İlk sınavınızda çok iyiydiniz.
Sınıf ortalamasını 75 olarak bekliyordum.
Sınıf ortalaması 89 çıktı.
Bu bize iki ihtimal verir: Ya çok zekisiniz, bu istisnai bir sınıf ya da sınav çok kolaydı.
Şimdi, bu sınav yapılmadan önce, üç öğretim elemanı tarafından gözden geçirildi.
Onların hiçbirisi oldukça kolay olduğunu düşünmedi. Bu yüzden gerçekten istisnai bir sınıf olduğunuzu düşünmek istiyorum ve sizleri bu kadar iyi yaptığınız için tebrik etmek istiyorum.
İşte puanlarınızın grafiği burada.
Sadece bu sınava bakarak karar vermiş olsaydık;
Küçük sınavları; ev ödevlerinizi unutup sadece bu sınava göre karar verseydik,
Geçenler ve başarısız olanlar arasındaki çizgi 65 te olacaktı.
Bu sınıfın % 5 inin kalacağı anlamına gelirdi ve bu olağandışı düşük bir yüzde;.
Normalde, bu oran yaklaşık % 15 dir.
Fakat zaman gerçekten son derece akıllı olup olmadığınızı, ya da sınavın çok kolay olup olmadığını gösterecektir.
Ayrıca iyi bir haber, ikinci iyi haber ise,
Kitapların, bugün Satış Merkezine geleceğine söz veriyoruz.
Bugün yaylar, sarkaç ve basit harmonik hareket hakkında konuşacağız.
8.01 dersinin ana konularından biri.
Eğer bir yay’ ım varsa,
Ve bu, yayın denge uzunluğu ise, burasını x eşit sıfır olarak tanımlıyorum.
Ve yayı, ucundan bir kuvvet ile uzatıyorum.
Bu durumda, yayı, tekrar denge durumuna götürmek isteyen bir kuvvet vardır.
Ve deneysel gerçeklere göre birçok yay,
Bunları ideal yaylar olarak adlandırırız.
Birçok yay için, bu kuvvet, x’in yer değiştirmesi ile doğru orantılıdır.
Eğer bu x ise, eğer x’i 3 kat daha uzun yaparsanız, geri çağırıcı kuvvet de, 3 kat daha büyüktür.
Bu, bir boyutlu bir problemdir; vektör gösteriminden kaçınmak için basitçe, kuvveti, eksi belli bir sabit ki, bu sabit yay sabiti olarak adlandırılır, çarpı x şeklinde ifade edebiliriz.
Yay sabiti, Newton bölü metre birimine sahiptir.
Yani, eksi işareti, yönü göstermektedir.
X’in pozitif olduğu durumda, kuvvet negatif yöndedir. F negatif olduğu zaman da, kuvvet pozitif yöndedir.
Bu, geri çağırıcı bir kuvvettir.
F ile x arasında doğrusal bir ilişkinin geçerli olduğu durumlarda, bu, Hooke Kanunu olarak bilinir.
Yay sabitini nasıl ölçebiliriz? Aslında, çok zor değil.
Yerçekimini kullanabilirim.
Burada yay denge durumundadır.
Yaya bir m kütle asıyorum. Ve şimdi yerçekiminin yaya bir kuvvet uygulaması gerçeğini kullanıyorum. Yani denge durumunu elde ettiğiniz zaman,
Bu durumda, şüphesiz, yay kuvveti, mg ile aynı olmalıdır.
Cisim dengede olduğu zaman, ivme yoktur.
Ve şimdi yeni bir grafik çizebilirim. Bu ekseni, x olarak alabilirim, bu ekseni, F olarak alabilirim. F yi biliyorum, çünkü kütleleri biliyorum.
Kütleleri değiştirebilirim.
Onlarla bir sürü değer elde edebilirim.
Ve verilerin, bu doğrunun etrafında serpiştiği görülebilir.
Bu durumda yay sabiti şöyledir.
Eğer buna DF derseniz ve buna Dx derseniz, bu durumda k yay sabiti, DF bölü Dx şeklindedir.
Hatta onu ölçebilirsiniz.
Mutlaka yay’ın bu denge konumundan başlamak zorunda değilsiniz.
Yayın hâlihazırda gerilim altında olduğu durumdan da başlayabilirsiniz.
Bu problem teşkil etmez.
Kaç tane yayın gerçekte Hooke Kanununa uyumlu davrandığını gördüğünüzde, şaşıracaksınız.
Burada bir tane var.
Çok pahalı bir yay değil.
Burada görüyorsunuz.
Ve bir tane de burada, üzerinde tutucu var. Bu yüzden, halihazırda herhangi bir değişiklik yapmayan bir gerilme altında.
Buradaki işaretler birbirinden 13 cm aralıklıdır. Ve ne zaman üzerine bir kilogram koysam, yaklaşık olarak 13 cm aşağı doğru gideceğini göreceksiniz.
Bu işarete kadar .
Üzerine bir kilogram daha koyuyorum, bu işarete kadar iner.
Ve yine üzerine bir kilogram daha koyuyorum, bu işarete kadar iniyor. Hep aşağı yönde.
Ve eğer hepsini çıkarırsam;
Yapmış olduğum şey, bu eğri boyunca etkili bir şekilde gitmekti. Eğer hepsini çıkarırsam, bu bir ideal yay ise orijinal uzunluğuna geri dönecektir. Ve dönüyor.
Eğer yay Hooke kanununa göre davranıyor ise, bu ideal bir yay için kesin bir gerekliliktir.
