MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 29

Tamam. Bu ders tekil değer ayırışımı hakkında. Ama herkes buna TDA der.

Bir matrisi en son ve en iyi çarpanlara ayırma yoludur.

Sırada ne olduğunu söyleyeyim. Çarpanlarımız, dik matris, köşegensel matris, dik matris olacak. Bunlar daha önce gördüğümüz şeyler, bunlar özel ve güzel matrisler, dik köşegensel.

Yeni olan, iki dik matrise ihtiyacımız olması.

A herhangi sıradan bir matris olabilir. Herhangi bir matrisin tekil değer ayrışımı vardır, köşegensel olan ortada, ama iki farklı ---muhtemelen farklı dik matrise de ihtiyacım var, bunu yapabilmek için. Tamam.

Ve bu çarpanlara ayırma önem kazanıyor ve aslında, bence, bu dersteki herşeyi de birleştiriyor olacak. Birlikte ele alacağımız bir şey, daha önce çalıştığımız çok güzel bir matris ailesi: simetrik, pozitif tanımlı matrisler olacak.

Bunların hikayesini hatırlıyor musunuz? Simetrik olduklarından, özvektörleri dikdi, dolayısıyla dik matris oluşturabiliyordum ---klasik matrisim. Klasik olan özvektörler ve özdeğerler. Simetriklik olunca özvektörler dik olur, o zaman güzel bir ---sıradan bir S güzel bir Q matrisi oluverir.

Pozitif tanımlı, benim sıradan lambdam da pozitif lamda olur. Bu matrisimiz, simetrik pozitif tanımlı olduğu durumdaki tekil değer ayrışımı ---bu durumda, iki taneye ihtiyacım yok ---U ve V’ye ---her iki taraf için tek bir dik matris yeter.

Bu her zaman uygulanmaz, çünkü genelde özvektör matrisi dik değildir.

Peşinde olduğum da bu değil zaten. Dik, çarpı köşegensel, çarpı dik çözümlemeyi arıyorum. Bunun ne demek olduğunu ve nereden geldiğini anlatayım. Tamam.

Bu ne demek? Herhangi bir doğrusal dönüşümün resmini hatırlıyor musunuz? 18.06 daki en önemli şekil gibiydi.

Şimdi ne arıyorum? Satır uzayındaki tipik vektör, v1 olsun, sütun uzayındaki bir vektöre götürülüyor, bu da u1 olsun.

Yani u1 = Av1. Tamam.

Başka bir vektör buradaki başka bir yere götürülüyor.

Ne arıyorum? TDA’da, tekil değer ayrışımında aradığım, buradaki dik bir tabanın oradaki dik bir tabana dönüştürülmesi.

Bakın bu oldukça özel, satır uzayında dik bir tabana sahip olup, onun dik bir tabana götürülmesi ---bu bir dik açı gibi ve şu bir dik açı ---sütun uzayındaki dik bir tabana gidiyor.

Amacımız bu, şunu bulmak ---bunların nasıl bağlantılı olduklarını görüyor musunuz? İlk önce, satır uzayında dik bir taban bulabilecek miyim? Tabii ki. Dik bir taban bulmak zor değil. Graham -- Schmidt nasıl yapacağımızı söyler. Eski bir tabanla başla, Graham -- Schmidt uygula, sonuç bir dik tabandır.

Ama sonra, eğer eski bir dik taban alırsam, A ile çarparsam, burada dik olması için bir sebep yok. A’nın bu taban vektörlerini alıp oradaki dik vektörlere dönüştürdüğü özel kurguyu arıyorum. Burada sıfır uzayını işe katmadığımı farketmiş olmalısınız.

Neden işe sokmadım? Hatırlayın, genel şeklimizinde küçük bir sıfır uzayı vardı, küçük bir sıfır uzayı.

