MIT
A��k Ders Malzemeleri
http://ocw.mit.edu���������������������������������� ��������������
18.06
Do�rusal Cebir, Bahar 2005
L�tfen
a�a��daki al�nt� bi�imini kullan�n:
Gilbert
Strang, 18.06 Do�rusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstit�s�:
MIT A��k Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde
eri�ildi.
Lisans:
Yarat�c� Ortak �zelllik � Ticari Olmayan�
-- Oldu�u� gibi
Kullan�l�r.
Not:� L�tfen al�nt�n�zda bu malzemeye eri�ti�iniz
ger�ek tarihi kullan�n�z.
Bu
materyallerden al�nt� yapmak veya Kullan�m �artlar� hakk�nda bilgi almak i�in� http://ocw.mit.edu/terms
sitesini ziyaret ediniz.
MIT
A��k Ders Malzemeleri
http://ocw.mit.edu
Do�rusal
Cebir, Bahar 2005
Transcript
- Ders 28
Tamam, bu ders �o�unlukla benzer matrisler hakk�nda olacak. Bu benzer
kelimesinin ne anlama geldi�ini a��klayaca��m. Ve ne zaman iki matrise benzer
diyece�iz anlataca��m. Ama bunlar� yapmadan �nce, pozitif tan�ml� matrisler
�zerine s�yleyece�im birka� �ey daha var. Bu konunun �ok �nemli oldu�unun
fark�ndas�n�z ve pozitif tan�ml� ne anlama geldi�ini s�ylemi�tim---bunun
anlam�---bu ifadedenin, x devrik Ax�in, ikinci dereceden yap�n�n herzaman
pozitif olmas�.
Ama onu test etmenin direk yolu �zde�erler, ya da pivotlar
ya da determinantlar idi. Yani bunun ne anlama geldi�ini biliyoruz, onu nas�l
test edece�imizi de biliyoruz, ama pozitif tan�ml� matrislerin ger�ekten
nereden geldi�ini s�ylemedik. Ve b�ylece s�ylemek istedi�im tek �ey, onlar�n en
k���k karelerden geldi�i---ve bir dikd�rtgen matris ile ba�layan fiziksel problemlerin
t�m �e�itlerinden� hat�rlarsan�z en k���k karelerdeki en �nemli bile�im A
devrik A idi.
Yani g�stermek istedi�im bunun pozitif tan�ml� bir matris oldu�udur.
Bu y�zden ---pozitif tan�ml� matrisler hakk�nda biraz daha
konu�aca��m,� sadece yeniden �zetleyece�im---peki
bir soru soray�m.
O belki ev �devinde de olacak. Bir A matrisinin pozitif tan�ml� oldu�unu
varsayal�m. Bunun anlam�,---onun simetrik oldu�unu kabul ediyorum. Tan�m�n
i�inde bu herzaman var. Yani bir simetrik pozitif tan�ml� matrisimiz var. Onun
tersi ne? Bir simetrik pozitif tan�ml� matrisin tersi de simetrik pozitif
tan�ml� m�d�r? Peki, h�zl� d���n�n, tamam, bu ters matrisin pivotlar�
hakk�nda ne biliyorum? �ok de�il, bu ters matrisin �zde�erleri hakk�nda ne
biliyorum? Her �eyi, de�il mi? Bu tersin �zde�erleri 1 b�l� matrisin �zde�eri
olur.
Yani matrisimiz ba�larken pozitif tan�ml� ise, o zaman hemen biliyorum
ki onun tersi de pozitif tan�ml�d�r, ��nk� bu pozitif �zde�erler��yleyse 1 b�l�
bu �zde�erler de pozitiftir.
Bir A matrisi ve bir B matrisinin her ikisininde pozitif tan�ml�
oldu�unu biliyorsam,neler olacakt�r? Fakat size �unu
soray�m. A ve B pozitif tan�ml� olduklar�n� varsayal�m, A + B ne olur? Bir
�ekilde, bunun do�ru olmas�n� bekleriz.
Bir matris i�in pozitif tan�ml�l�k bir �ekilde bir ger�ek say�n�n
pozitif olmas�na benzer. Ama�
A+B nin� �zde�erlerini
bilmiyoruz. A+B nin pivotlar�n� bilmiyoruz. Bu y�zden,
biz sadece, pekala, listeye bakarak, pozitif tan�ml�l�k i�in hangi yakla��mla bunu� ba�arabiliriz? Ve� bu iyidir. �u iyidir.
Olabilir---buna nas�l karar veririz---A b�yle olsayd� ve B ��yle
olsayd�, o zaman x devrik (A+B)x e bakard�k. Bunun ev �devinde olaca��ndan
��phem yok. Bundan eminim. �imdi ---x devrik Ax s�f�rdan b�y�k, x devrik B x
pozitif -- her x i�in, peki �imdi bu adam hakk�nda soruyorum.
Ve tabii ki, sadece bunu ve bunu toplarsak istedi�imizi elde ederiz.
E�er A ve B pozitif tan�ml�ysalar, A+B de �yle. Bu da g�sterdi�imiz olur.
