MIT A��k Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

8.02 Elektrik ve Manyetizma, Bahar 2002

L�tfen a�a��daki al�nt� bi�imini kullan�n�z:

Lewin, Walter, 8.02 Elektrik ve Manyetizma, Bahar 2002 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare). http://ocw.mit.edu (accessed MM DD, YYYY). License: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike.

Not: Al�nt�lar�n�zda l�tfen bu materyalin ger�ek tarihini kullan�n�z.

Bu materyalin al�nt� olarak g�sterilmesi veya kullan�m ko�ullar�m�z hakk�nda daha fazla bilgi i�in, http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret ediniz.

Transkripti indirmek için - PDF

Transkript Ders 32Tekrar S�nav� 3

Bunlar, ���nc� s�nav�m�zda kapsanacak konulard�r.

Bu tekrar esnas�nda, t�m konular� anlatmam�n imkan� yok.

S�navda da, ku�kusuz, onlar�n t�m�n� kapsayamam.

Ancak onlar�n birka� tanesine de�inebilirim.

Bug�n anlatamayacaklar�m da, anlatmayacaklar�m da s�navda olabilir ve olacaklar.

 

�nce manyetik maddelere bakal�m.

Manyetik maddeler, diya-, para- ve ferro-manyetik olurlar.

Para- ve ferro-manyetik maddelerde, molek�ller ve atomlar ger�ek manyetik dipol momentlerine sahiptirler.

Dipol momentleri daima Bohr manyetonunun bir kat�d�r.

Dolay�s�yla, dipol momenti kuantum mekani�i ile ilgilidir.

Ama kuantum mekani�i, 8.02 dersinin bir b�l�m� de�ildir.

Ve bu dipoller, bo�luk alan� olarak adland�raca��m d�� alan taraf�ndan hizaya getirilirler.

Ve ba�ar� derecesi, s�cakl��a ve bu d�� alan�n �iddetine ba�l�d�r.

S�cakl�k ne kadar d���k olursa, �s�l uyarman�n �stesinden gelerek, onlar� hizalamak o kadar kolay olur.

Ve Curie s�cakl��� dedi�imiz belli bir s�cakl���n �st�nde, ferrom�knat�s -- manyetik madde t�m �zelli�ini kaybeder ve paramanyetik olur; derslerimde bunu g�stermi�tim.

Varsayal�m ki, bir solenoidiniz var, N sar�ml� bir selenoid ve uzunlu�u N.

Ve solenoidten ��ak�m� ge�iyor.

Bu durumda, solenoidin �retti�i -- bo�luk alan� dedi�im -- manyetik alan, Amper Yasas�n� kullanarak elde edilebilir. Onu orada g�r�yorsunuz.

Bu manyetik alan, yakla��k olarak, m� 0 �arp� �arp� N b�l� L�ye e�ittir.

�imdi buraya ferromanyetik bir madde koyarsam, o zaman bu kappa M �arpan�n� veya KM �yi, -- ona her ne derseniz --, i�in i�ine sokmak durumunday�m.

Manyetik ge�irgenlik; bu, devasa bir �ey olabilir.

10, 100, veya 1000�e kadar ve daha da y�ksek olabilir.

B�ylece manyetik alan�n �iddetinde b�y�k bir art�� elde edersiniz.

�z-ind�ktans, manyetik ak� b�l� ak�m� olarak tan�mlan�r.

Bu, tam �z-ind�ktans�n tan�m�d�r.

Manyetik alan kapa M �arpan�yla artarsa, ku�kusuz manyetik ak� da ayn� �arpanla artacakt�r ve b�ylece �z-ind�ktans artacakt�r.

Yapt���m bir g�steri deneyini belki hat�rlars�n�z; solenoidin i�inde hareket eden bir demir �ekirde�im vard� ve onu i�eriye ne kadar �ok hareket ettirdi�ime ba�l� olarak �z-ind�ktans�n artt���n� g�rm��t�k ve onu d��ar� �ekti�imde �z-ind�ktans tekrar azalm��t�.

�lgin� bir problemimiz var.

San�r�m o 7 Nolu �dev; burada demir �ekirde�imiz var ve sonra bir yerde bir hava bo�lu�u var; haf�zan�z� tazelemek i�in onu yeniden g�zden ge�irmek isteyebilirsiniz.

 

�imdi transformat�rlere d�nelim.

Bir transformat�r genellikle bu bi�imde g�r�n�r.

Onu biraz sa�a do�ru kayd�ral�m.

Genelde bu bi�imde g�r�n�r; sol ve sa� taraflar aras�nda m�kemmel bir �iftlenim sa�lamak �zere ferromanyetik bir madde vard�r ve manyetik alan da artt�r�l�r.

Buna birincil taraf diyelim.

sar�ml�, �z-ind�ktans� .

V1 dedi�im bu de�eri daima izlemek i�in buraya bir voltmetre koyar�m.

Ve bu ikincil taraft�r. sar�ml�. �z-ind�ktans� .

Ve buraya V2 dedi�im bu voltaj� daima kontrol eden bir voltmetre koyar�m.

Derslerde s�n�fta yapt���m gibi, Faraday Yasas� ile, b�l� �in, -- art� eksi i�aretleri konusunda endi�elenmeyelim --, b�l��e e�it oldu�unu g�sterebilirsiniz.

Bu iyi bir yakla�t�rmad�r. �iftlenimin ne kadar iyi geli�ti�ine ba�l�d�r.

O birka� fakt�re ba�l�d�r, fakat buna �ok yakla�abilirsiniz; bu demektir ki, e�er �yi�den daha b�y�k yaparsan�z, voltaj� y�kseltebilirsiniz. Biz buna y�kseltici transformat�r diyoruz.

Fakat�yi�den daha k���k yaparak, voltaj� d���rebilirsiniz.

�ok �zel ko�ullar alt�nda, birincil tarafta �retilen g�c�n 100 %�� veya 100%�e yak�n� ikincil tarafta tamamen t�ketilecek mi?

Bu �ok, ama �ok �zeldir.

E�er durum b�yleyse, o zaman buradaki zaman ortalamal� g�c�, buradaki zaman ortalamal� g�c� ile ayn�d�r.

Ve b�ylece bunun mant�kl� bir sonucu olarak, b�l� in, -- eksi i�aretler konusunda endi�elenmeyin --, b�l��ye e�it oldu�unu bulacaks�n�z.

