MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 5

Bu Doğrusal Cebir’de beşinci ders ve kitabın bu bölümünü tamamlayacak. Bu bölümün son ünitesi 2.7. Bu ünite, permutasyonlardan söz ediyor ki bunlardan geçen dersin sonunda söz etmiştik ve de devrik matrisleri işliyor ki bunlardan da söz ettik.

Permütasyon ve devrik matrislerle yapacak az bir şeyler daha var. Ama sonra dersin özü, doğrusal cebirin başlangıcı diyebileceğimiz, doğrusal cebire giriş olacak. Gerçek doğrusal cebire giriş, vektör uzayları ile büyük resmi göreceğiz --- sadece vektörler değil, vektör uzayları ve bu uzayların alt uzaylarını. Şu anda müfredatın biraz ilerisindeyiz, aslında bu iyi çünkü yapılacak çok şeyin olduğu yere geliyoruz.

Peki. Permütasyonlarla başlıyoruz.

Bu permütasyonlar, bunlar P matrisleridir ve satırların yer değişikliklerini gerçekleştirirler.

Onlara ihtiyacımız olabilir. Çok güzel bir A matrisimiz olabilir, tersinin var olduğu ve A x=b yi çözebildiğimiz bir matris. Kendime bir konuda serbestlik tanıyorum, eğer pivot durumunda bir sıfır varsa, onu o yerden kaldırma serbestliği. Sıfır olmayan bir değer elde etmek.

Aşağıdan bir satır ile yer değiştirerek uygun bir pivot elde ederim.

Daha önceden görmüş olduğumuz gibi, bütün fikirleri toparlamak istiyorum. İki kere ya da daha fazla kez yapmak zorunda kalsam da, bunu prensipte yapacağım.

Teoriyi tamamlamak için şunu yapmak zorundayım. Ele aldığım A matrisi üzerinde, yok etme işlemine başladıktan sonra satır değişimi gerektiğini gördüğümde, bunu yapıp devam edip, sonra da işlemi bitiririm. Tamam.

Sonra yapmak istediğim tek şey şunu söylemek --- ve bu işi çok büyütmeyeceğim --- A eşittir LU’ya ne olur? Demek ki A= LU --- bu L matrisi, köşegenlerinde birler olan ve üstünde sıfırlar altında da çarpanlar olan bir matris, U’yu da biliyoruz, şu alt bölümünde sıfırları olan matris.

Bu bir ihtimal sadece. Yok etme yönteminin bu tanımı, bir P’ye sahip olmadığımızı varsayar ve satırların yerini değiştiremeyeceğimizi de varsayar. Ve şimdi bir şey söylemek istiyorum, pekala, satır değişimini nasıl yaparım? Çünkü bu yapmıyor. Bu faktörlere ayırımda P birim matrisdir. Orada satırlar doğru sıradaydılar ve aynı yerde bıraktık. Belki biraz gerçeklik ekleyebilirim, MatLab’ın elemeyi nasıl yaptığı ile ilgili. Matlab her insanın yapacağı gibi pivotların sıfır olup olmadığı kontrol etmekle kalmaz.

Aynı zamanda pivot’un yeterli büyüklükte olup olmadığını da kontrol eder çünkü o çok çok küçük pivotları sevmez. Sıfıra yakın olan pivotlar sayısal olarak kötüdür. Aslında MatLab’dan bir sistemi çözmesini istersek, bizlerin gereksiz gördüğü bazı satır değişiklikleri ve bazı yoketme işlemlerini yapabilir. Cebir bunların gerekli olduğunu söylemez, fakat kesinlik --- sayısal kesinlik bunlara ihtiyaç olduğunu söyler. Tamam biz cebir yapıyoruz, burada biz satır değişimlerinin ne yaptığından söz edeceğiz ancak zorunlu olmadıkça bunu uygulamayacağız.

Zorunda kalabiliriz. Sonra sonuç burada saklı. Bu temel gerçektir.

Bu, satır değişimleri olduğunda, yok etme işleminin tanımıdır.

Ve A eşittir L U, P A eşittir L U olur.

Demek ki bu P matrisi satır takası yapan bir matrisdir. Ve esasında takası yapar ---satırları doğru sıraya koyar ve öyle uygun bir düzen yaratır ki, pivotlar --- pivot pozisyonunda artık sıfırlar olmaz ve L ile U buradaki gibi düzgün çıkar.

