MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 3

Şimdiye kadar matris çarpımı yaptım, ancak şimdi sıra matris çarpımları ile ilgili kuralları tartışmaya geldi.

Ve ilginç olanı, bunu bir sürü yoldan yapabilmeniz ve sonucun da hep aynı olması.

Ve hepsi de önemli. Şimdi matris çarpımını, sonra da matris’in tersini bulmayı işleyeceğiz. Daha önce matrisin tersinden söz ettik. O büyük iş.

Matris tersi ile ilgili yapacak çok şey var.

Şimdilik matrisin çarpımı ile başlayacağım.

İlk yönteme bakalım. Bir A matrisi ile bir B matrisini çarptığımızı düşünelim --- bu bana bir sonuç verecek --- buna C diyebilirim. A çarpı B.

Tamam, şimdi şu eleman için kurala bakalım. Bu i’ci satır ve j’ci sütunundaki eleman. Bu i j girdisi.

Tam burada C i j var. Her zaman önce satır sayısını, sonra sütun sayısını yazarız. Demek ki --- belki C 3 4 ü alacağım, belirgin bir şeyle çalışmak için.

i j diyeceğime şimdi C 3 4 sayılarını kullanayım. Şimdi bunun nereden geldiğine bakalım, 3 4 girdisi nereden geldi? Satır 3’ten işte burada --- satır 3 ve sütun 4’ten geliyor, bildiğiniz gibi.

Sütun 4. Ve ben şimdi veya biz şimdi bunun için bir formül yazabilir miyiz? C_34.. Bütün satıra ve bütün sütuna bakarsak, hızlıca söylemek için, A’nın 3’cü satırı --- ve skaler çarpımı için nokta işareti kullanabilirim. Aslında bunu pek sık da kullanmayacağız. Nokta B’nin dördüncü sütunu.

Bu bize basit bir matris notasyonu kullanma şansı veriyor. Girdiler ne? Üçüncü satırdaki ilk eleman ne? İşte şurada duran sayı...

a, iki endeksi var ve bunlar ne? 3 ve 1. Demek ki burada bir 3 1 var.

Şimdi 4’üncü sütundaki ilk eleman ne? Burada duran ne? b 1 4. Doğru.

Demek ki skaler çarpımı a31’ ile b14 çarpımı ile başlıyor. Ve sonra da sırada ne var? Bu sanki bir toplama derlemesi gibi, sonra öteki adım geliyor, a32, ikinci sütun, çarpı b24, ikinci satır.

Demek ki a32 çarpı b24 ve sonra bu şekilde devam eder.

Şimdi biraz endekslerle alıştırma yapalım. Hatta toplama formülü ile de alıştırma yapayım. Demek ki bu --- dersin çoğunda, vektörlere bütün olarak bakacağım. Nadiren, bu özel elemanların detaylarına gireceğim ancak şu anda yapsak iyi olur. Bu bir çeşit toplama, değil mi? Üçüncü satır ve sütun k’da bulunanların toplamı, çarpı satır k ile, sütun 4’te bulunanlar. Bunun, şurada gördüğümüz şeyin olduğunu farkettiniz mi? Burada k bir , şurada k = 2 ve boylu boyunca…toplam satır boyunca, ve diklemesine sütun boyunca 1’den n’ye kadar gidiyor. c34 elemanının ne olduğu burada görülüyor. a3k çarpı bk4’ün toplamı.

Bunu yapabilmek biraz da alışkanlık ister.

Peki, belki de şimdi şunu söylemeliyim --- biz bu matrisleri ne zaman çarpabiliyoruz?

Bunların şekli ne? Bunların şekli ne olmalı? Eğer ille de kare olmaları zorunluluğu yoksa.

Eğer kare iseler, o durumda aynı boyutta olmak zorundalar. Eğer dikdörtgensel iseler, aynı boyutta olamazlar. Dikdörtgensel iseler, şu olabilir, A’yı daima bir m’ye n’lik matris olarak düşünürüm.

m tane satır ve n tane sütun. Demek ki bu toplam n’e gider. Şimdi önemli olan ne? B’nin kaç satırı olmalı? n tane. B’deki satır sayısı, aşağı doğru saydığımız adam sayısı, karşı taraftakilerle uyumlu olmalı. Demek ki n, nxbirşey olmalı. Neyse ne.

