MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 32

Evet, şimdi gelecek kısa sınav için bir tekrarlama yapacağız. Buradaki önemli nokta, bu sınav birinci ve altıncı bölümler arasını kapsayacak. Doğrusal dönüşümler üzerindeki yedinci bölüm son sınavda gelecek, fakat bu kısa sınavda değil. Dolayısıyla bugün doğrusal dönüşümleri tekrarlamayacağım ama, bunu en son dersimizde bütün dersleri gözden geçirdiğimizde yapacağız.

Böylece bugün, altıncı bölümü tekrarlayacağım, eski birkaç sınavı ele alacağım ve her zaman sorularınızı cevaplamaya hazırım.

Ve bence, altıncı bölümdeki temel konuları yazarsam, hatırlamamız için yararlı olur.

Evet, şimdi, bir önceki kısa sınavdan, özdeğerleri ve özvektörleri hesaplamayı biliyoruz. Yani, bunları A’nın determinantından lambda I’yı çıkartmakla hesaplandığını öğrenmiştik. Ancak tabii, her zaman bir takım kestirme yöntemler de olabilir. Mesela, özdeğerler hakkındaki bilgiler hesaplamaları hızlandırabilir. Tamam.

Şimdi, yeni konumuz bir diferansiyel denklemle başlıyor, bir problem çözeceğim. Bunun için önce bir diferansiyel denklem problemi ile başlayacağım. Simetrik matrislerin özelliği nedir? Bunu kelimelerle nasıl ifade edebiliriz? Belki yazsam daha iyi olur.

Simetrik matrislerin özelliği nedir? Onların özdeğerleri gerçektir. Bir simetrik matrisin özdeğerleri her zaman gerçek çıkar ve her zaman yeterince özvektörleri vardır. Tekrarlanan özdeğerleri olsa bile, yeterli özvektörleri vardır, ve bu özvektörleri dik olacak şekilde seçebiliriz.

Dolayısıyla, eğer A, A-devriğe eşitse, A’yı köşegenleştirebiliriz, -- ve özvektörleri sütunlarında olan özvektör matrisi, dik bir matris olacaktır. Böylece Q lambda Q-devrik elde ederiz. Bu, sadece üç sembolle, simetrik matrislerin çok önemli bir özelliğini, bir temel özelliğini ortaya koyar. Pekala.

Sonra, bu konuyu bırakıp özdeğerleri pozitif olan pozitif tanımlı matrisleri sorguladık.

Bunlar üzerinde bir örnek vereceğim. Şimdi simetriyi bıraktık.

Benzer matrisler herhangi bir kare matrislerdir, ama iki matris şu şekilde ilişkiliyse benzer olurlar.

Ve benzer matrislerin temel özelliği nedir? Her nasılsa, yedinci bölüm terimleriyle, şu matrisler aynı şeyi değişik bir şekilde temsil ediyorlar.

Altıncı bölüm terimleriyle, benzer matrisler ne oluyor? Benzer matrislerin temel özelliği, en temel özelliği nedir? Onların özdeğerleri aynıdır. Özdeğerler aynıdır.

Böylece eğer birisi büyürse, diğeri de büyür.

Birisi sıfıra giderse, diğeri de sıfıra gider.

A’nın kuvvetleri B’nin kuvvetleri gibi olur, çünkü A’nın kuvvetleri ile B’nin kuvvetlerinin tek farklılığı M-tersi ve en dışarıdaki M’dendir. Eğer bu matrisler benzerse, B üzeri k eşittir (M ters) (A üzeri k) M.

Ve bu nedenle, bu M özvektörleri değiştirir, ama özdeğerleri değiştirmez. Dolayısıyla lambda’lar aynıdır. Ve sonra, son olarak, TDA’nın anlamını tekrarlayacağım, Tekil Değer Ayrıştırmasını. Pekala.

Kısa sınav sadece bu konuları kapsayacak ve şimdi bir diferansiyel denklemle başlayarak geçmiş sınavlardan birkaç problem çözeceğim.

Tamam. Ve her zaman sorularınıza hazırım.

İşte iki bin senesinden bir sınav, ve burada bir -- üçe üç bir matris var. Ama bu -- özel bir matris gibi görünüyor, köşegeninde sıfırlar var, üst tarafında eksi birler, alt tarafta gördüğünüz gibi birler var. İşte A matrisi böyle verilmiş.

Pekala. Birinci adımda, -- evet, şu denklemi çözmek istiyorum.

Genel çözümü bulmak istiyorum.