Yani A+B de �yle. Sadece---bu ifade ile ve �zde�erlerle b�t�n
yakla��mlar i�in bir �ekilde haz�r olmal�y�z. Ve �imdi, sonunda pozitif
tan�ml�da, en k���k kareler i�inde ortaya ��kan bu bile�im hakk�nda bir daha
d���nd�m: bunu yapabilir miyim? Peki �imdi---�imdi
kabul edelim ki A dikd�rtgensel m ye n olsun.
Yani �zg�n�m , �zde�erler b�l�m� i�in de,
pozitif tan�ml� matrisler i�in bu ayn� A�
harfini kullan�yorum, bu harfi �ok eskiden �nceki b�l�mler i�in de
matrisin dikd�rtgensel oldu�unda kulland�m.
�imdi, bu matris---bir dikd�rtgensel matris, hi�bir �ekilde pozitif
tan�ml� olamaz. O simetrik de�il.
Genelde o kare bile de�il.
Ama hat�rlay�n ki bu dikd�rtgenseller i�in kilit nokta A devrik A idi.
Bu karedir.
Bu simetriktir. Bunlar bildi�imiz �eyler---bu �eylere en k���k kareler
i�inde; bu izd���m �eyi i�inde, �nceden kar��la�m��t�k. Ama �imdi bir �ey daha
biliyoruz. �nemli bir soru sorabiliriz, bir derin soru---o pozitif tan�ml� m�?
Ve b�yle olmas�n� umuyoruz.
Biz----olabilir- say�larla� bir benzerlik var, bu bir �e�it bir
say�n�n karesinin pozitif olmas� gibidir. Peki �imdi
bir matris sorusu sormak istiyorum. A devrik A pozitif tan�ml� m�d�r? Tamam,
�imdi o---yeniden, bir dikd�rtgen A matrisi ile ba�lad�m, fakat o A devrik A
bile�imi ki bu kare, simetrik ve umar�m� pozitif tan�ml� matris olur.
Yani nas�l---bunun pozitif tan�ml� oldu�unu, ya da en az�ndan pozitif
yar�-tan�ml� oldu�unu nas�l g�r�r�m? Bunu g�rece�iz. Bu �arp�m�n �zde�erlerini
bilmiyorum. Pivotlarla �al��mak istemiyorum,�
bak�lacak do�ru �ey---do�ru nicelik, bu x devrik Ax----x devrik �arp�
matrisimiz �arp� x dir.
Bu �eyin---bu ifadenin her zaman pozitif oldu�unu g�rmek istiyorum. Onu
say�larla yapmayaca��m, onu sembollerle yapaca��m, g�r�yorsunuz�Bu
ifadenin pozitif olaca��n� nas�l g�r�r�m? Bir dikd�rtgensel matris A ve bir A
devrik al�yorum--- bu bana kare simetrik bir �eyleri verir, ama �imdi g�rmek
istiyorum ki �arparsam----ki bunu yaparsam----bu ikinci dereceden ifade olu�ur
ki onu �izdi�imde yukar� do�ru giden bu pozitif �eyi elde ederim.
Bunun pozitif, yada en az�ndan kesinlikle
negatif olmayan oldu�unu nas�l g�r�r�m? O s�f�r olabilir mi sorusu �zerine
biraz zaman� harcamam�z
gerekecek, ama o negatif olamaz.
Ni�in bu hi�bir zaman negatif olamaz? G�r�� �u- do�rusal cebirde �ok
fazla ad�m i�inde oldu�u gibi anahtar fikir----�u parantezleri do�ru yerlere
koy.
Parantezleri Ax etraf�na koy ve ilk par�a ne? Bu x devrik A devrik ne?
Bu Ax devrik olur -- yani neyimiz var? (Ax) karenin uzunlu�una sahibiz.
Elimizde---uzunluklar� karesi kesinlikle s�f�rdan b�y�k ya da muhtemelen
s�f�ra e�it olan A x in s�tun vekt�r� ve Ax in sat�r vekt�r� var. B�ylece bu
k���k olas�l�kla ilgilenmek gerek. S�f�ra e�it olabilir mi? �ey, uzunlu�un
karesi ne zaman s�f�r olur? Sadece vekt�r s�f�rsa, de�il mi? S�f�r vekt�r�, uzunlu�unun
karesi s�f�r olan tek vekt�rd�r.
Yani elimizde---bu olas�l�ktan kurtulmak istiyoruz.� Yani Ax asla- s�f�r olmas�n istiyorum, tabii
ki s�f�r vekt�r� hari�.. �Ax�in asla s�f�r olmayaca��n� nas�l garanti
edebiliriz? Ba�ka bir deyi�le, A n�n s�f�r uzay�n�n olmad���n� nas�l
g�steririm? Rank---yani hat�rlay�n---s�f�r uzay�n�n olmad���nda rank ne idi?
