Yeni bir kavramdan, momentumdan bahsedeceğiz.
Momentum kavramını birçok defa işitmişizdir. Fizikte, momentum vektördür. Ve parçacığın kütlesi ile hızının çarpımıdır. Ve birimi de kilogram çarpı metre bölü saniyedir.
F eşit ma.
Bu eşit m dv/dt ve bu da eşit d(mv)/dt ve bu da eşit dp/dt yazılabilir.
Buradan kuvvetin dp/dt ye eşit olduğunu görmektesiniz. Ve bu, eğer bir parçacığın momentumunda herhangi bir değişim olursa, bu onu bir kuvvetin etkilediği anlamına gelir.
Bir başka deyişle, eğer bir parçacık üzerine bir kuvvet etki ederse, bu onun momentumunu değiştirecektir.
Şimdi birbirleriyle etkileşim içinde olan, çok sayıda parçacıktan oluşmuş bir durumu göz önüne alalım. Ve bu etkileşim çekim etkileşimi, elektriksel etkileşim şeklinde olabilir. Fakat her halükarda bu parçacıklar birbirleri ile etkileşmektedirler.
Bunlardan çok sayıda parçacık olsun.
Bu tam bir yıldız kümesi olabilir.
Burada onlardan birini mi ve diğerini ise mj olarak seçiyorum.
Ve onların üzerine etki eden dış bir kuvvet söz konusu olsun. Çünkü onlar dış dünyadan kuvvetlere maruz kalmaktadırlar. Ve bundan dolayı bu Fi dış kuvveti ve bu ise Fj dış kuvvetidir.
Fakat onlar birbirleri ile çekme yada itme şeklinde etkileşmektedirler. Bu nedenle, bu dış kuvvetlere ek olarak i’ninci cismin varlığından dolayı j’ninci cismin hissettiği bir kuvvet daha vardır.
Ve bunların birbirlerini çektiklerini varsayalım.
Bu kuvvet i’ninci cisimden dolayı j’ninci cisme etki eden kuvvettir.
Newton’ un üçüncü kanununa göre, etki tepkiye eşittir. Bu Fij kuvveti Fji kuvveti ile yönleri haricinde tamamen eşittir.
Bunları iç kuvvet olarak adlandırırız.
Bu parçacıklar arasındaki etkileşmedir.
Eğer sadece bu iki kuvvet varsa, bu durumda i’ninci cisim üzerine etki eden net kuvvet, bu yönde bir kuvvet olacaktır.
Bu F net kuvvetidir.
Şimdi aynı şeyi burada da yapabiliriz.
Bu j ninci cisim üzerine etki eden net kuvvet olacaktır. Bu, i’ninci parçacığa etki eden net kuvvettir.
Fakat burada çok sayıda parçacık olduğu için, bu etkileşme kuvvetinden çok sayıda olacaktır. Ve bu yüzden sizlere net kuvvetin ne olabileceğini söyleyemem.
Ve kesinlikle net kuvvet, tüm iç ve dış kuvvetin toplamına eşit olacaktır.
Bu çok sayıda parçacıkların toplam momentumu nedir? Bu tek tek momentumların toplamına eşittir.
Yani bu p1 artı p2 artı ….artı pi
Ve bu momentumların hepsini toplamanız gereklidir.
Bunun türevini alıyorum.
dPtoplam/dt
Bu dp1/dt olur; Bu bir nolu cisim üzerine etki eden kuvvettir.
Bir nolu cisim üzerine etki eden toplam kuvvettir.
Yani bu F1 dir. Fakat bu F1değeri bir nolu cisim üzerine etki eden net kuvvettir.
Ve bu parçacık için F yani dp/dt F2 ‘ye etki eden net kuvvete eşittir. Ve i ninci parçacığa etki eden kuvvet Fi dir.
Açıkçası buradaki tüm kuvvetleri topladığımız zaman, bu tüm sistem üzerindeki toplam kuvvettir.
Şimdi mucizeye gelelim.
Bu mucize tüm iç kuvvetlerin birbirinin yok etmesidir.
Eğer sisteme bir bütün olarak bakarsanız, bu ji kuvveti bunu yok edecektir.
Yani bir tek bireysel parçacığa bakmayıp sisteme bir bütün olarak bakarsanız, bu iç kuvvetlerin tümü birbirini yok eder.
Böylece sistem üzerindeki toplam kuvvet, basitçe toplam dış kuvvetlere eşittir.
Ve tüm iç kuvvetleri ihmal edebilirsiniz.
Ve bu durumda biz bir sonuca varmış olduk. Bu sonuç, bize şunu ifade eder.
Aslında onu şuraya yazmıştım.
Bu son derece önemli ve tüm ders boyunca buna dikkat etmenizi istiyorum.
Buraya bakın
dP/dt nin dış kuvvetlere eşit olduğunu görmektesiniz.
İç kuvvetleri ihmal edebilirsiniz.
Ve bu ne manaya gelir.
Bu eğer bütün sistem üzerine etki eden toplam dış kuvvet sıfır ise bu durumda momentumun değişmeyeceğini ifade eder.
Momentum korunmuştur ve bu momentumun korunumu olarak adlandırılır.
Sadece dış kuvvetlerin toplamı sıfır olduğu sürece geçerlidir.
Globular cluster yani küresel küme gibi yüzlerce yıldızdan oluşan bir sistemimiz olabilir. Bunlar birbiri ile çarpışabilir, patlayabilir ya da birbirinden ayrılabilirler.
Bu kuvvetlerin tümü iç kuvvetlerdir ve göz önüne alınmazlar.
Eğer sistem üzerine etki eden dış kuvvet yok ise, yani toplam net dış kuvvet sıfır ise, kümenin bütün olarak momentumu değişmeyecektir.
Böylece yıldızların her biri momentumlarını daima değiştirecektir. Çünkü her yıldız, her parçacık kesinlikle bir dış kuvvete maruz kalacaklardır.
Bireysel parçacıkların sürekli olarak momentum değişimine maruz kaldıklarını söylemiyorum.
Sadece tüm sistem için momentum korunmuştur.
Sizin konuya daha iyi hâkim olabilmeniz için, sayısal değerleri kullanarak basit bir örnek yapabiliriz.
Burada m1 kütlesine sahip bir cismim ve burada da m2 kütlesine sahip diğer bir kütlem olsun. Bunun hızı v1 ve bunun hızı ise v2 olsun.