Herhangi bir P. Demek ki şuradaki sütun sayısı, buradaki satır sayısına eşit olmalı. Ve sonuç ne olur? Sonucun şekli ne olur? C’nin şekli ne, sonucun şekli? Bakın, şu aynı sayıda m satırı var.

Ve kaç tane sütun? P tane.

m’ye p. Güzel.

Demek ki m çarpı p tane sayı var şurada, girdiler ve her biri şuna benziyor.

Tamam, bu standart kural.

İnsanlar matris çarpımından bunu anlıyor.

Ben de öyle. Ancak ben aynı probleme başka şekilde de bakmak istiyorum, sütunun tümünü alarak ve satırın da tümünü alarak. Tamam.

Demek yine A B C’yi yapabilirim. A B eşittir C. Ancak şimdi söyleyin bakalım... Şuraya yazmaya çalışacağım.

Şimdi yine burada A kere B, C’yi veriyor.

Ve yine bu bu m x n. Bu n x p, bu da m x p. Peki.

Şimdi sütunlara bir bütün olarak bakacağım. Şimdi şunun sütunlarına bakacağım ---şimdi matris çarpımının ikinci yolu. Şimdi bildiklerimin üstüne eklemeler yapacağım. Bir matrisi bir sütunla nasıl çarparım? Bu matrisi bu sütunla nasıl çarpacağımı biliyorum. Birinci sütun diyeyim mi? Bu bana cevabın birinci sütununu verir.

Matris çarpı ilk sütun, şuradaki birinci sütunu verir.

Çünkü bunlardan hiçbiri cevabın bu bölümüne girmiyor.

Matris çarpı ikinci sütun, cevabın ikinci sütunu olur. Ne söylediğimi görüyor musunuz? Bir matrisle bir vektörün çarpımını düşünebilirim; bunu nasıl yapacağımı zaten biliyorum ve P tane sütunun yan yana durduğunu düşünebilirim, birbirinin yanında duruyorlar. Ve bunların her birini A ile çarpıyorum. Ve cevabımda p sütun elde ediyorum. Buna şöyle bakabiliyor musunuz? Bu oldukça güzel, öyle düşünebilmek, peki; matris çarpımına şöyle bakmak, eldeki bir kaç sütunu, A ile çarpıp, sonucun sütunlarını elde etmek gibi görebilmek.

Örneğin, burada sütun bir var, sütun 1 diyeyim mi? Ve şuraya giden, A çarpı sütun 1.

Tamam. Bu teker teker alınan sütunların resmi. Bana dediği ne? Bu resim bana şu sütunlar hakkında ne diyor? C’nin bu sütünlarının bileşimi, çünkü bunu daha önce gördük, A’nın sütunlarının bileşimi.

Bunların her biri A çarpı şu, A çarpı bir vektör, A’nın sütunlarının bileşimi olur.

Ve bu mantıklı, çünkü A’nın sütunlarının uzunluğu m ve C’nin sütunlarının uzunluğu da m.

C’nin her bir sütunu, A’nın sütunlarının bir bileşimi.

Ve işte buradaki sayılar bana hangi bileşim olduğunu söylüyor. Bunu görüyor musunuz? Cevapta, C’de, bu sütunların bileşimini gördüğümü fark edebiliyor musunuz? Şimdi buna baktığımı düşünelim --- şimdi iki yöntem oldu. Bir üçüncü yöntem de satırlara göre bakmak. Şimdi de satırlara döneyim.

Şimdi A’nın bir satırını -- A’nın bir satırının, şimdi buradaki tüm satırları çarpıp, çarpımın bir satırını nasıl verdiğini görelim. Bu satır, şu satırların bir bileşimini alıp, buradaki sonucu yaratır.

Bakalım, C’nin bu satırları neyin bileşimi? Bunu nasıl bitireceğimi söyleyeyim. C’nin satırları, bir B matrisim olduğunda onun satırları olacak, ve A ile çarptığımda ne olur? Satırları karıştırır. B’nin satırlarının bileşimini oluşturur. Teşekkürler. B’nin satırları.

Bunu görmek istiyordum, bu bu cevabın --- parçalarının nereden geldiğini görüyorum.

Cevabın satırları, şu satırların birleşimi olarak karşımıza çıkıyor. Cevabın sütunları, şu sütunların karışımı olarak karşımıza çıkıyor.

Demek ki üç yol var. Şimdi doğal olarak, peki dördüncü yol ne diyebilirsiniz. Dördüncü yol --- demek bu --- şimdi elimizde, tıpkı, normal yol, sütun yöntemi, satır yöntemi ve --- ne kaldı? Söyleyebileceğim --- iyi bir yol, sütun çarpı satır.

