MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 9

Pekala, bu doğrusal cebir’in 9. dersi.

Bu önemli bir ders, doğrusal bağımsızlığın, bir takım vektörlerin bağımsız veya aksine bağımlı olmaları fikrinin tartışılacağı bir ders olacak. Vektörlerin gerdikleri uzaydan bahsedeceğiz. Bir alt uzay veya bir vektör uzayının temel kavramlarından söz edeceğiz; bu temeller ana fikir. Ve ardından o uzayın boyutundan bahsedeceğiz.

İşte bu kelimelere somut anlam vereceğimiz gün bugündür. Ve bir takım vektörlerin bağımsız olmaları üzerinde duracağız. Bir matrisin bağımsız olması diye bir şey olamaz. Bir takım vektörlerin bağımsız olmalarından bahsedeceğiz. Bir takım vektörlerin bir uzaya germelerinden konuşacağız. Bir takım vektörlerin taban olmalarını inceleyeceğiz. Ve boyutun bir sayı olduğunu söyleyeceğiz.

Tamam, tanımlara gelelim. Daha önceden direk olarak bahsetmediğim çok önemli bir gerçekle başlamak istiyorum. Diyelim ki bir matrisim var ve A x eşit Sıfır’a bakıyorum. Diyelim ki bu matrisin pek çok sütunu var, yani sütun sayısı n, satır sayısı m den daha büyük. Bu durumda n tane, pardon, m tane denkleme bakıyorum demektir, az sayıda denklem, m tane ve bilinmeyenlerim daha fazla.

Denklemden çok bilinmeyenim var. Bunu yazıyla belirtelim. Bilinmeyenlerim, yani x-lerim denklemlerden daha fazla. Bu durumda sıfır uzayında sıfır vektöründen başka vektörlerin de olduğu sonucuna varırım. Sonuç şu: sıfırdan farklı x vektörleri var öyle ki A x eşit Sıfır. bazı özel çözümler var. Ve neden? Neden olduğunu biliyoruz. Demek istediğim, denklemden daha çok bilinmeyen varsa, onları çözebilmemiz akla uygundur.

Bizim şunları yapan belirgin bir algoritmamız var: Bir sistemi alıyor, yok etme yöntemini uyguluyor, basamak formuna getiriyor, pivotlarımız ve pivot sütunlarımız var, ve bir kaç tane de pivotsuz serbest sütunumuz var. Esas nokta, bazı serbest sütunlarımızın olmasıdır. Sebebi ise, en azından bir tane serbest değişkenimizin olduğudur. İşte esas nokta budur, serbest değişkenlerin varlığı.

Artık elimizde belirli bir algoritma var, yani sistemli bir şekilde şunları yapıyoruz: A x eşit Sıfır sistemini alıyoruz, satır indirgemesi yapıyor, serbest değişkenleri tespit ediyoruz, ve n tane değişken ve en fazla m pivot olduğundan, en az bir tane serbest değişken olacak, aslında n-m tane, tüm geriye kalanlar. Ve bu değişkenlere sıfır olmayan değerler atayabilirim. Onları sıfır yapmam gerekmez.

Onlara bir veya herhangi başka bir değer verebilir ardından da pivot degişkenleri için çözebilirim. Bu şekilde A x eşit Sıfır için bir çözüm elde ederim. Ve bu çözüm tamamiyle sıfır olan bir çözüm değildir. Bu, bu derste kullanacağımız önemli bir nokta. Şimdi, bir takım vektörün bağımsız olmasının ne demek olduğunu söyleyeceğim. Tamam. Bu bildiklerimizin bir zemini gibi. Şimdi bağımsızlık hakkında konuşmak istiyorum.

Size soyut tanımını verebilirim ve vereceğim de, ama basit anlamını da vermek istiyorum. Soru şu: x1, x2 gibi... n tane bağımsız vektörüm olduğunu düşünelim; şimdi size şunu vermeliyim. Aslında doğrusal bağımsızlık demek lazım ama ben sadece kısaca bağımsızlık diyecek ve öyle yazacağım. Tamam, şimdi tam tanımı verelim: Bunlar bir vektör uzayında ki vektörler. Onların bileşimlerini alabilirim. Soru şu: Bunların herhangi bir bileşimi sıfır verir mi? Eğer, bütün sıfırlarla olan bileşimleri dışında herhangi bir bileşimi sıfır veriyorsa işte o zaman bu vektörler bağımlıdırlar.