Bu bir boyutlu problem. Sadece olaya ısınma problemi.
Birbiri ile çarpışıyorlar ve birbirine yapışmaktadırlar.
Birinin üzerine biraz yapışkan sürüyorum ve birbirine yapışıyorlar.
Bunlar verilmiştir. Ve bunları kabul etmeniz gerekir.
Bu artan x yönünde olsun ve bundan dolayı çarpışmadan önce, belirli bir miktarda momentum vardır.
Bunu sürtünmesiz bir yatay masa üzerinde yapabilirim.
Bunu hava sürtünmesini ihmal edebileceğim az sürtünmeye sahip olan buz yüzeyinde yapabilirim.
Bu çarpışmadan önceki durumdur ve çarpışmadan önceki momentum m1v1
Bu benim artı yönümdür.
Buraya bir vektör işareti koyabilirim. Fakat bu gerekli değildir. Çünkü bu bir boyutlu bir problemdir.
Artı m2v2 şeklindedir.
Bu çarpışmadan önceki momentumdur.
Şimdi bunlar birbirine yapışmaktadırlar ve bunlar birbirine yapıştığı zaman toplam kütle m1 artı m2 olacaktır.
Ve bu durumda hızları v üssü olacaktır.
Genelde çarpışma sonrasındaki durumlar için üssü terimini kullanırız.
Ve şimdi ilk olarak momentumun korunumunu uygulayabilirim.
Sistem üzerine etki eden dış kuvvetler olmadığı için, çarpışmadan önceki momentum ile çarpışmadan sonraki momentum aynı olmalıdır.
Onlar çarpıştığı zaman, daima iç kuvvetler olduğuna inansanız iyi edersiniz.
Üzerinde bir yapışkan olduğuna ve bunların birbirine küt diye ses çıkararak yapıştığına ve her ikisinin de bu iç kuvveti hissettiğine inansanız iyi olur.
Her birinin momentumu değişiyor. Fakat bütün sistemin momentumu değişmiyor ve bu (m1 + m2) çarpı v üssü ne eşittir.
Ve böylece bazı değerler verebiliriz.
m1 eşit 1 kilogram ve v1 eşit 5 metre bölü saniye olsun. m2, 2 kilogram ve v2 3 metre bölü saniye olsun.
Ve her ikisinin de aynı yönde olduğunu görmektesiniz. Böylece momentum 5 artı 6, 11 şeklinde olur. Böylece burası 11 eder.
Ve burası 1 artı 2 olduğundan 3 eder. Ve böylece burası 3 çarpı v1 üssü eder. Buradan v1 üssü 11/3 metre bölü saniye olur.
Böylece momentumun korunumu, çarpışmadan sonraki hızın ne olacağını sizlere söyler.
Çarpışmaları ele aldığımız zaman, cisimlerin çarpışmadan önceki hızları üssü şeklinde değildir.
Burada v1, ve burada v2 yi görmektesiniz.
Çarpışmadan sonraki hız ise, geleneğe göre, üssü şeklinde yazılır.
Burada v üssünü görmektesiniz.
Şimdi eğer cisimler çarpışmadan sonra, farklı hızlara sahip iseler, bu durumda bu hızları v1 üssü ve v2 üssü olarak göstereceğiz.
Şimdi bu durumda, esnek olmayan çarpışmayı ele aldığımızdan dolayı, m1 ve m2 birbirine yapışmaktadırlar.
Onlar birbirlerine yapıştıkları için, sadece v üssü şeklinde göstermek yeterlidir.
Bunu v1 üssü olarak ta seçebilirsiniz. Çünkü v1 üssü, v2 üssü ile aynıdır. Ve bu da v üssü ile aynıdır.
Gelecek dört dakika boyunca birkaç defa bunu v1 üssü olarak adlandırdığımı göreceksiniz.
Keşke bu şekilde adlandırmasaydım.
Sadece v üssü olarak kullanmış olsaydım daha iyi olacaktı.
Şimdi çarpışmadan önce belli bir miktar kinetik enerji vardı, tabii ki çarpışmadan önceki tüm kinetik enerjiyi hesaplayabiliriz.
Bu, 1 bölü 2 m1 çarpı v1 kare artı 1 bölü 2 m2 çarpı v2 kare şeklindedir.
1 bölü 2 m1 çarpı v1 kare, 1 bölü 2 m2 çarpı v2 kare
Bu ne kadardır? Benim yaptığım gibi sizlerde yapabilirsiniz.
Eğer bunu eklerseniz, 21.5 joule olarak bulursunuz.
Değerlere bağlı kalmak önemsizdir.
Şimdi sizlerden çarpışmadan sonraki kinetik enerji hakkında ne düşündüğünüzü işitmek istiyorum.
Değerlere bakmayınız.
Sadece sezginizi kullanınız.
Yanlış olabilir.
Bu normaldir. Benim sezgilerim sık sık beni yanıltır.
Bu nedenle, belli bir miktarda kinetik enerji vardır.
Çarpışma meydana geldi ve kinetik enerjinin artığı veya azaldığı veya belki de kinetik enerjinin değişmediği hakkında düşündüklerinizi bana söylemenizi istiyorum.
Kimler kinetik enerjinin değişmemiş olduğunu düşünüyor? İyi.
Bazı ebeveynleri bile görüyorum.
Kimler kinetik enerjinin azalmış olduğunu düşünüyor? Bu daha da iyi.
Orada bir fizik profesörü var.
Yanlış yapamaz.
Ve kimler kinetik enerjinin artmış olduğunu düşünüyor? Kimse böyle düşünmüyor.
Oldukça ilginç.
Şimdi bakalım
Çarpışmadan sonraki kinetik enerji, 1 bölü 2 (m1+m2) çarpı v1 üssü kare şeklinde olacaktır.
Hem fikir miyiz? Bunu farklı bir yere yazayım.
Bu 21.5 joule idi.
Benim yaptığım gibi sizlerde yapabilirsiniz.
v1 üssünün değerini biliyoruz. Bu 11/3 dür.
Ve bu değerin 20.2 joule’ a eşit olduğunu bulacaksınız.
Bu yüzden kinetik enerji azalmıştır.
Şimdi 1.3 joule kadar küçük bir kinetik enerjinin azalmış olduğunu söyleyebilirsiniz. Büyük önemi vardır.
1.3 joule.
