MIT A��k Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu���������������������������������� ��������������

18.06 Do�rusal Cebir, Bahar 2005

L�tfen a�a��daki al�nt� bi�imini kullan�n:

Gilbert Strang, 18.06 Do�rusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstit�s�: MIT A��k Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde eri�ildi.

Lisans: Yarat�c� Ortak �zelllik � Ticari Olmayan� -- Oldu�u� gibi Kullan�l�r.

Not: L�tfen al�nt�n�zda bu malzemeye eri�ti�iniz ger�ek tarihi kullan�n�z.

Bu materyallerden al�nt� yapmak veya Kullan�m �artlar� hakk�nda bilgi almak i�in� http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT A��k Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Do�rusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 29

Tamam. Bu ders tekil de�er ay�r���m� hakk�nda. Ama herkes buna TDA der.

Bir matrisi en son ve en iyi �arpanlara ay�rma yoludur.

S�rada ne oldu�unu s�yleyeyim. �arpanlar�m�z, dik matris, k��egensel matris, dik matris olacak. Bunlar daha �nce g�rd���m�z �eyler, bunlar �zel ve g�zel matrisler, dik k��egensel.

Yeni olan, iki dik matrise ihtiyac�m�z olmas�.

A herhangi s�radan bir matris olabilir. Herhangi bir matrisin tekil de�er ayr���m� vard�r, k��egensel olan ortada, ama iki farkl�� ---muhtemelen farkl� dik matrise de ihtiyac�m var, bunu yapabilmek i�in. Tamam.

Ve bu �arpanlara ay�rma �nem kazan�yor ve asl�nda, bence, bu dersteki her�eyi de birle�tiriyor olacak. Birlikte ele alaca��m�z bir �ey, daha �nce �al��t���m�z �ok g�zel bir matris ailesi: simetrik, pozitif tan�ml� matrisler olacak.

Bunlar�n hikayesini hat�rl�yor musunuz? Simetrik olduklar�ndan, �zvekt�rleri dikdi, dolay�s�yla dik matris olu�turabiliyordum ---klasik matrisim. Klasik olan �zvekt�rler ve �zde�erler. Simetriklik olunca �zvekt�rler dik olur, o zaman g�zel bir ---s�radan bir S� g�zel bir Q matrisi oluverir.

Pozitif tan�ml�, benim s�radan lambdam da pozitif lamda olur. Bu matrisimiz, simetrik pozitif tan�ml� oldu�u durumdaki tekil de�er ayr���m� ---bu durumda, iki taneye ihtiyac�m yok ---U ve V�ye ---her iki taraf i�in tek bir dik matris� yeter.

Bu her zaman uygulanmaz, ��nk� genelde �zvekt�r matrisi dik de�ildir.

Pe�inde oldu�um da bu de�il zaten. Dik, �arp� k��egensel, �arp� dik ��z�mlemeyi ar�yorum. Bunun ne demek oldu�unu ve nereden geldi�ini anlatay�m. Tamam.

Bu ne demek? Herhangi bir do�rusal d�n���m�n resmini hat�rl�yor musunuz? 18.06 daki en �nemli �ekil gibiydi.

�imdi ne ar�yorum? Sat�r uzay�ndaki tipik vekt�r, v1 olsun, s�tun uzay�ndaki bir vekt�re g�t�r�l�yor, bu da u1 olsun.

Yani u1 = Av1. Tamam.

Ba�ka bir vekt�r buradaki ba�ka bir yere g�t�r�l�yor.

Ne ar�yorum? TDA�da, tekil de�er ayr���m�nda arad���m, buradaki dik bir taban�n oradaki dik bir tabana d�n��t�r�lmesi.

Bak�n bu olduk�a �zel, sat�r uzay�nda dik bir tabana sahip olup, onun dik bir tabana g�t�r�lmesi ---bu bir dik a�� gibi ve �u bir dik a�� ---s�tun uzay�ndaki dik bir tabana gidiyor.

Amac�m�z bu, �unu bulmak ---bunlar�n nas�l ba�lant�l� olduklar�n� g�r�yor musunuz? �lk �nce, sat�r uzay�nda dik bir taban bulabilecek miyim? Tabii ki. Dik bir taban bulmak zor de�il. Graham -- Schmidt nas�l yapaca��m�z� s�yler. Eski bir tabanla ba�la, Graham -- Schmidt uygula, sonu� bir dik taband�r.