Eğer hiç bir bileşim sıfır vermiyorsa, o zaman bu vektörler bağımsızdır. Bununla ne kastediyorum? Hiç bir bileşim sıfır vektörü vermeyecek. Sıfır bileşimleri haricinde, herhangi bir c1 x1 + c2 x2 artı,..., artı cn xn bileşimi sıfır olmayacak. Bu sadece bütün c ler sıfır olduğunda mümkün olacak. Şu bileşim—bunun sıfır vereceğini biliyorum. Soru şu: Başka bir bileşim sıfır verir mi? Vermezse, o zaman vektörler bağımsızdırlar. Şayet bir bileşim sıfır veriyorsa o zaman bu vektörler bağımlıdır. Tamam, şimdi bir örnek yapalım. Diyelim ki, iki boyutlu bir uzaydayız.

Şu örneğe bakalım: bir vektör ve bu vektörün iki katı bir vektör. İki vektörüm var: V ve 2V. Bunlar bağımlı mı bağımsız mı? Elbette ki bu iki vektör bağımlı, çünkü biri diğerinin 2 katı. Bir vektör diğerinin iki katı, bağımlı kelimesi bir anlama geliyorsa, bu iki vektörün bağımlı olması gerekir. Ve bağımlılar. Gerçekten, birincinin iki katını alırsam -- işte V ve işte 2V, işte birinci vektör V1 ve ikinci vektör 2V1. Elbette bunlar bağımlılar, çünkü 2 kere birinci eksi ikinci sıfır vektörü veriyor. İşte iki vektörün bu bileşimi sıfır vektörü veriyor.

Tamam, bu açıktı. Diyelim ki bir vektörüm var -- işte bir başka örnek. Basit bir örnek. Farzedelim ki bir vektörüm var ve diğer vektörüm sıfır vektörü. Bir vektörüm V1 olsun ve diğer vektörüm V2 sıfır vektör olsun. Bu durumda bu iki vektör bağımlı mı bağımsız mı? Elbetteki bağımlılar. bu adam şunun sıfır katı diyebilirsiniz. Bu bunların bileşimi. Başka bir şekilde yazarsam, hangi bileşim, V1 in kaç katını V2 nin kaç katına ekleyeyim ki sıfır vektörünü bulayım? V1, 2 1 vektörü ve V2 sıfır vektörü, yani sıfır sıfır ise, bunların bir bileşiminin sıfır olduğunu göstermek istiyorum. Ne almalıyım? Kaç tane V1 almalıyım? Sıfır tane. Evet, evet, V1’i almayalım. Fakat kaç tane V2? Altı? Ya da beş olsun.

Başka bir deyişle, işin içinde sıfır vektörü varsa, eğer bu vektörlerden biri sıfırsa, bağımsızlık ölmüştür, değil mi? Vektörlerden bir tanesi sıfır ise, o vektörün herhangi bir sıfırdan farklı katını alırım ve diğerlerini hiç almam, ve bu bileşim bana sıfır vektörünü verir, ve bu şekilde bağımlılığı göstermiş olurum. Şimdi son olarak bağımsızlığı gösteren bir örnek vereyim. Varsayalım ki şu V1 ve bu V2. Bunlar elbette bağımsızlar, değil mi? Sıfır bileşimleri hariç, V1 ve V2 nin hiç bir bileşimi sıfır vektörü olamaz. Yani bunlar bağımsızdırlar. Şimdi üçüncü bir vektör V3’ü ilave etmeme müsade edin. Şimdi bu üç vektör bağımlı mı bağımsız mı? Yani burada n üç dür. Ben iki boyutlu bir uzaydayım, bir düzlemdeyim. Dikkatlice çizemediğim üç vektörüm var. Onların tam olarak ne olduklarını size söylemedim.

Bağımlı mı, bağımsız mı sorusuna cevap nedir? Bağımlı. Onların bağımlı olduğunu nasıl biliyorum? V1, V2 ve V3 ün bir bileşiminin sıfır vektör vereceğini nereden biliyorum? Düzlemde üç vektörün bağımlı olmaları gerektiği bir gerçektir. Neden bu böyle? Bu vektörlerin bağımlı olmalarının gerisindeki gerçek ne? Bağlantı şurada: Birinci sütunu V1, ikinci sütunu V2 ve üçüncü sütunu V3 olan A matrisini ele alalım. Üç sütunlu bir matris.

Ve V1 -- bilmiyorum, bana iki bir gibi gözüküyor. V2 ise bir iki gibi. V3 iki belki iki buçuk, eksi 1 olabilir. Pekala, işte bunlar benim 3 tane sütun vektörlerim ve ben bunları A matrisinin sütunları olarak alıyorum. Artık A matrisi 2’ye 3’lük.