1.3 joule kimin umurundadır? Bunun fizikte gerçekten büyük bir önemi vardır. Bunu size açıklayayım.
Bunun neden oldukça önemli olduğunu, şu şekilde yaparak anlamanızı sağlayabilirim.
Kütleleri değiştirmiyorum, sadece çarpışmanın yönünü değiştireceğim.
m1 ve m2 kütleleri buralarda olsun.
Hızlar aynı kalıyor.
v1 ve v2
Baş başa çarpışmalarının haricinde değerlerini hiç değiştirmiyorum.
1 nolu parçacığın momentumu nedir? Bu m çarpı v, yani 1 çarpı 5 eşit 5 şeklindedir.
Bunun artan x yönü olduğunu hatırlayın.
Böylece momentum artı 5 dir.
Diğeri nedir? Bu 2 çarpı 3 eşit 6 şeklindedir ve ters yönlüdür.
Bu eksi 6 dır.
Böylece toplam momentum nedir? Bu bize eksi 1 değerini verir. Büyüklüğü 1 dir. Tabii ki bunu silebilirim. Bu eksi 1 olacaktır. Çünkü bu bir boyutlu bir problemdir.
Çarpışmadan önceki momentum bu yönde, eksi 1 di.
Ve şimdi v üssü nedir? Onlar birbirine yapışıyordu.
İşte onlar burada
Ve çarpışmadan sonra, bu yönde veya diğer yönde gittiklerinden emin değilim.
Evet eminim. Çünkü momentum bu yöndedir. Böylece v1 üssünün bu yönde olacağını tahmin edebilirim.
Ve bu şimdi (m1+m2) çarpı v1 üssüne eşittir.
m1 + m2, 3 kilogram eder böylece v1 üssünün eksi 1/3 metre bölü saniyeye eşit olduğunu görebilirsiniz.
Böylece tüm sistem bu yönde eksi 1/3 metre bölü saniyelik hızla gitmektedir.
Çarpışmadan önceki kinetik enerji değişmedi.
Bu 21.5 joule idi doğru mu?
Bu onların birbiri ile nasıl çarpıştığından bağımsızdır.
Şimdi çarpışmadan sonraki kinetik enerji nedir? Bu oldukça büyük bir trajedidir. Şimdi 1 bölü 2 çarpı kütlelerin toplamı olan 3 çarpı bu küçük sayının karesini elde edeceksiniz.
Kinetik enerji v kare ile değişiyor doğru mu? Şimdi sadece 0.17 joule kaldı.
Neredeyse tüm kinetik enerji kaybolmuştur.
Gözlerinizin önünde görüyor olduğunuz şey, kinetik enerjinin yok olduğudur. Fakat dış kuvvetlerin olmadığı durumlarda momentum değiştirilemez.
Kinetik enerji ile momentum tamamıyla farklı şeylerdir.
Her bir parçacığın momentumu değişir. Fakat net momentum değişmez. Kinetik enerji yok olabilir.
Eğer istersem kinetik enerjiyi tamamıyla yok edebilirim.
Tüm kinetik enerjinin yok olacağı bir çarpışma düzenleyebilirim.
Bu parçacığın kütlesinin 5 kilogram ve hızının 1 metre bölü saniye olduğunu varsayalım.
Bu benim kısa gösterimim.
Ve bu parçacığın kütlesi 1 kilogram ve hızı 5 metre bölü saniye olsun
Sistemin momentumu sıfırdır.
Bu yönde artı 5, ve bu yönde -5 olur ve toplamda sıfır eder.
Fakat kesinlikle kinetik enerji vardır.
çarpıştıktan sonra onların birbirine yapışacağından eminiz. Çünkü birinin üzerinde yapışkan vardı.
Çarpıştıktan sonra momentum sıfır olmalıdır.
Ne olursa olsun iç kuvvetler önemli değildir.
Kinetik enerji sıfırdır.
Bu nedenle tüm sistem çarpışmaktadır.
Çarpıştıktan sonra, toplam kütle burada ve hareketsiz durmaktadır. Çünkü birbirine yapışacaklarını söylemiştim.
Yapıştırıcı kullandım.
Eğer iki araba var ve bu arabalar çarpışırsa ve çarpışmadan hemen önceki ve sonraki durumu karşılaştırırsam,
İki araba, burada ve birinin hızı bu yönde diğerinin hızı ise bu yönde olsun ve birbiri ile çarpışsınlar.
Ve onlar birbirine yapışırlar. Bu verilmiştir.
Büyük bir enkaz haline gelirler.
Bu çarpışmadan önceki durumdur.
Onlara bazı hız değerleri verebilirim.
Bu v1 hızı birincinin hızıdır ve bu v2 hızı ise diğerinin hızıdır.
Çarpıştıktan sonra böyle bir şey göreceksiniz: v üssü
Sadece bir enkaz.
Çarpışma zamanı o kadar kısa ki momentumdaki değişim oldukça küçüktür. Çünkü yol ile sürtünmeden dolayı bir dış kuvvet oluşacaktır ve bu dış kuvvet ihmal edilebilir.
Arabalar çarpışır.
Büyük bir iç kuvvet söz konusudur.
Biri diğerine çarparak, içine girmekte ve diğeri de öbürüne çarparak içine girmektedir.
Ateşler bile çıkacaktır.
Metal metali gıcırdatmaktadır.
Sürtünme, fakat bu iç sürtünmedir, yol ile olan sürtünme değildir.
Bu nedenle çarpışma zamanı oldukça küçük olduğu için, çarpışma sırasında yol ile olan sürtünmeyi ihmal edersek, momentum yaklaşık olarak korunur.
Buradaki arabalardan birinin kütlesi m1 diğerinin ki ise m2 olsun.
Bunu, iki boyutlu bir problem olarak ele alacağız. Çünkü şimdi sadece bir boyutlu problemi gördük.
Bunu iki boyutlu bir problem olarak ele alalım.
Bu araba için yön böyle olsun, v2 hızı ile giden diğer arabanın yönü ise bu olsun.
Trajedinin gerçekleşeceği yer, bunların çarpışacağı bu yerdir.
Çarpışmadan sonraki yön ve hız ne olacaktır? Çarpışmadan hemen önceki ve çarpışmadan hemen sonraki durumları karşılaştırıyorum.
Daha sonra olacak şey farklı bir durumdur.