Şimdi, tabii ki aşırıya gidebilirim.
Bunun gibi bir yayı alır ve Hooke kanununa uymayacak olan bir noktaya kadar uzatabilirim.
Ona zarar verebilirim.
Kalıcı şekil değişimi yapabilirim.
Bakın, çok kolay.
Herhalde, Hooke Kanunu artık geçerli değildir.
Bakın daha önceki, durumundan çok daha uzun
Şüphesiz, yayınızda kalıcı değişimler oluşturmadan önce, yayı ne kadar uzatabileceğinizin bir limiti söz konusudur.
Bu yaya ne yaptım, belki de başlangıçta doğrusal bir çizgi boyunca gittim ve sonra böyle bir şey olmuş olmalı.
Oldukça büyük bir uzama elde ettim.
Fakat kuvvetim çok fazla artmadı.
Ve sonra gevşettiğim zaman, kuvveti kaldırdığım zaman, başlangıçta olduğundan daha uzun kaldı.
Böylece, sürekli kalıcı olan bir net uzatma oluşturdum. Şüphesiz böyle bir yaya, böyle bir şey yapmak iyi bir şey değildir.
Yani Hooke Kanunu sadece belirli sınırlar içinde geçerlidir.
Belli kurallara uymanız gerekir.
Yay sabitini, ölçebileceğiniz oldukça ilginç olan dinamik yöntemler de vardır.
Burada bir yayım var.
Burada, x eşit sıfır, ve şimdi yaya bir kütle ekliyorum.
Bu sürtünmesiz bir yüzey üzerinde olmak zorundadır. Ve onu belli bir x değerine uzatırsam, yay kuvvetinin onu geri doğru çektiğini göreceksiniz.
Elbette, mg ağırlığına sahibiz ve yüzeyden y yönünde iten normal kuvvete de sahibiz.
Y yönünde herhangi bir ivme yok ve bu nedenle y yönündeki kuvvetler hakkında hiç endişelenmeme gerek yok.
Eğer bu şeyin salınmasına izin verirsem, onu gevşetirsem, yaklaşık bu noktada ileri geri salınacaktır. Ve bu durumda, sizlere şimdi göstereceğim gibi, bu hareketin periyodunun, yani bir salınım için geçen zamanın, 2p çarpı karekök m bölü k yay sabiti şeklinde olduğunu bulacaksınız.
Bunu elde edeceğim.
Bunu kısa bir süre sonra göreceksiniz.
Başka bir deyişle, eğer periyodu ölçerseniz ve matematiği de biliyorsanız, k yı hesaplayabilirsiniz.
Alternatif olarak, eğer k’ yı biliyorsanız, periyodu ölçersiniz ve kütleyi yerçekiminin yokluğunda bile hesaplayabilirsiniz.
Burada yerçekimini kullanmıyorum.
Böylece, yay sizlere daima yerçekiminin olmadığı durumlarda bile bir kütleyi hesaplamanızı sağlar.
Cismin ileri geri bir kez salınması için geçen zaman olan periyot, tamamıyla onu ne kadar uzağa götürdüğümden bağımsızdır. Bunu anlamak zordur, fakat bunun türevden çıktığını göreceksiniz.
Onu ne kadar uzağa hareket ettirdiğimden bağımsızdır.
Onun ister böyle salınmasını, ister şöyle salınmasını sağlayayım, Hooke Kanunu geçerli olduğu sürece, periyodun genlik olarak adlandırdığımız şeyden bağımsız olduğunu göreceksiniz.
Şimdi bunu ideal bir durum için türeteceğim.
İdeal durum, Hooke Kanununun geçerli olduğu anlamına gelir.
Hiç sürtünme yok. Ve yay buna kıyasla kütlesizdir.
Bunu kütlesiz yay olarak adlandıralım.
Şimdi Newton'un ikinci kanunu yazacağım: ma, tümü x yönündedir, eşit eksi kx
“a” konumun ikinci türevidir, bunu x üzeri çift nokta şeklinde yazacağım; m çarpı x üzeri çift nokta.
Tek nokta birinci türevi, yani hızdır; çift nokta ivmedir.
Artı kx eşittir sıfır.
M’ye bölüyorum. ve bu durumda x üzeri çift nokta artı k bölü m çarpı x eşittir sıfır elde ederim.
Ve bu muhtemelen tüm fiziğin en önemli denklemidir.
Bir diferansiyel denklemdir.
Bazılarınız daha önce diferansiyel denklemler çözmüş olabilir.
Bunun sonucu göreceksiniz ki çok basittir.
x, tabii ki, bir şekilde zamanın fonksiyonu olarak değişiyor, ve x için zamanın fonksiyonu olarak tam çözümü elde ederseniz ve bunu bu diferansiyel denklemde yerine koyarsınız bu denklemi sağlayacaktır.
Bu diferansiyel denklemin çözümü ne olabilir? İlk olarak salınımı görmenizi sağlayacağım.
x i zamanın fonksiyonu olarak görmenizi sağlayacağım. Ve bunu şu şekilde yapacağım.
İki yay arasında asılı duran bir sprey boya kutum var. Bunu sizin x yönünüzde düşey olarak salınım yaptırabilirim. Aynen böyle.
Böylece x zamanla değişir.
Zaman eksenini şeridi çekerek başlatacağım.
Sprey boya boyamaya başladığı zaman, bu şeridi çekeceğim ve bunu sabit sürat ile çekebilirsem, bu durumda yatay olarak zaman eksenini elde edersiniz
Ve tabii ki düşey olarak x konumunu elde edeceksiniz.
