MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 33

Evet, peki, dört, üç, iki, bir, tamam, görüyorum ki hepinizin keyfi yerinde.

Bu 18.06 nın bitmesi anlamına mı geliyor, yoksa kısa sınavın iyi geçtiği anlamına mı geliyor bilmiyorum. Benim doğum günü konferansım kısa sınavla aynı zamandaydı, ve tabii konferansta herkes hoş şeyler söylemek zorundadır ama ben 18.06 sınıfımın ne dediğini merak ediyordum; çünkü tam tamına aynı saatteydi.

Ama, şimdiye kadarki notlardan anladığım kadarıyla, notlarınız ikinci kısa sınavda aldığınız notlara yakın; belki de biraz üstünde. Yani oldukça başarılı.

Ve böylece final sınavımız yaklaşıyor ve bugünkü ders, size e-postayla da söylediğim gibi, tekrarın ilk adımı olacak ve Çarşamba günü tüm dersi tekrar etmek için elimden geleni yapacağım. Bu nedenle bugünkü konumuz --aslında, bu dersi daha önce hiç bu şekilde vermemiştim, ve --peki, dört altuzay, bu kesinlikle önemli ve bunu biliyorsunuz, o yüzden ben sol-tersler ve sağ-tersler hakkında konuşmak istiyorum ve sonra pseudo-inverse yani sözde-tersler denen bir şeyden.

Ve sözde-tersler, şimdiden söyleyeyim, yedinci bölümün sonlarına doğru geliyor ve finalde beklenmemelidir.

Ama konuştuklarımın aslında çok temel şeyler olduğunu; r ranklı bir mxn matris’i için doğrusal cebir’in en temel resmine geri döndüğümüzü göreceksiniz. Kimse bu resmi unutmadı değil mi? Benim yaşımda olduğunuzda bile, satır uzayını ve sıfır uzayını hatırlayacaksınız.

Dik tümleyenler şuradalar, A devrik sütunun sütun uzayı ve sıfır uzayı, dik tümleyenleri buradalar. Ve tersleri hakkında konuşmak istiyorum. Pekala.

Ve farklı olasılıkları tanımlamak istiyorum.

O zaman ilk önce, bir matrisin ne zaman tam tersi olur, iki taraflıyken, bunu biliyorsunuz, o zaman iki taraflı ters bizim ters dediğimiz şey, değil mi? Bu da demek oluyor ki, ister sağına ister soluna yazalım, birim’i oluşturan bir matris var. Ve şimdi söyleyin, şu sayılar: r rank, n sütun sayısı ve m satır sayısı; bu sayılar tersi alınabilen bir matris’de nasıl ilişkilidir? İkinci bölüm tamamen buna benzer matris’lerden ibaretti, dersin başı, güzel durum için r, m ve n’nin ilişkisi ne idi? Hepsi birbiriyle aynı ve hepsi eşit.

O zaman bu r=m=n deki durum. Kare matris, tam rank, bu kadar, sadece –tam rank kelimelerini kullanacağım.. Tamam, güzel. Herkes bunu biliyor, pekala.

Sonra üçüncü bölüm. tam rank olmayan matris’lerle uğraşmaya başladık, ve onlar her hangi bir rank’a sahip olabiliyorlardı, ve biz rank’ın ne olduğunu öğrendik.

Sonrasında odaklandık, eğer hatırlarsanız tam sütun rank gibi bazı durumlara. Şimdi, tam sütun rank’teki durum neydi hatırlıyor musunuz? Yani, şimdi, sanıyorum bu sol-tersimizin olduğu durumdu ve bulmaya çalışacağım. O zaman neyimiz var –buradaki durum neydi? Tam (dolu) sütun rank durumu, ve bu demek oluyor ki – bu r hakkında bize ne söylüyor? Eşittir, r’nin durumu nedir, şimdi, eğer tam (dolu) sütun rank’imiz varsa, yani sütunlar bağımsız demek istiyorum, ama belki satırlar değil. O zaman bu durumda r neye eşittir? n.