Yine de bu sand���n�z kadar kolay de�ildir.

O sadece yakla��k olarak �al���r;bundan derslerimde bolca bahsetmi�tim.

E�er buradaki diren� ve oradaki diren�, omega L de�erinden kat kat daha k���kse.

Ve bunun hakk�nda yapt���m g�sterilerden birisinde, bunu ba�armaya �al��m��t�k.

�nin 1 ve �in �ok b�y�k oldu�u ind�ksiyon f�r�n�m�z� hat�rl�yorum. �imdi N1 �in ka� oldu�unu hat�rlam�yorum; herhalde birka� y�z, belki bin mertebesindeydi ve ikincilde b�y�k bir ak�m, 1000 ampere yak�n bir ak�m elde etmeyi ba�arm��t�k.

�u demir �iviyi eritmek i�in yeterliydi.

Ve direncin omega L�den �ok, �ok k���k olmas�n� sa�lamak i�in her �e�it �abay� g�stermi�tik.

San�r�m �devlerimizden problem 7-1 bununla ilgiliydi ve �ok saf�a bunun tam do�ru oldu�u var say�l�r.

Fakat bunun ko�ullar�n� sa�laman�n her zaman �yle kolay olmad���n�n fark�nda olmal�s�n�z.

 

�imdi oradaki RLC devrelerine gidelim.������������

R diren�li bir sistem alal�m; onun bir �z-ind�kt�r�, saf bir L �z-ind�kt�r� vard�r ve de bir C kapasitans�.

AC; dalgal� ak�m

Bu s�r�c� g�� kayna��, bir V voltaj� sa�lar; bu V, V0 sin�s (omega t) �ye e�ittir.

Bunun ku�kusuz, daima sin�s (omega t) olabilece�ini unutmay�n.

Hayat�m�zda kosin�s�n �zel bir yeri yok.

Kararl� durum ��z�m�; sistemi a�t���n�zda de�il ama bir s�re bekledi�inizde, ak�m i�in kararl� durum ��z�m� elde edersiniz.

Ve �imdi ge�ecek olan ak�m,b�l� karek�k i�inde R kare art� (omega L eksi bir b�l� omega C) kare �arp� kosin�s (omega t eksi ) �ye e�ittir.

Ve tanjant , (omega L � bir b�l� omega C) b�l� R�ye e�ittir.

Biz buna reaktans diyoruz. Yukar�s�. Onu genelde X sembol�yle g�steriyoruz.

Ve b�ylece bu da o zaman X b�l� R�dir.

Burada sahip oldu�umuz bu b�t�n karek�ke empedans, alternatif ak�m direnci diyoruz.

Birimi ohmdur. Empedans� Z ile g�steririz.

B�ylece sahip olabilece�iniz maksimum ak�m; -- ku�kusuz ak�m, omega a��sal frekans�yla titre�iyor -- ak�m i�in sahip olabilece�iniz ��dedi�im maksimum de�er, o zamanb�l� Z�ye e�it olur.

O zaman kosin�s terimi, ya art� 1 ya da eksi 1 olur.

�imdi frekans�n bir fonksiyonu olarak bu�� �izebilirim.

B�ylece buras� frekans ve buras� t�r.

E�er frekans �ok d���k veya 0�a yak�nsa, bu terim burada son derecede b�y�k olur ; ��nk� empedans son derece b�y�kt�r ve bu y�zden ak�m 0�d�r.

s�f�ra e�ittir. Akan hi� ak�m yoktur.

�ok y�ksek frekanslara gitti�imizde, sonsuza giden bu omega L terimidir.

Ve b�ylece yine Z sonsuza gider; b�ylece yine 0�a gider.

Ve omegan�n di�er de�erleri i�in, 0 olmayan birelde edersiniz; b�ylece bunun gibi, rezonans e�risi denen bir e�ri elde edersiniz.

Sistem rezonanstayken, bu maksimum de�ere ula��r; rezonans dedi�imiz �ey budur. Ve bu a��k�a reaktans�n 0 oldu�u durumdur.

��nk� reaktans s�f�r oldu�u zaman, bu par�a ortadan kalkar.

Reaktans s�f�r de�ilse, maksimum ak�m sadece daha d���k olabilir, ama asla daha y�ksek olamaz.

Ve b�ylece X, 0�a e�it oldu�unda, omega L�yi 1/ omega C�ye e�it bulacaks�n�z ve b�ylece onun frekans�, -- bana rezonans� hat�rlats�n diye omega 0 olarak isimlendirdi�im �ey -- bir b�l� karek�k LC�ye e�ittir. ��

Rezonansta oldu�um zaman, = 0 olur.

B�ylece, ak�m ve s�r�c� voltaj aras�nda faz gecikmesi yoktur. Onlar birbirleriyle ayn� fazdad�rlar.

Ve �imdi �n de�eri, basit�e b�l� R olur. ��nk� empedans�n kendisi R olur.

�ok s�k�c�, �ok basit, burada Ohm Yasas�n� g�r�yorsunuz.

Sistem rezonansta oldu�u zaman, �z-ind�ktans� unutun, kapasit�r� unutun; onlar orada de�illerdir, onlar birbirlerini yok ederler ve b�ylece sistem sadece bir diren� varm�� gibi davran�r ve bu tam olarak burada g�rd���n�z �eydir.

Burada, baz� say�lar var; onlar� daha �nce de g�rm��t�n�z, derslerim s�ras�nda.

Bunu web�ten indirebilirsiniz; fakat bunu anlatt���m derse geri gitmelisiniz.

Ve burada R, L ve C i�in ve ayn� zamanda i�in baz� say�lar g�r�yorsunuz.

Burada sizin i�in rezonans frekans�n� hesaplad�m.

Frekans� kilohertz cinsinden de hesaplar�m.

Ve burada impedans� g�r�yorsunuz;burada reaktans� g�r�yorsunuz.

E�er rezonans�n %10 alt�ndaysam, 1 / (omega C) teriminin daima (omega L) �den daha b�y�k oldu�una dikkat edin.

Bu durumda, reaktans�n�z � 86 ohm�dur.

Eksi i�aretinin, ku�kusuz, ak�ma bir etkisi yok; ��nk� burada X kare�niz var.

Fakat �imdi Z�nin, art�k nerdeyse R taraf�ndan de�il de, sadece X taraf�ndan belirlendi�ine dikkat edin.