Sadece niteliksel olarak, zamanın fonksiyonu olarak, ne tür bir garip x eğrisi olduğunu görmenizi istiyorum. Bu durumda, bu diferansiyel denklemi sağlayacaktır.
Tamam.
Daima pasaklı bir deneydir. Çünkü boya damlar. Fakat sprey boyanın hareket etmesini sağlayacağım.
İşte başlıyoruz.
Tamam.
Şimdi şeridi çekeceğim.
Tamam.
Bana yardım edebilir misiniz?
Evet, lütfen? Buradan keseceğim ve sonra. Dikkatli ol, çünkü kirli.
Onu bu şekilde dışarı çıkaralım.
Aah..
Tamam, sadece geriye doğru yürü.
Sadece yürü.
Evet, harika.
Yukarıda tut, bu şekilde daha iyi görürüz.
Tamam.
Bu size neyi hatırlatıyor?
Sinüzoidal !
Bu arada bana kosinüzoidalı hatırlatıyor.
Sinüzoidal ya da kosinüzoidal
Aynı şeyler.
Tamam,
O denklemde yerine koymaya çalışalım. Bir sinüzoid yada kosinüzoid çözümü.
Hangisini tercih ederseniz edin hiç fark etmez.
Bu denklemde yerine koyacağım.
Bu benim x in zaman fonksiyonu olarak sabit olduğu deneme fonksiyonum, bir A sabiti, buna birazdan değineceğim.
A çarpı cos(wt +j)
Bu A’ yı genlik olarak adlandırıyoruz.
Kosinüs fonksiyonunun en yüksek değerinin artı bir ve en düşük değerinin eksi bir olduğuna dikkat edin.
Yani, genlik sıfırdan olan maksimum yer değiştirmedir ve sıfırdan bu tarafta artı A ve bu tarafta eksi A olacaktır.
Bu metre birimindedir.
Bu w ya açısal frekans diyoruz.
Bunu açısal hız ile karıştırmayın.
Onu açısal frekans olarak adlandırırız ve birimleri aynıdır.
Birimi, aynı açısal hızdaki gibi radyan bölü saniyedir.
Eğer bu t zamanını biraz ilerletirsem.
Eğer bunu 2p bölü w kadar ilerletirsem,
Eğer bu zamanı 2p bölü w kadar ilerletirsem, bu durumda, bu açı 360 dereceye karşılık gelen 2p radyan kadar artar ve bu salınımın kendisini yenilemesi için geçen zamandır.
Bu salınımın periyodudur ve saniye birimindedir.
Ve bunu belirleyebilirsiniz, isterseniz, 1 bölü T şeklinde verilen salınımın frekansını tanımlayabilirsiniz. Biz bunu her zaman Hertz olarak ifade ederiz.
Ve sonra burada faz açısı olarak adlandırdığımız şeye sahibiz. Buna geri döneceğim.
Ve radyan birimindedir.
Ve deneme fonksiyonumu, şimdi bu denklemde yerine yazacağım.
Yapmam gereken ilk şey, x in zamanın fonksiyonu olarak ikinci türevini bulmaktır.
Pekala, bu benim fonksiyonum.
Birinci türevim x üzeri nokta.
Bu eksi A w olur.
w yı dışarı alıyorum. Çünkü orada zaman var. Ve şimdi fonksiyonun kendisinin türevini alacağım, sin(wt +j) elde ediyorum.
Tabii ki burada, sinüs eğrisi ile başlayabilirdim. Umarım bunun farkına vardınız.
Sadece kosinüs olanı seçtim.
x üzeri çift nokta.
Şimdi dışarıda diğer bir w elde ettim. Bu durumda eksi A w kare elde ederim. Sinüsün türevi kosinüstür.
cos(wt +j).
Ve aynı zamanda, eksi w kare çarpı x tir. Çünkü A çarpı cos(wt +j) nin x in kendisi olduğuna dikkat edin.
Şimdi bu sonucu, diferansiyel denklemde yerine yazmaya hazırım.
Bu zamanın herhangi bir anı ve x in herhangi bir değeri için her zaman geçerli olmak zorundadır.
Ve bu yüzden bu eşitliğin geçerli olduğu tek durum w karenin k bölü m ye eşit halidir.
Yani w kare, k bölü m olmalıdır.
Ve böylece bu problemin çözümünü elde ederiz.
w nın karekök k bölü m ye eşit olduğu ve periyodun 2p çarpı karekök m bölü k ya eşit olduğu ortaya çıkar.
Ve gerçekten çarpıcı, dikkat çekici olan şey, bunun genlikten bağımsız olduğu ve aynı zamanda faz açısından da bağımsız olduğudur.
Bu faz açısının işi nedir? Orada olan şey pek alışılmamış bir durumdur.
Aslında fizik kapsamında düşünebilirsiniz.
Bu salınımı başlattığımda iki seçeneğe sahibim:
Onu seçtiğim herhangi bir konumdan başlatabilirim.
Sıfırdan belli bir mesafede bulunan yerdeğiştirme verilebilir ve başlatabilirim.
Fakat ayrıca hareketi başlattığım anda belli bir hız da verebilirim.
Bu benim tercihim.
Bu yüzden iki seçeneğim var: Nereden başlatacağım ve hangi hızı vereceğim.
Ve bu benim çözümümde yer alır. Yani, çözümde A ile periyodun belirlenmesinde etkisi olamayan j sonuçlarını elde ederim. Fakat bu benim başlangıç şartlarımdan kaynaklanır.