Enkaz haline geldikleri zaman, yolun üzerinde kayacakları kesindir. Bu durumda enkazı yavaşlatacak olan, sürtünme şeklinde bir dış kuvvet vardır.
Bu sadece çarpışma anında olan bir durumdur ve makul bir yaklaşım içinde momentumun korunacağını iddia edebiliriz.
Böylece bu cisimlerden birinin momentumu nedir? Bunun momentumu bu olabilir.
Çok küçük bir kütleye, çok küçük bir hıza sahip olabilir.
Ve bunun momentumu nedir? Bu 1 nolu cismin momentumu olabilir ve bu ise 2 nolu cismin momentumu olabilir.
Net momentum, bu ikisinin vektörel toplamıdır. Ve bu şekildedir.
Bu sistemin Ptoplam momentumudur.
Asla değişmez.
Çarpışmadan önce ve sonra aynıdır.
Ve bu durumda eğer q açısını ve p1 ve p2 yi biliyorsanız, bu durumda cisimlerin hangi yönde kayacaklarını hesaplayabilirsiniz. Ve şüphesiz çarpışmadan sonra hızın ne olacağını da hesaplayabilirsiniz. Çünkü bu toplam momentum, bu iki arabanın momentumlarının toplamı olmalıdır.
İki arabanın toplam kütlesi çarpı v üssü şeklindedir.
Ve böylece, her şeyi hesaplayabilirsiniz.
Ve bu polislerin, yolda enkaz buldukları zaman yaptıkları şeydir.
Onlar aslında v üssünü hesaplamak için teker izlerini kullanırlar. Ve bundan sonra çarpışmadan önceki durumu anlamaya çalışırlar.
Şimdiye kadar, tüm durumlarda cisimler birbirine yapışıyorlardı.
Sadece birbirlerine yapışık halde oldukları durumlarla ilgilendik. Bu durumu fizikte tamamen esnek olmayan çarpışma olarak adlandırırız. Şimdi gelecek derste çarpışma anında parçacıkların birbirlerinden ayrıldıkları durumları da ele alacağız.
Tamamen esnek olmayan çarpışmalarda daima kinetik enerji kaybınız olur.
Orada gördüğünüz gibi bazen az olur, burada gördüğünüz gibi bazen çok; ve orada gördüğünüz gibi bazen sıfır olur.
Esnek olmayan çarpışmalarda, daima kinetik enerji kaybı olur.
Bir çarpışmada kinetik enerji artması olabilir mi? Bu, çarpışma kelimesini nasıl tanımladığınıza bağlıdır. Cevap, evettir.
Ve sizlere bir örnek göstereceğim ve hatta bir gösteri yapacağım.
Düşünebileceğim en basit durumda, burada kütlesi M olan belli bir blok olsun.
Fakat içerisinde aniden bir patlama olsun ve boom diye patlasın.
Güzel, patlamadan önce hız ve momentum sıfırdır.
Ve patlama meydana geliyor.
Ve bir parça belli bir v2 üssü hızı ile bu yönde uçsun.
Bu m2 kütlesi.
Ve diğer bir m1 kütleli parça v1 hızı ile bu yönde uçsun.
Açıkça, momentum korunmuş olmalıdır.
Bu patlamada, sadece iç kuvvetler var ve şöyle yazabilirsiniz.
Eğer bu yönü x in artış yönü olarak adlandırırsanız, böylece bu yöndeki momentum pozitif ve bu yöndeki momentum negatif olur. Toplam momentum asla değişmeyecektir.
Patlamadan önce ve sonra aynıdır. Ve böylece bu m2 çarpı v2 üssü eksi m1 çarpı v1 üssü olmalıdır.
Kinetik enerjiye ne oldu? Kinetik enerji bariz bir şekilde arttı.
Patlamadan hemen önce kinetik enerji sıfırdı.
Şimdi bunun kinetik enerjisi vardır ve bu da kinetik enerjiye sahiptir.
Bu enerjiler neden kaynaklandı? Bu çarpışmanın kimyasal reaksiyonundan.
Ancak momentum korunmuştur.
Görüyorsunuz, bu patlama momentumun umurunda değildir.
Bunun hepsi iç kuvvetlerden dolayı olmaktadır.
Bu yüzden çok dikkatli olun.
Enerji ile momentumu asla karıştırmayın.
Enerji değişebilir veya değişmeyebilir, artabilir veya azalabilir veya kinetik enerji aynı kalabilir. Fakat sistem üzerine etki eden net dış kuvvetler yoksa,momentum daima korunur.
Ve sizlere şöyle bir şey gösterebilirim.
Bu hava rayı üzerinde kurulmuş olan bir gösteri deney setimiz var. Bu deneyi sürtünme minimum olsun diye hava rayı üzerinde yapıyoruz.
Ve her iki arabayı beraber iteceğiz ve onları aralarındaki yayla bir arada tutacağız.
Yay sanki bir patlama gibi, bir dinamit gibi onları birbirinden ayırmaya çalışacaktır.
Hava rayı üzerinde bir araba burada, arada bir yay var ve diğer araba ise şurada.
Bunun kütlesi m1 ve bunun kütlesi ise m2 olsun. Ve bu yüzey yaklaşık olarak sürtünmesizdir.
Ve onları bir arada bir ip ile tutmaktayım. Böylece yayı içeri doğru sıkıştırabilirim.
Yay sıkıştırılmıştır. Ve tüm sistem hareketsiz durmakta, v eşit sıfır.
Bu yayda bir potansiyel enerji vardır.
Bir çakmak alıyorum ve bu ipi yakıyorum.
İpi yakmadan önceki durum böyledir.
Yakmadan önce momentum sıfırdır.
Toplam momentum sonra da sıfır olacaktır.
Orada yaptığımız şeyle tamamen aynı.
Ve böylece bu cisim bu yönde gidecek ve bu cisim ise şu yönde gidecektir.
Ve şimdiden hızlarının oranının ne olacağını söyleyebilirsiniz. Çünkü orada gördüğünüz gibi v1 üssü bölü v2 üssü oranı m1 bölü m2 ye eşittir.
Ve böylece, iki cismin hızlarının ne olduğu hakkında tahminlerde bulunacağım.
Bu arada, büyük kütle, küçük hıza ulaşacaktır ve küçük kütlenin ise hızı, ya da sürati büyük olacaktır.
Burada gördüğünüz şey gerçekten sürattir.
Artık yön hakkında herhangi bir bilgiye sahip değiliz.