��nk� burada 86 ile kar��la�t�r�nca, 10 ohmluk R�nin pek rol� olmaz; hemen hemen hi� rol� yoktur.

Z, 87 haline gelir ve maksimum ak�m bir amperin onda biridir.

Rezonans�n �zerindeyseniz, rezonans�n bir �zelli�i olarak, omega L ve 1/ omega C birbirlerini yerler.

Onlar birbirlerini yok ederler ve b�ylece reaktans 0 olur. Bu y�zden Z �imdi sadece saf R�dir. X e�it 0�d�r.

B�ylece, bu durumda, maksimum ak�m 1�e e�ittir.

��nk� �� 10 se�mi�tim ve R�yi de 10 se�mi�tim.

Rezonans�n %10 �zerindeysem; (omega L) terimi, kapasit�r�n reaktans�ndan daha b�y�kt�r ve bundan dolay� yine daha d���k bir ak�m elde edersiniz; yakla��k bir amperin sekizde biri kadar.

Ve b�ylece bu e�rinin �ok do�al bir yolla olu�tu�unu g�r�yorsunuz ve bu niceldir, orada baz� say�lar� g�r�yorsunuz.

B�ylece �imdi ku�kusuz ki pratikte �ok �nemli olan soru geliyor.

Ve bu soru, g�� kayna�� taraf�ndan �retilen g�� ile ilgilidir.

Bu g��, �s� �eklinde ortaya ��kar.��������������������������������

Diren�teki �s�. B�ylece g�c�n zaman ortalamas�n� al�rs�n�z: g�� kayna��n�n voltaj�n�n zaman ortalamal� de�erini al�r, onu ak�mla �arpars�n�z.��

��kare R�nin zaman ortalamal� de�erini de alabilirsiniz.

��nk� b�t�n bu enerji, eninde sonunda direncin �s�s� �eklinde ortaya ��kar.

Bunlar�n ikisi de uygundur. Bunu almaya karar verdim.

B�ylece V yerine kosin�s (omega t) yazaca��m --- I ise,(b�l� Z) �arp� kosin�s ( omega t - ) haline gelir.

Bu, herhangi bir andaki g��t�r. Zaman ortalamas�n� biraz sonra alaca��m.

Kosin�s (omega t )�yi g�rd���mde, bu bana lise y�llar�m� hat�rlat�yor: Kosin�s alfa eksi kosin�s � HAYIR,kosin�s alfa eksi beta e�ittir kosin�s alfa kosin�s beta + sin�s alfa sin�s beta.

Bu benim haf�zama kaz�nm��t�r. San�r�m bunu asla unutmayaca��m.

Ve buraya yazaca��m � matematik ��retmenim benimle gurur duyacak � kosin�s omega t kosin�s art� sin�s omega t sin�s .

B�ylece bu �u terimdir.

Onun zaman ortalamas�n� alacaksam; bir kosin�s omega t �arp� sin�s omega t var ki bunun zaman ortalamas� 0�a e�ittir.

Bu terim yok olur.

B�ylece g�c�n zaman ortalamal� de�eri; burada kare elde ederim, burada bir Z var ve burada kosin�s omega t �arp� kosin�s omega t var.

Kosin�s kare omega t�nin zaman ortalamal� de�eri, � �dir.

B�ylece burada bir 2 elde ederim. Ve h�l� orada bir kosin�s var.

Ve bitirdim.

E�er bu kosin�s �yi yok etmek isterseniz, bunu yapabilirsiniz.

��nk� hat�rlay�n, �u �ekilde tan�mlanm��t�:tanjant = reaktans b�l� R.

Siz h�l� onu orada g�r�yorsunuz.

B�ylece bu, e�er bu a�� 90 derece ise, bu taraf Z olmal�d�r anlam�na gelir.���

Bu karek�k X kare art� R karedir.

Bu, bu k�s�md�r. Ve b�ylece kosin�sde R b�l� Z�dir.

Ve b�ylece tercih ederseniz, belirli bir avantaj� yok ama bunu tercih ederseniz, kosin�s yerine R b�l� Z de yazabilirsiniz.

B�ylece kare �arp� R b�l� 2 elde edersiniz ve �imdi Z kare elde edersiniz.

Ve b�ylece orada g�c� g�r�yorsunuz, bir RLC devresindeki zaman ortalamal� g�c�.

 

B�ylece �imdi rezonansa bakabiliriz.

O daima �ok �zel bir durumdur.

Rezonanstayken, Z e�it R�dir. B�ylece bu b�y�k Z�yi R ile yer de�i�tirebilirsiniz.

Ve b�ylece kare b�l� 2R bulursunuz. Bu, iyice basittir.

Bunu tahmin edebilirdiniz.

Y�z�n�ze dik dik bakan ger�ekten Ohm Yasas�d�r.

Rezonansta �z-ind�ktans yoktur ve kapasit�r yoktur.�������������� �������

B�ylece,onu sadece R diren�li basit bir sistem olarak ele alabilirsiniz.

Ve hemen �u cevab� bulursunuz.

Omega 0�dan ba�ka her frekansta Z, R�den daha b�y�k olur.

Onu hemen burada g�r�yorsunuz.

B�ylece bu demektir ki, ortalama g�� daha d���k olur.

B�ylecesadece rezonansta m�mk�n olan en y�ksek g�c� �retirsiniz.

 

Tamam. Konumuza d�nelim ve sonra ne oldu�unu g�relim.

LRC devrelerini yapm��t�k. Oh, evet, �imdi ilerleyen ve duran dalgalara geliyoruz.

Bir sicim �zerinde ilerleyen bir dalgayla ba�layal�m.

Bunu yapmak her zaman �ok ho�tur; ��nk� elektromanyetik dalgalarla paralellik nerdeyse %100 �d�r.

Y y�n�nde titre�en bir sicimim var. Ve onun X y�n�nde yay�ld���n� s�yleyelim.

.

Bu ilerleyen dalgay� g�rd���mde, Y y�n�nde titre�en dalga X y�n�nde yay�l�r; derhal anlar�m ki o art� X y�n�nde gitmektedir, ��nk� burada bir eksi i�areti var, o bana art� X y�n�n� s�yler.

Dalgaboyuyla ilgili t�m bilgiyi K verir. K,2 pi b�l� lamdad�r.

Omega e�ittir 2 pi �arp� f;f hertz cinsinden frekanst�r.

