MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 8

Pekala, kamera tamam deyince başlıyoruz. Bana sinyal veriyor musunuz?

Tamam, bu Doğrusal Cebir’in 8. dersi ve biz bu derste doğrusal denklemleri tamamiyle çözüyoruz.

Dersimiz A x = b. Hedefimiz bu. Çözüm olabilir de olmayabilir de. Yok etme yöntemi ile bu durumu tespit etmeliyiz. Ve bir çözüm var olduğunda, sadece tek bir çözüm mü var yoksa bir sürü çözüm mü var, hepsini bulmalıyız. Sıfır uzayını bulmak için üzerinde çalıştığım geçen dersteki matrisi kullanacağım.

Matrisimizin satırları: 1 2 2 2, 2 4 6 8, üçüncü satır -- hatırlıyorsunuz esas nokta üçüncü satır 3 6 8 10, birinci ve ve ikinci satırın toplamıydı. Bir başka deyişle, şu sol tarafları toplarsam, üçüncü sol tarafı elde ediyorum. Yok etme yönteminin sağ taraf hakkında neler bulacağını siz bana hemen söyleyebilirsiniz. Bu sistemin bir çözümünün olabilmesi için b1, b2, ve b3 üzerinde bir koşul olması gerekir. Pek çok durumda -- şu sayıları 1, 5, ve 17 alırsam hiç bir çözüm olamaz..

Aslında, ilk sayıları 1 ve 5 alırsam, b3 sadece ne olabilir? Elbette altı. Şayet sol tarafların toplamı bu olacaksa b1 artı b2 nin b3 e eşit olması gerekir. Şimdi yok etme yönteminin bunu nasıl yaptığını görelim. Bunun böyle olacağını görebiliriz, değil mi? Başka bir şekilde söylersem, bazi bileşimler sol tarafta sıfır veriyorsa, aynı bileşimlerin sağ tarafta da sıfır vermesi gerekir.

Tamam, aynı örmeği alalım ve artı işaretlerini kopyalamaktansa matrisi yazalım. 1 2 2 2, 2 4 6 8 ve 3 6 8 10, ve üçüncü satır ilk iki satırın toplamı. Şimdi sağ tarafı nasıl halledeceğiz? Sol taraftaki satırlara yaptıklarımızın aynısını sağ tarafa da yapmak istiyoruz ve bunun için de sağ tarafa bir vektör ilave ediyoruz, bir sütun vektörü. İşte bu genişletilmiş matrisdir. Bu A ile yanına b nin ilave edilmesinden elde edilen matris dir. Matlab da sadece bunu yapmanız kafi. Pekala, şimdi yok etmeyi bu matris üzerinde yapacağız. Yok etmeyi hızlıca yapabilir miyiz? Birinci pivot tamamdır, şunun iki katını bundan, bunun üç katını şundan çıkartıyorum ve 1 2 2 2 b1 elde ediyorum.

Şunların ikisini atmak bana 0 0 2 ve 4 verecektir ve şu b2 eksi iki kere b1 dir. Aynısını şu üçüncüye, şu son sütuna da yapmalıyım. Bu şekilde bundan üç kere şunları çıkartırsam 0 0 2 4 b3 eksi üç kere b1 bulurum. Bu şekilde birinci sütundaki yok etmeyi tamamlamış oluyoruz.

Devam edersek, birinci pivot hala orada. İkinci pivot işte burada. Bunların pivot sütunları olduğunu daima akılda tutacağız. Son neticeye gelirsek --- durun, şurayı silebilir miyim? Bu satırı şu satırdan çıkartalım, o bunu öldürecek ve bana sıfır dolu bir satır verecek ve sağ tarafta şunu bundan çıkartırsam ne bulurum? Sanırım b3 eksi b2, ve eksi üç kere b1. İşte bu eksi b1 olacaktır.

