MIT
A��k Ders Malzemeleri
http://ocw.mit.edu���������������������������������� ��������������
18.06
Do�rusal Cebir, Bahar 2005
L�tfen
a�a��daki al�nt� bi�imini kullan�n:
Gilbert
Strang, 18.06 Do�rusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstit�s�:
MIT A��k Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde
eri�ildi.
Lisans:
Yarat�c� Ortak �zelllik � Ticari Olmayan�
-- Oldu�u� gibi
Kullan�l�r.
Not:� L�tfen al�nt�n�zda bu malzemeye eri�ti�iniz
ger�ek tarihi kullan�n�z.
Bu
materyallerden al�nt� yapmak veya Kullan�m �artlar� hakk�nda bilgi almak i�in� http://ocw.mit.edu/terms
sitesini ziyaret ediniz.
MIT
A��k Ders Malzemeleri
http://ocw.mit.edu
Do�rusal
Cebir, Bahar 2005
Transcript
- Ders 9
Pekala, bu do�rusal cebir�in 9. dersi.
Bu �nemli bir ders, do�rusal
ba��ms�zl���n, bir tak�m vekt�rlerin ba��ms�z veya aksine� ba��ml� olmalar�� fikrinin tart���laca�� bir ders olacak. Vekt�rlerin
gerdikleri uzaydan bahsedece�iz. Bir alt uzay veya bir vekt�r uzay�n�n
temel kavramlar�ndan s�z edece�iz; bu temeller ana fikir. Ve ard�ndan o uzay�n
boyutundan bahsedece�iz.
��te bu kelimelere
somut anlam verece�imiz g�n bug�nd�r. Ve bir tak�m vekt�rlerin ba��ms�z
olmalar� �zerinde duraca��z. Bir matrisin ba��ms�z olmas� diye bir �ey olamaz. Bir
tak�m vekt�rlerin ba��ms�z olmalar�ndan bahsedece�iz. Bir tak�m vekt�rlerin bir
uzaya germelerinden konu�aca��z. Bir tak�m vekt�rlerin taban olmalar�n�
inceleyece�iz. Ve boyutun bir say� oldu�unu s�yleyece�iz.
Tamam, tan�mlara
gelelim. Daha �nceden direk olarak bahsetmedi�im �ok �nemli bir ger�ekle
ba�lamak istiyorum. Diyelim ki bir matrisim var ve A x e�it S�f�r�a bak�yorum.
Diyelim ki bu matrisin pek �ok s�tunu var, yani s�tun say�s� n, sat�r say�s� m
den daha b�y�k. Bu durumda n tane, pardon, m tane denkleme bak�yorum demektir, az
say�da denklem, m tane ve bilinmeyenlerim daha fazla.
Denklemden �ok
bilinmeyenim var. Bunu yaz�yla belirtelim. Bilinmeyenlerim, yani x-lerim
denklemlerden daha fazla. Bu durumda s�f�r uzay�nda s�f�r vekt�r�nden ba�ka
vekt�rlerin de oldu�u sonucuna var�r�m. Sonu� �u: s�f�rdan farkl� x vekt�rleri
var �yle ki A x e�it S�f�r. baz� �zel ��z�mler var. Ve
neden? Neden oldu�unu biliyoruz. Demek istedi�im, denklemden daha �ok
bilinmeyen varsa, onlar� ��zebilmemiz akla uygundur.
Bizim �unlar� yapan
belirgin bir algoritmam�z var: Bir sistemi al�yor, yok etme y�ntemini
uyguluyor, basamak formuna getiriyor, pivotlar�m�z ve pivot
s�tunlar�m�z var, ve bir ka� tane de pivotsuz serbest s�tunumuz var. Esas
nokta, baz� serbest s�tunlar�m�z�n olmas�d�r. Sebebi ise, en az�ndan bir tane
serbest de�i�kenimizin oldu�udur. ��te esas nokta budur, serbest de�i�kenlerin
varl���.
Art�k elimizde belirli
bir algoritma var, yani sistemli bir �ekilde �unlar� yap�yoruz:� A x e�it S�f�r sistemini al�yoruz, sat�r
indirgemesi yap�yor, serbest de�i�kenleri tespit ediyoruz, ve n tane de�i�ken
ve en fazla m pivot oldu�undan, en az bir tane serbest
de�i�ken olacak, asl�nda n-m tane, t�m geriye kalanlar. Ve bu de�i�kenlere
s�f�r olmayan de�erler atayabilirim. Onlar� s�f�r yapmam gerekmez.
Onlara bir veya
herhangi ba�ka bir de�er verebilir ard�ndan da pivot
degi�kenleri i�in ��zebilirim. Bu �ekilde A x e�it S�f�r i�in bir ��z�m elde
ederim. Ve bu ��z�m tamamiyle s�f�r olan bir ��z�m de�ildir. Bu, bu derste
kullanaca��m�z �nemli bir nokta. �imdi, bir tak�m vekt�r�n ba��ms�z olmas�n�n
ne demek oldu�unu s�yleyece�im. Tamam. Bu bildiklerimizin bir
zemini gibi. �imdi ba��ms�zl�k hakk�nda konu�mak istiyorum.
