MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 4

Hazır mıyız? Pekala, başlamaya hazırım. Kayıt bir dakikada başlayacak.

Başladığında elini kaldırıp haber verecek.

Bir dakika bakalım yerleşsinler. Tamam, başlamamı istediğinizde işaret verin.

Tamam, bu Doğrusal Cebir dersinin dördüncüsü.

Ve ilk yapacağım şey geçen ders için programlanmış olan bir konu, ama işte şimdi yapıyorum.

Bir çarpımın tersi nedir? Eğer iki matrisi çarparsam ve her birinin tersini biliyorsam, A çarpı B’nin tersini nasıl elde ederim? A matrisinin ve B matrisinin tersinin ne olduğunu biliyorum. Elimde AB matrisi varsa, birim matrisini elde etmek için ne ile çarpmam gerekir? Bu çok basit ancak bir o kadar da önemli. Sonra bunu --- elimde bir matris çarpımı olacak ve karşımıza çıkan çarpım, bu yok etme matrisleri olacak, demek ki bugünkü asıl hedefimiz Gauss’un yoketme yöntemine bakmak olacak. A matrisinden U ya yok etme ile geçtiğimizi biliyoruz. Gerekli tüm adımları biliyoruz, ancak şimdi olaya doğru şekilde bakmayı öğreneceğiz, A eşittir L U.

Demek ki bugünün en önemli öğretisi bu olacak.

Tamam, önce kolay kısmını alabilir miyim? Önce ilk adım. A’nın tersinin olduğunu farzedelim. Hatta A’nın da B’nin de tersi olduğunu düşünelim, bu durumda AB matrisinin tersini hangi matris verir. En basit şekli ile sorumuz bu.

AB’nin tersi ne? Herbirinin ayrı ayrı terslerini mi çarparım? Evet.

A’nın tersi ile B’nin tersini çarpıyorum, iyi de hangi sırada? Ters sırada.

Ve neden olduğunu görüyorsunuz. Demek ki şuraya koymanız gerekli şey B’nin tersi çarpı A’nın tersi. İşte peşinde olduğum matris tersi bu.

AB ile elde ettiğimiz matrisin çarpımının birim matrisini verip vermediğini kontrol edebiliriz.

Şimdi niye --- tekrarlayalım, parantezlerin yerini değiştirme hakkımı kullanabilirim. Basitçene hepsini silebilirim ve istediğim şekilde çarpabilirim.

Bakalım ilk yapmanız gerekli doğru çarpım hangisi? B çarpı B’nin tersi. Bu çarpım bize birim matrisi, I’yı verir. Sonra A çarpı birim matrisi A dır ve sonunda A çarpı A’nın tersi bize birim matrisi verir. Kitaptaki aptal örneği boşverin. Ters matris çarpımlarını niye ters yönde yaparsınız? Bu ayakabılarınızı çıkarıp sonra çoraplarınızı çıkardıktan sonra, geriye dönüşte önce çoraplarınızı giyip, sonradan ayakkabılarınızı giymenize benzer.

Özür dilerim bu kayıtta. Ve tabii ki diğer tarafı da kontrol etmemiz gerekir --- diğer yanda elimde B’nin tersi var ve A’nın tersi.

Bu şimdi A B ile çarpılıyor, ve bu kez bu adamlar birim matrisini veriyor, bunları şuraya sıkıştıralım, bunlar da birim matrisini veriyor. Tam istediğimiz gibi.

İyi, matris tersimiz bu.

Peki hazır bu konunun üzerindeyken, önce bir matris devirme işlemi yapalım, çünkü bir sonraki dersimizde çokça --- devrik matrislerle uğraşacağız.

Peki şimdi --- eğer bir matrisi devrik’lersem, kare ve tersi alınabilir matrislerden söz ediyorum.

Bunu devrik’lersem, tersi ne olur? Güzel ve şık olan formül var --- bakalım.

A’dan başlayacağım. A çarpı A’nın tersi eşittir birim matris.

Ve her iki tarafın da devriğini alayım.

Devriğini alma işlemi işin içine girmiş olur.

Birim matrisin devriği ne olur? Yine birim matris değil mi? Şimdi satırlarla, sütunların yerini değiştirirsem, birim matris simetrik bir matris. Farkı görülmüyor.

Bu adamların devriğini alırsam, şu çarpım, bu kez de yine sırayı değişirmem gerektiği açık.

Her bir matrisin ayrı ayrı devriğini alabilirim, ama iş çarpmaya geldiğinde bunu ters sırada yapmalıyım.

Demek ki A’nın tersinin devriği, çarpı A’nın devriği bize birim matrisi verir.

Bu işte --- şu eşitlik --- doğrudan buradaki eşitlikten gelir.

