Video Anlatımlar

Videonun mp4 versiyonunu indirmek için tıklayınız...

MIT Açık Ders malzemeleri
http://ocw.mit.edu

8.01 Fizik I: Klasik Mekanik, Güz 1999

Bu materyallerden alıntı yapmak veya kullanım şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://www.acikders.org.tr sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders malzemeleri
http://ocw.mit.edu

8.01 Fizik I: Klasik Mekanik, Güz 1999
Transkript – Ders 13

.pdf dosyası için tıklayınız.

Tamam
Önümüzde uzun bir hafta sonu var.
Bundan önce bir dersimiz daha var.
Eğer kütlesi m olan bir cismim varsa, çekim alanı, çekim kuvveti bu yöndedir. Eğer bu benim y’nin artan değerim ise, bu durumda vektörel olarak bu kuvvet eşit eksi mg   y üssü şeklinde yazılır.
Bu bir boyutta bir problem olduğu için, genellikle, basit olarak F eşit eksi mg yazacağız.
Bu eksi işareti önemlidir. Çünkü bu y’nin artan değeridir.
Eğer bu seviye, y eşit sıfır seviyesi ise, bu durumda çekim potansiyel enerjisini sıfıra eşit olarak seçebilirim.
Ve bu y dir.
Bu durumda çekim potansiyel enerji pozitif mgy ye eşittir.
Bu U ’dur.
Eğer y’nin bir fonksiyonu olarak çekim potansiyel enerjisinin grafiğini çizersem, bu durumda, düz bir çizgi elde ederim.
Burası sıfır.
Bu U ’ya eşittir.
Bu pozitif mgy ye eşittir.
Eğer bu A noktasında isem ve bu cismi B noktasına hareket ettirsem. Ben Walter Lewin olarak bunu hareket ettiriyorum. Bu durumda pozitif yönde iş yapmam gerekir.
Çekim potansiyel enerjisinin arttığına dikkat edin.
Eğer pozitif iş yaparsam, yerçekimi negatif iş yapar.
Eğer A’ dan başka bir noktaya gidersem…
Bunu B üssü olarak seçeyim.
Bu durumda, negatif iş yaparım.
Çekim potansiyel enerjisinin azaldığına dikkat edin.
Eğer negatif iş yapsaydım, bu durumda yerçekimi pozitif iş yapardı.
Potansiyel enerjinin sıfır noktasını, istediğim herhangi bir yerde seçebilirim.
Tam burada seçiyorum. Potansiyel enerjimin sıfır noktasını kaydırmamın dışında bir şey değişmez.
Fakat yine, A noktasından B noktasına gidersem çekim potansiyel enerjisi aynı miktarda artar.
Tam olarak aynı işi yapmak zorundayım.
Dünya yüzeyine yakın olduğunuz zaman, sıfır noktasını nerede seçeceğiniz konusunda serbestsiniz.
Şimdi dünya yüzeyine yakın olmadığımız bir durumu ele alalım.
Bu dünyanın kendisi.
Tabii ki eğer isterseniz bunu güneş olarak ta seçebilirsiniz.
Ve bu r nin artan değeridir.
Burayla m cismi arasındaki mesafe r.
Şimdi cisim üzerine çekim kuvvetinin etkiyeceğini biliyorum.
Newton’ un evrensel yerçekimi kanunu.
Ve bu çekim kuvveti vektörel olarak, eksi m çarpı dünyanın kütlesi olan büyük M çarpı G bölü r kare r üssüne eşittir.
Gerçekten tek boyutlu olduğu için,
Burada yaptığımız gibi, vektör işaretini ve pozitif r yönündeki birim vektörü silebiliriz. Bunu basit bir şekilde bu şekilde yazabiliriz.
Geçen defa çıkardığımız çekim potansiyel enerjisi eşit eksi m çarpı dünyanın kütlesi M çarpı G bölü r ye şeklindedir.
Burada r, ve burada r kare olduğuna dikkat edin.
Ve eğer grafiğini çizerseniz, bu durumda grafik bu şekilde gider.
Bu r ve bu ise artan potansiyel enerjidir.
Buradaki tüm değerler negatiftir.
Ve bu şekilde bir eğri elde edersiniz.
Bu 1 bölü r ile orantılıdır.
Eğer dünya bu büyüklükte bir yarıçapa sahipse, tabii ki bu eğri devam etmez ve tam burada durur.
Eğer elimde bir kütle ile A noktasından B noktasına hareket edersem, çekim potansiyel enerjisinin artacağına dikkat edin.
Pozitif iş yapmak zorundayım. Hiçbir fark yoktur.
Eğer A noktasından dünya yüzeyine daha yakın olan diğer bir B üssü noktasına gidersem, Çekim potansiyel enerjisinin azalacağını görün.
Negatif iş yaparım.
Eğer pozitif iş yaparsam, yerçekimi negatif iş yapar.
Eğer negatif iş yaparsam, yerçekimi pozitif iş yapar.
Tam dünyaya yakın olan burada, yani 1 bölü r eğrisinin dünyaya değdiği anda, bu tamamen böyle bir çizgidir.
Bu y’ye olan bağımlılık r’ye olan bağımlılıkla aynıdır. Bu durumda Dünyaya yakın durumu basitleştirebilirsiniz.
Yerçekimi ivmesi değişmediği zaman, doğrusal bir ilişki elde edersiniz
Fakat bu durum, çok uzaklara gitmediğiniz, istisnai durumlar için geçerlidir.
