MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 7

Pekala, işte Doğrusal Cebir’in yedinci dersi.

Vektör uzayları ve özellikle bir matrisin sıfır uzayı ve sütun uzayı hakkında konuşmaktayım.

Bu uzaylarda neler var? Şimdi onları tanımlayacağım. Bu uzaylarda bulunan bütün vektörleri nasıl tanımlayacaksınız? Bunları nasıl hesaplayacaksınız? İşte bu, bir fikri bir tanımı algoritma haline dönüştürmektir.

Ax eşit 0 ı çözmek için algoritma nedir? Yani aradığım sıfır uzayı.

O halde belirli bir A matris alalım, ve genel algoritmayi anlatalım, ve bunu bu matrise uygulayalım – haydi başlayalım: Örnek olarak bu matris alalım. Bu bölümde kesinlikle dikdörtgensel matrislerle uğraşıyoruz. A nın indirgenmiş satıra göre basamaklı biçimi.

Elimde 4 sütun ve 3 satır var. iki dört altı sekiz ve üç altı sekiz on. Pekala. sütunlara ve satırlara baktığımda hemen şunu görüyorum: sütun iki, sütun birin bir katı, sütun bir’le aynı doğrultuda. Bağımsız değil. Bunu işlemlerde ortaya çıkarmayı umit ediyorum.

Aslında, satırlarda, dikkat ederseniz bu satır ve şu satır toplandığında üçüncü satırı veriyor. Yani üçüncü satır bağımsız değil. Yani, bütün bunlar yok etme yöntemini uygularken ortaya çıkmalılar. O halde durum nedir --- algoritmam yok etme yöntemi olacak, ancak simdi dikdörtgensel durumuna genişleteceğiz, ama pivot pozisyonunda sıfır olsa bile devam edeceğiz.

Pekala, matris için yok etme yöntemini uygulayalım.

Amacım, yok etmeyi uygularken sıfır uzayını değiştirmemek.

Bu çok mühim, değil mi? Yok etme yöntemi ile Ax eşit sıfır ı çözüyorum ve sizin de daha önceden bildiğiniz bu işlemleri yaparken, yani bir denklemin bir katını diğer bir denklemden çıkartınca, çözümleri değiştirmiyorum. O halde sıfır uzayını da değiştirmiyorum. Aslında, sizin de göreceğiniz gibi, ben sütun uzayını değiştiriyorum. Dikkatli olmalısınız.

Yok etme yöntemi neyi değiştirmez? Cevap: Denklem sisteminin çözümleri değişmez çünkü aynı şeyi, yani aynı yasal işlemleri denklemlere tatbik ediyorum. Elbette denklemlerin sağ tarafı daima sıfır ve her defasında ben bunu yazmak istemiyorum. Pekala, ben sadece sol tarafta çalışıyorum, fakat sağ tarafta daima sıfırları tutuyorum. O halde, nedir bu yok etme yöntemi?

Siz birinci pivot’un nerede olduğunu ve onunla ne yapıldığını biliyorsunuz. O halde ilk adımı aşağı da atabilirim. Sizce hangi pivot satırı uygun?

Şu satırın iki katını bu satırdan çıkartınca sıfır buluyorum. Bu bir zorluğu işaret ediyor.

İki tane iki altı dan çıkartılınca iki kalıyor.

İki tane iki sekizden çıkartılınca dört veriyor.

Ve şimdi, şunların üç tanesi buradan çıkartılınca sıfır veriyor, yine bir sıfır daha, üç tane iki sekizden çıkartılınca iki kalır, üç tane iki şu on dan çıkınca dört verir.

Pekala, bu yok etme yönteminin ilk aşamasıydı. Birinci sütunu doğru olarak elde ettim. Elbette şimdi ikinci sütuna geçeceğim. O pozisyona bakınca sıfır görüyorum. Sıfırdan farklı bir sayı bulacağımı umarak bir alttakine bakayım ki satır değiş tokuşu yapabileyim.

Fakat aşağıdaki de sıfır. Bu bana şunu söylüyor, gerçekten şunu söylüyor: Bu sütun önceki sütunların bir bileşimidir. Yani, ikinci sütun önceki sütunlara bağımlıdır.