S�f�r uzay� yok demenin ne anlama geldi�ini biliyorsunuz. Bu s�f�r uzay� i�inde
sadece s�f�r vekt�r� var demek idi. B�ylece, bir 11 e 5 matrisimiz varsa�onun
11 sat�r�, 5 s�tunu var, ne zaman s�f�r uzay� olmaz? Peki
s�tunlar ba��ms�z olmal�lar---rank ne? n� 5 dir---rank n olur. Ba��ms�z
s�tunlar, ne zaman---yani ben---o zaman karar�m evet, pozitif tan�ml�, Ve kabul�m�zd�r ki-- o zaman A devrik A n�n tersi
vard�r---en k���k karelerin, denklemlerin hepsi iyi �al���r. Ve daha fazlas�----hatta
matris pozitif tan�ml� olur.
Ve �imdi bir pozitif tan�ml� matris ile n�merik �eyler hakk�nda bir
d���ncemi s�yleyeyim, hi�bir zaman sat�r de�i�-toku�lar� yapmam�z gerekmez.
Pivot pozisyonlar�nda uygun olmayan k���k say�lara veya s�f�rlara hi�bir
zaman rastlamazs�n�z. Onlar hesaplamalar i�in en uygun - en g�zel matrislerdir.
Ve �al��mak i�in en iyileridir. B�ylece---benzer matrislerin ilk dakikas�n�
alarak pozitif tan�ml� matrislere biraz daha devam etmek istedim.
�imdi bu noktada asl�nda, gittik�e Do�rusal Cebirin kalbinin sonuna
yakla��yoruz. Pozitif tan�ml�l�k her�eyi bir araya getirdi. Benzer matrisler,
bu saatin geriye kalan�nda gelecek bir anahtar (kilit) konudur,
ve l�tfen Pazartesi g�n� gelin. Pazartesi tekil de�er ayr��t�rmas� olarak adland�r�lanlar
hakk�nda olacak, -- tekil de�erler. Onlar do�rusal cebirin merkez (ana) par�as�
olmaya ba�lad�lar.
Yani, pazartesiden sonra gelebilirsiniz, ama ----Pazartesi---bu tekil
de�er �eyler bu derste yap�lacak. 10 y�l �nce, 5 y�l �nce bu derslerde yoktu,
�imdi o olmak zorunda.
Tamam, bu g�nk� derse uygun bir �ekilde benzer matrislerin bu fikri ile
ba�layabilir miyim?
Bu benzer matrislerin ne anlama geldi�idir.
Burada---tekrar ba�layay�m. Tekrar yazaca��m.
Yani A ve B benzerler. A ve B ��imdi ben--- bu matrisler---art�k
simetrik matrisler hakk�nda konu�muyorum,----en az�ndan art�k simetrik
matrisler beklemiyorum. n ye n iki kare matris
hakk�nda konu�aca��m. A ve B, n ye n matrisler olsunlar. Ve bu benzer
kelimesini tan�t�yorum. Yani bunun anlam�n� s�yleyece�im. Bu demektir ki onlar,
buraya yazd���m bu yolla biri birine ba�l�d�rlar, peki onu tekrar yazay�m. Bu
demektir ki bir M matrisi i�in, ki tersinin olmas� gerekli, ��nk�
g�receksiniz----bu matris var----ba�ka bir matris� alal�m, M ile sa�dan ve M tersi ile
soldan �arpal�m. Yani soru �u; ni�in bu bile�im? Ama halihaz�rda
cevab�n par�as�n� biliyorsunuz, hat�rlay�n---bunu yapt�k ----bir A matrisi
ald�k---peki benzer bir �rnek yapay�m.
Varsayal�mki A- bir A matrisi�b�t�n maksimum say�da �zvekt�rlere sahip
olsun. Bunlar S �zvekt�rler matrisini olu�turur. O zaman b�t�n bunlar�n ana
noktas�- b�t�n b�l�m�n ana hesaplamas�, m�mk�n olan en iyi matris lambday�
olu�turmak i�in bu �zvekt�rler matris ve onun tersini kullanmak idi. M�mk�n
olan en iyisi, ��nk� o k��egendir. Yani, yeni s�ylemimiz de, bu A n�n lambda
matrisine benzer oldu�unu s�yler.
A lambda�ya benzer, ��nk� bir matris var, bu �zel matris var---ve M var
ve bu �zel M, bu �nemli adam, bu �zvekt�r matrisidir. Ama farkl� bir M� matrisi al�rsak ve
M ters AM (M^-1AM) ye bakarsak, sonu� k��egen (diagonal) matris olarak de�il
ama A ya benzer bir B matrisi olarak ortaya ��kar. Yapt���m �eyin---bu
matrisleri bir aile i�ine koymak gibi oldu�unu g�r�yorsunuz. Bu aile i�indeki
b�t�n matrisler birbirine benzerdir.
B�t�n bunlar---bu aile i�indeki her biri bir M matrisi ile biri biriyle
ba�lant�l�d�r ve bu ailenin se�kin �yesi, bu k��egen matris olur. Bence, A ya
benzeyen b�t�n matrislerin bu�
ailesi i�inde en basit, en etkileyici, en iyi olan lambdad�r. Ama
ba�ka bir �oklar� da var, ��nk� S yerine ba�ka
alabilirim, her hangi eski bir matris M, tersi olan herhangi bir M matrisi
alabilirim ve--- bunu bir �rnek yapsam iyi olacak.
