MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 6

Evet, bu doğrusal cebir’in altıncı dersi ve yeni bir bölümün başındayız, kitabın üçüncü bölümü. Bu aslında doğrusal cebir’in merkezine doğru gidiyor. Ve 5ci dersin sonunda buna bir giriş yapmıştım.

Ama simdi altıncı dersimiz artık resmen vektör uzayları ve alt uzaylar üzerine olacak. Ve sonra, özellikle ilgileneceğimiz iki alt uzay var. Biri bir matrisin sütun uzayı, diğeri ise bir matrisin sıfır uzayı. Dolayısı ile size bunların ne olduğunu söylemem gerekir. Pekala.

Böylece, öncelikle 5nci dersten hatırlayalım, bir vektör uzayı nedir? Bir dizi vektör ve bunlarla -- toplama yapabilirim -- uzaydan herhangi iki vektörü toplayıp yine uzayda kalırım. Veya uzayda bir vektörü herhangi bir sabitle çarparsam sonuçta yine aynı uzayda kalırım. Demek ki bu….aslında bu ikisini birleştirip tek’e indirgersem, görüyorsunuz ki-- eğer toplayabiliyorsam ve de sayılarla çarpabiliyorsam, bu aslında doğrusal bileşimler yapabildiğim anlamına gelir. Bunu söylemenin kısa yolu, tüm doğrusal bileşimlerin, C V’nin herhangi bir katı ve W’yunun herhangi bir katının toplamı uzayda kalır.

Dolayısı ile ne demek istediğimi daha iyi anlayabilmeniz için size vektör uzayı olan ve vektör uzayı olmayan bazı örnekler verebilir miyim? Şimdi, 3 boyutta olduğumuzu varsayalım.

O zaman, bu uzayda olmanın bir yolu, tüm üç boyutlu uzayı ele almaktır. Demek ki tüm R^3 uzayı, üç boyutlu uzay, bir vektör uzayı olur, çünkü bir dizi vektör alırsam bunları toplayabilirim, ve sonuç da istediğim şekilde olur, kurallar sağlanır.

Demek ki R^3 kolay. Şimdi alt uzaylarla ilgileniyorum. Şimdi anahtar bir kelimeye geldik, altuzay. Bunun kendisi de bir uzay -- yani belli bir uzayın içindeki bazı vektörler; R^3’ün içindeki bazı vektörler, kendi aralarında bir uzay tanımlayabilirler. Bir vektör uzayının başka bir vektör uzayı. Ve bunun en basit örneği bir düzlem. Demek ki, şuraya çizebilir miyim -- İşte bir düzlem. Orijinden geçmek zorunda ve tabii ki sonsuza kadar uzanıyor.

Şimdi bu bunun alt uzayı.

Bir düzlem üzerindeki iki vektörün toplamının da aynı düzlemde kaldığını görebiliyor musunuz?

Düzlemde bir vektörü alır ve -2 ile çarparsam, hala düzlemde kalırım. Demek ki düzlem bir alt uzay oluşturuyor.

Şimdi bir noktayı vurgulayayım. Sıfırdan geçen, şuradaki ( 0, 0, 0)’dan geçen düzlem bir alt uzay olur.

Tamam. Ve bir diğer alt uzay da bir doğru olacak. Sıfır, sıfır, sıfır noktasından geçen bir doğru, orijinden geçen bir doğru.

Tüm alt uzayların orijini içermesi gerekir, sıfırı içermesi, sıfır vektörünü.

Demek ki bu doğru bir alt uzay. Aslında, bunu düzgün bir şekilde ifade etmek isteseydim, R^3’ün bir alt uzayı demem gerekirdi.

Bu orada anladığınız o R^3.

Şimdi -- bu düzleme P diyeyim.

Ve şu doğruya L diyelim. Ve size başka vektör kümelerini sorayım. Şunları aldığımızı varsayalım— yani burada ilk sorum.

P ve L gibi iki alt uzayı aldığımızı düşünelim.

Bunları birlikte ele alayım, birleşimlerini alayım, tüm vektörlerini alayım—yani şimdi burada, aklımızda P ve L var. Demek ki iki alt uzayım var.

İki alt uzayım var ve örneğin, P--bir düzlem ve L bir doğru. Tamam.

Şimdi size bunların birleşimini sormak istiyorum.

Yani P birleşim L. Bu P’deki tüm vektörler veya L’deki tüm vektörler veya her ikisinde de olan tüm vektörler demek. Bu bir alt uzay mı? Şu bir alt uzay mı? Bu bir alt uzay mı yoksa değil mi? Çünkü şimdi--temel fikri kavradığımızdan emin olmak istiyorum. Diyelim ki düzlemdeki vektörleri aldım ve şu doğru üzerindeki vektörleri aldım, bunları birlikte değerlendirdim, yani bir demet vektörüm var, bunlar bir alt uzay oluşturur mu? Bana, kameranın duyabileceği veya belki kayıt edebileceği şekilde söyleyebilir misiniz.