Teşekkürler.

r=n. n-tane sütun bağımsız, ama muhtemelen daha çok satırımız var.

Resim ne? Ve sonra bunun sıfır uzayı ne? n-tane sütun birbirinden bağımsız, o halde bu durumdaki sıfır uzayı nedir? Elbette ne sorduğumu biliyorsunuz. Neden bu adam bildiğimiz şeyleri soruyor ki, onu uykumuzda bile düşünüyoruz dediğinizi biliyorum, öyle değil mi? O halde, eğer rank n ise bu matris’in sıfır uzayı, -- sıfır uzayında hangi vektörler var? Sadece sıfır vektörü. Değil mi? Sütunlar bağımsızlar.

Bağımsız sütunlar. Birisi hariç, Sütunların hiçbir bileşimi sıfır vermez. Ve buradaki resmim nedir, ---resmimi tekrar çizeyim ---satır uzayı her şeydir.

Hayır. Öyle mi? Şimdi bakalım, genelde bunları karıştırıyorum değil mi? Bu arada ne oluyor? Sütunlar bağımsız, değil mi? O zaman rank sütun sayısının tamamı olmalı, o zaman bu bize ne söylüyor? Sıfır uzayının olmadığını değil mi, tamam. Satır uzayı bunun tümüdür.

Evet, resmi çizmeyeceğim bile.

Ve ne ile uğraşıyorduk? Ve bunlar, en küçük kareler problemlerde çok önemli idi, çünkü….Yani, burada doğru olan daha ne var? Tam sütun rank’ımız varsa, sıfır uzayı sıfırdır, bağımsız sütunlarımız var, tek çözüm….yani Ax=b için sıfır çözümü ya da tek çözüm var, belki de herhangi bir çözümü yoktur, ama çözüm varsa, o tektir çünkü diğer çözümler sıfır uzayından eklenecek şeylerle bulunur, ve orada ekleyecek bir şey yok. Yani belirli çözüm, bir çözümdür, eğer belirli çözüm varsa. Ama tabii ki, satırlar bağımsız olmayabilir ..muhtemelen bağımsız değiller--- ve böylece ---sağ taraftakiler, yok etmeden sonra sıfır eşit sıfır olmazlar, yani bazen bir çözüm elde edemeyebiliriz, ya da bir çözüm vardır.

Tamam. Ve söylemek istediğim şu ki, bu A matrisi için – oh, evet, A devrik A durumu hakkında bana bir şey söyleyin. Yani tahtanın bütün bu parçası, şimdi, bu durum için ayrıldı.

A devrik A ile ilgili ne var? Bu bileşimin ne kadar önemli olduğunu defalarca vurguladım, dikdörtgensel matrisler için, A devrik A, bakmak için güzel bir şey, ve rank n ise yani sıfır uzayında sadece sıfır varsa, o zaman aynısı A devrik A için de doğrudur.

Güzel olan budur. A’nın rankı n ise, iyi, bunun n ye n simetrik bir matris olacağını biliyoruz ve o tam rank olacak. Yani bunun tersi var.

Bu matrisin tersi alınabiliyor. O matrisin tersi alınabiliyor.

Ve şimdi size A’nın kendisinin tek-taraflı tersinin olduğunu göstermek istiyorum. İşte burada.

Bunun tersi -- ki var, çarpı A devrik, tek yönlü var. Ona A^(-1) sol diyeyim mi? A nın sol tersi.

Bunu niçin söyledim? Çünkü bu adamı A ile çarparsam, ne elde ederim? Bu çarpım ne verir? Tabii ki onu hemen biliyorsunuz, çünkü sadece buraya parantez koydum, Adevrik A ters çarpı A devrik A oldu, yani, tabii ki, bu bir birim matristir. Böylece onun sol tersi var.

Ve bu en küçük kareler için çok önemli bir durumdu, çünkü bu en küçük kareleri hatırlarsınız, en küçük karelerin ana denklemi bu matris, A devrik A, onun katsayılar matrisi idi. Ve tüm sütun rankı olması durumunda, bu matrisin tersi vardır ve biter.

