MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 30

Tamam, bu dersin konusu doğrusal dönüşüm. Aslında doğrusal cebir dersleri bu konuyla başlardı, derse doğrusal dönüşümlerle yeniden başladığımı söyleyebilirsiniz.

Bir çok derste bunlar matrislerden önce gelirdi. Doğrusal dönüşüm mantığı matrisler olmadan da anlamlıdır, ve fizikçiler ve diğerleri bazıları o yolu daha çok sever. Koordinatları sevmezler.

Bu sayıları istemezler. Tüm uzayda ne olduğunu görmek isterler. Fakat, çoğumuz, eğer herhangi bir şey hesaplayacaksak, sonunda koordinatları kullanırız, ve sonra her doğrusal dönüşüm bizi bir matrise götürür.

Ve sonra, sıfır uzayı, satır uzayı, determinant, özdeğerler ile yaptığımız herşey --hepsi matristen gelir.

Ama, arkada ---başka bir deyişle, bunun gerisindeki fikir, doğrusal dönüşüm fikridir. Bir doğrusal dönüşüm örneği vermeme izin verin. Tamam, örnek.

Örnek 1. Bir izdüşüm. Bir izdüşümü matris olmadan da tanımlayabilirim, hiç bir matris hakkında hiç bir şey bilmeden, bir izdüşüm tanımlayabilirim. Örneğin bu öyle bir doğrusal dönüşüm olsun ki, mesela, bütün R^2 yi düzlemdeki her vektörü düzlemdeki bir vektöre götürsün. Bu insanların bir fonksiyon tanımlama yoludur. Her vektörü alır ama hangi kuralla? Peki kural şu --işte bir düzlem, bu benim doğrum olsun, evet doğrum olsun, ve her vektörün bu doğrunun üzerine izdüşümünü alacağım. Eğer b gibi bir vektör alırsam --ya da vektör v olsun şimdilik ---izdüşüm --doğrusal dönüşüm, bu vektörü T(v) olarak verecek. Yani T --fonksiyon gibi.

Kesinlikle bir fonksiyon gibi. Bana bir girdi verin, dönüşüm çıktıyı oluştursun.

Dönüşüm için bazen fonksiyon kelimesi kullanılır. Girdiler ve çıktılar arasında bir eşleme. Bu belirli bir fonksiyon, bu bir örnek, her vektörü alan bir izdüşüm --burada, başka bir v vektörü alalım, ya da w vektörü olsun, T(w) nedir? Oldu mu? Burada koordinatlar yok.

Eksenleri çizdim, ama çizdiğim için üzgünüm, hepsini sileceğim, bütün olay eksenlere ihtiyacımız olmadığıdır. Sadece --bunları burdan silelim, ben fizikçi değilim, eksenleri çizdim. Girdi w, izdüşümün çıktısı, doğruya izdüşüm, T(w). Tamam.

Şimdi birçok T dönüşümü düşünebilirim.

Ama bu doğrusal cebir dersinde, bunun bir doğrusal dönüşüm olmasını istiyorum. İşte doğrusal dönüşüm olma kuralları. Burada, tamamen, vektörlere uygulayabileceğimiz iki operasyon, toplama ve skalerle çarpma, dönüşüm bu operasyonlara göre özel davranır.

Örneğin, izdüşüm bir doğrusal dönüşümdür çünkü, mesela şunu denemek istersem, eğer v ‘nin iki katını alırsam, izdüşüm de iki katına çıkar.

Eğer v’yi eksi v’yi aliırsam --eğer v’yi eksi v’ye çevirirsem, izdüşüm de eksilisi olur.

Yani c, 2’ye eşit, yada c, -1’e eşit yada herhangi bir c olur. Aslında bu gördüklerinizi birleştirip tek bir ifade şeklinde yazabilirim. Dönüşüm herhangi bir doğrusal bileşime ne yapar, T(v) ve T(w)’nun aynı bileşimini oluşturmalı. Biraz düşünelim --yani, aslında bir dönüşümün doğrusal olup olmadığını anlamak zor değil.

Şimdi size bir örnek vereyim, siz de cevabı söyleyin. Dönüşümüm şu olsun --işte diğer örnek, örnek iki.

Bütün düzlemi kaydır. İşte bütün vektörlerim, düzlemim ve düzlemdeki bütün v vektörlerim, onu kaydırıyorum -- diyelim ki 3, v0 kadar kaydırıyorum.