Ana fikir bu. Esasında bu noktada permutasyon matrisi ile uğraşmak istemiyorum. Geçen seferden hatırlatayım. Geçen sefer sözünü ettiğim permütasyon matrislerinin temel özelliklerini size hatırlatacağım --- ve faktörlere ayırımı genel durum olarak bırakacağım. Bu --- herhangi bir tersi olan A matrisi için bunu elde ederiz. Hemen hemen hiç biri için bir P’ye ihtiyacımız olmaz. Ancak bir kaç tanesi için satır değişimleri gerekir ve gerçekten ihtiyacımız varsa, işte buradalar. Tamam. En sonunda P’nin ne olduğunu hatırlayalım. Permütasyon matrisi P, birim matrisinin satırlarının yer değiştirmiş halidir.

Onları aynı şekilde bırakan ihtimali de sıralamaya dahil ediyorum. Birim matris… tamam. Temel permutasyon matrisiniz gibidir. Hiçbir şey yapmıyorsunuz---permutasyon matrisiniz birim matrisdir. Ve diğerleri var, iki satırın yerini değiştirenler ve sonra üç satırın yerini değiştirenler ve sonra dört --- ve de bu biraz --- cebirsel olarak biraz daha ilginç olmaya başlıyor; dört satır olduğunda değişimi büyük bir döngü içinde yapabilirsiniz. Birden ikiye, ikiden üçe, üçten dörde ve dörtten yine bire.

Veya belki bir ile iki’yi ve üç ile dördü kendi aralarında değiştirebilirsin. Pek çok ihtimal var. Gerçekte kaç ihtimal söz konusu? Cevap n faktöriyeldir. Bu da n(n-1)(n-2).. (3)(2)(1).

Bu sayı, değişim sayılarını, tüm olası değişim sayısını veren sayıdır. Tüm n’ye n permütasyonları hesaplar. Ve bütün matrisler bu harika niteliğe sahiptir ve hepsinin tersi vardır. Çünkü bu satırları normal düzene geri getirebiliriz. Ve bunu yapan matris P’dir --- devriği ile aynıdır.

Bir permutasyon matrisi alabilirsin ve devriği ile çarpabilirsin ve göreceksin nasıl bir’ler bir’leri vurup, birim matrisin birlerini verir. Demek ki bu --- güzel özellikleri olan matrislerle yakından ilgileneceğiz.

Belki de P çarpı P’nin devriğinin birim matrisini verdiğini yeniden yazmalıyım. Ve bu bana başka sözlerle bunun şu diğerinin tersi olduğunu söyler.

Tamam. Şimdi P devrik çarpı P nin birim matrise eşit olduğu matrislerle uğraşacağız.

Permütasyon matrislerinden başkaları da var, ama simdilik değinmek istediğim nokta permutasyonların ortadaki bu küçük grup gibi --- bu özel matrislerin merkezinde, ortadaki gibi olduğudur. Tamam.

Şimdi de kaç tane olduklarını biliyoruz.

Bu durumda 24 --- yani dört’e dörtte 24 tane permutasyon var. Beş’e beş’te, beş faktöriyelden 120 eder. Beş çarpı yirmidört bizi 120’ye getirir. Beş’e beş’lik ler için permutasyonları listelemek çok da hoş bir şey değil. Tamam.

Demek ki bunlar permutasyonlar. Şimdi 2.7’de devrik matrislerle ilgili de tartışma var.

Bu tartışmayı tamamlayabilir miyim?

Öncelikle tahtada bir matris devirme işlemi bile yapmadım değil mi? İyisi mi şimdi yapayım. Diyelim ki (1 2 4; 3 3 1) gibi bir matris aldım. Bu üç’e iki’lik bir matris. Dikdörtgensel bir matris. Ve bunun devriğini bulmak istiyorum.

Bakalım nedir? Devrik için ben T'yi kullanacağım ama MatLab türev işareti olan üssü kullanırdı.

Ve sonuç şu olacak. Buraya yazacağım. Çünkü bu üç satır ve iki sütundur. Bu 3’e 2’lik bir matris. Devrik matrisimiz ise iki satır ve üç sütun olacak, 2’ye 3’lük bir matris.

Demek ki kısa ve daha geniş. Ve şüphesiz bu satır --- bu sütun bu satıra dönüşür --- bu sütun da diğer satıra dönüşür.

Aynı zamanda bu satır bir sütuna dönüştü.

Bu satır bir sütun oldu. Devirme için genel formül nedir? Devirme----sayılarla gördünüz --- aynı şeyi şimdi sembollerle yazacağım. Şüphesiz sayılarla yapmak daha netti. Ama sembollerle A’nın devriğini aldığımda eğer A devriğin i’cı satırındaki ve j’ci sütunundaki sayının ne olacağını sorarsam cevap ne olur? Cevap A’dan geldi.