Sürati nasıl ölçeriz? Aslında arabanın 10 santimetre hareket etmesi için geçen zamanı ölçeriz.
Her bir araç 10 santimetre uzunluğunda olan küçük metal plakalara sahip.
Ve ışık yayan diyotun ışığının önü kapatıldığı zaman, zaman çalışacak, ışık yayan diyotun önü tekrar açılırsa, zaman duracak.
Her bir arabanın, 10 santimetre hareket etmesi için geçen zamanı, bu şekilde ölçüyoruz.
Yapacağım bu ilk deneyde m1, 244 artı eksi 1 gram, ve m2 de 244 artı eksi 1 gramdır.
Başka bir deyişle, kütlelerdeki belirsizlik % 0.4 civarındadır.
Bu belirsizlik gerçekten hayatın bir parçası ve bundan daha iyisini yapamam.
1 nolu cismin 10 santimetreyi alması için geçen zaman kesinlikle 10 bölü, kıyaslamalarını yapmak istediğimiz, v1 hızıdır.
Burada 10 santimetre mesafe sadece 1 milimetre hassasiyetle belirlenecektir.
Bu hızı ölçmemde yaklaşık %1 belirsizlik demektir. Böylece bu %1 belirsizliktir.
Eğer 1 nolu ve 2 nolu cisimlerin bu zamanı ölçen alet boyunca, 10 santimetre gitmesi durumunda zamanı ölçersek, zamanı yaklaşık olarak 1 artı 0.5, yaklaşık % 1.5 bir hata ile ölçeceğimizi bekleyebilirsiniz.
Fakat benim için değerlendirmesi oldukça zor olan başka bir problem var ve bu problem şu şekildedir.
Eğer ışık yayan diyot burada ise,ve size bahsettiğim ışık yayan diyotun önünü keserek zamanı başlatacak ve diğer ucunda ise zamanı durduracak olan metal tabaka şurada ise, buradaki diyot için açma ve kapanma süresi diğeri için aynı olmayabilir.
Bir sistem burada.
Bir araba bu yönde gidecek.
Ve diğer sistem ise şurada ve araba şu yönde gidecek.
Bunun değerlendirilmesi, çok deney yapmadığınız sürece, çok kolay değildir.
Bu yüzden kabaca tahmin edeceğim.
Her zaman tedbirli olmak iyidir ve bu, diyotun belirsizlik kriterine artı 1 milimetre eklememi gerektirir.
Ve böylece gerçekten 10 santimetreyi 2 milimetre hassasiyetten daha iyi elde edeceğimi sanmıyorum.
Böylece burada %2 artı % 0.4 belirsizliği hesaba katmamız gerektiğini söylemeliyiz. Ve böylece bu iki araba için zamanı yaklaşık olarak, % 2.5’luk bir belirsizlikle tahmin edebilirim.
Bu benim tahminim olacaktır.
Böylece buraya zamanı yazacağız ve daha sonra onları ölçeceğiz.
Birinci ve ikinci seferde bu iki zaman değerinin ölçümlerimizdeki belirsizlik sınırları içerisinde aynı olup olmadığını göreceğiz.
Hava rayı burada.
Hava akımını açmak zorundayım.
Buradaki izleyicilerim arasındaki bu harika cihazı görmeyen yetişkinler için söyleyeyim.
Bu oldukça iyi şekilde hazırlanmış bir raydır. Böylece arabalar bu V şekilli ray üzerine mükemmel bir şekilde oturur ve daha sonra biz havayı bunda bulunan deliklerden üfletiriz. Böylece bu hava bu arabaları kaldırır ve onlar havada yüzerler. Böylece onları oldukça az bir sürtünme ile yatay olarak hareket ettirebiliriz.
Metal metale dokunmuyor.
Sahip olduğunuz tek sürtünme hava sürtünmesidir ki bunu asla önleyemezsiniz.
Bir araba ile gittiğiniz zaman rüzgar vardır.
Ve bu bisiklet kullanırken hissettiğiniz aynı rüzgardır.
Fakat çok küçüktür ve bu deneylerin bu hava raylarında yapılmasının sebebi budur. 29.03
Bu arada hava rayları çok ucuz değildir; oldukça pahalıdır.
Sizler $25.000 harç ödüyorsunuz, bunun karşılığında bir şeyler almanız gerekir, değil mi?
Umarım bu zamanı ölçen aletler açıktır.
Evet, açık.
Ve şimdi burada bir arabamız var. Ve ona dokunduğum zaman ne kadar az bir sürtünme ile gittiğine dikkat edin.
Çok güzel, neredeyse sürtünmesiz.
Ve burada başka bir arabamız var. Ve ikisi 1 gram farklılıkla aynıdırlar.
Ve onların arasında bir yay var.
Bazılarınız onu görebilir.
Ve onları bir arada tutması için bir ip bağlayacağım.
Ve böylece onları birbirine doğru iterek yayda bir potansiyel enerjinin oluşmasını sağlayacağım. Şimdi onları burada sıraladım.
Bunların momentumu yok.
Bu zamanı ölçen alet açık değil mi? Sıfırlanması mı gerek?
Teşekkürler.
Şimdi her ikisi de sıfır.
Evet, emin misiniz? Tamam.
Şimdi bu ipi yakacağım.
Arabaların her birinin momentumu değişecektir.
Biri bu yönde gidecektir ve diğeri ise bu yönde gidecektir.
Kinetik enerji artacaktır.
Bunun kaynağı yayda depolanan potansiyel enerjidir.
Fakat ipi yaktıktan sonra, tüm sistemin momentumu yine sıfır olarak kalacaktır.
Bunun için hazır mısınız?
Beni mutlu edin.
Ne görüyorsunuz?
Beni mutsuz mu edeceksiniz? Oraya gelsem iyi olur.
Bekleyemem.
Mükemmel, tamamen mükemmel 223 ve 219 milisaniye.
Bu değerler belirsizlik sınırları içerisinde oldukça iyi.
Değer kaç idi? 219 muydu?
219 milisaniye ve 223 milisaniye
Eğer deneyi yeniden tekrarlarsam ve ipi daha kısa tutarsam, farklı değerler elde ederim.
Zamanı asla tahmin edemem, eğer ipi daha da kısa yaparsam, bu durumda kesinlikle daha fazla potansiyel enerjiye sahip olurum.