Ama sonra, e�er eski bir dik taban al�rsam, A ile �arparsam, burada dik olmas� i�in bir sebep yok. A�n�n bu taban vekt�rlerini al�p oradaki dik vekt�rlere d�n��t�rd��� �zel kurguyu ar�yorum. Burada s�f�r uzay�n� i�e katmad���m� farketmi� olmal�s�n�z.

Neden i�e sokmad�m? Hat�rlay�n, genel �eklimizinde k���k bir s�f�r uzay� vard�, k���k bir s�f�r uzay�.

Ve bunlar problem de�il. Bu s�f�r uzaylar� sigma�n�n k��egenindeki s�f�rlar olarak g�r�necekler, dolay�s� ile bir zorluk ��karmaz.

Problemimiz bunlar� bulmakta.

Bunun ne demek oldu�unu anl�yor musunuz? Bu �u demek, A �arp� v.ler, v1, v2, ta ki ---sat�r uzay�n�n boyutu ne? Vr.Pardon, Bu V�yi k���k yapay�m� ---vr�ye kadar. O zaman� ---Av1 ilk s�tun olacak, elde etti�im �ey burada.

Oh, bunlar� sadece dik yapmakla kalmayaca��m, neden onlar� birim dik yapmayay�m ki? Onlar� birim vekt�rler yapal�m. Belki birim vekt�r burada, u1 ve bu onun bir kat� olabilir. Asl�nda olan �ey Av1�in u1�in bir kat� oldu�u, de�il mi? Bunlar birim vekt�rler ve birim vekt�rlerin kat� olarak gidecekler, bu kata bundan sonra lambda demeyece�im. Sigma diyece�im.

Say� bu --- uzatan say�.

Ayn� �ekilde Av2�de sigma2 u2�dir.

Amac�m bu. Ve �imdi bunu matris diliyle ifade etmek istiyorum. Bu genel ad�m.

Ne istedi�inizi d���n�n ve sonra bunu matris �arp�m� olarak ifade edin. Av1 sigma1 u1�di� --- asl�nda �unu yap�yoruz. ��yle yazay�m� --- u1,u2�den ur�ye ve sonra sigmal� bir matris. �imdi her�ey tahtan�n �u k���k k�sm�nda olacak. Bu denklemin, �u �ekille yapmak istedi�imi s�yledi�ini g�r�yor musunuz?

A �arp� ilk taban vekt�r� sigma 1 kere di�er taban vekt�r� olmal�� ---di�er ilk taban vekt�r�.

Bunlar sat�r uzay�ndaki taban vekt�rleri, bunlar s�tun uzay�ndaki taban vekt�rleri ve bunlar da �arpanlar. Av2, sigma2 defa u2, Avr sigma r defa ur�ye e�it. Ve sonra bir s�r� s�f�r�m�z var. Belki birka� s�f�r da sonda olacak ama i�in �z� bu. �u �ekilde ifade edersem� ---matris olarak, ��nk� bunun geliyor oldu�unu g�rd�n�z� ---elimdeki bu. Amac�m bu, dik bir taban bulmak hatta birim dik� --- taban sat�r uzay�nda ve s�tun uzay�nda birim dik bir taban, �yle ki bir �e�it k��egenle�tirilmi� bir matrisim olsun.

A matrisi k��egensel matris sigmaya d�n��t�r�lm�� gibi. Dikkat etmi�sinizdir ki genellikle iki farkl� taban se�mek zorunday�m.

Simetrik pozitif tan�m�yla ilgili ufak yorumum, A Q�nun Q sigmaya e�it oldu�u, V ile U�nun Q�ya e�it oldu�u durumdayd�. �o�unlukla,��yle bir matris alaca��m� --�� �u matrisi alay�m, 4, 4, eksi 3, 3. Tamam.

��te iki�ye iki�lik bir matris. Tersi al�nabilir, rank� 2. �ki vekt�r ar�yorum, sat�r uzay�ndaki v1 ve v2, ve U� ---sat�r uzay�ndaki v1 ve v2 vekt�r�n� ar�yorum, tabii ki R^2 de.

S�tun uzay�nda u1 ve u2 bulaca��m, bu da tabii R^2 de ve sigma1 ve sigma2 say�lar�n� bulaca��m, ki hepsini do�rulas�n.