Ancak bu eşitlik bana bilmek istediğimi veriyor, yani A devriğin tersinin ne olduğunu. Bunun tersi ne --- bir matrisin devriğini aldığımda, sonucun tersi ne olur? Bu eşitlik bana tam da bunu söyler.

Bu A’nın devriğinin tersi.

A’nın devriğinin tersi --- A devriğin.

Demek ki bunun etrafına kocaman bir daire koyacağım, çünkü cevap bu, bu ümit edebileceğimiz en iyi cevap.

Eğer devrik A’nın tersini bulmak istersem, ve de elimde A’nın tersi varsa, bunun devriğini almak yeterli. Yani, farklı bir şekilde söylemek gerekirse, tek bir matris için, devirme ve tersini alma işlemlerini istediğiniz şekilde yapabilirsiniz. İyi. Bütün bunlar kullanabileceğim bazı temel kurallar --- şimdi bunları kullanmaya geçiyorum. Bunu şunu düşünerek işleme koyuyorum --- şimdi gerçekten yok etme konusunu bitiyoruz.

Aslında, yok etme ile ilgili asıl nokta matris özelliklerini iyice anlamanın iyi bir yolu.

Bu A eşittir L U, bir matrisin çarpanlarına ayırmanın temeli.

Her zaman bu dersin sırf yok etme işlemi olduğunu sanmanızdan korkuyorum. Veya sadece satır işlemlerinden söz ettiğini.

Ancak lütfen öyle sanmayın. Bunun ötesine gideceğiz, ancak en başta yapmamız gerekli doğru cebir bu. Peki şimdi sona yaklaşıyorum, ancak düzgün bir şekil elde etmek istiyorum.

Demek ki düzgün şeklim bir matris. Bir A matrisim var ve diyelim ki iyi bir matris, yok etmeyi uygulayabilirim, satır değişimi yok --- şimdilik satır değişimi kullanmayacağız. Pivotlarımızın hepsi güzel, hiç bir pivot pozisyonunda sıfır yok. En son noktaya geliyorum, bu da U.

Demek ki A’dan U’ya geçiyorum. Ve bağlantının ne olduğunu bilmek istiyorum. A, U ile ne şekilde ilintili? Ve bu da bana bu ikisini ilişkilendiren bir L matrisin olduğunu söyleyecek. Peki. Bunu önce iki’ye iki’lik bir matris için yapabilir miyim? Peki. İki ye iki de yoketme işlemi.

Peki bunu şu aşağıda yapacağım. Tamam.

Matrisim A olsun --- Basit tutacağım, diyelim ki 2 ile 8, dolayısı ile ilk pivot’un 2 olduğunu biliyoruz, ve çarpan 4 olacak, ve sonra buraya bir 1 koyayım ve şuraya hangi sayıyı koymalıyım? 4.

Burada 4 olmasını istemiyorum, çünkü bu durumda ikinci pivot --- ikinci bir pivotumuz olmayacak. Matris tekil olacak, çöktük. Pekala.

Haydi başka bir sayı koyayım, örneğin yedi.

Tamam. Pekala.

Şimdi bu matris üzerinde elemanter matrisimle işlem yapmak istiyorum. Elemanter matris ne? Doğrusunu söylemek gerekirse, bu E 2 1 olur, çünkü bu arkadaş şu pozisyonda sıfır üretecek.

Ve tek işlemde U’yu yaratmış olacak, çünkü 2’ye 2’lik bir matris. Demek ki 2 ve 1, ve bunlardan 4 tanesini şunlardan çıkaracağım, şu sıfırı elde edeceğim ve şurada 3 olacak. Bu bizim U’muz.

Ve bunu yaratan matris hangisi? Hızlıca gözden geçirelim.

Yoketme işleminin elementer E 2 1 matrisi ne? 1 ve 0, teşekkürler. Ve --- eksi dört ile bir, doğru.

Güzel. Pekala.

Dolaysıyla bu --- bunun ve aradığım şeyin arasındaki farkı görüyorsunuz. Denklemin bir yanında A’yı diğer yanında ise başka matrisler arıyorum.

Peki bunu hemen yapabilirim.

Şimdi burada A = LU olacak.

Ve ne olduğunu söylemekte güçlük çekmeyeceksiniz --- demek ki A hala 2, 1, 8, 7. L bana söylemenizi istediğim matris ve U ise hala iki, bir, sıfır ve üç.

Tamam. Bu durumda L ne? Peki, öncelikle L’in, şu E adamı ile bağlantısı ne? Cevap matrisin tersi, çünkü şunun tersi ile çarpmak istiyorum, bu şu noktada birim matrisini oluşturacak, ve ters matris şurada görünecek ve ben buna L diyeceğim.

Demek ki bunun tersi ne? Hatırlayın, elemanter matrislerin tersini almak kolay. Bunun için ters matris 1 0 4 1 olup, aslında bir işaret değişimi var.