Size burada u’nun sıfırdaki değerini vermedim, yani genel çözümü arıyorum; şimdi bunun, genel çözümün şekli nedir? İçinde üç keyfi sabit olmalı çünkü onlar başlangıç durumuna uymak için kullanılacak. Böylece genel çözüm, t zamanındaki u, ilk özel çözümün bir katıdır.

İlk özel çözüm özdeğer gibi büyüyecektir ve o özvektördür. Böylece bu, tamamiyle şu özvektörüne bağımlı bir saf üstel çözümdür.

Elbette, özdeğerleri ve özvektörleri henüz bulmadım. Bu normalde, bu ilk yapacağımız iş olmalı. Şimdi, bir ikinci olacak, e üstü lambda 2 ile büyüyen, ve bir üçüncü e üstü lambda 3 ile büyüyen olacak. Böylece bitirdik, ama gerçekte henüz daha hiçbir şey yapmadık.

Özdeğerleri ve özvektörleri bulmam gerekiyor, ve sonra üç doğru sabiti seçerek u-sıfıra uyduracağım. Pekala.

Şimdi size özdeğerleri ve özvektörleri soruyorum, ve bu matrise bakın ve onda ne görüyorsunuz? Aa, şey, belki kendimize hemen sormalıyız, o tekil mi? O tekil mi? Çünkü, eğer öyle ise bir avantaj yakaladık, çünkü özdeğerlerinden birinin sıfır olması gerektiğini biliyoruz. Şu matris tekil mi? Bilmiyorum, determinantını alıp bulur musunuz? Veya belki birinci ve üçüncü sıralara bakarsınız ve, hey, birinci ve üçüncü sıraların sadece işaretleri farklı dersiniz, onlar doğrusal bağımlı der misiniz? Birinci ve üçüncü sütunlar bağımlı --matris tekil. Öyleyse, bir özdeğer sıfır. Onu lambda bir yapalım. Lambda bir böylece sıfır olacak. Pekala.

Şimdi diğer iki özdeğeri bulmamız kaldı, ve zannediyorum bunun en kolay yolu A eksi lambda I’a bakmak. Öyleyse, şuraya bir eksi lambda koyayım. Eksi birler yukarıya, birler aşağıya. Ama, bunu yapmadan önce bakalım, matris gerçekten simetrik değil, doğru mu? Gerçekte, simetriğin tam tersi. Şu A-devrik matrisi, A-devrik, A matrisine nasıl bağlı? Bu bir ters-simetrik matris, çarpık-simetrik matris. Ve, belki, bir iki’ye iki ters-simetrik matris örneğiyle karşılaşıyoruz. Ve şunu söyleyeyim, bunların özdeğerleri nedir? Onlar saf sanaldır.

Onlar sanal eksendeler, onlar eğer ters-simetrik matrislerse I’nın bir katı olurlar.

Böylece i’nin katlarını bulmak istiyorum, ve, şüphesiz şu sıfır kere i, şu sanal eksende ama belki şöyle yapmam daha iyi, bakın.

Lambda-küp. Şey, belki eksi lambda-küp, ve sonra bir sıfır ve bir sıfır.

Sıfır, ve sonra belki artı bir lambda var, ve bir başka artı bir lambda, ama onların bir eksi işaretleri var.

Eksi iki lambda eşittir sıfır mı elde ediyorum? Öyleyse, lambda-küp artı iki lambda eşittir sıfırı çözüyorum. Böylece lambda birinci kök olarak dışarı çıkar ve gerisi de lambda-kare artı iki.

Pekala, bu istediğimiz gibi gidiyor, değil mi? Çünkü şu kök lambda eşittir sıfırı verir, ve diğer iki kök, onlar lambda eşittir nedir? Lambda-kare artı iki eşittir sıfırın çözümü nedir, sonra şu özdeğerler, nedir onlar? Onlar i’nin katlarıdır, sadece iki-i’nin kare-kökü.

Bunu sıfıra eşitlersem, lamda-kare eşittir eksi iki elde ederim, değil mi? Şu nasıl sıfır olur? Ve kökleri (kök iki)i ve eksi (kök iki)i. Böylece şunların ne olduğunu biliyorum.

Şunları yerine koyayım, şimdi.

Ya t-sıfır sadece birdir.

Şu sadece bir. Bu (kök iki)i ve bu eksi (kök iki)i.

Peki, çözüm sıfıra iniyor mu? Bu çözümü sıfıra giden tamamıyla kararlı bir problem mi? Hayır.

Gerçekte, bütün bunların boyu aynı kalıyor.

Şu şey, bu rakamla çarpılıyor.

e üzeri (i birşeyler t), şu genliği bir olan bir sayı, ve birim çember çevresinde dolanır. Bu da aynı şekilde.

Böylece çözüm sonsuza gitmez ve sıfıra da gitmez. Pekala.

