MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Lineer Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 34

Tamam. Güzel.

Bu Güz döneminde MIT deki Doğrusal Cebir’in son dersinde bütün gördüklerimizi gözden geçireceğiz. Ve bunu yapmak için bildiğim en iyi yolun, eski sınavları alıp sorular üzerine düşünmek olduğunu biliyorsunuz. Tamam, gelecek perşembe üç saatlik bir sınavımız olacak. Kimsenin perşembeden önce bu sınavı alması mümkün değil, Perşembeden sonraki farklı bir günde bu sınavı alması gereken herkes, gelecek pazartesi beni görmeli. Pazartesi ofisimde olacağım.

Tamam. Bazı soruları okuyabilir miyim -- ve tahtayı aşağıya çekeyim ve başlayalım. Şimdi. Soru şu. 3’e n’lik bir matrisle ilgili.

Ve bize verilen, -- tamam bize verilen – verilen – A x eşit 1 0 0 ın çözümü yok. Ve ayrıca verilen Ax eşit 0 1 0 ın bir tek çözümü var. Pekala.

İlk sorumu tahmin edebilirsiniz, m hakkında ne söyleyebiliriz? Rankı r olan m ye n matrisi, her zaman olduğu gibi, bu üç sayı hakkında ne söyleyebiliriz? m –satır sayısı, n-sütun sayısı, r-rankı hakkında ne söyleyebiliriz?. Tamam.

Bakalım, önce m nin ne olduğunu söylemek ister misiniz? Bu matriste kaç satır var? 3 olmalı, değil mi? n-nin ne olduğunu söyleyemeye biliriz, ama m kesinlikle üç tür.

Tamam, ve, bunlar bize ne söyler? Tek tek bakalım.

Bir denklemin çözümü olmadığını fark ettiğimde, yani cevabı olmayan bir sağ taraf olduğunda, bu bize, matrisin rankı için ne söyler? “Bazı denklemelerin çözümü yoktur- cevabı olmayan sağ taraf vardırı” keşfettiğimizde, bunun matrisin rankı ile ilişkisini bana söyleyebilir misiniz? Rank m den küçüktür. Doğru mu? Çözüm olmadığında, bu bana matrisin bazı satırlarının, diğer satırların bir bileşimi olduğunu söyler.

Çünkü her satırda bir pivot olsaydı, kesinlikle sistemi çözmek mümkün olacağından, o zaman sistemi kesinlikle çözebilirdim.

Özel çözümler ve tüm iyi şeyler olurdu. Böylece bir sistemin çözümü yoksa, bu bana her zaman r nin m den küçük olduğunu söyler. Aslında -- peki eğer, çözüm olduğunda, tek midir? Bu bana neyi anlatıyor? Eh, normalde bir çözüm olurdu ve sonra sıfır uzayında birşeyler ekleyebilirdik. Tamam bu bana sıfır uzayının içinde sadece 0 vektörünün olduğunu söylüyor.

Sadece tek çözüm var, nokta (bitti); yani bu bana ne söylüyor? Sıfır uzayında sadece 0 vektörünün olduğunu. Bu r ile n arasındaki ilişki hakkında bana ne söyler? Bu tek çözüm, bunun anlamı matrisin sıfır uzayı sadece 0 vektörüdür, ve bu r ve n hakkında bana ne söylüyor? Onlar eşittir. Sütunlar bağımsızdır.

Tamam, şimdi neyim var, r, n’ye eşit, ve r, m’den küçük, ve şimdi m nin üç olduğunu biliyorum.

Yani bunlar bildiğim gerçekler

n=r ve bu sayılar üç den küçük..

Üzgünüm, evet, evet r, m’den küçük ve n’den de tabii ki küçük..

Sanırım bu ne söyleyeceklerimizi özetler.