Fakat burada düşünmek için durmayacağım. Bu sütunda artık yapacak bir şey yok. Bir sonrakine geçiyorum.

O halde, işte bir sonraki pivot. Alın işte, bu birinci pivot, şu da ikinci pivot, ve ben aşağıya doğru bu yok etmeyi uygulamaya devam ediyorum. Bir sonraki adım birinci satırı değiştirmiyor, ikinci satırı pivotu ile birlikte tutuyor, böylece elimde iki pivot’um var, ve yoketme yöntemi bu pivot’un altındaki satırı temizliyor. Aslında gördüğünüz gibi çarpan birdir. İkinci satırı üçüncü satırdan çıkartıyor ve sıfır dolu bir satır oluşuyor.

Pekala, o matrise U diyelim, tamam mı? O bizim üst --- şey, tam da üst üçgensel diyemeyeceğim.

Belki üst -- bilmiyorum -- üst bir şey.

Bu haliyle basamak biçiminde olduğu söylenir.

Echelon kelimesinin anlamı, basamaklı biçim gibi.

Sıfır olmayanlar basamak şeklinde oluşuyorlar.

Burada başka bir pivot olsaydı, bu durumda basamak biçimi bunu içerirdi. Fakat bizim bu durumumuzda sadece iki tane pivotumuz var. Tamam, bu durumda biz bu matris hakkında en önemli sayıyı keşfetmiş olduk. Pivot sayımız, iki. İşte bu rakama matrisin rank ı diyeceğiz. Hemen söyleyelim.

A nın rankı -- şimdi size algoritmada bu rank kelimesinin ne anlama geldiğini söyleyeceğim. Rank eşittir pivot sayısı. Ve bu durumda rank iki’ye eşit. Tamam, işte bu iki rakamı benim için çok önemli. Pekala, şimdi şuna başlıyorum -- hatırlıyorsunuz ben daima A x eşit sıfır’ı çözüyorum, fakat şimdi U x eşit sıfırı da çözebilirim, değil mi? Aynı çözüm, aynı sıfır uzayı, tamam.

Şimdi ben burada durabilirim -- neden durmuyorum ve geri yerine koymayı yapmıyorum ki? Şimdi size sormam gerekir, çözümü nasıl tanımlarım? A x eşit sıfır için çözüm var, değil mi?

Olacağını biliyordum. Dört bilinmeyenli üç denklemim vardı. Mutlaka bazı çözümler bekliyordum. Şimdi onların ne olduğunu görmek istiyorum. İşte şimdi, kritik adımdayız.

Ben buna pivot değişkenlerinin ayrılması diyorum, pivot sütunları, işte bu ikisi. Burda iki pivot sütunum var. İşte şunlar, besbelli, pivotlu sütunlar. Böylece pivotlu iki sütunum var. Ve diğer sütunlarım, onlara serbest diyeceğim. Bunlar serbest sütunlar, tamam. Neden bu kelimeleri kullanıyorum? Neden serbest kelimesini kullanıyorum? Çünkü şimdi şunu yazmak istiyorum, U x eşit sıfır’ın çözümünü bulmak istiyorum.

Şu yolla yapıyorum. x2 ve x4 değişkenlerine - sütun 2 ve 4 ü çarpanlara, yani bu serbest sütunlara serbestçe herhangi sayılar atayabilirim. Yani x2 ve x4 e istediğim herhangi bir şeyi atayabilirim. Ve ardından x1 ve x3 denklemlerini çözebilirim.

Tekrar söylersem: Müsaade edin, bu atamayı yapayım. Böylece belirli bir x e, diyelim ki, x2 ye bir ve x4 e sıfır atayalım. Bunlar serbest seçimler, ama uygun seçimler, tamam.

Şimdi ben U x eşit sıfır’ı çözmek istiyorum ve bir ve üç sayılarını bularak çözümü tamamlıyorum, tamam.

Bakalım yazabilecekmiyim. U x eşit sıfır’ın neyi temsil ettiğini hatırlayalım mı? Denklemlerim nelerdi? Birinci denklem x1 artı -- ben sadece bu martislerin ne anlama geldiklerini söylüyorum. Şu birinci denklem.