O da e�ittir 2 pi b�l� b�y�k T. Burada b�y�k T, bir tam titre�imin periyodudur.

Tedirgeme X y�n�nde yay�l�r; yay�lma h�z�, omega b�l� K�ya e�ittir.���

Burada belirli bir anda bu sicimi �izersem, bu olur, bu da �d�r; ve o, bu h�zla bu y�nde yay�l�r; bu, lambda dalgaboyudur ve bu lambda, V �arp� T�ye e�it olur.

Bir nesne V h�z�yla yay�l�yorsa ve bir sal�n�m� gitmek i�in T saniye ge�meliyse; bu nesnenin lambda kadar bir mesafe katetti�i �ok a��kt�r.

Bu, 8.01 dersidir.

Tedirgemenin hareket h�z� olan bu yay�lma h�z�n�, sicimdeki atomlar�n, par�ac�klar�n ger�ek h�z�yla kar��t�rmay�n.

Sicim i�inde bir par�ac�k olup burada otursayd�n�z, asla bu do�rultuda hareket etmezdiniz. Bu, su dalgalar�yla ayn�d�r.

Bir su dalgas� gelirse, yapt���n�z �ey tam budur. A�a�� ve yukar� gidersiniz.

Hareketiniz yaln�zca Y do�rultusundad�r.

Buradan oraya gidersiniz; bu frekansla, bu omega a��sal frekans�yla ileri ve geri sal�n�rs�n�z.

Ger�ekten yukar� ve a�a�� hareket etti�iniz h�z ile ilgileniyorsan�z; ku�kusuz, enine h�z dedi�imiz bu h�z, dy b�l� dt�dir. Sicim �zerinde nereye oturmak isterseniz oray� se�ebilece�iniz belirli bir X konumu i�in, bu hareketi yapmak durumundas�n�z.

Ve san�r�m bir ev �devinizde bir problem vard�; orada sizden enine h�z�n ne oldu�unu istemi�tim.

B�ylece gene elektromanyetik dalgalara gidersek, orada �ok az �ey de�i�ir.

Evet; bir elektromanyetik dalga alal�m; bir d�zlem dalga, orada E vekt�r� Y do�rultusundad�r. B�ylece E, E0 �arp� Y y�n�nde bir birim vekt�r �arp� kosin�s (kx � omega t ) �dir.

Ku�kusuz, bu sin�s de olabilir. Hayatta kosin�s�n �zel bir yeri yoktur.

Ayn� sonuca var�r�m.

Dalga, art� X y�n�nde ilerliyor; yay�lma h�z�, omega b�l� k�ya e�ittir ve e�er �imdi varsayaca��m gibi, ortam bo�luksa, bu h�z C�dir; Maxwell denklemlerinde g�rd���m�z gibi, C, 1 / karek�k epsilon 0 m� 0�a e�ittir.

Bunun Maxwell denklemlerinden ortaya ��kmas� �a��rt�c�d�r.

�imdi size sorulsa, ki bunun size sorulmas� benim i�in �ok do�ald�r, ilgili manyetik alan nedir diye; �ey.., manyetik alan yay�lma y�n�ne diktir.

O, E�ye de diktir.

Ve bo�lukda, e�it b�l� C �dir.

Bir koordinat sistemi �izersem; bu X�tir, bu Y ve bu da Z. Koordinat sistemimin daima b�yle X �apka vekt�rel �arp�m Y �apka e�ittir Z �apka �eklinde se�ildi�ine dikkat edin. Buna sa�-el koordinat sistemi denir.���������������������������

Ba�ka bir sistem se�erseniz, aptals�n�zd�r. Kendinizi daima s�k�nt�ya sokars�n�z.

Her zaman koordinat sistemi olarak bunu se�ti�inizden emin olun.

Ve X vekt�rel �arp�m Y e�ittir tahtadan d��ar�ya ��kan Z�ye sahip oldu�uma dikkat edin.

Belli bir anda, diyelim ki E vekt�r� bu y�nde, Y y�n�nde; rastgele bir an al�r�m, X i�in rastgele bir konum al�r�m.

�imdi E �arp� B�nin yay�lma y�n�nde oldu�undan emin olmal�y�m.

B�ylece E �arp� B, bu durumda, X y�n�nde olmal�d�r.

��nk� o art� X y�n�nde gidiyor. Ve b�ylece problemim ��z�ld�.

Biliyorum ki, B ancak bu y�ndeyse, bu olabilir. Bu anda, bu konumda.

�htiyac�m olan her �ey budur.

Bu elektrik alan�yla ilgili B vekt�r�n�, b�l� C -- ki bu, manyetik alan�n sahip olabilece�i en b�y�k de�erdir -- �arp� ayn� kosin�s ( kx � omega t ) olarak yazabilirim.

Ve �imdi burada Z �apka�ya sahip olmal�y�m ve �imdi i�ler yoluna girdi.

B�ylece �imdi E vekt�r�ne e�lik eden bir B vekt�r�m var.

 

S�k s�k enerjiyle ilgileniriz: Bir d�zlem dalgada, birim zamanda ve birim alanda ne kadar enerji olur?

Bu, S Poynting vekt�r� taraf�ndan verilir. S Poynting vekt�r�, E vekt�rel �arp�m B b�l� m� 0 �a e�ittir.

Biz h�l� bo�luktay�z. Ortam�n h�l� tam bo�luk oldu�unu varsay�yorum; b�ylece bu watt b�l� metre karedir.

Elbette, genelde Poynting vekt�r�n�n anl�k de�eriyle ilgilenmiyoruz. Buna kim ald�r�r ki; o deli gibi titre�ir; ben daha �ok zaman ortalamal� de�eriyle ilgileniyorum.����

Ve zaman ortalamal� de�er i�in; bu, kosin�s omega T�ye sahip,bu da kosin�s omega T�ye sahip, b�ylece �arp�mlar� olan kosin�s kare omega T �nin ortalamas� � olur.

Bir var. Bir var. Ve paydada da bir var.

Ve �imdi �dan kurtulmak isterseniz; ��nk� her �eyi cinsinden elde etmek istersiniz;yerine, b�l� C yazabilirsiniz.

Ve bu da g�zel olur. kare b�l� C.

Ve b�ylece art�k Poynting vekt�r�n�n zaman ortalamal� de�erine sahibiz.