Aslında, neden bana bir matris vermiyorsunuz, çünkü ben sık sık böyle bir matris için örnek isterim ---örnek bir A matrisi verebilir misiniz? Bu olasılıkları gösteren? Tam olarak bu sağ taraftaki ile bir çözüm yok, ama bu sağ taraftaki ile sadece bir çözüm olsun. Bunu sağlayan, önermek istediğiniz bir matris var mı? Bakalım. Ne yapmalıyım ---sütün uzayında hangi vektörü istiyorum? Çözülebilir olması için, sütun uzayında, sıfır, bir, sıfır olmasını istiyorum.

Şimdi sütün uzayına sıfır, bir, sıfır, koyalım.

Gerçekte burada durabilirim.

Bu, m si üç, -- üç satırlı, ve n ile r her ikisinin bir, -- rankı bir, tek sütunlu, ve tabii ki şunun çözümü yok. Bu olduğu gibi güzel bir durum. Şayet siz tek sütunlu matrislere karşı önfikirli iseniz, ikinci bir sütun kabul edeceğim.

Peki, ikinci sütun olarak ne eklemeliyim ki sadece farklı bir cevap, fakat aynı derecede güzel olsun. Bu vektörü, çok isteseydim, sütun uzayına koyabilirdim. Bu n=r=2 durumu olurdu, fakat tabii ki, m hala üç, ve bu vektör sütun uzayında değil.

Yani bu bizi sütun uzayı, sıfır uzayı, gibi tüm bu şeyleri hatırlamaya teşvik ediyor. Şimdi, belki de bu tip şeyler hakkında ikinci bir soru sordum. Ah. Tamam.

Hatta o tanıma uyan bir matris örneği yazmanızı sordum.

Hım. Yirmi altı yılda hiçbir şeyi öğrenemediğimi tahmin ediyorum. Bunlarla birlikte herhangi bir matris hakkında yanlış olan tüm ifadeleri silin. ---Tekrar, bunlar olur. Bunlar matrisimiz hakkındaki gerçekler, bu bir örnek, fakat tabii ki, örneğe sahibiz, bu gerçekler veya gerçek olmayanlar, bunların sağlamasını yapmak kolay olurdu.

Bana, bazı gerçekleri yazmama izin verin. Bazı gerçekleri yazayım.

Olası bazı gerçekler. Şu doğru mu veya yanlış mı? Determinant --bu ilk parça --(A devrik A) nın determinantı (A A devrik)’in determinantı ile aynı. Bu doğru mu, yanlış mı?

İkincisi, A devrik A nın tersinin olduğu. Tersi var mı?

Olası üçüncü gerçek, (A A devrik) pozitif tanımlı olması.

Sınav sorularında nasıl dersin farklı bölümlerini bağlamayı denediğimi gördünüz.

Yani, şey -- en basit yolu iyi bir örnek olarak şu matrisle bunu denemek olurdu, ama belki, hatta doğrudan cevap verilebilir demek istiyorum.

Önce ikinci numarayı ele alalım. Çünkü ben ---bilirsiniz, A devrik A matrisine çok çok düşkünüm.

Ve bunun ne zaman tersi alınabilir? A devrik A matrisinin ne zaman tersi olur? Harika olan, bunu A nın rankından söyleyebiliriz, A ile A devriği çarpmak zorunda değiliz. A devriki A,-- tersi alınabilir ---yani, A sıfır vektöründen başka bir sıfır uzayına sahipse, o zaman onun tersinin olması mümkün değil. Fakat güzellik şu---eğer A nın sıfır uzayı sadece sıfır vektörü ise, böylece gerçek, anahtar gerçek, tersi alınabilirdir eğer r=n ise, bunun anlamı, A nın sütunlarının bağımsız olmaları olur.

A matrisinde. eğer r = n ise –eğer A bağımsız sütunlara sahip ise, o zaman bu A devrik A bileşimi kare olur ve hala aynı sıfır uzayında bulunur, sadece sıfır vektörü, bağımsız sütunlar, hepsi iyi, bu yüzden, ne doğru / yanlış? Öyle mi – bu kurulumda şu ortadaki doğru mu yoksa, yanlış mı? Eh, biz bulmuştuk—biz bulmuştuk, r nin n olduğunu şu ikinci gerçekten bulmuştuk. Yani bu doğrudur.