Ve bunlar problem değil. Bu sıfır uzayları sigma’nın köşegenindeki sıfırlar olarak görünecekler, dolayısı ile bir zorluk çıkarmaz.

Problemimiz bunları bulmakta.

Bunun ne demek olduğunu anlıyor musunuz? Bu şu demek, A çarpı v.ler, v1, v2, ta ki ---satır uzayının boyutu ne? Vr.Pardon, Bu V’yi küçük yapayım ---vr’ye kadar. O zaman ---Av1 ilk sütun olacak, elde ettiğim şey burada.

Oh, bunları sadece dik yapmakla kalmayacağım, neden onları birim dik yapmayayım ki? Onları birim vektörler yapalım. Belki birim vektör burada, u1 ve bu onun bir katı olabilir. Aslında olan şey Av1’in u1’in bir katı olduğu, değil mi? Bunlar birim vektörler ve birim vektörlerin katı olarak gidecekler, bu kata bundan sonra lambda demeyeceğim. Sigma diyeceğim.

Sayı bu --- uzatan sayı.

Aynı şekilde Av2’de sigma2 u2’dir.

Amacım bu. Ve şimdi bunu matris diliyle ifade etmek istiyorum. Bu genel adım.

Ne istediğinizi düşünün ve sonra bunu matris çarpımı olarak ifade edin. Av1 sigma1 u1’di --- aslında şunu yapıyoruz. Şöyle yazayım --- u1,u2’den ur’ye ve sonra sigmalı bir matris. Şimdi herşey tahtanın şu küçük kısmında olacak. Bu denklemin, şu şekille yapmak istediğimi söylediğini görüyor musunuz?

A çarpı ilk taban vektörü sigma 1 kere diğer taban vektörü olmalı ---diğer ilk taban vektörü.

Bunlar satır uzayındaki taban vektörleri, bunlar sütun uzayındaki taban vektörleri ve bunlar da çarpanlar. Av2, sigma2 defa u2, Avr sigma r defa ur’ye eşit. Ve sonra bir sürü sıfırımız var. Belki birkaç sıfır da sonda olacak ama işin özü bu. Şu şekilde ifade edersem ---matris olarak, çünkü bunun geliyor olduğunu gördünüz ---elimdeki bu. Amacım bu, dik bir taban bulmak hatta birim dik --- taban satır uzayında ve sütun uzayında birim dik bir taban, öyle ki bir çeşit köşegenleştirilmiş bir matrisim olsun.

A matrisi köşegensel matris sigmaya dönüştürülmüş gibi. Dikkat etmişsinizdir ki genellikle iki farklı taban seçmek zorundayım.

Simetrik pozitif tanımıyla ilgili ufak yorumum, A Q’nun Q sigmaya eşit olduğu, V ile U’nun Q’ya eşit olduğu durumdaydı. Çoğunlukla,şöyle bir matris alacağım -- şu matrisi alayım, 4, 4, eksi 3, 3. Tamam.

İşte iki’ye iki’lik bir matris. Tersi alınabilir, rankı 2. İki vektör arıyorum, satır uzayındaki v1 ve v2, ve U ---satır uzayındaki v1 ve v2 vektörünü arıyorum, tabii ki R^2 de.

Sütun uzayında u1 ve u2 bulacağım, bu da tabii R^2 de ve sigma1 ve sigma2 sayılarını bulacağım, ki hepsini doğrulasın.

Bunlar birim dik, bunlar birim dik ve bunlar da ölçekleme katsayısı. Matris resmini elde eder etmez bu örneği çözeceğim.

Tamam. Bunun istediğim şeyi verdiğini görüyor musunuz? Sıfır uzayı hakkında sadece iki kelime edebilir miyim? Eğer herhangi bir sıfır uzayı varsa, bunlar için bir taban bulmak isteriz. İşte sıfır uzayı için bir taban, v(r+1)’den vm’ye kadar. Sadece r boyutlu bir satır uzayımız varsa diğer n - r boyut sıfır uzayındadır ---tamam, dik bir ---birim dik taban alacağız. Sorun yok.