Size soyut tan�m�n�
verebilirim ve verece�im de, ama basit anlam�n� da vermek istiyorum. Soru �u:
x1, x2 gibi... n tane ba��ms�z vekt�r�m oldu�unu
d���nelim; �imdi size �unu vermeliyim. Asl�nda do�rusal ba��ms�zl�k demek laz�m
ama ben sadece k�saca ba��ms�zl�k diyecek ve �yle yazaca��m. Tamam, �imdi tam
tan�m� verelim: Bunlar bir vekt�r uzay�nda ki vekt�rler. Onlar�n bile�imlerini
alabilirim. Soru �u: Bunlar�n herhangi bir bile�imi s�f�r verir mi? E�er, b�t�n
s�f�rlarla olan bile�imleri d���nda herhangi bir bile�imi s�f�r veriyorsa i�te
o zaman bu vekt�rler ba��ml�d�rlar.
E�er hi� bir bile�im
s�f�r vermiyorsa, o zaman bu vekt�rler ba��ms�zd�r. Bununla ne kastediyorum?
Hi� bir bile�im s�f�r vekt�r� vermeyecek. �S�f�r bile�imleri haricinde, herhangi bir c1
x1 + c2 x2 art�,..., art� cn xn bile�imi s�f�r
olmayacak. Bu sadece b�t�n c ler s�f�r oldu�unda m�mk�n olacak. �u
bile�im�bunun s�f�r verece�ini biliyorum. Soru �u: Ba�ka bir bile�im s�f�r
verir mi? Vermezse, o zaman vekt�rler ba��ms�zd�rlar. �ayet bir bile�im s�f�r
veriyorsa o zaman bu vekt�rler ba��ml�d�r. Tamam, �imdi bir �rnek yapal�m. Diyelim
ki, iki boyutlu bir uzayday�z.
�u �rne�e bakal�m: bir
vekt�r ve bu vekt�r�n iki kat� bir vekt�r. �ki vekt�r�m var: V ve 2V. Bunlar
ba��ml� m� ba��ms�z m�? Elbette ki bu iki vekt�r ba��ml�, ��nk� biri di�erinin
2 kat�. Bir vekt�r di�erinin iki kat�, ba��ml� kelimesi bir anlama geliyorsa,
bu iki vekt�r�n ba��ml� olmas� gerekir. Ve ba��ml�lar. Ger�ekten, birincinin
iki kat�n� al�rsam -- i�te V ve i�te 2V, i�te birinci vekt�r V1 ve ikinci
vekt�r 2V1. Elbette bunlar ba��ml�lar, ��nk�� 2 kere birinci eksi ikinci s�f�r
vekt�r� veriyor. ��te iki vekt�r�n bu bile�imi s�f�r vekt�r� veriyor.
Tamam, bu a��kt�.
Diyelim ki bir vekt�r�m var -- i�te bir ba�ka �rnek. Basit
bir �rnek. Farzedelim ki bir vekt�r�m var ve di�er vekt�r�m s�f�r
vekt�r�. Bir vekt�r�m V1 olsun ve di�er vekt�r�m V2 s�f�r vekt�r olsun. Bu
durumda bu iki vekt�r ba��ml� m� ba��ms�z m�? Elbetteki ba��ml�lar. bu adam �unun s�f�r kat� diyebilirsiniz. Bu
bunlar�n bile�imi. Ba�ka bir �ekilde yazarsam, hangi bile�im, V1 in ka�
kat�n� V2 nin ka� kat�na ekleyeyim ki s�f�r vekt�r�n� bulay�m? V1,� 2 1 vekt�r� ve V2 s�f�r vekt�r�, yani s�f�r
s�f�r ise, bunlar�n bir bile�iminin s�f�r oldu�unu g�stermek istiyorum. Ne
almal�y�m? Ka� tane V1 almal�y�m? S�f�r tane. Evet, evet, V1�i almayal�m. Fakat
ka� tane� V2?
Alt�? Ya da be� olsun.
Ba�ka bir deyi�le, i�in
i�inde s�f�r vekt�r� varsa, e�er bu vekt�rlerden biri s�f�rsa, ba��ms�zl�k
�lm��t�r, de�il mi? Vekt�rlerden bir tanesi s�f�r ise, o vekt�r�n herhangi bir
s�f�rdan farkl� kat�n� al�r�m ve di�erlerini hi� almam,
ve bu bile�im bana s�f�r vekt�r�n� verir, ve bu �ekilde ba��ml�l��� g�stermi�
olurum. �imdi son olarak ba��ms�zl��� g�steren bir �rnek vereyim. Varsayal�m ki
�u V1 ve bu V2. Bunlar elbette ba��ms�zlar, de�il mi? S�f�r bile�imleri hari�,
V1 ve V2 nin hi� bir bile�imi s�f�r vekt�r� olamaz. Yani bunlar ba��ms�zd�rlar.
�imdi ���nc� bir vekt�r V3�� ilave etmeme m�sade edin. �imdi bu �� vekt�r
ba��ml� m� ba��ms�z m�? Yani burada n �� d�r. Ben iki boyutlu bir uzayday�m,
bir d�zlemdeyim. Dikkatlice �izemedi�im �� vekt�r�m var. Onlar�n tam olarak ne
olduklar�n� size s�ylemedim.