Cevap köşegenin etrafında A matrisini çevirmeden geldi.

Aslında A matrisinin j’inci satır ve i’inci sütunundaki sayıdır.

Satır ve sütun sayıları yer değiştirir. Satır sayısı sütun sayısı olur, sütun sayısı da satır sayısı olur. Sorun yok.

Tamam. Şimdi özel bir tane --- en iyi matrisler diyebilriz. Pek çok uygulamada simetrik matrisler görünür. Simetrik matrislere dikkatinizi çekeyim. Bunun anlamı nedir? Simetrik kelimesinin anlamı nedir? Bu matrisi devirmenin, matrisi değiştirmeyeceği anlamına gelir.

A devrik A’ya eşit olur. Bir örnek:

Simetrik olan bir matris alalım. Köşegenin üstünde duran herhangi birşey --- ancak şimdi köşegenin üstünde, örneğin şu bir, iyisi mi şurada olsun, yedi’nin şurada olması daha iyi, ve 9’da şuraya yerleşsin.

Bu bir simetrik matris olur. Elemanlarını hep pozitif sayılarıdan seçtim. Önemli olan bu değil.

Önemli olan, matrisi devirdiğimde yine matrisin kendisini elde etmem. Demek ki simetrik matrislerde, A devrik eşittir A olur. Bu noktada sanırım --- devirme işlemi ile değişmeyen matris ailesinin farkında olmanızı istiyorum. Bunları tanımak kolaydır, şüphesiz. Bunu daha önce sözünü ettiğimiz, devriğin matris tersini verdiği durumdaki gibi görmek zor değil.

Bu çok önemlidir ama görmek çok basit değil.

Bu devriğinin ana matrisi geri verdiği durumdur. Bunu görmek ise tümü ile basit bir şey.

Tamam. Aslına bakarsanız belki de böyle bir matrisi ne zaman elde ettiğimizi söyleyebilrim. Örneğin bu --- bu matris simetrik olmaktan çok uzak değil mi? Devriği aynı şekli bile vermiyor --- diktdörtgensel olduğu için, dönüp---diğer yanı üzerinde oturuyor. Şimdi de bundan nasıl simetrik bir matris elde edebileceğimizi görelim.

Bu ikisini çarpalım. Bu dikdörtgensel matrisi çarparsam, dikdörtgensel için R ismini verebilir miyim --- dikdörtgensel matris R olsun ve bu da R’ın devriği olsun.

Sonra sanırım ki bu ikisini çarptığımda --- bir simetrik matris elde ederim. Bunu sayılarla yapabilir miyim? Size sorayım, simetrik olacağını nasıl bildim? Vurgulamak istediğim nokta, R’ın devriği ile R’ın çarpımı her zaman simetriktir. Tamam mı? Bunu şu özel R devrik çarpı R için yapacağım, görelim! Sütun bir iki dört üç üç bir idi. Buna R’ın devriği demiştim, değil mi? Bu adama da bir iki dört üç üç bir dedim.

Buna R dedim. Şimdi çarpımı yapabilir miyim? Tamam. Burada bir 10 elde ediyorum. Yanında da 2, ve bir dokuz. 9 ve de 11. Bunun yanında bir 4; 3 ve 7 elde ediyorum. Burada ne elde edeceğim şimdi? 11’i, 1 çarpı 3 artı iki çarpı 3’ten elde ettim. Satır 1, sütun 2.

Buraya ne gelir? Satır 2, sütun 1.

Fark yok. 1 3 2 3 ya da 2 3 1 3 aynı şeydir.

11 olacak. İşte simetrisi bu.

Doldurmaya devam edebilirim. Şu 7’yi alalım şimdi. 7 şu aşağılarda da görünecek ve sonra 4 sayı daha.

Şurada bir 7 görünecek çünkü 1 3 çarpı 4 1, 7’yi verdi ama 4 1 çarpı 1 3 de 7’yi verecek. Nasıl oluyor görüyor musunuz? Matris dilinde nasıl olduğunu görmek ister misiniz? Çok tatmin edici değil mi? 7 kaza ile elde edilmedi. 11 de kazara değil.

