MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 28

Tamam, bu ders çoğunlukla benzer matrisler hakkında olacak. Bu benzer kelimesinin ne anlama geldiğini açıklayacağım. Ve ne zaman iki matrise benzer diyeceğiz anlatacağım. Ama bunları yapmadan önce, pozitif tanımlı matrisler üzerine söyleyeceğim birkaç şey daha var. Bu konunun çok önemli olduğunun farkındasınız ve pozitif tanımlı ne anlama geldiğini söylemiştim---bunun anlamı---bu ifadedenin, x devrik Ax’in, ikinci dereceden yapının herzaman pozitif olması.

Ama onu test etmenin direk yolu özdeğerler, ya da pivotlar ya da determinantlar idi. Yani bunun ne anlama geldiğini biliyoruz, onu nasıl test edeceğimizi de biliyoruz, ama pozitif tanımlı matrislerin gerçekten nereden geldiğini söylemedik. Ve böylece söylemek istediğim tek şey, onların en küçük karelerden geldiği---ve bir dikdörtgen matris ile başlayan fiziksel problemlerin tüm çeşitlerinden— hatırlarsanız en küçük karelerdeki en önemli bileşim A devrik A idi.

Yani göstermek istediğim bunun pozitif tanımlı bir matris olduğudur.

Bu yüzden ---pozitif tanımlı matrisler hakkında biraz daha konuşacağım, sadece yeniden özetleyeceğim---peki bir soru sorayım.

O belki ev ödevinde de olacak. Bir A matrisinin pozitif tanımlı olduğunu varsayalım. Bunun anlamı,---onun simetrik olduğunu kabul ediyorum. Tanımın içinde bu herzaman var. Yani bir simetrik pozitif tanımlı matrisimiz var. Onun tersi ne? Bir simetrik pozitif tanımlı matrisin tersi de simetrik pozitif tanımlı mıdır? Peki, hızlı düşünün, tamam, bu ters matrisin pivotları hakkında ne biliyorum? Çok değil, bu ters matrisin özdeğerleri hakkında ne biliyorum? Her şeyi, değil mi? Bu tersin özdeğerleri 1 bölü matrisin özdeğeri olur.

Yani matrisimiz başlarken pozitif tanımlı ise, o zaman hemen biliyorum ki onun tersi de pozitif tanımlıdır, çünkü bu pozitif özdeğerler—öyleyse 1 bölü bu özdeğerler de pozitiftir.

Bir A matrisi ve bir B matrisinin her ikisininde pozitif tanımlı olduğunu biliyorsam,neler olacaktır? Fakat size şunu sorayım. A ve B pozitif tanımlı olduklarını varsayalım, A + B ne olur? Bir şekilde, bunun doğru olmasını bekleriz.

Bir matris için pozitif tanımlılık bir şekilde bir gerçek sayının pozitif olmasına benzer. Ama A+B nin özdeğerlerini bilmiyoruz. A+B nin pivotlarını bilmiyoruz. Bu yüzden, biz sadece, pekala, listeye bakarak, pozitif tanımlılık için hangi yaklaşımla bunu başarabiliriz? Ve bu iyidir. Şu iyidir.

Olabilir---buna nasıl karar veririz---A böyle olsaydı ve B şöyle olsaydı, o zaman x devrik (A+B)x e bakardık. Bunun ev ödevinde olacağından şüphem yok. Bundan eminim. Şimdi ---x devrik Ax sıfırdan büyük, x devrik B x pozitif -- her x için, peki şimdi bu adam hakkında soruyorum.

Ve tabii ki, sadece bunu ve bunu toplarsak istediğimizi elde ederiz. Eğer A ve B pozitif tanımlıysalar, A+B de öyle. Bu da gösterdiğimiz olur.

Yani A+B de öyle. Sadece---bu ifade ile ve özdeğerlerle bütün yaklaşımlar için bir şekilde hazır olmalıyız. Ve şimdi, sonunda pozitif tanımlıda, en küçük kareler içinde ortaya çıkan bu bileşim hakkında bir daha düşündüm: bunu yapabilir miyim? Peki şimdi---şimdi kabul edelim ki A dikdörtgensel m ye n olsun.

Yani üzgünüm , özdeğerler bölümü için de, pozitif tanımlı matrisler için bu aynı A harfini kullanıyorum, bu harfi çok eskiden önceki bölümler için de matrisin dikdörtgensel olduğunda kullandım.