Tamam. A olarak 2�
1� 1� 2 matrisini ald���m� varsayal�m. Tamam.
Bunun i�in �zde�er matrisi biliyor muyuz? Bu matrisin �zde�erleri, 3 ve
1 olur.
B�ylece bu�ve �zvekt�rleri bulmak kolay olacak.
Yani bu matris buna benzerdir.
Ama vurgulamak istedi�im, ayn� zamanda 2� 1�
1� 2 matrisini alabilirim,
onu---bakal�m, ne ile �arpabilirim�buraya bir M matrisi uyduraca��m.
Uyduray�m --� 1, 4, 1, 0.
Ve buraya M tersi koyaca��m, ve ��nk� onu k��egen yapmam gerekli, onun
tersinin bu oldu�unu biliyorum, de�il mi? Yani M ters A M olur, bu bir matris
verecek; tamam, �arp�m yapmam gerekiyor, yani biraz bekleyin, b�rak�n--- sadece
bu 1 -1� 4� 0 kopyalama ve bu adamlarla �arpar�m b�ylece �2, 9, 1 ve 6 elde ederim, bence.
Ben devam ederken kontrol edebilir misiniz, ��nk� siz---g�r�yorum ben
sadece---yine bu 2 �-4, elimde -2� 9� -24 var bu -15 eder, aa, bunu nas�l elde
ettim? Ve bunlar muhtemelen 1 ve 6 olur.
Yani burada B matrisim var.� Ve
burada lambda matrisim var, burada A matrisim var ve vurgulamak istedi�im
bunlar�n hepsinin benzer matris olduklar�. Hepsinin ortak bir bir �eyleri var,
ikiye 2 olmalar�n�n yan�nda.
Hepsinin ortak bir�eyleri var. Ve o nedir? B,� M ters A M den den in�a edildi.
A ve B nin ortak oldu�u �ey ne? Size benzer matrisler hakk�nda ana
ger�e�i s�yleyece�im. Onlar ayn� �zde�ere sahiptirler.
Bu----bu b�l�m �zde�erler hakk�nda ve bu nedenle ayn� �zde�erlere sahip
bu matrisler ailesi ile ilgileniyoruz. Bu �rnekte �zde�erler neler? Lambda.
Onun �zde�erlerini hesapl�yabilirim.
Onun �zde�erlerini ger�ekten h�zl� bir �ekilde hesaplayabilirim.
Bu durumda�
�zde�erler 3 ve 1 olur � eminim.
Bunun i�in�
�zde�erlerin 3 ve 1 oldu�unu g�r�yor musunuz? Size �zde�erlerin 3
ve 1 oldu�unu s�yledi�imde, derhal izi hesaplars�n�z,
ki o 4 t�r. 4 ile ayn� ve determinant� hesaplarsan�z, 3 �arp� 1�determinant �� olur
ve �evet do�rudur� dersiniz.
�imdi umar�m ki �zde�erler 3 ve 1 olur. Bunun i�in determinant� ve izi
i�leme tabii tutabilir miyim? Burada iz ne? Bu matrisin izi -2 ve 6, 4 olur. Ve
�yle de olmas� gerekir. Determinant ne, -12+15 = 3 olur. Determinant 3 d�r. Bu
matrisimde �zde�erleri 3 ve 1 olur. Ve g�r�yorsunuz bu matrisi, akl�ma gelen
her hangi bir M matrisini alarak olu�turdum ve M ters A M yi hesaplad�m. Bu
matrisi elde ettim, o �zel bir �eye benzemiyor, ama o � A n�n kendisi gibi oldu,
o bu 3 ve 1 �zde�erlerine sahip oldu.
Yani bu ana ger�ektir ve onu yazay�m.
Benzer matrisler ayn� �zde�erlere sahip olurlar.
Peki bunu �nemli bir nokta olarak koyaca��m.
D���n ni�in?
Ni�in �yle? ��te bu matrisler ailesinin ne oldu�udur. Burada bu A ya
benzer matrisler, �zde�erleri 3 ve 1 olan b�t�n matrisler olur. �zde�erleri 3 ve
1 olan herhangi bir matrisi aileden, d���nd���n�z herhangi bir matrise ba�layan
bir M vard�r.
Ve sonra tabii ki, bu aile i�erisindeki en �zel olan matris, k��egeninde
3 ve 1 �zde�erleri olan, k��egen matristir. Bu ailenin birka� tane daha
eleman�n� s�yleyin.
Bana �zde�erleri 3 ve 1 olan ba�ka bir matris s�yleyin. �ey, bakal�m,
onu ��gen yapaca��m.
O da bu aile i�inde. �yle bir� M var ki onu buna ba�lar -- ve �una
da.
Bir M matrisi var�yani bu M ters A M bu olarak ortaya ��kar. Burada
b�t�n bir aile var. Ve onlar�n hepsi ayn� �zde�erleri payla��yor. Yani bu ni�in
olur? Tamam.