Sonra sadece sıfır elde edeceğiz. Aslında, bu sıfırlar köşegensel matriste olacak.

Sonra bu bütün uzayı R^m için birim dik bir tabana tamamlayacağım. Bu bütün uzay R^n için dik bir tabana tamamlayacağım ve bunu sıfırlarla tamamlayacağım. Sıfır uzayı burada sorun değil. Asıl sorun şu şekildeki bir matriste, simetrik olmuyor; bu durumda özvektörlerini kullanamam, dik değiller ---ama bir şekilde bunları dik yapmalıyım ---aslında,birim dik olanlar işe yarar. Bu birim dik olanları bulmak zorundayım, bu birim diklerin ve Av1’in sigma1 u1 olmasını ve Av2’nin sigma2 u2 olmasını istiyorum.

Tamam. Amacım bu. Beni oraya götürecek matrisler burada.

Bunlar dik matrisler. Şunu yapabilirim ---eğer her iki taraftan V’nin tersi ile çarparsam, A eşittir U sigma V’nin tersini elde ederim ve tabii biliyorsunuz ki öbür tarafa da V’nin tersini yazabilirim.

Bu karesel dik matrislerden biri, U sigma V’nin devriğiyle aynı. Tamam. Problemim burada. Burada iki dik matrisim var.

Ve ikisini aynı anda bulmak istemiyorum.

U’ları yok edecek bir ifade bulmak istiyorum. U’ların gitmesini ve sadece V’lerin kalmasını istiyorum.

Bunu şöyle yapacağım. Elimizde genel dikdörtgensel bir matris olduğu zaman, karşımıza çıkan bileşimle aynı, yani A’nın devriği A, bu önemli matris.

Bu önemli bir matris. Bu matris simetrik, aslında pozitif tanımlı veya en azından pozitif yarı-tanımlı. Bu güzel özellikleri olan bir matris, ne yapacak görelim. Eğer devriğini alırsam ne olur ---A’nın devriği A ne çıkar? Ne elde ederim? Devriğini alırsam, V sigma’nın devriği U’nun devriği çıkar, yani A’nın devriği. Ve A ---ne çıktı? Kötüleşti gibi, çünkü 6 şey var, ama hepsi güzel birşeye dönüşecek. U’nun devriği U neye eşit? I, yani birim matrise.

Ana nokta bu . Bu birim matris ve artık U’lar yok. Ve sigma’nın devriği çarpı sigma, bunlar köşegensel matrisler, dolayısıyla çarpımlarının köşegenlerinde sigma kareler olacak.

Ne elde ettik gördünüz mü? V çarpı kolay matris, sigma 1 kare sigma 2 kare çarpı V’nin devriği. Bu A’nın devriği A’ya eşit.

Şuraya yazayım ---A’nın devriği A.

U’lar şimdi görünmüyor.

Sadece V’leri seçmeliyim, ve nedir bu V’ler? Sigmalar nedir? V’lerin ne olduğunu biliyor musunuz? Onlar özvektörler ---bakın, bu mükemmel bir özvektör, özdeğer, A’nın devriği A matrisi için Q lambda Q’nun devriği. A tek başına özel bir matris değil.

Ama A’nın devriği A özel.

Simetrik pozitif tanımlı, bu yüzden bu onun özvektörleri, bu da özdeğerleri olacak.

Ve özdeğerler pozitif çünkü bu şey pozitif tanımlı. Bu benim metodum.

Bu bana V’lerin ne olacağını söyler. Peki U’ları nasıl bulacağım? Bir yolu A çarpı A’nın devriğine bakmak.

A’yı tersten A’nın devriği ile çarp.

O zaman V’ler ortada kalacak ve gidecek, geriye U’lar kalacak. Bütün olay budur. V’ler A’nın devriği A’nın özvektörleri. U’lar da A - A’nın devriğinin özvektörleri ve bunlar farklılar.