Yerçekimi kuvveti, artan potansiyel enerji ile ters yönlüdür.  6.06
Burada olduğum zaman yerçekimi kuvvetinin bu yönde olduğuna dikkat edin.
Potansiyel enerjinin artışı şu yöndedir.
Kuvvet bu yöndedir.
Burada olduğum zaman, yerçekimi potansiyel enerjisi bu yönde artar. Yerçekimi kuvveti şu yöndedir.
Burada olduğum zaman, yerçekimi potansiyel enerjisi bu yönde artmaktadır.
Yerçekimi kuvveti bu yöndedir.
Kuvvet, daima potansiyel enerjinin artan değerleri ile ters yöndedir.
Eğer bir cismi sıfır hız ile serbest bırakırsam, bu durumda, cisim daima düşük potansiyel enerjiye doğru hareket edecektir. Çünkü, kuvvet onu düşük potansiyel enerjiyi doğru hareket ettirecektir.
Şimdi konuyu yerçekiminden, yaya değiştiriyorum.
Denge durum uzunluğu  olan bir  yayım var.
Burayı x eşit sıfır olarak seçiyorum.
Onu x mesafesi kadar uzatıyorum. Ve ucunda bir m kütlesi var ve bir yay kuvveti olacaktır.
Ve bu yay kuvveti,
F eşit eksi kx şeklindedir.
Bir boyutlu bir durum olduğundan, endişelenmeye gerek kalmadan vektör işaretlerini koymaksızın yazabilirim.
Burada sürtünme yok.
Burası açıktır ki, eğer elimde tutarsam, Bu Walter Lewin kuvveti artı kx e eşit olur.
Bu x’in artan yönüdür.
Eğer x eşit sıfır noktasını A noktası olarak, ve x eşit x noktasını da B noktası olarak seçersem. Bu durumda A noktasından B noktasına getirmek için yapmam gereken işi hesaplayabilirim.
A dan B ye getirirken Walter Lewin’in yapması gereken iş, A dan B ye giderken benim kuvvetim çarpı dx in integralidir.
Bu skaler çarpımdır. Fakat bu ikisi arasındaki açı sıfır derece olduğundan açının kosinüsü 1’dir. Bu yüzden burada bir skaler çarpım olduğunu ihmal edebilirim.
Bu yönde hareket ediyorum.
Bu integral sıfırdan x konumuna giderken şeklini alır. Ve bu pozitif kx dx olur ve integralin sonucu 1 bölü 2 k x kare şeklinde elde edilir.
Bu yay potansiyel enerjisi olarak adlandırdığımız ifadedir.
Bu potansiyel enerji.
Bu, x eşit sıfırda, potansiyel enerjinin sıfır olarak tanımlandığını ifade eder.
Bunu yapmak zorunda değilsiniz, fakat başka türlü yapmak saçma olurdu.
Dünya yüzeyine yakın çekim durumlarında, sıfır potansiyel enerjimizi neresi olarak belirleyebileceğimizi seçebiliriz.
Oldukça büyük mesafeler durumunu ele aldığımız bu durumda, artık bir seçim yapma hakkımız yoktur.
Bu durumda, potansiyel enerjiyi sonsuzda sıfır olarak tanımladık.
Bunun sonucu olarak, tüm potansiyel enerjiler negatiftir.
Ve burada yay durumu içinde bir seçeneğiniz yoktur.
x eşittir sıfırda, potansiyel enerjiyi sıfır olarak seçiyorsunuz.
Eğer şimdi x in fonksiyonu olarak potansiyel enerjinin grafiği çizerseniz, Bir parabol elde edersiniz ve eğer siz burada iseniz, bu durumda kuvvet daima potansiyel enerjinin artmasının tersi yönündedir.
Eğer bu yönde giderseniz, potansiyel enerji artar.
Kuvvetin bu yönde olacağı açıktır.
Eğer burada iseniz, kuvvet daima potansiyel enerjideki artmanın tersi yönündedir.
Artan potansiyel enerji bu yöndedir, böylece kuvvet bu yöndedir.
Bunun, geri çağrıcı bir kuvvet olduğunu görüyorsunuz.
Kuvvet daima potansiyel enerjideki artmaya ters yöndedir.
Eğer bir cismi burada sıfır hız ile serbest bırakırsanız, Bu yüzden bu cisim daha düşük potansiyel enerjiye doğru gidecektir.
Kuvvet onu en düşük potansiyel enerjiye doğru götürecektir.
Eğer biz bu durumda yay kuvvetini, ya da oradaki durumda yerçekimi kuvvetini biliyorsak,  potansiyel enerjiyi hesaplayabiliriz.
Şimdi soru şu; acaba tersine giderek kuvveti elde edebilir miyiz? Potansiyel enerjiyi bildiğimizi zannediyoruz.
Kuvveti yeniden bulabilir miyiz? Cevap, evet, bulabiliriz.
İlk olarak yay durumunu ele alalım.
Biz yayın potansiyel enerjisinin U eşit artı 1 bölü 2 k x kare şeklinde olduğunu biliyoruz. Eğer bunun x e göre türevini alırsam, bu durumda artı k x elde ederim. Fakat yay kuvvetinin kendisi eksi kx tir. Böylece bu eksi yay kuvvetine eşittir.
Biz dU/dx değerinin eksi F ye eşit olduğunu elde ettik. Ve buraya x koyuyorum. Çünkü bu bir boyutlu bir problemdir.

Buradaki eksi işareti, kuvvetin daima potansiyel enerjinin artan değerlerine ters yönde olduğunu söyler.