Bütün düzlemi v0 kadar kaydır. Düzlemdeki her vektör, bu v idi, T(v) = v+v0 olacak. İşte T(v).

Bu v0. Burada da v var.

Ve bu da T(v). Dönüşümün ne yaptığını gördünüz mü? Bu vektörü alır ve ona ekler. Ona belli bir vektör ekler.

Evet, bu gayet mantıklı görünüyor, basit bir dönüşüm ama doğrusal mı? Cevap hayır, doğrusal değil.

Hangi kural çiğnendi? Belki her iki kural da çiğnendi.

Bakalım. Eğer v’nin uzunluğunu iki katına çıkarırsam, dönüşüm iki kat büyük bir şey mi üretir? --T(v) iki katına çıkar mı? Hayır.

Eğer v’nin uzunluğu iki katına çıkarsa, bu dönüşüm altında sadece aynısını ekliyorum --aynı v0’yu, iki v0 değil, ama her vektör için sadece bir v0 dolayısı ile dönüşümün iki katını elde etmiyorum. Ne dediğimi anladınız mı? Eğer bunun iki katını alırsam, dönüşüm de orada başlar ve sadece bir v0 kadar gider, T(v)’yi iki katına çıkarmaz. Aslında bir doğrusal dönüşüm --T(0) nedir? Bu özel bir durum gibi ama gerçekten önemli. Sıfır vektörü bir doğrusal dönüşümde mutlaka sıfıra dönüştürülmeli.

Hareket edemez, çünkü buradan herhangi bir v al --neden T(0)’nun sıfır olduğunu görebilirisiniz. v sıfır vektörü olsun, c de 3 olsun. o zaman T(0), 3 T(0)’ya eşit olur, T(0) sıfır olmalı.

Tamam. Bu örnek gerçekten bir örnek değil. Bütün düzlemi kaydırmak bir doğrusal dönüşüm değil. Ya da kare içeren bir formül yazarsam, ya da şu dönüşüm yine örnek olmaz, peki ya herhangi bir vektörü alıp uzunluğunu veren dönüşüm? Herhangi bir vektörü alan bir dönüşüm var, mesela, R^3 herhangi bir vektör --bu gösterimi yeniden kullanmayı deneyeceğim.

R^3 te herhangi bir vektörü alan bir dönüşüm düşünün ve bu sayıyı veriyor olsun.

Öyleki R^1 in bir elemanı diyebilirim, mesela eğer istersem.

Ya da sadece gerçek sayılar. Bu kesinlikle doğrusal değil.

Sıfır vektörünün sıfıra gittiği doğru.

Ama eğer bir vektörü ikiyle çarparsam uzunluğu iki katına çıkar, bu doğru. Ama bir vektörü -2 ile çarptığımı düşünün. Uzunluğuna ne olur? İki katına çıkar. -2 ile çarpılmaz. O zaman, eğer c = -2 olacaksa o koşulu sağlayamam.

T(-v), -v değil --eksi, uzunluk, sadece uzunluğa eşit. Tamam, bu yüzden bu da örnek değil. İzdüşüm bir örnekti, başka bir örnek vereyim.

Burada kalabilirim ve --bu da bir doğrusal dönüşümdür, bir döndürme.

Ne kadarlık diyelim? 45 derece yapalım mı? Tamam mı? Ve yine, bunu seçeyim, bu bir eşleme düzlemdeki bütün vektörlerden, düzlemdeki bütün vektörlere tanımlı olan, ve sadece --işte burada girdi vektörü v, ve 45 derecelik döndürmeden çıkan vektör ise sadece bunu 45 derece döndürerek elde ediliyor, T(v).

Bütün vektörler döndürüldü. Bunu koordinatlar olmadan da anlatabileceğimi gördünüz. Ve doğrusal olduğunu da.

Eğer v’nin iki katını alırsam, döndürmede de sadece iki katı olur. Eğer v+w varsa ve eğer herbirini döndürüp toplarsam, cevap toplayıp döndürdüğümle aynı olur. Bu da doğrusal dönüşüm demek. Tamam, bunlar iki tane örnekti.

İki örnek, izdüşüm ve döndürme, ve doğrusal dönüşüm olan başkalarını da bulabilirim; öyle ki henüz matrislerden bahsetmedim. Aslında, kitapta doğrusal dönüşümü tanımlayan bir resim var --aslında kitabın kapağındaki resim. Bu bölümde, 7.1’de şunu düşünebiliriz --aslında, şimdi şu doğrusal dönüşümü alalım, döndürmeyi mesela kitabın kapağında olduğu gibi R^2 deki bir ev’i ele alalım.