Çarpınca ne olur. Bu şimdi satır çarpı sütun, bir sayı verdi. Peki.

Şimdi size sütun çarpı satırı sormak istiyorum.

Eğer A’nın bir sütununu B’nin bir satırı ile çarparsam ne şekil elde ederim? Demek ki bir sütun ile bir satırı çarpmak, bir satırla bir sütunu çarpmaktan tamamiyle farklı bir şey.

A’nın bir sütunu --- sütunun şekli neydi? m çarpı1.

A’nın sütunu bir sütun. m elemanı olan tek bir sütun. B’nin bir satırı ne? Tek bir satır ve p tane sütunu var. Şimdi bakalım --- bir sütun ile bir satırı çarptığımda elde ettiğim şekil ne? Bu kez koca bir matris elde ederim. Tam boyutlu bir matris.

Bir sütunu bir satırla çarparsam --- bir tane deneyelim mi? (2, 3, 4) sütunu çarpı (1, 6) satırını alayım. Şuradaki çarpım --- demek istediğim, matris çarpımı kurallarını takip ettiğimde, bu kurallar --- sanki minnacıkmış gibi gözüküyor çünkü şuradaki satırlar kısacık, sütunlar da kısacık ancak aynı uzunluktalar, tek bir eleman.

Bakalım cevap ne? Eğer iki, üç, dört çarpı bir altı yı yaparsam ne elde ederim? Peki cevabın ilk satırı ne olur? (2, 12). Ve cevabın ikinci satırı (3, 18). Ve cevabın üçüncü satırı (4, 24). Bu çok özel bir matris. İşte burada. Çok özel bir matris.

Bunun sütunları hakkında ne diyebilirsiniz, bu matrisin sütunları? Şu adamın katlarıdırlar, tamam mı. Şunun katları.

Ki bu da kuralımıza uyuyor. Dedik ki cevabın sütunları birer bileşim, ancak --- tek bir adam var --- tek bir adamın bileşimi, o da ancak adamın bir katı olabilir.

Matrisin satırları, bu üç satır için bana ne diyebilirsiniz? Hepsi de şu satırın katları. Hepsi de (1, 6)’nın katları, tam da beklediğimiz gibi. Bakın şimdi tam-boyutlu bir matris elde ediyorum. Ve şimdi, bu fikri tamamlamak için --- dördüncü yolu yazayım. A B A’nın sütunları ile B’nin satırlarının çarpımının bir toplamı.

Bir örnek verecek olursak, matrisimin 2, 3, 4 ile başlayıp, sonra da 7, 8, 9 olan bir sütunu daha olsun. Ve şuradaki matrisimin---diyelim ki satırları (1,6) ve (0,0) olsun.

Sonra --- işte dördüncü yolumuz, tamam mı? Şurada iki sütunumuz var. Şurada da iki satırımız var. Demek ki elimizdeki güzel kural --- bakın, satır ile sütun yönteminin yaptığı, şuradaki ilk sütunla birinci satırı çarpıp, buna ikinci sütunla ikinci satırın çarpımını ekliyor. Demek ki dördüncü yol --- sütun çarpı satır yapıyorum, birinci sütunla birinci satır, ikinci sütun ile ikinci satırın çarpımı ve toplama.

Aslında ne elde edeceğim? Bu matris çarpımı için sonuç ne olacak? Bakın, bu bize bir sıfır verecek, demek ki yine şuna geri gittim --- bu cevap, matris çarpımının cevabı. Matris çarpımı ile ilgili bütün bu özellikleri ortaya koymam güzel çünkü şunun gibi özel matrisleri yazmama olanak veriyor.

Bu özel bir matris. Bütün bu satırlar aynı doğru üzerindeler. Bütün bu satırlar, (1,6) noktasından geçen doğru üzerinde. Bütün bu satır vektörlerinin resmini çizmek istesem, hepsi aynı yöndeler.

Bu iki sütunun resmini çizersem, her ikisi de aynı yönde. Daha sonra bu dili kullanacağım. Üstelik çok ta sonra değil. Diyeceğim ki, satır uzayı, ki tüm bu satırların bileşimi, bu matris için sadece tek bir doğru. Satır uzayı (1, 6) vektöründen geçen bir doğru. Tüm satırlar bu doğrunun üzerindeler.