Ba��ml� m�, ba��ms�z m�
sorusuna cevap nedir? Ba��ml�. Onlar�n ba��ml� oldu�unu nas�l biliyorum?� V1, V2 ve V3 �n bir bile�iminin s�f�r vekt�r
verece�ini nereden biliyorum? D�zlemde �� vekt�r�n ba��ml� olmalar� gerekti�i
bir ger�ektir. Neden bu b�yle? Bu vekt�rlerin ba��ml� olmalar�n�n gerisindeki
ger�ek ne? Ba�lant� �urada: Birinci s�tunu V1, ikinci s�tunu V2 ve ���nc�
s�tunu V3 olan A matrisini ele alal�m. �� s�tunlu bir matris.
Ve V1 -- bilmiyorum,
bana iki bir gibi g�z�k�yor. V2 ise bir iki gibi. V3 iki belki iki bu�uk, eksi
1 olabilir. Pekala, i�te bunlar benim 3 tane s�tun
vekt�rlerim ve ben bunlar� A matrisinin s�tunlar� olarak al�yorum. Art�k A
matrisi 2�ye 3�l�k.
Bu durum �u modele
uyuyor:� Fazladan de�i�kenlerimiz var,
baz� serbest de�i�kenler var, x ler yerine c1, c2, ve
c3 kullan�rsam, biliyorum ki bunlar�n bir bile�imi s�f�r vekt�r�n� verecektir.
�z�r dilerim, birazc�k artistik taraf�m araya girdi. Esas noktay� g�r�yor
musunuz? Elimde bir matris varsa, onun s�tunlar�n�n ba��ml� veya ba��ms�z olup
olmad�klar�n� bilmek isterim. �ayet s�f�r uzay�nda bir �eyler varsa, s�tunlar
ba��ml�d�r.
S�tunlar ba��ml�lar
��nk� s�f�r uzay�ndaki �u e�itli�e bak�n�z: c1 kere bu art� c2 kere �u art� c3
kere o e�it s�f�r. Ba�ka bir deyi�le, V1 ile ileriye do�ru giderim, V2 ile
biraz daha ilerlerim, V3 ile geri d�ner ve s�f�r�a eri�irim. Tamam. �imdi genel
ve soyut bir tan�m vermek istiyorum; tekrarlarsam, s�tunlara V diyelim. V1 den
Vn ye kadar A n�n s�tunlar� olsunlar.
Ba�ka bir deyi�le, m
boyutlu uzayda isem, bu iki boyutlu �rnekte oldu�u gibi, �ba��ml�l�k-ba��ms�zl�k sorusunu, bu vekt�rleri
bir matrisin s�tunlar� yap�p do�rudan cevaplayabilirim. Bunlar A�n�n s�f�r
uzay� ne olursa ba��ms�z olurlar? Elimde bir matrisin s�tunlar� varsa, onlar�n
bile�imlerine bakmak A ile c vekt�rlerini �arpmak demektir. Ve A n�n s�f�r
uzay� bo� ise yani orada sadece s�f�r vekt�r� varsa, bu s�tunlar ba��ms�z
olacaklard�r. E�er s�f�r uzay�nda ba�ka bir �ey olsa idi ba��ml� olacaklard�.
E�er s�f�r uzay�nda
s�f�r vekt�rden ba�ka bir vekt�r varsa, �rne�in c s�f�r uzay�nda s�f�r olmayan
�yle bir vekt�rse ve A kere c s�f�r veriyorsa, bu s�tunlar�n ba��ml� olmas�
demektir, ��nk� bu bana s�tunlar�n bile�iminin s�f�r oldu�unu s�yl�yor. San�r�m
beni anl�yorsunuz, ��nk� biz bunlar� �nceden g�rd�k, pek �ok dersimizde
s�tunlar�n bile�imlerine bak�yoruz ve s�f�r elde ediyor muyuz, etmiyor muyuz
sorusunu sorup duruyoruz. Ve �imdi buna resmi bir isim takmak istiyoruz: s�f�r
elde ediyorsak ba��ml�, etmiyorsak ba��ms�z. �imdi bunu farkl� bir �ekilde
s�ylersek:
Rank�tan s�z edersek --
ba��ms�zl�k durumunda rank nedir? S�tunlar�n ba��ms�z oldu�u durumda matrisin
rank� r -- nedir? Yani s�tunlar ba��ms�zlar. Ka� tane pivot
s�tunum var? Hepsi n tane. B�t�n s�tunlar pivot
s�tunlar�d�r, ��nk� serbest s�tunlar bana �nceki s�tunlar�n bile�imi
olduklar�n� s�yl�yorlar. Bu durumda rank n dir. Bu durum da rank��n n�den k���k
oldu�u durum olacak. Bu durumda rank n dir ve A n�n s�f�r uzay� sadece s�f�r
vekt�r�d�r.
Ve hi� serbest de�i�ken
yok. Hi� serbest de�i�ken yok. Bu hi� serbest de�i�kenin
olmad��� bir durum. �ngilizceyi biraz uzat�rsak ��yle de diyebiliriz:
�yle bir durumday�z ki s�tunlar�n bir bile�imi s�f�r s�tununu veriyor. �ok
defas�nda vekt�rlerimin bir matris �ekline konuldu�u durumla ilgileniyorum.
�uradaki ba��ms�zl�k tan�m� matrislerin s�z�n� etmedi.