İşte eksi işaretin size söylediği şey budur.
Son 5 dakika içinde söylediklerim gözünüzden fark ediliyor.
Eğer potansiyel enerjiyi x, y, ve z nin fonksiyonu olarak bildiğimiz üç boyutta ele alırsak, bu durumda kuvveti de aynı şekilde x,y,z’nin fonksiyonu olarak elde edebiliriz.
Bunların ister yay kuvveti, ister yerçekimi kuvveti, ister elektrik kuvveti ya da nükleer kuvvet olması önemli değildir. Bu durumda dU/dx eşit eksi Fx, dU/dy eşit eksi Fy ve dU/dz eşit eksi Fz elde edersiniz.
Bu ne anlama gelir?  Bu, eğer 3 boyutlu bir uzayda isen,  sadece x yönünde hareket ediyorsun anlamına gelir.
y ve z sabittir ve değişim eksi k x e eşittir.
Bu size x yönünde kuvvetin bileşenini verir.
y yönünde hareket ederseniz, x ve z yi sabit tutuyorsunuzdur. Ve bu durumda kuvvetin y yönündeki bileşenleri bulursunuz.
Bunları kısmi türevler olarak adlandırırız, onları d sembolü ile değil de D sembolü ile yazarız.
Çekimin olduğu, yer yüzeyine yakın olduğumuz duruma geri dönersek,
Biz U eşit artı mgy eşitliğine sahip idik. Bu durumda dU/dy nedir? Bu bir boyutlu bir durum olduğu için kısmi türevi kullanmadım.
Basitçe dU/dy diyebilirim.
Bu artı mg dir. Ve çekim kuvvetinin eksi mg olduğunu hatırlayın.
Hatırladınız mı? Eksi işareti hala orada.
Hala orada.
Ve burada gerçekten dU/dy nin çekim kuvvetinin eksi işaretlisi olduğunu görüyorsunuz.
Şimdi dünya yüzeyine yakın olmadığımız bir durumu ele alalım.
Bu durumda, U eşit eksi m çarpı M çarpı G bölü r şeklindedir.
Burada sadece r var.
Bu durumda dU/dr
1 bölü r nin türevi eksi 1 bölü r karedir.
İki eksi işareti pozitif eder, bu durumda küçük m büyük M çarpı G bölü r kare elde ederim. Böylece çekimi kuvveti bunun negatifine eşittir.
Eksi dU/dr dir. Ve orada sahip olduğumuzun eksi işaretlisidir.
Her ne zaman, uzayın fonksiyonu olarak potansiyeli biliyorsak, birbirine dik olan kuvvetin üç bileşenini her zaman bulabiliriz.
Eğri bir yüzeye sahip olduğumu varsayalım
Aynen bu ders salonunda olduğu gibi, bu şekilde bir şey
Böyle bir şey
Bunu keyfi olarak y eşit sıfır doğrusu olarak seçiyorum. Ve hatta bu U çekim potansiyel enerjisini de sıfır olarak seçiyorum.
Ve bu eğri, y eşit x in fonksiyonudur ve eğrinin kendisi çekim potansiyel enerjisini temsil etmektedir.
Bu y, ve bu x.
Çekim potansiyel enerjisi, U eşit mgy dir. Fakat y, x in bir fonksiyonudur ve bu aynı zamanda m çarpı g çarpı f(x) tir.
Burada, dU/ dx eşit sıfır oldan noktalar vardır.
Burada, mg yi güzel yazayım.
Neresi sıfırdır?
Bu noktalar nerededir? Bu noktalar, burası, burası, burası, burası ve burasıdır.
Eğer, dU/dx eşit sıfır ise, bu x yönündeki kuvvet bileşeninin sıfır olduğunu söyler. Çünkü, dU/dx,  x yönündeki kuvvetin eksi işaretli halidir. 
Örneğin bu noktaları incelersek, bu durumda, cisim burada ve şüphesiz eksi y yönünde mg ağırlığı vardır. Ve artı y yönünde N normal kuvveti vardır. Ve bunlar gerçekten birbirini yok ederler.
Böylece, burada, burada, burada, burada ve orada net sonuç, cisim üzerine etkiyen bir kuvvetin olmadığıdır. Ve cisim hareket etmeyecektir ve hareketsiz kalacaktır.
Evet, hareketsiz kalacaktır.
Fakat, bu nokta ve o nokta arasında büyük bir farklılık vardır. Ve bu farklılığı hemen görürsünüz.
Eğer buraya bir bilye koyarsam, bu bilyeyi burada tutmam için anamdan emdiğim süt burnumdan gelecektir. Çünkü orada 26.100 ders salonunun köşesinde bir esinti olsa bile, bu esinti bilye üzerine çok küçük bir kuvvet etki ettirecektir ve bilye yuvarlanmaya başlayacaktır.
Aslında, ne olacağı bellidir ve daha düşük potansiyel enerjiye doğru gidecektir.
Fakat eğer bu nokta biraz kaymış ise, bu durumda daha düşük potansiyel enerjilere gitmek isteyecektir.
Kuvvet daima potansiyel enerjinin artışına zıt yöndedir. Böylece kuvvet onu geri çağıracaktır. Ve bunu kararlı denge olarak adlandırmamızın sebebi budur.
Daima, bu noktaya geri gelecektir.
Bu kararsız denge durumudur.
Burada bir düzeneğimiz var ve bunun nasıl çalışacağını size göstermek istiyorum.
Burada eğilmiş bir cismimiz, rayımız var.