Ve ikinci denklem 2 x_3 + 4x_4 = 0.

Bunlar benim iki denklemim. Tamam. Şimdi önemli olan nokta x1 ve x3 ü geri yerine koymakla bulabilmemdir.

Yani biz önceden bildiklerimiz üzerine kuruyoruz.

Yenilik şurada: Kendilerine herhangi bir değer atayabileceğim serbest değişkenler vardı. Ve ben sistematik bir şekilde 1 ve 0 gibi seçimler yapmaya devam edeceğim.

Bu durumda, x3 nedir? Şimdi geri gidelim. Son denkleme bakıyorum. Son denklemden x3 sıfırdır, çünkü biz x4 ü sıfıra eşitledik, ve dolayısı ile x3 ü sıfır buluruz, tamam mı?

Şimdi x2 yi bire eşitleyelim, bu durumda x1 nedir? Eksi iki, değil mi? Bu durumda negatif iki artı pozitif iki, sıfır ve sıfır, dolayısı ile tam olarak sıfır’ı verir. Sıfır uzayında bir vektörümüz var. A x eşit sıfır denklemine bir çözüm var. Aslında, hangi çözüm bu? Bu basitçe şunu söylüyor: Eksi iki kere birinci sütun, artı bir kere ikinci sütun sıfır sütununu verir.

Elbette bu doğrudur. Eksi iki kere bu sütun artı bir kere şu sütun, veya eksi iki kere şu artı bir kere bu.

Şu çözüm, şu şu, hemen gördüğümüz, ikinci sütun birinci sütunun iki katı kadardır. Pekala, sıfır uzayında bana başka vektörler de söyleyin. Ben bir tane bulmuştum. Bu bulduğumdan daha çok nasıl üretilir, bana söyleyin. Tek yapman gereken, onun katlarını almak.

Her hangi bir katını -- bunu ben her hangi bir şeyle çarpabilirim. Onun bir katına c de diyebilirim. Şunu yapayım -- yani x bunun herhangi bir katı olabilir. Pekala, şimdi bu bir doğruyu tanımlıyor, dört boyutlu uzayda sonsuz uzunlukta bir doğru. Ama - sıfır uzayında olan bir doğru. Sıfır uzayının tamamı bu mu? Hayır. Burada iki tane serbest değişkenim var. Serbest değişkenler için bir ve sıfır seçimini yaptım, fakat başka seçim de yapabilirdim. Diğer seçimimi sıfır ve bir olarak yapayım. Sistemimi görüyorsunuz.

Şimdi sistemi tekrarlayayım . Bu sizin şimdi yapmayı öğrendiğiniz algoritma. Yok etme işlemini yapayım.

Hangilerinin pivot sütunlar, hangilerinin serbest sütunlar olduğuna karar veriniz. Bu size şunu söyler: bir ve üçüncü değişkenler pivot değişkenleridir, iki ve dört serbest değişkenlerdir. Ardından siz birisine bir, diğerine sıfır atıyorsunuz -- bu durumda elimizde bir ve sıfır var -- ve çözümü tamamlıyoruz . O halde çözümü tamamlayalım.

Sıfır uzayında şundan tamamen farklı bir vektör arıyorum, çünkü o sıfırın herhangi bir çarpımı bana bir’i veremez. Yani, sıfır uzayında yeni bir vektörüm var, durun onu bulayım.

x3 burada ne yapıyor? Geride dönüp yerine koyarak devam edelim, şu denkleme bakalım.

Şimdi x4 ü değiştirdik, Burada x2 si sıfır ve x4 ü bir alarak başka olasılıkları yapıyoruz.

Bu durumda x3 eksi iki olacaktır.