Bakın işte tam beklediğim gibi. Yani şimdi -- son denklem hangisi? Son denklem, sıfır dolu bir satır olarak ifade ediliyor, sıfır eşit b3 eksi b2 eksi b1 dir. İşte çözülebilme şartımız budur. Sağ tarafta beklediğimiz şart işte budur.

Bu b1 + b2 nin b3 ile aynı olduğunu söylüyor ve şayet elimizdeki sayılar 1, 5, ve 6 olsaydı -- ve b nin 1 5 6 olduğunu varsayarsak, bu doğru bir b olur.

Bu yok etmeyi bitirdiğimde elime ne geçecek? b1 hala 1 olacak. b2 ise 5 eksi 2, yani 3 olur. 6 eksi 5 eksi 1, işte burası temel nokta, bu sıfır olur, teşekkürler, tamam.

Artık son denklem tamam. Ve şimdi dört bilinmiyenli iki denklemi çözmeye çalışacağım. Pekala, bunu yapmak istiyorum, işte bu b, tamam. Çözüm var. Elbette biz denklemin çözümünün olabilmesi için b üzerindeki şartın peşindeyiz.

Çözüme geçmeden önce ne gördüğümüzü yazalım. İlk önce – çözülebilirlik; çözülebilirlik - ki sağ taraftaki şart işte bu. Ve nedir bu şart? Bu Ax = b nin her zaman çözülebilmesi şartı. Bu şekilde A x = b nin çözülebilirliği için sütunlar dilinde bir cevap bulduk.

Cevabın ne olduğunu bana hatırlatabilir misiniz? Bu bizim önceki dersimizdeki cevap gibiydi. b sütunlar uzayında olmalı. Ancak b, A’nın sütun uzayında ise çözüm vardır. Doğru mu? Bu şunu söylüyor: b sütunların bileşimi olmalıdır ve elbette denklem tam da bunu arıyor.

Şimdi cevabı verelim, aynı cevap ama farklı dilde. Cevabın bir başka yolu - A nın bazı satırlarının bileşimleri sıfır satırı veriyorsa, ve bu durum elimizdeki örnekde böyleydi, satırların bazı bileşimleri sıfır satırı veriyordu, bu durumda b nin üzerindeki şart ne olacak?

Denklemlerin her iki tarafına da aynı işlemleri yaptığımızdan -- b nin elemanlarının aynı bileşimleri sıfır vermeli, değil mi? Eğer satırlarının bileşimi sıfır satırı veren bir matris varsa, b’nin elemanlarının aynı bileşimi de sıfır vermeli.

Ve bu bir sıfır satırı değil, bilakis bu sıfır sayısı. Tamam mı? Hemen belirgin olmasa da, bu iki ifadenin aynı olduğunu söylemenin bir başka yolu. Her ikisi de sistemin çözülebilme şartı olduğundan, birbirlerine eşdeğer olmaları gerekir.

Pekala, sanki sıfır sorusuna geldik: sistemin çözümü var mı? Tamam, bunu daha çok tartışmak için geri döneceğim. Çözüm olduğunu kabul ederek ilerleyelim. Çözüm olduğunda. Ve şimdi bizim işimiz ne? Arkaya yaslanıp iyi, bir çözüm var işimiz bitti mi diyelim?

Çözüm var. Ancak onu oluşturmamız gerekir. Çözümü bulmak için atacağımız adımlar -- algoritma nedir? Sınavlarda ben size bir Ax = b sistemi verip çözüm olup olmadığını soracağım. İşte takip etmeniz gereken algoritma bu. Tamam mı, haydi görelim.

O halde A x = b nin bütün çözümleri nedir? Pekala, bir çözüm, bir belirli çözüm bularak başlayalım. Son denklem sıfır eşit sıfır olduğu için belirli bir çözüm bulabilmeyi umut ediyorum.

Gerçekde iki denklemim ve dört bilinmeyenim var, dolayısı ile sadece bir çözüm değil bir çok çözüm bulmak umudundayım. Ama şimdilik bir tane bulalım.