Şimdi, bu matris---bir dikdörtgensel matris, hiçbir şekilde pozitif tanımlı olamaz. O simetrik değil.

Genelde o kare bile değil.

Ama hatırlayın ki bu dikdörtgenseller için kilit nokta A devrik A idi. Bu karedir.

Bu simetriktir. Bunlar bildiğimiz şeyler---bu şeylere en küçük kareler içinde; bu izdüşüm şeyi içinde, önceden karşılaşmıştık. Ama şimdi bir şey daha biliyoruz. Önemli bir soru sorabiliriz, bir derin soru---o pozitif tanımlı mı? Ve böyle olmasını umuyoruz.

Biz----olabilir- sayılarla bir benzerlik var, bu bir çeşit bir sayının karesinin pozitif olması gibidir. Peki şimdi bir matris sorusu sormak istiyorum. A devrik A pozitif tanımlı mıdır? Tamam, şimdi o---yeniden, bir dikdörtgen A matrisi ile başladım, fakat o A devrik A bileşimi ki bu kare, simetrik ve umarım pozitif tanımlı matris olur.

Yani nasıl---bunun pozitif tanımlı olduğunu, ya da en azından pozitif yarı-tanımlı olduğunu nasıl görürüm? Bunu göreceğiz. Bu çarpımın özdeğerlerini bilmiyorum. Pivotlarla çalışmak istemiyorum, bakılacak doğru şey---doğru nicelik, bu x devrik Ax----x devrik çarpı matrisimiz çarpı x dir.

Bu şeyin---bu ifadenin her zaman pozitif olduğunu görmek istiyorum. Onu sayılarla yapmayacağım, onu sembollerle yapacağım, görüyorsunuz…Bu ifadenin pozitif olacağını nasıl görürüm? Bir dikdörtgensel matris A ve bir A devrik alıyorum--- bu bana kare simetrik bir şeyleri verir, ama şimdi görmek istiyorum ki çarparsam----ki bunu yaparsam----bu ikinci dereceden ifade oluşur ki onu çizdiğimde yukarı doğru giden bu pozitif şeyi elde ederim.

Bunun pozitif, yada en azından kesinlikle negatif olmayan olduğunu nasıl görürüm? O sıfır olabilir mi sorusu üzerine biraz zaman harcamamız gerekecek, ama o negatif olamaz.

Niçin bu hiçbir zaman negatif olamaz? Görüş şu- doğrusal cebirde çok fazla adım içinde olduğu gibi anahtar fikir----şu parantezleri doğru yerlere koy.

Parantezleri Ax etrafına koy ve ilk parça ne? Bu x devrik A devrik ne? Bu Ax devrik olur -- yani neyimiz var? (Ax) karenin uzunluğuna sahibiz.

Elimizde---uzunlukları karesi kesinlikle sıfırdan büyük ya da muhtemelen sıfıra eşit olan A x in sütun vektörü ve Ax in satır vektörü var. Böylece bu küçük olasılıkla ilgilenmek gerek. Sıfıra eşit olabilir mi? Şey, uzunluğun karesi ne zaman sıfır olur? Sadece vektör sıfırsa, değil mi? Sıfır vektörü, uzunluğunun karesi sıfır olan tek vektördür.

Yani elimizde---bu olasılıktan kurtulmak istiyoruz. Yani Ax asla- sıfır olmasın istiyorum, tabii ki sıfır vektörü hariç.. Ax’in asla sıfır olmayacağını nasıl garanti edebiliriz? Başka bir deyişle, A nın sıfır uzayının olmadığını nasıl gösteririm? Rank---yani hatırlayın---sıfır uzayının olmadığında rank ne idi? Sıfır uzayı yok demenin ne anlama geldiğini biliyorsunuz. Bu sıfır uzayı içinde sadece sıfır vektörü var demek idi. Böylece, bir 11 e 5 matrisimiz varsa—onun 11 satırı, 5 sütunu var, ne zaman sıfır uzayı olmaz? Peki sütunlar bağımsız olmalılar---rank ne? n 5 dir---rank n olur. Bağımsız sütunlar, ne zaman---yani ben---o zaman kararım evet, pozitif tanımlı, Ve kabulümüzdür ki-- o zaman A devrik A nın tersi vardır---en küçük karelerin, denklemlerin hepsi iyi çalışır. Ve daha fazlası----hatta matris pozitif tanımlı olur.