Bu doğru olur. Ve tabii ki, A devrik A, bu örnekte, muhtemelen -- bu matris için A devrik A ne olabilir? A devrik ile A yı çarpıp, ve bu matrisin neye benzediğini görebilir misiniz? Hangi yapıda olurdu? İki’ye iki olurdu.

Ve o ne matrisi olurdu? Birim matris.

Sağlaması tamam, A A devrik ne olur? A nın yapısına bağlı olarak, iyi veya biraz kötü olabilir. Her zaman simetrik, her zaman kare, fakat şimdi büyüklüğü (boyutu) nedir? Şu 3’e n, ve bu n’ ye 3 tür. Böylece sonuç 3 e 3 tür. Pozitif tanımlı mı? Sanmıyorum. Yanlış.

A devrik ile bunu çarparsam, A A devrik, rankı ne olurdu? A nın rankı ile aynı olurdu. Yani – A’nın rankı sadece iki olurdu.

Ve o 3 e 3 ise, ve rankı iki ise, o kesinlikle pozitif tanımlı değildir.

A A devrik hakkında doğru bir şey söylemek istesem, bu ne olurdu? Pozitif yarı tanımlı olduğu doğru.

Bunu yarı-tanımlı yaparsam, her zaman doğru olur, her zaman. Fakat pozitif tanımlı arıyorsam, o zaman sıfır uzayında neyin olduğuna bakacağım ve bu durumda bir sıfır uzayı olmak zorunda. O halde bunu şuracıkta hemen halledelim mi? A A devrik, bu matris üç’e üç’lük olacak.

A yı A devrik ile çarptığımda, birinci satır ne olurdu? Hepsi sıfır, değil mi? A A devriğin birinci satırı, hepsi sıfır olabilir, muhtemelen orada bir tane bir ve şurada da bir tane bir var, veya bunun gibi bir şey. Fakat, bunun doğru olduğunu bile bilmiyorum. Ama orada hepsi sıfır, bu kesinlikle pozitif tanımlı değil.

Bir şey yazmayayım, sağlamasından emin değilim. Bu determinant ne olacak? Aha, iyi, sanırım --bu biraz kurnazca bir soru. Bu durumda şu doğru mu, yanlış mı? Öyle gözüküyor ki yanlış, çünkü A A devrik terslenebilir, şunun için bu doğru, diğeri için terslenemez durumundayız; yani bunun için yanlış bir durum, bir numara. Bu bize bir sürpriz, neden bu kurnazcaydı? Çünkü determinantlar hususundaki gerçeklerden dolayı. Şayet o matrisler kare olsalardı bunlar doğru olurdu.

İki kare matrisimiz varsa, A ve herhangi bir başka B matrisi, bu A devrik olabilir veya başka bir matris olabilir. Bu durumda BA nın determinantının AB nin determinantına eşit olduğu doğrudur.

Fakat matrisler kare değilse, o eşit olma gerçekten doğru olabilir mi -yani bu A nın determinantı çarpı A devriğin determinantı olur mu?

Hatta şu iki farklı determinantı ayırabilir miyiz?

Ve tabii ki onlar eşit olurlar. Fakat bu sadece A kare olduğu zaman olur. Bu sorunun yanlışlığı matrisin başlangıçta kare olmaması gerçeğine dayanıyor.

Tamam, güzel, bakalım.

Oh, sorunun devamı var. İspatlayın ki A devrik y eşit c – aman Allahım – bu – bu soru gidiyor da gidiyor. A devrik y=c hakkında soruyor. Tamam denklem hakkında soruyor—A devrik matrisi hakkında. Ve bunun en az bir çözümünün olduğunu ispatlamamızı istiyor- her bir c için sonsuz çoklukta çözümler. Tamam. Bunların hiçbiri zor değil, fakat, bir süre oldu. Yani sadece biraz tekrar düşünmek zorundayız.

Ne zaman bir denklemler sistemine sahip olsam, bu (A devrik) matrisi, şimdi üç’e n olması gerekirken, o n’ye üç tür, o n’ye m’dir.