Bu adamın devriğini aldığımda --- simetrik olacağını nasıl bilebilirim? Devriğini alıp bakalım. Ve devriğini aldığımda yine asıl matrisi elde edeceğimi ümit ediyorum

(R devrik R)’nin devriğini alabilir miyim? Bunu niye yapayım? Şimdi önerim, bu matrisin devriğini almak. Bu matrisin simetrik olduğunu göstermenin tek yolu. Şimdi (R^T R) nin devriğini elde edeceğim. Bunu nasıl yapayım? Bu da devriklerle ilgili küçük alıştırmamız olacak.

Devriklerin kuralı, sıranın tersine döndüğüdür. Tıpkı matrisin tersleri için ispat ettiğimiz gibi, şimdi aynı kural devrikler için de geçerli ve bunu kullanacağım.

Demek ki sıra tersine döner. İlk gelenin devriği ve sonra da şunun devriği, ama hayır. O mu --- evet doğru. Yazmam gerekli olan şu. Bu bir matris çarpımı ve ben de bunun devriğini istiyorum.

Demek ki matrisleri ters sıraya koyup, deviriyorum. Sonra olan ne? R devrik’in devriği bize ne verir? (Hepiniz birlikte konuşmayın). (R^T)^T elde etmek için, bir kez köşegenin etrafında çevirip bir kez daha çevirince ilk matrise R’ye geri dönüyorum.

Söylemek istediğim aslında şu: Bu matrisle başladım, onun devriğini aldım, yine aynı matrisi elde ettim. Bu şekilde kontrolümüzü yapmış olduk, sayı kullanmayarak ve böylece --- iki satırda, bu yolla hep simetrik matris elde ettiğime emin olmuş oldum.

Aslında bir sürü uygulamada görülmeleri de bundan ötürü. Pekiyi, bugün, permutasyon, devrik matrisler ve simetri hakkında bir şeyler söyledim. Ve üçüncü ünite için hazırım. [Biraz soluk alabilir miyim? Kayıt nefes almaz, ders veren alır] çünkü vektör uzaylarını anlatmaya başlayacağım --- gerçekten şimdi bunu düşünmeye başlayacağız; dinleyin. Vektör uzayları nedir? Alt uzaylar nedir? Peki. Yaptığımız temel işlemler --- bu vektörlerle ne yapıyoruz? Onları topluyoruz. İki vektörü nasıl toplayacağımızı biliyoruz. Onları “skalar” dediğimiz sayılarla nasıl çarpacağımızı da biliyoruz. Elimizde bir vektörümüz varsa, 3 V’nin ne olduğunu biliyoruz. Bir V ve W vektörümüz varsa V artı W’nun ne olduğunu da biliyoruz.

Yapabilmemiz gerekli olan iki işlem var. Vektör uzayından söz edebilmek için toplama işlemini yapabilmeliyiz, sayılarla çarpabilmeliyiz buna ek olarak bazı farklı kuralların da sağlanması gerekir. Tamam, o halde örneklerle başlayalım. Vektör uzayları hakkında konuşuyorum. Örneklerle başlayacağım. Önce uzay kelimesinin anlamını tekrarlayalım. Uzay kelimesini söylediğimde bundan bir grup vektörümün var olduğunu anlarım. Bir vektör uzayı --- ama herhangi bir vektörler grubu değil. Bir vektör uzayı olmalı --- bu da vektörlere uygulanabilecek işlemlerin mümkün olması gerekir demektir.

Vektörleri toplayıp, sayılarla çarpabilmeliyim ve doğrusal bileşimler yapabilmeliyim. Doğrusal bileşimlerle nerede tanışmıştık? Daha önce bunlar R^2 için söylendi. Şimdi burada bir vektör uzayı var. Bu vektör uzayı nedir? Bana R^2 nin söylediği, gerçek sayılardan söz ettiğim ve iki tane gerçek sayımın olduğu.

Demek ki bu bütün iki boyutlu vektörler kümesi. Onların hepsini sıralayacağım. [3, 2|, |0;0|, |pi; e] vs. Bu doğaldır. Önce cebir yapmam gerekir sanırım. Cebir bana bu vektörlerle ne yapabileceğimi söyler. Onları toplayabilirim. Bunu şununla toplayabilirim.

Ve bunu nasıl yapabilirim? Bileşenleri teker teker toplayacağım. Şöyle ki [3,2] yi [0,0] ile topladığımda sonuç [3,2] olur. [3,2]’ye [pi,e] eklediğimde sonuç [3+pi,2+e] olur. Ne yaptığını zaten biliyorsunuz. Ve resmin nasıl olacağını da biliyorsunuz. Burada (3, 2) vektörümüz var. Ve genellikle ucuna da bir ok koyarız. [0,0] vektörü, bu çok önemli bir vektör --- aslında en önemli vektör --- ve tabii ki pek te fazla bir ok yok burada. Pi neydi, durun hatırlayayım, üçten biraz daha büyüktü de e’de 2’den biraz daha büyük bir sayı.

