MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

8.02 Elektrik ve Manyetizma, Bahar 2002

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Lewin, Walter, 8.02 Elektrik ve Manyetizma, Bahar 2002 (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu (accessed MM DD, YYYY). License: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike.

Not: Alıntılarınızda lütfen bu materyalin gerçek tarihini kullanınız.

Bu materyalin alıntı olarak gösterilmesi veya kullanım koşullarımız hakkında daha fazla bilgi için, http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

8.02 Elektrik ve Manyetizma, Bahar 2002

Transkripti indirmek için - PDF

Transkript – Ders 9 Akımlar, Direnç ve Ohm Yasası

Pozitif yükler bu yöne doğru hareket ettiklerinde, tanımdan dolayı, akımın bu yönde aktığını söyleriz.

Negatif yükler bu yönde gittiklerinde, akımın gene bu yönde gittiğini söyleriz, bu ortak uzlaşımımızdır.

Bir iletken üzerine bir potansiyel farkı uyguladığımda, bu iletkenin içinde bir elektrik alanı oluştururum.

Ve elektronlar – bir iletkenin içinde serbest elektronlar vardır – onlar hareket edebilirler, ama iyonlar hareket edemezler; çünkü iyonlar katı içinde, kristal içinde donmuş durumdadırlar.

Dolayısıyla, bir iletkenden bir akım geçtiğinde, akımdan sorumlu olan daima elektronlardır.

Elektronların yakıtı elektrik alanlarıdır ve elektrik alanını sıfırlamaya çalışırlar; fakat iletken üzerindeki potansiyel farkını koruduğumuzdan bunu başaramazlar.

Çoğu kez, akım ve potansiyel arasında doğrusal bir ilişki vardır; bu durumda, Ohm yasasından bahsederiz.

Şimdi çok kaba bir şekilde, bir fakir adamın tarzında, --yüzde yüz geçerli olmayan bir yolla--, Ohm kanununu elde etmeye çalışacağım. Bu konu, aslında şu anda bu dersin dışında olan kuantum mekaniğini gerektirir; fakat bize hâlâ Ohm kanunu için bazı ilginç sezgiler sunacak bir iş yapacağım.

Oda sıcaklığında, 300 derece Kelvinde, olan bir iletkende, örneğin bakırla başlarsam; bakırdaki serbest elektronlar bir milyon metre bölü saniyelik bir ortalama hıza sahiptir.

Böylece bu, serbest elektronların ortalama hızıdır--yaklaşık olarak bir milyon metre bölü saniye.

Her yönde.

Bu, karmaşık bir harekettir.

O sıcaklıktan dolayıdır, yani termal bir harekettir.

Çarpışmalar arasındaki zaman – ki bu, serbest elektronun atomlarla olan çarpışmasıdır -- onu simgesi ile gösteririm; yaklaşık olarak 3 çarpı10 üzeri eksi 14 saniyedir.

Bu şaşırtıcı değildir, çünkü hız anormal yüksektir.

Ve bakırda metreküpteki serbest elektron sayısı, --onu n ile göstereceğim-- yaklaşık 10 üzeri 29 dur.

Her atom başına yaklaşık olarak bir serbest elektron düşer.

Demek ki, her metreküpte 10 üzeri 29 elektron var.

Şimdi herhangi bir iletkene veya bir bakır parçasına bir potansiyel fark uyguladığımı düşünün. Bu durumda elektronlar, elektronun yükü, yani benim küçük e’m çarpı potansiyel fark uygulayarak oluşturduğum elektrik alana eşit olan bir kuvvetin etkisinde kalacaklardır.

Ben kuvvetin ve elektrik alanının elektronlar için zıt yönde olduklarını biliyorum; ancak bu bir ayrıntı; çünkü ben burada sadece büyüklüklerle ilgileniyorum.

Ve böylece şimdi bu elektronlar, kuvvet bölü elektronun kütlesine eşit bir ivme kazanacaklardır; dolayısıyla bu elektronlar bu çarpışmalar arasında, a çarpı değerinde, sürüklenme hızı denilen bir hız kazanacaklardır, bu tıpkı Mekanik’teki gibidir.

Ve böylece a eşittir F bölü ’dir.