Tamam. İster misiniz --- eğer sayıları doğru koyduysak, bunun doğru olması gerekir. Pekala.

Ve tabii ki doğru. Bu birinci satır doğrudur diyor, ve 4 kere birinci satır artı ikinci satır bize 8 ile 7 verir. Güzel. Bu basit, çünkü iki’ye iki’lik. Ancak hangi şekle doğru gittiğimizi söylüyor. Şunu gösteriyor --- L neyi simgeliyor. Niye L harfi? Eğer U bize üst üçgensel matrisi gösteriyorsa, L’de alt üçgensel matrisi simgelemeli. Ve gerçekten de köşegende birlerim var, bu şekilde pivotlar köşegenin üzerinde. Ohh, bazen pivotları ayırmak isteyebiliriz, dolayısı ile bunu bazı zamanlar şöyle de yazabiliriz --- şu 1 0 4 1’i --- şimdi size bu pivotlar matrisini nasıl bölüştüreceğimi göstereceğim --- iki, üç.

Bir köşegen matrisimiz var. Ve ben sadece --- tüm kalanlar şuradalar. Kalanlar neler? 2’yi çıkarmak için, bu satırı ikiye bölersem, 1 ve ½ elde ederim.

Ve ikinci satırı 3 ile bölersem, burada bir 1’im olur. Demek ki bu L U ise, buna da L D diyebiliriz veya pivot U. Ve şimdi biraz daha dengeli çünkü köşegende birlerimiz var, şurada ve burada. Ve ortada da köşegen matrisimiz. Dolayısı ile bunların ikisi de…

MatLab ikisinden herhangi birini üretir.

Ben L U ile devam edeceğim. Tamam mı?

Şimdi 2’ye 2’lik den daha büyüklerini düşünmem gerek.

Ancak şimdiye kadar yaptığımız kolay gibi görünmüyor. Ve gerçeği söylemek gerekirse bu bir eksi işareti, şu da artı işaretiydi.

Demek istediğim tek fark bu.

Ancak 3’e 3’lüklerde daha büyük bir fark var. Size nasıl işlediğini göstereyim.

3’e 3’lüklerle devam edelim, diyelim ki bir A matrisi --- Üçe üçlük olduğunu düşünelim. Şimdilik sayı yazmayacağım. Yapmam gerekli ilk yok etme işlemi ne, ilk çarpacağım matris, bunun için ne harf kullanayım. Bu E 2 1 olacak, çünkü --- ilk adım şu (2, 1) pozisyonunda bir sıfır elde etmek olacak.

Ve sonraki adım da (3, 1) pozisyonunda bir sıfır elde etmek olacak. Ve son adım da (3, 2) pozisyonunda bir sıfır elde etmek olacak.

Yok etme işlemi bu, ve bu da bize U’yu üretti.

Ve gördüğünüz gibi hiç satır değişimi kullanmadım. Şimdi yine iyi durumu ele alıyorum, aynı zamanda standart durumu --- hiçbir satır değişimi yapmam gerekmeyen durumu, tek yaptığım yok etme işlemleri. Tamam mı?

Şimdi, gerçekten de bu şeyleri sağ tarafta istediğimizi varsayalım. Yani, burada vurgulamak istediğim, bir E matrisi elde etmek için bunları beraber çarpabilirim, ama onu diğer yanda istiyorum. Onun tersini şurada istiyorum.

Dolayısı ile şimdi doğru ifade ne? Eğer A ve U yazarsam, şuraya ne gelir? Peki. Demek ki burada şunun tersi var. Şimdi peş peşe üç matrisim var.

Ve her birinin tersi ortaya çıkacak, çünkü her birinin tersini almak kolay.

Soru şu, tümü için ne diyebiliriz? Bunların tümünün tersini almak kolay mı? Asıl şimdi artık yapmayı bildiğimiz bu.

Matris tersini almayı biliyoruz, matrislerin teker teker terslerini alacağız, ancak ters sırada olacaklar.

Demek ki buraya ne geliyor? E 3 2 nin tersi, tamam mı, çünkü soldan E 3 2 nin tersi ile çarpacağım ve sonra bunu U’nun yanına koyacağım, sonra da E 3 1in tersi gelecek. Ve tek kalan şu arkadaş olacak, o da E 2 1 tersi ile işlem yaptığımda gidecek.

Demek ki şurada L var. Ve bu da L U.

L terslerin çarpımı. Şimdi hala benim için ne yapmaya çalışıyor bu adam diye düşünebilirsiniz? Anlatmaya çalışayım.

Niye bu çarpımın diğerinden daha iyi olduğunu anlatmaya çalışayım. Bu çarpım diğerinden daha iyi. Standart bir örnek vereyim.