Bunlar birim dik, bunlar birim dik ve bunlar da �l�ekleme katsay�s�. Matris resmini elde eder etmez bu �rne�i ��zece�im.

Tamam. Bunun istedi�im �eyi verdi�ini g�r�yor musunuz? S�f�r uzay� hakk�nda sadece iki kelime edebilir miyim? E�er herhangi bir s�f�r uzay� varsa, bunlar i�in bir taban bulmak isteriz. ��te s�f�r uzay� i�in bir taban, v(r+1)�den vm�ye kadar. Sadece r boyutlu bir sat�r uzay�m�z varsa di�er n - r boyut s�f�r uzay�ndad�r ---tamam, dik bir ---birim dik taban alaca��z. Sorun yok.

Sonra sadece s�f�r elde edece�iz. Asl�nda, bu s�f�rlar k��egensel matriste olacak.

Sonra bu b�t�n uzay� R^m i�in birim dik bir tabana tamamlayaca��m. Bu b�t�n uzay R^n i�in dik bir tabana tamamlayaca��m ve bunu s�f�rlarla tamamlayaca��m. S�f�r uzay� burada sorun de�il. As�l sorun �u �ekildeki bir matriste, simetrik olmuyor; bu durumda �zvekt�rlerini kullanamam, dik de�iller ---ama bir �ekilde bunlar� dik yapmal�y�m ---asl�nda,birim dik olanlar i�e yarar. Bu birim dik olanlar� bulmak zorunday�m, bu birim diklerin ve Av1�in sigma1 u1 olmas�n� ve Av2�nin sigma2 u2 olmas�n� istiyorum.

Tamam. Amac�m bu. Beni oraya g�t�recek matrisler burada.

Bunlar dik matrisler. �unu yapabilirim ---e�er her iki taraftan V�nin tersi ile �arparsam, A e�ittir U sigma V�nin tersini elde ederim ve tabii biliyorsunuz ki �b�r tarafa da V�nin tersini yazabilirim.

Bu karesel dik matrislerden biri, U sigma V�nin devri�iyle ayn�. Tamam. Problemim� burada. Burada iki dik matrisim var.

Ve ikisini ayn� anda bulmak istemiyorum.

U�lar� yok edecek bir ifade bulmak istiyorum. U�lar�n gitmesini ve sadece V�lerin kalmas�n� istiyorum.

Bunu ��yle yapaca��m. Elimizde genel dikd�rtgensel bir matris oldu�u zaman, kar��m�za ��kan bile�imle ayn�, yani A�n�n devri�i A, bu �nemli matris.

Bu �nemli bir matris. Bu matris simetrik, asl�nda pozitif tan�ml� veya en az�ndan pozitif yar�-tan�ml�. Bu g�zel �zellikleri olan bir matris, ne yapacak g�relim. E�er devri�ini al�rsam ne olur ---A�n�n devri�i A ne ��kar? Ne elde ederim? Devri�ini al�rsam, V sigma�n�n devri�i U�nun devri�i ��kar, yani A�n�n devri�i. Ve A ---ne ��kt�? K�t�le�ti gibi, ��nk� 6 �ey var, ama hepsi g�zel bir�eye d�n��ecek. U�nun devri�i U neye e�it? I, yani birim matrise.

Ana nokta bu . Bu birim matris ve art�k U�lar yok. Ve sigma�n�n devri�i �arp� sigma, bunlar k��egensel matrisler, dolay�s�yla �arp�mlar�n�n k��egenlerinde sigma kareler olacak.

Ne elde ettik g�rd�n�z m�? V �arp� kolay matris, sigma 1 kare sigma 2 kare �arp� V�nin devri�i. Bu A�n�n devri�i A�ya e�it.

�uraya yazay�m ---A�n�n devri�i A.

U�lar �imdi g�r�nm�yor.

Sadece V�leri se�meliyim, ve nedir bu V�ler? Sigmalar nedir? V�lerin ne oldu�unu biliyor musunuz? Onlar �zvekt�rler ---bak�n, bu m�kemmel bir �zvekt�r, �zde�er, A�n�n devri�i A matrisi i�in Q lambda Q�nun devri�i. A tek ba��na �zel bir matris de�il.

Ama A�n�n devri�i A �zel.

Simetrik pozitif tan�ml�, bu y�zden bu onun �zvekt�rleri, bu da �zde�erleri olacak.