Bir örnek vermek istiyorum ve bunun yardımıyla A ve j nin başlangıç şartlarına nasıl bağımlı olduklarını görürsünüz.
Bu örnekte, x eşit sıfır, ve t eşit sıfırda, cismi serbest bırakacağım.
Yani, onu dengedeyken serbest bırakacağım.
Bu anda cisme, eksi 3 metre bölü saniyelik bir hız vereceğim.
Birimlerim her zaman MKS birimleridir.
k yay sabiti, 10 Newton bölü metre. Ve cismin kütlesi 0.1 kilogram.
Ve şimdi sizlere, zamanın fonksiyonu olarak A’nın genliğini ve j faz açısını içeren x in ne olduğunu sorabilirim? İlk olarak w yı hesaplayalım.
Bu k bölü m nin kareköküne eşittir.
w, 10 radyan bölü saniye olur.
Ve T periyodunun, 2p bölü w, değeri yaklaşık 6.28 saniyedir.
Ve f frekansı yaklaşık 0.16 Hertz olacaktır.
1.6 Hertz. Özür dilerim.
Bugün günümde değilim.
Bu 0.628 olmalı ve bu 1.6 Hertz olmalı.
2p bölü w değeri, bunun 10 olduğunu görebilirsiniz.
6 bölü 10 yaklaşık 0.6
Tamam. Şimdi, t eşit sıfırda, x eşittir sıfır olduğunu biliyorum.
Benim çözümümü orada görüyorum.
Tam orada. t eşit sıfır koyarsam, x eşit sıfır olduğunu biliyorum.
Bu yüzden sıfır eşit A çarpı cosj elde ederim.
İyi ama, A sıfır olamaz.
Eğer bunu denge durumunda serbest bırakırsam ve 3 metre bölü saniye hız verirsem, salınacaktır.
Bu yüzden, A sıfır değildir.
Yani, tek çözüm cosj nin sıfıra eşit olması durumudur. Ve bu bana, j nin p bölü 2 olduğunu söyler.
Ya da j, 3p bölü 2 dir.
Yani sadece bu iki olasılık var.
Şimdi hızımın, eksi 3 metre bölü saniye olduğu, bir sonraki başlangıç şartıma geçiyorum.
Şimdi, hız için olan eşitliği burada görüyorsunuz.
Bu t eşit sıfırda, eksi 3 tür.
Yani eksi 3 eşit eksi A ki henüz A nın ne olduğunu biliyorum.
Sonra eksi w kare.
Özür dilerim, w olacak, ve değeri 10,
t, sıfırdır
sinj elde ederim.
Eğer p bölü 2 yi alırsam, sinj, 1 dir.
Ve hemen A nın artı 0.3 e eşit olduğunu elde edersiniz..Yani bu çözüm şimdi A yı ve j yi içermektedir. Böylece sonuç x eşit artı 0.3 çarpı cos(10t + p/2) şeklindedir.
Böylece başlangıç şartlarını, t eşit sıfırda şartların ne olduğunu, görmektesiniz.
Bu benim A değerimi ve faz açımı belirler.
Eğer, bunu faz açısı olarak seçmiş olsaydınız.
3p bölü 2’yi, bulurdunuz.
Bu da iyi olurdu.
Burada eksi işaretini elde ederdiniz ve bu da aynı şey olurdu.
Yani hiçbir fark göremezdiniz.
Sizlere salınımın periyodunun, ilk bakışta öyle görünmemesine karşın cismin genliğinden bağımsız olduğunu göstermek istiyorum.
Ve bunu buradaki hava rayı ile yapmak istiyorum.
Burada bir cismim var
Bu cismin bir kütlesi var.
186 artı eksi 1 gram.
m1 olarak adlandıralım.
Onu salınıma sokacağım ve periyodu ölçeceğiz.
Fakat, sadece 1 periyot ölçmek yerine, 10 periyot ölçeceğim. Çünkü böyle yapmam bana ölçümlerimde daha küçük bir belirsizlik yani daha küçük bağıl hata verir.
Bunu genliğin 15 cm olduğu durumda yapacağım.
Haydi 20 santimetre yapalım.
Böylece 10T elde edeceğim, belli bir sayı olacak ve benim reaksiyon hatam olan yaklaşık 0.1saniye elde edeceğim.
Bu hepimizin yapacağı yaklaşık reaksiyon hatasıdır.
Sonra bunu 40 santimetrede yapacağız.
10T yi ölçeceğim ve yine 0.1saniye elde edeceğim.
Ve ne kadar fark ettiklerini göreceğiz.
Eğer bu ideal bir yay ise, ölçümlerdeki belirsizlikler dahilinde aynı olmalıdırlar.
Zaman ölçerini orada görmektesiniz.
Ona denge durumundan 20 santimetre başlama kayması vereceğim, yaklaşık burası ve sonra buraya geldiği zaman başlayacağım.
Önce bir salınım yapmasına izin vereceğim.
Bu başlattığım zaman, durduğunu görmek açısından daha kolay olacaktır. İşte başlıyoruz.
Bir, iki, üç
Dört, beş
Altı, yedi
Sekiz, dokuz, on
Ne görüyoruz? 15.16.
15.16 saniye.
Bu arada, bu ölçümlerden yay sabitini elde edebilirsiniz. Çünkü kütleyi ve zamanı biliyorsunuz.
Şimdi mesafeyi yani genliği iki kat yapacağım.
Bunu 40 santimetreye ayarlıyorum.
40 cm
Oldukça büyük bir yer değiştirme olacak.