Bunun yerine R^2 de küçük bir ev alayım. Bu bir sürü nokta verir. Doğrusal dönüşümün ana fikri, bir kerede herşeye ne yaptığını görebiliyor olmam.

T(v)’nin ne olduğunu görmek için her seferinde sadece bir vektör almak zorunda değilim, evin çerçevesindeki bütün vektörleri alabilirim ve nereye gittiklerine bakarım.

Aslında bu bana bütün evin nereye gittiğini gösterecek.

Peki bahsettiğimiz doğrusal dönüşüm ne yapacak? Bütün ev dönecek, sonuçta ise eğer çizebilirsem, ev şuraya gidecek.

Tamam. Başka örnekler vereyim. Matris içeren bir örnek vereyim. Örnek üç --bu önemli --bir matris içeriyor, genelde buna A matrisi deriz.

Dönüşüm A ile çarpma olsun.

Burada bir dönüşüm var. Aslında bir dönüşümler ailesi var, çünkü bu basit kurala göre her bir matris bir dönüşüm oluşturuyor; sadece her vektörü o matrisle çarpmak yeterli, ve doğrusaldır, değil mi? Doğrusal, A çarpı v ye bakalım --A çarpı (v+w), Av+Aw’ye eşit ki iyi oldu, ve A çarpı vc de cA(v)’ye eşit.

Kontrol edin. İkisi de doğru.

O zaman bu bir doğrusal dönüşüm. Eğer favori matrisim A ‘yı alıp, düzlemdeki bütün vektörlere uygularsam, bir grup çıktı elde ederim. Bakın, ana fikir, şimdi düşünülmesi gereken büyük resimdir.

Bütün düzlem matris çarpmasıyla dönüştürülüyor.

Düzlemdeki her vektör A ile çarpılıyor.

Bir örnek olarak ev vektörlerine neler olduğuna bakalım. Bu hala düzlemden düzleme bir dönüşüm ve bir A matrisi alayım --eğer bir döndürme matrisi alırsam, doğru resim bu olacak.

Eğer izdüşüm matrisi alırsam, resim de izdüşüm olacak. Başka bir matris alalım. Bir, sıfır,sıfır,-1 matrisini alalım. Eve ne olacak, bütün vektörlere, eğer eve bakarsak görsel olarak canlandırabiliriz --ev bu defa döndürülmeyecek, ne olacak? Bu dönüşümü uygularsam bütün vektörlere ne olacak? Bu matrisle çarpıyorum. Tabii ki bu kolay bir matris, çünkü bir köşegensel matris.

x bileşeni aynı kalıyor, y bileşeni işaret değiştiriyor, yani evin çatısı, şu nokta, çatının ucu, yerinde kalan bir x bileşeni var ama y bileşeni ters dönüyor, aşağıya doğru.

Ve tabii ki, sonuçta ev baş aşağı geliyor.

Şimdi, koymalıyım --kapı nereye gelecek? Bence kapı da baş aşağı gelecek, değil mi? İşte girdimiz, işte ev girdisi ve bu da çıktı. Tamam.

Doğrusal dönüşüm matris çarpımının bir çeşit soyut anlatımı gibidir.

Burada amacımız ne? Amacımız doğrusal dönüşümleri anlamak, bunun yolu da arkada yatan matrisi bulabilmekten geçer.

Gerçekten fikir bu. Arkada yatan matrisi bul. Bunu yapabilmek için de koordinatları kullanacağız.

Bir taban seçmek zorundayız. Bütün hikaye şu --eğer bir doğrusal dönüşümümüz varsa --şöyle başlayalım -- elimizde bir doğrusal dönüşüm olsun --Mesela --bundan sonra T doğrusal dönüşüm demek olsun.

Doğrusal olmayanlarla ilgilenmeyeceğim.

Sadece doğrusal olanlarla ilgileniyorum.

Tamam. T doğrusal dönüşümü ile başlıyorum. Girdileri R^3’teki vektörler olsun -- ve çıktıları da R^2’deki vektörler olsun mesela. Tamam.