F, eE’ye eşittir; böylece e çarpı E bölü elektronların kütlesi çarpı t elde ederiz.

Ve bu, sürüklenme hızıdır.

Elektrik alanı artarsa sürüklenme hızı da artar, böylece elektronlar akıma zıt yönde daha hızlı hareket ederler.

Çarpışmalar arasındaki zaman artarsa, ivmelenme daha uzun sürer. Bu yüzden de onlar daha büyük hız toplarlar, böylece bu sezgisel olarak hoştur.

Özel bir durumu ele alırsak, örneğin bu bakır tel; 10 metre uzunluğunda olsun. Delta V ile göstereceğim bir potansiyel fark uygularım, fakat buna sadece V de diyebilirdim – tele 10 voltluk bir potansiyel fark uygularım, o zaman şimdi iletkenin içindeki elektrik alan yaklaşık 1 volt bölü metredir.

Ve böylece bu özel durum için sürüklenme hızının ne olacağını hesaplayabilirim.

Böylece şu serbest elektronların sürüklenme hızı elektronların yükü olan 1.6 çarpı 10 üzeri eksi 19 Coulomb’dur.

E alanı 1’dir, böylece onu boş verin.

Oda sıcaklığında t, 3 çarpı 10 üzeri eksi 14’tür ve elektronun kütlesi yaklaşık 10 üzeri eksi 30 kilogramdır.

Ve böylece eğer hata yapmadıysam, sürüklenme hızını 5 çarpı 10 üzeri eksi 3 metre bölü saniye bulurum, bu da saniyede yarım santimetredir.

Böylece ısıl (termal) hareketten dolayı bu elektronların saniyede 1 milyon metre hızında hareket ettiklerini düşünün.

Ancak bu elektrik alandan dolayı, elektronlar tel boyunca saniyede yarım santimetre yani tıpkı bir salyangoz gibi yavaşça ilerlerler.

Bu durum şu anki bilgilerimizle bize oldukça ters gelebilir, fakat durum bundan ibarettir.

Yani bir kaplumbağa, bu elektronlardan daha hızlı ilerleyebilir demek istiyorum.

Bu elektronların 10 metre boyundaki tel boyunca yol alması yarım saat sürebilir.

Bu daha önce hiç düşünmediğimiz bir şey.

10 metre boyundaki bakır bir tele 10 V değerinde bir potansiyel fark uygularsak, bu elektronların tel boyunca yol alması yarım saat sürer.

Şimdi, bunu daha fazla ileriye götürmek istiyorum. Potansiyel ile akım arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren Ohm kanununu bir şekilde çıkarıp çıkaramayacağımızı görmek istiyorum.

Böylece l boyunda, kesit alanı A olan bir tel ile başlayalım; tel üzerine potansiyel farkı uygulayalım... Burası artı, burası eksidir, böylelikle tanımladığımız gibi artıdan eksiye doğru bu yönde bir akım elde ederiz.

Elbette elektronlar sürüklenme hızı ile bu yönde hareket ediyorlar.

Ve böylece bu yöndeki elektrik alan burada yaklaşık olarak V bölü l’dir; potansiyel fark bölü uzunluktur.

1 saniye içerisinde bu serbest elektronlar soldan sağa V_d metrelik bir mesafe kat ederler.

Böylece bu tel üzerinde herhangi bir yerden bir kesit alırsam 1 saniye içinde bu kesitten ne kadar elektronun geçtiğini hesaplayabiliriz.

1 saniyede, burada oluşan hacim V_d çarpı A değerindedir; bunu metreküpteki serbest elektron sayısı n ile çarparsam, tel üzerinde herhangi bir yerde alınan kesitten bir saniyede geçen serbest elektron sayısını bulmuş olurum.

Ve her elektron e kadar yüke sahiptir, e ile çarpayım; işte bu, akan akıma eşittir.

Tabii ki akım bu yöndedir; fakat bu bir ayrıntı.

Şimdi buradaki sürüklenme hızını yerine yazarsam; bunu oraya yazarsam; o zaman akımı, e kare, yükün karesi çarpı n çarpı t bölü elektronun kütlesi ve A çarpı E elektrik alanı olarak elde ederim.

Çünkü buradaki E elektrik alanıdır.