Sizlere daha iyi bir ışık ortamı sağlayayım.
Orada görüyorsunuz, o cisim orada, küçük bir top
Eğer en düşük seviyeden biraz kaydırırsam, tekrar bu seviyeye gelmeye zorlanacaktır. Burada bir sürpriz yoktur.
Bu çok önemli değil.
Buradaki daha az olan aslında net kuvvetin sıfır olduğu bir noktanın olmasıdır. Ve bunu başarmak kolay değildir. Fakat onu burada durdurmaya çalışacağım. Ve gerçekten burada hareketsiz kalacaktır.
Çok şanslı değilim. Bu oldukça zor.
Deniyorum. Hayır.
Evet, başardım.
Burada oldukça kararsız.
Üflüyorum
Çokta kararsız değilmiş
Ve işte gidiyor.
Kararlı denge ile kararsız denge arasındaki farkı görüyorsunuz.
Kararlı bir noktada, potansiyel enerjinin x’e göre ikinci, türevi pozitiftir.
Kararsız bir noktada, ikinci türev negatiftir.
Şimdi yayıma geri döneceğim. Ve eğer sadece tek başına yayın potansiyel enerjisini kullanırsanız, yay ucundaki cismin basit harmonik hareket yaptığını sizlere göstereceğim.
Burada x in bir fonksiyonu olarak U verilmiştir. Ve bu orada gördüğümüz gibi, paraboldür ve 1 bölü 2 k x kareye eşittir.
Cisim xmak da bulunsun.
Cisim artı xmak ile eksi xmak arasında salınacaktır.
Rastgele bir x konumunda olduğu zaman, onun üzerine, potansiyel enerjinin artış yönüne zıt yönde bir kuvvet etkiyecektir. Böylece kuvvet açıkça bu yöndedir.
Denge konumuna gelmeye zorlanacaktır.
Orada olduğu zaman, belli bir hızı olacaktır.
Hız ya bu yönde olabilir ya da bu yönde olabilir.
Belli bir sürati vardır. Ve yay kuvveti korunumlu kuvvet olduğundan, şimdi mekanik enerjinin korunumunu uygulayabilirim.
Bunu potansiyel kuyusu olarak adlandırıyoruz.
Cisim, potansiyel kuyusu içinde salınacaktır.
Tabi ki bu şekilde salınmayacaktır.
Şüphesiz, gerçekten bu şekilde salınacaktır.
Bu bir boyutlu bir problemdir.
Eğer onu, buradan sıfır hız ile bırakırsam, başlangıçtaki toplam enerji 1 bölü 2 k xmak kareye eşittir.
Bu toplam enerjidir.
Bu eğer herhangi bir sürtünme yok ise daima aynı olacaktır. Sürtünme olmadığını düşünüyoruz.
Bu şimdi herhangi bir x konumundaki 1 bölü 2  m v kare artı x konumundaki 1 bölü 2 k x kare şeklindeki potansiyel enerji olacaktır.
Bu kinetik enerji ve bu da potansiyel enerji.
v konumun zamana göre türevidir. Bu yüzden bunu x nokta olarak yazabilirim.
Şimdi yapacağım şey, bunları biraz farklı olarak yazacağım.
x nokta kareyi bu tarafa taşıyacağım. 1 bölü 2 ler sadeleşir, m ye bölerim ve böylece k bölü m çarpı x kare ve sonra eksi k xmak kare eşit sıfır elde ederim.
Doğru yaptım mı? Evet bölüyorum.
Ohhh, Burada m var ve m orada olmak zorundadır.
Ve şimdi yapacağım şey, bu denklemin zamana göre türevini almaktır.
Şimdi burada yerine oturan bir şey göreceksiniz.
Zamana göre türevi alıyorum.
Bu bana 2 çarpı x nokta, zincir kuralını uygulamak zorundayım ve böylece x iki noktayı elde ederim. Bu ivme, artı 2 çarpı k bölü m çarpı x zincir kuralı ile x nokta elde ederim.
Bu sabittir ve başladığım zamanki toplam enerjidir. Ve tüm ifade sıfıra eşittir.
2 leri sadeleştiriyorum. x noktaları da yok ediyorum. Çünkü sağ taraf sıfırdır şimdi ne elde ederim? X iki nokta artı k bölü m eşit sıfır elde ederim.
Bu beni mutlu eder. Çünkü, bunun basit harmonik hareket olduğunu biliyorum.
Bu eşitliği daha önce de görmüştük.
Bunu farklı bir yolla türettik.
Bugün kuvvetleri kullanmadık.
Sadece, mekanik enerjinin korunumu kavramını kullandık.
Bu denklemin çözümünü biliyoruz.
Burada bir x olmalı
Birilerinin x dediğini duydum.
Çok teşekkür ederim.
Çözüm; x eşit xmak çarpı cos(wt+j) şeklindedir.
Bu genlik.
Ve w, karekök k bölü m dir. Ve bu salınım için periyot 2p bölü w ya eşittir.
Bunu yapabildik.
Yay kuvvetleri korunumlu kuvvetler olduğu için, mekanik enerjinin korunumunu uyguladık.
Aynı sonuca nasıl ulaştığımızı tamamıyla farklı bir yoldan elde ettiğimizi gördünüz.
Şimdi diğer potansiyel kuyusuna benzer bir şey deneyeceğim. Bu potansiyel kuyusu ise mükemmel bir daire şeklindedir.
Kütlesi m olan bir cismi bu rayda kaydıracağım ve mükemmel dairesel yol boyunca salınımı inceleyeceğim.