Sütun uzayı da tek bir doğru.

Bütün sütunlar (2, 3, 4) vektöründen geçen doğrunun üzerindeler. Bu gerçekten, olabilecek en küçük, minimal bir matris. Bütün bu, şunlar yüzünden.

Peki bu üçüncü yol.

Şimdi konuyu işlemeye devam ettiğimize göre, matris çarpımı için bir şey daha söylemek istiyorum.

O da şu. Şöyle de çarpabilirdiniz. Matrisi bloklara ayırıp, bloklar cinsinden çarpım yapabilirdiniz. Bu da aslında, oldukça yararlı, onun için bundan da bahsetmek istiyorum.

Blok çarpımı. A matrisini alıp bölebilirdim, örneğin, basit olması için, ikiye böleyim, 4 kare blok’a. Kare olduğunu varsayalım. Güzel bir durum yaratalım. Ve B, bunun da kare ve aynı boyutta olduğunu varsayalım. Bakın, bunların boyutlarının aynı olmaları gerekmez. Ancak tabii ki uyumlu olmalılar. Şimdi de blok çarpımı kuralına bakalım, yani bunun şöyle blokları varsa, A, --- belki A1, A2, A3, A4 şuradaki bloklar, ve şunlar da B1, B2, B3, B4? Ve cevabımda da bir blok olacak. Eğer bana bu blokta ne olduğunu söyleyebilirseniz, bugün bir daha matris çarpımı konusunda tek bir söz etmeyeceğim.

Blokun içinde ne var? Görüyor musunuz? bunlar belki --- bu matris belki ---bu matrisler belki, örneğin 20’ye 20’lik olabilir ve bloklar da 10’a10’luk. Burada eşit boyutlu blokların olduğu kolay durumu ele aldık.

Ve önemli olan bunları bloklar cinsinden çarpabiliyor olmam.

Ve buraya ne gelir? Cevapta şuradaki blok ne olur? A1 B1, bu bir matrisle başka bir matrisin çarpımı ve doğru boyutta, 10’a10’luk.

Başka bir şey var mı? Buraya başka ne gelir?. A2 B3 değil mi? Sanki blok satır çarpı blok sütun yapar gibi. Kimse, Gauss bile bunun çalıştığını anında göremezdi.

Ancak, geriye gidip düşünürsek, tüm 5 yolda da aynı çarpımları yapıp duruyoruz.

İster sütun ister satır ister bloklarla yapalım, sonuçta yaptığımız basit çarpım işlemi.

Şimdi matris çarpımı için tanımlanan kurallara uyumu kontrol edeyim. Tamam. Şimdi ikinci konu için hazırım. Matrisin tersi konusuna geliyoruz.

Matris tersleri için hazırız. Önce kare matrisler için yapayım. Tamam.

Demek ki kare bir A matrisim var. Ve bunun tersi olabilir veya olmayabilir. Her matrisin tersi olmayabilir. Aslında bu soru matrislerle ilgili sorulabilecek en önemli sorulardan biri --- eğer kare olduğunu biliyorsan tersinin var olup olmadığı sorusu. Eğer tersi alınabiliyorsa, “A ters” diye adlandırabileceğim bir başka matris var demektir. Ve --- eğer A’nın tersi varsa --- buradaki “eğer” önemli.

Eğer matrisin tersi varsa, bunun hangi durumlarda var olduğunu bilmek önemli. Ve eğer varsa nasıl buluruz? Şurada daha tamamlamamış olduğum denklemi --- şimdi tamamlamalıyım.

Eğer bu matris varsa, eğer varsa, A ile çarpıp, sanırım birim matrisini elde ederim. Aslında bundan fazlası da var. Bu sanki bir sol ters matris gibi. Ancak sağda da duruyor olabilirdi.

Ancak gerçek --- bir kare matrisin tersi sağ tarafta da yer alabilir. Bu da doğru, yani şu --- eğer varsa --- aslında bu değil --- bu herhalde --- bu pek te ispatlanması kolay birşey değil, ancak bir şekilde işliyor.

Yani sol --- kare matrisler için, soldan alınan ters, sağdan alınan ters ile aynı. Eğer soldan çarpıldığında birim matrisi veren bir matris bulursam, bu aynı matris, sağdan da çarptığımda birim matrisi verir.