Bu durum şu modele uyuyor: Fazladan değişkenlerimiz var, bazı serbest değişkenler var, x ler yerine c1, c2, ve c3 kullanırsam, biliyorum ki bunların bir bileşimi sıfır vektörünü verecektir. Özür dilerim, birazcık artistik tarafım araya girdi. Esas noktayı görüyor musunuz? Elimde bir matris varsa, onun sütunlarının bağımlı veya bağımsız olup olmadıklarını bilmek isterim. Şayet sıfır uzayında bir şeyler varsa, sütunlar bağımlıdır.

Sütunlar bağımlılar çünkü sıfır uzayındaki şu eşitliğe bakınız: c1 kere bu artı c2 kere şu artı c3 kere o eşit sıfır. Başka bir deyişle, V1 ile ileriye doğru giderim, V2 ile biraz daha ilerlerim, V3 ile geri döner ve sıfır’a erişirim. Tamam. Şimdi genel ve soyut bir tanım vermek istiyorum; tekrarlarsam, sütunlara V diyelim. V1 den Vn ye kadar A nın sütunları olsunlar.

Başka bir deyişle, m boyutlu uzayda isem, bu iki boyutlu örnekte olduğu gibi, bağımlılık-bağımsızlık sorusunu, bu vektörleri bir matrisin sütunları yapıp doğrudan cevaplayabilirim. Bunlar A’nın sıfır uzayı ne olursa bağımsız olurlar? Elimde bir matrisin sütunları varsa, onların bileşimlerine bakmak A ile c vektörlerini çarpmak demektir. Ve A nın sıfır uzayı boş ise yani orada sadece sıfır vektörü varsa, bu sütunlar bağımsız olacaklardır. Eğer sıfır uzayında başka bir şey olsa idi bağımlı olacaklardı.

Eğer sıfır uzayında sıfır vektörden başka bir vektör varsa, örneğin c sıfır uzayında sıfır olmayan öyle bir vektörse ve A kere c sıfır veriyorsa, bu sütunların bağımlı olması demektir, çünkü bu bana sütunların bileşiminin sıfır olduğunu söylüyor. Sanırım beni anlıyorsunuz, çünkü biz bunları önceden gördük, pek çok dersimizde sütunların bileşimlerine bakıyoruz ve sıfır elde ediyor muyuz, etmiyor muyuz sorusunu sorup duruyoruz. Ve şimdi buna resmi bir isim takmak istiyoruz: sıfır elde ediyorsak bağımlı, etmiyorsak bağımsız. Şimdi bunu farklı bir şekilde söylersek:

Rank’tan söz edersek -- bağımsızlık durumunda rank nedir? Sütunların bağımsız olduğu durumda matrisin rankı r -- nedir? Yani sütunlar bağımsızlar. Kaç tane pivot sütunum var? Hepsi n tane. Bütün sütunlar pivot sütunlarıdır, çünkü serbest sütunlar bana önceki sütunların bileşimi olduklarını söylüyorlar. Bu durumda rank n dir. Bu durum da rank’ın n’den küçük olduğu durum olacak. Bu durumda rank n dir ve A nın sıfır uzayı sadece sıfır vektörüdür.

Ve hiç serbest değişken yok. Hiç serbest değişken yok. Bu hiç serbest değişkenin olmadığı bir durum. İngilizceyi biraz uzatırsak şöyle de diyebiliriz: Öyle bir durumdayız ki sütunların bir bileşimi sıfır sütununu veriyor. Çok defasında vektörlerimin bir matris şekline konulduğu durumla ilgileniyorum. Şuradaki bağımsızlık tanımı matrislerin sözünü etmedi.

Vektörler N boyutlu uzayda olmak zorunda değiller. Ve şimdi ben size öyle bir vektör örneği vereceğim ki siz bunların vektör olduklarını ilk anda anlayamayacaksınız. Fakat yine de çoğu zaman bizim düşündüklerimiz sütun vektörleridir. Ve biz onlardan matris oluşturuyoruz. Ve ardından bağımlılık veya bağımsızlık, sıfır uzayı olarak bize geri geliyor. Tamam. İşte bağımsızlığın anlamı budur.