Ve sigmalar da bunların karekökü, kökler pozitif dolayısıyla sigmalar pozitiftir.

Şu örnek için çözeyim. Gerçekte bilmeniz gereken ve TDA için yapabilmeniz gereken budur. Tamam. Şu matrisi alayım.

İlk aşama nedir? A’nın devriği A’yı hesapla, çünkü onun özvektörlerini istiyorum.

Tamam. A’nın devriği A’yı hesaplamak zorundayım. A’nın devriği 4, 4, eksi 3, 3 ve A da 4, 4, eksi 3, 3, bu çarpmayı yapacağım ve 16 çıktı ..25 çıktı ..16 eksi 9 ..7 mi? Simetrik olacak. Ve ..tamam, 25 çıktı. Tamam.

Bunun özvektörlerini ve özdeğerlerini istiyorum.

Özdeğerleri V’ler olacak, özdeğerleri sigma kareler olacak. Tamam.

Bunun özdeğerleri ve özvektörleri nelerdir? Bu iki’ye iki’lik matris örneğine özdeğerleri bulacak kadar baktınız mı? 1 1 bir özvektör. Burada A’nın devriği A var. Özdeğerlerini arıyorum. Özdeğerleri, bence 1 1 ve 1 eksi1, çünkü eğer o matrisi 1 1 ile çarparsam ne çıkar? Eğer 1 1 ile çarparsam 32, 32 elde ederim, 32 defa 1 1. Bu ilk özvektör, ve A’nın devriği A’nın özdeğeri var.

Sigmayı bulmak için karekökünü alacağım.

Tamam. Bunun özvektörü ---bunun özdeğeri nedir? Çarpmayı yaparsam, ne çıkar? 1 eksi1 in bir katını elde ederim, o kat ne peki? 18’e benziyor.

Tamam. İki özvektör var ama ---bir dakika, normalleştirmedim bunları. Herşeyin tamamen doğru olması için bu özvektörleri normalize etmeliyim, uzunluklarına bölmeliyim, kök 2.

Bütün bunlar doğru birim vektörler, tabii ki normalleştirme 32 ve 18’i değiştirmedi.

Tamam. V’leri bulduk.

V’ler burada. Şimdi parçaları birleştireyim. A burada.

A burada. A’yı tekrar yazayım.

Eğer doğruysa, U’yu bulmalıyız, henüz bilmiyoruz -- U’yu henüz bilmiyorum, ama sigmayı şimdi biliyorum. Sigma nedir? U sigma V’nin devriğini bulmaya çalışıyorum.U, köşegensel olan adam, ve V’nin devriği.

Tamam. Doğru çıktı mı bakalım. Sigmalar neydi? Bunların kare kökleri.

Yani kök 32 ve kök 18. sıfır sıfır. tamam. V’ler nedir? Bu ikisi.

Devriğini almalıyım ---belki sadece 1’ler kalır ---o satırda 1 bölü kök 2 ve diğeri de 1 bölü kök2, eksi1 bölü kök 2.

Sonunda, U’ları bulmak istiyorum.

Aslında, bunu yapmanın bir yolu ---bütün diğer parçaları bildiğim için hepsini birleştirebilirim ve U’ları bulabilirim. Ama A A’nın devriğinden bulayım. Tamam.

Şimdi U’ları bulalım. u1 ve u2. Neydi onlar? A A’nın devriğine bakıyorum ---A , U sigma V’nin devriğine eşitti, ve devriğini alırsam V sigmanın devriği U’nun devriği çıkar.

Sadece tersten yapıyorum, A çarpı A’nın devriği, iyi tarafı ne? Ortada,V’nin devriği V, birim matris olacak. Bu da sadece U sigma sigma’nın devriği, sigma kareli bir köşegensel matris ve U’nun devriği. Ne görüyorum? Burada yine, bir simetrik pozitif tanımlı veya en azından yarı -- tanımlı matris görüyorum ve onun özvektörlerini ve özdeğerlerini görüyorum.