Ve şimdi bir pozitif tanımlı matris ile nümerik şeyler hakkında bir düşüncemi söyleyeyim, hiçbir zaman satır değiş-tokuşları yapmamız gerekmez.

Pivot pozisyonlarında uygun olmayan küçük sayılara veya sıfırlara hiçbir zaman rastlamazsınız. Onlar hesaplamalar için en uygun - en güzel matrislerdir. Ve çalışmak için en iyileridir. Böylece---benzer matrislerin ilk dakikasını alarak pozitif tanımlı matrislere biraz daha devam etmek istedim.

Şimdi bu noktada aslında, gittikçe Doğrusal Cebirin kalbinin sonuna yaklaşıyoruz. Pozitif tanımlılık herşeyi bir araya getirdi. Benzer matrisler, bu saatin geriye kalanında gelecek bir anahtar (kilit) konudur, ve lütfen Pazartesi günü gelin. Pazartesi tekil değer ayrıştırması olarak adlandırılanlar hakkında olacak, -- tekil değerler. Onlar doğrusal cebirin merkez (ana) parçası olmaya başladılar.

Yani, pazartesiden sonra gelebilirsiniz, ama ----Pazartesi---bu tekil değer şeyler bu derste yapılacak. 10 yıl önce, 5 yıl önce bu derslerde yoktu, şimdi o olmak zorunda.

Tamam, bu günkü derse uygun bir şekilde benzer matrislerin bu fikri ile başlayabilir miyim?

Bu benzer matrislerin ne anlama geldiğidir.

Burada---tekrar başlayayım. Tekrar yazacağım.

Yani A ve B benzerler. A ve B –şimdi ben--- bu matrisler---artık simetrik matrisler hakkında konuşmuyorum,----en azından artık simetrik matrisler beklemiyorum. n ye n iki kare matris hakkında konuşacağım. A ve B, n ye n matrisler olsunlar. Ve bu benzer kelimesini tanıtıyorum. Yani bunun anlamını söyleyeceğim. Bu demektir ki onlar, buraya yazdığım bu yolla biri birine bağlıdırlar, peki onu tekrar yazayım. Bu demektir ki bir M matrisi için, ki tersinin olması gerekli, çünkü göreceksiniz----bu matris var----başka bir matris alalım, M ile sağdan ve M tersi ile soldan çarpalım. Yani soru şu; niçin bu bileşim? Ama halihazırda cevabın parçasını biliyorsunuz, hatırlayın---bunu yaptık ----bir A matrisi aldık---peki benzer bir örnek yapayım.

Varsayalımki A- bir A matrisi—bütün maksimum sayıda özvektörlere sahip olsun. Bunlar S özvektörler matrisini oluşturur. O zaman bütün bunların ana noktası- bütün bölümün ana hesaplaması, mümkün olan en iyi matris lambdayı oluşturmak için bu özvektörler matris ve onun tersini kullanmak idi. Mümkün olan en iyisi, çünkü o köşegendir. Yani, yeni söylemimiz de, bu A nın lambda matrisine benzer olduğunu söyler.

A lambda’ya benzer, çünkü bir matris var, bu özel matris var---ve M var ve bu özel M, bu önemli adam, bu özvektör matrisidir. Ama farklı bir M matrisi alırsak ve M ters AM (M^-1AM) ye bakarsak, sonuç köşegen (diagonal) matris olarak değil ama A ya benzer bir B matrisi olarak ortaya çıkar. Yaptığım şeyin---bu matrisleri bir aile içine koymak gibi olduğunu görüyorsunuz. Bu aile içindeki bütün matrisler birbirine benzerdir.

Bütün bunlar---bu aile içindeki her biri bir M matrisi ile biri biriyle bağlantılıdır ve bu ailenin seçkin üyesi, bu köşegen matris olur. Bence, A ya benzeyen bütün matrislerin bu ailesi içinde en basit, en etkileyici, en iyi olan lambdadır. Ama başka bir çokları da var, çünkü S yerine başka alabilirim, her hangi eski bir matris M, tersi olan herhangi bir M matrisi alabilirim ve--- bunu bir örnek yapsam iyi olacak.

Tamam. A olarak 2 1 1 2 matrisini aldığımı varsayalım. Tamam.

Bunun için özdeğer matrisi biliyor muyuz? Bu matrisin özdeğerleri, 3 ve 1 olur.

Böylece bu—ve özvektörleri bulmak kolay olacak.

Yani bu matris buna benzerdir.