Ba�layal�m---tek olas�l�k Ax e�it lambda x ile ba�lamak. Tamam, A n�n
lambda �zde�erine sahip oldu�unu varsayal�m. �imdi burada B yi bir �ekilde bu
resmin i�ine sokmak istiyorum. Hat�rlay�n B, M ters AM dir. Onu burada
hat�rlayal�m. B, M ters AM�dir.
Ve onun �zde�erlerini g�rmek istiyorum.
M ters A M yi bu denklem i�ine nas�l koyar�m? Onu bir �ekilde yapay�m.
Bunun i�ine M ters My� koyaca��m, de�il mi? ��te bu- sol yan� de�i�tirmedim,
b�ylece sa� yan� da de�i�tirmesem iyi olur. Yani �imdiye
kadar her �ey tamam. Sadece buraya koymak istiyorum�.bak�n,
elde etmek istiyorum----yani �imdi M ters ile soldan �arpaca��m ve �u lambda
sadece bir say�, yine �n tarafa �arpan olarak ��kar. Burada yapt���m
g�venlidir. Her iki yana da ayn� �eyi yapt�m. Ve B yi elde ettim. Burada B var.
Bu B �arp� bu M ters x vekt�r� e�ittir lambda �arp� bu M ters x vekt�r� olur.
Yani �imdiye kadar ne �grendik? �grendik ki B �arp� bir vekt�r, lambda
�arp� o vekt�rd�r.
Lamdan�n B nin de �zde�eri oldu�unu g�rd�m.
Yani bu---e�er ----b�ylece bu----e�er lambda A n�n bir �zde�eri ise, o
zaman onu bu �ekilde yazar�m ve buldum ki, lambda� B-nin bir �zde�eri olur. Bu da ispat�
bitirir.
�zvekt�rler ayn� kalmazlar.
Tabii ki �zvekt�rlerinde ayn� kalmas�n� beklemiyordum. B�t�n �zde�erler
ayn� iseler ve b�t�n �zvekt�rler ayn� iseler, o zaman muhtemelen matrisler de
ayn� olurdu. Burada �zvekt�rler de�i�iktir. Yani �zvekt�rler----yani buradaki
nokta o zaman B� nin �zvekt�rleri M ters �arp� A n�n �zvekt�r�d�r. Tamam.
Burada s�yleyeceklerim bu kadar. A n�n �zvekt�rleri x idi,
ve b�ylece bu M ters----benzer matrisler, o zaman ayn� �zde�erlere sahip
olurlar ve onlar�n �zvekt�rleri sadece ta��nm�� olur. Tabii ki, ge�mi�te de
�yle olmu�tu----ve en �nemli benzer matrisler k��egen olanlard�r.
Peki k��egenle�tirmemizin �nemi ne idi? Tabii ki
�zde�erlerin ayn� kalmas� idi.
3 ve 1. �zvekt�rlere ne oldu? �zvekt�rler A matrisi i�in her ne iseler
onlar oldu, ama o zaman k��egen matrisin �zvekt�rleri nelerdir?� Bir k��egen matrisin �zvekt�rleri nedir?
Onlar sadece 1� 0
ve 0� 1 dir.
Yani bu ad�m �zvekt�rleri g�zel yapt�, �zde�erleri de�i�tirmedi, her
zaman �zde�erleri de�i�tirmiyoruz.
Ayn� �zde�erler. Tamam.
�imdi---b�ylece b�t�n bu matrisler var,-----�zde�erleri 3 ve 1 olan bu
matrisler ailesini elde ettim. Bir g�zel aile var.
O g�zel ��nk� bu iki �zde�erler farkl�lar.
�imdi bizi daha az mutlu yapacak, iki �zde�erin de ayn� olmas� durumuna
girmek zorunday�m. Ve o zaman o biraz yan�lt�c�, ��nk� hat�rlay�n, iki �zde�er
ayn� oldu�u zaman, k�t� olas�l�k ne idi? Bu belki yeteri say�da �zvekt�r�m�z
olmayabilirdi-- bu yeteri kadar-- �zvekt�rlerin tam seti olmayabilirdi ve
k��egenle�tirme yapamayabiliriz. B�yle bir k�t� durumu tart��mam�z gerekir.
Yani k�t� --- iyebilir miyim, lambda 1 lambda 2 ye e�it ise, o zaman matris
k��egenle�tirilmeyebilir.
Diyelim ki�
lambda 1 e�it lambda 2 e�it 4 d�r. �imdi e�er �zde�erleri 4 ve 4
olan matrisler ailesine bakarsam, -- �ey, benim i�in bir olas�l�k g�z�k�yor,
�zde�erleri 4 ve 4 olan bir aile i�inde bu, 4 �arp� birim matrisi i�ermeli.
Sonra ba�ka bir---ama �imdi 4� 4�
1� 0 matrisi hakk�nda da sormak
istiyorum ve vurgulamak istedi�im,----buradaki bunun b�t�n �nemi---bu k�t�
�eyin---odur ki -- bu adam buradaki ile ayn� aile i�inde de�il.