Belki de burası [pi,e] şöyle bir yerde. Daha önce [pi e]’yi hiç çizmemişim.

Doğal olarak --- ilk bileşen yatay doğru üzerinde ve bu ikinci bileşen de dikey yönde gider. Ve düzlemin tümü R^2 dir. Dolayısı ile düzlemimiz R^2 diyebiliriz.

XY düzlemini alalım. Herkesin düşündüğü bu. Ancak asıl önemlisi bir vektör uzayı olduğu. Çünkü tüm bu vektörler bunun içinde. Eğer bunlardan birini kaldırsaydım ---örneğin [0,0]’ı kaldırdım diyelim. XY düzlemini içinde bir delik varmış gibi düşünelim, tek bir noktanın atıldığı bir durum. O nokta orijin olsun. Orijini buradan çıkarmak bir felaket olurdu. Niye? Orijine niye ihtiyacım var ki? Çünkü --- elimde şu vektörler olduğunda, örneğin elimdeki [3,2] vektörünü herhangi bir sayı ile herhangi bir skalar ile çarpabilmeliyim. Bu da sıfırla da çarpabilirim demek olur. Eğer sıfırla çarpabiliyorsam sonucun şurada olması gerekir.

Demek ki bu nokta olmaksızın yapamam. [3 2]’ ye tersi olan adam [-3,-2]’yi de ekleyebilmeliyim. Ve bunu eklersem orijine tekrar geri dönmüş olurum. Demek ki orijin olmadan yapamam. Her vektör uzayının içinde MUTLAKA sıfır vektörü olmalıdır.

Tamam. Bu kolay bir vektör uzayı. Çünkü doğal bir resmimiz var. Benzer şekilde R^3 de öyle. Hepsi bu --- şimdi biraz şu yukarıya gideyim. R^ 3 de üç boyutlu vektörlerin tümü olacak. Yoksa üç gerçek bileşenden oluşan vektörler mi diyeyim?

Hepimizin anladığından emin olalım. [3, 2, 0] vektörünü alalım. Bu vektör R^2 de mi R^3 de mi? Kesinlikle R^3’te çünkü üç bileşenli. Bunlardan biri 0 olmuş kimin umurunda, sıfır da harika bir sayı.

Bu, R^3 de bir vektör. Karıştırmak istemeyiz --- demek istediğim şunları oldukları gibi tut, R^n’yi de aynı şekilde. R^n nedir? Bu şimdi bizim büyük örneğimiz olup n tane bileşeni olan tüm vektörler. Ve bunları sütun vektörleri şeklinde yazıyorum. Bu uzlaşımı kabul edebilir miyim? Burada sütun vektörlerinin olacağı ve bunların bileşenlerinin de gerçek sayılar olacağı.

İleride karmaşık sayılara ve vektörlere ihtiyaç duyacağız ama daha sonra. Bu bir vektör uzayıdır. Bakalım şimdi. Vektör uzayları hakkında size ne söylemeliyim? En önemli şeyi söyledim, bunların herhangi ikisini topladığımızda hala R^2 de kaldığımız.

Herhangi bir sayıyla çarparım ve yine R^2 de kalırım.

Herhangi bir bileşimi alıp hala R^2 de kalırım.

Ve aynısı R^n için de geçerli olur. Toplama ve çarpma işlemlerinin bazı kurallara uymak zorunda olduğunu söylemek zorundayım. Keyfi bir şey söyleyemeyiz, örneğin [3, 2] ile [pi, e] nin toplamı [0, 0] dır diyemeyiz.

Çünkü öyle değildir. [3, 2 ] ile [-3, -2] nin toplamı [0, 0] eder. Ancak şunu yapmayacağım --- kitabınız toplama ve çıkartma ile ilgili sekiz kural listeliyor ama göstermeyeceğim.

R^n de sağladıkları kesin ve aslında sorguladıklarımız bu 8 kural değil. Asıl soru bu toplamların aynı uzayda kalıp kalmadıkları? Bunu yapamayacağınız bir durumu göstereyim.

Bunun bir vektör uzayı olmadığını düşünelim.

X Y düzlemini aldığımı düşünelim --- burası R^2 olur.

Bu bir vektör uzayı. Şimdi bunun bir parçasını alalım. Sadece bunu.

Sadece bu --- bu vektör uzayının dörtte biridir.