Burada şu kısma bakarsanız, verilen bir sıcaklıkta, orası aslında sadece maddenin özelliklerine bağlıdır.

Buna bir isim veririz. Bunu s ile gösterir ve iletkenlik olarak adlandırırız.

İletkenlik.

Oda sıcaklığında bakır için iletkenliği hesaplayalım; bunu yapmak çok kolay. Çünkü n’nin değerini 10 üzeri 29 olarak tahtada vermiştim; oda sıcaklığında t’nun değerinin 3 çarpı 10 üzeri eksi 14 olduğunu biliyorsunuz; böylece, oda sıcaklığında bakırın iletkenliği için yaklaşık 10 üzeri 8 bulacaksınız.

Ders boyunca sigma için daha pek çok değer göreceksiniz.

Bu birimler SI sistemindedir.

Bu konuyu biraz daha açalım; çünkü E, V’nin l’ye bölümüne eşittir ve böylece şimdi akımın, sigma çarpı A çarpı V bölü l değerine eşit olduğunu yazabilirim.

Bunu biraz daha farklı şekilde yazabiliriz: V eşittir l bölü sigma kere A çarpı I .

Ve işte şimdi, ister hoşlanın ister hoşlanmayın, Ohm kanununa bakıyorsunuz; çünkü bu, direnç dediğimiz, büyük R’dir.

Genellikle 1 bölü sigmayı r ile gösteririz ve ona özdirenç deriz.

Böylece ikisinden biri olabilir,

V eşittir IR yazdığınızda, bu R, ya l bölü sigma kere A’dır, ya da l çarpı r – r’yu daha güzel yapayım -- bölü A’dır.

Bunlar aynı şeylerdir.

R direnci için birim volt bölü amperdir; fakat bunu Ohm olarak adlandırırız.

Yani direncin birimi ohm’dur.

Eğer r ve σ’nın birimlerini öğrenmek istiyorsanız, bunu eşitliklerden hemen çıkarırsınız.

O zaman r’nun birimi ohm-metre olur.

Böylece direnci burada boyutlar, yani uzunluk ve kesit alanı cinsinden türettik --fakat atomik ölçekteki fizik cinsinden de, kendi başına bütünüyle ilginçtir.

Dirence bakarsanız, akımın geçtiği telin uzunluğu ile orantılı olduğunu görürsünüz.

Bunu boru içinden geçmeye çalışan su gibi düşünün.

Boruyu uzatırsanız direnç de artar; bu sezgisel olarak doyurucudur.

Aşağıda A’nın olduğuna dikkat edin.

Bunun anlamı şudur: boru genişlerse kesit alanı da genişler ve akımın geçmesi veya suyun akması da kolaylaşır. Bu da akla yakındır.

Ohm kanununu, burada serbest elektronlara sahip iletkenler için türettikse de, çoğu kez iletken olmayan yalıtkanlar için de geçerlidir.

Şimdi çok iyi iletkenlerle çok iyi yalıtkanları karşılaştırmak istiyorum.

Kesiti A olan bir maddesel çubukla başlayalım. Boyutları 1milimetreye 1milimetre olsun; dolayısıyla A, 10 üzeri eksi 6 metre kare olacaktır.

Çubuğun l uzunluğu 1metre olsun.

Buraya potansiyel fark uyguluyoruz. Burası artı, şurası eksi.

Akım bu yönde, elektronlar ise bu yönde akmaya başlar.

Soru, bu maddesel çubuğun direncinin ne kadar olacağıdır?

Çok kolay.

Bu eşitlikleri ele alalım; l’yi A’yı biliyorsunuz, σ’nın ne olduğunu söylersem direnci hemen hesaplayabilirsiniz.

İlk olarak iyi bir iletken alalım. Gümüş, bakır ve altın çok iyi iletkenlerdir.

Bu iletkenlerin σ değerleri 10 üzeri 8 civarındadır, az önce bakır için gözünüzün önünde bunu hesapladım.

r, 1 bölü sigma olduğundan, r’nun değeri 10 üzeri eksi 8 civarında olacaktır.

Bu özel durumda, A, 10 üzeri eksi 6 olduğundan R direnci basitçe 10 üzeri 6 çarpı r’dur.

Çünkü l 1 metredir.

Böylece bu çok kolay oldu; burada R direnci 10 üzeri eksi 2 ohm’dur.