Ve şimdi birinci denklem için ne buluruz? x1-- bakalım. İki kere x3 eşittir eksi dört artı iki -- şurada iki buluyor muyum? Belki, evet!

x1 için iki, eksi dört, ve iki. Tamam, işte bu sıfır uzayı. Bu sütunlar hakkında neler söylüyor? Şunu söylüyor: İki kere bu sütun, eksi iki kere şu sütun, artı bu sütun sıfır veriyor. Aynen, iki kere şu sütun, eksi iki kere bu sütun, artı bir kere bu sütun sıfır veriyor. Tamam, bu şekilde ben sıfır uzayında bir başka vektör bulmuş oldum. Şimdi artık bütün sıfır uzayının ne olduğunu söyleyebiliriz. A x eşit sıfır’ın çözümleri nelerdir? Bu çözüm elimde, bunun yanında sıfır uzayında başka kimler var? Bunlar benim özel iki çözümüm. Özel çözümler -- bu ifadeyi kendim keşfettim.

Bunların özel olmalarının nedeni, serbest değişkenlere sıfır ve bir özel sayılarını atamış olmamdandır. Serbest değişkenlere herhangi başka değerler vererek de sıfır uzayında vektörler bulabilirim. Fakat bu özel yöntem herkesi bulabilmem için emin bir yoldur. Tamam, bir tanesi varsa, onun katları da var, değil mi? Yani, o vektörün her hangi bir katı da sıfır uzayındadır. Ve şimdi başka ne? -- Sizce şurada küçük bir yeri niye bıraktım? Ne -- artı işareti için. Herhangi bir bileşim alabilirim. İşte size sıfır uzayında bir vektörler doğrusu. Bir çözümler demeti.

Sıfır uzayındayım mı demek istersiniz, yoksa A x eşit sıfırı çözüyorum mu demek istersiniz. Aslında gerçekte ben U x eşit sıfır’ı çözüyorum. Pekala, gelin şimdi o çok önemli artı işaretini koyalm. İki özel çözümümün bütün bileşimlerinii alıyorum. İşte benim sonucum: Sıfır uzayı tam olarak özel çözümlerin bütün bileşimlerini içerir. Ve kaç tane özel çözüm var? Her bir serbest değişken için bir tane var. Ve kaç tane serbest değişkenimiz var? Şu an büyük resmi görebiliriz. Rank iki ise, ki bu pivotların sayısıdır, değil mi? Çünkü rank pivotları sayar.

Bu durumda kaç tane serbest değişken var? Biliyorsunuz, iki tane, değil mi? m satırlı, n sütıunlu, n değişkenli, ve rankı r olan bir matris için bu ne demektir? Geriye kaç tane serbest değişken kaldı? Eğer r tanesi pivot değişkeni ise, geriye n eksi r kadar, yani bu durumda dört eksi iki -- iki serbest değişken kalır. Herşeyden önce burada temiz bir cevap bulduğumuzun farkında mısınız? r tane pivot değişkenimiz var -- yani gerçekte burada r tane denklem var.

Üç tane denklem varmış gibi gözüktü, fakat aslında iki tane bağımsız denklem var. Ve n - r tane serbestçe seçebileceğimiz değişken var ve biz onlara sıfır ve bir, özel değerlerini vererek özel çözümleri elde ediyoruz. Tamam.

Bana sorarsanız, burası tam durma noktası.

Bu size A x eşit sıfır ın bütün çözümlerini bulmak için tam bir algoritma veriyor. Tekrar edersek, yok etme yapıyorsunuz -- bir sutunda yapılacak bir şeyiniz yoksa devam ediyorsunuz. r rakamı var, pivotların sayısı, çok önemli bir sayı, ve o bize n - r tane serbest değişken veriyor ve biz o değişkenlere sıfır ve bir atıyoruz. Bir adım daha ileri gitmek istiyorum. Bu matrisi daha da çok temizlemek istiyorum. Bu matris, şu an basamak biçiminde, üst üçgensel biçimde de diyebilirsiniz. Mümkün olabilecek en iyi hale getirebilmek için bir adım daha atacağım. Tamam, şimdi indirgenmiş satıra göre basamaklı biçimden bahsetmek istiyorum. Pekala, şimdi indirgenmiş satıra göre basamaklı biçimindeki R matrisinden konuşmak istiyorum.

Bu ne demek şimdi? Bu demektir ki ben U üzerinde daha çok çalışabilirim. O zaman başlayalım, U ya kadar gelmiştik. Güzel. Şu sıfır dolu satıra dikkat edelim.