Daha fazla ilerlemeden şunu sorayım, böyle bir dönüşüm örneği ne olabilir? Doğru boyuttaki herhangi bir matris olabilir. Peki doğru şekil nedir? Mesela—bir örnek vermek istiyorum, çünkü burada, 3 boyutlu uzayı iki boyutlu uzaya götüren dönüşümlerden bahsediyorum. Ve doğrusal olmalılar, bunu bulmanın kolay yolu matris çarpmasıdır. Örneğin, T(v) herhangi bir Av olmalı. Bu dönüşümler doğrusal, 18.06’nın konusu bu. A’nın boyutu ne olmalı, bu nasıl bir matris olmalı? v’nin 3 bileşeninin olmasını istiyorum çünkü girdiler öyle --bu R^3 teki girdi, ve bu da R^2 deki çıktı.

Nasıl bir matris? Bence bu 2’ye 3’lük bir matris olmalı. Değil mi? 2’ye 3’lük bir matris. R^3’teki bir vektörü 2’ye 3’lük bir matrisle çarpacağız --görüyorsunuz hızla koordinatlara geçiyorum, çünkü gerçek bir fizikçi değilim. R^3 teki bir vektörü 2’ye 3’lük bir matrisle çarpacağız ve bu R^2 de bir çıktı oluşturacak, ve bu bir doğrusal dönüşüm olacak. Tamam.

Bir sürü örnek var, bütün 2’ye 3’lük matrisler bir örnek oluşturur ve temelde, size bunlardan başka örnek olmadığını göstermek istiyorum.

Her doğrusal dönüşüm bir matrisle ilişkilendirilir.

Şimdi tekrar doğrusal dönüşüm konusuna geri dönelim.

Mesela aklımda bir doğrusal dönüşüm olsun ve bunun ne olduğunu anlatmak istiyorum.

Size dönüşümün bir vektöre ne yaptığını söylediğimi düşünün. Tamam.

Tek birşey biliyorsunuz. Tamam. Bu şunun gibi --şimdi bahsettiğim şey, bir dönüşümü bulmak için ne kadar bilgiye ihtiyacınız olduğu.. T’yi bilerek --bütün v’ler, bütün girdiler için, T(v)’yi bilmek için.

Dönüşümün her bir vektöre ne yaptığını bulmak için size ne kadar bilgi vermeliyim? Tamam, size dönüşümün -- o zaman bir v1 vektörü alırım, özel bir vektör, dönüşümün buna ne yaptığını söylerim--güzel. Ama şimdi dönüşümün tek bir vektöre ne yaptığını biliyorsunuz.

Tamam, bu kadar yeter, şimdi başka bir vektöre ne yaptığını söyleyin dersiniz.

O zaman, tamam, bana bir vektör verin derim, v2 vektörünü verirsiniz ve şunu görürüz, dönüşüm v2’ye ne yaptı? Şimdi, sadece şunu --ya da sadece dönüşümün bu iki vektöre ne yaptığını mı bilirsiniz? Şunu sormalıyım --bütün uzaydaki her bir vektör hakkında, ya da v1 ve v2’ye ne yaptığını bilerek, dönüşüm hakkında ne diyebilirsiniz? Dönüşümün bu iki vektör dışında, daha büyük bir grup vektöre ne yaptığını bilebilirsiniz; çünkü her doğrusal bileşime ne yaptığını biliryorsunuz. v1 ve v2’yi taban alan düzlemdeki bütün vektörlere ne yaptığını bilirsiniz. v1 ve v2’nin bağımsız olduklarını kabul ediyorum. Eğer bağımlılarsa, eğer v2, v1’in 6 katıysa, T(v2) ile size yeni bir bilgi vermiş olmam, zaten 6T(v1)’in ne olduğunu biliyor olursunuz. Nereye varmak istediğimi görebilirsiniz. Eğer dönüşümün tabandaki her bir vektöre ne yaptığını bilirsem, her şeyi bilebilirim. Yani bütün vektörler için T(v)’yi bilmek için ihtiyacım olan şey herhangi bir taban T(v1), T(v2), T(vm)’ye kadar bilmek,-- ya da vn olabilir --v1’den vn’e kadar olan bir taban. Bu tabana herhangi bir --girdi tabanı diyebilir miyim? Girdi uzayının tabanı olsun.

T’nin üzerinde çalıştığı şeyler. Şunu anladınız mı? Eğer girdi uzayının bir tabanını biliyorsam ve dönüşümün taban vektörlerinden her birine ne yaptığını söylersem, -- size vereceğim bütün bilgi bu, bütün v’ler için T(v)’yi bulmanıza yeter, çünkü neden? Çünkü her v, taban vektörlerinin bir bileşimidir, c1v1+...+cnvn, bu taban demek, değil mi? Uzayı gerer.