Ve onun ne olduğunu bulmak için başlangıç değerlerini kullanmalıyız. Ama aslında şimdi soracağım soru şöyle, çözüm ne zaman başlangıç değerine döner?

Başlangıç değerini söylemeyeceğim bile. Zannediyorum ki bu çözüm sonrasında periyodik olan bir durumdur. t sıfırken c1, c2, ve c3 olarak başlar, ve sonra t’nin bir değerinde, şuna geri döner.

Yani bu çok özel bir soru. Peki, şimdi birkaç saniye duralım, çünkü bu özel soru herhalde kısa sınavda gelmez. Ama o tekrar başlangıç değerine dönüyor, değil mi? Yani, ne zaman e üzeri 2pi olursa, şu bir olur ve tekrar aynı yere geliriz.

Yani başlangıç değerine döner. O periyodik, ne zaman bu (kök iki)i, ona büyük T diyelim mi, periyodu ifade için. O büyük T değerinde, eğer şu (2pi)i’ye eşit olursa, e üzeri bu şey birdir, ve aynı yere geri döneriz. Böylece, büyük T peryodunu şöyle buluruz, i’leri sil ve büyükT pi çarpı (kök 2) dir.

Evet bu çok zarif. Bütün çözümler hakkında bilgi topluyoruz, herhangi bir çözümde odaklanmadık, ama tekrar geri gelir.

Yani bu benim bütün ters-simetrik, -- ters-simetrik matris ailesi hakkında bir şey söylemek için ilk fırsatımdı. Pekala.

Ve şimdi, sonunda şunu soruyorum, iki özvektörü alalım; daha özvektörleri hesaplamadım ve onlar dik çıktı. Onlar dik.

Simetrik matrislerin veya ters-simetrik matrislerin özvektörleri her zaman diktir. Düşünüyorum da size anlatmalıyım, özvektörleri dik olan matrisler nelerdir? Ve simetrik olanlar en önemli sınıfda, bunları şimdi konuştuk. Ama gene de bunu şöyle not alalım. Dik x-ler, özvektörler. Matrisin dik özvektörleri var ---bunun ne zaman olacağını sizlere söyleyebilmem çok güzel bir şey.

Bu, A defa A-devrik, A-devrik defa A’ya eşit olduğunda olur. Her zaman dik özvektörlerin koşuludur. Ve özel vektör aileleri ile ilgilendiğimiz için, buna uyan birkaç özel gurubu söyleyin bana. Bütün gereksinim bu.

Bu çoğu matris için çok özel bir gereksinim.

Yani genelde üç’e üç bir matrisin üç tane özvektörü var, ama dik değil. Ama devriği ile değişme özelliği varsa, o zaman harika biçimde, özvektörleri dik olur. Şimdi, simetrik matrislerin bu testi nasıl geçtiklerini görüyor musunuz? Şüphesiz. Eğer A-devrik A’ya eşitse iki taraf da A-kare olur, bunu yaptık.

Peki, ters-simetrik matrisler bu testi nasıl geçer? Eğer A-devrik eksi A’ya eşitse bunu da yaptık, çünkü iki taraf da eksi A-kare olur.

Yani bu bir diğer grup. Ve, son olarak, size en favori ailemiz hakkında sorayım, dik matrisler. Dik matrisler bu testi geçer mi, -- eğer A bir Q ise, dik özvektörlerin testini geçer mi? Pekala, eğer A bir dik matris Q ise, Q- devrik Q nedir? I matrisi. Peki, Q defa Q- devrik nedir? O da I matrisi, kare matrislerden bahsediyoruz burada.

Yani, evet, testi geçiyor. Böylece bu özel durumlar simetrik, ters-simetrik (bazen çarpık-simetrik de diyeceğim) ve dik matrisler. Bunlar bu gurupda olan üç önemli sınıf oluyor.

Pekala, bu altı nokta dördüncü bölümde yapılabilecek açıklama idi.

Pekala, diferansiyel denklemlere devam edebilirim, bir de bu soru size sormadığım, bu matris üstelini, e üzeri At’yi nasıl bulabilirim? Bunu silebilir miyim? Böyle bırakayım şimdi… e üzeri At’yi nasıl bulabilirim? Yani, nasıl oluyor? Bu bir diferansiyel denklemin ana matrisi, çünkü çözüm şöyle, çözüm u(t) eşittir, e üzeri At defa u(sıfır). Yani, bu temel matris gibi verilen denklemle çarpılıyor ve cevabı veriyor.