Bir sistemin en az bir çözümünün olduğunu göstermek için, bu ne zaman, -- bu sistem ne zaman ---sistem ne zaman her zaman (daima) çözülebilir olur? Tam satır rankına sahip olduğu zaman olur, satırların bağımsız olduğu zaman olur.

Burada n satıra sahibiz ve bu rank dır.

Böylece en az bir çözüm var, çünkü satırların sayısı n olup bu devrik için r-ye, yani rank’a eşittir. Bu A devrik matrisi bağımsız satırlara sahip çünkü A matrisi bağımsız sütunlara sahip, değil mi? Bağımsız sütunlara sahip olan ilk A matrisinin devriğini aldığımızda, bağımsız satırlara sahip oluruz. Böylece en az bir çözüm vardır.

Fakat şimdi, sonsuz sayıda çözümün olduğunu nasıl bilebiliyorum? Ne yapmalıyım—sıfır uzayı hakkında bir şeyler bilmek istiyorum. A devriğinin sıfır uzayının boyutu nedir? Bunun cevabı A devriğin sıfır uzayının bir boyutunun var olduğu olmalı. Genel gerçek nedir? Eğer A rankı n olan bir m ye n matris ise, A devrik’in boyutu nedir? A devriğin sıfır uzayı nedir? Büyük resmimiz içerisinde, peşine takıldığımız o küçük dördüncü alt uzayı hatırlıyor musunuz? Onun boyutu m-r idi. Ve, o sıfırdan büyüktür.

m, r den büyüktür. Yani, bu sıfır uzayı içinde birçok şey var. Böylece her zaman bir çözüm var çünkü n – bu A devrik hakkında konuşuyor.

Bakın, A devrik için, m ve n’nin rolleri tersine çevrilir, tabii ki, —unutmayın ki bu tahta A devrik ile ilgili idi, —yani o devriğin sıfır uzayıdır, ve orada m-r serbest (bağımsız) değişkenlerdir. İyi, yani, sadece biraz gözden geçirmek gibi. Şu şekilde başka bir problem alabilir miyim? —A matrisinin sütunlarının v1, v2, v3 olduğunu varsayalım. Bunlar Matrisin sütunlarıdır.

Pekala, Soru a).

Ax = v1-v2+v3 çözün. Bana x in ne olduğunu söyleyin.

Peki, orada --- Eylül ayının ilk günlerinde sütünlar üzerinde çalıştığımız bir zamanda, sütun çarpımlarını yaptığımız zamanda, bunun nasıl çalıştığını, matris çarpma ile ilgili kesinlikle gerekli bir gerçeği aslında görmüştünüz.

X nedir? Söyleyin? Bir, eksi bir, bir

Teşekkürler. İyi.

Bunu herke anladı. Tamam mı? O zaman bir sonraki soru şudur: bileşimin sıfır olduğunu kabul edelim---oh, evet, Tamam, yani soru(b) – (b) şıkkı, bu şeyin sıfır olduğunu kabul edin diyor.

Onun sıfır olduğunu kabul edelim. O zaman çözüm tek değildir. Doğru ya da yanlış istediğimi varsayın.

Ve sebebi. v1-v2+v3 bileşiminin sıfır olduğunu varsayın.

Gösterin ---bu bana ne söyler? Bu farklı bir soru, onu bu şekilde yazarak biraz zaman kazanmış olabilirim, fakat bu çok ayrı bir soru. Eğer sütun bir eksi sütun iki artı sütun üç ün sıfır olduğunu bildiğimiz bir matrisimiz varsa, bu bana çözümün tek olup olmadığı hakkında ne söyler? Birden fazla çözüm var mı? Teklik nedir? Sıfır uzayında, sıfır vektöründen başka bir şey olmadığında çözüm tektir. Ve, eğer bu sıfırsa, o zaman bu adamlar sıfır uzayının içinde olur.