Eğer T’nin buna ne yaptığını bilirsem ve v2’ye ne yaptığını, vn’ye ne yaptığını, o zaman T’nin v’ye ne yaptığını bilirim.

Doğrusal olduğu için, c1T(v1) artı, nokta, nokta, nokta, artı cnT(vn). Başka seçenek yok.

Bu yorumun ana fikri şu, eğer T’nin tabana ne yaptığını bilirsem --tabandaki her vektöre, o zaman doğrusal dönüşümü bilebilirim. Doğrusal olma özelliği diğer bütün vektörleri verir. Diğer bütün çıktıları.

Tamam. Şimdi, elimizde -- bunun ışığında doğrusal dönüşümde gerçekte neye ihtiyacımız olduğunu gördük, ve şimdi matrislere geçmeye hazırız.

Tamam. Hangi aşama bizi koordinatlara bağlı olmayan bir doğrusal dönüşümden koordinatlara göre oluşturulmuş bir matrise götürür? Matris koordinat sisteminden gelecek.

Bunlar koordinatlar. Koordinat demek bir taban seçilmiş demek. Bir taban seçtiğinizde --koordinatlar oradan gelir.

Bir taban seçtiğinizde, bütün vektörler, o tabandaki koordinatlar bunlardır. v’yi tabandaki vektörlerin bir bileşimi şeklinde ifade edebilmenin sadece ve sadece tek bir yolu vardır, ve o bileşimde kullandığınız sayılar da koordinatlardır.

Şöyle yazayım. O zaman koordinatlar nelerdir? Koordinatlar bir tabandan gelir. Koordinatlar bir tabandan gelir.

v’nin koordinatları, -- v’nin koordinatları bu sayılardır ve size v’de tabandaki her bir vektörden ne kadar bulunduğunu verir.

Eğer tabanı değiştirirsem, koordinatlar da değişir, değil mi? Şimdiye kadar hep standart tabanla çalıştığımızı kabul etmiştik, doğru mu? Bu tabanda, koordinatları pek düşünmeyiz, çünkü eğer v vektörü 3, 2, 4’ e eşit dersem, otomatikman --doğru olarak --standard tabanı düşünmüş olursunuz; bu vektör 3 çarpı birinci koordinat vektör, 2 çarpı ikinci ve 4 çarpı üçüncüye eşit.

Ama bitmedi --aklımda başka bir taban da olabilir. Bu standart taban gibi. Ve koordinatlar vektörün içinde duruyor.

Ama farklı bir taban seçmiş olabilirdim, örneğin bu bir matrisin özvektörleri olabilir ve diyebilirim ki, tamam, bu mükemmel bir taban, bu matrisin özvektörlerini taban vektörlerim olarak kullanacağım.

Bu üçü olmak zorunda değil, başka bir taban.

O bir örnekti, bu gerçek birşey, koordinatlar bu sayılar, bir daha gösteriyorum, her tabanın vektördeki ağırlığı. Tamam.

Eğer bir doğrusal dönüşümü tanımlayan bir matris oluşturmak istersem, artık bunu yapmaya hazırım. Tamam. Şimdi yapmayı planladığım bir A matrisi oluşturmak, öyle ki bana bir doğrusal dönüşümü, T doğrusal dönüşümünü versin.

Tamam. Dönüşümle başlayacağım --bir izdüşüm ya da döndürme olabilir, veya bu evin uzayda farklı bir hareketi, ya da n boyutlu uzaydan --ya da m boyutlu uzaydan n boyutlu uzaya bir dönüşüm olabilir.

n’den m’ye, sanırım. Genellikle, T’yi biliriz, bir şekilde n boyutlu uzayı m boyutlu uzaya dönüştüreceğiz, bütün olay şu, eğer n boyutlu uzayın bir tabanı varsa --iki tabana ihtiyacım olacak sanırım. Girdileri tanımlamak için bir girdi tabanına ve koordinatları --çıktı için tabanı sayıları bulabilmek için bir çıktı sayılarına ihtiyacım var.

O zaman iki tane taban seçmeliyim.

Girdiler için v1’den vn’ye bir taban seç, girdiler için --R^n’den geliyorlar. Dönüşüm her n boyutlu vektörü alıp bir m boyutlu vektöre götürüyor.