Şimdi, istersek bunu nasıl hesaplarız? Her zaman e üzeri At’yi bulmamız gerekmez, çünkü e üzeri At’siz direk çözüme gidebilirim, ama şurada gizli bir e üzeri At var, ve onu nasıl hesaplarım? Pekala, eğer A köşegenleştirilebilir ise. Şimdi her zaman yaptığım gibi tekrarlayacağım, eğer A köşegenleştirilebilir ise (herkesin hatırlaması gerekir, burada bir eğer kelimesi var, çünkü matrisin yeterince özvektörleri olmayabilir) bu örnekte yeterince var, rastgele matrislerin yeterince vardır. Yani köşegenleştirebiliyorsak, bunun için güzel bir formülümüz var, çünkü bir S en başta gelir, ve S’nin tersi en sonunda gelir, ve sadece lambdanın üstelini almak kalır.

Ve bu sadece bir köşegen matris, böylece bu yalnız e üstü bir t, şu şeyler ortaya çıkıyor, şimdi, e üzeri nt de. Pekala? Bu formülün çok kısa bir tekrarı.

Bunu çok kolay hesaplayabiliriz, eğer S ve lambda kısımlarını yapmışsak. Eğer S ve lambda’yı biliyorsak, şu adımı atmak çok da zor değil.

Tamam, diferansiyel denklemler üzerine bir takım açıklamalar getirdik.

Şimdi, şurada başladığım soruya devam etmek istiyorum.

Ve bunun, bir çok şıkkı var ve size okuyabilirim.

Elimize üçe üç bir matris verilmis, ve denmiş ki, bunun özdeğerleri, biri haricinde, yani, bilmiyoruz, ve özvektörleri verilmiş. Ve size matris hakkında sormak istiyorum. Pekala.

Evet, birinci soru. Matris köşegenleştirilebilir mi? Ve demek istiyorum ki hangi c’de, çünkü c’yi bilmiyorum, yani tüm sorularım, c üzerinde bir koşul var mı, bir c işi görür mü? Yalnız bana cevabınız uyan bütün c’leri söylemeli. Size sorduğum şu değil, mesela, c eşittir dört, evet, o sağlıyor.

Matrisi köşegenleştirebilecek tüm c’leri söylemenizi istiyorum.

Pekala? Köşegenleştirebilmenin koşulu ne? Yeterli özvektör olması değil mi? Özdeğerlerini bilmemiz gerekmez, özvektörler köşegenleştirebilmek için önemli, ve üç tane bağımsız bulmak gerekiyor ve şu üç şey bağımsız mı?

Şimdi, onlara biraz bakalım.

Bu vektörlere baktığınızda hemen ne görüyorsunuz? Onlar sadece bağımsız değil. Neden o üçünün seçildiğini görebiliyor musunuz? Çünkü bunun cevabı --

bir sonraki şıkda gelecek, onlar dik. Bu özvektörler dik. Bunlar gerçekten bağımsız.

Yani köşegenleştirebilmenin cevabı, evet, bütün c’ler, bütün c’ler. Farketmez.

c tekrarlanan bir şey olabilir, ama bizim yeterince özvektörümüz var, ve önemsediğimiz şey bu.

Pekala, ikinci soru. c’nin hangi değerleri için simetriktir? Pekala, bu sorunun cevabı nasıl? Eğer aynı düzeni biliyorsak, eğer o kadar biliyorsak, -- bu özvektörleri biliyoruz, ve onların dik olduğunu da fark ettik, o zaman hangi c’ler çalışır? Yani bu simetrik matrisin özdeğerleri gerçek olmak zorunda.

Yani tüm gerçek c’ler. Eğer c = i olsa idi, matris simetrik olmazdı. Ama eğer c gerçekse, o zaman özdeğerleri de gerçek olur, matris simetrik olduğu için dik özvektörler elde ederiz. Tamam, pozitif tanımlı. Pekala, şimdi, bu simetriğin bir alt sınıfı, yani c’nin gerçek olmasını istiyoruz, böylece bir simetrik matris elde ederiz, ama aynı zamanda bu şeyi de pozitif tanımlı istiyoruz.

Şimdi, özdeğerlere bakıyoruz, pozitif tanımlı için bir sürü testimiz var, ama özdeğerler, eğer onları biliyorsak, daha iyi, çabuk ve temiz bir test. Bu matris pozitif tanımlı olabilir mi? Hayır.

Hayır, çünkü bir özdeğer sıfır.

Matris pozitif yarı-tanımlı olabilir, biliyorsunuz, teselli ödülü gibi, eğer c sıfırdan büyük olsa idi, pozitif yarı-tanımlı olurdu.

Fakat değil, hayır.

Yarı-tanımlı, eğer bu açıklamayı getirirsem, yarı-tanımlı, yani koşul c’nin sıfırdan büyük veya eşit olması. O zaman olurdu.