Bunun üzerine yorum yapmadım ama yapmalıydım.

Burada gördünüz sıfırlar satırı, üçüncü satırın bir ve ikinin bileşimi olduğundan, yok etme yöntemi bunu keşfetti. Sıfır dolu bir satırımız olduğunda, bu bizim asıl satırımızın bir bileşim olduğunu gösterir ve yok etme yöntemi bunu devre dışı bırakır. Buraya kadar geldik. Daha çok temizlik nasıl yapabilirim? Yukarı doğru yok etme yapabilirim. Pivotların üst bölümlerini sıfırlayabilirim. Bu şekildeki satıra göre indirgenmiş basamaklı biçiminde pivotlarının altında ve üstünde sıfırlar olur. Simdi bunu yapayım.

Şimdi bunlardan bir tanesini yukardaki satırdan çıkartacağım. Geriye şurada sıfır ve eksi iki kalacak.

Ve bu çok güzel. Ve hatta bir adım daha temizlik yapabilirim. İkinci denklemi pivotuna bölerek pivotu bir yapabilirim. Bu şekilde bütün pivotları bir yapabilirim. Bu çözümleri değiştirmez.

Haydi bunu yapalım. Bundan sonra gerçekten işi bitirmeye hazırız.

Bir, iki, sıfır, eksi iki, sıfır, sıfır, bir, iki. İkinci denklemi ikiye bölüyorum, bu şekilde şimdi pivot yerinde bir ve altında sıfırlar var.

Pekala. İşte R matrisim.

Artık şimdi bütün algoritmayı çalıştırabileceğinize inanıyorum. Matlab bunu şu komutla hemen yapıverir: A nın satır göre indirgenmiş basamaklı biçimi.

A nın orijinal şeklini giriş olarak yazıp, yukardaki komutu verir ve geri dön (return) komutuna basarsam, çıktı olarak bu matrisi elde ederim. İşte satıra göre indirgenmiş basamak biçimi budur ve bu biçimde bütün bilgiler en açık şekliyle vardır.

Hangi bilgiler bunlar? Elbette ki bana pivot satırlarını söylüyor: birinci ve ikinci satırlar, pivot sütunlarını söylüyor: bir ve üç. Aslında içinde birim matris de var, doğru mu? Pivotların altında ve üstünde sıfırlar var, ve pivotların hepsi bir ler, ne güzel değil mi? İki ye iki’lik birim matrisi, pivot satırları ve pivot sütunları üzerinde oturuyor? İşte pivot satır ve sütunlardaki I --- birim matrisi. Altında sıfır satırları var.

Bunlar ilk satırların, diğer satırların bileşimi olduğunu ima eder. Gerçekte bizim burada sadece iki tane satırımız var. Birim matris de var etrafta. Mümkün olduğu kadar temizlenmiş serbest sütunlar da buradalar.

Öyle güzel bir temizlik yapılmış ki ben şimdi özel çözümleri okuyabiliyorum, hatırlarsanız bunu ben geri yerine koyarak hesaplamıştım. Şimdi o sistem yerine biraz daha gelişmiş bir sistemi ele alayım. Aynı sayıları kullanıyorum, değil mi? Bu denklemlerde ne yapıyorduk? Bu denklemi ikiye bölüyordum, ve durun evet, şunun iki katını çıkartıyordum, bu şunu yok etti, ve bunu da eksi işaretli yaptı. Şimdi R x eşit sıfır yazmış oldum.

Umarım bu sınıftaki herkes A x eşit sıfır’ın, ara yerde, orta yerde, U x eşit Sıfır’ın, ve nihayet R x eşit Sıfır’ın çözümlerinin aynı olduğunu anlamış bulunuyor. Çünkü birisinden diğerine geçerken işleri karıştırmadım. Sadece denklemleri sabit sayılarla çarptım ve diğer denklemlerden çıkarttım. Bunları yapma hakkım var.

Tamam. Önemli olan nokta şu: serbest değişkenleri aldığımda ve geri yerine koymaları yaptığımda elde ettiğim sayılar işte bunlar.

