MIT A��k Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu���������������������������������� ��������������

18.06 Do�rusal Cebir, Bahar 2005

L�tfen a�a��daki al�nt� bi�imini kullan�n:

Gilbert Strang, 18.06 Do�rusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstit�s�: MIT A��k Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde eri�ildi.

Lisans: Yarat�c� Ortak �zelllik � Ticari Olmayan� -- Oldu�u� gibi Kullan�l�r.

Not:� L�tfen al�nt�n�zda bu malzemeye eri�ti�iniz ger�ek tarihi kullan�n�z.

Bu materyallerden al�nt� yapmak veya Kullan�m �artlar� hakk�nda bilgi almak i�in� http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT A��k Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Do�rusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 28

Tamam, bu ders �o�unlukla benzer matrisler hakk�nda olacak. Bu benzer kelimesinin ne anlama geldi�ini a��klayaca��m. Ve ne zaman iki matrise benzer diyece�iz anlataca��m. Ama bunlar� yapmadan �nce, pozitif tan�ml� matrisler �zerine s�yleyece�im birka� �ey daha var. Bu konunun �ok �nemli oldu�unun fark�ndas�n�z ve pozitif tan�ml� ne anlama geldi�ini s�ylemi�tim---bunun anlam�---bu ifadedenin, x devrik Ax�in, ikinci dereceden yap�n�n herzaman pozitif olmas�.

Ama onu test etmenin direk yolu �zde�erler, ya da pivotlar ya da determinantlar idi. Yani bunun ne anlama geldi�ini biliyoruz, onu nas�l test edece�imizi de biliyoruz, ama pozitif tan�ml� matrislerin ger�ekten nereden geldi�ini s�ylemedik. Ve b�ylece s�ylemek istedi�im tek �ey, onlar�n en k���k karelerden geldi�i---ve bir dikd�rtgen matris ile ba�layan fiziksel problemlerin t�m �e�itlerinden� hat�rlarsan�z en k���k karelerdeki en �nemli bile�im A devrik A idi.

Yani g�stermek istedi�im bunun pozitif tan�ml� bir matris oldu�udur.

Bu y�zden ---pozitif tan�ml� matrisler hakk�nda biraz daha konu�aca��m,� sadece yeniden �zetleyece�im---peki bir soru soray�m.

O belki ev �devinde de olacak. Bir A matrisinin pozitif tan�ml� oldu�unu varsayal�m. Bunun anlam�,---onun simetrik oldu�unu kabul ediyorum. Tan�m�n i�inde bu herzaman var. Yani bir simetrik pozitif tan�ml� matrisimiz var. Onun tersi ne? Bir simetrik pozitif tan�ml� matrisin tersi de simetrik pozitif tan�ml� m�d�r? Peki, h�zl� d���n�n, tamam, bu ters matrisin pivotlar� hakk�nda ne biliyorum? �ok de�il, bu ters matrisin �zde�erleri hakk�nda ne biliyorum? Her �eyi, de�il mi? Bu tersin �zde�erleri 1 b�l� matrisin �zde�eri olur.

Yani matrisimiz ba�larken pozitif tan�ml� ise, o zaman hemen biliyorum ki onun tersi de pozitif tan�ml�d�r, ��nk� bu pozitif �zde�erler��yleyse 1 b�l� bu �zde�erler de pozitiftir.

Bir A matrisi ve bir B matrisinin her ikisininde pozitif tan�ml� oldu�unu biliyorsam,neler olacakt�r? Fakat size �unu soray�m. A ve B pozitif tan�ml� olduklar�n� varsayal�m, A + B ne olur? Bir �ekilde, bunun do�ru olmas�n� bekleriz.

Bir matris i�in pozitif tan�ml�l�k bir �ekilde bir ger�ek say�n�n pozitif olmas�na benzer. Ama� A+B nin� �zde�erlerini bilmiyoruz. A+B nin pivotlar�n� bilmiyoruz. Bu y�zden, biz sadece, pekala, listeye bakarak, pozitif tan�ml�l�k i�in hangi yakla��mla bunu� ba�arabiliriz? Ve� bu iyidir. �u iyidir.