Yani bu bir sol- tersin var olduğu durumdur. Yani A, o ne yaparsa yapsın, onu birim’e getirecek bir matris bulabiliriz. Şimdi sırası değişirse, bu doğru olur mu? ---Yani A sol ters çarpı A birimdir değil mi? Bu matris m ye n dir. Bu matris n ye m dir. Birim matris n ye n dir. Hepsi güzel.

n ise hepsi güzel. Ama bu matrisi diğer tarafa koymaya çalışırsanız, bu işlemez.

Tüm sütun rankı-bu m den küçük ise, onların eşit olduğu durum en iyi durumdur, ama hepsi uyarlanmıştır. Şimdi sütunların bağımsız ama satırların bağımsız olmadığı duruma bakıyoruz. Yani bunun tersi var, ama hangi matrisin tersi yok? A A devrik bu durum için iyi değil. A devrik A iyi olur. Yani soldan çarpabiliriz. Herşey iyi, sol-tersi elde ettik.

Ama o iki-yanlı ters olmayabilir.

Bir dikdörtgensel matrisin iki yönlü tersi olamaz, çünkü bir sıfır uzayı olmak zorunda, değil mi? Bir dikdörtgen matrisim varsa, ya bu matris ya da devriğin bir sıfır uzay olmalı, çünkü n ve m farklı iseler, etrafta bazı serbest değişkenler olacak ve bu doğrultuda bir sıfır uzayı olacak. Tamam, bana, karşı durum için karşılık gelecek resmi söyleyin. Böylece şimdi size sağ- tersler hakkında soracağım. Bir sağ – ters.

Ve bunun hepsini doldurabilirsiniz, bu tam satır rankın olduğu durum olacak. Ve o zaman r, m ye eşit olur, şimdi, m satır bağımsızdır, ama sütunlar değil, bu durumda ne olur? Şey, sadece tam olarak bunun çevrilmişi olur.

A devriğin sıfır uzayı sadece sıfırı içerir, çünkü sıfır satır verecek satırların bir bileşeni yok, bağımsız satırlara sahibiz. Ve bir dakika içinde, bütün bunlara bir örnek vereceğim. Peki bu durumda Ax= b nin kaç tane çözümü var? Satırlar bağımsızlar. Yani Ax=b yi her zaman çözebiliriz. Yok etme hiçbir zaman bir sıfır satır üretmez, yani hiçbir zaman sıfır eşit bir şey problemi ile karşılaşmayız. Böylece Ax=b nın her zaman bir çözümü var, ama daha fazla da olabilir. Yani bazı sıfır uzayı olacak, A nın sıfır uzayı… A nın sıfır uzayının boyutu ne olacak? Kaç tane serbest değişkenimiz var? Bu sıfır uzayı içinde kaç tane özel çözümlerimiz olacak? Bu düzende kaç tane serbest değişken var? n sütunumuz var, yani n değişken, ve bu bize kaç tane pivot değişkenimizin olduğunu söyler, bu bize kaç tane pivotumuzun olduğunu söyler, Yani n-m tane serbest değişkenimiz var.

Böylece Ax= b nin sonsuz çoklukta çözümü var.

Bu durumda n-m serbest değişkenimiz var.

Tamam, şimdi bu sağ – ters hakkında sormak istiyorum. Tamam, yani bir A matrisim olacak, bizim matrisimiz A, ve şimdi sağdan bu birim matrisi verecek bir tersi olacak. Böylece o, A çarpı A nın sağ tersi olacak, bu birim yani I olacak.

Ve sadece bu yukarıdaki ile karşılaştırarak, sağ tersin ne olacağını bana söyleyin, onun için bir förmülümüz bile vardı. Başka da olacak….aslında, diğer sol- tersler var, bunlar bizim gözdelerimiz, başka sağ- tersler de olacak, ama burada favorimiz olanları söyleyin, sevimli sağ-ters ne? Sevimli sağ- ters olacak, uygun, burada, A devrik A vardı bu güzel, şimdi güzel olan bir A - A devrik’imiz olacak, yani şimdi onu bu yolla yaparsam, sağ-ters burada oturuyor, bir üstteki ile nasıl paralel olduğunu görüyorsunuz. Tamam.