Vekt�rler N boyutlu
uzayda olmak zorunda de�iller. Ve �imdi ben size �yle bir vekt�r �rne�i
verece�im ki siz bunlar�n vekt�r olduklar�n� ilk anda anlayamayacaks�n�z. Fakat
yine de �o�u zaman bizim d���nd�klerimiz s�tun vekt�rleridir. Ve biz onlardan
matris olu�turuyoruz. Ve ard�ndan ba��ml�l�k veya ba��ms�zl�k, s�f�r uzay�
olarak bize geri geliyor. Tamam. ��te ba��ms�zl���n anlam� budur.
�imdi bir uzayda
vekt�rlerin gerilmesine bakal�m. Bir tak�m vekt�rlerin bir uzay� germesi ne
anlama geliyor? Asl�nda biz bunu daha �nce g�rd�k. Hat�rlayacaks�n�z, bir
matrisimiz varsa, onun s�tunlar�n�n bile�imleri bize s�tun uzay�n� vermekteydi.
�Elimizdeki o vekt�rler s�tun uzay�n�
geriyorlard�. �imdi bir uzay� germek ne demek onu anlataca��m: Tamam. V1 .... Vn bir alt uzay� veya uzay� geriyor demek, o uzay o
vekt�rlerin b�t�n bile�imlerini i�eriyor demektir. Bu s�tun
uzay�nda yapt���m�z�n ayn�s�.� Bu
durumda k�saca bir matrisin s�tunlar�n�n s�tun uzay�n� gerdi�ini s�yleyebiliriz.�
Size bir demet vekt�r
verdi�imi d���n�n, bunlar�n gerdi�i uzaya S diyelim, bir ba�ka deyi�le S bu
vekt�rlerin b�t�n bile�imlerini kapsayacakt�r, asl�nda S b�t�n bu bile�imleri
kapsayan en k���k uzayd�r, do�ru mu? ��nk� bu vekt�rleri i�ine alan bir uzay
onlar�n b�t�n bile�imlerini de i�ine al�r. Ve tam orada durursam, bu en k���k
uzay olacakt�r ve o vekt�rlerin gerdi�i uzay bu olacakt�r.
Tamam. Demek ki � b�t�n
do�rusal bile�imleri al ve bunlar� bir uzay i�ine koy diyece�ime, k�saca bunu
bu germe kelimesi i�ine s�k��t�r�yorum. Gelelim bir matrisin s�tun uzay�na.
S�tunlarla ba�l�yorum, onlar�n b�t�n bile�imlerini al�yorum. Bu bana s�tun
uzay�n� veriyor. Bu vekt�rler s�tun uzay�n� gererler. �imdi bu vekt�rler
ba��ms�zlar m�? Belki evet, belki hay�r.
Bu
matrise giren s�tun vekt�rlerine ba�l�. A��kcas� beni en �ok ba��ms�z olan ve uzay�
geren vekt�rler ilgilendiriyor.� Bu
elimde do�ru say�da vekt�r�m�n oldu�unu s�yler. elimde
hepsi yoksa b�t�n uzay�m� elde edemem. Gere�inden daha fazla vekt�r varsa, o
zaman da bu vekt�rler ba��ms�z olamazlar. �imdi i�te taban kavram�na
yakla��yoruz. Taban ne demek anlatay�m. Bir vekt�r uzay� i�in bir taban demek
elimde V1, V2, ..., Vd gibi bir vekt�r dizisi var ve
bunlar�n iki �zelli�i var. Yeteri kadar vekt�r�m var ve daha fazlas� yok.
Bu
taban tan�m�n�n temel fikri. Bir taban asl�nda bir vekt�rler demeti ve iki �zelli�i olan bir
vekt�rler dizisi, yani birincisi onlar ba��ms�zlar, ikincisinin ne oldu�unu
biliyorsunuz -- onlar uzay� gererler. �imdi �rnek i�in biraz zaman ay�ral�m,
ben sizden iki tan�m� bir araya getirmenizi bekliyorum: birincisi ba��ms�zl�k
tan�m� ve ikincisi uzay�n gerilmesi. �imdi �rneklere bakal�m. Taban meselesi
daima merkezi bir soru olacak. Daima bir taban sorusu soraca��m. Diyelim bir
alt uzaya bak�yorum ve size soruyorum, bana bu uzay i�in bir taban verirseniz o
zaman siz bana bu uzay�n ne oldu�unu s�ylemi� olursunuz.
O altuzay hakk�nda
bilmek istedi�im her�eyi bana s�ylemi� olursunuz. Onlar�n bile�iminini al�yorum
ve biliyorum ki b�t�n bile�imlere ihtiyac�m var. Tamam. �rnekler. Tamam, �imdi
taban �rnekleri verelim.� �ki boyutlu bir
uzayla ba�layal�m. Yok, hay�r 3 boyutlu ger�ek uzay R� de �al��al�m. Bana bir
taban verin.
Taban ne? Yani baz� vekt�rler� istiyorum,
��nk� sizden bir taban yaratman�z� istersem, sizden bir vekt�rler listesi
bekliyorum demektir.�� O halde 3 boyutlu
bu uzay i�in bir taban nas�l olur? Akla ilk gelen taban, bu vekt�r bu vekt�r ve
�u vekt�r. Tamam. ��te size bir taban. M�him olan
nokta �u ki, bu var olan tek taban de�il. Yani daha bir s�r� taban bulunabilir.