Evet veya hayır diyebilir misiniz? Eğer şunu yaparsam bir alt uzayım olur mu -- düzlemdeki bütün vektörleri alırsam ve bunlara doğrumuz üzerindeki tüm vektörleri eklersem--ama şu adamı almıyorum—aslında, çoğunu almıyorum, çünkü vektörlerin çoğu ne doğrunun ne de düzlemin üzerindeler, onlar başka bir yerdeler.

Bir alt uzayım var mı? ÖGRENCİLER: YOK.

STRANG: Doğru. Teşekkürler.

Hayır, Çünkü--çünkü niye? Çünkü toplayamıyorum. Çünkü o kural sağlanmıyor. Örneğin bu adam gibi bir vektör alırsam ve L’den gelen başka bir vektörü toplarsam, ben dışarda başka bir yerede oluyorum. Görüyor musunuz, birleşim kümesinden farklı bir yerde oluyorum, P’den bir vektörü ve L’den bir vektörü topladığımda, sonuçta, birleşimin dışında kalıyorum-- yani bir alt uzayım yok. Demek ki doğru cevap,’’hayır’’ olacak. Tamam.

Şimdi başka bir şey sorayım--diğer yaptığımız bir sey de kesişim almak. Bakalım kesişim ne anlama geliyor. Kesişim, hem P de hem de L’de olan vektörlerin kümesi demek.

Bu bir alt uzay mıdır? Peki, yine aynı soruya dönmek istiyorum. Bu bir alt uzay mı değil mi? Ve cevap verebilirsiniz—sorunun cevabını önce bu özel örnek için, çizdiğim şu resime bakarak verin.

P kesişim L ne olur bu durumda? ÖGRENCİ: Sadece sıfır. STRANG: Sadece sıfır.

En azından, bunu çizerken sanatçımızın fikri, L doğrusunun düzlemde olmaması ve, başka yerlere gitmesi—ve sonra ortak olan tek noktanın sıfır vektörü olmasıydı.

Sıfır vektörü kendi başına bir alt uzay mı? ÖGRENCİ: Evet. STRANG: Evet, kesinlikle. Peki şuna ne diyeceğiz, bu düzlem ve bu doğru olmayıp da herhangi bir alt uzay ve başka bir alt uzay olsa ne olurdu? Şimdi--aynı soruyu herhangi iki alt uzay için sorabilir miyim? Belki de şuraya yazacağım. Eğer gerektiği kadar güçlüysem. Tamam. Bu bizim genel sorumuz.

Alt uzaylarımız var, bunlara S ve T diyelim. Ve size bunların kesişimini, S kesişim T yi sormak istiyorum ve-- bu bir alt uzay. Niçin olduğunu görüyor musunuz? Eğer her iki altuzayda da olan vektörleri aldığımda ki bu daha küçük bir vektörler kümesi olur muhtemelen, çünkü bazı ek şartlar koyduk, bunun hem S de hem de T de olması gerekiyor. Bunun bir alt uzay olduğunu nasıl biliyorum? Şimdilik böyle soyut şeyler düşünelim ve sonra örnekler üzerinde görürüz. Tamam.

Demek ki neden? Kesişimin içinde olan birkaç vektörü ele aldığımı düşünelim.

Toplamlar niye kesişimin içinde kalır? Tamam, şimdi şu vektörlere isim vereyim, V ve W diyeyim. Bunlar kesişimin içindeler.

Demek ki her ikisi de S’in içinde.

Bu her ikisinin T’nin de içinde olduğu anlamına gelir. Demek ki V artı W için ne diyebilirim? S’in içinde midirler? Evet. Tamam mı? Her ikisi de S’in içinde iki vektör, V ve W, alırsam, toplamları da S’in içinde olur, çünkü S bir alt uzaydır.

Ve her ikisi de T’deyseler ve onları toplarsam, sonuç yine T’nin içinde olur çünkü T bir alt uzaydır.

Demek ki V artı W’nın toplamı kesişimin içinde kalır.

O her ikisinin de içinde ve dolayısıyla birinci şart sağlanmış olur.

İkinci şart da aynı. Her ikisinin içinde olan bir vektörü alıp, 7 ile çarparsam, 7 kere o vektör S’in içinde olur, çünkü vektörün kendisi de S’deydi. Aynı vektör çarpı 7, T’de kalır çünkü vektörün kendisi de T’deydi.

Demek ki bu vektörün 7 katı da kesişimin içinde.