İşte bu sağ-ters dir. Böylece, bu durumda ne zaman var? Bu resim açısından, şimdiye kadar ki bu üç durum için sıfır uzaylarının ne olduğunu bana söyleyin, birinci durumda, iki yönde de tersimiz vardı, tam rank vardı, her şey mükemmel.

Sıfır uzayları gitti gibi değil mi? Sıfır uzaylarında sadece sıfır vektörü vardı.

Sonra ikinci durumu aldım, bu sıfır uzayı gitti.

Durum üç, bu sıfır uzayı gitti ve sonra durum dört, buradaki bütün bu resimlere- bütün sıfır uzaylarına baktığınızda bu en genel durum gibi gözüküyor -- bu r boyutlu, ve tabii ki bu n-r boyutlu olur, bu bunun boyutu r, şu m-r boyutlu olur. Ve son durum, r’nin m ve n den küçük olduğu zaman olacak, fakat ---buradan ayrılmadan önce buna biraz daha bakalım. Tam sütun rankı olması durumuna.. Peki A ters soldu, birim matrisi vermek için bu sol-ters var. Onu diğer yönden çarpsa idik, birimi elde edebileceğimizi söyledim.

Ama sonra fark ettim ki ne elde edeceğimi size sormalıydım. Yani onları diğer sırada koyarsam ..buna aşağıya kadar devam ettirirsem, ama A çarpı A ters sol yani A^(-1) sol yazarak – yani A çarpı - sol ters var, ama o artık solda değil.

Bu yüzden ortaya mükemmel bir şey çıkmayacak. Ama bu odadaki herkes bu matrisi tanımalı, değil mi? Bakalım, bu bildiğimiz adam mı? Tamam mıyım? Bu matris ne? P.

Teşekkürler -- P.

Bu matris ---izdüşüm matrisidir.

Sütun uzayı üzerine izdüşümdür.

O birim matris olmaya çalışıyor, değil mi? Bir izdüşüm matrisi birim matris olmaya çalışıyor, ama ona yapılması mümkün olmayan bir iş verdiniz.

Böylece o olabildiği yerde birim matris olur ve başka yerlerde, sıfır matrisi olur.

Yani Bu P dir. Doğru..

Sütun uzayı üzerine bir izdüşüm. Tamam ve size şunu sorsam ve bunu ters sıraya koysam- yani bu yukarıdan gelen. Bu, bu taraftan gelir, sağ tersi sola koysam ne olurdu? O zaman A devrik -- A, A devrik ters, A olurdu, bu matris şimdi solda ise, bu matris ne olurdu? O da bir izdüşüm olurdu, değil mi?. Bu adama çok benziyor, farklı olan tek şey, A ve A devrikle tersine çevrilmişler. Yani bu bir izdüşümdür, bu başka bir izdüşüm olur.

Yeniden, o birim matris olmaya çalışıyor, ama matrisin yapabileceği fazla bir şey yok. Ve bu sütun uzayı üzerine izdüşümdür. Böylece şimdi ana resme geri döneyim ve sizinle genel durum, sözde ters hakkında konuşayım. Bunlar bildiğimiz durumlar.

Yani, bu çok önemli bir tekrar oldu. Bu ranklar ve serbest değişkenler işlerini iyi bilmek zorundasınız . Gerçekten bu doğrusal cebirin bir araya geldiği yerdir.

Ve, biliyorsunuz, Doğrusal Cebiri (18.06 yı) öğretmenin güzel bir yanı, bu çok açık değil.