Standart bir örnek alayım. Şunu yapayım --- Farklı görebilmeniz için 3x3’lük bir matris almalıyım. 2x2’lerde sadece tek E gerekiyor orada problem yok.

Şimdi diğer durumu inceliyeyim. Diyelim ki E 2 1 matrislerim – E 2 1 matrisinde şurada bir eksi 2’nin olduğunu varsayalım.

Varsayalım ki --- ve şimdi kabul edelim ki --- oh, E 3 1’ın bir birim matris bile olduğunu düşünebilirim. Şimdi söylemek istediğimi bunlardan bir kaçı ile göstermeye çalışacağım. Pekala.

Şimdi bu adamın --- birşey yapalım --- eksi 5, 1 varsayalım. Tamam.

Bu standart durum. E31’e ihtiyacı olmayan standart durum. Belki de bu 3, 1 pozisyonumuzda hali hazırda sıfırımız var. Tamam.

Bakalım, bu bana göstermek istediğimi gösterebilmek için yeterli olacak mı? Şu çarpımı yapalım. Tamam. Eğer şu çarpımı yaparsam, bu iki matrisi çarpmak iyi bir şeymiş gibi görünüyor.

Söyleyin bakalım, bu iki matrisi çarptığımda köşegenin üstünde ne var? Yalnızca sıfırlar.

Bu çarpımı yaptığımda köşegende birler, ve üst bölümde de sıfırlar olacak. Çünkü --- bu ne diyor? Bu satırları daha altta kalan satırlardan çıkardığımı söylüyor.

Dolayısı ile Gauss Jordan’da olduğu gibi hiçbir şey yukarıya doğru hareket etmiyor. Tamam.

Şimdi, aslında şimdi yapmam gerekli olan, şu eksi 2, 1 ve sıfırı kontrol etmek, şimdi bu --- bu hangi sayı? Bu aklımda olan sayı. 10 sayısı.

Ve bu --- buraya ne gidiyor? Sütun ikiye karşı, satır 3, bu -5’e benziyor.

Bu şuradaki 10. Bu 10 nasıl buraya geldi? Bu 10’u sevmiyorum. Aslında --- silmek de istemiyorum çünkü doğru.

Ancak burada olmasını istemiyorum. Bu 10 buraya geldi, çünkü birinci satırın iki mislini ikinci satırdan çıkarttım ve elimdeki yeni satırın 5 mislini üçüncü satırdan çıkardım. İşlemleri söylediğim sırada yaptığımda, birinci satır üçüncü satırı nasıl etkiledi? Bakalım, şöyle etkiledi --- çünkü satır 1’in iki misli, ikinci satırdan çıkarıldı, ve sonucun 5 misli de satır 3’ten çıkarıldı. Dolayısı ile sonuçta, birinci satırın 10 misli, satır 3’e atılmış oldu.

Benim vurgulamak istediğim ters yönde --- şimdi yapabilirim --- bunun altında tersleri hesaplayacağım.

Tamam ve tabii ki ters yönde. Ters yön.

Ters yön. Pekala.

Ve şimdi bakalım. Bu E sol tarafa gidiyor, A’nın soluna.

Şimdi ters matrisleri ters sırada yapacağım, demek ki --- ters sıra, önce şu tersi koyarım. Ve bunun tersi ne? E 2 1’in tersi ne? Aynı şey ancak artı işareti ile, değil mi? Bu bireysel matrisler için, ikiyi çıkartma yerine birinci satırın iki mislini ikinci satıra eklerim ve problem olmaz. Ve şimdi, ters yönde işlem yaparak, bunun tersini almak istiyorum. Tamam mı? Sadece bunu yapıyorum, bunu.

Ve şimdi matris tersi yine aynı şey, ancak 5’i de ekliyorum.

Ve şimdi şu çarpımı yapacağım ve mutlu sona erişeceğim, umarım öyle olur.

Şimdiye kadarki her şeyi doğru yaptım mı? Evet, tamam.

Şimdi çarpımı yapalım. Sanırım ortaya bu çıkıyor.

Demek ki cevabın birinci satırı 1, 0, 0. Bütün bunların bir olacağını biliyorum, değil mi? Sonra da (2, 1, 0)’ım var.

Demek ki şurada (2, 1, 0)’ım var. Ve üçüncü satır ne? Bu çarpımdaki üçüncü satır ne? Bana yüksek sesle okuyun bakayım, üçüncü satırı? (0, 5, 1). Çünkü bunu söylemenin bir yolu, bu diyor ki son satırı tek tek al ve işte burada. Ve bu da benim L matrisim.

Ve U’nun soluna gidecek olan.