Burada ben x2 yi bir ve x4 ü sıfır yapıyorum. Sanırım, burada ne görüyorum? Burada bunu bir şekilde parçalayayım. Pivot sütunundaki pivota bakarsam şunları görüyorum. Ve serbest sütunlarda neler görüyorum.

Birinci serbest sütunda, x2 sütunun da, iki ve sıfır, diğer serbest sütunda, yani dördüncü sütunda eksi iki ve iki görüyorum.

Ve aşağıdaki sıfır dolu satır -- elbette o denklem Sıfır eşit Sıfır. Bu tabii ki doğru.

Vurgulamak istediğim şu: Geri yerine koyma işleminden sonra şu sayılar belirleniyor. Pardon, işaretler yer değiştirmiş.

İşaretlediğim iki, eksi iki, sıfır, iki sayılarını kastediyorum, şunu daire içerisine alayım -- bu matrisin serbest kısmı.

Bu matrisin birim kısmı. Şu serbest kısım ve ona F diyelim. Buna elbette I diyeceğim çünkü birim matris. Demek istediğim, serbest kısımda sadece geri yerine koyuyorum. O serbest sayılar, negatif işaretler gözükürler, çünkü onlar denklemin diğer tarafında ortaya çıkarlar – böylece ben eksi iki, sıfır, ve iki, eksi iki görüyorum. Bu bir sihir değil, zaten öyle olmalıydı. Neden öyle olmasının gerektiğni durun size göstereyim. Pekala, beni burada enterese eden şey bu.

Müsade edin, diyelim ki bu sistem şu formda. R matrisim nasıl bir şey? Pekala, -Pivot sütunları ilk önce geliyorlarmış gibi kabul edeceğim ve ardından serbest sütunlarda ne gelirse gelsin farketmez. Ve aşağılarda bazı sıfır satırlar da olabilir. İşte size tipik güzel bir satıra göre indirgenmiş basamaklı biçim. Tipik olan nedir görüyorsunuz. Şu r ye r matrisi. Bunlar r tane pivot satırları, şunlar r tane pivot sütunları. Bunlar da n – r tane serbest sütunlar. Tamam.

Bana özel çözümlerin neler olduğunu söylermisiniz? x nedir? Şayet R x eşit Sıfırı çözmek istiyorsam, bütün her şeyi yapacağım; bu bir blok matris, bütün özel çözümleri bir anda yapmam iyi olur. Yani ben R x eşit sıfırı çözerek özel çözümler elde edeceğim. Gerçekten, onları bir anda elde edebilir miyim? Bir sıfır uzay matrisi yaratacağım. Tamam. Bir matris. Bu matrisin sütunları özel çözümler. Zormuş gibi söylüyorum ama aslında çok kolay olacak. Bu sıfır uzay matrisi N olsun. R N matrisinin sıfır olmasını istiyorum.

N nin sütunlarının R ile çarpılıp sıfır vermesi beklenir. Hangi N bu işi yapar? Serbest F değişken kısmına birim matrisi koyacağım ve şu örnekte olduğu gibi eksi F pivot değişkenlerinde gözükecek.

Şurada birim matris ve F var. Burada da özel çözümler. Yani bu sütunlar – işte özel çözümlerin matrisi. Bir Matlab komutu veya öğretim kodu komutu vardır: “NULL yani N eşittir”, bu sıfır tabanını, yani sıfır alanı matrisini verir, ve işte buyurun.

Ve o NULL komutu nasıl çalışıyor? R yi hesaplamak için Matlab kullanıyor, sonra pivot değişkenlerini, serbest değişkenleri yakalıyor, serbest değişkenler için sıfır ve birler kullanıyor, ve pivot değişkenlerini kopyalıyor. Geri yerine koyma metodunu kullanıyor, fakat bu sistem için geri yerine koyma gayet basit.

Bu sistem nedir? R x eşit sıfır. R, I F dir, ve x bir pivot değişkeni dir, ve serbest değişken, ve bunların sıfır vermesi beklenir. Şimdi bu ne anlama geliyor? Bu şu demek oluyor: pivot değişkenleri artı F kere serbest değişkenler sıfır verir. O halde F kere serbest değişkenleri diğer tarafa geçireyim. Eksi F kere serbest değişkenler bulurum. İşte en basit haliyle denklemim burada .

