. Problem kağıdının dağıtımı

        8Cisimler 
        9Vektör uzayları, tabanlar, boyut

        3. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        4. Problem kağıdının dağıtımı

        10Tabanlarla hesap 
        11Boyut formülü 
        12İlk kısa sınav4. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi
        13Doğrusal operatörler, özvektörler5. Problem kağıdının dağıtımı
        14Karakteristik polinom 
        15Dönmeler

        5. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        6. Problem kağıdının dağıtımı

        16İzometriler 
        17Düzlemin izometrileri 
        18Sonlu izometri grupları

        6. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        7. Problem kağıdının dağıtımı

        19Kesikli gruplar 
        20Kesikli gruplar (devam) 
        21Grup işlemleri

        7. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        8. Problem kağıdının dağıtımı

        22Sonlu dönme grupları 
        23Sınıf denklemi 
        24Permütasyon temsilleri

        8. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        9. Problem kağıdının dağıtımı

        25Almaşık grup 
        26İkinci kısa sınav 
        27Bilineer formlar 
        28Simetrik formlar

        9. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

        10. Problem kağıdının dağıtımı

        29Hermisyen formlar 
        30Spektral teorem 
        31Quadrikler10. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi
        32Özel biril grup SU2 
        33Dönme grubu 
        34Bir-parametreli gruplar11. Problem kağıdının dağıtımı
        35Bir-parametreli gruplar (devam) 
        36Üçüncü kısa sınav 
        37Lie cebri 
        38Doğrusal grupların boyutları 
        39Basit gruplar11. Problem kağıdı çözümlerinin teslimi

         


        • Okumalar

          Ders Kitabı: 

          Artin, M. Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. ISBN: 9780130047632.

          Aşağıda sıralanan alıştırmalar ders kitabında bulunmaktadır ve hoca tarafından o ders için öğrencilere tavsiye edilmiştir. Bu alıştırmaların çözümleri teslim edilmemiş ve okunmamıştır.  

           
          DERS NOKONULAROKUMALARALIŞTIRMALAR
          1Gruplar, matrisler, permütasyonlarBölüm 2.1; Bölüm 6.6'dan 6.10'a kadarBölüm 1, 1.7, 2.12; Bölüm 2, 1.1b, 1.5, 2.19
          2Altgruplar, devirli gruplarBölüm 1.4; Bölüm 2.2Bölüm 1, 4.5; Bölüm 2, 2.1, 2.3, 2.7; Bölüm 6, 6.9
          3İzomorfizmlerBölüm 2.2, 2.3Bölüm 2, 3.1, 3.7, 3.10, 3.12; Bölüm 6, 6.2, 6.4
          4HomomorfizmlerBölüm 2.4, 2.5Bölüm 2, 4.1, 4.3, 4,6, 4.16, 5.6, 5.7
          5EşkümelerBölüm 2.6Bölüm 2, 5.3, 6.7, 6.12, 7.7
          6Bölüm gruplarıBölüm 2.8, 2.10Bölüm 2, 6.4, 8.3, 10.8, 10.6
          7Modüler aritmetik, cisimlerBölüm 2.9; Bölüm 3.2Bölüm 2, 9.2, 9.5; Bölüm 3, 2.1, 2.3
          8CisimlerBölüm 2.9; Bölüm 3.2Bölüm 2, 9.8; Bölüm 3, 2.8, 2.14, 2.17
          9Vektör uzayları, tabanlar, boyutBölüm 3.1, 3.3Bölüm 3, 3.2, 3.4, 3.5, 3.8, 3.11
          10Tabanlarla hesapBölüm 3.4Bölüm 3, 4.1–4.3, 4.12
          11Boyut formülüBölüm 4.1, 4.2Bölüm 4, 1.1, 1.2, 1.4, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5
          12İlk kısa sınav  
          13Doğrusal operatörler, özvektörlerBölüm 4.3Bölüm 4, 3.1, 3.3–3.5, 3.8
          14Karakteristik polinomBölüm 4.4, 4.6Bölüm 4, 4.1, 4.3, 4.4, 6.1, 6.5c, d, 6.7
          15DönmelerBölüm 4.5Bölüm 4, 5.1–5.3, 5.5, 5.8
          16İzometrilerBölüm 4.5; Bölüm 5.1, 5.2Bölüm 4, 5.13; Bölüm 5, 1.3a, c, 2.1, 2.2, 2.9
          17Düzlemin izometrileriBölüm 5.1, 5.2Bölüm 5, 1.1a, c, 2.1, 2.2, 2.4, 2.7, 2.9
          18Sonlu izometri gruplarıBölüm 5.3Bölüm 5, 3.1–3.3, 3.6, 4.1
          19Kesikli gruplarBölüm 5.4Bölüm 5, 4.2–4.4, 4.6, 4.11
          20Kesikli gruplar (devam)Bölüm 5.4Bölüm 5, 4.8–4.10, 4.12, 4.13
          21Grup işlemleriBölüm 5.5, 5.6, 5.7Bölüm 5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.5, 7.1–7.3
          22Sonlu dönme gruplarıBölüm 5.9Bölüm 5, 9.2–9.5, 9.6a, 9.7
          23Sınıf denklemiBölüm 6.1Bölüm 6, 1.1, 1.2, 1.4–1.6
          24Permütasyon temsilleriBölüm 5.8Bölüm 5, 8.1, 8.3, 8.5, 9.6b
          25Almaşık grupBölüm 6.2, 6.6Bölüm 6, 2.1, 2.3, 2.5, 6.3, 6.13
          26İkinci kısa sınav  
          27Bilineer formlarBölüm 7.1, 7.2Bölüm 7, 1.2–1.5, 2.1, 2.2, 2.7
          28Simetrik formlarBölüm 7.3Bölüm 7, 2.9, 2.10, 2.21, 3.2, 3.11
          29Hermisyen formlarBölüm 7.4Bölüm 7, 4.2, 4.5, 5.8, 4.10, 4.15, 4.18
          30Spektral teoremBölüm 7.5Bölüm 7, 5.2, 5.4, 5.5a, 5.7, 5.16
          31QuadriklerBölüm 7.6Bölüm 7, 6.1, 6.2, 6.4
          32Özel biril grup SU2Bölüm 8.1, 8.2Bölüm 8, 1.1, 1.5, 2.1–2.3, 2.5
          33Dönme grubuBölüm 8.3Bölüm 8, 3.1, 3.4, 3.5, 3.10
          34Bir-parametreli gruplarBölüm 4.8; Bölüm 8.5Bölüm 8, 5.2–5.4, 5.6
          35Bir-parametreli gruplar (devam)Bölüm 4.8Bölüm 8, 5.5, 5.7, 5.9
          36Üçüncü kısa sınav  
          37Lie cebriBölüm 8.6Bölüm 8, 6.1, 6.2, 6.5–6.7
          38Doğrusal grupların boyutlarıBölüm 8.7Bölüm 8, 7.1a, b, d, 7.2, 7.10
          39Basit gruplarBölüm 8.8Bölüm 8, 8.2a, 8.3, 8.5

