Konu özeti

  • 18.702 Cebir II Bahar 2008




    Düzey: 
    Lisans

    Öğretim Üyesi: 
    Prof. Michael Artin

    Çevirmenler:
    Doç. Dr.  Sefa Feza Arslan
     Bu dikdortgenin dört köşesini merkez alan yarıçapı r  ve üç yari latis noktasını merkez alan yarı r/2 olan daireler (Şekil Prof. Artin'den.)




    Dersin Kapsamı


    Seçilmiş ders notları

    		Ödevler (Çözümleri Yok)


    		Sınavlar (Çözümleri Yok)
    Dersin Tanımı


    Bu lisans dersi, Cebir I dersinin devamıdır. Konular grup temsilleri, halkalar, idealler, cisimler, polinom halkaları, modüller, çarpanlara ayırma, kuadratik sayı cisimlerindeki tamsayılar, cisim genişlemeleri ve Galois teorisini içerir. 


    • Ders İzlencesi

      Haftalık Ders Planı 
      Dersler: 2 ders / hafta, 1.5 saat / ders

      Önkoşul
      Cebir I (18.701)

      Ders Kitabı
      Artin,M. Cebir. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. ISBN: 9780130047632.

      İşlenecek Konular
      Konular grup temsillerini, halkaları, idealleri, cisimleri, polinom halkalarını, modülleri, çarpanlara ayırmayı, kuadratik sayı cisimlerindeki tamsayıları, cisim genişlemelerini ve Galois teoriyi içerir. Grup teorisi ve temsillerini kapsar ve Sylow teoremine, Schur Lemmasına ve diklik bağıntılarının kanıtına odaklanır. Ayrıca, halkaları, çarpanlara ayırma süreçlerini ve cisimleri inceler. Sayıların ve polinomların formal inşası, homomorfizmler ve idealler, Gauss Lemması, kuadratik sanal tamsayılar, Gauss asalları, sonlu ve fonksiyon cisimleri gibi konular detaylı bir biçimde tartışılır.

      Dersle İlgili Yapılması Gerekenler
      Haftalık problem setleri notlandırılacaktır. Ders saatleri içerisinde olmak üzere üç sınav yapılacak ve final sınavı olmayacaktır. Dersten geçer bir not almak için, haftalık ödevlerin çözümlerinin en az % 75'ini vermelisiniz. Bunun yapıldığını varsayarsak, ödevlerin final notunuzdaki ağırlığı % 25 ve her bir sınavın ağırlığı ise yine % 25 olacaktır.

      Derslere Hazırlanma
      Dersin çerçevesi okumanız gerekenleri ve her dersin konusu ile ilgili alıştırmaları da kapsamaktadır. Okuma konusunda size güveniyorum. Mümkünse zamanından önce okuyun. Ders çerçevesindeki alıştırmaları yapmaya çalışın, ama bunları geri vermeyin.

      Ödevler
      Problem setleri dersin en önemli kısmıdır. 18701 (Cebir I) dersinden bildiğiniz gibi, ciddi düşünme gerektirmektedirler. Ödevler üzerinde çalışmak için, teslim etmeniz gereken günün öncesindeki geceyi beklemeyiniz. Problem setleri üzerinde gruplar olarak çalışmaya teşvik ediyoruz, ancak her biriniz çözümlerinizi tek başınıza yazmalısınız.
      Geçtiğimiz yıllarda, bir kaç öğrenci ödevleri yetiştirme konusunda sıkıntılar yaşadı ve her hafta daha da geriye düştü. Bunun yarattığı stresi önlemek için ve notlandıracak olanların yararına katı bir kural koydum: Yazılı ödevler, hangi gün teslim edilmeleri gerekiyorsa, o gün getirilmeliler. Gelecekte tamamlamayı düşünerek ertelemektense, eksik bir ödevi teslim etmek daha iyidir. Çözümleri dağıtmıyorum çünkü ilginç problemler bulmak zor ve bulduklarımı yeniden kullanabilmek istiyorum.