Pekala, sonraki kısım.

Bu bir Markov matrisi mi?

Bu matris, eğer c’yi doğru seçersem, bir Markov matrisi olur mu? Peki, Markov matrisler hakkında ne biliyoruz? Başlıca onların özdeğerlerini biliyoruz. Bir özdeğeri her zaman bir, ve diğer özdeğerler daha küçük.

Büyük değil. Yani bir özdeğer iki olamaz. Dolayısıyla cevap hayır, değil, yani yukarıdaki Markov matrisi olamaz.

Pekala? Ve son olarak, A’nın bir yarısı bir izdüşüm matrisi olabilir mi? Yani, o-- bu olabilir mi, bir izdüşüm matrisinin iki katı olabilir mi? Peki şöyle yazalım.

A bölü iki bir izdüşüm matrisi olabilir mi? Pekala, izdüşüm matrisleri nedir? Onlar gerçekdir. Yani, onlar simetrikdir, yani özdeğerleri gerçekdir. Fakat buna ek olarak, özdeğerlerinin ne olması gerektiğini biliyoruz.

Bir izdüşüm matrisinin özdeğerlerinin ne olması gerekir? Bakın, özdeğerlerinin hakkında fikrimiz olan güzel bir matris. Demek ki bir izdüşüm matrisinin özdeğerleri sıfır ve birdir.

Sıfır ve bir, sadece.

Çünkü P kare P’ye eşittir, bu matrise P diyelim, böylece P^2 =P, lamda kare eşit lambda, çünkü P’nin özdeğerlerinin karesi lambda kare dir ve dolayısıyla lambdanın sıfır veya bire eşit olması gerekir.

Tamam. Şimdi c’nin hangi değeri burada çalışır? Yani, öyleyse, uyan bir takım değerler var, ve ne çalışır? c eşit sıfır olur, veya başka ne olur? c eşittir iki. Çünkü eğer c iki ise, ikiye bölünce, bu iki özdeğeri bir olacak, ve aynı şekilde diğer özdeğer de, yani c eşittir iki. Pekala, koşulları sağlayan şeyler bunlar, ve özvektörlerin dik olması gerçeği bize uzun bir yol kat ettirdi, buraya kadar.

Eğer onlar dik olmasalardı, o zaman simetri olmazdı, pozitif tanımlı olmazdı, izdüşüm olmazdı.

Ama özvektörleri dik, böylece iş özdeğerlere bakmaya kaldı. Pekala, böylece bu bölümün geniş bir tekrarını yapmış olduk. Şimdi, Tekil Değer Ayrıştırmasına atlayayım mı, ve sonra üçüncü konu olarak tekrarlamak için? Pekala, öyle yapalım.

Buraya atlayalım. Pekala.

Ve şimdi Tekil Değer Ayrıştırması, veya herkesçe bilindiği şekliyle TDA. Ve bu A’nın dik çarpı köşegen çarpı dik çarpanlara ayırma işi.

Ve bunlara her zaman U ve sigma ve V-devrik denir.

Pekala. Buradaki temel nokta --her matris için olur, her A, her A.

Dikdörtgensel, fark etmez ne olursa olsun bu ayrıştırma vardır.

Şimdi bu çok önemli. Ve buradaki ana nokta A-devrik A gibi şeylere bakmak. A-devrik A’lara ne olduğunu hatırlıyor muyuz? Eğer şunu devriğini alırsam V sigma devrik U devrik elde ederim, yeni A ile çarparak, bu U, sigma V devrik, ve sonuçda V dış tarafta, U devrik U birim matris çünkü o bir dik matris. Sonunda elimde kalan sigma devrik sigma ortada, o bir köşegen, belki dikdörtgensel çarpı onun devriği, yani sonuç bu dik, köşegen, dik. Böylece, sanıyorum aslında bu A devrik A için TDA.

İşte bakın dik, köşegen, ve dik.

Çok güzel. Ama bir kaç şey daha var burada. A-devrik A için, fark şu ki dik olan şeyler aynı.

Bu V ve V- devrik. Burada ne görüyorum? Simetrik bir matrisin çarpanlarına ayırmayı görüyorum.

Bu şey simetrik. Yani simetrik, bu durumda U ve V aynı bu simetrik matris için, ve şüphesiz bunun olduğunu görüyoruz.

Dolayısıyla bu bize, hemen V’yi verir.

V A-devrik A’nın özvektör matrisi.

Tamam. Şimdi, ben bu konuyu anlatırken burada olsaydınız, tekil değer ayrıştırması konusunu işlediğimde, hatırlardınız ki zor duruma düşmüştüm. Bunu hatırladığımdan biraz üzgünüm, ama oldu işte. Pekala.