Başka bir deyişle, iki altuzayın kesişimini aldığınızda, genelde daha küçük bir alt uzay elde edersiniz, ancak sonuç bir altuzaydır. Tamam.

Bu sanki verilen iki şartın ne anlama geldiğini vurgulamak için. Tekrar--bunları daire içine alayım, çünkü çok önemliler.

Toplama ve bir sayı ile çarpma, bu ikisi doğrusal bileşimi oluşturur. Alt uzayın içinde yapmamız gerekli olan bu idi. Tamam.

Sütun uzayına geçelim. Peki.

Geçen derste buna başlamıştık ve şimdi devam etmek istiyorum.

Peki. Bir matrisin sütun uzayı.

A’nın. Tamam.

Bir örnek alabilir miyim? Diyelim ki bir, iki, üç, dört.

Bir bir bir bir. İki üç dört beş

Peki. Bu benim A matrisim.

Sütunlar var, üç sütun.

Bu sütunlar vektörler, demek ki bu A’nın sütun uzayı olur, bu A’nın--bir süre bu örnek üzerinde duralım.

Bu matrisin sütun uzayı, R’ın bir alt uzayı--hangi R’nin? Bu matrisin sütunlarına bakıyorsam hangi uzayı içinde oluruz? R^4, değil mi? Bunlar R^4’nin içindeki vektörler, 4 boyutlu vektörler. Demek ki A’nın bu sütun uzayı R^4’ün bir alt uzayı, çünkü A, 4’e kaç--A matrisi, 4’e 3 bir matris. Bu bana kaç satır olduğunu söyler, bir sütun da kaç eleman olduğunu söyler. Demek ki R^4 teyiz. Peki şimdi bu alt uzayda ne var? Yani, A’nın sütun uzayı, R^4’ ün bir alt uzayı. Buna C(A), A’nın alt uzayı diyorum, bunun gibi. Yani bu benim R^4’ün bazı altuzayları için kullandığım küçük sembolüm oluyor. Bu alt uzayda ne var? Peki, bu sütun mutlaka var. Bir, iki, üç, dört. Bu sütun içinde. Bu sütun içinde ve başka ne var? Demek ki bunun içinde A’nın sütunları var, ancak bu yeterli değil, kesinlikle. Değil mi? Sadece bu üç vektörü koyarak bir alt uzay elde etmem. Şimdi bunu nasıl doldurayım ki alt uzay olsun? Bunların doğrusal bileşimlerini alırım. Demek ki A’nın sütun uzayı tüm doğrusal bileşimler-- sütunların bileşimi.

Ve bu şimdi bana bir alt uzay veriyor.

Bu bana bir alt uzay veriyor çünkü bir doğrusal bileşimim varsa ve 11 ile çarparsam farklı bir bileşim elde ederim. Bir bileşim varsa ve başka bir bileşimle toplarsam, bir üçüncü bileşim elde ederim. Demek bu--bu sanki en küçük uzay--sanki, bu üç sütunu içermeli ve doğrusal bileşimlerini de içermeli, ve burada da durunuz.

Peki. Şimdi şu uzay ile ilgileneceğim. Şimdi--şu uzayda ne olduğu konusunda fikir sahibi olacağım. Uzay ne kadar büyük? Bu uzay 4 boyutlu uzayın tümü mü? Yoksa içinde bir alt uzay mı var? Şunu yapabilir miyiz--bakalım, tam bir ispat vermeye hazır olmasak bile bir evet-hayır cevabı verebilir miyiz? Ne düşünüyorsunuz? Bu üstünde konuştuğumuz uzay, şu üç vektörün bileşimleri, tüm 4 boyutlu uzayı dolduruyor mu? Belki evet, belki hayır.

Hayır. Hayır.

Bir şekilde şunu hissediyoruz, ve bu da doğru olacak, eğer üç vektör ve bileşimleri ile başlarsak, 4 boyutlu uzayın tümünü elde edemeyiz. Şimdi--demek ki bir şekilde daha küçük bir uzay elde ediyoruz. Ama ne kadar daha küçük? Bu buradan çıkacak. Ama hemencecik de çıkmıyor.

Önce şu önemli bağlantıyı kurayım, doğrusal bileşimlerle bir bağlantı, çünkü soyut tanımımızın gerisinde bir amacımız var. Ve amaç Ax=b’yi anlamak.

Şimdi bağlantıyı kurduğumuzu varsayalım -- Ax=b’nin her b için bir çözümü var mı? Her sağ taraf için bir çözüm bulunur mu? Sanırım bu bir evet -- hayır sorusu olacak.

Ve sonra hangi sağ tarafların uygun olduğunu soracağım? Gerçekten peşinde olduğum soru şu, sağdaki hangi b ler için bu sağlanır—sorunun ne olduğunu konuşmamdan görüyorsunuz—olduğu gibi.