Ve �zde�erler pozitif ��nk� bu �ey pozitif tan�ml�. Bu benim metodum.

Bu bana V�lerin ne olaca��n� s�yler. Peki U�lar� nas�l bulaca��m? Bir yolu A �arp� A�n�n devri�ine bakmak.

A�y� tersten A�n�n devri�i ile �arp.

O zaman V�ler ortada kalacak ve gidecek, geriye U�lar kalacak. B�t�n olay budur. V�ler A�n�n devri�i A�n�n �zvekt�rleri. U�lar da A - A�n�n devri�inin �zvekt�rleri ve bunlar farkl�lar.

Ve sigmalar da bunlar�n karek�k�, k�kler pozitif dolay�s�yla sigmalar pozitiftir.

�u �rnek i�in ��zeyim. Ger�ekte bilmeniz gereken ve TDA i�in yapabilmeniz gereken budur. Tamam. �u matrisi alay�m.

�lk a�ama nedir? A�n�n devri�i A�y� hesapla, ��nk� onun �zvekt�rlerini istiyorum.

Tamam. A�n�n devri�i A�y� hesaplamak zorunday�m. A�n�n devri�i 4, 4, eksi 3, 3 ve A da 4, 4,� eksi 3, 3, bu �arpmay� yapaca��m ve 16 ��kt� ..25 ��kt� ..16 eksi 9 ..7 mi? Simetrik olacak. Ve ..tamam, 25 ��kt�. Tamam.

Bunun �zvekt�rlerini ve �zde�erlerini istiyorum.

�zde�erleri V�ler olacak, �zde�erleri sigma kareler olacak. Tamam.

Bunun �zde�erleri ve �zvekt�rleri nelerdir? Bu iki�ye iki�lik matris �rne�ine �zde�erleri bulacak kadar bakt�n�z m�? 1 1 bir �zvekt�r. Burada A�n�n devri�i A var. �zde�erlerini ar�yorum. �zde�erleri, bence 1 1 ve 1 eksi1, ��nk� e�er o matrisi 1 1 ile �arparsam ne ��kar? E�er 1 1 ile �arparsam 32, 32 elde ederim, 32 defa 1 1. Bu ilk �zvekt�r, ve A�n�n devri�i A�n�n �zde�eri var.

Sigmay� bulmak i�in karek�k�n� alaca��m.

Tamam. Bunun �zvekt�r� ---bunun �zde�eri nedir? �arpmay� yaparsam, ne ��kar? 1 eksi1 in bir kat�n� elde ederim, o kat ne peki? 18�e benziyor.

Tamam. �ki �zvekt�r var ama ---bir dakika, normalle�tirmedim bunlar�. Her�eyin tamamen do�ru olmas� i�in bu �zvekt�rleri normalize etmeliyim, uzunluklar�na b�lmeliyim, k�k 2.

B�t�n bunlar do�ru birim vekt�rler, tabii ki normalle�tirme 32 ve 18�i de�i�tirmedi.

Tamam. V�leri bulduk.

V�ler burada. �imdi par�alar� birle�tireyim. A burada.

A burada. A�y� tekrar yazay�m.

E�er do�ruysa, U�yu bulmal�y�z, hen�z bilmiyoruz -- U�yu hen�z bilmiyorum, ama sigmay� �imdi biliyorum. Sigma nedir? U sigma V�nin devri�ini bulmaya �al���yorum.U, k��egensel olan adam,� ve V�nin devri�i.

Tamam. Do�ru ��kt� m� bakal�m. Sigmalar neydi? Bunlar�n kare k�kleri.

�

Yani k�k 32 ve k�k 18. s�f�r s�f�r. tamam. V�ler nedir? Bu ikisi.

Devri�ini almal�y�m ---belki sadece 1�ler kal�r ---o sat�rda 1 b�l� k�k 2 ve di�eri de 1 b�l� k�k2, eksi1 b�l� k�k 2.

Sonunda, U�lar� bulmak istiyorum.

Asl�nda, bunu yapman�n bir yolu ---b�t�n di�er par�alar� bildi�im i�in hepsini birle�tirebilirim ve U�lar� bulabilirim. Ama A A�n�n devri�inden bulay�m. Tamam.

�imdi U�lar� bulal�m. u1 ve u2. Neydi onlar? A A�n�n devri�ine bak�yorum ---A , U sigma V�nin devri�ine e�itti, ve devri�ini al�rsam V sigman�n devri�i U�nun devri�i ��kar.