Bu şuraya gidiyor --- ne demek istiyorum? Belki de A’nın soluna, U’nun soluna diyeceğime, en iyisi ne demek istediğimi bir kez daha yazayım. E A bize U’yu veriyor, halbuki A matrisi LU’ya eşit. Tamam mı? Şimdi bu noktayı sözle söylemeye çalışayım. L için olan bu matrislerin sıralaması doğru sıralamadır. 2 ile 5 doğru sıralamayla bu 10’u üretmek için bir şekilde biri birine müdahele etmiyorlar, bu çarpanlar sadece L matrisinde gözüküyorlar. İşte vurgulamak istediğim bu --- bu L yi bilmek istiyorsam, yapmam gereken bir iş yok. Tek yapmam gereken bu çarpanların ne olduğunu not etmek, o da bana L’i veriyor. Demek ki şunu çizeceğim --- Size söyliyeyim, işte bu A=LU.

Demek ki satır değişimi yoksa, çarpanlar -- ki yoketme işlemini yaparken satırları çarpmak ve çıkartmak için kullandığımız bu sayılar --- bu çarpanlar doğrudan L matrisine gidiyor. Tamam. Demek ki L bize yok etmeye nasıl bakmamız gerektiği gösteriyor.

Yok etme işleminin sırası ile adımlarını tamamlıyorsunuz ve doğru yaparsanız o zaman L U’yu yarattıkça artık A’yı atabilirsiniz.

Şimdi yapılanı düşünürsek, yok etmenin adımlarını A’nın ikinci satırı ile işiniz bittiğinde, U’nun yeni bir satırını üretmiş oluyoruz, bunu kayıt altına almamız gerekiyor ve kullandığınız çarpanları oluştururken --- bunları da kaydetmeniz gerekiyor, sonra da A’yı unutabilirsiniz.

Çünkü artık her şey L’de ve U’da var.

Bu şunu gösteriyor --- belki de şu an yok etme ile ilgili yeni bir görüş belirmeye başlıyor --- yok etmeyi matris kullanarak yapmak. Şu böyleydi ---E’lerin çarpımı ---E’lerin çarpımının ne olduğunu göremiyoruz. Bu E matrisi özellikle çekici olan bir matris değil.

Güzel olan, bunları diğer tarafa koyduğumuzda oluyor ---ters sırada terslerini koyduğumuzda, bu L tam doğru bir şekilde ile ortaya çıkıyor.

Şimdi --- aman Allahım, bugün oldukça uygulamalı işlerle uğraşıyoruz. Şimdi hep birlikte yok etmenin ne kadar pahalı olduğunu düşünebilir miyiz? Kaç tane işlem yaptığımızı? Bu şimdi bir bakıma yeni bir konu, daha önce listelememiş olduğum programımda olan, ancak şimdi sırası geldi.

A matrisi n x n olsa kaç işlem gerekecek?

Bu çok kullanışlı bir soru.

1000’ler mertebesindeki sistemleri bir saniyede ya da bir dakika da, veya 1 hafta da çözebilirmiyiz? Bir milyon mertebesindeki sistemleri bir saniyede, bir saatte yoksa bir haftada mı çözeriz? Demek istediğim, nxn dediğimizde n’yi daha büyük almak istiyoruz. Demek istediğim, daha çok bilgi koymak istiyoruz. Bütün olay daha büyük matrislerle daha hassas sonuçlar elde edebileceğimiz. Ancak bu aynı zamanda daha pahalı olacak, ama ne kadar daha pahalı? 100 boyutunda matrislerim olabilir.

Diyelim ki 100’e 100’lük matrislerim var.

n’yi yüz olarak alayım. n=100 diyelim.

Kaç adım yapmamız gerekir? Kaç tane işlem yapıyoruz? Ve tabii ki hiç sıfır olmadığını düşünelim, çünkü matriste doğru yerlerde bir sürü sıfır varsa, bu durumda o işlemleri yapmak zorunda olmayız ve her şey daha hızlı olur.

Ancak, şimdi bir an için birinci adımı düşünelim.

İşte şurada 100x100’lük bir A matrisimiz var.

Ve ilk adım şu olacak --- sütunun şuralarda sıfırları var. Dolayısı ile boyut 99’a 99 oldu, tamam mı? Bu tam da yok etme’nin ilk aşaması gibi, pivot şu tepede duruyor ve birinci satırda problem yok, birinci sütunda da problem yok. Dolayısı ile --- bu kaç işlem gerektirdi? Görüyor musunuz, bir fikir edinmeye çalışıyorum. Cevap n’e orantılı mı? Bu öyleyse, boyutu 100’den 200’e çıkarırsam --- toplam işlem sayısı 2 misli mi olur, yoksa 4 misli mi? Yoksa kübü kadar mı olur, yani 8 misli mi uzar? Veya n faktöryel mi olur, ya da 100 misli mi uzar? Sanırım ki, pratik açıdan bu noktada maliyet hakkında bir fikrimizin olması gerekir. Dolayısı ile bu soruyu bir kez daha sorayım.