�imdi bunun bir taban oldu�unu g�sterelim. Bu vekt�rler ba��ms�zlar m�? Bunlar
asl�nda x, y, z�
eksenleri gibi. Bunlar da ba��ms�z de�illerse sorunumuz b�y�k
demektir... Kesinlikle �yleler. Bu vekt�r�n c1 kat� + �u vekt�r�n c2 kat� art�
bunun da c3 kat�n� al�n ve bu bile�imi s�f�r yapmaya �al���n.� c ler ne olur?� �ayet bu vekt�r�n c1 kat� art� �u vekt�r�n c2
kat� art� bunun da c3 kat� bana 0 0 0� veriyorsa, o zaman b�t�n c ler
s�f�rd�r --- do�ru mu? ��te ba��ms�zl�k testidir.� Matris dilinde, �u tahtan�n alt�nda kalan
durum, bu vekt�rleri matrisin s�tunlar� yapabilirdim. Bu bana birim matrisini
verirdi.� �imdi �u soruyu sorard�m: Birim
matrisin s�f�r uzay� nedir?� Ve siz bunun
sadece s�f�r vekt�r� oldu�unu s�ylerdiniz. O zaman ben de s�tunlar�n ba��ms�z
oldu�unu s�ylerdim elbette. Birim matrisle �arp�ld���nda s�f�r vekt�r�n� sadece
ve sadece s�f�r vekt�r� verir. Tamam m�?
Bu taban tek de�il.
Hi�bir �ekilde... Bana ikinci bir taban verin. Ba�ka bir
taban. Ba�layal�m: Bir bir iki. �ki iki be�. Diyelim
ki burada durduk. �imdi bu elimdeki vekt�rler R^3 i�in bir taban olu�tururlar
m�? Biz R^3 i�in bir taban pe�indeyiz. �u iki s�tun vekt�r� ba��ms�z m�? Evet�R^3 � geriyorlar m�? Hay�r. Hissiyat�m�z da hay�r.
Hissimiz �u ki R^3 de bu vekt�rlerin bile�imi olmayan vekt�rler de var. Bir
vekt�r daha ilave etmem gerek ��nk� o iki vekt�r uzay� germiyorlar. Tamam. ���nc�
vekt�r olarak ��, ��, yedi koymam aptall�k olur, de�il mi, enayice bir i� olur.
��nk� �� �� yedi
koyarsam o vekt�rler ba��ml� olurlar, de�il mi?�
�ayet �� �� yedi koyarsam o zaman bu �u ikisinin toplam� olur, �u
ikisiyle ayn� d�zlemde olur. Ba��ms�z olamaz. Bir taban elde etme �abam �lm��
olur. O halde, hangi vekt�r� almal�y�m? �u d�zlemde olmayan herhangi bir vekt�r
alabilirim. Deneyelim -- umar�m 3 3 8 �al��acak. En az�ndan �u iki vekt�r�n
toplam� de�il. �nan�yorumki bu bir taban.
Ve �imdi bunun bir
taban oldu�unu do�rulayacak test hangisi?�
Ben o say�lar� geli�i g�zel se�mi�tim -- e�er� 5 7 -14 � se�seydim bunlar�n bir taban
olu�turup olu�turmayaca��n� nas�l bilebilecektim?� Onlar� bir matrisin s�tunlar� yapars�n�z ve
yoketme y�ntemini uygular -- hi� serbest de�i�keninizin olup olmad���na� veya b�t�n s�tunlar�n pivot s�tunlar�
olup olmad���na bakard�n�z. �imdi bu durumda bizim kare bir matrisimiz var � 32e
3 l�k bir matris.
Bu durumda matris
�zerindeki test nedir? Bu durumda R^3 deyiz ve 3 vekt�r�m var, matrisim kare
matris ve �u s�tun vekt�rlerinin ba��ms�z olmas� i�in matris �zerindeki �art ne
olmal�? R^n� durumunda
elimdeki n vekt�r�n bir taban te�kil etmesi i�in, bu s�tunlar�n te�kil etti�i
matris �zerindeki �art ne olmal�? Tersi olmas�? Evet, evet. matris
tersinin al�nabilir olmas� gerekir. Kare bir matris i�in bu m�kemmel bir cevap.
Tersi al�nabilir
matris. Bu durumda uzay�m�z R^n t�m�d�r. Bu noktada benimle beraber
oldu�unuzdan emin olmak istiyorum. �unu bir tarafa koyal�m. �u iki vekt�r
herhangi bir uzay�n taban� m�d�rlar? Ger�ekten �u iki vekt�r�n taban� oldu�u
bir uzay var m�d�r? �u ve �u vekt�rlerin 1 1 2 ve 2 2 5 taban oldu�u bir uzay?
Elbette. Onlar ba��ms�zlar, yani taban olman�n ilk �art�n� sa�l�yorlar, o halde
onlar�n taban� oldu�u hangi uzay� almal�y�m? Hangi uzay i�in bunlar bir taban
te�kil ediyorlar? Elbette ki gerdikleri uzay�n.
Onlar�n bile�imi. Bir
d�zlem, de�il mi? R^3 �n i�inde bir d�zlem. 1 1 2 vekt�r�n� alal�m, �uraya koyal�m, ve 2 2 5 i de buraya alal�m, bunlar bir taban
te�kil ederler, ��nk� bunlar bir d�zlem gererler. Ve onlar bu d�zlem i�in bir
taband�rlar, ��nk� ba��ms�zlar. ���nc� bir vekt�r olarak 3 3 7 yi ilave
edersem, bu �� vekt�r de ayn� d�zlemi gerer, fakat bunlar bir taban olamazlar
��nk� art�k ba��ms�z de�iller. Tamam m�?