 

Bo�luktan maddesel ortama ge�ti�inizde, maddesel ortam, K dielektrik sabitine ve KM manyetik ge�irgenli�ine sahiptir.

Bu, sadece ferromanyetizma ile ilgilenirsek �nemlidir; ��nk� paramanyetizma ve diyamanyetizmada KM , pratik olarak, t�m pratik ama�lar i�in daima 1�dir.

Fakat kappa bir hayli de�i�ir. �e�itli maddelerden.������������������������������������������������

�imdi t�m yapman�z gereken �u; Maxwell denklemlerine gidersiniz, onlar bo�luk i�in verilmi�lerse, o zaman epsilon 0 yerine, kappa epsilon 0 koymak gerekir.

Orada bu zaten yap�lm��.

Ve m� 0�� kappa M �arp� m� 0 ile yer de�i�tirmelisiniz.

Dolay�s�yla, C�yi V ile de�i�tirmelisiniz; ��nk� madde i�indeki h�z, elektromanyetik ���n�m�nkinden farkl�d�r.

Onun nas�l de�i�ti�inihemen g�r�rs�n�z; ��nk� epsilon 0 ve m� 0, epsilon 0 Kappa ve m� 0 kappa M ile yer de�i�tirmelidir. B�ylece burada h�z�n, re�eteyi izleyerek, epsilon 0 m� 0 kappa, kappa M oldu�unu g�r�rs�n�z.���

Ve b�ylece , �imdi b�l� V olur ve art�k C ile b�l�nmez.

B�ylece bu ,b�l� V olur.

Kappa, frekans�n �ok g��l� bir fonksiyonu olabilir.

Kappa M de �yle. Fakat, ku�kusuz, kappa M sadece ferromanyetik maddeler i�in �nemlidir.

Daha �nce kappa i�in size bir �rnek g�stermi�tim, suyun kappas�, dielektrik sabiti, d���k frekanslarda 80�di, hatta 100 megahertzdi.

Radyo frekanslar�nda, o h�l� 80�di.

Fakat 10 �zeri 14 hertzlik frekanslara sahip olan g�r�n�r ���kta kappan�n de�eri �ok daha d���kt�r; 1,77�dir.

B�ylece kappa frekans�n g��l� bir fonksiyonudur.

C b�l� V �eklinde k�r�lma indisini tan�mlar�z.

V�nin kendisi frekans�n g��l� bir fonksiyonu oldu�u i�in, k�r�lma indisi de frekans�n g��l� bir fonksiyonu olabilir.

O, kabaca su i�in1,3�t�r.

Fakat bu de�er, k�rm�z� ���k i�in mavi ���ktan biraz farkl�d�r.�yle olmasayd�, g�kku�a��n� g�remezdik.

Tamam.

 

�imdi duran dalgalardan bahsedelim. Yine sicim ile ba�layal�m.

Bu L uzunlu�unda bir sicimdir ve bu sicim �zerinde duran bir dalga olu�tururum.

Duran dalgalar, ancak �ok �zel dalgaboylar� i�in �ok ayr� frekanslarda olu�turulabilir.

O bir rezonans olay�d�r.

Bunun meydana geldi�i en d���k frekansta, sicim bu tarzda titre�ecektir.

Sicim bunu yapacakt�r.

Buna temel frekans ad� verilir. Birinci harmonik de denir.���������������������

Sonra, rezonans yapabilecek bir sonraki frekans olan ikinci bir harmonik vard�r; o ekstra bir d���m ekler, zaten burada bir d���m ve orada bir d���m vard�. �imdi sistem b�yle titre�ecektir.

F��t, f��t, f��t, f��t. B�ylece bu ikinci harmoniktir.

Ve sonra ���nc� harmoni�e gidebilirim ve b�ylece sonsuza kadar devam edebilirim; tam da de�il, ama biraz devam edebilirim;bu �imdi ���nc� harmonik olacakt�r.

Rezonans frekans� olan frekanslar ile verilir; n tam bir say�d�r: Ya 1, ya 2, ya 3 ya da 4 vs... demektir; 1 temel frekans olur, 2 ikinci harmonik ve saire. Bu frekans, n �arp� V b�l� 2L olarak verilir; V burada tedirgemenin sicim y�n� boyunca yay�lmas�n�n h�z�d�r.

L bu durumda uzunluktur.

Ve bu �zel harmonikle ilgili lambda dalgaboyu, 2L b�l� n�ye e�it olur.

E�er n = 1 koyarsan�z, dalgaboyunun, ger�ekten uzunlu�un iki kat� oldu�unu g�r�rs�n�z;n = 2 al�rsan�z, dalgaboyu tam L �ye e�it olur.

B�ylece, duran bir dalga i�in temel durumu g�steren bir denklem yazal�m.

1 temeli belirtmek �zere, e�ittir �arp� kosin�s omega 1 �arp� t �arp� sin�s x.

Bu ilerleyen bir dalgadan �ok farkl�d�r.

Burada t�m zaman bilgileri, uzaysal bilgiden ayr��t�r�lm��t�r.

�nceden oldu�u gibi, yine �buraya daha g�zel bir yazay�m� 2 pi b�l� lambda�ya e�ittir.

Ve omega 1, 2 pi �arp��e e�ittir.

Burada �ok �zel olan �ey, sin�sleri 0 olan noktalar�n, yani X de�erlerinin var olmas�d�r.

Temel durumunda, x e�it 0 koyarsan�z, sin�s� daima 0 bulursunuz.

Fakat X e�it L koyarsan�z, o da 0�d�r; bunu kontrol edebilirsiniz.

�imdi ikinci harmoni�e giderseniz, orada da sin�s� 0 bulacaks�n�z.

Ve b�ylece asla hareket etmeyen noktalar vard�r; bunlara d���mler diyoruz.

Bu bir duran dalga i�in �ok karakteristiktir.

�kinci harmoni�e gidebilirim ve yapmam gereken b�t�n �ey, buraya bir 2,buraya bir 2, buraya bir 2 ve buraya bir 2 koymakt�r.

Kendi k���k genli�ine sahip olur; o da bu olabilir.

O kendi frekans�na sahip olabilir.����������������� ���������������������

Fakat bu omega 2 frekans� tart���lmaz. O,omega 1�in 2 kat� olmal�d�r.

E�er ���nc� harmoni�e gidersem, omega 3 de, omega 1�in 3 kat� olacakt�r.