Bir çıktılar tabanı seçmeliyim, ona da w1’den wm’ye diyeceğim. Bunlar da R^m’deler.

Tabanı seçince, bu matrisi oluşturur --artık koordinatlarla çalışıyorum demektir. R^n deki her bir vektörün, her girdi vektörünün birkaç koordinatı var.

Yaptığım şey bu, yaptığım şey bu.

Kelimelerle anlatabilir miyim? Bir v vektörü alırım.

Onu taban cinsinden yazarım ve koordinatlarını bulurum. Bu koordinatları doğru A matrisiyle çarparım ve bu bana çıktı tabanındaki çıktıların koordinatlarını verir.

Yazsam daha iyi, söylemesi güç.

Ne istiyorum? -- Doğrusal dönüşümün yaptığını yapacak bir A matrisi istiyorum. Ve bunu bu tabanlara göre yapacak. O zaman matris --varsayalım ki --bakın, bir örnek ele alayım. İzdüşüm örneğini alalım.

İzdüşüm örneği. Mesela --çünkü bu var elimde --aklımızda izdüşüm olsun --buraya uyarlayabilirim. İşte izdüşüm örneği.

İzdüşüm örneğinde n ve m’yi 2 olarak alıyorum.

Dönüşüm düzlemi alır, düzlemdeki her bir vektörü alır, -- düzlemi çizeyim, bunun bir düzlem olduğunu hatırlıyoruz --burada da üzerine izdüşüm yapacağım şey var, üzerine izdüşüm yapacağım doğru --dönüşüm düzlemdeki her bir vektörü alır ve bu doğru üzerindeki izdüşümünü verir. Bu izdüşümdür, o zaman izdüşüm alacağım.

Tamam. Ama, standard tabandan daha çok seveceğim bir taban seçeceğim. Bu taban -- aslında, girdiler ve çıktılar için aynı tabanı seçeceğim, ve taban --ilk taban vektörüm doğrunun üzerinde olacak.

Bu benim ilk taban vektörüm. Bir birim vektör olsun, doğrunun üzerinde. Ve ikinci taban vektörüm de bu doğruya dik olan bir birim vektörü olacak.

Bunu çıktı tabanı olarak da kullanacağım. Şimdi size soruyorum, burada matris nedir? Matris nedir? Bu izdüşüm dönüşümünü bu tabana göre nasıl tanımlarım? Tamam? Kural neydi? Herhangi bir v vektörü alırım, bu birinci ve ikinci taban vektörlerinin bir bileşimi olur. Şimdi T(v) nedir? Girdi şu olsun --mesela girdi v1 olsun.

Çıktı nedir? v1’dir, değil mi? İzdüşüm bunu yalnız bırakır.

Şimdi izdüşümün birinci taban vektörüne ne yaptığını biliyoruz, bu bunu yalnız bırakır. İzdüşüm ikinci taban vektörüne ne yapar? Onu yok eder, sıfıra götürür. O zaman, bu izdüşüm bir bileşime ne yapar? Bu kısmını yok eder, ve bu kısmı, yalnız bırakır.

Şimdi bütün yapmak istediğim matrisi bulmak.

Şimdi bir girdi olarak c1 c2 koordinatlarını alan ve çıktı olarak c1 0’ı veren matrisi bulmak istiyorum. Onu bu taban içinde görebilirsiniz, girdinin koordinatları c1 ve c2 idi, çıktının koordinatları da c1 ve 0.

Tabii ki bunu yapan matrisi bulmak zor değil. Bunu yapan matris 1, 0, 0, 0 matrisidir.

Çünkü eğer girdiyi bu A matrisi ile çarparsam --A çarpı girdi koordinatları --çıktı koordinatlarını bulmayı umuyorum. Ve çarpma bize ne veriyor? Doğru cevabı elde ettim, c1 ve 0. Ana fikir ne? Birincisi, bu işi yapan bir matris var. Eğer bir doğrusal dönüşüm varsa, koordinatsız, koordinat yok, o zaman girdiler için bir taban seçerim, çıktılar için de bir taban seçerim, ve işi yapan bir matris olur.

Peki iş ne? Girdi vektörleriyle çarpmak ve çıktı vektörlerini oluşturmak.

Şimdi, bu örnekte --tekrar edeyim, girdi tabanı ile çıktı tabanı aynıydı.