Ama vurgulamak istediğim, aynı zamanda 2 1 1 2 matrisini alabilirim, onu---bakalım, ne ile çarpabilirim—buraya bir M matrisi uyduracağım.

Uydurayım -- 1, 4, 1, 0.

Ve buraya M tersi koyacağım, ve çünkü onu köşegen yapmam gerekli, onun tersinin bu olduğunu biliyorum, değil mi? Yani M ters A M olur, bu bir matris verecek; tamam, çarpım yapmam gerekiyor, yani biraz bekleyin, bırakın--- sadece bu 1 -1 4 0 kopyalama ve bu adamlarla çarparım böylece 2, 9, 1 ve 6 elde ederim, bence.

Ben devam ederken kontrol edebilir misiniz, çünkü siz---görüyorum ben sadece---yine bu 2 -4, elimde -2 9 -24 var bu -15 eder, aa, bunu nasıl elde ettim? Ve bunlar muhtemelen 1 ve 6 olur.

Yani burada B matrisim var. Ve burada lambda matrisim var, burada A matrisim var ve vurgulamak istediğim bunların hepsinin benzer matris oldukları. Hepsinin ortak bir bir şeyleri var, ikiye 2 olmalarının yanında.

Hepsinin ortak birşeyleri var. Ve o nedir? B, M ters A M den den inşa edildi.

A ve B nin ortak olduğu şey ne? Size benzer matrisler hakkında ana gerçeği söyleyeceğim. Onlar aynı özdeğere sahiptirler.

Bu----bu bölüm özdeğerler hakkında ve bu nedenle aynı özdeğerlere sahip bu matrisler ailesi ile ilgileniyoruz. Bu örnekte özdeğerler neler? Lambda.

Onun özdeğerlerini hesaplıyabilirim.

Onun özdeğerlerini gerçekten hızlı bir şekilde hesaplayabilirim.

Bu durumda özdeğerler 3 ve 1 olur – eminim.

Bunun için özdeğerlerin 3 ve 1 olduğunu görüyor musunuz? Size özdeğerlerin 3 ve 1 olduğunu söylediğimde, derhal izi hesaplarsınız, ki o 4 tür. 4 ile aynı ve determinantı hesaplarsanız, 3 çarpı 1—determinant üç olur ve “evet doğrudur” dersiniz.

Şimdi umarım ki özdeğerler 3 ve 1 olur. Bunun için determinantı ve izi işleme tabii tutabilir miyim? Burada iz ne? Bu matrisin izi -2 ve 6, 4 olur. Ve öyle de olması gerekir. Determinant ne, -12+15 = 3 olur. Determinant 3 dür. Bu matrisimde özdeğerleri 3 ve 1 olur. Ve görüyorsunuz bu matrisi, aklıma gelen her hangi bir M matrisini alarak oluşturdum ve M ters A M yi hesapladım. Bu matrisi elde ettim, o özel bir şeye benzemiyor, ama o – A nın kendisi gibi oldu, o bu 3 ve 1 özdeğerlerine sahip oldu.

Yani bu ana gerçektir ve onu yazayım.

Benzer matrisler aynı özdeğerlere sahip olurlar.

Peki bunu önemli bir nokta olarak koyacağım. Düşün niçin?

Niçin öyle? İşte bu matrisler ailesinin ne olduğudur. Burada bu A ya benzer matrisler, özdeğerleri 3 ve 1 olan bütün matrisler olur. Özdeğerleri 3 ve 1 olan herhangi bir matrisi aileden, düşündüğünüz herhangi bir matrise bağlayan bir M vardır.

Ve sonra tabii ki, bu aile içerisindeki en özel olan matris, köşegeninde 3 ve 1 özdeğerleri olan, köşegen matristir. Bu ailenin birkaç tane daha elemanını söyleyin.

Bana özdeğerleri 3 ve 1 olan başka bir matris söyleyin. Şey, bakalım, onu üçgen yapacağım.

O da bu aile içinde. Öyle bir M var ki onu buna bağlar -- ve şuna da.

Bir M matrisi var—yani bu M ters A M bu olarak ortaya çıkar. Burada bütün bir aile var. Ve onların hepsi aynı özdeğerleri paylaşıyor. Yani bu niçin olur? Tamam.

Başlayalım---tek olasılık Ax eşit lambda x ile başlamak. Tamam, A nın lambda özdeğerine sahip olduğunu varsayalım. Şimdi burada B yi bir şekilde bu resmin içine sokmak istiyorum. Hatırlayın B, M ters AM dir. Onu burada hatırlayalım. B, M ters AM’dir.