Şimdi bir uzayda vektörlerin gerilmesine bakalım. Bir takım vektörlerin bir uzayı germesi ne anlama geliyor? Aslında biz bunu daha önce gördük. Hatırlayacaksınız, bir matrisimiz varsa, onun sütunlarının bileşimleri bize sütun uzayını vermekteydi. Elimizdeki o vektörler sütun uzayını geriyorlardı. Şimdi bir uzayı germek ne demek onu anlatacağım: Tamam. V1 .... Vn bir alt uzayı veya uzayı geriyor demek, o uzay o vektörlerin bütün bileşimlerini içeriyor demektir. Bu sütun uzayında yaptığımızın aynısı. Bu durumda kısaca bir matrisin sütunlarının sütun uzayını gerdiğini söyleyebiliriz.

Size bir demet vektör verdiğimi düşünün, bunların gerdiği uzaya S diyelim, bir başka deyişle S bu vektörlerin bütün bileşimlerini kapsayacaktır, aslında S bütün bu bileşimleri kapsayan en küçük uzaydır, doğru mu? Çünkü bu vektörleri içine alan bir uzay onların bütün bileşimlerini de içine alır. Ve tam orada durursam, bu en küçük uzay olacaktır ve o vektörlerin gerdiği uzay bu olacaktır.

Tamam. Demek ki – bütün doğrusal bileşimleri al ve bunları bir uzay içine koy diyeceğime, kısaca bunu bu germe kelimesi içine sıkıştırıyorum. Gelelim bir matrisin sütun uzayına. Sütunlarla başlıyorum, onların bütün bileşimlerini alıyorum. Bu bana sütun uzayını veriyor. Bu vektörler sütun uzayını gererler. Şimdi bu vektörler bağımsızlar mı? Belki evet, belki hayır.

Bu matrise giren sütun vektörlerine bağlı. Açıkcası beni en çok bağımsız olan ve uzayı geren vektörler ilgilendiriyor. Bu elimde doğru sayıda vektörümün olduğunu söyler. elimde hepsi yoksa bütün uzayımı elde edemem. Gereğinden daha fazla vektör varsa, o zaman da bu vektörler bağımsız olamazlar. Şimdi işte taban kavramına yaklaşıyoruz. Taban ne demek anlatayım. Bir vektör uzayı için bir taban demek elimde V1, V2, ..., Vd gibi bir vektör dizisi var ve bunların iki özelliği var. Yeteri kadar vektörüm var ve daha fazlası yok.

Bu taban tanımının temel fikri. Bir taban aslında bir vektörler demeti ve iki özelliği olan bir vektörler dizisi, yani birincisi onlar bağımsızlar, ikincisinin ne olduğunu biliyorsunuz -- onlar uzayı gererler. Şimdi örnek için biraz zaman ayıralım, ben sizden iki tanımı bir araya getirmenizi bekliyorum: birincisi bağımsızlık tanımı ve ikincisi uzayın gerilmesi. Şimdi örneklere bakalım. Taban meselesi daima merkezi bir soru olacak. Daima bir taban sorusu soracağım. Diyelim bir alt uzaya bakıyorum ve size soruyorum, bana bu uzay için bir taban verirseniz o zaman siz bana bu uzayın ne olduğunu söylemiş olursunuz.

O altuzay hakkında bilmek istediğim herşeyi bana söylemiş olursunuz. Onların bileşiminini alıyorum ve biliyorum ki bütün bileşimlere ihtiyacım var. Tamam. Örnekler. Tamam, şimdi taban örnekleri verelim. İki boyutlu bir uzayla başlayalım. Yok, hayır 3 boyutlu gerçek uzay R³ de çalışalım. Bana bir taban verin.

Taban ne? Yani bazı vektörler istiyorum, çünkü sizden bir taban yaratmanızı istersem, sizden bir vektörler listesi bekliyorum demektir. O halde 3 boyutlu bu uzay için bir taban nasıl olur? Akla ilk gelen taban, bu vektör bu vektör ve şu vektör. Tamam. İşte size bir taban. Mühim olan nokta şu ki, bu var olan tek taban değil. Yani daha bir sürü taban bulunabilir. Şimdi bunun bir taban olduğunu gösterelim. Bu vektörler bağımsızlar mı? Bunlar aslında x, y, z eksenleri gibi. Bunlar da bağımsız değillerse sorunumuz büyük demektir... Kesinlikle öyleler. Bu vektörün c1 katı + şu vektörün c2 katı artı bunun da c3 katını alın ve bu bileşimi sıfır yapmaya çalışın. c ler ne olur? Şayet bu vektörün c1 katı artı şu vektörün c2 katı artı bunun da c3 katı bana 0 0 0 veriyorsa, o zaman bütün c ler sıfırdır --- doğru mu? İşte bağımsızlık testidir. Matris dilinde, şu tahtanın altında kalan durum, bu vektörleri matrisin sütunları yapabilirdim. Bu bana birim matrisini verirdi. Şimdi şu soruyu sorardım: Birim matrisin sıfır uzayı nedir? Ve siz bunun sadece sıfır vektörü olduğunu söylerdiniz. O zaman ben de sütunların bağımsız olduğunu söylerdim elbette. Birim matrisle çarpıldığında sıfır vektörünü sadece ve sadece sıfır vektörü verir. Tamam mı?