�zde�erleri 4 ve 4 olan matrislerin iki ailesi var, burada tamamen
yaln�z ailenin d���nda olan bu var- de�il mi? Kendi kendine.
Ve di�erlerinin hepsi bu matrisle birlikteler.
Yani b�y�k aile bunu i�eriyor.
Ve o bir �ok ba�ka matrislerin hepsini
i�eriyor, hepsi---asl�nda, bu 2 ye 2 i�inde, o, nerede oldu�unu
g�r�yorsun�demek istedi�im--- yani bu aile kelimesini kullanarak, aile i�inde,
bence onlar benzer matrisler. Yani s�ylemek istedi�im -- buna� benzer tek matris kendisidir.
4 �arp� birim matrise benzer tek matris 4 �arp� birim matristir. Kendisi
kendi ba��na d��ardad�r.
Ni�in b�yle? Bu---e�er, bu 4 �arp� birim matrisimiz ise,
ve onu al�rsam, onu sa�dan bir M matrisi ile �arparsam, soldan M ters ile
�arparsam, ne elde ederim? Bu herhangi bir M, ama sonu� ne? �ey, 4 � �arpan
olarak d��ar�ya al�rsam, b�ylece bu matrisi tekrar geri elde ettim. Yani M her ne
olursa olsun, ailenin elemanlar�ndan daha fazlas�n� elde edemiyorum.
Yani, bu bir k���k ailedir, ��nk� sadece bir ki�i var.
Bir matris, �z�r dilerim, bu noktada 18:06
i�inde bu matrisleri bu noktada ki�iler olarak d���n�yorum.
Tamam, di�er aileler geriye kalanlar�n hepsini--- �zde�erleri 4 ve 4
olan t�m di�er matrisleri i�eriyor.
Bu bir �ekilde, bu aile i�inde olanlar�n en iyisi.
Bak�n, onu k��egen yapamam, bu buradaki, k��egen olsayd�... O yaln�z
birisi, tek ba��na. Yani d���nmem gerek, tamam, k��egen i�in en yak�n elde
edebilece�im ne? Ama o k��egenle�tirilemez. Bu---bu matrisin
k��egenle�tirilemeyece�ini biliyor musunuz? Tabii ki, ��nk�
k��egenle�tirilebilse idi, buna benzer olmu� olacakt�,
ki de�il. Bunun �zde�erleri 4 ve 4 d�r, ama bu matrisler hakk�nda yakalamam�z
gereken ne? Onun sadece bir �zvekt�r� oldu�u.
Bu bir k��egenle�tirilemez matris.
Sadece bir �zvekt�r var. Ve bir �ekilde, bu bir taneyi on ya da milyona
d�n��t�rebilirsem, bir M matrisi bulabilirim, o bu ailede olur ve benzer olur.
Ama en iyisi--- yani bu aile i�indeki en iyi adam bu birisi olur.
Ve bu Jordan olarak adland�r�l�r---b�ylece bu adam Jordan, bu matrisler
ailesi �zerine �al��t� ve her bir aileden en iyisini, t�m k��egen de�il ama en
k��egen olan�n� se�ti, ��nk� hi� kimse yok, bu aile i�inde k��egen matris yok,
yani Jordan formda -- yukar�da burada bir tane var.
Pekala, bu aile i�inde biraz daha matris g�rsek
iyi olur. Tamam, �imdi kendileri 4 �arp� birim matris olmayan ama �zde�erleri 4
ve 4 olan ba�ka matrisler d���nelim. Ve ben inan�yorum ki se�ece�imiz b�t�n
�rnekler birbirine benzer olacaklar; nedenini g�r�yor musunuz? Bu konuda bunlar
benzer matrislerdir, doruk noktaya Jordan form�l� ile ula�aca��m.
Pekala.. O der ki her matris---Jordan formunun
ne oldu�unu yazaca��m- Jordan ne ke�fetti.
O her bir aile i�inde en iyi g�r�nen matrisi buldu.
Ve b�ylece, o zaman elde ettik---o zaman k��egenle�tirilemeyenleri de
i�eren b�t�n matrisleri kapsad�k.
Bu � bu kilit nokta, Jordan, bir �ekilde, yapabilece�i en yak�na gelerek
k��egenle�tirmeyi tamamlad� -- ki bu onun Jordan formudur.
Ve b�ylece, b�t�n matrisleri kapsamak istiyorsan, onu resmin i�ine
sokmak zorundas�n.
Eskiden, ---18:06 y� ald���m zamanda, bu Jordan
formu bu dersin ula�abilece�i doruk noktas� idi.
Bence o art�k do�rusal cebirin ula�abilece�i doruk noktas� de�il, ��nk�
genel bir matrisin, bu Jordan formunu bulmak kolay de�il; ��nk� o bu
�zde�erlerin tam olarak ayn� olmas�na ba�l�.