Sistemi en iyi bir duruma indirgemek için arka arkaya yapılan indirgemeler geri yerine koymaya tekabül eder. Tamam. Ve ardından serbest değişkenler için özel birim matrisini seçersem, bu durumda pivot değişkenleri eksi F olur.

Tamam, bir başka örnek yapabilirmiyim? Siz başka bir örnek yapabilirmisiniz? Başka bir matris alayım ve bu algoritmayı tekrar tatbik edeyim. Tamam.

İşte başlıyoruz. Bir başka matris için, işte yeni bir kara tahta. Pekala. Matrise A diyelim de bu defasında matrisi ne kadar büyük alayım? Neden şunu yapmayalım ki? Şu A matrisinin devriğini alalım ve bakalım ona ne olacak?

İki dört altı ve üç altı sekiz on.

Hesaplara başlamadan önce neler olacağını bana söylermisiniz? Burada kaç tane pivot değişkenleri bekliyorsunuz? Kaç tane sütunun pivotları olacak? Şu matrisde üç tane sütun var, bizim üç pivotumuz olacak mı? Hayır çünkü üçüncü sütun ilk iki sütünuın toplamıdır.

Bütün kalbimle şu ikisinin pivot sütunları olmasını bekliyorum – çünkü onlar bağımsızlar, fakat şu üçüncü sütun ilk iki sütuna bağımlı olup serbest sütun olacak. Yok etme metodu bunu yakalasa iyi olur. Yok etme metodu bağımlı ve bazı bağımsız olan satırları da bir düzene koyacaktır. Bu matris için indirgenmiş basamaklı satır biçimi nedir? Gelin onu yapalım. Tamam. O halde şu ilk pivot.

Şundan bunun iki katını çıkartırsak, bir sıfır satırı bulurum.

Şundan bunun iki katını çıkartırsak, bu bana sıfır iki iki verir.

Ve şundan bunun iki katını çıkartırsak, bu bana sıfır dört dört verir.

Tamam, birinci sütun düzgün. Birinci değişken pivot değişkeni. Problem yok.

İkinci sütunda ikinci pivota bakıyorum, o sıfır. Altına bakıyorum, orada iki var. Tamam. Satır değiş tokuşu yapıyorum. Bu durumda bu sıfır şimdi orada. Şimdi mükemmel bir pivotum var ve onu kullanacağım. Pekala, bu satırdan şu satırın iki katını çıkartıyorum. Böyle yaparsam olur mu? Şimdi artık U formuna eriştim. Bu benim A matrisimdi. Ve şimdi bu benim U matrisim. Artık durmam gerektiğini görebiliyorum, değil mi? Üçüncü sütuna geçebilirim. Bunu denemeliydim. Fakat denemeden bu işden vaz geçiyorum. Şunu yapmalıydım.

Üçüncü sütundaki pivot yerine bakalım, içinde bir sıfır var. Atındakilerin hepsi sıfır. Şimdi durabilirim. Pekala. Rank yine iki. Sıfır Uzayından ne haber? Bu durumda kaç tane özel çözüm var? Bu matris için kaç tane özel çözüm var? Hangileri serbest ve hangileri pivot değişkenleri? ve saire. Pivot sütunları, iki tane pivot sütunlarım var, ve bu bir tesadüf değil.

A matrisinin pivot sütunlarının sayısı, A nın ve devrik A nın pivot sütunlarının sayılarının aynı olması önemli bir gerçektir. Ve ardından serbest sütunum var. Bir tane serbest sütun, çünkü sayımız üç eksi iki. Üç eksi iki bana bir tane serbest sütun verir.

Pekala, şimdi sıfır uzayında neler var çözelim. Tamam, şimdi görelim. Bu vektörlerin boyutu üç. Üç tane elemanları var. x i yazmak için çok yer ayırdım. x in sadece 3 elemanı var, ve nedir bunlar? Sıfır uzayını arıyorum.