S�tun vekt�rlerinin
ba��ms�z oldu�u ve s�tun uzay�n� gerdi�i probleme bak�yoruz. Ba��ms�zlar o
halde s�tun uzay� i�in bir taban olu�turuyorlar. Tamam. ��yle k���k bir sezgim
var. R^n ye geri gidelim. 3 3 8 koydu�um yere. Tamam. �lk mesaj: taban tek
de�il, de�il mi? Zilyon tane taban vard�r. Herhangi bir tersi al�nabilir ��e ��l�k� matris al�n,
onun s�tunlar� R^3 i�in bir taband�r.
S�tun uzay� R^3 d�r,
dolay�s� ile matrisin tersi varsa s�tunlar� ba��ms�zd�r ve R^3 i�in bir taban
olu�ur. Dolay�s� ile bir s�r� taban vard�r. Ama b�t�n bu s�tunlar i�in ortak
bir nokta vard�r. Bu taban�n R^3 �n �u veya herhangi bir taban� ile payla�t���
bir �ey vard�r. Nedir bu? Ne gelece�ini biliyorsunuz, ��nk� size �unun, R^3
i�in bir taban olup olmad���n� sordu�umda hay�r demi�tiniz.
�
Biliyorum siz hay�r
dediniz ��nk� orada yeteri kadar vekt�r olmad���n� biliyordunuz. Ve b�y�k
ger�ek �u ki bir s�r� taban var ama de�i�iklik olsun diye ba�ka bir �ekilde
s�ylersem, bir s�r� taban var ama hepsi de ayn� say�da vekt�re sahipler. R^3
hakk�nda konu�uyorsak bir tabandaki vekt�rlerin say�s� 3 d�r. R^n hakk�nda
konu�uyorsak o zaman vekt�rlerin say�s� n dir.
Ba�ka t�r uzaylardan,
bir vekt�r�n s�tun uzay�ndan veya s�f�r uzay�ndan,
veya hi� akl�m�za hen�z gelmemi� bir uzaydan bahsediyorsak, bir s�r� taban�n
oldu�u do�ru; fakat b�t�n bu tabanlar ayn� say�da vekt�re sahipler. Bu b�y�k
ger�e�i yazal�m: Bize harhangi bir uzay, R^3 veya R^n veya ba�ka bir matrisin
s�tun uzay� veya bir matrisin s�f�r uzay�, veya bamba�ka
bir uzay bize verilmi� olsun. B�y�k ger�ek �u ki bir uzay�n herhangi bir
taban�nda ayn� say�da vekt�r vard�r.
Bir tabanda alt� tane
vekt�r varsa herhangi ba�ka bir tabanda da alt� vekt�r vard�r. ��te o alt�
say�s� bana bu uzay�n ne kadar b�y�k oldu�unu s�yl�yor. Bana bir taban i�in ka�
tane vekt�re ihtiyac�m oldu�unu s�yl�yor. Bir ba�ka g�r��le, bu uzayda �ayet 7
vekt�r�m�z varsa o zaman elimizde �ok vekt�r var. Elimizde 5 vekt�r varsa, bir
taban i�in yeteri kadar vekt�r�m�z yok demektir. Bu uzay i�in alt� tam tam�na
do�ru say�. Ve bu say�ya ne isim koyal�m? Bu say� -- bug�n�n son tan�m�n�
yap�yorum. Bu say� o uzay�n boyutudur.
Yani bir uzay�n her
taban� ayn� say�da vekt�re sahip. Ayn� vekt�rler de�il -- her t�rl� taban, her
birinde ayn� say�da vekt�r var ve biz o say�ya boyut diyoruz. Bu uzay�n boyutunun
tan�m�d�r. Tamam. Tamam.
�imdi baz� �rnekler
yapal�m. �imdi yapm�� oldu�umuz 4 tane tan�m� tekrarlayal�m. Ba��ms�zl�k, bu
bile�imlerin s�f�r olmamas�na bakar. Yay�lma, bu b�t�n bile�imlere bakar. Taban
ise, hem ba��ms�z ve hem de uzay� geren bile�ime bakar.
Ve art�k bir uzay�n boyutu hakk�nda bilgimiz var. Boyut herhangi bir
tabandaki vekt�r say�s�d�r, ��nk� b�t�n tabanlarda ayn� say�da vekt�r vard�r.
�imdi �rneklere
ge�elim. Diyelim ki uzay�m bir matrisin s�tun uzay�. Her �eyin a��k olmas� i�in
�u matrise bakal�m 1 1 1, 2 1 2, toplamlar�n� al�rsam 3 2 3,
ve 1 1 1 de koyal�m. Tamam. Elimde 4 vekt�r var. Bunlar matrisin s�tun uzay�n� geriyorlar
m�? Tekrarlarsam, bu d�rt vekt�r matrisin s�tun uzay�n� geriyorlar m�? Evet.
Tan�m olarak bu s�tun
uzay�. Bunlar s�tun uzay� i�in bir taban m�? Onlar ba��ms�zlar m�? Hay�r,
ba��ms�z de�iller. S�f�r uzay�nda bir�eyler var. Matrisin s�f�r uzay�na
bakal�m. �u matrisin s�f�r uzay�nda olan bir vekt�r g�sterin bana. Yani ben
�yle vekt�rler ar�yorum ki, bir �u s�tun vekt�rlerini birle�tirsin ve s�f�r
vekt�r�n� versin.