Tüm pozitif veya en azından negatif olmayan bileşenli vektörler. Bunları güvenli bir şekilde toplayabilir miyim? Evet. Örneğin --- [3,2] gibi bir vektörü [5,6] gibi bir vektör ile toplarsam hala bu çeyrekte kalırım. Toplamada problem yok.

Ama skalar çarpımında ciddi problem var. Çünkü bu çeyrek düzlemden beni çıkaracak bir sürü skalar var, örneğin negatif olanlar.

Eğer [3 2] yi alıp eksi beş ile çarparsam, şu aşağılara gelirim. Demek ki bu bir vektör uzayı değil. Çünkü doğru kelime --- kapalı değil. Bütün gerçek sayılar ile çarpım altında kapalı değil. Bir vektör uzayının çarpma ve toplama altında kapalı olması gerekir.

Veya, başka bir ifade ile doğrusal bileşimler.

Demek oluyor ki, size bir kaç vektör verseydim --- bakın şurada işte önemli bazı vektör uzayları elde ediyoruz.

Tabii ki R^n --- bunların en önemlisi.

Ancak biz, R^n uzayının içinde kalan uzaylar ile ilgileneceğiz. Kurallara uyan uzaylar, ancak --- tüm bunlara gerek duyulmayan --- bakın burada R^2 ile başladım, bir bölümünü aldım ve karıştırdım. Bunu yaptığımızda elde ettiğimiz bir vektör uzayı değildi. Şimdi bana öyle bir vektör uzayı verin ki R^2 nin bir parçası olsun --- yine de kendi içinde çarpma ve toplama işlemlerini yapabileyim. Bunun bir alt uzay olması gerekecek. Şimdi bu kötü örneği iyi bir örneğe dönüştüreceğim.

Tekrar R^2 ile başlayacağım ama bu kez örneğim --- bir vektör uzayı, yani R^2 nin içinde bir vektör uzayı olacak. Ve buna R^2 nin alt uzayı diyeceğiz.

Peki. Ne yapabilirim? İçinde birşeyler var. İçinde şu vektör olsun. Tamam.

Bu vektör benim küçük alt uzayımdaysa ve bu doğru bir alt uzaysa, içinde bundan fazlası da olmalı. Bu vektörü 2 ile çarpabilmeliyim ve vektörün iki katının da uzayda olması gerekir.

Sıfır ile, ya da bir bölü iki ile, yada 3 bölü dört ile çarpabilmeliyim.

Bütün bu vektörleri eksi (1/2) ya da eksi 1 ile çarpabilmeliyim. Herhangi bir sayıyla çarpabilmeliyim. Bu bütün doğruyu elde etmem gerekir demektir. Bunu görebiliyor musunuz? Şurada bir vektörüm olduğunda ---vektörün tüm katlarından oluşan doğruyu elde ediyorum. Eğer bu katları elde edemezsem, bir vektör uzayım da olamaz.

Hala toplamayı kontrol etmek zorundayım.

Ancak onda bir sorun yok. Bu doğru çalışır çünkü doğru üzerindeki bir şeyi doğrudaki başka bir şeye eklersem hala doğru üzerinde kalırım.

Şimdi sıra örnekte. Demek ki bunlar alt uzayların tüm örnekleri --- bizim örneğimiz R^2 de bir doğru, aslında herhangi bir doğru değil. Eğer bu doğruyu alırsam --- o doğru üzerindeki tüm vektörler – yani şu vektör ve bu vektör ve şu ve de bu vektör --- daha hafif çizdiğim vektörler burada işlevsel olmayacak. Bu bir alt uzay değil.

R^2 deki doğrunun bir alt uzay olabilmesi için sıfır vektöründen geçmelidir. Çünkü --- bu doğru niye işe yaramaz? Şimdi kesikli bir çizgi ekleyeyim.

Çünkü kesikli çizginin üzerindeki bu vektörü sıfır ile çarparsam, şuraya aşağıya gelirim. Artık kesikli çizginin üzerinde değilim.

Sıfır mutlaka olmalı. Her alt uzay sıfırı içermek zorunda çünkü sıfırla çarpabiliyorum ve bunu yaptığımda her zaman sonuç sıfır vektörü olacak.

Tamam şimdi yapmak istediğim ---bazı alt uzaylar yaratmak. Hazır R^2 deyken niçin bütün ihtimalleri düşünmeyelim ki?

R^2 de çok fazla olmamalı.