Bu taban tek değil. Hiçbir şekilde... Bana ikinci bir taban verin. Başka bir taban. Başlayalım: Bir bir iki. İki iki beş. Diyelim ki burada durduk. Şimdi bu elimdeki vektörler R^3 için bir taban oluştururlar mı? Biz R^3 için bir taban peşindeyiz. Şu iki sütun vektörü bağımsız mı? Evet…R^3 ü geriyorlar mı? Hayır. Hissiyatımız da hayır. Hissimiz şu ki R^3 de bu vektörlerin bileşimi olmayan vektörler de var. Bir vektör daha ilave etmem gerek çünkü o iki vektör uzayı germiyorlar. Tamam. Üçüncü vektör olarak üç, üç, yedi koymam aptallık olur, değil mi, enayice bir iş olur.

Çünkü üç üç yedi koyarsam o vektörler bağımlı olurlar, değil mi? Şayet üç üç yedi koyarsam o zaman bu şu ikisinin toplamı olur, şu ikisiyle aynı düzlemde olur. Bağımsız olamaz. Bir taban elde etme çabam ölmüş olur. O halde, hangi vektörü almalıyım? Şu düzlemde olmayan herhangi bir vektör alabilirim. Deneyelim -- umarım 3 3 8 çalışacak. En azından şu iki vektörün toplamı değil. İnanıyorumki bu bir taban.

Ve şimdi bunun bir taban olduğunu doğrulayacak test hangisi? Ben o sayıları gelişi güzel seçmiştim -- eğer 5 7 -14 ü seçseydim bunların bir taban oluşturup oluşturmayacağını nasıl bilebilecektim? Onları bir matrisin sütunları yaparsınız ve yoketme yöntemini uygular -- hiç serbest değişkeninizin olup olmadığına veya bütün sütunların pivot sütunları olup olmadığına bakardınız. Şimdi bu durumda bizim kare bir matrisimiz var – 32e 3 lük bir matris.

Bu durumda matris üzerindeki test nedir? Bu durumda R^3 deyiz ve 3 vektörüm var, matrisim kare matris ve şu sütun vektörlerinin bağımsız olması için matris üzerindeki şart ne olmalı? R^n durumunda elimdeki n vektörün bir taban teşkil etmesi için, bu sütunların teşkil ettiği matris üzerindeki şart ne olmalı? Tersi olması? Evet, evet. matris tersinin alınabilir olması gerekir. Kare bir matris için bu mükemmel bir cevap.

Tersi alınabilir matris. Bu durumda uzayımız R^n tümüdür. Bu noktada benimle beraber olduğunuzdan emin olmak istiyorum. Şunu bir tarafa koyalım. Şu iki vektör herhangi bir uzayın tabanı mıdırlar? Gerçekten şu iki vektörün tabanı olduğu bir uzay var mıdır? Şu ve şu vektörlerin 1 1 2 ve 2 2 5 taban olduğu bir uzay? Elbette. Onlar bağımsızlar, yani taban olmanın ilk şartını sağlıyorlar, o halde onların tabanı olduğu hangi uzayı almalıyım? Hangi uzay için bunlar bir taban teşkil ediyorlar? Elbette ki gerdikleri uzayın.

Onların bileşimi. Bir düzlem, değil mi? R^3 ün içinde bir düzlem. 1 1 2 vektörünü alalım, şuraya koyalım, ve 2 2 5 i de buraya alalım, bunlar bir taban teşkil ederler, çünkü bunlar bir düzlem gererler. Ve onlar bu düzlem için bir tabandırlar, çünkü bağımsızlar. Üçüncü bir vektör olarak 3 3 7 yi ilave edersem, bu üç vektör de aynı düzlemi gerer, fakat bunlar bir taban olamazlar çünkü artık bağımsız değiller. Tamam mı?