Bunu mükemmel yapabilmem için burada bir pergelim bile var.
İşte bu yoludur.
Ve yolun yarıçapı R, bu zaman anında buradaki açı q dır. Ve cisim de buradadır.
Burayı x eşit sıfır olarak seçiyorum. Burası aynı zamanda q nın sıfıra eşit olduğu yerdir.
Bu y nin artan değerleridir. Burasını y eşit sıfır olarak seçiyorum.
Bu cismin kendi çekim potansiyel enerjisi mgy dir. Bu y nin ne olduğunu bilmek istiyorum. Bu yüzden bu mesafenin ne olduğunu da bilmek zorundayım.
Bu oldukça kolay
Burası R cosq ya eşittir. Böylece burası R eksi R cosq dır.
Potansiyel enerji eşit mg çarpı R (1 - cosq). Eğer burayı sıfır olarak seçersem
Bunu değiştirmekte serbestim. Fakat burada böyle seçmek oldukça mantıklıdır.
Eğer q eşit sıfır ise, cosq eşit 1 dir. Ve bu durumda U eşit sıfır elde edersiniz.
Bu tabii ki benim tanımladığım bir şeydir.
Bu benim sıfır olarak belirlediğim bir şeydir.
U eşit sıfırdır.
q eşit p/2 olduğu zaman cisim buradadır.
Cisim burada olduğu zaman, potansiyel enerjinin U eşit mgR olduğunu bulacaksınız.
Bu tamamen doğrudur. Çünkü bu durumda burası ve y sıfır arasındaki mesafe R dir. Bu q açısının fonksiyonu olarak potansiyel enerjidir.
q nın fonksiyonu olarak cismin hızı ise R çarpı dq/dt ile verilir.
Bunu kolayca görmenizi sağlayabilirim.
Bu dq açısı olsun. Bu dq açısını oldukça kısa zamanda alacaktır. Ve buradaki yay dS dir. Ve yarıçap R dir.
q nın tanımı
Bu q nın radyan olarak tanımı, dS bölü R eşit dq şeklindedir.
Bu bizim radyan tanımımızdır.
Sağın ve solun zamana göre türevini alırsam,
dS/dt elde ederim, bu yay boyunca teğetsel hızdır.
dS/ dt eşit R çarpı dq/ dt ve bunun için q nokta yazabiliriz.
dq/dt bazen w olarak adlandırılır, ve o açısal hızdır. Bunu w açısal hız olarak seçerseniz
Bu durumda açısal hızın zamanla değiştiğini aklınızda bulundurun.
Cismi serbest bıraktığınızda açısal hız sıfırdır. Ve bu noktadan geçtiğinde maksimumdur.
Şimdi, mekanik enerjinin korunumunu uygulayabilirim. Çünkü, herhangi bir q açısında hızın, yani kinetik enerjinin ve potansiyel enerjinin ne olduğunu biliyorum.
Toplam enerjinin sadece başladığım başlangıç şartlarına bağlı olan mekanik enerji olduğunu kabul edelim.
Belki burada sıfır hızı ile bırakırım, belki çok az bir miktar hız veririm.
Bu bir değer ve sabittir.
Böylece herhangi bir q açısında, mekanik enerji 1 bölü 2 m v kare şeklindedir.
Ve bu v dir. Ve bu R kare çarpı q noktanın karesidir.
Bu basitçe 1 bölü 2 m v karedir. Başka bir şey değildir. Yani kinetik enerjidir.
Artı mg çarpı R çarpı (1-cosq) şeklindeki potansiyel enerjidir.
Bu ifade daima aynıdır ve q açısından bağımsızdır. Çünkü yerçekimi kuvveti korunumlu bir kuvvettir.
Bu mekanik enerjinin korunumudur.
Bu cosq açısı daima başa beladır. Ve bundan dolayı yapacağımız şey, daha önceden gördüğümüz bir şeyi kullanmaktır.
Küçük açı yaklaşımını kullanacağız.
cosq için 1 eksi q kare bölü 2 yazacağız.
Bu çok iyi, oldukça iyi bir yaklaşımdır.
Bu yaklaşım daha önce kullandığımızdan çok daha iyidir. O zaman, basitçe cosq eşit 1 yaklaşımını kullanmıştık.
Hatırlayın bunu daha önce bir kere yapmış idik, ve q çok çok küçüktür demiştik.
Ve q  çok çok küçük ise, cosq eşit 1 alırız demiştik. Eğer şimdi bunu yaparsak, suda boğuluruz. Eğer cosq eşit bir aldığımız zaman bu sıfır olacaktır ve mantıksız bir sonuç elde ederiz. Çünkü bu ifade hız her zaman değiştiğinden dolayı mekanik enerjinin de her zaman değişeceğini söyler.
Bunu yapamayız.
Eğer bunu yaparsak, kendimizi öldürürüz.
Bu yaklaşım oldukça iyidir.
Eğer burada, q yı radyan olarak ve burada cosq yı ve burada da 1 eksi q kare bölü 2 yi verirsem. Bu durumda radyan olarak 1/60 ı seçersem,
q için 1/60 seçiyorum. Çünkü bu yaklaşık 1 derecedir.
Fakat gerçekten 1/60 ı seçiyorum. Ve kendime bu açının kosinüsünün ne olduğunu soruyorum. 
Ve bu 0.999861114 şeklindedir.
Sadece hesap makinemi kullandım.
Daha sonra 1 eksi q kare bölü 2 değerini hesapladım ve 0.999861111 değerini elde ettim.