Eğer bu sıfır olsaydı, o zaman bu x, A nın sıfır uzayında bulunurdu. Çözümler hiçbir zaman tek olmazdı, -- çünkü şunu herhangi bir çözüme ekleyebilirdim. Ve Ax değişmezdi. Yani her zaman bu soru var. Bu soru hep var. Çünkü herhangi bir çözüme bunu ekleyebilirim ve A x değişmezdi.

Sıfır uzayında birileri var mı? Oh, şimdi tamamen farklı bir soru soruyorum. Şu üç v1, v2, v3 vektörün birimdik olduklarını varsayalım. Bu birimdik vektörler için gerçekleşmez. Tamam,(c) parçası,(b) yi unutun. c.

Eğer v1,v2, v3 birimdik iseler—genellikle onları q1, q2, q3 olarak gösteririm.

Şimdi, ne bileşim—aha, burada güzel bir soru var, bence de öyle, kendime söylüyorum —v1 ve v2 den hangi bileşim, v3 e en yakın olandır? Bu vektörler birimdik olduğunda v1 ve v2’in üzerine, bulundukları düzlem üzerinde, hangi nokta v3 e en yakın olanıdır? İzin verin—yeni bir cümleye başlayacağım—o zaman bir şeyler çarpı v1 artı bir şeyler çarpı v2 bileşimi v3 e en yakın bileşimdir. Cevap ne? V3 e bu düzlem üzerinde en yakın olan vektör nedir? Sıfırlar.

Tamam, x, y, z eksenlerini hayal edelim, v1, v2, v3 standart tabanlar olsunlar, xy-düzleminde bulunsun ve z ekseni üzerindeki v3-e en yakın olan nokta sıfırdır.

Eğer bunlar birimdik iseler, o zaman v3 ün bu düzlem üzerine izdüşümü diktir, o tam sıfıra denk gelir.

Tamam. Bu çabuk ve kolay bir soru oldu, ama yine de esas konuyu ortaya çıkarttı. Tamam.

Ne olduğuna bakalım, bir Markov matrisi yazayım ve onun özdeğerlerini soralım.

Tamam, İşte bir Markov matrisi, bana onun özdeğerlerini söyleyin. Tamam işte burada. Buna A matrisi diyeceğim ve buradakilere de nokta iki, nokta dört, nokta dört, nokta dört, nokta dört, nokta iki, nokta dört, nokta 3, nokta 3, nokta dört diyeceğim. Tamam.

Bakalım, 1. Sütun ile 2. Sütun toplamına dikkat etmemiz bize yardımcı olur. 1.sütun ile 2.sütunu toplamanın ne gibi enteresan bir yani var? Sütun1 artı sütun2, eşittir iki çarpı sütun3. Bunları şuraya yazıyorum. 1.sütun artı 2. Sütun eşittir 2 kere 3. Sütun.

İşte gözlemim, tamam.

Matrisin özdeğerini söyleyin.

Tamam, Bana bir özdeğer söyleyin? SIFIR. Çünkü matris tekildir. Başka bir özdeğer söyleyin? Bir. Çünkü bu Markov matrisidir. Sütünların toplamı bütün birler vektörüdür ve bu A devriğin özdeğeri olur. Ve bana üçüncü özdeğeri söyleyin? Bakalım, İz’i düzgün çıkmasını sağlamak için, nokta sekiz idi, eksi nokta ikiye ihtiyaç duyarız. Tamam.

Ve şimdi, Markov projesini başlattığımı varsayalım.

u(0) ile başladığımı kabul edin, Böylece A’nın kuvvetlerinin u(0) a uygulanmasına bakacağız. Bu u_k dır.

Ve Matrisimiz burada, ve u(0) olarak, sıfır, on, sıfır alacağım.

Ve sorum şu, bu neye yaklaşıyor? Eğer u(0) buna eşitse- u(0) şurada.

İçine yazabilir miyim? Belki sadece u(0)’ın içine yazacağım.