Ama o- bilmiyorum, bu şekilde doğru şeyler ortaya çıktığında güzel oluyor. Bence güzel, kalkulus hakkında kötü şeyler söylememeliyim ama söyleyeceğim. Bence bildiğiniz gibi, yüzey alanları için formüller var, ve diğer korkunç şeyler de -- ve bilirsiniz, onlar kalkuluste ellerinden gelenin en iyisini yaparlar, ama zarif değiller. Ve doğrusal cebir sadece, bildiğiniz gibi, doğrusal cebir, kalkülüsün her şeyin düz ve formüllerin doğru olarak ortaya çıktığı güzel bir parçası gibidir. Ve burada yüksek boyuta geçebiliriz, kalkülüste bu şeyleri görselleştirmeye çalışıyorsunuz, güzel, iki ve üç boyutlu bir tür kısıtlama var. Ama burada, yok. Biliyorsunuz, 2 ye 2 leri yapmayı bıraktım, sadece genel durum hakkında konuşuyorum. Tamam, şimdi burada genel durumlar üzerine konuşacağım. Ters ne olabilir? Bir matris için, tamamen genel bir matris için, makul bir ters nedir? Burada matrisin rankı r olup n den küçüktür, yani elde bir sıfır uzayı var, ve rank m den küçük, böylece A devriğin bir sıfır uzayı var, ve bunlar bu sıfır uzayları ki tersleri mahvedenler, değil mi? Çünkü bir matris bir vektörü sıfıra götürüyorsa, tersi bulmanın, onu hayata döndürmenin bir yolu yok.

Konumuz şimdi sözde tersler, elde edebileceğiniz en iyi tersin ne olduğunu sadece, resimle görelim. Yani burada satır uzayı içinde bir x vektörü var. A ile çarptım.

Şimdi herkesin bildiği bir şey, bir vektör al, A ile çarp ve bir çıktım olur ve bu çıktı nerede? Ax nerede? Her zaman sütun uzayı içinde, değil mi? Ax bu sütunların bir bileşimidir.

Yani Ax buralarda bir yerde. Böylece satır uzayındaki bütün vektörleri alabilirim, onların hepsini A ile çarpabilirim.

Sütun uzayında vektörlerin bir takımını elde ederim ve düşünüyorum da, sütun uzayında bütün vektörleri (uygun) doğru olarak elde ederim. Satır uzayındaki bir x ve sütun uzayındaki bir Ax arasındaki bu ilişkiyi düşündüm, Bu bire bir olur. Şanslıydık, çünkü onların boyutu aynıdır.

Bu bir r- boyutlu uzaydır, ve şu bir r- boyutlu uzay olur. Ve her nasılsa, bu matris A….etrafta dolaşan bu sıfır uzaylarına sahip, burada o vektörleri sıfıra atıyor.

Ve sonra o aradaki bütün vektörlere, hemen hemen her vektöre sahip olur, hemen hemen bütün vektörlerin bir satır uzayı bileşeni ve bir sıfır uzay bileşeni olur.

Ve bu sıfır uzayı bileşenlerini yok ediyor.

Ama satır uzayındaki vektörlere bakarsam, sıfır uzay bileşenleri olmayanlarla, sadece satır uzayındakilere, o zaman onların hepsi sütun uzayına gider, yani başka bir vektör koyarsam, buna y diyelim, Eminim ki Ay her nerede ise, Ax olmayacak. Ne dediğimi anlıyor musunuz? Niçin olduğuna bakalım. Pekala.

Yani dedim ki, x ve y bir satır uzayında iseler, o zaman Ax, Ay ile aynı değildir.

Tabii ki, onların her ikisi de sütun uzayındalar ama farklılar. Bu final sınavında mükemmel bir soru olabilir, çünkü bu bölüm 3 ve bölüm 4, özellikle bölüm 3 deki size öğrettiğim malzemelerdir, x ve y satır uzayındaysa, o zaman Ax, Ay den farklıdır.

Peki bunun anlamı ne ..ve niçin olduğunu göreceğiz, kelimelerle söylersem satır uzayından sütun uzayına A tamdır. Onun tersi vardır.

Eğer istersek bu uzayları kısıtlıyabiliriz.