Sadece tersten yap�yorum, A �arp� A�n�n devri�i, iyi taraf� ne? Ortada,V�nin devri�i V, birim matris olacak. Bu da sadece U sigma sigma�n�n devri�i, sigma kareli bir k��egensel matris ve U�nun devri�i. Ne g�r�yorum? Burada yine, bir simetrik pozitif tan�ml� veya en az�ndan yar� -- tan�ml� matris g�r�yorum ve onun �zvekt�rlerini ve �zde�erlerini g�r�yorum.

E�er A A�n�n devri�ini hesaplarsam, �zvekt�rleri U�dakiler olacak.Tamam, o zaman A A�n�n devri�ini hesaplamal�y�m. Bence �uraya gitmeliyim -- biraz yukar� kald�rabilir miyim? Belki biraz daha ve A A�n�n devri�ini bul.

A neydi? 4, 4, eksi 3, 3. A�n�n devri�i neydi? 4, 4, eksi 3, 3.

Bu �arpmay� yapt���mda, ne elde edece�im? 16 ve 16, 32. Bu da s�f�r ��kacak.

Oo, �ansl�y�z, bu da 18 ��kt�.

A A�n�n devri�i �ans�m�za k��egensel ��kt�, o zaman kolayca �zvekt�rlerini ve �zde�erlerini bulabiliriz.

O zaman,�zvekt�rler ---A A�n�n devri�i matrisinin ilk �zvekt�r� nedir? Sadece 1 0, ve �arpmay� yap�nca 32 �arp� 1 0 ��kt�. Di�er �zvekt�r ise sadece 0 1 ve �ununla �arp�nca 18 ��kt�.

Bu A A�n�n devri�i. �ununla �arpmak, 32 A A�n�n devri�ini verdi. Bununla �arpmak 18�i verdi. �ncelikle, yine 32 ve 18 elde ettim. �a��rd�m m�? Bilirsiniz, bu tabii ki bir kaza de�il. A A�n�n devri�inin �zde�erleri, bunun �zde�erleriyle tamamen ayn��A�n�n devri�i A �n�nkilerle.

�

S�rpriz olmad�. AB�nin �zde�erleri ile BA�n�n �zde�erleri ayn�d�r. G�zel bir ger�ek, �arpman�n s�ras�n� de�i�tirince �zde�erler de�i�miyor. O zaman 32 ve 18�i g�rmek s�rpriz de�il. Ne ��rendim ---ilk olarak say�sal do�rulu�un kontrol�n� yapmal�y�m, ama �imdi bu �zvekt�rleri ��rendim, asl�nda olabildikleri kadar g�zeller. Bu en iyi dik matris, birim matris.

Tamam. �ddiam �u, b�t�n bunlar birbiriyle uyumlu, say�lar do�ru ��km�� olmal�. Say�lar do�ru olmal�, ��nk� matris �arp�mlar� istedi�imiz �zelliklere sahipler.Tamam.

Kontrol edelim mi? Burada birim matris, bir�ey yapmaya gerek yok ---k�k 32 �u s�rayla �arp�l�yor, k�k32 b�l� k�k2, k�k 16�ya e�ittir, 4 do�ru mu? Ve k�k 18 b�l� k�k2 de, k�k9 ��kar, ki o da 3, ama ---Profes�r Strang, sorunu g�rd�n�z m�? Neden oldu ---tamam. Burada neden eksi 3 3 elde ettim ve burada da 3 eksi 3 ��kt�?

Nedeni bilmiyorum. Bunun olmamas� gerek ama oldu. �imdi, tamam, diyebilirsiniz ki sadece ---oradaki �zvekt�r ---�u �zvekt�r�n eksi i�areti burada olmal�yd�, bu da de�il san�r�m.

Tamam. Bir yerlerde ufak bir noktay� ka��rd�m ve �ar�ambaya kadar g�remeyebilirim.

Bu da size �ar�amba g�n� derse gelmeniz i�in �nemli bir sebep oldu, i�aret fark�n� yakalamak.

Nerede hata yapt�m? San�r�m �zvekt�rleri, V�nin devri�i olan matrise koydum ---tamam, d���nmeliyim. Neden ters i�aretler ��kt�? G�rd�n�z ---yani, e�er orada bir eksi olsayd�, do�ru olacakt� ama bunu istemiyorum. Sigma karenin k��egenlerinde pozitif elemanlar istiyorum. Tamam.