A nın k ıncı kuvveti, ikinci özdeğer vektörü durumunda on kişi ile başlayalım -- ve her adım Markov kuralını takip edecek;, k adım sonra çözüm neye benzer? Size sadece şunu sorayım? Ve o zaman, k sonsuza giderken ne olur? Bu bir durağanlık sorusu, değil mi? Durağanlığa bakacağım. Gerçekte, soru k adımdaki cevabı istemiyor, o zaman sonsuzu atlıyor – fakat k adım sonraki çözümü nasıl yazabilirim? O birinci özdeğerin k’nıncı kuvvetin bazı katı, çarpı ilk özvektör, artı ikinci özdeğerin başka bir katı, çarpı onun özvektörü, ve üçüncü özdeğerin başka bir katı, onun özvektörü olacak.

Tamam, güzel.

Ve şu özdeğerler, sıfır, bir, ve eksi nokta iki’dir.

k sonsuza giderse ne olur? Sadece durağan kalır- böylece U-sonsuzda, bu gitti, bu yok, bütün kalan c2 x2 dır. Şimdi x2 yi bulsam iyi olur.

Cevabı tamamlamak için şu özvektörü bulmalıyım. Lambda eşit bir’e karşılık gelen özvektör nedir? Bu herhangi bir Markov işlevinde anahtar özvektör olan özvektördür.

Lambda eşit bir bir özdeğerdir. Benim onun özvektörü x2 ye ihtiyacım var, ve sonra onun ne kadarının u0 başlangıç vectörünün içinde olduğunu bilmeliyim.

Tamam, şimdi, bu özvektörü nasıl bulabilirim? Sanırım köşegenden biri çıkarırım, tamam. Böylece eksi nokta 8, eksi nokta 8 , eksi nokta 6, ve diğerleri, -- hala ve geriye kalanlar nokta4, nokta4, nokta4, nokta4, nokta3, nokta3, ve umarım bu bir tekil matristir, yani (A-I)x=0’ın çözümünü arıyorum.

Görelim bakalım, - çözümü görebileniniz varmı? Bilmiyorum, benim için kolay olmadı. Şurada ne düşünüyorsunuz. Şu ilk iki eleman olabilir belki – oh , hayır, ne düşünüyorsunuz? Onu gören var mı? Gerekirse yok etme yöntemini deneyebiliriz.

O kadar çaresiz miyiz? Bu sıfır uzayında vektörü gören söylesin. Eh, bu sıfır uzayında bir vektör olması iyi olur, yoksa bırakıyorum. Tamam, belki, yok etmeyi kullanabiliriz.

Uzaktan onu gören birisinin olabileceğini düşündüm.

Bu adamların olma şansı var mı? Şu ikisinin eşit olma ve bu her ne olması gerekiyorsa - 3, 3, 2 gibi bir şey olma şansı var mı? Bunun çalışması olasılığı var mı? Söylemek istediğim, bu çok güzel –hayır, o kadar iyi değil. 3, 3, 4 -- bu şimdi seyrettiğimiz derin matematiktir. 3, 3, 4, bu çalışıyor mu? Onunla uğraşmayın. Çalıştı! Oh evet.

Tamam, çalıştı, pekala.

Ve, evet, tamam, ve böylece şu x2, 3, 3, 4 olur, ve bu vektörün ne kadarı başlangıç vektörünün içindedir? İyi, çok karışık bir yönteme doğru gidebiliriz.

Fakat Markov şeyinin güzelliği nedir? Bu toplam nüfusun toplam sayısı, bunların toplamı değişmez.

Şu insanların toplam sayısı, onlar yer değiştiriyorlar, fakat onlar doğmuyorlar veya ölmüyorlar ya da öldürülmüyorlar.

Başlangıçta onlardan on tane vardı, böylece onların onu şuradadır, yani c2 gerçekte bir’dir, evet. Bu doğru çözüm olabilir.

Tamam, bu u sonsuz olabilir.

Tamam, böylece burada, bu yöntem içinde, bir çeşit cevabı bulmak için Markov matrisleri hakkındaki ana gerçekleri kullandım.

Tamam, bakalım.

Tamam, bir çeşit çabuk kısa soru. Belki şu tahtaya gitmeliyim ve bunu burada bırakayım.