Sütun vektörlerinin bağımsız olduğu ve sütun uzayını gerdiği probleme bakıyoruz. Bağımsızlar o halde sütun uzayı için bir taban oluşturuyorlar. Tamam. Şöyle küçük bir sezgim var. R^n ye geri gidelim. 3 3 8 koyduğum yere. Tamam. İlk mesaj: taban tek değil, değil mi? Zilyon tane taban vardır. Herhangi bir tersi alınabilir üçe üçlük matris alın, onun sütunları R^3 için bir tabandır.

Sütun uzayı R^3 dür, dolayısı ile matrisin tersi varsa sütunları bağımsızdır ve R^3 için bir taban oluşur. Dolayısı ile bir sürü taban vardır. Ama bütün bu sütunlar için ortak bir nokta vardır. Bu tabanın R^3 ün şu veya herhangi bir tabanı ile paylaştığı bir şey vardır. Nedir bu? Ne geleceğini biliyorsunuz, çünkü size şunun, R^3 için bir taban olup olmadığını sorduğumda hayır demiştiniz.

Biliyorum siz hayır dediniz çünkü orada yeteri kadar vektör olmadığını biliyordunuz. Ve büyük gerçek şu ki bir sürü taban var ama değişiklik olsun diye başka bir şekilde söylersem, bir sürü taban var ama hepsi de aynı sayıda vektöre sahipler. R^3 hakkında konuşuyorsak bir tabandaki vektörlerin sayısı 3 dür. R^n hakkında konuşuyorsak o zaman vektörlerin sayısı n dir.

Başka tür uzaylardan, bir vektörün sütun uzayından veya sıfır uzayından, veya hiç aklımıza henüz gelmemiş bir uzaydan bahsediyorsak, bir sürü tabanın olduğu doğru; fakat bütün bu tabanlar aynı sayıda vektöre sahipler. Bu büyük gerçeği yazalım: Bize harhangi bir uzay, R^3 veya R^n veya başka bir matrisin sütun uzayı veya bir matrisin sıfır uzayı, veya bambaşka bir uzay bize verilmiş olsun. Büyük gerçek şu ki bir uzayın herhangi bir tabanında aynı sayıda vektör vardır.

Bir tabanda altı tane vektör varsa herhangi başka bir tabanda da altı vektör vardır. İşte o altı sayısı bana bu uzayın ne kadar büyük olduğunu söylüyor. Bana bir taban için kaç tane vektöre ihtiyacım olduğunu söylüyor. Bir başka görüşle, bu uzayda şayet 7 vektörümüz varsa o zaman elimizde çok vektör var. Elimizde 5 vektör varsa, bir taban için yeteri kadar vektörümüz yok demektir. Bu uzay için altı tam tamına doğru sayı. Ve bu sayıya ne isim koyalım? Bu sayı -- bugünün son tanımını yapıyorum. Bu sayı o uzayın boyutudur.

Yani bir uzayın her tabanı aynı sayıda vektöre sahip. Aynı vektörler değil -- her türlü taban, her birinde aynı sayıda vektör var ve biz o sayıya boyut diyoruz. Bu uzayın boyutunun tanımıdır. Tamam. Tamam.

Şimdi bazı örnekler yapalım. Şimdi yapmış olduğumuz 4 tane tanımı tekrarlayalım. Bağımsızlık, bu bileşimlerin sıfır olmamasına bakar. Yayılma, bu bütün bileşimlere bakar. Taban ise, hem bağımsız ve hem de uzayı geren bileşime bakar. Ve artık bir uzayın boyutu hakkında bilgimiz var. Boyut herhangi bir tabandaki vektör sayısıdır, çünkü bütün tabanlarda aynı sayıda vektör vardır.

Şimdi örneklere geçelim. Diyelim ki uzayım bir matrisin sütun uzayı. Her şeyin açık olması için şu matrise bakalım 1 1 1, 2 1 2, toplamlarını alırsam 3 2 3, ve 1 1 1 de koyalım. Tamam. Elimde 4 vektör var. Bunlar matrisin sütun uzayını geriyorlar mı? Tekrarlarsam, bu dört vektör matrisin sütun uzayını geriyorlar mı? Evet.

Tanım olarak bu sütun uzayı. Bunlar sütun uzayı için bir taban mı? Onlar bağımsızlar mı? Hayır, bağımsız değiller. Sıfır uzayında birşeyler var. Matrisin sıfır uzayına bakalım. Şu matrisin sıfır uzayında olan bir vektör gösterin bana. Yani ben öyle vektörler arıyorum ki, bir şu sütun vektörlerini birleştirsin ve sıfır vektörünü versin.