Tamam, nasıl başlıyorum? Serbest değişkenelere uygun rakamlar veriyorum. Ve şu nedir? Onu bir yapacağım. Serbest değişkeni bir yapıyorum. Serbest değişkeni sıfır alır ve pivot değişkeni için çözersem her şeyi sıfır bulurum: ilerleme olmaz.

Fakat serbest değişkenleri bir alırsam --- görüyorsunuz --- şimdi iki denklemim var --birinci denklemim x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 eşit sıfır ve ikinci denklemim 2 x_2 + 2 x_3 eşit sıfır. Ve, pekala x_3 bir ise, x_2 eksi bir olur. Ve, x_3 bir ve x_2 eksi bir ise, bu durumda belki x_1 de bir’dir. Aslında geri gidelim ve kontrolünü yapalım. Yapmak istemiyorum – kafadan bir hesap yaptım.

Kafadan hızlı bir kontrol yapabilirmiyim? Şu matris, x çözümü şunu söylüyor: eksi bu sütun eksi şu sütun artı bu sütun, sıfır sütununu veriyor. Ve bu doğru.

Eksi şu eksi bu artı o sıfır veriyor.

Böylece şu sıfır uzayı oluyor. Şimdi siz bana sıfır uzayında başka hangi vektörler var söyleyebilirsiniz. Sıfır uzayının tamamı nedir? C ile çarpabilirim, değil mi? Sıfır uzayının tamamı bir doğrudur.

İşte tasvir bu şekilde. Biliyorsunuz, eğer size ev ödevinde, kısa sınavda, veya final sınavında sıfır uzayının tasvirini sorarsam, sıfır uzayını bulmakta bu adımları kullanabilirsiniz. İşte aradığım cevap budur. Şu C nin değerini de bilmek istiyorum, çünkü bu bana hatırlayacağınız gibi sıfır uzayının tek bir vektör olmayıp bütün bir uzay olduğunu söylüyor.

Daha sonra sizden sıfır uzayının bir tabanını isteyeceğim. Sonra ben bu vektörü istiyorum. Fakat bütün sıfır uzayını soruyorsam, o zaman o vektör boyunca bütün doğruyu kastediyorum.

Tamam, yapmamız gereken bir başka doğal olan örnek de, indirgenmiş R matrisine kadar gitmektir. O halde R ye kadar gidebilir miyim? Bu hızlı olmalı, haydi pratik yapalım.

R ye kadar gidelim, tamam mı? Şimdi burada ne yapıyorum? Pivotun üstünü temizlemek için şundan bunu çıkartıyorum, şu bir sıfır bir soldadır, değil mi? Şu sütundan bunu çıkartırsam pivotun üstünde sıfır oluşuyor. Ve şimdi şu pivotun 1 olmasını istiyorum. Dolaysıyla R matrisi için, bu denklemi ikiye böleceğim ve elbette şu sıfır, sıfırlar şahane, onlar değişmezler.

İşte R. Bu R dir.

R nin ne olduğunu görüyor musunuz? Şuradaki birim matrisi görüyorsunuz. Serbest kısım F yi görüyorsunuz, F kısmı işte burda. Ve alt taraflarda sıfırları görüyorsunuz.

Bu I, F, sıfır, sıfır. Ve şu x nedir? x de birim matris var – şey, o sadece tek rakam bir, fakat serbest kısımda o birim matris. Pivot değişkenlerinde ne var? Geriye yerine koyma ne verdi? O, eksi şu elemanları verdi.

Gördüğünüz gibi şu birim matris, ve burdaki de eksi F. Bu da bizim sıfır uzayımız için N matrisi.

Sıfır uzayımızın sütunları özel çözümler olan matristir. Onların serbest değişkenleri bir özel değerine sahipler ve pivot değişkenlerinin değeri eksi F dir. Dolaysıyla, eksi F nin özel çözümde otamatik olarak nasıl gözüktüğünü görüyor musunuz?

Gerçekten olay bu. A x eşit sıfır hususunda söyleyebileceğim daha fazla bir şey olduğunu zannetmiyorum.

A x eşit b hakkında biraz daha fazla şey söyleyebilirim, fakat bunu bir sonraki derse bırakacağım. Tamam, işte sıfır uzayı budur. Teşekkürler.