2 ye 2 matrise bakıyorum..

Ben istediğim özellikleri söyleyeceğim, siz de bana bu özellikleri sağlayan bir örnek verin, veya böyle bir matris olmadığını söyleyin.

Pekala. Başlıyoruz.

Önce, 2 ye 2’lik ler, a= (4, -3) noktasından geçen doğru üzerine izdüşümü istiyorum.

Böylece, benim aradığım bir boyutlu izdüşüm matrisi. Ve onun formülü neydi? a noktasından geçen doğru üzerine P izdüşüm matrisi için formül nedir? O zaman bu özel A’yı yaptığımı yapabilirim. O formülü hatırlıyor musunuz? Bir a ve a devrik var, normalde ortada A devrik ve A’nın tersi olurdu, fakat burada bizim sadece sayılarımız var, böylece sadece onu bölebiliriz.

Ve o zaman a’yı yerine yazalım ve onu elde ettik. Tamam. Yine eşitler.

Sayıları yerine yazabilirsiniz, aşikar değil mi?

Tamam. Numara 2.

Bu yeni bir soru. Özdeğerleri sıfır ve üç olan bir matris ile özvektörleri---bunları aşağıya yazayım.

Sıfır özdeğeri için özvektör (1, 2), üç özdeğeri için özvektör (2, 1) dir. Size sormak yerine özdeğer ve özvektörleri veriyorum.

Şimdi, bir matris soruyorum. O zaman bu matris nedir? A nedir? Burada bir formül vardı, içine bazı sayıları yazacağız, sadece sayıları yazacağım -- buradaki formül ne idi? S lambda, S Ters idi, değil mi? Burada S özvektör matrisi, lambda özdeğer matrisi, bu S’in tersi, her ne olacaksa, şimdilik sadece tersi olarak bırakayım. Hepsi bu olmalı, değil mi? Çünkü diğer yana ilerleseydik, Bu S matrisi lambda’yı üretmek için A yı köşegenleştirebilirdi.

Böylece o S lambda S tersdir. Güzel.

Tamam, 3 numara için hazır mısınız? Çarpanlara ayrılmayan gerçek bir A matrisi arıyorum, yani herhangi bir B için, -- hiçbir zaman B devrik B ye eşit olmayacak olan 2 ye 2 lik bir A matrisi arıyorum. Bütün yapmamız gereken düşünmektir, şimdi bütün yapmamız gereken (B Devrik) (B) nin neye benzediğini düşünmek, ondan sonra bundan farklı bir şey almaktır.

Ne önerirsiniz? Bakalım. Bu, B devrik B formunda olmayan bir matris için ne alabiliriz.

Şimdi, B devrik B hakkında ne biliyoruz? O her zaman simetriktir. O zaman bana sadece simetrik olmayan bir matris verin, muhtemelen o formda değildir.

Ve bu sorunun dördüncü parçasını sorayım --dik özvektörlere sahip, fakat simetrik olmayan bir matris. Dik özvektöre sahip fakat simetrik olmayan matrisler hangileridir? Diğer matris ailelerinden hangileri dik özvektörlere sahiptir? Simetrik matrislerin yaptıklarını biliyoruz, fakat diğerlerinin de öyle. Yani dik özvektörler arıyorum, -- ne önerirsiniz? Bu matris ters-simetrik olabilir.

O bir dik matris olabilir.

O simetrik olabilir, fakat bu çok kolay olurdu, yani bunu çıkartıyorum. 1, -1 gibi ters-simetrik olabilir, bunun gibi.

Veya cosinus sinus, eksi sinus, cosinus gibi dik bir matris olabilir. Bütün bu matrisler karmaşık dik özvektörlere sahip olabilirler. Fakat onlar dik olabilirler, böylece bu örnekler iyidir. Tamam.

Eğer isterseniz, bu sınavdan, bunlarla biraz daha devam edebiliriz. Bu sınavlardan.