Bir başka deyişle, ben A x eşit Sıfır ın çözümlerine bakıyorum. O halde bana sıfır uzayında bir vektör verin. Belki -- şey, bu sütun artı şu sütun bunu veriyor, o halde şunu alayım eksi bu bana sıfır uzayında bir eleman verebilir. Siz bana zaten söylediniz, şu vektörler bağımsız mı? Cevap hayır, o sütunlar bağımsız değiller, hayır. Onlar bağımsız değiller.

Çünkü -- siz zaten onların bağımsız olmadıklarını biliyordunuz. Neyse, eksi bir tane bundan eksi bir şundan artı şunun sıfır katı sıfır vektörü olur. Tamam. Öyleyse onlar bağımsız değiller. Uzayı geriyorlar ama bağımsız değiller. Bana sütun uzayı için bir taban söyler misiniz? Bu sütun uzayı için bir taban nedir? Bütün bunlar ev ödevlerinde kısa sınavlarda sorulacak ve finalde de sorulacak sorulardır. Bu matrisin sütun uzayı için bir taban bulunuz. Tamam.

Şimdi bir sürü cevap var, ama siz bana en doğal olanı verin. Birinci ve ikinci sütunlar. Sütun bir ve iki en doğal cevaptır. Bunlar aslında pivot sütunlarıdır. Şöyle ki sistematik bir şekilde, önce birinci sütuna bakıyoruz, uygun. Onu tabanın içine alabiliriz. Sonra ikinci sütuna bakıyoruz, O da tamam...

Onu da tabana ekleyebiliriz. Üçüncü sütunu tabana ekleyemeyiz. Aynı şekilde dördüncü sütunu da koyamayız. Bu durumda bu marisin rankı, bu matrisin rankı nedir? İki. İki ve rank için bizim ikinci bir kelimemiz daha var. Burada büyük bir teorem var. A matrisinin rankı r, aynı zamanda pivot sütunlarının sayısıdır ve ayrıca -- şey, lütfen benim yeni kelimemi kullanınız.

Bu iki sayısı, elbette ki matrisimin rankı iki, aynı zamanda pivot sütunlarının sayısıdır, bu pivot sütunları bir taban teşkil eder elbette, o halde iki nedir? İşte boyuttur. A matrisinin rankı, pivot sütunlarının sayısı, sütun uzayının boyutudur. Siz elbette öyle diyorsunuz. Zaten öyle olmalı. Tamam. Fakat biraz bakın, İngilizce kelimelerin bu işe nasıl bulaştığına dikkat ediniz.

Bir matrisin rankını ele alalım. Bu sayı hem bağımsız sütunların sayısı hem de sütun uzayının boyutu -- ama bu rakamın matrisin boyutu olmadığını söylemek isterim. Rank bir alt uzayın, sütun uzayının boyutu. Görüyor musunuz, ben matrisi A nin boyutunu kastetmiyorum.

Bu benim istediğim değil. Ben A matrisinin sütun uzayının boyutu peşindeyim. Bu kelimeleri doğru kullanırsanız, doğru fikre sahip olduğunuz görülür. Burada da öyle. Bir alt uzayın boyutundan bahsetmiyorum. Ben bir matrisin rankından söz ediyorum.

Güzel olan şu: bu tanımlar öyle bir araya geliyorlar ki matrisin rankı sütun uzayının boyutu oluyor. Ve bu örnekte bu sayı, iki. Bir sonraki soru: taban nedir? Ve ilk iki sütun bir taban oluşturur. Bana bir başka taban verin. Sütun uzayı için bir başka taban. Görüyorsunuz, işlemeye devam ediyoruz.

Özür diliyorum ama sizin taban fikrini iyi kavramış olmanızdan emin olmak istiyorum. Sütun uzayı için bir başka taban verir misiniz? Şey, bir ve ikinci sütunları kullanabilirsiniz. Bunlar sütun uzayı için bir taban oluşturur. Veya ikinci ve üçüncü sütunlar bir taban olabilir. Ya da ikinci ve dördüncü sütunlar.

Veya bana bu sütunları kullanmadan elde edilecek bir taban verin. Yani size sonsuz sayıda imkan veriyorum, o halde sizlerden tek bir cevap bekleyemem. Şimdi başka bir tabana bakalım. Zilyon tane seçim olduğundan onu bırakacağım ve sileceğim. Sütun uzayının bir başka tabanı şöyle bulunabilir: Orada olmayan bazı vektörler alayım.