Diktörgensel matrisler için sol ters matrisin sağ ters matrise eşit olmadığını göreceğiz. Zaten şekilleri buna olanak tanımazdı. Ancak kare matrisler için bu mümkün ve A’nın tersi varsa bu işler. Peki, şimdi bana bir örnek verin.

Şu noktada olumsuz olmak hoşuma gitmiyor ama, şimdi tersin olmadığı durumdan söz edelim. Demek ki bu matrislere “tersi olan” veya “tekil olmayan” matris denir ---bunlar güzel olanlar. Ve eğer bir matrisiniz varsa, bunun tersinin olup olmadığını bilmeniz gerekir.

En iyisi bir örnek ile başlayalım.

Bir örnek verin, şurada bir örnek oluşturalım.

İkiye iki bir matris alalım, tersi olmayan bir matris ve niye tersi olmadığına bakalım.

Şimdi bir tane yazıyorum. Tersi yok. Niye olmadığını görelim. Bir tane yazayım --- [1, 3; 2, 6]. Bu matrisin niye tersi yok? Bunu farklı şekillerde cevaplayabilirsiniz. Bir tek neden verin.

Eğer determinantları biliyor olsaydınız, bilmeniz de gerekmiyor bu noktada, determinantını alıp, sıfır elde ederdiniz. Tamam.

Peki. Şimdi başka nedenlere bakalım.

Bir matrisin tersinin olmaması için başka nedenler istiyorum. Şurada söylemiş olduğumu bu amaç için kullanabilirdim. Diyelim ki A çarpı diğer matris, birim matrisimizi veriyor. Bu niye mümkün değil? Çünkü --- şurada sütunları düşünüyorum. Bu A matrisini bir başka matris ile çarparsam o zaman --- sonuç --- sütunları için ne diyebilirsiniz? Hepsi şu sütunların çarpımı değil mi? Eğer A’yı başka bir matris ile çarparsam, çarpım sonucundaki sütunlar, şunlardan gelir. Buna göre birim matrisini elde edebilir miyim? MÜMKÜN DEĞİL. Birim matrisin sütunları 1, 0 ... Bunlar şu sütunların bileşimi değiller, çünkü bu iki sütun --- her ikisi de aynı doğru üzerindeler. Tüm bileşimleri bu doğru üzerinde olacak ve dolayısı ile bir ve sıfırı hiçbir şekilde elde edemeyeceğim.

Dolayısı ile tersi olmayan bir matrisin sütun resmini görüyor musunuz? İşte bu diğer nedenlerimizden biri.

Bu hatta daha da önemli bir neden.

Peki neden daha önemli diyorum. Tüm bunlar önemli aslında. Bu şunu görmenin farklı bir yönü sadece.

Bir matrisin tersinin olmaması neden o kadar önemli? Bir matrisin --- bir kare matrisin tersi yoksa, eğer tersini bulamıyorsam --- öyle bir x bulabilirim ki --- bir x vektörü ile A’nın çarpımı, bu A çarpı x, sıfırı verir. Bu benim en sevdiğim neden.

Bu matrisin tersi olmayacak.

Bana söyleyebilir misiniz?

Şimdi öyle bir x vektörü bulun ki Ax=0’ı çözsün.

Bu anahtar soru aslında. Matematikte tüm anahtar denklemlerin sağ tarafında hep sıfır vardır. Demek ki x ne? Şurası için bir x söyleyin --- şimdi ben --- söylediğiniz x’i yerine koyup sıfır elde edeceğim.

Hangi x işimizi görürdü? üç ve eksi bir. Bu seçmiş olduğunuz mu? Pekala.

Veya başka bir tane --- eğer sıfır ile sıfır seçseydiniz, heyecanlanmazdım. Çünkü bu her zaman işler. Demek ki önemli olan bu vektörün sıfır olmaması.

Bu sıfır olmayan bir vektör ve üç ile eksi bir işimizi görüyor.

Söylediği şu. Bu sütunun 3 misli eksi bunun bir misli sıfır sütununu verir.

Şimdi A’nın tersinin alınamayacağını biliyorum.

Ama mantık ne? Eğer Ax sıfıra eşitse, A’yı tersi ile çarptığımı varsayalım. Neden?

Neden şurada. Şurada --- neden bunun ters matrisler için bir felaket olduğunu görelim? Eğer sütunların herhangi bir bileşimi, sonuçta sıfır veriyorsa, o zaman matrisin tersi olamaz. Çünkü Ax=0’ı alıp, A’nın tersi ile çarpabilirdim ve ne elde ederdim? Diyelim ki şu denklemi aldım ve --- eğer A’nın tersi olsaydı (ancak olamayacağı sonucuna varacağım), çünkü eğer olsaydı, şu denklemi o ters matris ile çarpıp x için sıfır değerini bulacaktım.