Ve böylece arabaların süratleri daha büyük olacaktır. Fakat zamanlar ölçümlerin belirsizliği dâhilinde aynı olacaktır.
Bundan dolayı zamanı asla tahmin edemem.
Şimdi m2 kütlesini iki kat yaparak, deney yapacağız.
m2, 488 artı eksi 1gram
Şimdi bu çok ilginç olacak. Çünkü şimdi gerçekten momentumun korunumunu test etmeye başlıyorsunuz.
İpi yakmadan önce momentum sıfır.
İpi yaktıktan sonra da momentum sıfır.
Fakat hızlar, Ohhh onları silmişim
v2 üssü bölü v1 üssü eşit m1 bölü m2.
Kütle iki kat ise, hız yarıya düşecektir.
Ve sizlerde, bir arabanının diğerinden, iki kat daha yavaş gideceğini göreceksiniz.
Bu, tabiatın momentumu koruyabilmesinin tek yoludur.
Tabiatın başka bir seçeneği yok.
Tabiat kinetik enerji ile bu şekilde veya şu şekilde başa çıkabilir fakat momentumu kandıramaz.
Böylece iki kat kütleli arabaya diğerine verdiği hızın yarısını vermelidir.
Ve şimdi bizler bu deneyi iki kat kütleli araba ile yeniden yapacağız.
Benim diğer arabam nerede? Ohh işte burada.
Ve bunun kütlesi 244 gram
Ve sizin sağınızdaki bunun kütlesi ise 488 gram.
Onları bir ip ile tekrar bir araya getirmem gerekiyor.
Şimdi işi yapıyorum.
Daima bu ders salonunda işi ben yapıyorum.
Şimdi bu işi yapıyorum.
Bu yayları sıkıştırıyorum.
Bu arada, bunun için bana ödeme yapılıyor.
Ve yaylarda potansiyel enerji oluşuyor.
İşte burada.
Momentum sıfır.
Kinetik enerji sıfır.
Zamanı sıfırlamak zorundayım.
Ooo ve bir tahminde bulunmak istiyorum.
t1i ölçeceğiz daha sonra t2 yi ölçeceğiz ve birer değer elde edeceğiz, Eğer bu değeri 2.00 ile çarparsak, bu durumda ölçümlerdeki belirsizlikler dahilinde bu değeri elde edeceğimiz görmek istiyorum.
Yapmış olduğunuz ölçümlerde daima bir belirsizlik vardır.
Tamam mı? Zaman ölçen aletlerin sıfır olduğundan emin olun.
Tamam, başlıyoruz.
Ne görüyorsunuz? Oooo, 406, 193
Kesinlikle doğru, 406, 193
Oradaki değer 0.406 idi değil mi
V e, 0.193
Şimdi bunu 2 ile çarpmak için hesap makinesi kullanmama bile gerek yok.
Bunu ezberden bile yapabilirim.
0.396 , 0.406
Ooo, Ne kadar dikkatsizim
Bir hesap makinesi kullanmış olmam gerekirdi.
0.193 çarpı 2, 0.386 eder ve 0.396 etmez.
0.406 ile 0.396 arasındaki farkın %5 olduğunu görün.
Bu iki değer yaklaşık %2.5 olan her bir ölçümdeki belirsizlikler dâhilinde birbirine eşittir.
Oldukça yakın değerlerdir.
Bu iki değer her bir ölçümdeki yaklaşık %2.5 olan belirsizlikler dâhilinde mükemmel uyum içerisindedir.
Böylece momentumun korunduğunu tam olarak nasıl ispatlayabileceğinizi görüyorsunuz.
İpi yaktıktan sonra arabalar, kinetik enerjilerini artırdılar fakat momentum sıfır olarak kaldı.
Şimdi konuyu değiştireceğim fakat birkaç hafta içerisinde bunların gerçekten ilişkili olduklarını göreceksiniz.
Birkaç hafta bile değil.
Bunun gerçekten momentumun korunumu ile ilişkili olduğunu göreceksiniz.
Şimdi sizlere, biz fizikçilerin bir sistemin kütle merkezi ile ne ifade etmek istediğimizi açıklayacağım.
Bir sistemin kütle merkezi şu şekilde tanımlanır: Burada bir cisim var.
Sadece bir nokta kütle değil, ancak sonlu bir ebada sahip bir kütle.
Bir çekiç olabilir.
Bunun gibi bir squash raketi olabilir.
Örneğin, kütle merkezi burası olsun.
Kütle merkezi burası.
İstediğim her hangi bir yeri başlangıç noktası olarak seçerim.
Başlangıç noktasını seçme konusunda tamamen özgürsünüz.
Nereyi seçmiş olduğunuz önemli değildir.
Ve şimdi bu, kütle merkezinin konum vektörüdür.
Ve şimdi bu kütleyi, tüm kütleyi içerecek şekilde çok sayıda mi küçük kütle elemanlarına bölüyorum. Ve bu durumda konum vektörü ri dir.
Ve kütle merkezi şu şekilde tanımlanır: Cismin toplam kütlesi çarpı kütle merkezinin konum vektörü; her bir küçük kütleli cismin kütleleri ile bu kütlelerin konum vektörlerinin çarpımlarının i üzerinden toplamına eşittir.
Ve bu durumda, kütle merkezinin v hızını, bu denklemin türevini alarak bulurum.
Mtoplam ‘ı buraya getirir ve türevini alırsam;
kütle merkezinin hızı eşit toplam mi çarpı dri/dt ve böylece toplam mi çarpı vi olur. Sadece birinci türevi alarak konumu hıza dönüştürmüş oldum.
Bu aynı zamanda 1 bölü Mtoplam çarpı Ptoplam dır. Çünkü, bu tüm küçük elemanların momentumlarının toplamı, toplam momentumu verecektir.
Ve böylece şimdi fizikte çok önemli olan bir ifadeye gelmiş oluyoruz. Bir cismin, ki bu cisim bir çekiç olabilir, bir squash raketi olabilir, toplam momentumu cismin toplam kütlesi çarpı kütle merkezinin hızına eşittir.
Ve eğer bunun türevini alırsam, bu durumda toplam momentum olan dp/dt değerinin, dış kuvvete eşit olduğunu daha önceleri öğrenmiştik ve bu da sistemin toplam kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımına eşit olur. Çünkü bu eşitliğin türevini alıyorum.
Burası bana dp/dt yi verir ve hız ivmeye dönüşür.