Bir ba�ka deyi�le, ben
A x e�it S�f�r �n ��z�mlerine bak�yorum. O halde bana s�f�r uzay�nda bir vekt�r
verin. Belki -- �ey, bu s�tun art� �u s�tun bunu veriyor, o halde �unu alay�m
eksi bu bana s�f�r uzay�nda bir eleman verebilir. Siz bana zaten s�ylediniz, �u
vekt�rler ba��ms�z m�? Cevap hay�r, o s�tunlar ba��ms�z de�iller,� hay�r. Onlar ba��ms�z de�iller.
��nk� -- siz zaten
onlar�n ba��ms�z olmad�klar�n� biliyordunuz. Neyse, eksi bir tane bundan eksi
bir �undan art� �unun s�f�r kat� s�f�r vekt�r� olur. Tamam. �yleyse onlar
ba��ms�z de�iller. Uzay� geriyorlar ama ba��ms�z de�iller. Bana s�tun uzay�
i�in bir taban s�yler misiniz? Bu s�tun uzay� i�in bir taban nedir? B�t�n
bunlar ev �devlerinde k�sa s�navlarda sorulacak ve finalde de sorulacak sorulard�r.
Bu matrisin s�tun uzay� i�in bir taban bulunuz. Tamam.
�imdi bir s�r� cevap
var, ama siz bana en do�al olan� verin. Birinci ve ikinci s�tunlar. S�tun bir
ve iki en do�al cevapt�r. Bunlar asl�nda pivot s�tunlar�d�r.
��yle ki sistematik bir �ekilde, �nce birinci s�tuna bak�yoruz, uygun. Onu
taban�n i�ine alabiliriz. Sonra ikinci s�tuna bak�yoruz, O da tamam...
Onu da tabana
ekleyebiliriz. ���nc� s�tunu tabana ekleyemeyiz. Ayn� �ekilde d�rd�nc� s�tunu
da koyamay�z. Bu durumda bu marisin rank�, bu matrisin rank� nedir? �ki. �ki ve
rank i�in bizim ikinci bir kelimemiz daha var. Burada b�y�k bir teorem
var.� A matrisinin rank� r, ayn� zamanda pivot s�tunlar�n�n say�s�d�r ve ayr�ca -- �ey, l�tfen benim
yeni kelimemi kullan�n�z.
Bu iki say�s�, elbette
ki matrisimin rank� iki, ayn� zamanda pivot
s�tunlar�n�n say�s�d�r, bu pivot s�tunlar� bir taban te�kil eder elbette, o
halde iki nedir? ��te boyuttur. A matrisinin rank�, pivot
s�tunlar�n�n say�s�, s�tun uzay�n�n boyutudur. Siz elbette �yle diyorsunuz.
Zaten �yle olmal�. Tamam. Fakat biraz bak�n, �ngilizce kelimelerin bu i�e nas�l
bula�t���na dikkat ediniz.
Bir matrisin rank�n�
ele alal�m. Bu say� hem ba��ms�z s�tunlar�n say�s� hem de s�tun uzay�n�n boyutu
-- ama bu rakam�n matrisin boyutu olmad���n� s�ylemek isterim. Rank bir alt
uzay�n, s�tun uzay�n�n boyutu. G�r�yor musunuz, ben matrisi A nin boyutunu
kastetmiyorum.
Bu benim istedi�im
de�il. Ben A matrisinin s�tun uzay�n�n boyutu pe�indeyim. Bu kelimeleri do�ru
kullan�rsan�z, do�ru fikre sahip oldu�unuz g�r�l�r. Burada da
�yle. Bir alt uzay�n boyutundan bahsetmiyorum. Ben bir matrisin
rank�ndan s�z ediyorum.�
G�zel olan �u: bu
tan�mlar �yle bir araya geliyorlar ki matrisin rank� s�tun uzay�n�n boyutu
oluyor. �Ve bu �rnekte
bu say�, iki. Bir sonraki soru: taban nedir? Ve ilk iki s�tun bir taban
olu�turur. Bana bir ba�ka taban verin. S�tun uzay� i�in bir ba�ka taban.
G�r�yorsunuz, i�lemeye devam ediyoruz.�
�z�r diliyorum ama
sizin taban fikrini iyi kavram�� olman�zdan emin olmak istiyorum. S�tun uzay�
i�in bir ba�ka taban verir misiniz? �ey, bir ve ikinci s�tunlar�
kullanabilirsiniz. Bunlar s�tun uzay� i�in bir taban olu�turur. Veya ikinci ve
���nc� s�tunlar bir taban olabilir. Ya da ikinci ve d�rd�nc� s�tunlar.
Veya bana bu s�tunlar�
kullanmadan elde edilecek bir taban verin. Yani size sonsuz say�da imkan veriyorum, o halde sizlerden tek bir cevap bekleyemem.
�imdi ba�ka bir tabana bakal�m. Zilyon tane se�im oldu�undan onu b�rakaca��m ve
silece�im.� S�tun uzay�n�n bir ba�ka
taban� ��yle bulunabilir: Orada olmayan baz� vekt�rler alay�m.
��yle yapal�m -- 2 2 2� ile hayat kolay olacakt�r.