Bu �zde�eri� tam
olarak bilmek zorundas�n�z; rank�� tam
olarak bilmek zorundas�n�z ve say�daki en ufak de�i�iklik, �zde�eri de�i�tirir,
rank� de�i�tirir ve b�ylece her �ey say�sal olarak g�zel bir �ey olmaz. Ama
cebir i�in, bu aileyi anlamak i�in, do�ru oland�r. Pekala
bana ba�ka bir matris----biraz daha fazla matris,---yani bu ailenin daha fazla
elemanlar�ndan s�yleyin. En iyisi olan� tekrar buraya� koyay�m. Tamam.
Pekala, biraz daha fazla matris.
Bakal�m, Ne ar�yorum? Arad���m matrislerin izleri ne? Yani bu aile
i�inde daha fazla matris ararsam, onlar�n hepsinin �zde�erleri ayn�, 4 ve 4
olmal�. Yani onlar�n izi 8 olacak.
Yani neden sadece 5 ve 3 � alm�yorum ki---izi do�ru elde ettim, �imdi
determinant ne olmal�? 16. Pekala bunu
ayarlayal�m---belki de buraya bir ve buraya � 1 koymal�y�m? Tamam.
�zde�erleri 4 ve 4 olan bir matris oldu, ��nk� izi 8 ve determinant� 16 d�r.
Ve onun k��egenle�tirilebilece�ini d���nm�yorum.
Neden k��egenle�tirilemeyece�ini biliyor musunuz? ��nk� e�er
k��egenle�tirilebilseydi, k��egen formu bu olmak zorundayd�.
Ama o forma sokamam, ��nk� herhangi bir M ters M ile ne yaparsam
yapay�m, bu formda kal�r�m.
Bu ba�lant�y� hi�bir zaman elde edemem.
Yani daha fazla eleman koyabilirim---burada---i�te ba�ka bir kolay
olan�. 4 ve 4, ve a�a��ya buraya 17 koyabilirim. B�t�n
bu matrisler benzer olurlar. Bu birini �u birine benzer oldu�unu g�sterecek bir
M matrisi bulabilirim. Genel resmi g�rebilirsiniz, herhangi bir a ve buraya
herhangi bir 8 eksi a ve herhangi bir � oh, bilmiyorum, buraya ne koyarsan�z
koyun olur,----her neyse, g�r�yorsunuz, bunu doldurabilirim. �zi 8 ve
determinant 16 yapacak �ekilde doldurabilirim, b�t�n bu matrisler ailesini elde
edebilirim ve onlar�n hepsi benzer olurlar. Pekala
�zde�erlerin ne yapt���n� g�r�yoruz.
Onlar�n hepsi benzerler ve hepsinin de sadece bir �zvekt�r� var.
Peki, bana bu resme eklemek i�in izin verirseniz, onlar ayn� lambdalara
ve ayn� zamanda ayn� say�da ba��ms�z �zvekt�rlere sahip olurlar.
��nk� x i�in bir �zvekt�r elde edersem, A i�in de ayn� zamanda B i�in de
elde ederim; ayn� say�da �zde�erler var. Ama bundan daha fazlas� var---bundan
daha fazlas� var, yani, sadece �zvekt�rleri saymak yeterli olmaz, Evet,
�zde�erleri sayman�n neden yeterli olmad���na bir �rnek vereyim.
Peki ba�ka bir �rnek, i�te burada baz� matrisler,----oh,
onlar� 4x4 yapay�m, tamam, burada---i�te bir matris yani korkun� r�yalar g�rmek
istiyorsan�z bunun gibi olan matrisleri d���n�n.
K��egende olmayan bir tane bir, burada da bir olsun, ka� tane---bu
matrisin �zde�erleri neler? Oh, yani- peki. Bu
matrisin �zde�erleri neler? L�tfen, 4 tane s�f�r de�il mi? �imdi ger�ekten k�t�
matrisler al�yoruz.
Yani bence, bu, Jordan iyi adamd�, ama 4 kez tekrarlanan �zde�ere sahip
bunun gibi b�t�n matrisleri d���nmeliydi.
Bu matrisin ka� tane �zvekt�r� var? �ey, �zvekt�rler -- bu �zde�er s�f�r
oldu�undan, �zvekt�rler s�f�r uzay�nda olacak, de�il mi? �zvekt�rler Ax=0x
olmak zorunda.
Peki, s�f�r uzay�n�n boyutu ne? 2. Birileri 2 dedi.
Ve bu do�ru. Ni�in? ��nk� bu
matrisin rank�n�n ne oldu�unu sorars�n, bu rank apac�k ikidir. Ba��ms�z
sat�rlar�n say�s� ikidir ve ba��ms�z s�tunlar�n say�s� 2 dir, rank ikidir
b�ylece s�f�r uzay�n�n boyutu 4-2 olur, yani iki �zvekt�r var. �ki �zvekt�r.
�ki ba��ms�z �zvekt�r. Pekala.
S�f�r uzay�n�n�
boyutu 2 dir.
�imdi, bu s�f�r� yedi ile de�i�tirdi�imizi varsayal�m.