Yani bir ohm’un yüzde biri.

Bu madde için, eğer bu madde bakırsa…

Şimdi de çok iyi bir yalıtkanı ele alalım. Örneğin camı alalım.

Kuvars ve porselen çok iyi yalıtkanlardır.

Şimdi σ iletkenliği son derece düşüktür.

Bunlar 10 üzeri eksi 12 ile 10 üzeri eksi 16 arasında değerler alabilir.

Böylece özdirenç, r, şimdi 10 üzeri 12’den 16’ya kadar değerler alabilir; eğer r’yu 10 üzeri 14 alırsanız –bir sayı almalıyım nasılsa– direnci 10 üzeri 20 ohm bulursunuz.

1 ve 20 sıfır.

Bu devasa bir dirençtir.

Böylece iyi bir iletken ile iyi bir yalıtkan arasındaki 10 üzeri 22 büyüklük mertebesi kadar fark olacağını görüyorsunuz.

Ve eğer tel üzerine 1 Volt değerinde potansiyel fark uygularsam ve Ohm yasasını kullanırsam, V eşittir IR, o zaman telden geçen akımı hesaplayabilirim.

IR 1 volta eşit ise, akım burada 100 amperdir. Akım burada cam için ise, 10 üzeri eksi 20 amperdir; önemsenmeyecek kadar küçük bir akım.

İlk önce size Ohm yasasının bazen geçerli olduğunu göstermek istiyorum; bir güç kaynağı yardımıyla bu gösteriyi yapacağım—buraya bir V koyarım-- ve birkaç saniyede voltajı 0’dan 4 Volta değiştirebilirim.

Bu taraf artı, şu taraf eksidir; bunu 50 ohmluk dirence bağlıyorum, bu sembolü direnç için kullanırız ; ampermetrem burada.

Ampermetrenin ihmal edilebilir bir direnci vardır, bunu görmezden gelebilirsiniz.

Ve bunu osiloskop üzerinde göstereceğim -- daha önce osiloskoptan bahsetmemiştik, daha sonra bu konuya değinebiliriz -- bunları duvara yansıtacağım, voltaj akıma karşı 0’dan 4’e gider.

Ve böylece o buradan başlar ve zamanla 4 volta ulaşır; o zaman 4 bölü 50’lik bir akıma ulaşmış olacağız. Ohm yasasına göre, 4 bölü 50 amper yazacağım ki bu 0.08 Amper yapar.

Ve Ohm kanunu geçerliyse, düz bir çizgi elde edersiniz.

Ohm kanunundaki temel düşünce potansiyel fark ile akımın doğru orantılı olmasıdır.

Potansiyel fark iki katına çıkarılırsa akım da iki katına çıkar.

Öyleyse, haydi bunu yapalım; haydi buna bakalım, orada bunu göreceksiniz; iyi göresiniz diye, ışıklarımı değiştireyim,.. böylece daha iyi görünür.

Gördüğünüz gibi, yatay eksen akımı, düşey eksen voltajı gösteriyor.

Voltajın 0’dan 4’e çıkması yaklaşık 1 saniye sürer – böylece bu 0’dan 4’e gidiyor – görüyorsunuz, akım çok güzel bir şekilde doğrusaldır.

Evet, onu durduruyorum; oh hayır, o benim yansımam, bu ilginç.

Ohm yasası benim gölgeme izin vermez.

Böylece ne kadar güzel bir çizgi olduğunu görüyorsunuz.

Şimdi Ohm yasasına büyük ölçüde güvenebilirsiniz.

Ama Ohm yasasına o kadar da güvenmeyin.

İletkenlik σ, sıcaklığın güçlü bir fonksiyonudur.

Sıcaklığı artırırsanız, o zaman çarpışmalar arasındaki t zamanı azalır, çünkü serbest elektronların hızı artar.

Bu, sıcaklığın çok güçlü bir fonksiyonudur.

t azalırsa, açıkça, olacak olan şey, iletkenliğin de azalmasıdır.

Ve bu da r’nun artması demektir. Böylelikle daha fazla direnç elde edersiniz.

Yani bir maddeyi ısıtırsanız direnç artar. Sıcaklık ne kadar artarsa, direnç de o kadar artar.