Eğer A A’nın devriğini hesaplarsam, özvektörleri U’dakiler olacak.Tamam, o zaman A A’nın devriğini hesaplamalıyım. Bence şuraya gitmeliyim -- biraz yukarı kaldırabilir miyim? Belki biraz daha ve A A’nın devriğini bul.

A neydi? 4, 4, eksi 3, 3. A’nın devriği neydi? 4, 4, eksi 3, 3.

Bu çarpmayı yaptığımda, ne elde edeceğim? 16 ve 16, 32. Bu da sıfır çıkacak.

Oo, şanslıyız, bu da 18 çıktı.

A A’nın devriği şansımıza köşegensel çıktı, o zaman kolayca özvektörlerini ve özdeğerlerini bulabiliriz.

O zaman,özvektörler ---A A’nın devriği matrisinin ilk özvektörü nedir? Sadece 1 0, ve çarpmayı yapınca 32 çarpı 1 0 çıktı. Diğer özvektör ise sadece 0 1 ve şununla çarpınca 18 çıktı.

Bu A A’nın devriği. Şununla çarpmak, 32 A A’nın devriğini verdi. Bununla çarpmak 18’i verdi. Öncelikle, yine 32 ve 18 elde ettim. Şaşırdım mı? Bilirsiniz, bu tabii ki bir kaza değil. A A’nın devriğinin özdeğerleri, bunun özdeğerleriyle tamamen aynı—A’nın devriği A ‘nınkilerle.

Sürpriz olmadı. AB’nin özdeğerleri ile BA’nın özdeğerleri aynıdır. Güzel bir gerçek, çarpmanın sırasını değiştirince özdeğerler değişmiyor. O zaman 32 ve 18’i görmek sürpriz değil. Ne öğrendim ---ilk olarak sayısal doğruluğun kontrolünü yapmalıyım, ama şimdi bu özvektörleri öğrendim, aslında olabildikleri kadar güzeller. Bu en iyi dik matris, birim matris.

Tamam. İddiam şu, bütün bunlar birbiriyle uyumlu, sayılar doğru çıkmış olmalı. Sayılar doğru olmalı, çünkü matris çarpımları istediğimiz özelliklere sahipler.Tamam.

Kontrol edelim mi? Burada birim matris, birşey yapmaya gerek yok ---kök 32 şu sırayla çarpılıyor, kök32 bölü kök2, kök 16’ya eşittir, 4 doğru mu? Ve kök 18 bölü kök2 de, kök9 çıkar, ki o da 3, ama ---Profesör Strang, sorunu gördünüz mü? Neden oldu ---tamam. Burada neden eksi 3 3 elde ettim ve burada da 3 eksi 3 çıktı?

Nedeni bilmiyorum. Bunun olmaması gerek ama oldu. Şimdi, tamam, diyebilirsiniz ki sadece ---oradaki özvektör ---şu özvektörün eksi işareti burada olmalıydı, bu da değil sanırım.

Tamam. Bir yerlerde ufak bir noktayı kaçırdım ve çarşambaya kadar göremeyebilirim.

Bu da size çarşamba günü derse gelmeniz için önemli bir sebep oldu, işaret farkını yakalamak.

Nerede hata yaptım? Sanırım özvektörleri, V’nin devriği olan matrise koydum ---tamam, düşünmeliyim. Neden ters işaretler çıktı? Gördünüz ---yani, eğer orada bir eksi olsaydı, doğru olacaktı ama bunu istemiyorum. Sigma karenin köşegenlerinde pozitif elemanlar istiyorum. Tamam.

Bulacağım, ama, şimdi bu örneği bitirmeyeceğim. Tamam.