Ve sonra, onun tersi, sözde-ters olarak adlandıracağım olacak. Yani bu sözde-ters olandır. O tersdir ..yani A bu yolda gidiyor, x den y ye …üzgünüm, x Ax e, y den Ay ye, bu A şu yola gidiyor, sonra diğer doğrultu içinde, sütun uzayındaki her hangi bir şey satır uzayında bulunan seylerden gelir, ve tersine bu sözde-ters olarak adlandırdığım var, ve kabul gören notasyon ise, (A^+) dır. Yani y (A artı) x olacak.

Üzgünüm, hayır y (A artı) çarpı her ne ile başladıysa yani Ay olacak.

Buradaki resmi görüyor musunuz? Bazı,-- tabii ki, x ve Ax için aynı, Bu yolla A yapıyor, diğer yol sözde-ters dir, ve bu sözde-ters sadece bu şeyi sadeleştirir, ve bu matris sadece bu şeyleri sadeleştirir.

Niçin? Olmadığını varsayalım.

Niçin kendimi zora soktum? Varsayalım- yani ispat, çok fazla ispat yazmadım, ama bu kez bu kelimeyi kullanacağım.

Onların aynı olduklarını varsayalım, bunların iki farklı vektör olduklarını varsayalım. Belki daha doğru bir ifade kullanmalıyım. x ve y satır uzayında farklı iki vektör iseler, belki x, y’den farklı desem iyi olur, her ikisi de satır uzayında….Yani satır uzayında bulunan iki farklı vektör ile başlıyorum, A ile çarpıyorum….böylece herkes biliyor ki bu adamlar sütun uzayındalar, ve önemli nokta, onlar şurada farklılar, Peki, varsayalım ki değillerdi.

Ax=Ay olsun. Varsayalım, güzel, bu A(x-y) nın sıfır olması ile aynı şeyi söyler.

Yani ne? Yani, (x-y) hakkında ne biliyorum, bu vektör hakkında ne biliyorum? İyi, hemen görebiliyorum, o hangi uzay içinde? O sıfır uzayı içerisinde oturuyor, değil mi? Yani o sıfır uzayında. Ama onun hakkında başka bildiğim ne var? Burada x satır uzayında idi, y de satır uzayında idi, x-y nerede? O da satır uzayında, değil mi? Kahrolası! Bu şey vektör uzayıdır, ve vektör uzayı hiçbir şey değilse bile, x satır uzayında ve y satır uzayında iseler, o zaman farkları da buradadır, yani farkları da satır uzayındadır. Yani ne olmuş? Şimdi sıfır uzayında olan bu x-y vektörüm var. Ve o aynı zamanda satır uzayında, yani o hangi vektör olur? O sıfır vektörüdür. Yani bundan çıkan sonuç bu (x-y) sıfır vektörü olmak zorunda, x-y, yani, başka bir deyişle, iki farklı vektör ile başlarsam, iki farklı vektör elde ederim.

Bu vektörler aynı olsaydılar, o zaman şu vektörler aynı olmak zorundaydılar. Bu cebirsel ispat gibi oldu, -- ki tamamen anladık, çünkü kelimelerle söylediğim bu alt uzayları gerçekten anladık; matris A gerçekten uygun, satır uzayından sütun uzayına tersi olan bir dönüşüm. Şayet sıfır uzayı yolumuzdan çekilirse, o zaman bir ters var.

Ve bu ters sözde- ters olarak adlandırılır ve o uygulamada çok, çok kullanışlıdır. İstatistikçiler buldu, oh çocuklar, bu bütün hayatımız boyunca ihtiyacımız olan şey, ve burada o sonunda gözüktü, bu sözde ters doğru şeydir. Niçin istatikçiler ona gereksinim duydu? Çünkü istatistikçiler en küçük kareleri severler- mutlu etmek isterler. Bence, onlar her zaman en küçük karelerle uğraşıyorlar. Ve böylece bu onların temel doğrusal regresyonudur, bu videoyu izleyen istatistikçiler, sizinle ilgili bu tanımlama için beni bağışlayın. İlgilendiklerimizden biri doğrusal regresyon ve bu problemdir. Ama bu problem sadece tam sütun rankımız varsa sonuç verir.