Bulaca��m, ama, �imdi bu �rne�i bitirmeyece�im. Tamam.

Bu kayan tahtan�n g�zelli�i de bunlar� saklayabiliyor olmam. Bunu yapmayay�m, yine de. �kinci bir �rnek yapal�m.

Matrisin tekil oldu�u ikinci bir �rnek yapal�m.

O zaman rank� 1.Tamam, ikinci bir �rnek olarak A matrisi yine dikd�rtgensel olacak--- 4, 3, 8, 6 olsun.

Tamam. 1 rankl� bir matris.

Bir s�f�r uzay� var ve sadece bir boyutlu sat�r uzay� ve s�tun uzay� var. Asl�nda, resim bu matris i�in kolay olacak, ��nk� bunun sat�r uzay� ne?Bu ikiye ikilik.

Resimlerin ikisi de iki boyutlu.

Sat�r uzay� 4, 3 vekt�r�n�n b�t�n katlar�.

B�t�n ---sat�r uzay� tek bir do�rudur, de�il mi? Sat�r uzay� bu. Ve s�f�r uzay�, tabii ki bu dik do�ru. O zaman bu matrisin sat�r uzay� 4, 3��n katlar�. Tipik sat�r. Tamam. Bu s�tun uzay� nedir? Bu s�tunlar 4, 8; 3, 6; 1, 2 nin katlar�.

S�tun uzay�, o zaman, bu y�nde olur. Yani s�tun uzay� ---s�tunlara bakt���m zaman, s�tun uzay� ---sadece bir boyutlu, ��nk� rank� bir.. 4, 8 in katlar�. Tamam.

A�n�n devri�inin s�f�r uzay� nedir? �u dik olan. Bu A�n�n s�f�r uzay�yd�, bu da A�n�n devri�inin s�f�r uzay�.

Tamam. Burada s�ylemek istedi�im �ey, sat�r uzay� ve s�tun uzay� i�in bu dik tabanlar� se�mek sorun de�il.

Onlar sadece bir boyutlu. O zaman V ne olmal�? V �yle ki ---v1, ama ---evet, v1, asl�nda ---v1 g�r�n��e bak�l�rsa bir birim vekt�r.

Burada sadece bir v1 se�meliyim, sat�r uzay�nda tek bir boyut. Bunun birim vekt�r olmas�n� istiyorum. O zaman v1 ---bu vekt�r olacak, ama birim vekt�r olmas� i�in, 4 ----- onda 8, onda 6. �5�te 4, be�te ��. u1 ne olacak? u1 oradaki birim vekt�r olacak.

4� 8 i ya da 1� 2 yi birim vekt�re d�n��t�rmek istiyorum, o zaman u1�bakal�m, e�er 1� 2 olursa 1� 2 nin hangi kat�n� almal�y�m? Boyu k�k5, o zaman k�k 5�e b�lmem gerek. Haydi bu matrisin tekil de�er ayr���m�n� tamamlayay�m.

Matrisimiz, 4� 3 �8� 6 ---u1�in ne oldu�unu biliyorum ---A burada ve U�nun s�tun uzay�n�n taban� olmas�n� istiyorum. Ve bununla ba�lamal� 1 b�l� k�k5, iki b�l� k�k5. Sonra sigma istiyorum.

Tamam. Sigman�n ne olmas�n� bekliyoruz? Sadece 1 rankl� bir matris.

Tek bir sigma1 bekliyoruz, bulmal�y�m ki, ama bunlar s�f�r. Tamam.

Peki sigma 1 nedir? �u olmal� ---sigmalar nereden geliyor? A�n�n devri�i A�dan geliyorlar --- �u k���k hesaplamay� orada yapabilir miyim? A�n�n devri�i A �4� 3 --- 4� 3� 8� 6 �arp� 4� 3 8� 6. Bu daha iyi ---1 rankl� bir matris, ne ��kacak ---hepsinin rank� 1 olacak bu 16 ve 64, 80; 12 ve 48, 60; 12 ve 48, 60; 9 ve 36 ,45. Tamam.

1 rankl� bir matris. Tabii ki.

Her sat�r 4 3 �n bir kat�.

Ve �z ---bu matrisin �zde�erleri nedir? Bu hesaplamak pratik yapmak gibi, -- �imdi.