�zde�erlerin hepsi hala s�f�r olur, ---ne hakk�nda�ka� tane �zvekt�r
var? Bu matrisin �imdi rank� ne? Hala 2, de�il mi? Peki .
Tamam.
Ve asl�nda, bu burada s�f�r� olan ile benzer olurdu.
Ama bu Jordan�n se�ti�i kadar g�zel de�il.
Jordan �unu�
se�ti � O birler koydu � her bir eksik �zvekt�rler i�in k��egen
�zerine birler koydu, ve burada bizim iki eksi�imiz var ��nk� iki taneye
sahibiz, yani iki �zde�erimiz var iki tane eksik olur, ��nk� o bir 4 e 4
matristir.
Tamam, �imdi---size bu ikinci �rne�i verece�im.
0 1 0 0, bu biri kald�ray�m, eyvah, buradaki de�il. K��egen d���nda ve 0
0 0 0 .
Tamam, �imdi bu matris hakk�nda bana bir �eyler s�yleyin. Onun
�zde�erleri yine 4 tane s�f�r olur. Onun rank� yine 2 olur.
Peki onun iki �zvekt�r� var ve ikisi eksik.
Ama bu lanet olas� buradaki ile benzer de�il.
�zvekt�rlerin say�s�na bak�nca bunlar benzer olabilir gibi, ama
de�iller.
Jordan�bak�n, bu bir k���k 3x3 blok ve 1x1 blok gibi olur.
Ve buradaki bir 2x2 blok ve bir 2x2� blok gibi olur, ve bu bloklar Jordan
bloklar� olarak adland�l�rlar.
Peki bir Jordan blokun ne oldu�unu s�yleyeyim
mi? J, blok say�s� i olan, (J_i), yani bir Jordan blokun k��egen �zerinde
tekrarlanan �zde�erleri, lambda_i ler alt�nda s�f�rlar ve �zerinde birler var.
Yani tekrarlanan bu adam ile bir blok var, ama o sadece bir �zvekt�re sahip.
Yani bir Jordan bloku sadece bir �zvekt�re sahiptir. Buradaki bir �zvekt�re
sahip, bu blok bir �zvekt�re sahip ve 2 elde ettik.
Bu blok bir �zvekt�re sahip ve �u blok bir �zvekt�re sahip ve 2 elde
ettik. Ama bloklar�n boyutlar� farkl�. Ve bununla
Jordan�n �ak��t��� ortaya ��k�yor. O zaman bu buradaki ile benzer de�il.� Pekala size b�t�n
hikayeyi---�ey, b�t�n hikayeyi de�il, ama hikayenin ana temalar�n�
anlat�yorum--- i�te buradaki Jordan teoremi.
�
Her A kare matrisi bir J Jordan matrisine benzerdir.
Ve J Jordan matrisi ne? O bir numaral� Jordan blok, iki numaral� Jordan blok, ve b�yle devam eden bir bloklar matrisidir.
Ve d numaral� Jordan blok diyelim.
Ve Jordan bloklar� bunlara benziyor, yani k��egen �zerinde �zde�erleri
var ama k��egen �st�nde bu birleri oland�r. Blok numaralar�na sahibiz---blok
numaralar� �zvekt�rlerin say�lar� olur, ��nk� her bir blok i�in bir �zvekt�r�m�z
oldu. Pekala ne yapay�m Jordan��n fikrini �zetlersem,
herhangi bir A ile ba�lar.
Onun �zde�erleri farkl�ysa, o zaman o neye benzer olur? Bu iyi durumdur.
Bir A ile ba�larsam ve o farkl� �zde�erlere,--- n �zde�ere sahipse,
onlar�n hi�biri tekrarlanm�yorsa, o zaman bu bir k��egen----k��egenle�tirilebilir
matris----Jordan bloklar� var----bu Jordan matris k��egendir.
O lambda olur. Yani g�zel durum---bu g�zel durum, J lambdad�r.
B�t�n----d=n� tane
�zvekt�r var, n� blok, k��egen, her�ey
�ok g�zel.
Ama Jordan, tekrarlanan �zde�erleri ve eksik �zvekt�rleri durumlar�n� da
i�eren b�t�n durumlar� kapsad�.
Pekala, bu bir Jordan tan�mlamas�d�r.
Bu ----yani---bu �eyleri nas�l hesaplayaca��n�z� hen�z s�ylemedim ve
kolay de�il.
18:06 bu g�zel duruma kadar i�eriyor, bu durum
18:06 da 20 y�l �nce vard�. D�rt tekrarlanan �zde�eri olan korkun� �eylerin,
Jordan matrisinin hesaplanmas�n�n, final s�nav�nda olmas�n�n m�mk�n
olmayaca��n� g�rebiliyorsunuz.
Bu Jordan formuna deli divane de�ilim.
Ama pozitif tan�ml� matrisler ve Pazartesi g�n� g�rece�imiz, tekil de�er
ayr��t�rmas� ile ilgili olumlu d���n�yorum. Peki
Pazartesi g�r���r�z. �yi hafta sonlar�. Ho��akal�n.