Ve onun özdeğerlerini görmek istiyorum.

M ters A M yi bu denklem içine nasıl koyarım? Onu bir şekilde yapayım. Bunun içine M ters Myı koyacağım, değil mi? İşte bu- sol yanı değiştirmedim, böylece sağ yanı da değiştirmesem iyi olur. Yani şimdiye kadar her şey tamam. Sadece buraya koymak istiyorum….bakın, elde etmek istiyorum----yani şimdi M ters ile soldan çarpacağım ve şu lambda sadece bir sayı, yine ön tarafa çarpan olarak çıkar. Burada yaptığım güvenlidir. Her iki yana da aynı şeyi yaptım. Ve B yi elde ettim. Burada B var. Bu B çarpı bu M ters x vektörü eşittir lambda çarpı bu M ters x vektörü olur.

Yani şimdiye kadar ne ögrendik? Ögrendik ki B çarpı bir vektör, lambda çarpı o vektördür.

Lamdanın B nin de özdeğeri olduğunu gördüm.

Yani bu---eğer ----böylece bu----eğer lambda A nın bir özdeğeri ise, o zaman onu bu şekilde yazarım ve buldum ki, lambda B-nin bir özdeğeri olur. Bu da ispatı bitirir.

Özvektörler aynı kalmazlar.

Tabii ki özvektörlerinde aynı kalmasını beklemiyordum. Bütün özdeğerler aynı iseler ve bütün özvektörler aynı iseler, o zaman muhtemelen matrisler de aynı olurdu. Burada özvektörler değişiktir. Yani özvektörler----yani buradaki nokta o zaman B’ nin özvektörleri M ters çarpı A nın özvektörüdür. Tamam.

Burada söyleyeceklerim bu kadar. A nın özvektörleri x idi, ve böylece bu M ters----benzer matrisler, o zaman aynı özdeğerlere sahip olurlar ve onların özvektörleri sadece taşınmış olur. Tabii ki, geçmişte de öyle olmuştu----ve en önemli benzer matrisler köşegen olanlardır.

Peki köşegenleştirmemizin önemi ne idi? Tabii ki özdeğerlerin aynı kalması idi.

3 ve 1. Özvektörlere ne oldu? Özvektörler A matrisi için her ne iseler onlar oldu, ama o zaman köşegen matrisin özvektörleri nelerdir? Bir köşegen matrisin özvektörleri nedir? Onlar sadece 1 0 ve 0 1 dir.

Yani bu adım özvektörleri güzel yaptı, özdeğerleri değiştirmedi, her zaman özdeğerleri değiştirmiyoruz.

Aynı özdeğerler. Tamam.

Şimdi---böylece bütün bu matrisler var,-----özdeğerleri 3 ve 1 olan bu matrisler ailesini elde ettim. Bir güzel aile var.

O güzel çünkü bu iki özdeğerler farklılar.

Şimdi bizi daha az mutlu yapacak, iki özdeğerin de aynı olması durumuna girmek zorundayım. Ve o zaman o biraz yanıltıcı, çünkü hatırlayın, iki özdeğer aynı olduğu zaman, kötü olasılık ne idi? Bu belki yeteri sayıda özvektörümüz olmayabilirdi-- bu yeteri kadar-- özvektörlerin tam seti olmayabilirdi ve köşegenleştirme yapamayabiliriz. Böyle bir kötü durumu tartışmamız gerekir. Yani kötü --- iyebilir miyim, lambda 1 lambda 2 ye eşit ise, o zaman matris köşegenleştirilmeyebilir.

Diyelim ki lambda 1 eşit lambda 2 eşit 4 dür. Şimdi eğer özdeğerleri 4 ve 4 olan matrisler ailesine bakarsam, -- şey, benim için bir olasılık gözüküyor, özdeğerleri 4 ve 4 olan bir aile içinde bu, 4 çarpı birim matrisi içermeli.

Sonra başka bir---ama şimdi 4 4 1 0 matrisi hakkında da sormak istiyorum ve vurgulamak istediğim,----buradaki bunun bütün önemi---bu kötü şeyin---odur ki -- bu adam buradaki ile aynı aile içinde değil.

Özdeğerleri 4 ve 4 olan matrislerin iki ailesi var, burada tamamen yalnız ailenin dışında olan bu var- değil mi? Kendi kendine.

Ve diğerlerinin hepsi bu matrisle birlikteler.