Fakat o kendi dalgaboyuna sahiptir; �yi 2 pi b�l� lamda 2 olarak bulacaks�n�z; lamdalar �u ba��nt�yla verilir.

 

�imdi bunlar� �z�mseyebilmeniz i�in, birka� dakika dinlenmenizi istiyorum, sonra elektromanyetik duran dalgalara ge�ece�iz.

Sizden �unu gene g�rmenizi istiyorum. Onu daha �nce g�rm��t�n�z; fakat sizin hen�z g�rmedi�iniz bir y�nden onu g�rmenizi istiyorum.

Burada titre�tirece�im bir kau�uk hortumumuz var; onu bu �ekilde titre�tirece�iz, en az�ndan hedefimiz budur. ���nc� harmoni�i elde etmek ve tam olarak rezonansa varmak o kadar da kolay de�ildir. Fakat bunu deneyece�iz;Marcos onu sizin i�in �ok g�zel yapmaya karar verdi: Oraya siyah bir ekran koyacak; ��nk� rezonansa gelince, hortuma stroskobik bir ���k tutaca��m, b�ylece hareketi etkin bir �ekilde izleyebileceksiniz.

G�zleriniz neyin yukar� ��k�yor, neyin a�a�� iniyor oldu�unu g�remez.

O �ok h�zl� gidip gelir.

Fakat onu bir-a��l�p-bir-kapanan yinelenen ���kla ayd�nlatarak yava�latabiliriz, asl�nda onu durma haline getiririz.

Amac�m�z bu; b�ylece bunu g�rebileceksiniz.

Stroskobik ����� a�ay�m, bu siyah fonun yard�m� olacak; Stroskobun frekans�, titre�en hortumun frekans�yla tam ayn�d�r; b�ylece bu ger�ekten yava� hareketi g�rmenizi sa�lar.

Merkezi k�s�m a�a��dayken, sa� ve sol k�s�mlar�n yukar�da oldu�u ve tersi konusunda kimse bana kar�� ��km�yor, de�il mi?

B�ylece, �imdi bu duran dalgan�n �zelliklerini ger�ekten g�rebilirsiniz.

Dikkat ederseniz, bu durumda d�rt d���m g�r�yorsunuz.

Birer tane u�larda ve iki d���m de ortada g�r�yorsunuz.

Bu sin�s e�risinin daima 0 oldu�u yerlerdir bunlar.

Biraz daha farkl� bir frekansta ba�ka bir stroboskop ����� ekleyebilirim.

Tsai ad�nda bir sanat��yla birka� y�l i�birli�i yapm��t�m. O, burada, MIT�te, �leri G�rsel �al��malar Merkezinde (the Center for Advanced Visual Studies) �al��m��t�; asl�nda nesneleri rezonans frekans�nda titre�tirerek sanat yap�yordu; ipleri, yaylar� titre�tiriyordu. Ve benim �imdi yapt���m gibi, onlar� stroboskobik ���kla ayd�nlat�yordu; asl�nda ben bunu ondan ��rendim.

�ok g�zel, ayn� zamanda �ok ��reticidir de. Neler oluyor, asl�nda onu g�rebiliyorsunuz.

Ye�ile b�r�nm�� olarak g�rd���n�z sicimi, farkl� bir anda k�rm�z�ya b�r�nm�� g�r�rs�n�z. Ve s�yledi�im gibi, ben stroskobun frekans�n� bilerek biraz farkl� yapt�m.

Te�ekk�rler, Marcos.

 

Belki hat�rlars�n�z, havada kendi ba��na duran bir dalga da olu�turabilirsiniz.

�flemeli �alg�lar, rezonansa giren hava s�tunlar�ndan ba�ka �ey de�illerdir.

Burada her iki taraf� da a��k bir �flemeli aletim olsun; bu aletimin uzunlu�u, �retebilece�im frekanslar, bu denklemle verilmektedir.

Telli ve �flemeli �alg�lar aras�ndaki tek temel fark, tellerle iste�e ba�l� olarak V�yi de�i�tirebilmenizdir. Yay�lma h�z�n�n farkl� oldu�u farkl� maddeler se�ebilirsiniz ve ayr�ca gerilimi de de�i�tirebilirsiniz.

Gerilimi art�r�rsan�z, bu V artar.

B�ylece kemana d�rt farkl� tel gerebilirsiniz; onlar da size d�rt farkl� temel frekans verirler.

�flemeli bir �alg�da V�yi kontrol edemezsiniz, ��nk� V sesin h�z�d�r.

Ve b�ylece oda s�cakl���nda havan�n V h�z�, 340 metre b�l� saniyedir.

Bu tart��mas�z b�yledir.

Ve b�ylece �flemeli �alg�da, duyaca��n�z frekanslar� kolayca tahmin edebilirsiniz.

Burada, her iki ucu da a��k bir borum var. O,1,5 metre uzunlu�unda.

Bu denklemi uygularsam, temel frekans�n 113 hertz olaca��n� bulurum.

Belki hat�rlars�n�z; rezonanslar�n bazen onlar� hi� beklemedi�imiz anda ortaya ��kabildi�ini s�ylemi�tim size.

S�rf hava �flerken, rezonanslar elde edebilirsiniz.

�flemeli bir �alg� al�r da ona hava �flemeye ba�larsan�z, rezonanslar� uyar�rs�n�z.

Tacoma K�pr�s��n� hat�rlay�n. R�zg�r vard� ve k�pr� rezonansa gelmi�ti.

�ok y�k�c� bir olayd�.

Evet; burada da hi� ummad���n�z bir anda, rezonansa gidebilecek bir sistemimiz var.

Burada bak�r telden bir �zgara var.

Ve bu �zgaray� �s�taca��m. Izgaray� �s�t�nca, oradan ge�en bir hava ak�m� elde ederim. Bu, t�m�yle kendi ba��na onu rezonansa getiremeyecek.

Fakat �s� kayna��n� uzakla�t�rd���mda ve bu �zgara so�umaya ba�lad���nda, o rezonansa gelir.

B�ylece onu �imdi �s�taca��m. Biraz zaman alacak.�������������������������������������������������������������

�ok uzun s�re �s�t�rsam, bak�r �zgara eriyecektir.

Y�llar �nce bunu �ok k�sa bir yakma� ile yaparken, eriyen bak�r ellerime gelmi�ti;inan�n bana hi� e�lenceli de�ildi.