Ve istatistikçilerin her zaman endişelendikleri ---“ Aman Allahım, belki de sadece bir deney tekrarladık.” olgusudur.

Bilirsiniz, bütün bu ölçümleri alarak, belki sadece onları birkaç kez tekrarlarız. Bilirsiniz, belki onlar bağımsız değiller.

Bu durumda, yani onların bağlı olduğu bu A devrik A matrisi tekil olabilir. Böylece, sonra bu onların sözde-terse ihtiyaçları olduğu zamandır;, sadece doğru zamanda ortaya çıktı ve uygun miktardadır.

Tamam şimdi sözde-tersin ne yapması gerektiğini biliyorsunuz, haydi onun ne olduğunu görelim.

Onu bulabilir miyiz? Bu benim- bu dersi tamamlamam için….bu sözde-ters A artı’yı nasıl bulacağım? Tamam, Pekala.

Eh bunun bir yolu var, bugün yaptığım her şey bu şeyleri gözden geçirmeye çalışmaktır, iyi bir yol tekil değer ayrıştırmasından başlamak olabilir. Ve unutmayınız ki bu A yı bir dik matris çarpı bu köşegen matris çarpı bu dik matris olarak çarpanlarına ayırırdı.

Fakat bu köşegen adam neye benziyordu? Bu köşegen adam, sigma, bazı sıfır olmayanlara sahipti, ve hatırlarsanız onlar A devrik A, ve A A devrik’den geldiler, bunlar bu doğru adamlardır, ve sonra biraz daha sıfırlar, ve bütün sıfırlar orada, ve bütün sıfırlar orada. Yani sözde – tersin ne olduğunu tahmin edebilirsiniz, sadece bazı şeyleri ters çevirdim, ki bu ters çevirmek uygundur….Pekiyi, bunun sözde-tersi nedir? Bu problemin geldiği son yerdir. Bu güzel köşegen matrisin sözde-tersi ne? Ama onun bir sıfır uzayı var, değil mi? Bu matrisin rankı ne? Bu köşegen matrisin rankı ne? Tabii ki r. Onun r tane sıfır değeri var, bunun dışındaki değerleri sıfır olur.

Yani n sütunu var, m satırı var, ve rankı r. Bu genel kurulumda sahip olacağımız en basit, en iyi örnek olur.

Tamam, Peki bu sözde-ters ne? Bu matris ---peki sütunlarımızı sileyim, çünkü onun hemen altında sözde-tersi yazmak istiyorum. Tamam, iyi bir tahmin yürütebilirsiniz, bu bir uygun köşegen matris, tersi olan olsaydı, burada aşağıda bu sıfırlar olmasaydı, O sigma 1 den sigma n ye olsaydı, o zaman tersin ne olacağını herkes bilirdi, ters, bir bölü sigma bir den bir bölü sigma-lara kadar olurdu, ama tabii ki, sigma-r de durmak zorundayım. Ve doğal olarak sonuna kadar tekrar sıfırlar olurdu.

Ve şimdi buradaki m ye n idi, ve buradaki biraz farklı olmak anlamına geliyor, bilirsiniz, devrik şekil, n ye m. Onların ikisinin de rankı r dir.

Bu sözde-ters, -- bir terse gelebileceğimiz en yakın ve en iyisi olduğu kanısındayım.

Pekiyi, sigma çarpı onun sözde-tersi ne? Sigma yı onun sözde-tersi ile çarpabilir miyiz? Bunu bununla çarpmak? Hangi matrisi elde ederiz? Köşegen olur ve tabii ki dikdörtgendir. Ama aynı zamanda birler, r_birler, ve geriye kalanların hepsi sıfır olacaklar. Ve bunun şekli, bu bütün matris m ye m olacak.