Şimdi bir, iki,
Üç, dört
Beş, altı, yedi
Sekiz, dokuz, on
15.13
Ölçümlerimdeki belirsizlik dahilinde mükemmel bir uyum.
Saniyenin % 3 ü kadar bir farklılık var.
Tabii ki, bunu birçok kez denerseniz, daima buna yakın değerler elde edersiniz. Çünkü benim reaksiyon zamanım, saniyenin onda birinden daha iyi değildir.
Şimdi size oldukça ilginç bir şey göstereceğim. Bu cismin kütlesinin periyoda olan etkisinin nasıl olduğudur.
Burada neredeyse aynı ağırlığa sahip başka bir araba da var.
İkisini üst üste koyacağım ve m2 kütlesi, yaklaşık 372 artı eksi 1 gramdır.
Artı eksi 1 gram gelmektedir, çünkü terazimiz 1 gramdan daha hassas değildir.
Bu yüzden ikisini de teraziye koyuyoruz ve bunu belirsizlik olarak buluyoruz.
Şimdi, iki kat kütleli m2 cisminin 10 periyodunu ölçeceğim.
Periyot, m2 bölü m1‘in karekökü çarpı 10 çarpı m1 kütlesinin periyoduna eşittir.
Şimdi tahminde bulunabilirim. Çünkü burası karekök 2 ve bunun ne olduğunu biliyorum.
Hesap makinemi alacağım ve 2 nin karekökünü alacağım ve bununla, örneğin 15.15‘i çarpacağım.
Ve böylece sonuç, 21.42 olur.
21.42
Buradaki 2 nin anlamlı olduğu açık değildir.
Ve şimdi soru geliyor, belirsizlik nedir? Bu bir tahmindir.
Ve bu şimdi biraz zorlaşır.
Şimdi sizlere söyleyeceğim şey biraz kafanızı karıştırabilir.
Karıştırmaması gerekir, fakat bundan sizleri sorumlu tutmayacağım.
Bu ölçümlerdeki belirsizliğin sonucunu, bundaki belirsizlikten çıkarılabileceğini düşünebilirsiniz ki bu doğrudur ve bu yaklaşık % 0.6 dır. Ve bundaki belirsizlikten dolayı bu da yaklaşık % 0.6 dır.
Belirsizliği oldukça küçük elde ettim, çünkü gördüğünüz gibi 10 salınımı ölçtüm. Belirsizlik sadece 150 de 1 dir ve bu çok küçüktür.
Oradaki belirsizliğin karekök 372 artı eksi 1 bölü 186 artı eksi 1 olduğunu düşünebilirsiniz.
Ve şimdi tamamen mantıklı olan bir iddia da bulanabilirsiniz ve diyebilirsiniz ki,
“Bu yaklaşık karekök içinde % 1 bölü 4 lik bir hata, ve bu yaklaşık % yarımlık bir hata, yaklaşık 200 de bir hata ki bu yarım hatadır.
Böylece iki hatayı ekleyebilirsiniz.
Çeyrek artı yarım, yaklaşık 0.7
Ve karekökten dolayı, % 0.35 elde edilir.
Ve bu yanlıştır.
Ve neden tamamen yanlış olmasının nedeni; bu iki hatanın birbiri ile ilişkili olmasıdır.
Bakın bu 186, 372 ye dahil edilmiştir.
Bunu size gösterebilmemin en iyi yolu
m1 bölü m1i ölçtüğümü varsayın. Bu 186 artı eksi 1 bölü 186 artı eksi 1 demektir.
Bu sayı 1 dir ve yüzde sıfır belirsizliktedir..
Bu sayı birdir.
Bir cismin kütlesi var ve bunu aynı cismin kütlesine bölüyorsunuz.
Hâlbuki bu % yarım hataya ve bu da % yarım hataya sahiptir ve böylece oran % 1 lik bir hataya sahiptir diyebilirsiniz. Ama durum böyle değildir.
Sizleri bununla zora sokmayacağım.
Sizleri bundan sorumlu tutmayacağım. Fakat eğer doğru bir şekilde yapar ve bundaki hatanın yaklaşık % 0.6 lık olduğunu hesaba katarsanız, bu orandaki hatanın % 0.2 den daha az olacağı görülür.
Neredeyse ihmal edebilirsiniz.
Cevabın son halinde cömertçe % 1 lik hataya izin vereceğim. Ve bu yüzden iki kat kütlenin 10T sinin, böyle olacağı tahminime sadık kalacağım.
Ve şimdi deneyi yapacağız. İki kat kütle olan m2 için, 10T böyledir. Şüphesiz daima benim reaksiyon zamanımdaki belirsizliği içerecektir.
Bu konuda bir şey yapamam.
Ve biz bu iki sayıyı karşılaştıracağız.
Bunun üzerine başka bir kütle koyacağım. Buraya.
Düşmesinler diye onları bantlayacağım.
İşte başlıyoruz.
Umarım doğru bir şekilde yaptım.
2 nin karekökü çarpı 15.15
30 cm gibi, belki 35 cm gibi bir genlik vereceğiz.
İşte başlıyoruz.
Bir, iki,
Oldukça yavaş değil mi? görüyorsunuz.
Üç, dört, beş, altı.
Yedi, sekiz, dokuz.
Bakmıyorum.
On.
21.36.
21.36.
Eğer isterseniz, bunu yuvarlayabilirsiniz ve bu uyumun muhteşem olduğunu görüyorsunuz.
Ölçümlerimdeki belirsizlik dâhilinde, sonuç inanılmaz bir şekilde uyumlu çıkar.