          • Ders Notları

            Konu isimleri dağıtılan ders notlarının içeriğine karşılık gelmektedir. 

            Matris Üsteli (PDF)

            SU2 Özel Üniter Grubunun geometrisi (PDF)

            Spektral Teorem (PDF)  

            Simetrik Formlar (PDF)

            Karmaşık Vektör Uzaylarının Geometrisi (PDF)

            Hopf fibrasyonunun stereografik izdüşümü, Matlab Programı (yazıcısı Huan Yao'nun izniyle) (PDF)

            D1 nokta gruplu billursu (kristalografik) gruplar (PDF)

            İzometriler (PDF)

            Mod-n tamsayıların çarpımsal grubu (PDF) 

            Permütasyonlar (PDF)

            Permütasyon Matrisleri (PDF)    

            SL2 grubunun normal altgrupları (PDF) 

            Almaşık grup (PDF)   

            Dönmeler ve İzometriler (PDF)    

            Tamsayıların kalandaşlığı (PDF)     

            Enbüyük ortak bölen ve enkü*** ortak kat (PDF)  


            • Ödevler

              Problem setleri tabloda listelenen oturumlarda teslim edilecektir. Sayfa numaraları aşağıdaki ders kitabına aittir:
              Artin, M. Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. ISBN: 9780130047632.

               
              DERS NOKONULARÖDEVLER
              4HomomorfizmlerProblem kağıdı 1 (PDF)
              7Modüler aritmetik, cisimlerProblem kağıdı 2 (PDF)
              9Vektör uzayları, tabanlar, boyutProblem kağıdı 3 (PDF)
              12İlk kısa sınavProblem kağıdı 4 (PDF)
              15DönmelerProblem kağıdı 5 (PDF)
              18Sonlu izometri gruplarıProblem kağıdı 6 (PDF)
              21Grup işlemleriProblem kağıdı 7 (PDF)
              24Permütasyon temsilleriProblem kağıdı 8 (PDF)
              28Simetrik formlarProblem kağıdı 9 (PDF)
              31QuadriklerProblem kağıdı 10 (PDF)
              39Basit gruplarProblem kağıdı 11 (PDF)

               


              • Sınavlar

                Deneme Sınavı 1 (PDF)

                Deneme Sınavı 2 (PDF)

                Deneme Sınavı 3 (PDF)