Bu s�tun uzay�ndad�r. Ve, bu gayet de a��k. �unlar�n
toplam�n� almama m�sade edin: 6 4 6. Veya, b�t�n
s�tunlar�n toplam�n� alal�m, 7 5 7, neden olmas�n? Bu da s�tun uzay�ndad�r.
Bunlar da ba��ms�z ve say�lar� tamam, yani iki tane vekt�r�m var.
Asl�nda
bu �nemli bir nokta. Hangi uzayla �al��t���n�z� biliyorsan�z ve biliyoruz ki bu s�tun
uzay�d�r, boyutunu da biliriz, s�tun uzay�n�n boyutu iki�dir. Boyutu
biliyorsan�z ve elinizde o say�da ba��ms�z vekt�r�n�z varsa, onlar otomatikman
taban te�kil edeceklerdir. Do�ru say�da vekt�r�m�z varsa, bu durumda iki vekt�r,� ve de bunlar
ba��ms�zlarsa, onlar uzay� germekten ba�ka bir �ey yapamazlar. ��nk� �ayet
onlar uzay� geremiyorsa, bu uzay� germek i�in ���nc� bir� vekt�re ihtiya� olurdu� ama o vekt�r ba��ms�z olamazd�.
Yani, elimizde bir
taban varsa vekt�r say�s� tam olarak do�ru olmal�d�r. Ve onlar uzay� gererler.
Tamam. �ok g�zel. B�ylece siz uzay�n boyutunu bulmu� oldunuz. ��te bu
yaratt���m bir ba�ka taband�. Tamam. �imdi de s�f�r uzay� hakk�nda soru
soral�m. S�f�r uzay�n�n boyutu nedir? B�y�k ger�e�imiz: s�tun uzay�n�n boyutu
rank kadard�r.
�imdi s�f�r uzay�ndan
ne haber? Bu dersimizin di�er taraf� ve bir sonraki derse ge�ece�im. Tamam.
Biliyoruz ki s�tun uzay�n�n boyutu 2 dir, yani rank ikidir. S�f�r uzay�ndan ne
haber?� S�f�r uzay�nda
i�te bir vekt�r. S�f�r uzay�nda ba�ka vekt�rler var m�? Evet veya hay�r? Evet. Bu taban olamaz ��nk� uzay� germiyor.
S�f�r uzay�nda elimizde olandan daha fazlas� var. En az�ndan bir vekt�re daha
ihtiyac�m var.
O halde bana s�f�r
uzay�ndan bir vekt�r daha verin. Do�al se�im �u olur: d�rd�nc� s�tuna gidelim,
�u serbest de�i�keni bir ve bu serbest de�i�keni s�f�r yapal�m. Ve bu d�rd�nc�
sutunun pivot s�tunlar�n�n bile�imi olup olmad���n�
soruyorum. Evet �yle.
Ve, i�te oldu. Asl�nda ben iki ��z�m
yazm�� bulunuyorum. De�il mi? Serbest de�i�kenlere bak�n�z, serbest ve serbest.
Onlara 1 0 veya 0 1 de�erlerini verdim. Sonras�n� kendim hesaplad�m. G�r�yor musunuz,
kelimelerle s�ylersem: Bu vekt�r ve s�f�r uzay�ndaki �u vekt�rler, s�tun
vekt�rlerinin bile�iminin s�f�r vekt�r� verdi�ini s�yler. Bir �ekilde bana
s�tun vekt�rlerinin ba��ml� olduklar�n� s�yl�yorlar. ��te s�f�r uzay� bunu
s�yl�yor. �u ana kadar yeteri kadar var m�? Ve �imdi s�f�r uzay� nedir? Art�k
s�f�r uzay� hakk�nda d���nmemiz gerek.
��te bunlar s�f�r
uzay�nda iki vekt�r. Ba��ms�zlar. S�f�r uzay� i�in taban te�kil ediyorlar m�?
S�f�r uzay�n�n boyutu nedir? G�r�yorsunuz bu sorular devaml� �ne ��k�yorlar.
�unlar s�f�r uzay� i�in taban vekt�rleri mi? Hen�z bir ispat yapmam�� olsak da
siz bu soruyu cevaplayabilirsiniz.
Yapabilir misiniz? Evet veya hay�r. Bu iki �zel vekt�r s�f�r uzay� i�in bir
taban te�kil ediyor mu? Bir ba�ka deyi�le, s�f�r uzay� �u iki vekt�r�n
bile�imlerinden mi olu�mu�tur? Evet veya hay�r? Evet.
Evet. S�f�r uzay� 2 boyutludur. S�f�r uzay�n�n boyutu serbest de�i�ken say�s�
kadard�r. Yani s�f�r uzay�n�n boyutu serbest de�i�ken say�s�na e�ittir.
Ve son saniyede, bana
form�l� veriniz. Bildi�imiz kilit form�l budur. Rank r cinsinden ka� tane
serbest de�i�kenimiz var, m -- sat�r say�s�,�
n -- s�tun say�s� cinsinden. Ne elde ettik? n tane s�tunumuz var,
bunlar�n r tanesi pivot s�tunu, o halde n - r tanesi
serbest s�tunlar, yani serbest de�i�kenler. Ve �imdi bu s�f�r uzay�n�n boyutu
olur. Tamam, �ahane. ��te bunlar anahtar uzaylar, onlar�n tabanlar� ve
boyutlar�.� Te�ekk�rler.