Birinci adım, belirli bir çözüm, belirli x. Belirli bir çözümü nasıl buluyoruz? Durun şimdi size bunu anlatayım. Bir sürü çözüm olduğundan belirli çözümü bulmak için siz kendi yolunuzu bulabilirsiniz. Fakat bu gayet normal bir yol. Bütün serbest değişkenleri sıfır yapınız. Bu serbest değişkenler herhangi bir şey olabileceğinden en uygun seçim sıfırdır. Ve artık A x = b yi pivot değişkenleri için çözün.

Bu örneğim açısından ne anlama geliyor? Hangileri serbest değişkenler. Serbestce değer atayabileceğimiz değişkenler hangileri, ve pivot değişkenlerini bulabilmenin tek ve bir tek yolu var. Bunlar x2 -- böylece x2 sıfırdır, çünkü pivotsuz bir sütundadır, ikinci sütunda pivot yok. Diğeri nedir? Dördüncüsü, x4 sıfırdır.

Bunlardan dolayı şunlar serbest değişkenlerdir. Pivotsuz olan sütunlardakiler. Görüyorsunuz -- x2 ve x4 ü sıfır yaptığımda, elimde kalan—burada elimde ne? Elimde kalan – görüyorsunuz, şimdi ben iki serbest sütunu kullanmıyorum. Sadece pivot sütunlarını kullanıyorum.

Elimde sadece x1 var -- birinci denklem x1 ve 2 kere x3 sağ taraf olmalı, ve bunu 1 olarak seçtik, Ve ikinci denklem 2 tane x3, ve bu da 3 çıktı. Sıfıra eşitlediğimiz için x2 ve x4 yok oldu. Ve bu şekilde normal duruma, geri koyma işleminin çalışacağı duruma döndük

Yani x3 = 3/2 ve geri gidiyoruz, x1, bir eksi iki x3’e eşit. Bu mühtemelen eksi ikidir. Güzel. Böylece x belirli çözümü -2, 0, 3/2, 0 vektörüdür. Bu belirli çözümlerden sadece biridir ve bunu biz orijinal sistemde yerine koymalıyız. Gerçekten, sınavlarda böyle yapmanız iyi olur. Bütün bu satır işlemlerinden sonra sistemin çözülmüş olması gerekir ve zaten de öyle.

Bu durumda şu bulduğumuz belirli x. Bugün yeni olan işte bu. Belirli çözüm şöyle geliyor -- önce sıfır eşit sıfır olduğunu gözlüyorsunuz, bu şekilde son denkleminiz tamamdır. Ve sonra serbest değişkenleri sıfırlıyorsunuz, pivot değişkenleri için çözüyorsunuz, ve sonuçta içinde serbest değişken olmayan belirli çözümü buluyorsunuz.

Devam edersek -- bu sadece bir çözüm, ben şimdi bütün çözümleri arayacağım. Geri kalanları nasıl bulacağım? Esas nokta şu: x’e ben sıfır uzayından herhangi bir şey ekleyebilirim -- çünkü bunu geçmişte yaptık, yine de size ne yaptığımızı hatırlatayım.

Ve sonra onları toplayacağım. Sonuç bütün çözümler olacak -- yani bütün çözümler bir belirli çözümle sıfır uzayından herhangi bir vektörün toplanmasından elde edilir, x_n, tamam mı?

Neden, neden bu böyle, çünkü matematik’te doğrusal denklemlerin olduğu her yerde bu model karşımıza çıkıyor. Sebebini açıklayayım, belirli çözüm x_p için, A x_p nedir? Bu kesin olarak sağ taraftaki b yi verir. Ve A kere sıfır uzayından herhangi bir x_n ne verir? Sıfır. O halde toplayalım ve paranteze aldım. Böylece A çarpı (x_p artı x_n) = b artı sıfır, eşit b dir. Ben ne söylüyorum? Kelimelerle anlatayım.

Bir çözümüm varsa, ona sıfır uzayından herhangi bir şey ekleyebilirim, çünkü sıfır uzayından herhangi bir şey sağ tarafta sıfır verir ve elimizde yine doğru sağ taraf b kalır. İşte bu benim sistemim. İşte bu benim bütün çözüm kümem.