Orantılı mı? n gibi mi gider, yoksa n^2 gibi mi, yoksa n^3 mü, yoksa n’nin daha yüksek bir kuvveti mi? Yoksa n faktöryel mi, bu durumda her adım sırası ile 100 ile sonra 101 ile sonra 102 ile --- bunlardan hangisi? Peki, cevabı bulmanın tek yolu, ne yapmam gerektiğini bir kez daha gözden geçirmek. Tamam.

Demek ki burada maliyetimiz neydi? Bakalım.

İşlem demekle ne anlatmak istiyorum? Sanırım söylemek istediğim bir toplama veya --- o kadar büyük bir iş değil.

Sanırım işlem derken, toplama, çıkartma, çarpma ve bölme demek istiyorum. Ve aslında sürekli hangi işlemi yapıyorum? Birinci satırı L çarpanı ile çarpıp, altıncı satırdan çıkardığımda. Teker teker olan biten ne? Ne oluyor? Eğer çarparsam --- L ile bir çarpım yapıyorum ve sonra da bir çıkartma.

Sanırım işlem --- bu yaptığımı tek bir işlem olarak mı kabul edeyim? Yoksa ayrı ayrı mı sayayım? Temel işlem, çarpıp sonra da çıkartmak. Demek ki bu ikisini birlikte düşünürsem, cevabın yarısı kadar çıkar --- yani, ayrı ayrı sayarsam, bir çarpımlar sayısı ve ayrıca bir çıkartmalar sayısı olur.

Bu tam yapmak istediğim.

Burada kaç tane var? Dur bakalım.

Aşağı yukarı --- kabaca kaç tane? Buradan şuraya varmak için kaç işlem gerekir? Belki olaya bir bakış şekli de, tüm bu sayıların değiştirilmeleri gerektiği. Her satır değişmedi, ancak bu adımda diğer bütün satırlar değişti.

Belki bu adım --- sanırım bu adım --- aşağı yukarı 100 kare’ye maloldu. Demek istediğim eğer birinci satırı da değiştirseydim, tam 100 kare olacaktı, çünkü --- çünkü bu burada kaç tane sayının olduğudur. 100 kare kadar sayı bu girdilerin toplam ve tek yapılan ise bu önemsiz ilk satırı değiştirmek. Dolayısı ile aşağı yukarı 100 kare diyeceğim. Oldu.

Şimdi bir sonraki adım ne olacak. Demek ki şimdi birinci satır tamam.

İkinci satır da tamam. Ve bütün bu sıfırlar da tamam, şimdi ikinci adım ne oluyor? Ve sonra takip edebiliyor musunuz?

Kabaca, maliyet ne? Eğer bu ilk adım bize yaklaşık olarak 100 kare ye mal olduysa, o zaman bu birinin, yani bu vatandaşın şunu üretmek için üzerinde çalıştığı yaklaşık maliyeti ne olur? Düzeltmek için kaç tane işlem gerekiyor? Kabaca 99 kare veya 99x98 tane. Önemli olan giderek daha az olduğu? Daha az, çünkü problemimiz küçülüyor.

Yaklaşık 99 kare. Ve sonra aşağı doğru gidiyorum ve bir sonraki 98 kare olacak ve sonraki 97 kare ve en sonunda 1 kare ye kadar düşüyorum --- buradaki küçük sayılar gibi. Büyük sayılar şuralarda.

Demek ki işlem sayısı aşağı yukarı n kare artı bu n idi değil mi? n yüz’e eşitti? İlk adım için n kare, sonra (n-1)’in karesi, sonra (n - iki)’nin karesi ve sonunda 3’ün karesi, ve 2’nin karesi ve hatta 1’in karesi.

Bunu yazabilmenin yolu yok --şunu sıkıştırmanın.

Yapmaya çalışayım, dolayısı ile toplam sayı, n kare + (n-1) kare artı –ta ki 1 kareye kadar. Bu oldukça düzgün bir sayma şekli. Kabul etmek gerekir ki en ufak işlemlere kadar inmedik, ama buradaki öncül terimi aldık. Ve bütün bunların toplamı ne? İyi, şimdi asıl soruya geliyoruz, toplam işlem sayısına. Demek ki sol taraftaki işlemler, U’yu elde etmek için A üzerinde yapılan işlemler.

Ve kim söyleyecek?... Bu sayıların hangisi ‘’toplam sayıyı” veriyor? Eğer 100 kare + 99 kare + 98 kare…97 kare, kareyi ta ki 2 kare ve 1 kare’ye kadar toplarsam, ne elde ederim. Cevap bunlardan biri --- önce cevabı bulalım. Cevap n’mi? Tabii ki değil. n faktoriyel mi? Hayır. Eğer n! olsaydı --- determinantlarla, n faktoriyel.