R^2 nin olası alt uzayları nelerdir? Sıralayalım. R^2 nin alt uzaylarını listeliyorum. Öncelikle ve her zaman içerdiğimiz olasılık R^2 tümü yani uzayın tümü. Uzayın bütünü kendi alt uzayı sayılır. Bunu hep böyle kabul ederiz.

Sonra diğer doğrular ---her hangi bir doğru, sıfırdan geçen ve her iki yönde de sonsuza giden tüm doğrular.

Bu tüm uzay gibi. Yani tüm 2 boyutlu uzay gibi. Bu ise tek boyutludur .

Bu doğru R^1 deki doğrunun aynısı mı? Hayır. R^1 deki doğruya çok benzediğini söyleyebilirsiniz. R^1’de bir doğru, bu da bir doğru.

Ancak bu R^2 nin içinde olan bir doğru. Vektörlerin 2 bileşeni var. Demek ki R^1 gibi değil, çünkü buradaki vektörlerin sadece bir bileşeni var.

Çok yakın diyebilirsiniz ancak aynısı değil.

Evet ve şimdi üçüncü bir ihtimal var. Bir üçüncü alt uzay var. R^2 nin tümünü içermeyen veya bir doğru olmayan bir alt uzay.

Hatta çok daha azı. Sadece sıfır vektörünü içeren bir alt uzay. Sıfır vektörü sadece. Bu alt uzaya Z ismini vereceğim genellikle, sadece sıfır için. Şurada bir doğrumuz var bu L. Bu da bir düzlem, R^2 nin hepsi. Burada sıfır vektörünü görüyor musunuz? Şimdi --- alt uzayları anlayabilmek için kuralları bilmemiz gerekir. Kuralları bilmek de --- şunu görmenizi gerektirir, sıfır vektörünün tek başına tüm şartları sağladığını. Niye bu böyle? Aslında söylemek bile gereksiz. Sıfır vektörünü kendisi ile toplarsam sonuç sıfır vektörü olur, yani hala buradayım. Bunu 17 ile çarparsam, yine burada kalırım.

Gerekli tüm işlemleri yaptım. Topladım ve sayı ile çarptım ve bu tek noktalık uzayın dışına çıkmadım. Demek ki bu her zaman --- en küçücük alt uzaydır. Ve en büyük alt uzay ise uzayın kendisidir --- ve aralarda da --- işte araya ne gelirse artık.

Örneğin, R^3 için arada kalanlar nelerdir? Bildiğimiz üç boyutlu uzayı ele aldığımızda, alt uzay R olsun, R^3 ün tümü bir yanda ve en altta da sıfır vektörü. Ve sonra bir düzlem, orijinden geçen bir düzlem. Veya orijinden geçen bir doğru. Demek ki R^3 için sıraladığımız alt uzaylar, orijinden geçen bir düzlem, orijinden geçen bir doğru ve sıfır vektörünün kendisi, (0,0,0), tek başına bir vektör.

Şimdi fikri yakaladınız. Ama şimdi asıl noktaya geliyoruz --- aslinda --- bütün bunlar ne --- bütün bu alt uzaylar nereden geliyor --- matrislerden bunları nasıl üretiyoruz? Ve şimdi bu matrisi alıp --- haydi şimdi bu matrisi alayım. Yapmak istediğim matristen alt uzaylar üretmek. Alt uzaylardan biri sütunlardan geliyor.

Demek ki bu önemli bir alt uzaydır. Bir matristen gelen ilk önemli alt uzay ---şimdi buna yine A diyeyim. Ve şimdi tekrar geri dönelim.

A’nın sütunlarına bakıyorum.

Hepsi R^3 te birer vektör. Demek ki sütunlarım R^3 te.

Sütunlar R^3’deler. Bu sütunların alt uzayımda olmasını istiyorum. Alt uzayıma sadece iki sütun koyup bu bir alt uzaydır diyemem.

İçine ne atmak zorundayım? Bu 2 sütunu koyduktan sonra, bir alt uzay elde etmek için başka ne yapmayalım? Bunları toplayabilmeliyim.

Bu sütunların toplamı --- bu sütunlar R^3’teler ve şunu yapabilmeliyim ---bunun da alt uzayımda olmasını istiyorum, bunun da alt uzayımda olmasını istiyorum, dolayısı ile bunları herhangi birşey ile çarpabilmeliyim.

(0, 0, 0) alt uzayımda olmak zorunda.

Toplayabilmeliyim, dolayısı ile (4, 5 ,5) de alt uzayımda olacak. Bunun bir tanesi ile bunların 3 tanesini toplayabilmeliyim. Bu toplam bana başka bir vektör verecek.