Tabii ki bu ikiyi atabilirsiniz. Çünkü eğer % 0.2 lik bir belirsizliğiniz söz konusu ise, bu 2 yi burada bulundurmak biraz saçma olur.
Fakat bu yayın gerçekten, ideal bir yaya çok yakın olduğunu görüyorsunuz.
Hooke Kanununa uymaktadır ve aynı zamanda neredeyse kütlesizdir.
Bu bir sarkaç.
Kütle burada ve denge konumundan q açısı kadar sapmıştır.
Sarkacın uzunluğu l, ipin uzunluğudur.
Burada mg yerçekimi kuvveti var ve cismin üzerine etki eden diğer, tek kuvvet T gerilmesidir.
Bu T yi, periyot ile karıştırmayın. Bu T, gerilmeyi gösteriyor.
Newton biriminde.
Sadece bu iki kuvvet söz konusu.
Başka bir şey yok.
Bu şey bu şekilde bir yay çizecek ve salınacaktır.
Bunu, y yönü olarak, ve bunu x yönü olarak tanımlıyorum. Ve burada x eşit sıfırdır.
Gerilmeyi daha önceden yaptığımız gibi x ve y bileşenlerine ayıracağım.
Bu y bileşeni olacak.
Bu x bileşeni.
Ve bu y bileşeni Tcosq ya eşittir ve x bileşeni Tsinq ya eşittir.
Ve şimdi hareketin diferansiyel denklemini yazacağım. İlk olarak, x yönü için;
Newton'un ikinci kanunu: ma eşit, bu x yönündeki tek kuvvettir.
Bu aynen yaylarda olduğu gibi geri çağırıcı bir kuvvettir.
Bundan dolayı ona eksi işareti koymak zorundayım.
eşit eksi T çarpı sinq şeklindedir.
T nin kendisi, q nın bir fonksiyonu olabilir.
Buna müsaade etmek zorundayım.
sinq, eğer bu mesafe x ise, x bölü l ye eşittir. Ve böylece, bunu q nın fonksiyonu olarak eksi T çarpı x bölü l şeklinde yazabilirim.
Bu x yönündeki diferansiyel denklemim. Ve daima “a” yerine x üzeri çift nokta yazmayı tercih ediyorum.
Şimdi y yönü için:
y yönünde, m çarpı y üzeri çift nokta eşittir:
Bu artı yöndür, o halde, Tcosq eksi mg şeklinde bir denklemim söz konusu.
Bu birinci denklem ve bu ikinci denklem.
Ve şimdi iki çiftlenimli diferansiyel denklemi çözmek zorundayız ve bu ümitsiz bir durumdur.
Bir hayvanat bahçesi gibi görünüyor ve gerçekten de öyledir.
Ve şimdi bazı yaklaştırımlar yapacağız. Ve yapacağımız bu yaklaştırımı, bir şeyler salınım yaptığı zaman fizikte sıklıkla görürsünüz. Bunu küçük açı yaklaştırımı olarak adlandırırız.
q nın çok büyük olmasına izin vermeyeceğiz.
Oldukça büyük demekle kastettiğimi, sayısal olarak belirteyim.
Radyan birimli olan q, 1 den çok çok küçük ise, bunu küçük açı olarak adlandırırız.
Eğer durum böyleyse, cosq, 1 e oldukça yakındır.
Blah, blah, bla diyeceksin. Diyeceksiniz ki, ‘’ Şey, boş laf, palavra, - 1’e ne kadar yakın?’’
1 e ne kadar yakın? Tamam, 5 derece olsun
kosinüsü 0.996 dır.
Bu, 1 e yakındır
10 derece olsun
kosinüsü 0.985
1 den sadece % 1.5 farklı.
10 derece için bile, bunu kullanabiliriz.
Bu küçük açı yaklaştırımının, birinci sonucudur.
Ama küçük açı yaklaştırımının, ikinci bir sonucu da vardır.
Bu hareketin x yönündeki boyutuna bakın; bu büyüklüktedir.
Bu hareketin y yönündeki boyutuna bakın; şu küçüklüktedir.
y yönündeki sapma, açının küçük olması durumunda, x yönündeki sapmadan çok daha küçüktür.
Size bir örnek vereceğim.
5 derecede, bu sapma, bu sapmanın sadece % 4 üdür.
10 derecede, bu sapma bu sapmanın sadece % 9 udur.
Ve y yönündeki sapma x yönündeki sapmadan, çok daha küçük olduğu için, y yönündeki ivmenin yaklaşık sıfır olduğunu söyleyebiliriz.
y yönünde neredeyse hiç ivme yok.
Küçük açı yaklaşımından elde ettiğimiz bu iki sonuç ile, şimdi iki nolu eşitliğime geri dönüyorum, ve sıfır eşittir q nın fonksiyonu olan T cosq bire eşit ve eksi mg.
Böylece T eşit mg elde ederim.
Artık, q nın bir fonksiyonu olmadığına dikkat edin.
Yani, küçük açı yaklaştırımında, T yi mg ile aynı yapabilirim.
Yaklaşık olarak, fakat yine de oraya eşit işareti koyuyorum.
Bunu bir nolu denklemde yerine yazarım.
Ve böylece şimdi m çarpı x üzeri çift nokta, ve şimdi bunu diğer tarafa taşırım.
Artı olur,
Ve şimdi T, mg dir.
mg çarpı x bölü l eşit sıfır elde ederim.
Ve şimdi harika sonucu yazıyorum: x üzeri çift nokta artı g bölü l çarpı x eşit sıfır
Bu öyle güzel bir sonuçtur ki neredeyse beni ağlatacak.