Bu kayan tahtanın güzelliği de bunları saklayabiliyor olmam. Bunu yapmayayım, yine de. İkinci bir örnek yapalım.

Matrisin tekil olduğu ikinci bir örnek yapalım.

O zaman rankı 1.Tamam, ikinci bir örnek olarak A matrisi yine dikdörtgensel olacak--- 4, 3, 8, 6 olsun.

Tamam. 1 ranklı bir matris.

Bir sıfır uzayı var ve sadece bir boyutlu satır uzayı ve sütun uzayı var. Aslında, resim bu matris için kolay olacak, çünkü bunun satır uzayı ne?Bu ikiye ikilik.

Resimlerin ikisi de iki boyutlu.

Satır uzayı 4, 3 vektörünün bütün katları.

Bütün ---satır uzayı tek bir doğrudur, değil mi? Satır uzayı bu. Ve sıfır uzayı, tabii ki bu dik doğru. O zaman bu matrisin satır uzayı 4, 3’ün katları. Tipik satır. Tamam. Bu sütun uzayı nedir? Bu sütunlar 4, 8; 3, 6; 1, 2 nin katları.

Sütun uzayı, o zaman, bu yönde olur. Yani sütun uzayı ---sütunlara baktığım zaman, sütun uzayı ---sadece bir boyutlu, çünkü rankı bir.. 4, 8 in katları. Tamam.

A’nın devriğinin sıfır uzayı nedir? Şu dik olan. Bu A’nın sıfır uzayıydı, bu da A’nın devriğinin sıfır uzayı.

Tamam. Burada söylemek istediğim şey, satır uzayı ve sütun uzayı için bu dik tabanları seçmek sorun değil.

Onlar sadece bir boyutlu. O zaman V ne olmalı? V öyle ki ---v1, ama ---evet, v1, aslında ---v1 görünüşe bakılırsa bir birim vektör.

Burada sadece bir v1 seçmeliyim, satır uzayında tek bir boyut. Bunun birim vektör olmasını istiyorum. O zaman v1 ---bu vektör olacak, ama birim vektör olması için, 4 ----- onda 8, onda 6. 5’te 4, beşte üç. u1 ne olacak? u1 oradaki birim vektör olacak.

4 8 i ya da 1 2 yi birim vektöre dönüştürmek istiyorum, o zaman u1—bakalım, eğer 1 2 olursa 1 2 nin hangi katını almalıyım? Boyu kök5, o zaman kök 5’e bölmem gerek. Haydi bu matrisin tekil değer ayrışımını tamamlayayım.

Matrisimiz, 4 3 8 6 ---u1’in ne olduğunu biliyorum ---A burada ve U’nun sütun uzayının tabanı olmasını istiyorum. Ve bununla başlamalı 1 bölü kök5, iki bölü kök5. Sonra sigma istiyorum.

Tamam. Sigmanın ne olmasını bekliyoruz? Sadece 1 ranklı bir matris.

Tek bir sigma1 bekliyoruz, bulmalıyım ki, ama bunlar sıfır. Tamam.

Peki sigma 1 nedir? Şu olmalı ---sigmalar nereden geliyor? A’nın devriği A’dan geliyorlar --- şu küçük hesaplamayı orada yapabilir miyim? A’nın devriği A 4 3 --- 4 3 8 6 çarpı 4 3 8 6. Bu daha iyi ---1 ranklı bir matris, ne çıkacak ---hepsinin rankı 1 olacak bu 16 ve 64, 80; 12 ve 48, 60; 12 ve 48, 60; 9 ve 36 ,45. Tamam.

1 ranklı bir matris. Tabii ki.

Her satır 4 3 ün bir katı.

Ve öz ---bu matrisin özdeğerleri nedir? Bu hesaplamak pratik yapmak gibi, -- şimdi.