Yani büyük aile bunu içeriyor.

Ve o bir çok başka matrislerin hepsini içeriyor, hepsi---aslında, bu 2 ye 2 içinde, o, nerede olduğunu görüyorsun—demek istediğim--- yani bu aile kelimesini kullanarak, aile içinde, bence onlar benzer matrisler. Yani söylemek istediğim -- buna benzer tek matris kendisidir.

4 çarpı birim matrise benzer tek matris 4 çarpı birim matristir. Kendisi kendi başına dışardadır.

Niçin böyle? Bu---eğer, bu 4 çarpı birim matrisimiz ise, ve onu alırsam, onu sağdan bir M matrisi ile çarparsam, soldan M ters ile çarparsam, ne elde ederim? Bu herhangi bir M, ama sonuç ne? Şey, 4 ü çarpan olarak dışarıya alırsam, böylece bu matrisi tekrar geri elde ettim. Yani M her ne olursa olsun, ailenin elemanlarından daha fazlasını elde edemiyorum.

Yani, bu bir küçük ailedir, çünkü sadece bir kişi var.

Bir matris, özür dilerim, bu noktada 18:06 içinde bu matrisleri bu noktada kişiler olarak düşünüyorum.

Tamam, diğer aileler geriye kalanların hepsini--- özdeğerleri 4 ve 4 olan tüm diğer matrisleri içeriyor.

Bu bir şekilde, bu aile içinde olanların en iyisi.

Bakın, onu köşegen yapamam, bu buradaki, köşegen olsaydı... O yalnız birisi, tek başına. Yani düşünmem gerek, tamam, köşegen için en yakın elde edebileceğim ne? Ama o köşegenleştirilemez. Bu---bu matrisin köşegenleştirilemeyeceğini biliyor musunuz? Tabii ki, çünkü köşegenleştirilebilse idi, buna benzer olmuş olacaktı, ki değil. Bunun özdeğerleri 4 ve 4 dür, ama bu matrisler hakkında yakalamamız gereken ne? Onun sadece bir özvektörü olduğu.

Bu bir köşegenleştirilemez matris.

Sadece bir özvektör var. Ve bir şekilde, bu bir taneyi on ya da milyona dönüştürebilirsem, bir M matrisi bulabilirim, o bu ailede olur ve benzer olur. Ama en iyisi--- yani bu aile içindeki en iyi adam bu birisi olur.

Ve bu Jordan olarak adlandırılır---böylece bu adam Jordan, bu matrisler ailesi üzerine çalıştı ve her bir aileden en iyisini, tüm köşegen değil ama en köşegen olanını seçti, çünkü hiç kimse yok, bu aile içinde köşegen matris yok, yani Jordan formda -- yukarıda burada bir tane var.

Pekala, bu aile içinde biraz daha matris görsek iyi olur. Tamam, şimdi kendileri 4 çarpı birim matris olmayan ama özdeğerleri 4 ve 4 olan başka matrisler düşünelim. Ve ben inanıyorum ki seçeceğimiz bütün örnekler birbirine benzer olacaklar; nedenini görüyor musunuz? Bu konuda bunlar benzer matrislerdir, doruk noktaya Jordan formülü ile ulaşacağım.

Pekala.. O der ki her matris---Jordan formunun ne olduğunu yazacağım- Jordan ne keşfetti.

O her bir aile içinde en iyi görünen matrisi buldu.

Ve böylece, o zaman elde ettik---o zaman köşegenleştirilemeyenleri de içeren bütün matrisleri kapsadık.

Bu – bu kilit nokta, Jordan, bir şekilde, yapabileceği en yakına gelerek köşegenleştirmeyi tamamladı -- ki bu onun Jordan formudur.

Ve böylece, bütün matrisleri kapsamak istiyorsan, onu resmin içine sokmak zorundasın.

Eskiden, ---18:06 yı aldığım zamanda, bu Jordan formu bu dersin ulaşabileceği doruk noktası idi.

Bence o artık doğrusal cebirin ulaşabileceği doruk noktası değil, çünkü genel bir matrisin, bu Jordan formunu bulmak kolay değil; çünkü o bu özdeğerlerin tam olarak aynı olmasına bağlı.