Bunlar oldukça yakın değerlerdir.
Bu sadece milyarda 3 farklılık göstermektedir.
Bu ikisi arasındaki fark sadece milyonun % 1 bölü 3 üdür.
Şimdi biraz daha büyük değerlere gittiğimizi ve radyanın 1 bölü 5 i olan 12 dereceyi aldığımızı varsayalım. Bu yaklaşık 12 derecedir.
Bu durumda cosq, 0.98007 dir ve 1 eksi q kare bölü 2 yaklaşık 0.98000 dir.
Bunlar hala oldukça yakın değerlerdir.
Yani sadece 100.000’de 7 farklılık göstermektedirler. Yani farklılık % 1/100’den daha küçüktür.
Bunu göz önünde bulundurarak, mekanik enerjinin korunumuna devam edebilirim.
Şimdi cosq yerine, 1 eksi q kare bölü 2 yi yazacağım.
Buradan devam edeceğim.
Tahtanın ortasını daha iyi görebildiğiniz için daima burasını kullanmak her zaman iyidir.
Bu eşitliğin üzerinde biraz duracağım ve bunu yaptığım zaman amacımın ne olduğunu tahmin edebilirsiniz.
Yaylarda taptığım gibi zamana göre türev alacağım.
Değişmeyen mekanik enerjiyi, 1 bölü 2 m R kare q nokta kare artı mg R çarpı cosq yerine 1 - q kare bölü 2 yazarsam, 1 ler birbirini yok eder ve basitçe q kare bölü 2 elde ederim.
Şimdi zamana göre türev alıyorum.
Bu sıfır olacaktır.
Şimdi sıfır eşit, buraya 2 gelir ve bu 2 yi yok eder bu durumda mR kare q nokta çarpı q iki nokta
Özür dilerim? Yanlış bir şey var mı? Sanmıyorum. Teşekkürler
Şimdi bunun türevini alacağım.
Bu 2 başa gelir ve bununla sadeleşir, ve böylece mg R q çarpı q nokta elde ederim.
m ve bir R, ve q nokta değerleri gider. Yanlış sildim. q noktayı götüreceğim, q yı değil.
Ve ne elde ettim?
q iki nokta artı g bölü R çarpı q eşit sıfır elde ederim.
Bundan daha mutlu olamam. Çünkü, bana hareketin basit harmonik hareket olduğunu söylemektedir.
Ve bunun çözümü x
Pardon x değil
q eşit q nın maksimum değeri, bu açı olarak genliktir, çarpı cos(wt+j) şeklindedir.
Bu açısal frekansdır.
Oradaki açısal hız olan ve zamanla değişen w ile hiçbir alakası yoktur.
Bu sabit, bu açısal frekans ve bu w karekök g bölü R ye eşittir. Ve böylece salınımın periyodu ise 2p çarpı karekök R bölü g olur.
Bunu gördüğünüz zaman, bunu daha önce görmüştük diyeceksiniz. Bunu daha önceden nerede görmüştük?
Daha önceden görmüş olduğumuz şey bunun neredeyse karbon kopyası gibi.
O ne idi?
Lüften biraz sesli söyleyiverin.
Sarkaç; orada R yerine uzunluğu   olan kütlesiz bir ip var idi.
Ucunda kütlesi m olan bir cisim vardı ve ne yapıyordu? Bununla tamamen aynı olan mükemmel bir yay boyunca gidip geliyordu.
Problem aynı ve sürpriz değildir. Çünkü şimdi tamamen yay gibi olan yüzey üzerinde gidip geliyoruz.
Bu bir çember ve sürtünme yok.
Biz sarkaçta da hiçbir sürtünmenin olmadığını varsaymıştık.
Sarkaçta olduğu gibi aynı periyodu elde etmiş olmamız, bizi şaşırtmaması gerekir.
Sarkaçtaki  yerine tabii ki biz burada R aldık.
Yerçekimi iş yapan tek kuvvettir. Ve yerçekimi korunumlu bir kuvvet olduğundan, bu mekanik enerjinin korunumunu kullanmayı doğrulamaktadır.
Bunu yapmak için, küçük açı yaklaşımını kullandık.
Yay durumunda potansiyel enerjinin x kare ile orantılı olduğunu elde etmiştik ve sonucun gerçek basit harmonik hareket olduğunu görmüştük ve hiçbir yaklaştırma kullanmaya gerek yok idi.
Şimdi bu potansiyel enerjiyi, q kare ile orantılı olması için zorluyoruz.
Yapmış olduğuz şey gerçekten budur.
Orada potansiyel enerji terimini görmektesiniz.
Ve cosq yerine 1 eksi q kare bölü 2 yaklaşımı vasıtasıyla, bu terimin q cinsinden ikinci dereceden bir denklem olmasını sağladık. Ve şimdi bu yaklaştırma ile bu tam basit harmonik hareket halini almıştır.
Şimdi önemli bir soru geliyor.
Yerçekimi kuvvetinin gerçekten iş yapan tek kuvvet olduğunu söyledim. Bu doğru mu? Şimdilik sürtünme yok.
Bu gerçekten doğru mu? Bir sarkacımız olduğu zaman, bir yerçekimi kuvveti vardır.
Bu açıktır.
Bir yerçekimi kuvveti, mg var, fakat aynı zamanda gerilmede var.
Bundan hiç söz etmedik.
Mekanik enerji korunumunu yaptığımızda, bunun hakkında hiç söz etmedik.
Cisim burada olduğu zaman, yerçekiminin olduğundan ve sürtünmenin olmadığından eminim.