Bu basit harmonik harekettir.
Bu denklem, orada yazdığımız denklemin, bir karbon kopyası gibi görünüyor.
Burada, k bölü m var. Orada g bölü l
Hepsi bu kadar.
Bunun dışında, hiçbir fark yok.
Bu durumda bu diferansiyel denkleme hemen bir çözüm yazabilirsiniz.
x, aynen önceden elde ettiğimiz gibi belli bir genlik değeri çarpı cos(wt+j), ve şimdi w, g bölü l nin karekökü; ve sarkacın periyodu, 2p çarpı karekök l bölü g olacaktır.
Hazır lop tam kucağımıza düştü, çünkü bütün işlemleri orada yapmıştık.
Sarkaç için bu sonuçların, bazı kısıtlamalara sahip olduğunu anlamanızı istiyorum.
Küçük açı ve biz kantitatif olarak ne kadar küçük açıya izin verileceğini tartıştık ve kütle sadece burada olmalı, ipte değil.
Bunu kütlesiz ip olarak adlandırırız.
Bu periyodun kabaca ne olacağına dair fikir vermek için, l yerine 1 metre yazıyorum:
Şimdi,g yi 9.8 olarak kullanır, karekökünü alır, ve 2p ile çarparsanız, periyodun yaklaşık, 2 saniye olduğunu bulursunuz.
Yani 1 metre uzunluğundaki bir sarkaç, yaklaşık 2 saniyelik bir periyoda sahiptir.
Bir, iki, üç.
Dört, beş, altı.
Yani buradan buraya gitmesi yaklaşık bir saniye.
Eğer onu, 4 kat daha kısa yaparsam,
Dördün karekökü 2 dir.
Bu durumda periyot da değişir
Sarkaç dört kat kısa ise, periyot iki kat kısa olmalıdır.
Kabaca 25 santimetre için
Tam değerini almak için uğraşmıyorum.
Şimdi tüm periyot yaklaşık bir saniye olmalıdır.
Bir, iki, üç.
Dört, beş, altı.
Yaklaşık 1 saniye.
Gördüğünüz gibi, periyot ipin uzunluğuna son derece duyarlıdır.
Şimdi daha fazla bilgi vermesi için sizlerle yay için elde ettiğimiz sonuçlarla, sarkaç için elde ettiğimiz sonuçları, kıyaslamak istiyorum.
Yayımız ve sarkacımız var.
Ve sadece T periyotlarına bakacağım. Burada 2p çarpı karekök m bölü k, ve burada ise 2p çarpı karekök l bölü g şeklindedir.
Eğer buna bakarsanız, burada kütle var
Eğer buna bakarsanız, bu kütleden bağımsızdır.
Neden burada kütle var? Bunu görmek çok kolay.
Eğer bir yay alır ve bu yayı belli bir mesafeye kadar uzatırsam, bu durumda hissedeceğim belli bir kuvvet olacaktır.
Kuvvet, yayın ucuna koyduğum kütleden bağımsızdır.
Yay onun ucuna ne kadar kütle koyduğunuzu bilmez.
Tek bildiği şey, normalden uzun olduğu ve tekrar denge durumuna gitmek istemesidir. Bu kuvvet sabit bir kuvvettir.
Eğer kütleyi iki katına çıkarırsam, bu sabit kuvvet iki kat kütleli cisme yarım ivme verecektir.
Eğer ivme azalırsa, salınımın periyodu artacaktır.
Bu çok açık.
Böylece hemen yayda kütlenin periyot ifadesine girmesi gerektiğini görebilirsiniz.
Şimdi sarkaca bakalım.
Eğer sarkacın ucundaki cismin kütlesini iki katına çıkarırsam, bu durumda gerilmenin düşey bileşeni de iki katına çıkacaktır.
Bu, gerilme ile orantılı olan geri çağırıcı kuvvetin de iki katına çıkacağı anlamına gelir.
Şimdi geri çağırıcı kuvvet, iki katına çıktı, kütle iki katına çıktı, ivme aynı kalır,
periyot aynı kalır.
Burada, hiçbir kütle olmaması fikrine, basit bir şekilde varabilirsiniz ve yoktur da.
Peki bu k hakkında ne dersiniz? Eğer k büyük ise, bu durumda yay serttir.
Sert yay ne anlama gelir? Bu, eğer ona küçük yer değiştirme verirsem, yay kuvvetinin oldukça büyük olması anlamına gelir.
Eğer oldukça büyük bir yay kuvvetim var ise, verilen kütle için ivme büyük olacaktır.
Eğer büyük bir ivme varsa, periyot kısa olacaktır ve bu tam olarak beklediğiniz şeydir.
Eğer k büyük ise, periyot kısa olacaktır.
g hakkında.
Hiçbir ağırlığın olmadığı uzayda, sarkacınız olduğunu düşünün,
Sarkaç salınmayacaktır.
Sarkacın periyotu sonsuz büyüklükte olacaktır. ,
Uzay mekiğine gidince, orada kendi referans çerçevelerinde hissedilen ağırlıkları hatırlayın
Onlar ağırlıksızdır.
Onların hissedilen ağırlıkları sıfırdır.
Mekik içinde bir sarkaç alır ve ona bu açıyı verir ve haydi salın derseniz, o sonsuza dek hep orada kalacaktır.
Periyot sonsuz büyüktür.
Fakat uzay mekiğinde bir yayı alır ve onu salındırırsan, o salınır.