Şöyle yapalım -- 2 2 2 ile hayat kolay olacaktır. Bu sütun uzayındadır. Ve, bu gayet de açık. Şunların toplamını almama müsade edin: 6 4 6. Veya, bütün sütunların toplamını alalım, 7 5 7, neden olmasın? Bu da sütun uzayındadır. Bunlar da bağımsız ve sayıları tamam, yani iki tane vektörüm var.

Aslında bu önemli bir nokta. Hangi uzayla çalıştığınızı biliyorsanız ve biliyoruz ki bu sütun uzayıdır, boyutunu da biliriz, sütun uzayının boyutu iki’dir. Boyutu biliyorsanız ve elinizde o sayıda bağımsız vektörünüz varsa, onlar otomatikman taban teşkil edeceklerdir. Doğru sayıda vektörümüz varsa, bu durumda iki vektör, ve de bunlar bağımsızlarsa, onlar uzayı germekten başka bir şey yapamazlar. Çünkü şayet onlar uzayı geremiyorsa, bu uzayı germek için üçüncü bir vektöre ihtiyaç olurdu ama o vektör bağımsız olamazdı.

Yani, elimizde bir taban varsa vektör sayısı tam olarak doğru olmalıdır. Ve onlar uzayı gererler. Tamam. Çok güzel. Böylece siz uzayın boyutunu bulmuş oldunuz. İşte bu yarattığım bir başka tabandı. Tamam. Şimdi de sıfır uzayı hakkında soru soralım. Sıfır uzayının boyutu nedir? Büyük gerçeğimiz: sütun uzayının boyutu rank kadardır.

Şimdi sıfır uzayından ne haber? Bu dersimizin diğer tarafı ve bir sonraki derse geçeceğim. Tamam. Biliyoruz ki sütun uzayının boyutu 2 dir, yani rank ikidir. Sıfır uzayından ne haber? Sıfır uzayında işte bir vektör. Sıfır uzayında başka vektörler var mı? Evet veya hayır? Evet. Bu taban olamaz çünkü uzayı germiyor. Sıfır uzayında elimizde olandan daha fazlası var. En azından bir vektöre daha ihtiyacım var.

O halde bana sıfır uzayından bir vektör daha verin. Doğal seçim şu olur: dördüncü sütuna gidelim, şu serbest değişkeni bir ve bu serbest değişkeni sıfır yapalım. Ve bu dördüncü sutunun pivot sütunlarının bileşimi olup olmadığını soruyorum. Evet öyle.

Ve, işte oldu. Aslında ben iki çözüm yazmış bulunuyorum. Değil mi? Serbest değişkenlere bakınız, serbest ve serbest. Onlara 1 0 veya 0 1 değerlerini verdim. Sonrasını kendim hesapladım. Görüyor musunuz, kelimelerle söylersem: Bu vektör ve sıfır uzayındaki şu vektörler, sütun vektörlerinin bileşiminin sıfır vektörü verdiğini söyler. Bir şekilde bana sütun vektörlerinin bağımlı olduklarını söylüyorlar. İşte sıfır uzayı bunu söylüyor. Şu ana kadar yeteri kadar var mı? Ve şimdi sıfır uzayı nedir? Artık sıfır uzayı hakkında düşünmemiz gerek.

İşte bunlar sıfır uzayında iki vektör. Bağımsızlar. Sıfır uzayı için taban teşkil ediyorlar mı? Sıfır uzayının boyutu nedir? Görüyorsunuz bu sorular devamlı öne çıkıyorlar. Şunlar sıfır uzayı için taban vektörleri mi? Henüz bir ispat yapmamış olsak da siz bu soruyu cevaplayabilirsiniz.

Yapabilir misiniz? Evet veya hayır. Bu iki özel vektör sıfır uzayı için bir taban teşkil ediyor mu? Bir başka deyişle, sıfır uzayı şu iki vektörün bileşimlerinden mi oluşmuştur? Evet veya hayır? Evet. Evet. Sıfır uzayı 2 boyutludur. Sıfır uzayının boyutu serbest değişken sayısı kadardır. Yani sıfır uzayının boyutu serbest değişken sayısına eşittir.

Ve son saniyede, bana formülü veriniz. Bildiğimiz kilit formül budur. Rank r cinsinden kaç tane serbest değişkenimiz var, m -- satır sayısı, n -- sütun sayısı cinsinden. Ne elde ettik? n tane sütunumuz var, bunların r tanesi pivot sütunu, o halde n - r tanesi serbest sütunlar, yani serbest değişkenler. Ve şimdi bu sıfır uzayının boyutu olur. Tamam, şahane. İşte bunlar anahtar uzaylar, onların tabanları ve boyutları. Teşekkürler.