Girdi ve çıktı tabanlarının biri doğrumuz yönünde, diğeri de doğruya dik. Aslında bunlar izdüşümün özvektörleridir. Sonuç olarak, matris köşegensel çıktı. Aslında, lambda olarak ortaya çıktı. Bu iyi bir taban gibi. İyi -- özvektör tabanı iyi bir taban, şu matrisi verir --özdeğerlerin köşegen matrisi lambdayı verir, bu örnekteki gibi; doğrusal dönüşümün özvektörleri ve özdeğerleri doğru boyunca ve doğruya diklerdi. Özdeğerler 1 ve 0 idi, bu da elde ettiğimiz matris.

Tamam. Şuna benzer, seçebileceğiniz en iyi matris bir fizikçinin yapacağı seçenektir, en sonda yapacağı --gönülsüzce en sonda yapacağı koordinatları kullanmak, seçilen koordinatlar, özvektörler iyi koordinatlardır, çünkü eğer bu izdüşümü standart tabanda yaparsam -- ki yapabilirdim, değil mi? Bütün herşeyi standart tabanda yapabilirdim --en iyisi deneyeyim, eğer yapabilirsem. Ne diyorduk --şimdi size hangi doğru üzerine izdüşüm alacağımızı söylemeliyim.

45 derece açı yapan doğru olsun. 45 derecelik doğru üzerine izdüşüm yapıyoruz ve özvektör tabanını değil, standart tabanı kullanıyoruz. Standart tabanda, v1 1,0’a eşit, ve v2 de 0, 1e. Yine çıktılar için de aynı tabanı kullanacağım. Sonra şunu yapmalıyım --bir matris bulabilirim, bu herzaman düşündüğümüz matris olacak, izdüşüm matrisi olacak. Aslında, bu matris 4’üncü bölümde öğrendiğimiz matris, ne diyordum bu matrise --hatırlıyor musunuz? P, a, a’nın devriği bölü a’nın devriği a idi. Bence, bu örnekte, bu 1/2 , 1/2, 1/2, 1/2, çıkacak. Formülümüzden çıkacak matris bu olacak bence. İşi yapacak olan matris bu. Eğer bu girdiyi verirseniz, 1 0, çıktı ne olur? Çıktı 1/2, 1/2 olur. Ve bu doğru izdüşüm olmalı. Eğer size 0, 1 girdisini verirsem, çıktı yine 1/2, 1/2 olur, yine izdüşüm. O zaman matris bu, tabii köşegensel değil, çünkü iyi bir taban seçmedik, pratik bir taban seçtik.

Evet, ders uygulamada pratik tabanlarla ilgili, sadece elimizdeki matrisle uğraşıyor. Ve bu kötü bir matris değil, simetrik, ve P kare P’ye eşit, bütün bunlar iyi.

Ama en iyi tabanda, P karenin P’ye eşit olduğunu görmek zor değil, ve simetrik ve köşegensel.

O zaman ana fikir bu, şimdi bir matrisle bir dönüşümü nasıl ilişkilendirdiğimi anladınız mı? İyisi mi kuralı yazayım, kuralı yazayım.

A matrisini bulma kuralı. Tamam, ilk sütun.

A’yı bulmak için bir kural, elimizde tabanlar var.

Tabii ki, yapamayız --çünkü tabanların ne olduğunu bilmeden matrisi oluşturmanın yolu yok.

Elimizde girdi tabanı var ve çıktı tabanı, v1’den vn’ye, w1’den wm’ye. Bunlar verildi.

Şimdi, A’nın ilk sütununda,bu sütunu nasıl bulurum? Matrisin ilk sütunu. Bu bana ilk taban vektörüne ne olduğunu söylemeli.

O zaman kural, doğrusal dönüşümü v1’e uygula. İlk taban vektörüne.

Ve şimdi, şunu yazacağım --bu çıktı, değil mi? Girdi v1, Çıktı nedir? Çıktı, çıktı uzayındadır, bunların bir bileşimi, ilk sütuna giden bir bileşim -- izin verin --kelimelere dökeyim --yine kelimelerle anlatayım. Bu matrisin nasıl bulunduğunu. İlk taban vektörünü al. Dönüşümü uygula, sonra bu çıktı uzayında, T (v1), bu çıktıların bir bileşimidir, bu çıktı tabanının.

Bu bileşim, bileşimdeki katsayılar ilk sütunu oluşturacak --a1, a satır 2, sütun 1, w2, a m1, wm.