      Notlandırma

      AKTİVİTELERYÜZDELER
      Ödevler%25
      Üç sınav (herbiri %25)%75

      • Takvim

        DERS NOKONULARÖNEMİ TARİHLER
        Grup Temsilleri
        D1Todd-Coxeter AlgoritmasıProblem seti 1 alış
        D2Sylow Teoremleri 
        D3Grup temsilleri 
        D4Üniter temsilleriProblem seti 1 teslim 
        D5KarakterlerProblem seti 2 alış
        D6Düzgün temsil 
        D7Karakterler (Devam) 
        Halkalar: Genel Tanımlar
        D8Halkalar, homomorfizmlerProblem seti 2 teslim
        Problem seti 3 alış
        D9İdealler, bölüm halkaları, eşleme teoremi  
        D10Maksimal idealler, asal idealler, kesirler 
        Halkalar: Çarpanlara Ayırma
        D11Gauss LemmasıProblem seti 3 teslim
        Problem seti 4 alış
        D12İndirgenemezlik için kriter  
        D13Birinci Sınav 
        D14Tek türlü çarpanlara ayrılma 
        Halkalar: Soyut İnşalar 
        D15Halkadaki bağıntılarProblem seti 4 teslim
        Problem seti 5 alış
        D16Eleman ekleme 
        Kuadratik Sanal Cisimler 
        D17Gauss asalları 
        D18Kuadratik tamsayılar 
        D19İdeallerde çarpanlarına ayırma 
        D20İdeal sınıflarıProblem seti  5 teslim
        Problem seti 6, 19 nolu dersten bir gün önce alış
        Bir Halka Üzerindeki Doğrusal Cebir
        D21Serbest modüllerProblem seti 6 teslim
        Problem seti 7 alış
        D22Tamsayı matrisleri 
        D23Üreteçler ve bağıntılar 
        D24Able gruplarının yapıs 
        D25İkinci sınav 
        Cisimler: Cisim Genişlemeleri
        D26Cebirsel elemanlar, dereceProblem seti 7 teslim
        D27Cetvel ve pergel 
        D28Sembolik eklemeProblem seti 8 alış
        D29Sonlu cisimler 
        D30Fonksiyon cisimleriProblem seti 8 teslim
        Cisimler: Galois Teorisi
        D31Ana teoremProblem seti 9 alış
        D32Kubik denklermler 
        D33Simetrik fonksiyonlar 
        D34Parçalanış cisimleri, çevrimsel genişlemelerProblem seti 9 teslim
        Problem seti 10 alış
        D35İlkel elemanlar 
        D36Ana teoremin kanıtı 
        D37Üçüncü sınav 
        D38Dördüncü dereceden denklemler 
        D39Beşinci dereceden denklemlerProblem seti 10 teslim