Ve diğer sırayla yaptığımı varsayalım. Bakalım sigma artı sigma yaptım. Neden tam altına doğru yapmıyorum ki? Ters sırada? Bakın, bu matrisin bir sol-tersi yok, onun bir sağ-tersi de yok, ama her matris bir sözde-ters’e sahip olur. Onu sigma artı sigma sırasında yaparsam, ne elde ederim? Kare matris, bu m ye n olur, bu m ye m dir, sonucumuz m ye m olur --- n ye n olacak, o nedir? Onlar köşegen matrislerdir, birler ve sonra sıfırlar olacak, O bununla aynı değil, O farklı boyutludur… O bir izdüşümdür. Biri sütun uzayı üzerine bir izdüşümdür, ve bu biri satır uzayı üzerine izdüşümdür. Bu sözde-tersin yapabileceği en iyi şey olur. Yani sözde-tersin yapacağı, eğer soldan çarparsan, birim matris elde edemezsin, eğer sağdan çarparsan birim matris elde edemezsin, elde edeceğin şey bir izdüşümdür, bu bizi iki güzel uzaya getirir, satır uzayı ve sütun uzayına.

Ve o sadece sıfır uzayını siler atar.

Yani bu bu köşegen birisinin sözde – tersinin yaptığıdır. Ve sonra A nın kendisinin sözde tersi – bu mükemmel tersi olandır. V devrik in tersi ne? Sadece biraz daha gözden geçirme. O bir dik matrisdir, ve onun tersi V olur. Güzel.

Bu adam içinde bütün sorunlar var, bütün bunların sorumlusu sıfır uzayıdır, yani o gerçek terse sahip değil, Onun sözde-tersi var, ve sonra bu U nun tersi -- U devriktir, teşekkürler. Ya da, tabii ki, U ters yazabilirim. Yani, bu sözde-tersin nasıl bulunacağının sorusudur…Peki tüm rankın olmadığı durumlarda, en küçük karelerin çalışmadığı bu gibi durumlarda bulunan istatikçiler ne yapıyorlar? Ve tekil değer ayrıştırmasının güzelliği, o bütün sorunları bu köşegen matrisin içine koyar ve orada ne yapacağımız açıktır.

Onun düşünebileceğimiz en iyi ters olduğu açıktır.

Bakın başkaları da olabilir. Bence burada aşağıya bir şeyler koyabiliriz. O bu sıfırlarla çarpılabilir.

Bunun hiçbir etkisi olmazdı, ama o zaman -- güzel sözde-ters, fazladan hiç bir şeyi olmayan bir yapı olurdu; bir çeşit mümkün olan en küçük gibi olurdu.

Bir’leri üretmek için bunların olması zorunludur.

Başka şeyler de olsa, sadece bir büyük matris olurdu; yani bu sözde-ters bir şekilde en iyi sonucu veren minimum matris gibi olur. Sigma sigma artı r tane birleri olan.

Bu yüzden umuyorum… sözde-ters, yeniden en başta söylediğimi tekrar söyleyeyim. Bu sözde-ters, kitapta bölüm 7.4 sonundadır ve muhtemelen burada kitapta yaptığından daha fazlasını yaptım. Sözde-ters kelimesi bu dersin sınavlarında gözükmeyecek, ama bütün bu gördüklerimizin olacağını düşünüyorum çünkü bu dersle ilgili olan her şey, Bölüm 1, 2, 3, 4 dür…..Ama eğer bunların hepsini gördüyseniz, o zaman büyük olasılıkla sınavda da göreceksiniz, iyi tamam, genel durumu hem sıfır uzayı etrafından hem de bu yapılacak olan doğal bir şey. Evet.

İşte bu sözde-tersi bulmanın bir yoludur.

Sözde-tersi hesaplamanın önemi, sözde-tersi çabukça bulabileceğimiz bazı çarpanlar elde etmektir. Ve bu, şampiyon olmak gibi bir şey, çünkü burada bunların tersini alabiliriz, şu ikisini sadece devrikliyerek ve köşegenle ne yapacağımızı biliyoruz; kolayca sıralarını değiştirebiliriz. Tamam, bu daha çok tekrar oldu, belki Doğrusal Cebir (18:06) içinde beş dakikalık bir tatilimiz olsun. O zaman dersin geriye kalanı için, çarşambaya görüşürüz.

Teşekkürler.