Böylece yay boyunca bir kuvvet yoktur. Fakat bir normal kuvvet olmalıdır.
Gerilme hiçbir iş yapmıyor mu? Normal kuvvet hiçbir iş yapmıyor mu? Muhtemelen bir şeyleri unuttuk mu? Geçen haftayı hatırlayın. Hayatımı tehlikeye atmıştım.
Mekanik enerjinin korunduğuna o denli ikna olmuştum ki, neredeyse o üstüne binip salındığım 15,5 kilogramlık büyük sarkaç beni öldürecekti.
Mekanik enerjinin korunduğuna inandım. Gerilmeyi dikkate almadım.
Gerilmenin pozitif bir iş yapma ihtimali var mı? Eğer yaparsa, bu durumda ölebilirdim. Cevabınız ne? Gerilme herhangi bir iş yapıyor mu ve bu dairesel yol durumunda muhtemelen normal kuvvet iş yapıyor mu? Cevabınız nedir?
Oldukça sesli ve net olarak duymak istiyorum.
Hayır, Niçin hayır? Neden hiçbir iş yapmıyor? Ne için yapmıyor?
Doğru anlamışsın, hepsi bu.
Kuvvet daima hareket yönüne diktir.
İş, kuvvet ile hareket ettiği yön arasındaki skaler çarpım olduğundan, ne gerilme ne de normal kuvvet iş yapar.
Kuvveti göz önünde bulundurmayı unutmayın. Fakat hiç bir iş yapmadığı gerçeğini de kavrayın.
Harika, şimdi daha önce hiç görmemiş olduğum kafa karıştırıcı bir deney yapacağım.
Çember şeklinde bir yolumuz var.
Onu hemen önünüzde görmektesiniz.
Bu bir çemberdir, Çember olmadığını da düşünebilirsiniz. Fakat çemberdir.
Üreticisinin verdiği bilgiye göre bu çemberin yarıçapı, yaklaşık 5 metre belirsizlik ile 115 m dir.
Bunu ölçmek oldukça zor ve hatta taşıma sırasında bile değişebileceğini düşünebilirsiniz.
Tahtayı biraz silmeye çalışayım.
Bunun yarıçapı, aynı zamanda bir hava rayı olan bu eğrinin yarıçapı, 115 metre artı eksi 5 metredir.
Şimdi salınımların periyodunu hesaplayabiliriz.
Tüm yay 5 m uzunluğundadır.
Yayın yarısı 2.5 m’dir. Bu durumda qmak bu yolun yarısının 115 e bölümü ile elde edilir. Ve bu son küçük bir açıdır.
Bu yaklaşık 1.2 derecedir. Çünkü bu kısım radyan, ve bu kısım ise derecedir.
Açı değeri oldukça küçüktür. Böylece periyot hakkında iyi bir tahmin yapabilmemiz gerekir.
Ve periyotu hesaplayacağım.
2p çarpı karekök R bölü g formülünü ele alıyorum. Bu durumda R, 115 metre.
R bölü g yi hesaplıyorum.
Bunun kare kökünü alıyorum
2 ile çarpıyorum
p ile çarpıyorum ve sonuç olarak 21.5 elde ediyorum.
Ve bu bir tahmindir.
T eşit 21.5 dir.
R deki belirsizlik yaklaşık olarak % 4.3 tür.
R nin karekökü olduğundan, 5 in karekökünü alırsak bu yaklaşık % 2.2 dir.
Eğer bunu 0.22 ile çarpacak olursam, belirsizliği yaklaşık 0.47 olarak elde ederim.
Bunu yarım saniye olarak alalım.
Bu oldukça zor bir tahmindir. Ve salınımın periyotu 21.5 artı eksi yarım saniyedir.
Şimdi bunu gözlemleyeceğim. Ve bunların değerlerinin birbirine kıyasla ne olduğunu görmeye çalışacağız.  
10 kez salınım yaptırmak istemiyorum.
Bu yaklaşık 3, 4, ya da 5 dakika alacaktır.
Bu oldukça uzun bir zaman.
Bu gerekli değildir. Çünkü benim reaksiyon zamanım 0.1 saniye. Sadece bir salınım yaptırsam bile bu elde edeceğim değerin bu sayı ile uyumlu olup olmadığını görmek için yeterlidir.
Bu oldukça güzel bir deneydir.
Cismin 21 saniyede ileri-geri gidip gelmesini görmek oldukça eğlencelidir.
Sizlerin memnun olmanız ve benim tatmin olmam için bunu 3 defa salındıracağım.
Bu gerekli değil, fakat yapacağım.
3T değeri bir sayı artı eksi 0.1 saniye olan benim reaksiyon zamanım olacaktır. Ve sonra bunun tümünü 3’e bölebiliriz. Bu durumda şüphesiz hata 3 kat azalacaktır. Bu sayının bununla uyuşup uyuşmadığını göreceğiz.
Pekala, birisinin böyle 115 metre yarıçaplı bir hava rayı yaptığını hayal edebilir misiniz? Buranın yüksekliği ne kadardır? Belki 8 metredir.
115 metre, bu yükseklikten yaklaşık 10 kat daha uzun,
Daha fazla
Tavandan 15 kat daha yüksek.
İnsanların bunu yapmış olması şaşırtıcıdır.
Gerçekte, bugünlerde, bunu satın bile alamazsınız.
Eğer daha eski değilse, bu muhtemelen 50 yıllıktır.
Tüm bu deliklerden, havanın dışarı üflemesini elde etmem gerekir.