En küçük kareler mi? Tamam, burada cevabı verilmiş hayatı kolaylaştıracak şans gibi bir en küçük kareler sorusu var, değil mi? Ben cevabını vereceğim, siz de soruyu verin. Tamam.

OPPPS, üzgünüm, bakalım, gelecek soru için şurayı kullanabilirim miyim? Pekiyi.

En küçük kareler. Bu şekilde ben size problemi veriyorum, bir, bir, bir, sıfır, bir, iki çarpı c, d eşit üç, dört, bir --ve bu b dir, tabii ki, bu Ax = b şeklindedir. Ve en küçük kareler çözümü - belki bunun gerçek çözüm olmadığını belirtmek için c ve d üzerine şapka işareti koymalıyım.

Böylece en küçük kareler çözümü - şapkalar gerçekten burada olmalı: 11 / 3 ve - 1. Elbette siz bunu hemen bulabilirdiniz. Belki bu sene size bunu yapmanızı soracağım.

Fakat, eğer bize çözüm verilirse, neler olduğunu hatırlayalım. Pekala, iyi bir soru.

Bu vektörün, şu matrisin sütun uzayındaki P izdüşümü nedir? Bunu birinci soru olarak yazacağım. P nedir? İzdüşüm. b nin A nın sütun uzayına olan izdüşümü nedir? Umuyorum şu ki, bu en küçük kareler metodunun çözdüğü sorudur. Nedir o? Bu en iyi çözümdür, 11/3 kere 1. sütun, artı - daha iyisi - eksi bir kere 2. sütun.

Doğru mu? Bu en küçük karelerin ne yaptığıdır.

O, b ye mümkün olan en yakın sütunların bileşimini buldu. Bu en küçük karelerin ne yaptığı idi. O bir izdüşüm buldu.

Tamam, ikinci olarak, bu sisteme karşılık gelen düzgün doğruyu çizelim.

Yani sanıyorum bu dataya doğru uydurmakla aynı problem. Şunların yükseklik, bunların noktalar olduğunu kavrıyoruz ve sıfırda, bir de, iki de yükseklikler üç, ve t = 1 de yükseklik 4, 1, 2, 3, 4, ve t = 2 yükseklik 1 dir. Yani ben bu noktalara en iyi doğruyu uydurmaya çalışıyorum.

Tanrım. Üçgeni çok güzel yerleştirebilirim, fakat en iyi düzgün doğrunun hangi yöne gittiğini bile bilmiyorum. Nasıl gittiğini biliyorum çünkü, evet cevabı biliyorum. Onun yüksekliği 11/3 dür ve onun eğimi -1 dir. Tamam. Mükemmel. Şimdi, son olarak -- ve -- bu dersi tamamlar. En küçük kareler çözümü sıfır olan, kendisi sıfırdan farklı, başka bir b vektörü bulun.

Yani en küçük kareler çözümünü, sıfırlara değiştirmeyecek farklı bir b bulmanızı istiyorum.

Bana burada aslında ne aradığımı söyleyin.

Bu iki sütunun en iyi bileşkesinin sıfır bileşke olduğu bir b yi arıyorum. Ne çeşit bir b vektörü arıyorum? Ben bu sütunlara dik olan bir b vektörü arıyorum.

O bu sütunlara dik, o sütun uzayına dik, mümkün olan en iyi cevap sıfırdır. Böylece bu sütunlara dik olan bir b vektörü bakalım; bunların biri eksi bunların ikisi, ve bunların biri olabilir mi? Bu, şu sütunlara dik olur ve en iyi vektör sıfır olur. Tamam.

Böylece bunlar benim bir saat içinde çözebileceğim sorular, fakat sizin üç saatiniz var, ve, sadece şunu söyleyeyim, e-postada söylediğim gibi, bu ders serisi görüntülü kayda alınırken gösterdiğiniz sabır için teşekkür ediyorum, ve bu formları doldurduğunuz için teşekkür ediyorum. Onları dışarı çıkarken masanın üzerine şuraya bırakabilirsiniz ve bunların üstünde, dersi aldığınız için teşekkürler.

Teşekkür ederim. Teşekkürler.