Yeterince uzun s�re �s�tmazsam, rezonansa eri�emem. B�ylece basit bir tahmin yapay�m.

113 hertz.

 

Pek�l�. Duran elektromanyetik dalgalar.

Duran elektromanyetik dalgalara gitti�imizde, burada merkez tahtada kalay�m.

Durum, neredeyse sicim �zerindeki duran dalgalarla e�de�erdir

Yine d���mlerimiz var. Elektrik alan�n�n daima 0 oldu�u yerler var.

Ama ilerleyen dalgadan �ok �ok farkl�.���

Sizi 9-4 problemine y�nelteyim; orada t�pk� sicimde sahip oldu�umuz gibi duran bir elektromanyetik dalga g�receksiniz. O tam olarak bu �ekle sahiptir.

Zaman b�lgesi, uzay b�lgesinden ayr�lm��t�r.

Duran bir elektromanyetik dalgada sahip oldu�unuz tek zorluk, ilgili manyetik alan� bulman�n �yle kolay olmamas�d�r.

Bunu tekrar g�zden ge�irmek isterseniz, sizi 9-4 problemine y�nlendiririm.��

Kutuplanma.

Tekrar konulara bakmak istiyorum. Listede nerede oldu�umuzu g�relim.

San�r�m, biraz da kutuplanmadan s�z etme zaman� geldi.

Evet, �yle. Kutuplanma.

Tahtadan tam size do�ru gelen elektromanyetik dalgalar� ele alal�m.

Buna Y y�n� diyorum ve buna Z; pardon X y�n� diyorum.

Ve Z size do�rudur.

X �apraz� Y�nin daima, benim durumumda, sa�-el koordinat sisteminde Z oldu�una dikkat edin.

B�ylece, tahtadan bize do�ru gelen bir d�zlem dalgan�n elektrik alan vekt�r�n�n b�yle titre�ti�ini var sayal�m.���

F��t, f��t, f��t, f��t. Omega a��sal frekans�yla.

Bu d�z bir �izgiyse,bunu �izgisel kutuplu ���n�m olarak adland�r�r�z.

75 megahertzlik bir vericiyle yapt���m�z bir radyo yay�n� olabilir.

G�r�n�r ���k da olabilir.

E vekt�r� d�z bir �izgi boyunca kald��� m�ddet�e, biz bunu �izgisel kutuplu elektromanyetik ���n�m diye isimlendiririz.

Elektromanyetik ���n�m, radyo dalgalar� dahil, g�r�n�r ���k dahil, dairesel kutuplu olabilir.

Bu durumda elektrik vekt�r� burada g�rd���n�z gibi titre�mez; fakat her zaman ayn� �iddete sahiptir ve ucu, ya bu y�nde ya da bu y�nde, bir �ember �zerinde d�nmektedir. Asl�nda bunu olu�turmak �ok kolayd�r.

Bunu burada derslerimde yapabilirdim, ama hi� yapmad�m.

Y y�n�nde bir antenimiz oldu�unu var sayal�m ve bir tane de X y�n�nde olsun; ayn� 75 megahertzlik vericimizin bu do�rultuda bak�r bir �ubuk olu�u gibi.

Ve her biri tam olarak ayn� de�eriyle, tam olarak ayn� frekansla, fakat 90 derecelik faz fark�yla yay�n yaps�nlar.. Bunu ayarlamak pek zor de�ildir.

Bu durumda, �a e�it, bir elde ederim.

Z i�in bir de�er se�ersem � Z e�it 0 alay�m, bu �izginin neresinde oldu�um kimin umurunda -- b�ylece KZ terimi olmaz, basit�e burada bir kosin�s omega t �ye sahip oluruz.

B�ylece bu, elektrik vekt�r�n�n X y�n�ndeki bile�enidir.

Ve di�er E, Y y�n�nde olsun � ayn� genli�e, fakat 90 derecelik faz fark�na sahip olmal�d�r; b�ylece 90 derecelik faz fark�yla, �rne�in sin�s omega t olur.

Omegalar ayn� olmal�. Dairesel kutuplu ���n�m elde etmek i�in.

B�ylece, Z ekseni �zerinde burada duran birisinin hissedece�i net elektrik alan vekt�r�,X y�n�nde + Y y�n�nde ��olacakt�r.

Ve b�ylece bu vekt�r�n b�y�kl���, karek�k i�inde kare art� kare olup, o da �a e�ittir.

��nk� sin�s kare omega t art� kosin�s kare omega t , 1�e e�ittir.������

Ve b�ylece karek�k alt�nda kare �arp� 1elde edersiniz;bu da olur.

Dolay�s�yla, genli�in daima oldu�unu g�r�rs�n�z.

Burada g�z�n�z�n �n�nde E vekt�r�n�n d�nd���n� g�r�rs�n�z; Y�de maksimum oldu�unda, X�de s�f�r olur ve X�de maksimumken, Y�de s�f�rd�r; dolay�s�yla bu d�n��� elde edersiniz, ve bu y�nde ya da �u y�nde.

D�n�� y�n�, faz gecikmesinin nas�l d�zenlendi�ine ba�l�d�r.

�rne�in, basit�e buraya bir 2 koyarak, siz bunu eliptik kutuplu ���n�ma �evirebilirsiniz

Oraya bir 2 koyarsan�z -- veya X y�n�nde bir 2 koyay�m -- ��nk� tahtada X y�n�nde daha �ok yerim var. B�ylece buraya bir 2 koyarsam, bu, X y�n�nde Y y�n�nde gidebilece�imden iki kat� daha uza�a gidebilirim demektir ve b�ylece �imdi E vekt�r� bunun gibi olacakt�r.

G�r�yorsunuz ki, bu �imdi bunun iki kat�d�r ve dolay�s�yla �imdi eliptik kutuplu bir ���n�ma sahibim.

Tamam, �imdiye kadar kutuplanma ile ilgilendik. �imdi de Snell Yasas� hakk�nda konu�al�m.

Snell Yasas�, Maxwell�den 250 y�l kadar �nce ke�fedilmi�ti.

Ku�kusuz, onu art�k Maxwell denklemlerinden ��karabilirsiniz; gene de o, olduk�a �a��rt�c� bir ba�ar�d�r. O, 250 y�l �nce �u Hollandal� taraf�ndan t�retilmi�ti.