Bütün bu doğrusal bileşimleri alabilmeliyim. Demek ki tüm bu sütunlar R^3’deler ve tüm doğrusal bileşimleri de bir alt uzay oluşturur. Doğrusal bileşim ne demek? Anlamı şu: Bunu bir şey ile çarp, şunu da birşey ile çarp ve de ikisini topla. Doğrusal cebirin iki işlemi sayılarla çarpmak ve vektör toplamı.

Bütün bu sonuçları dahil edersem bir alt uzay elde etmeyi de garantilemiş olurum. Bu işi yapmış oldum.

Ve buna bir isim vereceğim---- sütun uzayı diyeceğim.

Sütun uzayı. Belki de adına C(A) derim.

Sütun uzayı için C. Bir mantık var burada. Tıpkı bugünün dersinde olduğu gibi ---elimizde birkaç vektör var. Bir kaç vektörle yetinmiyoruz, dolayısı ile bir vektör uzayı istiyoruz. Vektörler --- şu vektörler --- R^3’deler demek ki vektör uzayımız R^3 deki vektörler olacak. Anahtar fikir, bunların bileşimlerini alabiliyor olmamız gerektiği.

Geometrik olarak, söyleyin bakalım, eğer bütün bunları çizersem --- örneğin [1, 2, 4] ü çizersem, buralarda bir yerde olur. [3, 3, 1] i çizersem kim bilir belki o bilmiyorum, belki de şuralarda olur.

Sütun 1 burasıdır, burası da sütun 2 dir.

Başka ne var --- bütün sütun uzayında ne var? Şimdi bütün sütun uzayını nasıl çizerim? Bu iki vektörün bileşimlerini alırım.

İhtimalleri listediğimi tahmin ediyorum. Bütün uzayı elde eder miyim? Bir düzlem elde edermiyim? Bir çizgiden daha fazlasını elde ederim, o kesin. Sıfır vektöründen de daha fazlası var kesinlikle. Ama sıfır vektörünü mutlaka içermeliyim. Şimdi şu bileşimleri yaparsam --- R^3 deki ikili vektörlerin tüm bileşimlerini alırsam ne elde ederim? Elimde bunlar var --- bu doğru dolmaya başlar, diğer doğru da dolmaya başlar, aradakiler de dolmaya başlar --- iki doğrunun arasında kalanlar --- çünkü şu doğrunun bir parçası ile diğer doğrunun bir parçasını toplayabildim. Şimdi ne oluştuğunu görüyor musunuz? Bir düzlem elde etmeye başlıyorum. İşte bu --- ve de orijinden geçiyor. Bu iki vektörle, [1 2 4] ve [3 3 1], başlayıp ve tüm bileşimlerini aldığımda, bir bütün düzlemi doldurmuş oluyorum. Lütfen bunun üzerinde biraz düşünün. Görebilmeniz gereken resim bu. Bunu R^3 te hayal edebilmelisiniz çünkü aynı şeyi R^10 için de yapacağız, hatta belki R^10’daki 5 vektörün belişimlerini alacağız ve o zaman ne elde edeceğiz? Allah bilir. Bir çeşit alt uzay.

Beş vektörümüz olacak. Hepsi de on bileşene sahip olacak. Onların bileşimlerini alacağız. R^5 olamazlar çünkü vektörlerimizin 10 bileşeni var. Bir ihtimal belki 5 boyutlu orijinden geçen yassı birşeyimiz olacak? Şüphesiz, bu beş vektör aynı doğru üzerinde olsalardı, sadece bir doğru elde ederdik? Gördüğünüz gibi başka ihtimaller de var.

Neye bağlı -- bu beş vektöre bağlı. İki sütunumuz da aynı doğru üzerinde olsaydı, sütun uzayı da o doğru olurdu. Şimdi elimizde bir düzlem var.

Bu noktada duracağım. Ana fikir bir matristen --- bir alt uzay oluşturmanın nasıl olduğuna dair harika bir örnek. Onun sütunlarını al, bileşimlerini al, bütün doğrusal bileşimlerini al ve sütun uzayını elde et.

Ana fikir bu --- doğrusal cebiri yüksek seviyede görüyoruz .A’ya baktığımda --- Ax=b görmek istiyorum. Gelecek dersteki ilk şey bu olacak. Ax = b yi bu dilde nasıl anlayacağız? Vektör ve sütun uzayını bu yeni dilinde nasıl anlayacağız? Ve diğer alt uzaylar nelerdir? Demek ki sütun uzayı büyük bir uzay ve arkasından başkaları takip edecek.

Tamam. Teşekkürler.