Cevap hayır. Ax=b nin her b için bir çözümü yok. Niye hayır diyorum? Çünkü Ax=b --şuna benziyor, 4 denklem ve yalnızca 3 bilinmeyen. Tamam mı? X--hepsini yazayım-- hepsini alırsak şuna benziyor. Evet.

Ax=b’yi açık yazayım. Ax şöyle -- bu sütunlar (bir, iki, üç, dört) ; (bir, bir, bir, bir) ve (iki, üç, dört, beş). Ve tabii ki x’in 3 elemanı var. x1, x2, x3

Ve şimdi elde etmek istediğim--sağ taraf, b1, b2, b3, ve b4. Öncelikle vurgulamak istediğim, bunu her zaman yapamadığım. Bu aslında, beş dakika önce bana söylediğinizi tekrarlamış oluyor -- bu vektörün bileşimleri 4 boyutlu uzayı tam olarak doldurmuyor. Bazı b vektörler, aslında bir sürü ‘b’ vektörü bu üç sütunun bileşimi olmayacak, çünkü bu sütunların bileşimleri, ancak küçük bir düzlem veya R^4’ün içinde bir şeyler olacak.

Ve şimdi görüyorsunuz ki 4 denklem ve yalnızca üç bilinmeyenim var. Aslında herhangi biriniz, dalgamı geçiyorsun dört denklemi üç bilinmeyenle genellikle çözemezsin, diyebilir.

Ancak ben bazen bunu yapabileceğimizi söylemek istiyorum.

Bazı sağ taraflar için bunu çözebilirim.

Yani şimdi ilgilendiğim bu tür sağ taraflar. Bunu çözebilmemi sağlayan sağ taraflar neler? Günün sorusu bu.

Ve bu sorunun temiz bir cevabı olacak.

Ve sorum şu – hangi b’ler, hangi b vektörleri, bu sistemin çözümünü verebilir? Ve size sormak istiyorum--bu şimdi iki soru işareti oluyor--önemli bir soru olduğunu gösterebilmek için. Bana tam bir cevap vermeden önce kısmi bir cevap verin. Bu sistemi çözebileceğimi bildiğim tek bir sağ taraf verin.

Demek ki hepsi sıfır. Tamam.

Bu bir anlamda garantili olan.

Bütün bunlar sıfır olsaydı, çözebileceğimizi biliyorum, tüm x’ler sıfır olsun, hiçbir problem yok. Tamam. Bu her zaman -- Tamam.

Ax= 0 her zaman çözülebilir. Şimdi başka bir sağ taraf söyleyin, bir dizi sayı verin ki bu üçünü--bu dört denklemi sadece üç bilinmeyenle çözeyim, ancak uygun bir sağ taraf verirseniz bunu yapabilirim.

Bir tane söyleyin. ÖGRENCİ:1 2 3 4

STRANG: 1, 2, 3, 4 mü? Eğer ben--bunu çözebilir miyim--.bu uygun bir sağ taraf mı? Şu çözümü bulabilir misiniz--şuna bir çözüm bulabilir misiniz? x1+ x2 + 2x3 = 1 ; 2x1 + x2 + 3x3 = 2 ve iki tane denklem daha--demek ki sizden aklınızdan--5 saniye içinde, 4 denklem ve 3 bilinmeyeni çözmenizi istiyorum, ve bunu yapabilirsiniz, çünkü sağ taraf, şurada görüldüğü gibi--sütunların birine eşit. Şimdi hangi x’lerin bunu çözeceğini bana söyleyin. Bir, sıfır, sıfır.

Bir, sıfır, sıfır bunu çözer, çünkü--isteseniz bunu satırlarla da çarpabilirsiniz, ama oh Tanrı aşkına, şunu söylemek çok daha güzel--peki, bu şu sütunun kendisi, şunun sıfır kadar ve şunun da sıfır kadarı ve sonuçta şu sütunun 1 misli kalır ki bu da elde etmek istediğimizin ta kendisi. Tamam.

Demek ki uygun olan bir ‘b’ bulduk. Şimdi uygun olacak başka bir B söyleyin, istediğimizi verecek bir başka bir sağ taraf? Peki, deneyelim--hepsi 1 olsa? Ve sonra bu durumda çözüm ne olur? 0 1 0, teşekkürler.

Ve aslında, bunu yaparken, yollardan biri önce bir çözüm tahmininde bulunmak, ve sonra da bu çözümün nasıl bir b verdiğini görmek.

Hangi b’nin uygun olacağını. Tamam. Şimdi bir çözüm düşünelim--yani bir x düşünelim—herhangi bir x1, x2, x3, şu çarpımı yapıyorum ve ne elde ediyorum? Şimdi büyük soruyu cevaplamaya hazırım. Ax=b denklemini, sağ taraftaki b sütun uzayı içerisinde bir vektör olduğunda, kesinlikle çözebilirim.