Bu nasıl olmuştu? Önce çok iyiydim, çok iyi gidiyordum. Şöyle ki A-devrik A’nın özvektörlerini bulmuştum. Güzel.

Tekil değerlerini buldum, onlar nelerdi? Tekil değerleri nelerdi? i numara tekil değer, veya ---bunlar sigmadaki şeyler ---bu KÖŞEGEN içinde sigma numarası ile. Bu köşegen sigma bir, sigma iki, mertebeyi yükseltelim, sigma r şunlar sıfır olmayanlar. Böylece şunları buldum, ve onlar ne? Onlar bana neyi hatırlatıyor? Şey, işte onların karesinin alındığını görüyorum; yani onların karesi A-devrik A’nın özdeğerleri.

Güzel. Böylece kare kökünü alırım, eğer A-devriğin özdeğerlerini arıyorsam ---eğer sigmaları arıyorsam ve onları biliyorum, kare-kökünü alırım, artı kare-kökünü. Pekala.

Nerede zor duruma düştüm? Şey, sonra, son adımım U’yu bulmaktı. Ama kitabı okumadım.

Yani, pratik olarak doğru bir şey yaptım, fakat -- şey, zannederim pratik olarak doğru tam uygun değil. Pekala, yani düşündüm ki. Pekala, A A-devriğe bakacağım. A A-devriğe baktığımda ne oldu? Şuraya yazıvereyim ki görebileyim. Pekala, şimdi A A-devrik burada. Yani şu U sigma V-devrik. Güzel. Ve sonra ortada tekrar birim matris var, yani herşey güzel görünüyor.

U sigma sigma-devrik, U-devrik.

İyi. Çok güzel, ve şimdi U’nun şu SÜTUN özvektörler, yani U şu şeyin özvektör matrisi. Bu doğru idi, yani bunu iyi yaptım. Nerede bir hata oldu? Bir işaret yanlış oldu. Bir işaret yanlış oldu çünkü ---şimdi, şimdi görüyorum, aslında dersten sonra bana birisi söyledi, bu tanımlamadan özvektörlere hangi işareti vereceğimizi bilemeyiz. Eğer matrisin özvektörleri bunlarsa, yani bana bir özvektör verirseniz ve ben bütün işaretlerini değistirirsem gene başka bir özvektör elde ederiz.

Yani saptayamadığım şey özvektörler için seçmiş bulundugum işaretler (ve yüzde elli şansım vardı ama şansım yaver gitmedi), onlardan birinin işaretini değiştirmem gerekiyordu.

Yani, buradan özvektörü veya onun eksisininden hangisinin doğru olduğunu söyleyemem.

Böylece gidilecek doğru yol, işaretleri kararlaştırdıktan sonra, ve V’leri de -- hangi işaretin doğru olduğunu bilmiyorum, ama birini seçerim.

Ve sonra, bunun yerine, bana hangi işareti seçmem gerektiğini söyleyecek olanı seçmeliydim, kuralı A çarpı V eşittir sigma çarpı u. Böylece V’yi belirledikten sonra A ile çarparım, sigma faktörünün çıktığını farkedeceğim ve orada bir birim vektör olacak, ve şimdi bunun tam olarak ne olduğunu biliyorum, ve sadece bir işaret değişikliğine bakmıyorum. Yani bu iyi ve şüphesiz, bu TDA’nın temel noktasıdır.

Ana fikir şu ki köşegenleştirdik, şu A defa V’lerin matrisi eşittir U defa sigmaların köşegen matrisi. Şu şununla aynı.

Pekala, böylece geçmisteki dersdeki işaret hatasını düzeltmiş gibi olduk.

Ve bu tamamladı ki, bu TDA’nın nasıl hesaplandığını tamamladı, Şimdi, kısa sınavda, soracağım – şey, belki finalde.

Önümüzde kısa sınav ve final var.

Bazen, matrisi veririm ve TDA’yı hesaplamanız istenebilir --ana panoya, şimdi, geri döneyim ---veya, size parçaları verebilirim. Ve size matris hakkında bir şey sorabilirim. Mesela, farz edin ki size sordum, aa, diyelim, size sigmanın ne olduğunu söyledim --- Pekala.

Bir örnek verelim. Farzedin sigma şöyle -- yani bütün bu nasıl hesaplandığını gösterir.

Ama şimdi, farzedin size bunları verdim. Farzedin sigmayı verdim, mesela, üç iki.

Ve size dedim ki U’nun iki sütunu var ve V’nin iki sütunu var. Pekala.