Eğer A’yı soldan A’nın tersi ile çarparsam x elde ederim.

Eğer sağdakini A’nın tersi ile çarparsam sıfır elde ederim.

Böylece x’in sıfır olduğunu keşfederdim. Ancak x sıfır değil ki.

x --- bu adam, sıfır değildi. İşte burada.

Sonuç üç ve eksi bir. Sonucumuz şu, tabii bu sonuca varmak biraz zaman alıyor --- sonucumuz, tersi olmayan matrislerin, tekil matrislerin sütunlarının bazı bileşimleri sıfır vektörünü verir. Bir x vektörünü sıfıra götürür. Ve A’nın tersinin bulunmasına imkan yok. Bu denklemin söylediği bu.

Bu denklem, bir x vektörünü alıp A ile çarparsam sıfır elde ederim diyor. Ancak sonra A’nın tersi ile çarptığımda sıfırdan kurtuluşum yok.

Demek ki A’nın tersi olamazdı.

Nerede, burada --- peki --- düzeltelim --pekala.

Şimdi şunu alayım --- peki, şimdi olumlu tarafına bakalım.

Şimdi tersinin var olduğu bir matrisi ele alalım. Ve niye tersini almayalım ki?

Peki --- şu üçüncü tahtaya bir matris yazayım --- bununla biraz oynayayım mı? Şimdi bana tersi alınabilir bir matris söyleyin. Peki, 1, 2, 3 --- buraya ne koymalıyım? Altı koymazsanız iyi olur --- sanırım. Burada sevdiğim bir şeyler var mı? Bir? Veya sekiz? Umurumda değil. Ne, yedi mi? Peki yedi...

Yedi uğurlu bir sayı. Pekala, yedi, tamam. Tamam.

Ve şimdi fikir ne? Matrisin tersinin olduğunu düşünüyoruz. Determinantları sevenler çarçabuk determinantını alıp, sıfır olmadığını görmüş olmalılar. Sütun işlemi sevenler, ve bu bölüm pek de popüler değil daha, sütunları sevenler, bu iki sütuna bakıp, hah işte, iki ayrı yöndeler diyecekler.

Şimdi ne söylemek istediğime bakalım. A’nın tersinin nasıl bulunacağına bakalım. Demek ki A’nın tersi --- burada A’nın tersi var, ve şimdi de bulmam gerekir. Ve bu çarpımı yaptığımda elde ettiğim ne? Birim matris. Aslında hep ikiye iki matrisleri aldığım için kusuruma bakmayın --- ama bazen işlemleri kısa tutup, fikrin ortaya çıkmasını sağlamak daha önemli.

Şimdi işlemek istediğim fikir ne? Şu A’nın tersi olan matrisi nasıl bulacağıma bakmam gerek. Şimdi, 4 tane sayı bulmalıyım.

İlk sütuna bakacağım.

Önce şu ilk sütunu alayım, a b.

Şurada ne var? Bana --şunu söyleyin.

İlk sütunun sağladığı denklem ne? İlk sütun sağladığı, a çarpı şu sütun eşittir (1,0).

Cevabın ilk sütununu bulduk. Şimdi ikinci sütun c d, -- A çarpı ikinci sütun eşittir 0,1’i sağlar. Gördüğünüz gibi, matris tersini bulmak iki sistemi bir anda çözmek gibi. Sistemin biri sağ taraf (0,1) olduğunda --- bunu şimdi iki parçaya ayıracağım. Aslında yeniden yazmam bile gerekmiyor. A çarpı --- yapabilirim, şunu buraya koyayım.

A matrisi çarpı ters matrisin j’inci sütunu, birim matrisin j’inci sütununu verir. Elimde n denklem var. Bizim durumumuzda iki denklem var. Her ikisinde de A matrisi var, ancak sağ taraflar farklı. Dikkat ederseniz sağ taraflar birim matrisin sütunları, bu adam ve şu arkadaş.

Ve bunlar da iki çözümümüz.

Ne yaptığımı görüyor musunuz? Denkleme sütunlar açısından bakıyorum. A çarpı bu sütun, şu adamı veriyor, ve A çarpı bu sütun da öteki adamı veriyor. Aslında, bu sanki Gauss gibi --- Gauss’a geri döndük.