Matrisin ilk sütunundaki sayılar burada.

İkinci sütunu bulurken ana noktayı vurgulayayım.

A’nın ikinci sütunu. Ana fikir ne, şimdi? İkinci taban vektörünü alırım, buna dönüşümü uygularım – bir çıktı bulurum, -- bu, çıktı tabanının bir bileşimi olur --ve bu bileşim matrisin ikinci sütununu oluşturacak birkaç sayıdır.

Tamam. Ve böyle devam eder.

Bir matris elde ettim, ve elde ettiğim matris doğru işi yapar. Şimdi, bu yolla oluşturulan matris, matris çarpımı kurallarını kullanarak çıktı.

Eğer size girdi koordinatlarını verirsem sonuç bu olacak, ve matrisle çarparım, bunların çıktısı A çarpı girdi koordinatları -- doğruca çıktı koordinatlarını verir. Bu neden doğrudur? İlk sütunu kontrol edelim.

Girdi koordinatlarının 1 ve sıfırlardan oluştuğunu varsayalım.

Bu ne demek? Girdi nedir? Eğer girdi koordinatları 1 ve diğeri --ve geri kalanı sıfırsa, o zaman girdi v1’dir, değil mi? Koordinatları bir ve tümü sıfırlardan oluşan vektördür.

Tamam? A’yı bu vektörle çarptığım zaman, A’nın ilk sütununu elde edeceğim, bu sayıları elde edeceğim. Ve eminim ki, bunlar T(v1)’in çıktı koordinatlarıdır. Bunu ilk sütunda doğruladık, ikinci sütunda doğruladık, tabandaki bütün vektörlerde doğruladık , ve o zaman her bir vektörde doğru olmak zorunda. Tamam.

Burada doğrusal dönüşüm için bir matris resmi var. Sonunda, size başka bir --farklı bir doğrusal dönüşüm vereyim.

Türev alan doğrusal dönüşüm.

Bu bir doğrusal dönüşümdür. Girdi uzayının c1 artı c2x artı c3x kare’nin bütün bileşimi olduğunu düşünün.

O zaman taban bu basit fonksiyonlardır.

O zaman çıktı nedir? Türevdir.

Çıktı türevdir, çıktı c2+2 c3 x’dir.

Çıktı tabanı olarak, 1 ve x vektörlerini alalım.

O zaman türevle, üç boyutlu girdi uzayından 2 boyutlu çıktı uzayına gidiyoruz. Hiç türevin doğrusal olduğunu düşündünüz mü, bilmiyorum.

Ama eğer doğrusal olmasaydı, türev almak sonsuza dek sürerdi, değil mi? Fonksiyonların türevlerini kesin olarak bulabiliyoruz, çünkü onun bir doğrusal dönüşüm olduğunu biliyoruz, eğer bir kaç fonksiyonun türevini öğrenirsek, sinüs x, cosinüs x, ve e üzeri x gibi, birkaç fonksiyon daha, -- bunların bütün bileşimlerini de alabiliriz ve bütün türevleri bulabiliriz.

Tamam, peki matris nedir? Matris nedir? Bu girdi vektörleriyle çarpılacak matrisi istiyorum --girdi koordinatları, ve çıktı koordinatlarını verecek. Sadece düşünüyorum, tamam, bunu yapan matris nedir? Matris oluşturma kurallarımı izleyebilirim, ya da matrisin ne olduğunu görebilirim.

Bu ikiye üçlük bir matris olmalı, değil mi? Ve matriste --sadece düşünüyorum, ne istiyorum? Hayır --buraya yazayım. Matrisimden ne istiyorum? Bu matris ne yapmalı? Evet, ilk çıktıda c2 elde etmek istiyorum, o zaman sıfır, bir, sıfır bunu yapar. 2c3 elde etmek istiyorum, o zaman sıfır, sıfır, iki bunu yapar. Bu tabanların ve koordinatların doğrusal dönüşüm matrisi budur. Anladınız, bütün olay, ters matris doğrusal dönüşümün tersini verir, iki matrisin çarpımı iki dönüşüm çarpımının doğru matrisini verir --matris çarpımı gerçekte doğrusal dönüşümlerden gelir.

Bu konuyu Şükran gününden sonraki Pazartesi ele almak daha iyi olur.

Umarım iyi bir tatil geçirirsiniz.

Umarım pastırma yazı devam eder.

Tamam, Pazartesi görüşürüz.