Şimdi bütün bunlar, şu örnek için nelerdir yazalım. Bu örnekte, x genel çözüm, yani bütün çözüm şuna eşittir: eksi iki, sıfır, üç bölü iki, sıfır olan ve serbest değişkenlerin sıfır olduğu belirli çözüm artı hatırlayacağınız gibi sıfır uzayında serbest değişkenlerin bir -- veya bir ve sıfır olduğu ve diğerlerini kendimizin doldurduğu belirli bir sıfır çözüm.

Ne olduklarını unuttum, fakat sanırım bu idi. O belirli bir çözümdü, bu serbest değişkenin sıfır, diğer değişkenin bir olduğu ve geri kalanların tarafımdan doldurulduğu başka bir belirli çözüm daha vardı. Belki bu eksi iki ve şu iki idi, belki? Sanırım doğru. Pardon yanıldım...

Şu size doğru geliyor mu? Denklemlerimi hatırlamalıyım. Şuradaki tahtaya gideyim, birinci denklemimi hatırlarsam: 2 kere x3 artı iki kere x4 eşit sıfır, çünkü ben sıfır uzayındaki çözümlere bakıyorum.

x4 ü bire eşitliyorum ve tekrar kopyalamadığım ikinci denklem bunun için bana eksi iki veriyor -- evet, sanırım bu tamam. İki eksi dört ve artı iki sıfır verir, tamam. Pekala, bunlar özel çözümler. Bütün çözümleri elde etmek için ne yapmalıyız? Şimdi bütün çözümleri nasıl elde edeceğim?

Bunu herhangi bir şeyle, örneğin c1 le çarpayım, şunu da herhangi bir şeyle çarpıyorum -- bileşimlerini alıyorum. Sıfır uzayını bu şeklilde tanımladığımızı hatırlıyorsunuz. Sıfır uzayı, x_n, özel çözümlerin bileşimidir.

İki tane serbest değişken olduğundan iki tane özel çözüm vardı. Ve bu noktada bizim bunu göz önünde bulundurmamız gerekir. İşte aradığım cevap bu. Şunu çarpan bir şey var mı? Bu adamı çarpan serbest bir sabit var mıdır? Olamaz. Değil mi? Çünkü x belirli çözümü A x_p = b yi çözüyor.

Bunu 3’le çarpma hakkım yok. Fakat A x_n = 0 da x_n’yi 3’le çarpabilirim, veya ona başka bir x_n ekleyebilirim, çünkü sağ tarafta devamlı sıfır elde ediyorum. Değil mi? Yani, tekrarlarsak, x_p belirli bir çözüm. x_n bütün bir alt uzaydır. Değil mi? O bir çözüm, artı alt uzaydan herhangi bir çözüm. Resmini çizelim, bütün genel çözümlerin resmini çizelim.

Şimdi genel çözüm x olsun. İçinde bulunduğum boyut nedir? Burası şanssız bir durum. x in kaç tane bileşkesi var? 4. Dört tane bilinmeyen var. Bu durumda MIT’nin bu ucuz siyah tahtasında 4 boyutlu bir resim çizmem gerek. Tamam. Şimdi başlayalım. Einstein bunu yapabilirdi -- neyse işte size bir birine dik eksenli 4 boyutlu uzay. Tamam mı?

Çözümlerim neredeler? Çözümlerim bir alt uzay oluşturuyor mu? A x = b nin çözümleri bir alt uzay oluşturuyorlar mı? Asla. O zaman nasıl bir şey bu? Bu resimde bir alt uzay, şu kısım bir alt uzay değil mi? Evet?

İki parametremiz olduğundan şu kısım iki boyutlu, işte bu sıfır uzayını R^4 ün içinde 2 boyutlu bir alt uzay olarak düşünüyorum. Şimdi size şunu söylemeliyim ve ilerde yine söyleyeceğim, alt uzay demek ne demek? Alt uzayın boyutu ne demek? Ama siz ne olacağını tahmin edebiliyorsunuz. Seçebileceğimiz bağımsız sabitlerin sayısı.