Determinantlara kötü not vereceğim, çünkü şu --- pekiyi, bu ne? Bu n --- evet bu cevabımız. Cevap bu boyut --n’nin kübü. Bu sanki n tane terimim varmış gibi. Değil mı? Bu toplamda n terimim var.

Ve de en büyüğü n kare.

Demek ki alabileceği en büyük değer n küp, ama bu kadar da kötü değil --- n küp kere --- bu sanki n kübün üçte biri kadarı gibi. Bu sihirli işlem sayısı --- bu üçte bir değeri, bir şekilde sayının küçülmesini hesaba katıyor.

Sayı küçülüyor olmasaydı, o zaman cevap n tane terim çarpı n kare ki o tam olarak n küp olurdu. Ancak sayılarımız giderek küçülüyor --aslında 1/3’ün nereden geldiğini hatırlıyor musunuz – kalkülüs’ten söz etmenize bile izin vereceğim.

Yani şimdi gelecek bir dakika içinde kalkülüs’ten söz edilebilir, integralden bahsedilebilir ama sonra haftalarca ima bile edilemez.

Bu 18.01’i (kalkülüsü) sevmediğim anlamına gelmez, ama 18.06 (doğrusal cebir) daha iyi.

Pekala, şimdi buna benzeyen kalkülüsteki formül ne? Şuna benziyor --- kalkülüs yapıyor olsaydık, toplayacağımıza integral alırdık. Dolayısı ile x kare nin integralini alıp, (1/3) x küp elde ederdim.

Demek ki eğer bu, 1’den n’ye kadar bir integral olsaydı, n karede n’in integrali (1/3) n küp ise --- bu toplam için de aynı cevap geçerli. Zaten kalkülüs’ün temeli de bu. Hepsini tekrarlamak istemiyorum --- demek istediğim kalkülüsün temel anlamını biliyorsunuz.

Kalkülüs toplama işlemi gibi ancak sürekli olan bir toplama.

Halbuki cebir kesikli.

Peki, demek ki sonuç (1/3) n küp – Şimdi bir dakika, işlemler hakkında bir şey daha söyleyeyim. Sağ taraf için ne diyebiliriz? Bu sol tarafın maliyetini verdi.

Bu A’nın üzerinde. Çünkü bu A’nın üzerinde çalışıyoruz. Şurada sağ tarafta duran ‘b’ sütun vektörü üzerindeki maliyet ne? Demek ki ‘b’ nin maliyeti daha az, bu çok açık, çünkü sadece tek sütun. Tüm yok etme boyunca taşıyoruz, sonra da tersine yerine koyma uyguluyoruz.

Cevabı size hemen söyleyeyim.

Cevap n kare. Demek ki her sağ taraf için maliyet n kare. Durun bakalım --- bunu şuraya yerleştireceğim --- çünkü b’nin maliyeti n kare. Demek ki, eğer bir A matrisimiz ve farklı sağ taraflarımız varsa ki genellikle öyledir --- önce A’nın bedelini ödüyoruz. A’yı L ve U’ya ayrıştırmak ve yok etmeyi uygulamak için ödediğimiz yüksek bedel, ancak sonra sağ taraf işlemlerini düşük bedel ile yapabiliyoruz. Tamam.

Şimdi, bir denklem sistemi için en temel algoritmayı tartışmış oluyoruz.

Peki. Şimdi satır yer değişimine müsaade etmeye hazırım. Şimdi müsaade edeceğim --- bütün bu --- bugünkü ders nasıl etkilenir eğer satır değişimlerine de evet dersem? Ne zaman satır yer değişimleri olacak? Satırların yer değişimi eğer pivot durumunda sıfır varsa gerekir.

Şimdi de bu bölümün devrik matrislerle ilgili son kısmına giderek, aslında devrik matrisleri gördük --- ve bu kısmın başlığı, ‘’Devrik Matrisler ve Permütasyonlar’’. Tamam.

Ve şimdi permütasyon hangi noktada işin içine girer sorabilir miyim? Biraz permütasyonlardan söz edeyim. Bu şu yukarıda olacak, permütasyonlar. Bu matrisler satır yer değişimini uygulayan gerekli matrisler. Ve belki de iki yer değişimi yapmam gerekecek. İki tane satır değişimi uygulayıp, doğru matrisi elde edeceğim bir örnek oluşturabilir misiniz? Evet, haydi bakalım, zevk için, onu şuraya koyacağım.

Üç’e üç’lük matrisleri ele alayım. Tüm 3’e 3’lük permütasyon matrislerini listelesem iyi olacak.