Şunlar dik SÜTUNLAR, şüphesiz çünkü U ve V dik. Ben sadece sizi TDA üzerinde düşünmeye yöneltiyorum, çünkü onun hakkında sadece bir derste konuştuk, -- ve bir ödevde.. Burada ne tip bir matrisimiz var? Bu matris hakkında ne biliyorum? Şimdi tek bildiğim şey onun tekil değerleri, şu sigmalar üç ve iki, ve görebildiğim tek ilginç şey onlar sıfır değil. Biliyorum ki bu matris tekil DEĞİL, değil mi? Şu tersi alınabilir, hiç sıfır özdeğeri yok, ve hiç sıfır tekil değeri yok, şu tersi alınabilir, ikiye-iki tekil olmayan tersi alınabilir, güzel bir matris için tipik bir TDA vardır. Eğer gerçekte matrisi vermiş olsaydım, U’ları ve V’leri bulmanız gerekiyordu, şimdi konuştuğumuz gibi. Fakat, işte.

Şimdi, bu iki, eğer iki olmasaydı da --peki, çok bir uç örnek vereyim, burada ---farz edin o eksi beş olsaydı. Bu yanlış, hemen belli. Bu bir tekil değer ayrıştırması değil, değil mi? Tekil değerleri negatif değil.

Yani bu bir tekil değer ayrıştırması değil, ve unutun onu. Pekala.

Şimdi size şu soruyu sorayım.

Bana bu matris hakkında ne söyleyebilirsiniz? O tekil, değil mi? Ortasında tekil bir matrisi var, ve bakalım, yani pekala, o tekil, belki bana söyleyebilir misiniz, A’nin rankı ne? O açıkça ---birisi hemen söylesin ---bir, teşekkürler.

Rankı bir, yani sıfır uzayı ---sıfır uzayı boyutu ne? Bir. Değil mi? Böylece rankı bir olan iki’ye iki’lik bir matrisimiz var. Dersin başından beri ilgilendiğimiz bütün konular hala yanıbaşımızda.

Bu temel uzayların boyutları hala ön planda, ve onların bazları da burada. Şimdi, bana sıfır uzayda olan bir vektör verebilir misiniz? Ve sonra bu TDA hakkında söyleyeceğim son söz olacak. Bana sıfır uzayda olan bir vektör verebilir misiniz? Yani ne ile çarparsam sıfır elde ederim burada? Sanıyorum cevap belki v2. Sanıyorum belki v2 sıfır uzayda, çünkü sanıyorum şu sıfır özdeğeri ile giden özvektörü olmalı. Evet.

Şuna bir bakalım. Ve size A devriğin sıfır uzayını sorabilirim. Ve size SÜTUN uzayını sorabilirim. Ve bütün bunlar.

Her şey TDA’dan çıkıyor. TDA’nın hesaplaması biraz daha uzun sürüyor, ama bir matris hakkındaki bir çok şeyi gösteriyor.

Pekala, TDA hakkında sorusu olan var mı? O zaman başka konulara geçeyim.

Şimdi bakalım. Benzer matrislerden konuştuk, bakayım başka bir şey var mı? Pekala. Bir doğru yanlış sorusu, yani bunu kolayca yapabiliriz. Evet.

Soru. A verilmiş. A simetrik ve dik.

Pekala. Böyle güzel matrisler her zaman karşımıza çıkmaz. Şimdi onun özdeğerleri hakkında ne diyebiliriz? Gerçekten, şüphesiz.

Burada iki öneml matris sınıfı var, ve onların kesişimine bakıyoruz.

Şimdi bunlar zarif matrisler, ve onların özdeğerlerinin ne olabileceği konusunda bana ne diyebilirsiniz? Özdeğerleri ne olabilir? Simetrik bir matrisin özdeğerleri hakkında ne biliyorum? Lambda gerçek. Dik bir matrisin özdeğerleri hakkında ne biliyorum? Evet. Belki hiç bir şey.

Olamaz. Dik bir matrisin özdeğerleri hakkında ne biliyorum? Peki, ne doğru gibi geliyor? Burada biraz içgüdüye dayalı matematik kullanırsak, dik bir matrisin özdeğerlerinin uzunluğunun bir olması gerekir.

Dik matrisler döndürmeler gibidir, ONLAR UZUNLUKLARI DEĞİŞTİRMEZLER, yani dik olunca özdeğerleri bir.

Size neden böyle olduğunu göstereyim. Neden? Evet matris, ona dik olduğu için Q diyeyim. Q x eşittir lambda x’e bakarsam, bu şeyin uzunluğunun bir olduğunu nasıl görebilirim? İki tarafın da uzunluğuna bakarım.

Uzunluğu alıyorum, uzunluğu alıyorum, bu büyüklük her ne ise onun x uzunluğu ile çarpımı.