Böylece R direnci sıcaklığın fonksiyonu olduğunda; ben bunu, V eşittir IR’nin tamamen bozulması, Ohm yasasının tamamen geçersiz kalması olarak adlandırırım.

Eğer kitabınıza bakarsanız, “ Hayır, hayır, hayır, bu bir bozulma değildir; siz şimdi farklı bir sıcaklık için direnci ayarlamalısınız” diyecektir. Bu, olsa olsa, kötü bir yasayı kurtarmaya çalışan zayıf birinin çabasıdır..

Sıcaklığın kendisi de akımın bir fonksiyonu olduğu için, akım ne kadar yükselirse sıcaklık da o kadar yükselecektir.

Böylece artık sabit olmayan V bölü oranını elde edersiniz. O, akımın bir fonksiyonu olur.

Bu, ohm yasasının sonudur.

Böylece, burada yaptığım aynı deneyi, bunu 50 ohm’luk bir ampul –çok küçük bir ampül—ile değiştirerek yapacağım; direncin, ampul sıcakken 50 ohm, soğukken 7 ohm olduğunu göreceksiniz.

Öyleyse, bir ampulün R_soğuk direncinin aşağı yukarı 7 ohm olduğunu öğreneceğiz; biliyoruz ki sıcakken 50 ohm’a çok yakın.

Onun biraz daha düşük olduğunu düşünün. Şimdi beklediğimiz ne?

Başlangıçta, direnç daha düşük olduğunda, bunu elde etmeyi bekliyorsunuz ve sonra direnç arttığında bunu elde edeceksiniz.

Biraz daha yüksek bir akımla bitirebilirim, çünkü sanırım direnç 50 ohm’dan biraz daha düşüktür.

Ve bunun gibi bir eğri gördüğünüzde, o artık doğrusal değildir.

Bu da Ohm kanununun sonudur.

İşte şimdi size göstermek istediğim şey bu.

Bütün yapacağım şey,--işte benim küçük ampulüm-- yakında oturanlar gerçekten ampulün parlamaya başladığını görebilirler, fakat bu önemli değil; sizin V’nin ’ya karşı artık lineer olmadığını görmenizi sağlamak... işte başlıyoruz.

Ve siz, bu ampulün yandığını gördüğünüz her an, o ısınacak ve ısınma süresince direncin de artacağını göreceksiniz.

Böylece, en azından bu ampul için, Ohm yasasının geçersiz olduğunu söyleyebiliriz.

Diğer direnç için, yasa tamamdı; fakat bu ampul için yasamız geçerli değil.

Ohm yasasının daima böyle iyi işlemediğini göstermenin başka bir yolu daha var.

125 voltluk bir güç kaynağım var; V = 125 volt – bu potansiyel farktır – ve bir ampulüm var, onu burada görüyorsunuz, bir elektrik ampulü.. İnanıyorum ki, ampulün direnci soğukken 25 ohm, sıcakken 250 ohm civarındadır.

Müthiş bir fark.

Böylece soğuk direnci alırsak, akımı 5 amper elde ederim; fakat ampul ısınınca, akımı sadece 0.5 amper bulurum.

Bu büyük bir farktır.

Ve gene osiloskopla akımın zamanın bir fonksiyonu olduğunu göstermek istiyorum.

Ohm yasası geçerliyse, akımı açtığınızda – ya da voltajı, demeliyim – bunu görmeyi beklersiniz.

Bu sizin 5 amperinizdir. Ve o sabit kalacaktır. Tüm düşünce bu.

Yani voltaj bölü akım oranı sabit kalacaktır.

Oysa, göreceğiniz, bunun gibi bir şeydir.

Akım artar, fakat direnç azalır; daha sonra direnç artar, akım arttığı zaman direnç artar ve böylece akım azalacaktır ve bunun oldukça aşağısındaki bir seviyede sabit kalacaktır.

Oraya bakarsanız, Ohm kanununun işlemediğini görürsünüz.

Şimdi size göstermek istediğim şey de bu.

Burada 125 volt gerekiyor, bir ampulüm var ve anahtarı kapattığımda akımın zamanla değiştiğini göreceksiniz. Bunu sadece bir kez göreceksiniz – şunu kapatalım -- Ve sonra osiloskopu donduracağız. Şimdi yakından bakalım.