İşte şurada onlardan güzel bir grup.

Hiç satır yer değişimi gerektirmeyen matrisler hangileri? Birim matrisi ekleyeceğim.

Bu hiçbir şey yapmayan bir permütasyon matrisi.

Şimdi şu değişimi yapan permütasyon matrisi hangisi? P 1 2 nedir? Birinci ve ikinci satırın yerini değiştiren permütasyon matrisi, 0 1 0, -1 0 0 olur. Birim matrisin şu satırlarını değiştirdim ve istediğimi elde ettim.

Aslında ben --- evet. Bunu toparlayacağım.

Tamam. Bu bana tüm satırların yerlerini değiştiren matrisleri verir. Bunlar neler? Bunlar, birim matrisi alıp, satırların yerlerini değiştirip elde edeceğim matrisler. Bunlardan kaç tane olacak? Kaç tane 3x3’lük permütasyon matrisi olur. Devam edip cevaba ulaşmaya çalışalım mı? Birkaç tane daha, söyleyin. Şimdi hangisini yapacaksınız? Şimdi birinci ve --- birinci ve üçüncü satırların yerini değiştireceğim. Tamam. Bir ve üç, ve bu ikiyi yalnız bırakır.

Şimdi başka ne yer değiştir? Bir sonraki kolay, değişen hangisi --- iki ile üç’ün yerini değiştirelim --- şimdi 1 0 0’ı yalnız bırakıp değiştireceğim --- 3 numarayı yukarı 2 numarayı da aşağı taşıyacağım.

Peki, Bunlar yalnızca tek bir satır çiftinin yerini değiştirir.

Bu adam, bu adam ve şu adam bir satır çiftinin değiş tokuşunu yapıyor, ama başka seçenekler de var. Ne kaldı? Söyleyin bakalım --- burada bir tane daha var. O ne? Bu hepsini --- bu tüm satırları yerinden oynatacak olan, değil mi? Bunları nereye koyalım? 4 Demek ki birinci satır için bir değer verin. ÖGRENCİ: Sıfır bir sıfır? STRANG: Sıfır, bir, sıfır. Peki ikinci satır için değer verin, bu da sıfır sıfır bir, ve üçüncüsü de bir, sıfır, sıfır olsun.

Bu bir döngü gibi. Bu ikinci satır birinci satırın yerine taşınıyor, üçüncü satır ikinin yerine geçiyor, ve birinci satırda üç’ün yerine geçiyor. Ve bir tane daha var --- bakalım ne. Ne kaldı? Kayboldum. ÖGRENCİ: Sıfır, sıfır bir mi? STRANG: Peki. ÖGRENCİ: Bir sıfır sıfır.

STRANG: Bir, sıfır, sıfır, tamam.

Sıfır, bir sıfır, tamam

Harika. 6.

6 tane. 6 P.

Hepsi de güzel, niye çünkü ikisini birbiriyle çarparsam ne olur? Bu matrislerden ikisini çarparsam, sonuç hakkında bana ne diyebilirsiniz? Bu listede duruyor. Eğer önce bir dizi satır yer değişimleri yaparsam, sonra birkaç tane daha, sonra sonuçta satırlara yer değişimleri uygulamış oldum.

Demek ki eğer çarparsam -- ama bilemiyorum. Ve tersini alırsam, bir kez başa dönmek için satır yeri değişimi uygulamış olurum.

Tüm matris terslerimiz burada. Küçük bir matris ailesi --- bunları çarparsam sonuç aynı matris ailesinin içinde kalır. Matris terslerini de alsam, yine grubun içinde kalırım, aslında grup kelimesi bu konu için doğru sözcük. Bu 6 matrislik bir grup ve tersleri için ne diyebilirsiniz? Bu adamın tersi ne örneğin? Bunun tersi ne? Eğer bir ve ikinci satırların yerini değiştirirsem, ters matris hangisi? Çabuk söyleyin, bu matrisin tersi ---birinci ve ikinci satırları değiştirirsem, başa dönmem için ne yapmam gerekir?

Demek ki bu kendisinin tersi.

Bu da kendisinin tersi.

Bu herhalde değil --- aslında, sanırım bunlar birbirlerinin tersi. Oh evet, tersi devriğine eşit. Bu permütasyon matrisleri ile ilgili ilginç bir özellik, yani terslerin matrisin devriğine eşit olması. Ve son bir şey --- kaç tane olur --- kaç tane 4x4 permütasyon? Dolayısı ile 4x4’leri ele alayım. Kaç tane P olur? Pekala.

İyi bir tahminde bulunun. 24 tane P.

Peki, böylece elimizde bu permütasyon matrisleri var ve gelecek derste onları kullanacağız.

Gelecek ders ikinci bölümü bitirip üçüncü bölüme geçeceğiz.