Yani bir yerlerde iki boyutlu bir alt uzay olacak, bu bir doğru değil, 3 boyutlu uzay da değil, sadece 2 boyutlu bir uzay. Fakat o orijinden geçmiyor, çünkü şu noktadan geçiyor.

İşte burada belirli çözüm, xp şuralarda bir yerde. Bir şekilde alt uzay -- şu şekilde çizebilir miyim? Belirli çözüm xp den geçen iki boyutlu bir uzay ve devam ediyor, işte xp ve ona xn i ilave ediyorum, ve işte genel çözüm x. İşte x = xp + xn. Fakat xn bu uzayda herhangi bir yerde ve bu şekilde bütün düzlemi dolduruyor.

Bu bir alt uzay -- hayır o bir alt uzay değil. Ben ne diyorum? Düz bir şey, alt uzay gibi, fakat orijinden kaydırılmış. İçinde sıfır vektörü yok. Tamam mı? Teşekkür. İşte resim bu ve bu da algoritma. Algoritma şu: Yok etme yöntemini uygula, ve belirli bir çözüm bul, ardından o özel çözümleri bul. Bunları yapabilirsiniz.

Bu derste büyük resmi görmek için biraz vaktimizi alalım. Düşünce şeklim şöyle: Size bir soru, aslında bir kaç soru soracağım. Genelde r ranklı m ye n lik bir A matrisi düşüneceğim. Tamam.

Rank’ın tanımı nedir? Şimdilik rank’ın tanımı pivot sayısından başka bir şey değil. Tamam mı? Her şeyden önce bu sayılar nasıl birbirleriyle ilişkilidirler? r ile m arasında bana bir ilişki söyleyebilir misiniz? Matris de m satır ve r tane pivotum varsa -- bu durumda r ile m arasında nasıl bir ilişki bulunmalı? r küçük veya eşit m olmalı, değil mi? Çünkü m tane satırım var ve m den daha çok pivotum olamaz. m tane veya daha az pivotum olabilir.

n tane de sütunumuz var. r ile n arasında nasıl bir ilişki var? Aynı durum, küçük veya eşit çünkü bir sütunda birden fazla pivot olamaz. Yani toplam n den fazla pivotum olamaz. Tamam. Tamam. Elimde m kere n lik ve rankı r olan bir matris var. Ve biliyorum ki r, m den küçük veya eşit, aynı şekilde r, n den de küçük veya eşit. Ben şimdi r nin maksimum olabileceği durumdan söz etmek istiyorum. m ve n nin ne olduklarına bağlı olarak iki ayrı durum söz konusudur. İlk önce tam sütun rank’ı olduğu durumdan konuşalım, yani r = n durumundan.

Size sorayım, bu çözüm hakkında ne söylüyor? Sıfır uzayı hakkında ne söylüyor? Bütün çözümler hakkında ne söylüyor? Ne demek bu? Size soruyorum, rankın n olması ne anlama geliyor? Her sütunda bir pivotun olduğu anlamına geliyor elbette. O halde kaç tane pivot değişkeni var? n tane.

Bu durumda bütun sütunların pivotları var. O halde kaç tane serbest değişken var? Hiç yok aslında. Yani serbest değişken yok. r = n, serbest değişken yok. Bu bize bizim küçük algoritmamız hakkında neler söyler? Sıfır uzayında kimler olacak? A nın sıfır uzayında neler var? Sadece sıfır vektörü.

Başka değerler verecek serbest değişkenler yok. O halde sıfır uzayı sadece sıfır vektörüdür. Bu durumda A x = b nin çözümlerinden ne haber? Ax = b nin çözümleri? Bunun hikayesi nedir? Bugünkü dersimizin konusu bu. x çözümü, genel çözüm nedir? belirli x, x_p, değil mi? Doğru mu? Şayet bir çözüm varsa o belirli çözüm olmalıdır.