Bu bir ranklı matrisin özdeğerleri nedir? Bana bir özdeğer söyleyin, rank 1 olduğu için özdeğerlerin biri sıfır olacaktır.

Diğer özdeğerin 125 olacağını biliyorsunuz. Bu sigma kare, değil mi? A’nın devriği A’daki. Bu 125’in karekökü olacak. Ve en son V’nin devriği ---V’ler ---v1 var, v2 nedir? Oradaki v2 ---bunu nasıl birim dik tabana dönüştürebilirim? v2, sıfır uzayı yönünde.

Buna dik olacak, o zaman 0.6 ve eksi 0.8. Buraya gelecek V’ler bunlar. 0.8, 0.6 ve 0.6 eksi 0.8.

Tamam. Sanırım önce bunu bitirmeliyim. Burada, bütün istediğim birim dik tabanı tamamlamak—oradan gelecek. 2 bölü karekök 5 ve eksi 1 bölü karekök 5.

Daha iyi görünmesi için karekök 5’i matrisin dışına alayım. 1 bölü kök5 defa 1 2 2 eksi 1. Tamam.

Burada—kök5’le birlikte—bu bir dik matris, bu bir dik matris, bu bir dik matris ve rankı da 1.

Şimdi o çarpmayı yaparsam, doğru çıksın diye dua ediyorum. kök5, kök125 le sadeleşir ve geriye kök25 kalır, o da 5, ve bu sayıları 5’le çarparım ve bütün bu sayılar çıkar ve sonuç A olur. Tamam.

Bu ikinci örnek sıfır uzayının nasıl—bu vektör— ve bu vektör ve bu sıfırla çarpıldılar. O yüzden bunlarla başetmek kolaydı.

Önemli olanlar sütun uzayındakiler ve satır uzayındakilerdi. Sütunları nasıl elde ettiğimi anladınız mı? Köşegensel burada, satırlar burada, hepsi birlikte A’yı veriyor.

Tamam, işte bu tekil değer ayrışımı.

Bu konuyu tamamlamak için ekleyeceğim birşey var mı düşüneyim.

İki örnek var. Ne yaptığımızı bir düşünelim. Doğrusal cebirin 4 altuzayı için doğru tabanı seçiyoruz.

Haydi bunu yazayım. v1’den vr’ye kadar olanlar, satır uzayı için birim dik tabandır. u1’den ur’ye kadarkiler de sütun uzayı için birim dik bir tabandır.

Ve v(r+1) le bitireceğim, geri kalanlar vn’ye kadar sıfır uzayı için birim dik tabandır. Ve en son, u(r+1)’den um’ye kadar olanlar A’nın devriğinin sıfır uzayı için birim dik taban olur. En sonunda doğru tabanları bulduğumuzu gördünüz mü? Bunlar doğru çünkü birim dikler, hem de ---yine Graham- Schmidt bunu 4. bölümde yapmıştı. Burada özdeğerlere ihtiyaç duyduk, çünkü bu tabanlar, matrisi köşegensel yaparlar.

A çarpı vi, ui’nin bir katıdır.

O yüzden “ve” yazdım ---matris köşegensel oldu. Bu tabanları seçtiğimizde, v’ler arasında bir bağlantı yok, u’lar arasında da yok. Her A ---A çarpı her bir v ilgili u yönündedir.

Bu dört temel altuzay için kesinlikle doğru tabandır. Ve tabii, boyutları da bildiğiniz gibi. Satır uzayının boyutu rank’a eşit yani r; sütun uzayının boyutu da aynı şekilde.

Sıfır uzayının boyutu n-r, bu sayı kaç tane vektöre ihtiyacımız olduğunu verir, m-r taban vektörü de sol sıfır uzayı için gerekli, A’nın devriğinin sıfır uzayı için.

Tamam. Burada bitiriyorum. TDA’dan derine inebilirdim, ama dersin son konularında bunu yeniden göreceğiz. TDA bu kadar.

Teşekkürler.