Ve bu ifadeye bakın, Bu gerçekten oldukça şaşırtıcı bir ifade.
Bu, F eşit ma yı ifade etmektedir.
Eğer burada bir squash raketim var ve burası da kütle merkezi ise, eğer cismi bu ders salonunda atarsam, ki bunu birazdan yapacağım, bu durumda squash raketinin tüm kütlesi tamamen kütle merkezindeymiş gibi davranır.
Böylece kütle merkezinin davranışı tamamıyla tahmin edilebilir. Hâlbuki squash raketinin davranışı tahmin edilemez.
Tepetaklak dönmeye başlar.
Eğer squash raketine etki eden dış kuvvet sıfır ise, bu durumda, kütle merkezi daima aynı hız ile gitmeye devam edecektir.
Eğer burada bir çekicim varsa;
Bu bir çekiç olsun.
Ve hiçbir dış kuvvet yoksa,
uzayın dışında herhangi bir yerde isem ve bu çekiç belli bir hıza sahipse,
bu durumda, kütle merkezi, fakat sadece kütle merkezi, asla değişmeyen bir hıza sahip olacaktır. Çünkü eğer hiçbir dış kuvvet yoksa bu durumda hız sadece sabit olabilir.
Hiçbir ivme yok.
Fakat çekicin kendisi, tepetaklak dönmeye başlar.
Kısa bir süre sonra, çekicin durumu bu şekilde olabilir.
Kısa bir zaman önce çekicin konumu bu şekilde olabilir.
Fakat kütle merkezinin hareketi, sadece düzgün bir harekettir.
Herhangi birimizde, sizlerde, bende, herhangi bir cisimdeki bütün maddelerin kütlelerinin bir noktada toplandığı bir noktanın, sadece bir noktanın olması oldukça gizemlidir.
Ve böylece başka önemli bir ifade şudur: Kütle merkezi için, toplam momentum, toplam kütle çarpı kütle merkezinin hızıdır.
Ve eğer bu eşitliğin türevini alırsanız, F eşit ma eşitliğini elde edersiniz.
Ve bu dış kuvvetin sıfır olması manasına gelir.
Üstteki satıra tekrar giderseniz;
Eğer dış kuvvet sıfır olursa, bu durumda sistemin momentumu korunur. Ve böylece kütle merkezi, hızını değiştirmeden hareketine devam eder.
Şimdi kütle merkezinin hızını nasıl elde edeceğinize dair, sizlerin deneyim kazanması için bir hesaplama yapalım.
Basit bir durumu ele alacağım.
Bir çekiç örneğini almayacağım; bu biraz karışıktır.
Üç tane kütle alacağım ve bu kütleler fiziki önemi olmayan kütlesiz çubuklar ile bir arada tutturulmuşlardır.
Bu durumda, üç nokta kütlem olacak ve bu hayatı biraz daha kolaylaştıracak.
Bu y eksenim, ve bu da x eksenim ve başlangışta m kütlem olsun.
Ve l mesafesinde 2m kütlem olsun.
Ayrıca burası I ve burası da I mesafesidir. Dolayısıyla bu eşkenar bir üçgendir.
Bunlar kütlesiz çubuklardır ve burada bir m kütlem daha var.
Ve sizlere kütlenin merkezinin nerede olduğunu soruyorum? Böylece üç tane noktasal kütleniz var ve onlar kütlesiz çubuklarla birbirine bağlıdır.
Pekala, simetriye ilgisi olanlarınız kesinlikle bu çizgi üzerindeki bir yerde olacağını söyleyecektir.
Ve muhtemelen 2m tarafına doğru olacaktır ve bundan dolayı muhtemelen buralarda bir yerdedir.
Ve bu, kütle merkezinin r konum vektörüdür. Ve bu kütlenin başlangıçta olan konum vektörlü budur ve şu ise bu kütlenin konum vektörü olacaktır; bu kütlenin konum vektörü ise sıfırdır.
O halde şimdi, kütle merkezinin konumunu şu şekilde hesaplayabiliriz.
Kütle merkezinin konum vektörü ile 4m şeklinde olan toplam kütlenin çarpımının, her bir kütle ile onların konum vektörlerinin çarpımlarının toplamına eşit olduğunu biliyoruz.
Tahtadaki en üst noktadaki yere bakıyorum. Ve bu benim kütle merkezi için tanım ifademdir.
Ve böylece bu mi çarpı ri ‘lerin toplamına eşittir.
Ve burada i, 1 den 3 e kadardır.
Bu bir vektörel eşitliktir ve her ne zaman vektörel bir eşitliğimiz varsa, bunu daima iki farklı bileşene ayırmaya değer.
y ve x bileşeni şeklinde.
Ve tabii ki aynı eşitlik, bu vektörlerin x bileşeni için de geçerlidir.
Ve böylece x yönü için: 4m çarpı kütle merkezinin x bileşeni eşit bu kütle çarpı bunun konum vektörü, sonuç sıfır eder, artı bu 2m kütlesi ile bu kütlenin konum vektörü çarpı l, yani 2ml artı bu kütle çarpı 1 bölü 2 l şeklinde olan bu kütlenin konum vektörü, yani 1 bölü 2 m l.
m ler birbirini götürür ve böylece kütle merkezinin x değeri, 2.5 bölü 4 yani 5 bölü 8 olur.
Dolayısıyla onu seçtiğimiz yerden çok da uzak değiliz.
Şimdi y yönü için, aynısını yapabilirsiniz.
Bu cismin konum vektörünü de bileşenlerine ayırabilirsiniz. Bu uzunluk l çarpı kök 3 bölü 2 ye eşittir.
Bunun y bileşeni yok ve bunun da y bileşeni yok, dolayısıyla bu çok kolaydır.
Böylece 4m çarpı kütle merkezinin y konumu, bu kütle ile bu kütlenin konum vektörü olan kök 3 bölü 2 çarpı l olur.
m ler birbirini yok eder ve bu durumda kütle merkezinin y değerini, kök 3 bölü 8 olarak elde edersiniz.
Ve sanırım bu yaklaşık 0.22 l dir.
Evet.
Ve dolayısıyla seçtiğimiz noktanın yerinin oldukça kötü olmadığını görüyorsunuz.
Ve yaklaşık olarak bu mesafenin 5 te 1i kadardır.
Ve bu mesafeden yaklaşık 5 te 1daha yüksektedir.