Güzel. Ax=b’yi b, A’nın sütunlarının bileşimi olduğunda çözebiliyorum, yani sütun uzayında olduğunda--şimdi cevabı ayrıca yazayım.

Ax=b denklem sisteminin çözümü,eğer b sütun uzayındaysa, kesinlikle vardır.

Bunun niçin olduğunu bir kez daha söyleyeyim. Çünkü bu – sütun uzayı, tanımı gereği tüm bileşimleri içeriyor. Tüm Ax’leri içeriyor.

Sütun uzayı gerçekten de tüm A çarpı x vektörlerinden oluşuyor. Demek ki bunlar halledebileceğim 'b' ler. Eğer b, sütunların bileşimi ise, o zaman bileşim bana X'in ne olması gerektiğini söyler.

Eğer b sütunların bileşimi değilse, o zaman x yoktur.

Yani Ax=b yi çözmenin bir yolu yok.

Tamam. O zaman sütun uzayı--işte bunun içindir ki sütun uzayı ile ilgileniyoruz, çünkü çok temel bir adam. Çözümü ne zaman bulabileceğimizi söylüyor, ve bu sütun uzayını biraz daha iyi anlamaya çalışmalıyız. Bakalım.

Düşünmek istiyor muyum—evet, her nasılsa—oh güzel, sadece-- buraya kadar geldiğimize göre, bu özel örnek bana ne verdi? Bu ve bu ve bunun bileşimlerini alırsam, aklımdaki soruyu söyleyeceğim.

Aslında kelimeyi daha kullanmak bile doğru değil, ancak yakında ne anlama geldiğini bileceksiniz. Bu üç sütun birbirlerinden bağımsız mı? Bu üç sütunun bileşimini alırsam--her bir sütun yeni bir şey katıyor mu, katmıyor mu? Yani bu üç sütunun bileşimlerini alırsam, ben herhangi bir 3 boyutlu alt uzay elde eder miyim?

Elimde üç tane bağımsız -- bu her ne demekse, olan vektör var mı? Veya bu sütunlardan herhangi biri yeni bir şey katmıyor mu? Bu durumda yalnızca iki tanesi bir sütun uzayı verebilecek miydi? Ha aslında-- bu soru sormanın güzel bir yolu. Sonunda onu düşünmüyorum. Sütunlarda bazılarını atıp hala aynı sütun uzayını elde edebilir miyim? ÖGRENCİ: Evet.

STRANG: Evet. Ve hangisini atmamı önerirsiniz? ÖGRENCİ: Sütun üç--üç.

STRANG: Peki üç, doğru seçim gibi görünüyor. Demek ki eğer ben--ve niye? Çünkü--bu üçü ile ilgili kötü olan ne? Sütun 3? Bunların toplamı, değil mi? Demek ki--şunları alırsam--eğer şu ikisinin bileşimini alırsam ve sonra bunu koyarsam, ek bir şey elde etmiyorum. Daha sonraları bunlara pivot sütunlar diyeceğim.

Ve üçüncü adam bu sayılarla bir pivot sütun olmayacak. Şimdi aslında--adil olmak için size şu soruyu sorayım. Sütun 1’i atabilir miydim? Evet atabilirdim.

Atabilirdim. Ancak pivot sütunu dediğimde, genel uygulama, bağımlı olmadıkları sürece birinci sütunları sistemde tutmak.

Demek ki bu adam kalıyor. o iyi, o bir doğru.

İkinci adam kalıyor. Bu ikinci yönde.

Ancak üçüncüsü, o ilk ikisi ile aynı düzlemde ve bana yeni birşey vermiyor. Kullanacağımız dilde bu bağımlı ve ona ihtiyacım yok. Tamam.

Demek ki bu matrisin sütun uzayını R^4’ün 2 boyutlu bir alt uzayı olarak tanımlayabilirim. R^4’ün 2 boyutlu bir alt uzayı olarak.. Tamam.

Şimdi bu vektör uzaylarının nasıl çalıştığını görüyorsunuz--şunu da görüyorsunuz--gelecekte bağımlılık ve bağımsızlık önemli olacak. Tamam.

Şimdi başka bir vektör uzayından söz etmek istiyorum, sıfır uzayından. Ve yine biraz hızlı gitmiş oluyorum çünkü bu bölüm 3.2’nin konusu ama önemli değil.

Şimdi sıfır uzayı için hazırım.

Aynı matris ile çalışalım. Ve ancak bu değişik—tamamen farklı bir alt uzay olacak.

Tamamen farklı. Tamam.