Snell Yasas�n�n bize s�yledi�i �udur: k�r�lma indisli 1. ortamdan, k�r�lma indisli 2. ortama ge�en bir ���k olsun;bu gelen a�� teta 1�dir, bu y�zeyin normalidir. Biraz yans�ma olur, bu a�� da teta 1�dir ve sonra bu �����n bir k�sm� bu ortama ge�ecektir ve bu a�� o zaman teta 2 olacakt�r.���������������������������

Ve Snell Yasas�, sin�s teta 1 b�l� sin�s teta 2�nin b�l� �ye e�it oldu�unu s�yler.

Gidece�iniz ortam daima yukar�dad�r; oh, hay�r b�yle de�il, tam tersi.

Ah, bunu yakalamam iyi oldu; bub�l� �dir. B�ylece gidece�iniz ortam yukar�dad�r ve geldi�iniz ortam a�a��dad�r.

B�ylece , �den b�y�k ise, teta 2 a��s�n�n daima teta 1 a��s�ndan daha k���k olaca�� apa��kt�r.

�imdi havadan cama gitti�inizi var sayal�m, fakat yine her nas�lsa havaya ��kars�n�z.

B�ylece tam burada, bu �imdi sizin gelme a��n�zd�r, ben onudiye isimlendirdim.��n teta 2 oldu�u a��kt�r.

Ve burada gene ortamdan havaya geliyorsunuz ve bu a��ya r diyorum. �imdi size bir soru soraca��m, �u r a��s� nedir? Baz�lar�n�z b�y�k bir sezgiye sahip olabilir ve hemen �oh, onun teta 1 a��s�yla ayn� olaca�� a��kt�r.� der. Ve bu ger�ekten do�rudur.

Bunu kolayca g�rebilirsiniz; ��nk� A noktas�ndan ge�i�te, sin�s teta 1 b�l� sin�s teta 2 � b�ylece �u A noktas�ndad�r -- b�l� olacakt�r. Ve �imdi buraya B noktas�na geliriz, b�ylece B noktas�nda bu gelen a��s�n�n sin�s� b�l� sin�s r elde ederiz;burada �n�n teta 2 oldu�unu biliyoruz, bu a��kt�r. �imdi bu, gidece�imiz yer, yani hava b�l� bulundu�umuz yer, yani camd�r; b�ylece bu, n hava b�l� n cam�d�r.

Ve zaten �n�n teta 2 oldu�unda anla�m��t�k.

B�ylece bu iki denklemi �arpar�m, sa� tarafta tam olarak 1 elde ederim.

I����n renginden ba��ms�zd�r.

Mavi ���k k�rm�z� ���ktan farkl� k�r�lma indisine sahip olsa da, bu �nemli de�ildir; ��nk� burada, orada sahip oldu�umla ayn�s�na sahibim.

Ve b�ylece sa� tarafta tam 1 elde edersiniz; b�ylece sol tarafta da tam olarak 1 elde etmelisiniz. Sonu� olarak, teta 1, r olmal�d�r. �yleyse bu a�� burada bu tetayla ayn�d�r; ki bu belki de pek �a��rt�c� de�ildir.

��nk� bu iki d�zlem birbirine paraleldir.

D�zlemler paralel olmasayd�, -- ki problemlerinizin birinde bu durum s�z konusuydu; orada bir prizmaya sahiptiniz --o zaman burada renklerin ayr�lmas�n� elde ederdiniz; k�rm�z� ve mavi farkl� do�rultularda ��kard�.

Bu durumda ise, k�rm�z�, mavi, ye�il ve sar�n�n hepsi ayn� do�rultuda d��ar� ��karlar; b�ylece paralel d�zlemli camdan bakt���n�zda beyaz ���k g�r�rs�n�z.

 

Tam yans�maya geldi�inizde, zaman�n�z olursa, 9-8 problemine bakman�z� �neririm.

S�navda size be� problem verilecek.

Onlardan iki tanesi tek soruludur. �ki tanesi iki sorulu.

Ve birisi ise, d�rt tane do�ru-yanl�� sorusuna sahip.

Her bir do�ru cevap i�in d�rt puan alacaks�n�z.

Her bir yanl�� cevap i�in d�rt puan ��karmak zorunday�m. Cevap vermek zorunda de�ilsiniz.

Cevap vermezseniz; puan alamazs�n�z, ama puan da kaybetmezsiniz.

�imdi d�rt puan�n�z� ��kard���m i�in benden nefret etmeden �nce, bir dakika �unu d���n�n.

E�er be�-ya� �ocuklar�ndan olu�an bir s�n�fa do�ru-yanl�� sorular� verirseniz, onlar ortalama yar�s�n� do�ru yar�s�n� yanl�� cevaplayacaklard�r.

Yine de onlar 0 hak ederler.

B�ylece a��k�a tek mant�kl� �ey, yanl�� bir cevap i�in puan ��karmakt�r.

Fakat cevaplamak zorunda de�ilsiniz.

B�ylece d�rt sorudan ikisini bildi�inizden eminseniz, di�er iki soruyu cevaplamamay� d���nebilirsiniz. Bu sizin se�iminiz.

Size bir �rnek verece�im.

�Benham diski birka� renkten olu�ur.

Onu h�zl� �evirdi�inizde, beyaz ���k g�r�rs�n�z.� Bu yanl��t�r.

Bu yanl��t�r; ��nk� Benham diski bir ka� renge sahip de�ildir ve onu �evirdi�imizde beyaz ���k g�rmeyiz.

Ba�ka bir �rnek verece�im.

�Kuyruklu y�ld�z�n iki kuyru�undan birisi ���n�m bas�nc� nedeniyledir, di�erine ise, g�ne� r�zg�rlar� neden olur.� Bu do�rudur. Bunu derslerde tart��m��t�k.

Bir ka� babaca ���tle sonland�ray�m.

Her soruyu en az iki kez okuyun; �nce en iyi bildi�iniz sorular� yan�tlay�n.

Size uyanlar en iyisidir.

Bir problem �zerinde 10 dakikadan fazla zaman harcamay�n.

Hemen di�erine ge�in.

Yar�n ak�am Ali Nayeri ile �� saatlik ba�ka bir tekrar var.

Buna kat�lmak isteyebilirsiniz.

Ve Pazar biz de size �zel ��reticilik yapaca��z.

Web�e bak�n. ��nk� zaman� geldi�inde, onu g�ncelleyece�iz.

Gelecek derste g�r���r�z.

�yi hafta sonlar� dilerim.