        • Okumalar

          Ders Kitabı: Artin, M. Cebir. Englewood Clifs, NJ: Prentice-Hall, 1991. ISBN:9780130047632. Aşağıda listelenen alıştırmalar ders kitabındandır ve verilen her derste öğretim elemanı tarafından öğrencilere önerilmiştir. Bunların geri donüşü olmamış ve düzeltilmemiştir.
          DERS NOKONULAROKUMALARALIŞTIRMALAR
          Grup Temsilleri
          D1Todd-Coxeter AlgoritmasıBölüm 6, Kısım 7, 8, 9Bölüm 6, 8.2, 8.3, 9.2a, b
          D2Sylow TeoremleriBölüm 6, Kısım 3, 4Bölüm 6, 4.1, 4.2, 4.5, 4.6
          D3Grup temsilleriBölüm 9 Kısım 1, 2Bölüm 9, 1.2, 1.5a, 1.7, 1.8, 4.4
          D4Üniter temsilleriBölüm 9 Kısım 2, 3, 4Bölüm 9, 2.1, 2.3, 4.1, 4.5
          D5KarakterlerBölüm 9 Kısım 5Bölüm 9, 4.6, 5.2, 5.3, 5.4, 5.6
          D6Düzgün temsilBölüm 9 Kısım 6, 7Bölüm 9, 6.1, 6.2, 6.5
          D7Karakterler (Devam)Bölüm 9 Kısım 8, 9Bölüm 9, 7.2, 8.1, 9.3
          Halkalar: Genel Tanımlar
          D8Halkalar, homomorfizmlerBölüm 10, Kısım 1, 2, 3Bölüm 10, 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.2a,b, 3.15, 3.17
          D9İdealler, bölüm halkaları, eşleme teoremi Bölüm 10, Kısım 3, 4Bölüm 10, 3.16, 3.18, 4.6, 4.7
          D10Maksimal idealler, asal idealler, kesirlerBölüm 10, Kısım 6, 7Bölüm 10, 6.2, 6.3, 6.5, 7.1, 7.2, 7.12a
          Halkalar: Çarpanlara Ayırma
          D11Gauss LemmasıBölüm 11, Kısım 3Bölüm 11, 2.2b, 3.4, 3.8, 3.10a
          D12İndirgenemezlik için kriter Bölüm 11, Kısım 4Bölüm 11, 4.1a,c, 4.2, 4.4, 4.6
          D13Birinci Sınav  
          D14Tek türlü çarpanlara ayrılmaBölüm 11, Kısım 1, 2Bölüm 11, 1.1, 1.5, 1.6, 2.4
          Halkalar: Soyut İnşalar 
          D15Halkadaki bağıntılarBölüm 10, Kısım 4Bölüm 10, 4.1, 4.2, 3.34
          D16Eleman eklemeBölüm 10, Kısım 5Bölüm 10, 5.1, 5.2, 5.4, 5.7, 5.8
          Kuadratik Sanal Cisimler 
          D17Gauss asallarıBölüm 11, Kısım 5Bölüm 11, 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.7
          D18Kuadratik tamsayılarBölüm 11, Kısım 6, 7Bölüm 11, 6.1, 6.2, 6.3
          D19İdeallerde çarpanlarına ayırmaBölüm 11, Kısım 8Bölüm 11, 7.7c,d, 8.1, 8.6
          D20İdeal sınıflarıBölüm 11, Kısım 9, 10Bölüm 11, 9.1a, 9.2, 9.7, 10.3
          Bir Halka Üzerindeki Doğrusal Cebir
          D21Serbest modüllerBölüm 12, Kısım 1, 2Bölüm 12, 1.3, 1.6, 2.1, 2.3, 2.6
          D22Tamsayı matrisleriBölüm 12, Kısım 3, 4Bölüm 12, 3.1a,c, 4.1, 4.3, 4.5
          D23Üreteçler ve bağıntılarBölüm 12, Kısım 5Bölüm 12, 4.7, 5.1, 5.2, 5.4
          D24Able gruplarının yapısBölüm 12, Kısım 6Bölüm 12, 6.1, 6.2, 6.3a,b, 6.4
          D25İkinci sınav  
          Cisimler: Cisim Genişlemeleri
          D26Cebirsel elemanlar, dereceBölüm 13, Kısım 1, 2Bölüm 13, 1.3, 2.3, 3.1, 3.3b,c, 3.7a,b, 3.8, 3.12
          D27Cetvel ve pergelBölüm 13, Kısım 4Bölüm 13, 4.1, 4.2, 4.8
          D28Sembolik eklemeBölüm 13, Kısım 5Bölüm 13, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4
          D29Sonlu cisimlerBölüm 13, Kısım 6Bölüm 13, 6.2, 6.4, 6.5, 6.8a, 6.15
          D30Fonksiyon CisimleriBölüm 13, Kısım 7Bölüm 13, 4.5a,b,e,f
          Cisimler: Galois Teorisi
          D31Ana teoremBölüm 14, Kısım 1Bölüm 14, 1.1, 1.5, 1.7, 1.9, 1.12
          D32Kubik denklermlerBölüm 14, Kısım 3Bölüm 14, 2.1, 2.2a,b,e, 2.3, 2.6
          D33Simetrik fonksiyonlarBölüm 14, Kısım 3Bölüm 14, 3.1, 3.3a,c,e, 3.5, 3.7
          D34Parçalanış cisimleri, çevrimsel genişlemelerBölüm 14, Kısım 5, 8Bölüm 14, 8.1, 8.4
          D35İlkel elemanlarBölüm 14, Kısım 4, 5Bölüm 14, 4.1, 4.3a,d, 5.11
          D36Ana teoremin kanıtıBölüm 14, Kısım 4, 5Bölüm 14, 4.1, 4.3a,d, 5.11
          D37Üçüncü sınav  
          D38Dördüncü dereceden denklemlerBölüm 14, Kısım 6Bölüm 14, 6.1, 6.3, 6.4, 6.31
          D39Beşinci dereceden denklemlerBölüm 14, Kısım 9Bölüm 14, 9.1, 9.6a, 9.8

           


          • Ders Notları

            Konu başlıklarından, verilen ders notlarının içerigi anlaşılmaktadır.
            Mertebesi 55 olan Abel olmayan grupların karakter tablosu (PDF)
            Mertebesi 28 olan gruplar (PDF)
            Fonksiyon Cisimleri (PDF)
            Parçalanış Cisimleri (PDF)
            Permütasyonlar (PDF)
            Diklik Bağıntıları (PDF)

             


            • Ödevler

              Aşağıdaki ödevler, numaraları listede verilen derslerde dağıtılmıştır. Bazı problemlerde referans verilen ders kitabı: Artin, M. Cebir. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. ISBN: 9780130047632.

               
              DERS NOKONULARÖDEVLER
              D4Üniter temsillerProblem seti 1 (PDF)
              D8Halkalar, homomorfizmlerProblem seti 2 (PDF)
              D11Gauss LemmasıProblem seti 3 (PDF)
              D15Halkada bağıntılarProblem seti 4 (PDF)
              D18Kuadratik tamsayılarProblem seti 5 (PDF)
              D21Sebest modüllerProblem seti 6 (PDF)
              DS26Cebirsel elemanlar, dereceProblem seti 7 (PDF)
              D30Fonksiyon cisimleriProblem seti 8 (PDF)
              D34Parçalanış cisimleri, çevrimsel genişlemelerProblem seti 9 (PDF)
              D39Beşinci dereceden denklemlerProblem seti 10 (PDF)

              • Sınavlar

                Aşağıdaki üç çalışma sınavı, öğrencileri sınava hazırlamak için kullanılmaktadır.

                 
                SINAV NOSINAVLAR
                Çalışma Sınavı 1(PDF)
                Çalışma Sınavı 2(PDF)
                Çalışma Sınavı 3(PDF)