Biliyorsunuz artık, sadece bir tek çözüm var. O da tabii ki çözüm varsa. Yani tek bir çözüm -- tek sadece bir tane anlamına geliyor - çözüm varsa o da tektir. Bir başka şekilde söylersek, ya hiç çözüm yok veya tek çözüm var.

r = n olduğunda bütün olay böyle. Gerçek hayatta bir sürü örneklerde ilerde bağımsız diyeceğim sütunlarla karşılaşırız. Ve sıfır uzayında arayacağım hiç bir şey olmayacak, sadece belirli çözümümüz olacak. Tamam mı? Herkes bu olasılığı görebiliyor mu? Fakat bir örnek yapmalıyız, değil mi? O halde bir örnek yaratayım.

Nasıl bir matris – sütun rankı tam olan bir matris nasıl bir şeydir? Varsa eğer şuraya sığdırabilir miyim? Bir örnek yazmak için gayet de uygun bir yer burası. Çünkü bu örnek uzun ve dar olacak. İşte örneğimiz: bir, iki, altı, beş, üç, bir, bir, bir. Harika bir örnek.

Tamam, işte A matrisi, rankı ne bunun? Bu matrisin rankı nedir? Yok etmeden sonra kaç tane pivot bulacağım? İki, değil mi? İki. Şurada bir pivot görüyorum - şu iki sütun farklı yönlerde ilerliyor. Yok etme yaparsam, şurada bir başka pivot bulacağım, güzel, ve ben bunları aşağıyı ve yukarıyı temizlemek için kullanabilirim. Gerçekten, bana satıra göre indirgenmiş basamaklı biçimi söyleyebilir misiniz?

Yok etme metodunu sonuna kadar götürebilir misiniz? Yani, şu ne demek? Şu satırlardan bu satırın katlarını çıkartıyorum. Bu şekilde şuradaki bütün sıfırları temizliyorum. Şimdi artık burada bir pivotum var.

Onunla ne yapayım? Aşağıdan ve yukarından ben onu çıkartıyorum ve boydan boya bölüyorum, şimdi bu örnek için r nedir? Bunu şu diğer tahtaya koymama müsaade edin. Uygulama olarak, şu matris için satıra göre indirgenmiş basamaklı biçim nedir? Pivotlar olarak 1 leri var.

Birim matrisi var, küçük bir iki’ye iki’lik birim matris, ve altında bütün sıfırlar. Bu ilk iki satırı bağımsız olan bir matris. İlk iki satır bağımsızlar. Bunlar aynı yönde değiller. Fakat diğer satırlar bu ilk iki satırın bileşimleri -- o halde bu durumda Ax = b nin çözümleri var mı? Bana buradaki resmin ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Bu matris A için, rankın tam olduğu durum.

Şu iki sütun pivotları veriyor. Sıfır uzayında hiç bir şey yok. Sıfır bileşimleri haricinde sıfır sütunu verebilecek hiç bir sütun bileşimi olamaz. Yani sıfır uzayı boş. Fakat A x eşit b ye her zaman bir çözüm var mı? A x eşit b ile neler oluyor? Burada dört denklemim var ve sadece iki tane x. O halde cevap kesin olarak hayır. Her zaman bir çözüm yok.

Sıfır çözümlerim olabilir, Rastgele seçim yaparsam sıfır çözüm bulurum. Veya sağ tarafta büyük bir seçim yaparsam, yani şu iki sütunun bileşimini alırsam, örneğin bana öyle bir sağ taraf verin ki bir çözüm olsun. Şey, 0 0 0 0, değil mi?. Bunun için bir ödül gerekmez. Bir tane söyleyin. Çözüm veren bir başka sağ taraf 4 3 7 6 olur. İki sütunu toplayabilirim, değil mi?