Yine bir denklem sistemi çözüyoruz ancak bu kez iki tane sağ tarafımız var. Şu noktada Jordan işin içine giriyor.

Dersin en başında, Gauss Jordan’dan söz ettim, bir kez daha yazayım.

Gauss Jordan fikri şu.

Gauss Jordan iki denklemi aynı anda çözüyor.

Şimdi tekniğin nasıl işlediğini gösterelim. Tek bir denklemi nasıl çözüyorum? Demek ki iki denklem, (1, 3,) ve (2, 7) ve a,b ile çarpıldığında (1,0) veriyor. Ve diğer denklem de aynı şekilde (1,3) ve (2,7) c, d ile çarpılıp (0,1) veriyor. Peki, şimdi ters matrisin iki sütununu söyleyin. Bir matris tersi elde edeceğim. Demek istediğim, eğer bu A matrisini çözebilirsem, eğer şu sağ taraf, ve de şu sağ taraf için de çözebilirsem, demek ki tersi alınabilir, ve demek ki matrisi elde ettim.

Ve Jordan bu noktada Gauss’a, bunları birlikte çözelim dedi. Matrise bakın --- sadece bunu çözersek, [1, 3; 2, 7]’ye bakarsam, sağ tarafa ne yapmam gerekir? Sağ tarafı fazladan bir sütun olarak ekliyorum, tamam mı? Bu genişletilmiş matrisimiz. Bu matris sağ tarafa birlikte baktığımda, sol tarafa yaptığımı aynı anda sağ tarafa da yaptığımda kullandığım matris. Onun için ekstradan bir sütun gibi bakıyorum. Şimdi iki tane sütun daha taşıyacağım. Ve şimdi Gauss’un yapmak istediğini yapacağım. Yok etme işlemini kullanacağım.

Bunu sadeleştirirken, şu bölüm de ters matris’e dönüşecek.

Yok etme adımlarını kullanıp, bunu birim matrise dönüştüreceğim, ve göreceksiniz ki matrisimizin tersi şurada oluşuverecek.

Haydi yapalım bakalım.

Yok etme işlemlerimiz neler? Görüyor musunuz --- burada A matrisim var, şurada da birim matrisi A’ya yapıştırılmış, matris genişletilmiş.

Oh, 2 ve 3 yer değiştirmiyorlar, bunu mu yaptım? Hayır yer değiştirmiyorlar. Özür dilerim.

Pekala. Ve şimdi --doğru yaptım. Tamam.

Şimdi yok etme işlemine geçelim.

Tamam, kolay bir şey yapacağız şimdi. Demek ki şu satırın iki mislini şundan çıkarıyorum.

Bu satır aynı kalıyor, ve şunun iki misli bundan çıkartılıyor. Bu bana bir sıfır ve bir tane 1 veriyor, ve şunun iki misli bundan çıkarttığımda --- yok etmenin ilk adımından sonra elde ettiğiniz bu. Dilerseniz bir şekilde --- sol tarafı sağ taraftan ayırayım.

Yani birinci satırın iki misli ikinci satırdan çıkarılmış oldu.

Bu bize bir üst üçgensel şekil verdi. Gauss burada duralım derdi, Jordan devam etmemizi söylüyor.

Yukarıya doğru yok etme işlemi uygulayalım. Üç’ten kurtulmak için, ikinci satırın bir katını birinci satırdan çıkarmamız gerek. Şimdi hepsini tamamlayalım. Yapacağım şu---bu adam tamam, ancak, şimdi ne yapmam gerekiyor? Matrisin tersini verecek olan son adım ne?

Şunu doğru sayı ile çarpıp, şuradaki üç’ten kurtulmak istiyorum. Sanırım --- bu 1 olduğuna göre, pivot şurada duruyor.

Üçle çarpıp, şundan çıkartıyorum ve elde ettiğim ne? 1, 0 ı elde ediyorum, ve tüm yapmak istediğim de bu zaten. Bunu 3 ile çarpıp şundan çıkaracağım ve 7 elde edeceğim.

Ve şunu da 3 ile çarpıp bundan çıkartıyorum, bu da bana eksi 3 veriyor. Ve ümidim ne? Şurada A matrisi ve birim matrisi ile başlayıp, birim matris ve hangi matrise eriştim. İyisi mi bu A’nın tersi olsun. Gauss Jordan fikri işte bu.