Ve Q dik bir matris ise Q x’in uzunluğu nedir? Bu bilmeniz gereken bir şey.

x’in uzunluğu ile aynıdır.

Dik matrisler uzunlukları değiştirmezler.

Yani lambda’nın bir olması gerekir. Doğru.

Pekala. Bu hafızamıza kaydetmemiz gereken bir şey, tekrar karşımıza çıkabilir. Pekala. Şimdi şu sorunun cevabı nedir, özdeğerlerinin ne olması gerekir? Sadece iki seçenek var ve biri bir ve diğeri ---diğer seçenek -- eksi bir olması gerekir, evet, çünkü bunların büyüklükleri doğru ve onlar gerçek. Pekala.

Teşekkürler.

Doğru mu, yanlış mı? A’nın pozitif tanımlı olması gerek. Evet, bu güzel bir matris, ama gerçekten pozitif tanımlı olması gerekir mi? Hayır.

Eğer bir özdeğeri eksi bir olsaydı, pozitif tanımlı olmazdı.

Doğru mu, yanlış mı? Hiçbir tekrarlanan özdeğeri yok. Bu da yanlış. Gerçekte, eğer üçe-üç kadar büyükse tekrarlanan özdeğerler olacak, bu c’lerden biri, bunlardan biri, en azından, tekrarlanması gerekir.

Elbette. Tekrarlanan özdeğerleri var, ama köşegenleştirilebilir mi? Bunun çok, bir çok tekrarlanan özdeğerleri var.

Eğer elliye elli ise, gerçekten içinde çok tekrarlar var. Köşegenleştirilebilir mi? Evet. Tüm simetrik matrisler, bütün dik matrisler köşegenleştirilebilir.

Ve, aslında özvektörleri dik bile seçilebilir. Yani o, mesela sanki bir Q ile en iyi şekilde köşegenleştirilebilir, ve her hangi bir S değil. Pekala.

O tekil olmayan mı? Simetrik dik bir matris tekil olmayan mıdır? Kesinlikle.

Dik matrisler her zaman tekil olmayandır.

Ve, belli ki hiç sıfır özdeğerimiz yok. Kesinlikle köşegenleştirilebilir mi? Evet.

Şimdi, son bir adım ---A’nın yarısı artı I’nın A olduğunu gösterin -- yani, A’nın yarısı artı I’nın bir izdüşüm matrisi olduğunu ispatlayın. Pekala. Bakalım, nasıl yaparım? İki yol görebiliyorum.

İzdüşüm matrislerinin özellilklerine bakabilirim, onlar nedir? İzdüşüm matrisleri simetriktir. Evet, bu gerçekten simetrik, çünkü A öyle. Ve diğer özelliği nedir? Karesini alırsam, umarım aynı şeyi elde edeceğim. Yani bunu yapabilir miyim, karesi ve aynı şeyi elde etmeyi? Evet karesini alırsam, A-karenin dörtte biri artı iki A artı I, değil mi? Ve soru şu, bu şey kendisine eşit olması ile uyuyor mu? A’nın yarısı artı I.

Aa, sanırım A-kare hakkında bir şey bilmek istiyorum. A-kare nedir? Problemimiz bu. A-kare nedir? Eğer A simetrik ve dikse, -- A simetrik ve dik. Bize verilen bu, değil mi? O simetrik ve dik. Öyle ise A-kare nedir? A-kare I’dır çünkü A kere A -- eğer A kendisinin tersine eşitse, yani A defa A ile A defa A’nın tersi aynı ise ki bu I. Demek ki buradaki A-kare eşittir I olur.

Şimdi bulduk. İki birim matris bölü dördümüz var, çok güzel, ve iki A bölü dördümüz var, çok güzel. Pekala.

Yani rahatça izdüşüm matrisi olduğu ortaya çıktı.

Ve gene diyebilirdik ki, peki, bu şeyin özdeğerleri nelerdir? A’nın yarısı artı I’nin özdeğerleri nelerdir? Eğer A’nın özdeğerleri bir ve eksi birse, A artı I’nin özdeğerleri nelerdir? Şu kalan otuz saniyeyi takip edin. Eğer A’nın özdeğerlerini biliyorsam, ve birim matrisi eklersem, A artı I’nin özdeğerleri sıfır ve iki olur. Ve sonra ikiye bölersem, özdeğerleri sıfır ve bir olur. Öyle ise simetrik olur, doğru özdeğerleri var, o bir izdüşüm matrisidir.

Pekala, özdeğerler ve özel matrisler hakkında bir çok şey gördünüz ve kısa sınav bunlar üzerinden gelecek. Pekala, sınavda bol şanslar.