Bu özdeğeri tam olarak bilmek zorundasınız; rankı tam olarak bilmek zorundasınız ve sayıdaki en ufak değişiklik, özdeğeri değiştirir, rankı değiştirir ve böylece her şey sayısal olarak güzel bir şey olmaz. Ama cebir için, bu aileyi anlamak için, doğru olandır. Pekala bana başka bir matris----biraz daha fazla matris,---yani bu ailenin daha fazla elemanlarından söyleyin. En iyisi olanı tekrar buraya koyayım. Tamam.

Pekala, biraz daha fazla matris.

Bakalım, Ne arıyorum? Aradığım matrislerin izleri ne? Yani bu aile içinde daha fazla matris ararsam, onların hepsinin özdeğerleri aynı, 4 ve 4 olmalı. Yani onların izi 8 olacak.

Yani neden sadece 5 ve 3 ü almıyorum ki---izi doğru elde ettim, şimdi determinant ne olmalı? 16. Pekala bunu ayarlayalım---belki de buraya bir ve buraya – 1 koymalıyım? Tamam.

Özdeğerleri 4 ve 4 olan bir matris oldu, çünkü izi 8 ve determinantı 16 dır.

Ve onun köşegenleştirilebileceğini düşünmüyorum.

Neden köşegenleştirilemeyeceğini biliyor musunuz? Çünkü eğer köşegenleştirilebilseydi, köşegen formu bu olmak zorundaydı.

Ama o forma sokamam, çünkü herhangi bir M ters M ile ne yaparsam yapayım, bu formda kalırım.

Bu bağlantıyı hiçbir zaman elde edemem.

Yani daha fazla eleman koyabilirim---burada---işte başka bir kolay olanı. 4 ve 4, ve aşağıya buraya 17 koyabilirim. Bütün bu matrisler benzer olurlar. Bu birini şu birine benzer olduğunu gösterecek bir M matrisi bulabilirim. Genel resmi görebilirsiniz, herhangi bir a ve buraya herhangi bir 8 eksi a ve herhangi bir – oh, bilmiyorum, buraya ne koyarsanız koyun olur,----her neyse, görüyorsunuz, bunu doldurabilirim. İzi 8 ve determinant 16 yapacak şekilde doldurabilirim, bütün bu matrisler ailesini elde edebilirim ve onların hepsi benzer olurlar. Pekala özdeğerlerin ne yaptığını görüyoruz.

Onların hepsi benzerler ve hepsinin de sadece bir özvektörü var.

Peki, bana bu resme eklemek için izin verirseniz, onlar aynı lambdalara ve aynı zamanda aynı sayıda bağımsız özvektörlere sahip olurlar.

Çünkü x için bir özvektör elde edersem, A için de aynı zamanda B için de elde ederim; aynı sayıda özdeğerler var. Ama bundan daha fazlası var---bundan daha fazlası var, yani, sadece özvektörleri saymak yeterli olmaz, Evet, özdeğerleri saymanın neden yeterli olmadığına bir örnek vereyim.

Peki başka bir örnek, işte burada bazı matrisler,----oh, onları 4x4 yapayım, tamam, burada---işte bir matris yani korkunç rüyalar görmek istiyorsanız bunun gibi olan matrisleri düşünün.

Köşegende olmayan bir tane bir, burada da bir olsun, kaç tane---bu matrisin özdeğerleri neler? Oh, yani- peki. Bu matrisin özdeğerleri neler? Lütfen, 4 tane sıfır değil mi? Şimdi gerçekten kötü matrisler alıyoruz.

Yani bence, bu, Jordan iyi adamdı, ama 4 kez tekrarlanan özdeğere sahip bunun gibi bütün matrisleri düşünmeliydi.

Bu matrisin kaç tane özvektörü var? Şey, özvektörler -- bu özdeğer sıfır olduğundan, özvektörler sıfır uzayında olacak, değil mi? Özvektörler Ax=0x olmak zorunda.

Peki, sıfır uzayının boyutu ne? 2. Birileri 2 dedi.

Ve bu doğru. Niçin? Çünkü bu matrisin rankının ne olduğunu sorarsın, bu rank apacık ikidir. Bağımsız satırların sayısı ikidir ve bağımsız sütunların sayısı 2 dir, rank ikidir böylece sıfır uzayının boyutu 4-2 olur, yani iki özvektör var. İki özvektör. İki bağımsız özvektör. Pekala.

Sıfır uzayının boyutu 2 dir.

Şimdi, bu sıfırı yedi ile değiştirdiğimizi varsayalım.

Özdeğerlerin hepsi hala sıfır olur, ---ne hakkında—kaç tane özvektör var? Bu matrisin şimdi rankı ne? Hala 2, değil mi? Peki . Tamam.