Şimdi—buna yer ayırayım.

Şimdi tümü ile farklı bir alt uzay geliyor, A’nın sıfır uzayı.

Bunun içinde ne var? Bunun sağ taraftaki b’leri yok. Bunun x-leri var.

Bu tüm çözüm yaratan x’leri içerir--bu boş kelimesi--demek istediğim buradaki anahtar kelime, anlamı sıfır olacak.

Yani bunun içerdiği--bu tüm x çözümleri, tabii burada x, bizim x1, x2 ve x3 vektörleri, Ax=0 denklemi için. İyi, çünkü elimizde 4 denklem var --dolayı ile ne yaptığımı görüyor musunuz? Şimdi şunu söylüyorum, tamam sütunlar harikaydı, sütun uzayını anladık. Ancak şimdi x‘ler ile ilgileniyorum.

Benim tek ilgilendiğim ‘b’ tüm elemanları sıfır olan. Sağ tarafın tümü şimdi sıfır. Ve x’in çözümleri ile ilgileniyorum.

Bakalım.. Bu örneğin sıfır uzayı nedir? Bu x’lerin 3 elemanı var.

Demek ki sıfır uzayı bir alt uzay--aslında alt uzay olduğunu hala göstermemiz gerekir--R^3’ün alt uzayı. Demek ki bu--ve bunu göstereceğiz--bu x vektörleri bu R^3’te, halbuki örneğimizin sütun uzayı R^4’ teydi.

Bir m ye n matrisi için, şu m, diğeri de n, çünkü sütun sayısı ‘n’ bana kaç bilinmeyenin olduğunu söylüyor, bu sütunları çarpan x’lerin sayısını söylüyor, dolayısı ile büyük uzayı söylüyor, bizim durumumuzda R^3 deyiz.

Şimdi söyleyin bakalım, niye bu örnekte sıfır uzayını sırf bakarak söylemiyoruz ki?

Söylemek istediğim, küçük örneklerin güzelliği burada, aslında sıfır uzayı ve sütun uzayını bulma ve bütün gerçekleri doğrudan görmenin yolu yok etme yöntemi olacak, ve onu da yapacağız. Ancak küçük örneklerde, olup biteni yoketme yönteminin işlemlerine girmeden görebiliyoruz.

Demek ki bu sıfır uzayı--şunu söylüyorum--yine, sıfır uzayı, ve şimdi de matrisi yeniden yazayım. 1 2 3 4, 1 1 1 1 ve 2 3 4 5

Sıfır uzayda ne var? yine A çarpı x’i alıyorum, yine yazayım, ve sizin bu 4 denklemi çözmenizi istiyorum. Aslında, sizin bu dört denklemin tüm çözümlerini bulmanızı istiyorum.

Peki, gerçekte önce bir tanesini bulalım.

Niye hepsini sorayım ki? Bir tanesini söyleyin--tek bir çözüm söyleyin, bu denklem kümesinin bir çözümünü söyleyebilmek için matrise bile bakmanıza gerek yok. O sıfır vektörüdür.

Matris ne olursa olsun, sıfır uzayı sıfırı içerir--çünkü A çarpı sıfır vektörü tabii ki sağ tarafta sıfır verir. Demek ki sıfır uzayı kesinlikle sıfır içeriyor. A--Şimdi bir vektör uzayı olma şansı var, ve böyle de olduğunu göreceğiz.

Tamam. Bana başka bir çözüm söyleyin.

Bu özel sıfır uzayı--ve tabii ki buna N (A) diyeceğim, sıfır uzayını gösterirken--bu ne içeriyor--biraz önce sıfır vektörünü saptadık ve şimdi siz sıfır uzayında olan başka bir vektör söyleyeceksiniz, bir başka çözüm, farklı bir x, bir başkasını,- görüyorsun bu sütunların bir bileşimini soruyorum.

Her zaman yaptığım sütunların bileşimlerine bakmak, ancak şimdi ağırlıklara bakıyorum, bileşimdeki katsayılara haydi bakalım şuralara koyabileceğim uygun sayılar söyleyin. Bir, bir. ÖGRENCİLER: Eksi 1. STRANG:Bir, bir, -1.

Teşekkürler. Bir, bir, eksi bir.

İşte içinde olan bir vektör.

Peki, ama bu noktada bir alt uzay var mı? Tabii ki hayır, doğrumu? Birkaç vektörüm var sadece. Hiçbir şekilde bir alt uzay oluşturmazlar.

Söyleyin şimdi--aslında niye tümünü atlamıyorum ki şimdi? Söyleyin -- bir tanecik daha işe yarayacak x söyleyin. ÖGRENCİ: 2 2 -2. STRANG 2 2 -2? Aslında tümünü söyleyin o daha kolay olurdu.