Ve böylece kütle merkezini hesaplayabilirsiniz.
Eğer birbirinden ayrık farklı noktalarınız var ise, bunun kütle merkezini hesaplamak gerçekten çok zor değildir.
Eğer bir arabanız veya bu şekilde bir cisminiz varsa, bu durumda kütle merkezini hesaplamak elbette çok daha zor olur.
Birkaç hafta içersinde, sizlere kütle merkezinin nerede olduğunu az önce analitik olarak yaptığımızın haricinde deneysel olarak hesaplamanın çok kolay bir yöntemini öğreteceğim.
Sizlere dış kuvvetin olmadığı durumda, kütle merkezi hareketinin oldukça düzgün olduğundan bahsettim. Ve bunu sizlere, hava rayı ile bir kez daha gösterebilirim.
Burada birbirine yay ile bağlanmış olan iki arabadan oluşmuş bir sistem bulunmaktadır.
Hava, çok fazla gürültü yaptığından dolayı onu birazdan açacağım.
Bunlar birbirine yayla bağlı olan iki araba ve bu arabalara belirli bir hareket vereceğim ve onlar bu yönde hareket edecek.
Onlar oldukça acayip bir şekilde salınıma devam edecekler. Çünkü onlar birbirlerine bir yay ile bağlı ve bağlı kalmalarını da sağlayacağım.
Bizler için, bu iki arabanın hareketini tek tek değerlendirmek neredeyse imkansızdır.
Fakat, eğer tüm sisteme belli bir hız verirsem, bu durumda onlar bu şekilde giderler, ve acayip şeyler yaparak hareketlerini sürdürürler. Kütle merkezinin momentumu değişmeyecektir. Sadece kütle merkezinin momentumu değişmeyecektir.
Bu arabanın değil, bu arabanın da değil.
Bu kütle merkezinin kendine has bir özelliğidir.
Ve böylece kütle merkezi sadece bize gülecek ve tüm bu hareketleri görmezden gelecek ve sabit bir hız ile hareketine devam edecektir.
Dolayısıyla bu küçük cisme yoğunlaşırsanız, bunu görebilirsiniz.
Bunu görmeniz için çok büyük hayal gücüne sahip olmalısınız. Çünkü diğer iki cismin tuhaf hareketleri sizlerin dikkatinizi dağıtacaktır.
Bu kütle merkezi.
O tam olarak ortada.
Cisimler aynı kütleye sahip.
Başlıyoruz.
Her arabanın hareketinin ne kadar karmaşık olduğunu görebiliyor musunuz? Kütle merkezinin hareketini oldukça düzgün olduğunu görebiliyor musunuz yoksa bunu göremiyor musunuz? Bunu görebileceğinizi düşünüyor musunuz? Çok fazla hayal gücünüz olması gerekir.
Fakat ben sizlere yardımcı olacağım.
Bütün ışıkları kapatacağım ve sadece ultraviyole ışığını açacağım.
Ve bu ultraviyole ışık bu küçük topun kütle merkezi ile etkileşecek ve daha sonra ortamı karanlık hale getirdiğimizde, sadece kütle merkezinin hareketini göreceksiniz.
Ve bu durumda kütle merkezinin oldukça düzgün bir şekilde hareket ettiğini göreceksiniz.
Yeniden bu tarafa getiriyorum.
Tamam.
Şimdi sizlerin oraya odaklanmanıza yardımcı olacağım.
Zamanı ölçen aletler kapalı mı?
Evet, onlar kapalı.
Tamam, karanlık.
Gözleriniz karanlığa alışsın.
Tamam, aynı şeyi yapacağım ve şimdi kütle merkezine bakın.
Ve biz bu arabaların tuhaf şeyler yapacağını biliyoruz.
Bunun tahmin edilmesi zor. Fakat kütle merkezi oldukça düzgün davranmaktadır.
Güzel! Sabit hız.
Onun geriye doğru gitmesini sağlayabilirim ve böylece bir kez daha zevkini çıkarabilirsiniz.
Dış kuvvetlerin yokluğunda, kütle merkezi sabit bir hıza sahiptir.
Bir çekici fırlattığımda, çekiç oldukça acayip şeyler yapacaktır.
Çekiç tepetaklak olarak hareket edecek ve dönecektir. Fakat kütle merkezi oldukça düzgün bir şekilde hareket edecektir.
Eğer bir çekici fırlatırsam, kütle merkezi sadece kütle merkezi, aynen bir tenis topunun yaptığı gibi, mükemmel bir parabol boyunca hareketine devam edecektir.
Bunu bir squash raketi ile yapacağım.
Bir noktada squash raketi böyle olacaktır. Ve diğer bir noktada squash raketi bunun gibi olabilir ve daha sonra da squash raketi böyle olabilir. Fakat squash raketinin kütle merkezi mükemmel bir şekilde bir parabol boyunca ilerleyecektir.
Ve böylece squash raketimiz burada ve kütle merkezimiz ise buradadır.
Ayrıca burada düzgün ama tenis topu olmayan, fakat oldukça benzeri olan bir topum var.
Bunun tam bir parabol şeklinde gitmesini bekleyebilirsiniz.
Bunun ise bir parabol şeklinde gitmesini bekleyemezsiniz.
Şimdi bunu ışık açık iken yukarı doğru atayım. Onun oldukça tuhaf hareket ettiğini göreceksiniz.
Eğer her şeyi sizlere ultraviyole ışık altında gösterirsem, bu durumda bu topta göreceğiniz gibi, oldukça güzel bir parabolik hareket göreceksiniz.
Bunun gibi.
Işığın açık olduğu gerçeğini unutun.
Şimdi ışıkları kapatacağız ve sizlere kütle merkezinin hareketini göstermek istiyorum.
Buradaki kütle merkezini görüyor musunuz? Hepiniz onu görebiliyor musunuz?
Tamam, başlıyoruz.
Hazır mısınız? Sadece kütle merkezine odaklanın.
Güzel bir parabol mu yoksa değil mi? Bunu tekrarlayacağım.
Kütle merkezini görüyor musunuz? Onu görebiliyor musunuz? Onu hala görebiliyorsunuz değil mi?
Benim için mükemmel bir parabol!
Pekâlâ, ailelerinizin yanında, iyi vakit geçirin.
İyi bir hafta sonu geçirmeniz dileğiyle.
Haftaya görüşürüz.