Ve aslında, bu burada sıfırı olan ile benzer olurdu.

Ama bu Jordanın seçtiği kadar güzel değil.

Jordan şunu seçti – O birler koydu – her bir eksik özvektörler için köşegen üzerine birler koydu, ve burada bizim iki eksiğimiz var çünkü iki taneye sahibiz, yani iki özdeğerimiz var iki tane eksik olur, çünkü o bir 4 e 4 matristir.

Tamam, şimdi---size bu ikinci örneği vereceğim.

0 1 0 0, bu biri kaldırayım, eyvah, buradaki değil. Köşegen dışında ve 0 0 0 0 .

Tamam, şimdi bu matris hakkında bana bir şeyler söyleyin. Onun özdeğerleri yine 4 tane sıfır olur. Onun rankı yine 2 olur.

Peki onun iki özvektörü var ve ikisi eksik.

Ama bu lanet olası buradaki ile benzer değil.

Özvektörlerin sayısına bakınca bunlar benzer olabilir gibi, ama değiller.

Jordan—bakın, bu bir küçük 3x3 blok ve 1x1 blok gibi olur.

Ve buradaki bir 2x2 blok ve bir 2x2 blok gibi olur, ve bu bloklar Jordan blokları olarak adlandılırlar.

Peki bir Jordan blokun ne olduğunu söyleyeyim mi? J, blok sayısı i olan, (J_i), yani bir Jordan blokun köşegen üzerinde tekrarlanan özdeğerleri, lambda_i ler altında sıfırlar ve üzerinde birler var. Yani tekrarlanan bu adam ile bir blok var, ama o sadece bir özvektöre sahip. Yani bir Jordan bloku sadece bir özvektöre sahiptir. Buradaki bir özvektöre sahip, bu blok bir özvektöre sahip ve 2 elde ettik.

Bu blok bir özvektöre sahip ve şu blok bir özvektöre sahip ve 2 elde ettik. Ama blokların boyutları farklı. Ve bununla Jordanın çakıştığı ortaya çıkıyor. O zaman bu buradaki ile benzer değil. Pekala size bütün hikayeyi---şey, bütün hikayeyi değil, ama hikayenin ana temalarını anlatıyorum--- işte buradaki Jordan teoremi.

Her A kare matrisi bir J Jordan matrisine benzerdir.

Ve J Jordan matrisi ne? O bir numaralı Jordan blok, iki numaralı Jordan blok, ve böyle devam eden bir bloklar matrisidir.

Ve d numaralı Jordan blok diyelim.

Ve Jordan blokları bunlara benziyor, yani köşegen üzerinde özdeğerleri var ama köşegen üstünde bu birleri olandır. Blok numaralarına sahibiz---blok numaraları özvektörlerin sayıları olur, çünkü her bir blok için bir özvektörümüz oldu. Pekala ne yapayım Jordan’ın fikrini özetlersem, herhangi bir A ile başlar.

Onun özdeğerleri farklıysa, o zaman o neye benzer olur? Bu iyi durumdur.

Bir A ile başlarsam ve o farklı özdeğerlere,--- n özdeğere sahipse, onların hiçbiri tekrarlanmıyorsa, o zaman bu bir köşegen----köşegenleştirilebilir matris----Jordan blokları var----bu Jordan matris köşegendir.

O lambda olur. Yani güzel durum---bu güzel durum, J lambdadır. Bütün----d=n tane özvektör var, n blok, köşegen, herşey çok güzel.

Ama Jordan, tekrarlanan özdeğerleri ve eksik özvektörleri durumlarını da içeren bütün durumları kapsadı.

Pekala, bu bir Jordan tanımlamasıdır.

Bu ----yani---bu şeyleri nasıl hesaplayacağınızı henüz söylemedim ve kolay değil.

18:06 bu güzel duruma kadar içeriyor, bu durum 18:06 da 20 yıl önce vardı. Dört tekrarlanan özdeğeri olan korkunç şeylerin, Jordan matrisinin hesaplanmasının, final sınavında olmasının mümkün olmayacağını görebiliyorsunuz.

Bu Jordan formuna deli divane değilim.

Ama pozitif tanımlı matrisler ve Pazartesi günü göreceğimiz, tekil değer ayrıştırması ile ilgili olumlu düşünüyorum. Peki Pazartesi görüşürüz. İyi hafta sonları. Hoşçakalın.