İşte burada.

Üzerinde gördüğünüz bu küçük dalgalanmaları unutun; o 125 voltu üretme yoluyla ilgilidir.

Ve burada yatay olarak zamanı görüyorsunuz. Bitişik iki dikey çizgi arasındaki zaman 20 milisaniyedir.

Çok kısa sürede akım çok yüksek değerlere çıkar. Sonra flaman ısınır ve böylece direnç artar. Ampul ve akım eski haline tekrar geri döner.

Ekran üzerinde sol uç ile sağ uç arası yaklaşık 200 milisaniyedir.

Yani, saniyenin 2/10’u kadardır.

Burada orada elde ettiğinizden daha düşük bir akım seviyesi elde edersiniz.

Bu, Ohm yasasının çöküşüdür.

Aslında sıcaklık arttığında ampulün direncinin artması iyidir.

Çünkü bunun tersinin olduğunu bir düşünün.

Bir ampulü yaktığınızda, direnç düşecektir.

Ampul ısınırsa direncin azalması, akımın artacağı anlamına gelir.

Akım, azalacağı yerde, artacaktır. Bunun anlamı gittikçe ısınmasıdır.

Bunun anlamı ise direncin daha da azalmasıdır. Ve akımın gittikçe artmasıdır.

Bu demektir ki, ampulü her yakışınızda, gözlerinizin önünde, o kendini imha edecektir.

Neyse ki böyle bir şey olmuyor. Tam tersi oluyor.

Ampul ısındığı zaman, direncin artması bir bakıma bir şanstır.

Pekâlâ.

Şimdi bazı direnç devreleri üzerinde biraz daha nitel olalım. Ohm yasasının geçerli olduğunu safça varsayacağımız, böyle birkaç problem oluşturduğunuzu düşünelim.

Diğer bir deyişle, size verilen direnç değerlerinin değişmeyeceğini daima varsayacağız. Ortaya çıkan ısının önemli bir rol oynamayacağını düşüneceğiz.

Bu nedenle, şimdilik, sadece Ohm kanununu kullanacağız ve onu kullanmazsak bunu açıkça belirteceğiz.

Burada, A ile B noktaları arasında, ve gibi iki direncim olduğunu varsayalım.

Varsayalım ki, A ve B noktaları arasına bir potansiyel fark uyguladık. Burası artı, burası eksi olsun ve potansiyel fark V olsun.

V’yi biliyorsunuz; bu biliniyor; size V’yi veriyorum; bu direnci veriyorum ve bunu veriyorum.

Şimdi size şunu sorayım: Buradan geçecek olan akım nedir?

Size sadece bu direnç üzerindeki potansiyel farkın ne olduğunu da sorabilirim – ona V₁ diyeyim -- ve bu ikinci direnç üzerindeki potansiyel farkın ne olduğunu sorabilirim –ona da V₂ diyeyim --.

Çok açık bir soru.

Pekiyi, şimdi Ohm yasasını uygularsınız ; A ve B arasında seri bağlı iki direnç var.

Böylece akım her ikisinin üzerinden de geçmeli; dolayısıyla Ohm yasasından, V potansiyel farkı, eşit, toplam akım çarpı artı ’dir.

Bu dirençlerin aynı olduklarını varsayın; aynı kesit alanına ve boya sahip olduklarını düşünün.

Dirençlerin her ikisini de seri bağlarsanız, boyu iki katına çıkarmış olursunuz.

Boyu böylece ikiye katlarsınız. Hatırlayın; direnç, telin boyu ile doğru orantılıdır. Ve onları toplarsınız.

Böylece şimdi ’i, ‘yi ve V’yi biliyorsunuz. Artık akımı kolayca hesaplayabilirsiniz.

Ohm yasasını, geçerli olduğu sürece, bu tek dirence de uygulayabilirsiniz.

Böylece ’in çarpı olduğunu elde edersiniz; böylece şimdi voltaj bölü bu dirence sahipsiniz ve elbette , çarpı olmalıdır.

Ve problemi çözdünüz. Sorduğum tüm soruların cevaplarını buldunuz.

Şimdi problemimiz biraz farklı olsun; A noktası burada, ama burada bir direnç var, ve burada