Yani aslında bir cismin kütlesini uzay mekiğinin içinde bir yay kullanarak ölçebilirsiniz. Onu salındırırsınız ve eğer yay sabitini de biliyorsanız, bu şekilde ölçüm yapılabilir.
Gerçekten, mantıklı bir şekilde düşündüğünüz zaman; bu iki şeyin anlamlı olduklarını görürsünüz.
Burada, bu ders salonunda, tüm sarkaçların anası duruyor.
Bir sarkaç
Eyvahh !
5.1 metre uzunluğunda ve ucunda 15 kilogramlık bir kütle var.
Uzunluğu 5.18 metre ve belirsizliği yaklaşık 5 santimetre.
Bundan daha iyi ölçemeyiz.
Periyoda etkisi olmayan ucundaki kütle ise, yaklaşık 15 kilogram.
2p çarpı karekök l bölü g şeklindeki periyot ifadesinde uzunluğu 5.1 metre olarak yazarsanız, periyodu 4.57 saniye bulursunuz.
4.57 saniye. l de % 1 lik bir hata olduğundan, periyotta % yarımlık bir hata olacaktır. Bu yaklaşık 0.02 saniyedir.
Bu benim tahminim.
Ve şimdi onu sizin için salındıracağım ve bunu iki farklı açıda yapacağım.
5 derece açıda ve 10 derece açıda yapacağım.
Bağıl hatamı azaltmak için, 10 defa salındıracağım.
q maksimum açısını, yaklaşık 5 derece alacağım.
10T eşittir bir değer artı eksi 0.1 saniyelik benim reaksiyon zamanım.
Ve sonra 10 derecede yapacağım ve yine 10T yi ölçeceğim ve yine benim reaksiyon zamanım 0.1 saniyeden daha iyi olmayacak.
Şimdi, ilk bunu olarak yapalım.
Bunu yoldan çekeyim çünkü 15 kilogramlık cisim çarparsa, sonuç çok da iyi olmaz.
Tamam.
Sıfır.
Yerde işaretlerim var.
Bu yaklaşık 5 derece ve bu 10 derece.
İlk olarak 5 derecede yapacağım.
Önce bir kere salınmasına müsaade edeceğim. Burada durma durumuna gelince, zamanı çalıştıracağım.
Bu benim için en kolay olanı.
Saymaya başladığı zaman, size güveneceğim.
Hazır mısınız? Hazır mısınız? Emin misiniz? Bende hazırım.
Tamam.
Şimdi, saymaya devam edin ve yine benim kafamı karıştırmayın.
Saymadan tamamen siz sorumlusunuz.
Sadece bana sekiz ya da dokuzda söyleyiniz.
Tüm bilmek istediğim şey bu.
Üçüncüyü bana söylemeyin.
Hatta dördüncüyü de söylemeyin.
Sadece bana son turda durduracağım zaman söyleyin.
Sarkaçta neredeyse hiç titreme olmadığına dikkat edin.
Genlik neredeyse sabit, halbuki hava rayında, uygulamada bir tür sürtünmenin olduğunu görebiliyordunuz.
Şimdi kaçtayız?
Dokuz? Dokuz, değil mi?
45.70
45.70
Tebeşirim nerede? 45.70
Tahminim ne idi?
Evet! Evet! Evet, kesinlikle.
Vaziyeti gördünüz.
Bu tamamen şans, çünkü benim doğruluğum saniyenin onda birinden daha iyi değil.
Şimdi 10 derecede yapalım.
10 derece ve şimdi sizlere açının etkisinin 5 dereceden 10 dereceye gitmekle oldukça küçük olduğunu göstermek istiyorum.
O kadar küçük ki, ölçümünüzün hassasiyeti içinde onu ölçemeyebilirsiniz.
Evet! Tamam.
Yeniden, rahatlayın ve sayın.
Aah, sinir bozucu! Ooh!
Şu anda kaçtayız?
Yedi
Bundan farklı bir şey mi bekliyordunuz?
45.75
Sizlere bahsettiğim en dikkat çeken şeylerden birisi, salınım periyotlarının cismin kütlesinden bağımsız olduğudur.
Eğer ben bu cismin üzerine oturur ve onunla salınırsam, aynı periyodu elde etmemiz gerekir.
Yoksa öyle değil mi? Sizlere bu korkunç deneyi yapmadan önce bu soruyu soruyorum.
Periyot aynı çıkacak mı yoksa çıkmayacak mı?
Bazılarınız aynı olduğunu düşünüyor.
Eğer bu şekilde oturursam, bu cisimden biraz daha uzun olduğumu ve bundan dolayı belki de ipin etkin uzunluğunun biraz kısalacağını düşündünüz mü? Ve eğer ipin uzunluğu biraz daha kısa olursa, periyot biraz daha küçük olur.
Öyle değil mi? Bunun için hazır olun.
Diğer taraftan, ben de hazırlandım.
Tam olarak hazır değilim.
LEWIN: bedenimi, cisim ile aynı seviyede tutabilmek için mümkün olduğu kadar yatay olarak tutmaya çalışacağım.
Burada, durma durumuna geldiğim zaman başlatacağım.
İşte başlıyoruz.
Şimdi!
Saymaya başlayın, Ahh, acıtıyor.
Yüksek sesle duymak istiyorum!
Oh.
GENÇ ADAM: yanındayız.
LEWIN: Teşekkürler,
Ahhh.
Aahh
ÖĞRENCİLER: Dokuz, on
Ahhhh!
10T Walter Lewin 45.6 artı eksi 0,1 saniye.
Fiziğin işlediğini sizlere söylüyorum.
Gelecek derste görüşürüz.
İyi hafta sonları.