Uzun bir matris ile başla, çift büyüklükte, [A : I], yok etme işlemlerini kullanarak, şurayı I’ya indirge --- ve burası --- belli bir nedenle, ve o nedeni de bulmamız gerekir, A’nın tersi olmalı.

Bunun işlediğinden emin olalım mı? Bakalım, bu matrisi, bu parça çarpı A, A’yı buraya taşıyıp çarpım yapacağım.

Göreceksiniz eski moda yöntemle yapacağım.

Yedi eksi altı biri verir. Yirmibir eksi yirmibir eşittir sıfır, eksi 2 artı 2 eşittir sıfır, eksi altı artı yedi eşittir 1. Kontrol edin.

Demek ki matris tersimiz bu. Bu Gauss Jordan fikri.

Gelecek ders için yapmanız gerekecek ev ödevinde tüm bu aşamaları denemenizi isteyeceğim.

Sanırım Gauss Jordan yöntemini birkaç kez tekrarlamamız gerekecek; mekanizmayı kavramanız için. Ancak asıl önemli olan ne olduğunu anlamak.

Niye, burada A’nın tersini elde ettik? Önce size bunu sorayım. Elimizde şu vardı --- şunu alıyoruz --- satır sadeleşmesi uyguluyoruz, yoketme işlemi yapıyoruz. Bütün bunları genişletilmiş [A : I] matrisi üzerinde yapıyoruz, sol tarafta I ortaya çıkana kadar yapıyoruz.

Matrisin ikinci yarısı ise A’nın tersi.

Peki bunu nasıl görebiliyorum? Bunu nasıl görebildiğimi şuraya yazayım. Şurada, bildiğimiz Gauss Jordan ve buna işlemler uyguluyorum.

Demek ki elimde --- bir sürü E matrisleri var.

Hatırlarsanız bunlar yok etme matrisleri.

Bunlar --- bunlar geçen sefer bulduğumuz sonuçlar. Yok etme işleminin matris şeklinde ifadesi, bazı E’ lerle çarpıyorum.

Ve sonuç --- demek ki bir dizi E ile çarpıyorum. Sonunda da elde ettiğim, sonuç matrise E diyebilir miyim? Bu bizim yok etme matrisimiz, bütün bu küçük parçaların çarpımı.

Küçük parçalar ne demek? Hatırlayalım, şunun iki mislini şundan çıkaran bir yok etme matrisimiz vardı. Sonra da şundan bunun 3 mislini çıkaran bir başka yok etme matrisi var.

Sanırım o durumda bütün yaptığımız buydu.

Demek ki bu durumda yalnızca iki E vardı, biri şu adımı yapıyordu, diğeri de şunu, ve birlikte, her iki adımı da aynı anda yapan E matrisini veriyordu. Ve şimdi bunun ne olması gerektiğini bana söyleyebilirsiniz. Bu olup bitenin bir resmi. Eğer E matrisi A’yı çarparsa, E her ne ise -- -hiç bu şekilde kurgulamamıştık.

Ancak şu E ile çarpımı her ne ise, E çarpı A --- Peki E çarpı A nedir? Birim Matris’tir.

Demek ki şu E, ne Allahın belası ise, A ile çarpılıp bize birim matrisini verdi. Demek ki E --- E çarpı A eşittir birim matris olduğuna göre, E için ne diyebiliriz, demek ki ne olur?

ÖĞRENCİ: A’nın tersi olur.

STRANG: A’nın tersi olur.

Harika. Demek ki E matrisi, ikinci parça olan birim matrisini çarptığında, E verir ve bunun yerine A’nın tersini koyabiliriz. Şimdi resme bu açıdan baktığınızda görüyor musunuz? E çarpı A birim matrisini veriyor. Bu bize E’nin ne olması gerektiğini söylüyor. E’nin ters matris olması gerekir ve dolayısı ile sağ tarafta, E’nin --birim matrisini eklediğimiz bölgede, adım, adım --A’nın tersine dönüşüyor.

Şimdi Gauss-Jordan yoketme yönteminin tanımını verelim.

İşte bir matrisin tersini böyle bulursunuz.

Olaya bir yok etme gözü ile bakabildik, n tane denklemin aynı anda çözümü gibi baktık ve n tane sütun ekleyerek, bu denklemleri çözmek bize A’nın tersinin sütunlarını verdi.

Tamam teşekkürler.

Gelecek Çarşamba görüşürüz.