Şimdi tüm grubu söyleyin

Bu matrisin sıfır uzayı ne? Şu şekildeki tüm vektörler--bu ne olabilirdi ki? Şu, 1, 1, eksi 1 olabilirdi, herhangi bir sayı C, herhangi bir sayı--ve yine aynı sayı ve

ÖGRENCİLER:Eksi STRANG: Eksi C.

Başka bir deyişle—aslında, bu adamın herhangi bir katı.

Ah, bu en mükemmel tanım, çünkü şimdi sıfır vektörü otomatik olarak içerilmiş durumda, çünkü C sıfır olabilir. Daha önceki vektörüm de dahil edildi, çünkü C bir olabilir. Ve şimdi herhangi bir vektör.

Ve bu işte bu kadar. Ve elimizde bir alt uzay var mı? Neye benziyor. Şimdi bunu nasıl açıklayacaksınız, sıfır uzayını nasıl açıklayacaksınız? C, C, -C seklinde olan vektörleri, örneğin 7, 7, -7.

Eksi 11, eksi 11, + 11.

Burada elimde ne var? Eğer--tüm sıfır uzayını tanımlıyor olsam -- eğer çizseydim, ne çiziyorum? Bir doğru, tamam mı? Sıfır uzayı bir doğru.

Şuradan geçen bir doğru--R^3’te ve 1, 1, -1 vektörü, belki de şuraya gidiyor. Nereye gittiğini bilmiyorum, diyelim ki şuraya. Burada bana vermiş olduğunuz 1, 1, -1 vektörü var. Ve C, C, eksi C vektörü nerede? Şu doğrunun üzerinde.

Tabii ki daha önce elimizde olan (0, 0, 0)’da var.

Ve bütün elimizde olan -- ah--bütün doğru, orijinden geçen, her iki yöne de giden.

Sıfır uzayı, R^3 te bir doğru.

Tamam, bu örnekte, bir bakışta sıfır verecek tüm sütunlar bulabilirim. Şimdi, yine bir kez daha, vaktinizi alıp, alt uzay tanımına ve uzay tanımına gidebilir miyim, ve size şu soruyu sorayım--sıfır uzayın bir vektör uzayı olduğunu nasıl biliyorum.

Nasıl oldu da uzay diyebildim? Hiçbir zaman uzay kelimesini iki şartın sağlandığına emin olmadan kullanmayacağım. Gerçekten sağlandıklarını kontrol edebilir miyiz? Demek ki şunu kontrol edeceğim--şurada devam edebilir miyim? Ax=0 ın çözümlerinin her zaman bir vektör uzayı verdiğine emin olalım.

Ve tabii ki yine anahtar kelime ‘’Uzay’’. Neden emin olmam gerekiyor? Eğer elimde bir çözüm varsa, x diyelim ve bir başka çözüm, x* diyelim, toplamlarının da bir çözüm olduğunu kontrol etmem gerek, değil mi? Bu bir şart. Uzay kelimesini kullanabilmem için, şunu söyleyebilmem gerek--şundan emin olmalıyız, eğer Ax=o -- ve aynı zamanda Ax*=0 ise, veya belki Av=0 ve Aw=0 demeliydim, o zaman v+w ne olurdu? Şunu yapayım mı--şu harfleri kullanayım.

Eğer Av = 0 ve Aw= 0 ise, eğer bu ve bu, burada vurgulamak istediğim ne? A çarpı (v+w)’nın da sıfır olması gerektiği.

Bunun söylediği eğer v sıfır uzayındaysa ve w’de sıfır uzayındaysa, o zaman (v+w)’da sıfır uzayında olur. Ve şimdi, yazdıktan sonra, tümü ile komik, gülünç derecede basit.. Çünkü matris çarpımı bana bunu Av + Aw parçalarına ayırabilirsin diyor. Gülünç derecede basit dememeliydim. Hoş bir şey değildi.

Şimdi--burada matris çarpımının temel bir kuralını kullandık. Aslında ispatlamadan kullandık, ama orada bir sorun yok. İspatı rahatça atlayabiliriz. Sanırım o dağılma kuralı, şunları ayırabildiğim kural--şunları iki parçaya ayır. Şimdi asıl noktayı görüyorsunuz, Av = 0 ve Aw= 0, demek ki sıfır + sıfır eder sıfır. Demek ki doğru.

Benzer bir şekilde şunu da göstermem gerek. Eğer Av = 0 ise, A çarpı v’nin bir katı, diyelim ki 12v’ nin de sıfır olması gerekir. Bunu nasıl biliyorum? Çünkü şu 12’yi dışarıya alabiliyorum. Bir sayı, bir skalar dışarıya alınabilir. Dolayısı ile 12 tane Av’m var, 12 tane sıfır aslında.. Sonuç sıfır. Herşey tamam.