Bu bir rankl� matrisin �zde�erleri nedir? Bana bir �zde�er s�yleyin, rank 1 oldu�u i�in �zde�erlerin biri s�f�r olacakt�r.

Di�er �zde�erin 125 olaca��n� biliyorsunuz. Bu sigma kare, de�il mi? A�n�n devri�i A�daki. Bu 125�in karek�k� olacak. Ve en son V�nin devri�i ---V�ler ---v1 var, v2 nedir? Oradaki v2 ---bunu nas�l birim dik tabana d�n��t�rebilirim? v2, s�f�r uzay� y�n�nde.

Buna dik olacak, o zaman 0.6 ve eksi 0.8. Buraya gelecek V�ler bunlar. 0.8, 0.6 ve 0.6 eksi 0.8.

Tamam. San�r�m �nce bunu bitirmeliyim. Burada, b�t�n istedi�im birim dik taban� tamamlamak�oradan gelecek. 2 b�l� karek�k 5 ve� eksi 1 b�l� karek�k 5.

Daha iyi g�r�nmesi i�in karek�k 5�i matrisin d���na alay�m. 1 b�l� k�k5 defa 1 2 2� eksi 1. Tamam.

Burada�k�k5�le birlikte�bu bir dik matris, bu bir dik matris, bu bir dik matris ve rank� da 1.

�imdi o �arpmay� yaparsam, do�ru ��ks�n diye dua ediyorum. k�k5, k�k125 le sadele�ir ve geriye k�k25 kal�r, o da 5, ve bu say�lar� 5�le �arpar�m ve b�t�n bu say�lar ��kar ve sonu� A olur. Tamam.

Bu ikinci �rnek s�f�r uzay�n�n nas�l�bu vekt�r� ve bu vekt�r ve bu s�f�rla �arp�ld�lar. O y�zden bunlarla ba�etmek kolayd�.

�nemli olanlar s�tun uzay�ndakiler ve sat�r uzay�ndakilerdi. S�tunlar� nas�l elde etti�imi anlad�n�z m�? K��egensel burada, sat�rlar burada, hepsi birlikte A�y� veriyor.

Tamam, i�te bu tekil de�er ayr���m�.

Bu konuyu tamamlamak i�in ekleyece�im bir�ey var m� d���neyim.

�ki �rnek var. Ne yapt���m�z� bir d���nelim. Do�rusal cebirin 4 altuzay� i�in do�ru taban� se�iyoruz.

Haydi bunu yazay�m. v1�den vr�ye kadar olanlar, sat�r uzay� i�in birim dik taband�r. u1�den ur�ye kadarkiler de s�tun uzay� i�in birim dik bir taband�r.

Ve v(r+1) le bitirece�im, geri kalanlar vn�ye kadar s�f�r uzay� i�in birim dik taband�r. Ve en son, u(r+1)�den um�ye kadar olanlar A�n�n devri�inin s�f�r uzay� i�in birim dik taban olur. En sonunda do�ru tabanlar� buldu�umuzu g�rd�n�z m�? Bunlar do�ru ��nk� birim dikler, hem de ---yine Graham- Schmidt bunu 4. b�l�mde yapm��t�. Burada �zde�erlere ihtiya� duyduk, ��nk� bu tabanlar, matrisi k��egensel yaparlar.

A �arp� vi, ui�nin bir kat�d�r.

O y�zden �ve� yazd�m ---matris k��egensel oldu. Bu tabanlar� se�ti�imizde, v�ler aras�nda bir ba�lant� yok, u�lar aras�nda da yok. Her A ---A �arp� her bir v ilgili u y�n�ndedir.

Bu d�rt temel altuzay i�in kesinlikle do�ru taband�r. Ve tabii, boyutlar� da bildi�iniz gibi. Sat�r uzay�n�n boyutu rank�a e�it yani r; s�tun uzay�n�n boyutu da ayn� �ekilde.

S�f�r uzay�n�n boyutu n-r, bu say� ka� tane vekt�re ihtiyac�m�z oldu�unu verir, m-r taban vekt�r� de sol s�f�r uzay� i�in gerekli, A�n�n devri�inin s�f�r uzay� i�in.

Tamam. Burada bitiriyorum. TDA�dan derine inebilirdim, ama dersin son konular�nda bunu yeniden g�rece�iz. TDA bu kadar.

Te�ekk�rler.