Şayet sağ taraf 4 3 7 6 olsaydı bütün çözüm ne olurdu? Belirli çözüm bir – bir, yani şu sütundan bir, şundan da bir aldığımızdaki durum olurdu ve bu tek çözüm olurdu. Sağ taraf şu iki sütunun toplamı olduğundan belirli x çözümü bir bir olurdu, ve hepsi bu kadar.

Bu tek çözümlü bir durum olur. Ve, tam ranklı durum için bu tipik bir örnek olur. Şimdi satır rankı tam olan duruma geçiyorum. Bu konuşmadaki doğal simetriyi görüyorsunuz. Tam satır rank r = m demektir. Şimdi bununla yani r = m ile ilgileniyorum. Tamam. Bu durumda neler var? Kaç tane pivot var? m tane elbette.

Bu durumda yok etme yönteminde neler oluyor? m tane pivotum olacak. Yani her satırda bir pivot var, değil mi? Çözülebilirlikten ne haber? Hangi sağ taraflar için çözüm var? İşte benim sorum bu. Hangi sağ taraflar için A x = b yi çözebilirim? Ne geldiğini görüyor musunuz? Yok etme yöntemini uyguluyorum ve hiç sıfır satır elde etmiyorum.

Bu durumda b üzerinde hiç bir şart yok. Her bir b için, A x = b yi çözebilirim. A x = b yi her sağ taraf için çözebilirim. İşte bu varlık durumu, çözümün varlığı. Görüyorsunuz, her satırda bir pivot var. Bu durumda kaç tane serbest değişken var? Bu durumda kaç tane serbest değişken var? Başlangıçta n tane değişkenim vardı, kaç tanesini pivotlar kullandı? r, ki bu m ye eşit. O halde elimde n –r tane serbest değişken kaldı.

Tamam, tam satır rankı durumunda her zaman çözüm var, ve bu bana kaç tane serbest değişkenimin olduğunu da söylüyor, yani n-m tane. İşte n-m tane serbest değişken. Bir örnek yapabilir miyim? Biliyorsunuz, böyle bir örnek için en iyi yol şu örneğin devriğini almak. Sütunu bir iki altı beş olan matrisi alayım. Şimdi size soruyorum, bu benim A matrisim; bu matrisin rankı nedir? O matrisin rankı nedir? Sorduğum için üzgünüm ama değilim aslında, çünkü rankın ne demek olduğunu anlamaya başladık. Şu matrisin rankı kaç? iki, tam olarak iki.

İki tane pivot olacak. Satıra göre indirgenmiş basamaklı biçim ne olacak? Aranızda bunu bilen var mı? Aslında bana sadece iki tane pivotun olduğunu söylemeyin, pivot sütunlarını da söylemelisiniz. Bu matrisin hangi sütunları pivot sütunlarıdır? Birinci sütun tamam, bir sonraki sütuna gidelim, elime ne geçiyor? Bu pozisyonda ikinci bir pivot elde ediyor muyum? Evet.

R ye eriştiğimde pivotlar orada olacaklar. Ve ayrıca bazı sayılar da bulunacak. Burası benim önceden F dediğim kısım. Burası R deki pivot sütunlarının birim matris olduğu kısım. Hiç sıfır satırı olmayacak, hiç bir sıfır satır bulunmayacak, çünkü rank 2 dir. Fakat şurada bazı şeyler olacak.

Ve şu özel çözümlere ve sıfır uzayına girecektir. Tamam. Yani bu r = m küçük n olan tipik bir matristir. Son olarak şuradaki r = m = n durumu için yerim var. En mühim durum için bu köşedeyim. Bu matrisin özelliği nedir? Bir örnek vereyim. Tamam. 1 2 3 1, şahane bir örnek.

Bana söyler misiniz, rankı r = m = n olan bir matrisi nasıl tanımlarım? Matrisin kare olması lazım, değil mi? Kare bir matris. Rankını bilmek istersem, tüm ranklı. Tüm satır veya tüm sütun ranklı dememe gerek yok - tüm ranklı demem yeterli, çünkü satır sayısı sütun sayısına eşit ve rank alabileceği maksimum değerde.