Burada göre bilemeyeceğiniz oldukça çok küçük delikler vardır.
Hava şimdi dışarı üflüyor.
Ve cisim buraya koyulacak, ve sadece yerçekiminden dolayı hareket edecektir.
Hepsi bu...
Sadece yerçekimi kuvveti iş yapacaktır.
Buradan zamanı ölçeceğiz.
Zamanı hemen başlatmayacağım. Cisim gittikten sonra durmaya başlayacağı an zamanı çalıştıracağım. Bu benim için önemli bir kriterdir.
Cisim gidip tekrar gelirken durma anına geldiğinde, zamanı başlatmak benim için oldukça kolay olacaktır.
İzlerken, genlikte biraz azalma olduğunu fak edebilirsiniz.
Dur, dur, dur
Çünkü kesinlikle bir miktar sürtünme vardır.
Oldukça küçük ama sıfır değildir.
Tadını çıkarın, sadece ona bakın.
Bu inanılmaz değil mi? Sadece yerçekimi ile ilerliyor.
Sanki 115m uzunluğundaki bir sarkaç gibi...
İlk salınımını tamamlamak üzere
Geri dönüyor.
Gerçekte bazılarınız, eğri yörüngeyi görebilir.
Bunun gerçekten düz olmadığını görebilirsiniz.
Şimdi ikinci salınımı bitirmek üzere.
Eski konumuma gitsem daha iyi olacak.
Burada durduğu zaman, üç tam salınım yapmış olacaktır.
64.05 saniye
Bunu durdurayım.
3T eşit 64.05 saniye
Bu değeri 3’e bölersem;
21.35 artı eksi 0.03 elde ederim.
Bu değer, tamamıyla tahmin edilen değer ile, tahmindeki belirsizlikler nispetinde, uyumludur.
Buna oldukça benzer olan, bir sistemim var ve buda yine bir eğri yoldur.
 Oop umarım topu bulabilirim.
Oldukça iyi olacak
Hımm, Ne oldu?
Burada neler oluyor? İşte, evet, onu buldum, buldum.
Buraya bir delik yapmak oldukça kurnazca bir şey.
Bu bir yol, diğerinden çok farklı değil.
Biraz daha fazla sürtünme var, ve yarıçap 85 santimetre.
Maksimum açıyı hesaplayabiliriz.
Yarıçapı 85 santimetre ve yol uca kadar yaklaşık olarak 20 santimetre.
Şimdi böyle bir durum söz konusu.
R eşit 85 santimetre ve burası yaklaşık olarak 20 santimetredir. Bu durumda qmak 20 bölü 85, yani yaklaşık olarak 13 derecedir.
13 derece kötü bir durum değildir. Çünkü cosq ile, 1 eksi q kare bölü 2 arasındaki fark % 1/ 100 den daha azdır. Bu kadar küçüktür.
Bu durumda, bu salınımın periyodunu tahmin edebiliriz. Yaptığımız şeyi aynen yapabilirsiniz. 
2p çarpı karekök R bölü d yi hesaplıyorsunuz ve periyodu 1.85 saniye olarak buluyorsunuz.
Kesinlikle yarıçapın belirsizliği oldukça büyük değildir. Fakat yarıçapın yaklaşık 1 santimetreden daha iyi hassasiyetle ölçüldüğünden emin değiliz. Böylece bu 85 artı eksi 1 santimetredir.
Bu yaklaşık % 1.2 hatadır. Bu durumda tahmindeki hata % 0.6 olacaktır. Bu yaklaşık 0.01 saniyedir.
Bu benim tahminim.
Şimdi gerçekten bu 0.01 saniyenin doğruluğunu tartışmak istiyorum. Ve şimdi deneyi yapmak istiyorum. Tabii ki bunu 10 defa yapacağım. Çünkü, bu durumda belirsizlik 0.1 saniyedir.
Bu benim reaksiyon zamanımdır.
Ve böylece periyotta 0.01 saniyelik bir doğruluğu elde ederim. Böylece bu sayıları direkt olarak kıyaslayabiliriz. Ve şimdi yapacağım şey budur.
Zaman ölçer  burada ve bunu ileri-geri salındıracağım.
Ve bu sadece 20 saniye alacaktır.
Sıfırladım. Buradan başladık.
Fizikte kendimize büyük bir güvenimiz var, doğru mu?  Fiziğe inanıyoruz.
Mekanik enerjinin korunumuna da inanıyoruz.
Başlıyor, sayıyor musunuz? Bu 2 mi? Evet. Bu 3 mü? 4 mü?
Size inanmıyorum.
Tamam, yeniden başlıyoruz.
Şimdi 1,2,3,4,5,6,7.
Sinirlenmeye başlıyorum.
8,9,10...
Vay canına, 22.7 saniye, bu değerin 18 saniye olması gerekirdi, şimdi 22.7saniye.
Mekanik enerjinin korunumunda bazı şeyler gerçekten yanlış olmalı.
Veya başka şeyler var mı? Ve bu iki deney arasındaki fark nedir?
Affedersiniz?
ÖĞRENCİ: Sürtünme
Hayır, sürtünme çok düşük. Sebep bu değil.
Oldukça büyük bir fark var.
Bu hafta sonu duş alırken bunu düşünün.                                        
Burada hareket eden ve orada hareket eden bu iki cisim arasında kocaman bir fark vardı. Bunu bulduğunuz zaman, bunun daha yavaş olmasının nedeni bulursunuz, ama sebep sürtünme değildir.