Şimdi--gerçekten de şunu anlamak önemli. oh evet

Şimdi--şuna bakalım, vektör uzayının anlamını kavradık mı? Bunu sağ tarafı değiştirerek deneyelim. Ahh.

Şimdi sağ tarafı 1, 2, 3, 4’ e değiştireyim. Tamam, peki.

Niye tüm doğrusal cebiri tek derste yapmıyoruz ki-- peki. Şimdi bu denklemin çözümlerini bilmek istiyorum. Şu dört denklemin.

Demek ki 4 denklemim var. Yalnızca 3 bilinmeyenim var, eğer çok özel bir sağ tarafım yoksa, çözümüm de olmayacak. Ama bu çok özel bir sağ taraf. Ve bir çözüm olduğunu da biliyoruz, 1, 0, 0. Başka çözümler de var mıydı? Bunlar bir vektör uzayı oluşturuyorlar mıydı? Tamam. Burada iki soru soruyorum. Bir,--artık sağ taraf sıfır değil. Artık sıfır uzayına bakmıyorum, sıfırları değiştirdim.

İlk sorum, çözümler, eğer çözüm varsa, ki aslında var, çözümler bir alt uzay oluşturur mu? Önce bu birinci soruyu cevaplayalım.

Evet mi, hayır mı? Eğer şu çözümlere bakarsam bir alt uzay elde ediyor muyum, x1, x2, x3’ e geri döneyim.

Bütün x’lere, R^3’teki Ax=b’yi çözen bütün vektörlere bakıyorum. Tek değişiklik artık b vektörünün sıfır olmadığı. Bu durumda, x’ler, çözümler bir vektör uzayı oluşturuyor mu? Bunun çözümleri bir alt uzay oluşturmuyorlar. Çözümler oluşturmuyor, çünkü --bunu nasıl göreceğim? Sıfır vektörü çözüm değil, dolayısı ile daha başlamış bile değilim. Sıfır vektörü sistemi çözmüyor. Çözümler vektör uzayı oluşturmuyorlar. Bunlar neye benziyorlar? Pekiyi, bunu göreceğiz ancak bu örnek için yapalım bakalım. Demek bir, sıfır, sıfır bir çözümdür. Bunu hemen görmüştünüz.

Başka çözümler var mı? Bu denklem sistemine ikinci bir çözüm bulabiliyor musunuz?

ÖGRENCİLER:0 -1 1. STRANG 0 -1 1.

İşte bu--0 -1 1. Evet.

Çünkü bu şunu söylüyor, bu sütunu -1 ile çarpıp, buna ekliyorum ve gerçekten. Bu doğru.

Demek ki--burada bir çözümler takımı var. Fakat bunlar bir altuzay oluşturmuyorlar.

Şimdi neye benzediğini söyleyeceğim. Bu orijinden geçmeyen bir yüzey gibi. Belki orijinden geçmeyen bir doğru da olabilir, A x = B’nin çözümünü çizdiğimde--Sanırım fikri yakaladınız. Alt uzaylar orijinden (merkezden) geçmek zorundalar. Eğer x’lere bakıyorsam, bunların Ax=b’yi çözmelerini isterim. Bir şekilde bugün üzerinde konuştuğumuz iki alt uzayımız var. Altuzaylar hakkında söyleyebileceğim bir tür iki yol var. Eğer sütun uzayları hakkında konuşmak isteseydim, birkaç sütun söyler ve onların bileşimlerini alın derdim.

Şimdi bu alt uzayı oluşturuyorum. Birkaç vektör koyuyorum ve bileşimleri bir alt uzay oluşturuyor.

Şimdi, şuna gidince--şurada alt uzay olana geri döneyim. Burada sıfır uzaydan bahsettiğimde, içinde ne olduğunu söylememiştim.

İçinde ne olduğunu bulmamız gerekiyordu.

Size söylediğim bu denklemlerin sağlanması gerektiği. Bunları görüyorsunuz--bunlar bir alt uzayda ne olması gerektiğini doğal olarak gösteriyor. Ben size ya birkaç vektör verir, uzayı doldurun, bileşimleri alın derim--veya bir denklemler sisteminde x’lerin sağlaması gereken kuralları veririm. Ve her iki yol da alt uzayları oluşturur, alt uzay oluşturmada önemli yollardır. Tamam, bugünkü derste aslında 3.2’nin önemli noktalarını işledik, sıfır uzayı fikri işlendi. Şimdi gelecek derste, alt uzayı daha büyük örneklerde, gözle çözüm olmayan örneklerde nasıl çözeceğimizi göreceğiz.

Gelecek derste görüşmek üzere.

Teşekkürler.