Elimde nasıl bir matris var? Tersi alınabilir bir matris. Yani tersi olan matrisler. r = m = n olduğunda, yani tersi alınabilir matris durumunda, satıra göre basamaklı biçim nasıl olacaktır? Tersi alınabilir kare bir matris için. Birim matris I. Değil mi?

Gördüğünüz gibi iyi matrisler R leri aşikar olanlardır. Onları birim matrise kadar indirgeyebilirsiniz. Bu matris için sıfır uzayı nedir? Bu soruya canla başla sarılalım mı? Bu matrisin sıfır uzayı nedir? Bu matrisin sıfır uzayı sadece sıfır vektörüdür.

Sadece sıfır vektörü. A x = b yi çözmenin şartları nelerdir? Sağ taraftaki hangi b ler çözüm verir? A sı bu, b si b1 b2 olan A x = b yi çözmek istediğimde b1 ve b2 üzerinde ne şartlar gerekir? Hiç bir şey, değil mi? Buraya geri gelirsem, rank m ye eşit oluğundan, bu durumda ben her hangi bir b için çözüm bulabilirim.

Rank da n olduğundan çözüm tektir. Bütün resmi şuracıkta özetlersem. İşte tam resim. r = m = n durumunda birim matrisimiz var. Bu durum, bir tek çözümün olduğu durum. Bu kare tersi alınabilirin ikinci bölümde işlendiği hal. Şimdi üçüncü bölümdeyiz: r = m küçük n olabilir.

Şurada bu durum vardı, satıra göre basamaklı biçim içinde sıfır satırları bulunan birim matris gibiydi. Bu sıfır veya tek çözümün olduğu bir durumdu. Çözüm deyince A x = b yi kastediyorum. Bu durumda daima tek çözüm var. O durumda sıfır veya tek çözüm vardı.

Şimdi de tüm sütun ranklı ve bazı fazlalık satırları bulunan durumu ele alalım. R matrisi, şey, birim matris, az kalsın birim matris yazıyordum ama F, ama bu zorunlu değil.

Şu doğru mu? Bunu şurada doğru mu yapıyorum? Aman allahım, yanlış. Bu r nin n ye eşit oldğu durum, sütunlar tamam. Bu şu tahtadaki durum, r = n, tam sütun ranklı. Ben m’ nin n den küçük olduğu duruma bakmak istiyorum, fazladan sütunlarım var. Tamam mı?

İşte başlıyoruz. Bu tam satır rankı durumu, I ve F ayrıymış gibi duruyor, ama pivot sütunun birincisi olduğundan emin değilim. I ve F tam ayrışmış değil, yani F, I nin içine serpilmiş olabilir. Bunu şu şekilde yazabilir miyim? Birinci sütunlar pivot sütunları değilse, F kısmi olarak I nın içinde olabilir.

Bu durumda kaç tane çözüm var? Daima bir tane. Bu varlık durumu. Daima bir çözüm var. Hiç sıfır satırımız yok. Burada hiç sıfır satırımız yok. Bu durumda daima ya bir çözüm veya sonsuz çoklukta çözüm var, çünkü göz önüne almamız gereken bir sıfır uzayımız var.

Son olarak r nin m den ve n den küçük olduğu durumu ele alıyoruz. Tamam. Bu durumda R, içinde bazı serbest terimler ve bazı sıfır satırların bulunduğu birim matrisdir. Bu durumda, ya sonsuz çoklukta çözümümüz vardır veya hiç çözümümüz yoktur çünkü bazı b ler için sıfır eşit sıfır bulamamıştık. Tamam mı?

Bu tahta ve şu söz, bu dersimizi özetliyor: Kaç tane çözümün olacağı hakkında her şeyi rank size söylüyor. O sayı, yani rank, çözümdeki bazı bileşenler hariç bütün bilgiyi veriyor. Bunun için matrise gidiyorsunuz. Tamam? İyi bir hafta sonu dileklerimle, Pazartesi görüşürüz.