Olabilir---buna nas�l karar veririz---A b�yle olsayd� ve B ��yle olsayd�, o zaman x devrik (A+B)x e bakard�k. Bunun ev �devinde olaca��ndan ��phem yok. Bundan eminim. �imdi ---x devrik Ax s�f�rdan b�y�k, x devrik B x pozitif -- her x i�in, peki �imdi bu adam hakk�nda soruyorum.

Ve tabii ki, sadece bunu ve bunu toplarsak istedi�imizi elde ederiz. E�er A ve B pozitif tan�ml�ysalar, A+B de �yle. Bu da g�sterdi�imiz olur.

Yani A+B de �yle. Sadece---bu ifade ile ve �zde�erlerle b�t�n yakla��mlar i�in bir �ekilde haz�r olmal�y�z. Ve �imdi, sonunda pozitif tan�ml�da, en k���k kareler i�inde ortaya ��kan bu bile�im hakk�nda bir daha d���nd�m: bunu yapabilir miyim? Peki �imdi---�imdi kabul edelim ki A dikd�rtgensel m ye n olsun.

Yani �zg�n�m , �zde�erler b�l�m� i�in de, pozitif tan�ml� matrisler i�in bu ayn� A� harfini kullan�yorum, bu harfi �ok eskiden �nceki b�l�mler i�in de matrisin dikd�rtgensel oldu�unda kulland�m.

�imdi, bu matris---bir dikd�rtgensel matris, hi�bir �ekilde pozitif tan�ml� olamaz. O simetrik de�il.

Genelde o kare bile de�il.

Ama hat�rlay�n ki bu dikd�rtgenseller i�in kilit nokta A devrik A idi. Bu karedir.

Bu simetriktir. Bunlar bildi�imiz �eyler---bu �eylere en k���k kareler i�inde; bu izd���m �eyi i�inde, �nceden kar��la�m��t�k. Ama �imdi bir �ey daha biliyoruz. �nemli bir soru sorabiliriz, bir derin soru---o pozitif tan�ml� m�? Ve b�yle olmas�n� umuyoruz.

Biz----olabilir- say�larla� bir benzerlik var, bu bir �e�it bir say�n�n karesinin pozitif olmas� gibidir. Peki �imdi bir matris sorusu sormak istiyorum. A devrik A pozitif tan�ml� m�d�r? Tamam, �imdi o---yeniden, bir dikd�rtgen A matrisi ile ba�lad�m, fakat o A devrik A bile�imi ki bu kare, simetrik ve umar�m� pozitif tan�ml� matris olur.

Yani nas�l---bunun pozitif tan�ml� oldu�unu, ya da en az�ndan pozitif yar�-tan�ml� oldu�unu nas�l g�r�r�m? Bunu g�rece�iz. Bu �arp�m�n �zde�erlerini bilmiyorum. Pivotlarla �al��mak istemiyorum,� bak�lacak do�ru �ey---do�ru nicelik, bu x devrik Ax----x devrik �arp� matrisimiz �arp� x dir.

Bu �eyin---bu ifadenin her zaman pozitif oldu�unu g�rmek istiyorum. Onu say�larla yapmayaca��m, onu sembollerle yapaca��m, g�r�yorsunuz�Bu ifadenin pozitif olaca��n� nas�l g�r�r�m? Bir dikd�rtgensel matris A ve bir A devrik al�yorum--- bu bana kare simetrik bir �eyleri verir, ama �imdi g�rmek istiyorum ki �arparsam----ki bunu yaparsam----bu ikinci dereceden ifade olu�ur ki onu �izdi�imde yukar� do�ru giden bu pozitif �eyi elde ederim.

Bunun pozitif, yada en az�ndan kesinlikle negatif olmayan oldu�unu nas�l g�r�r�m? O s�f�r olabilir mi sorusu �zerine biraz zaman� harcamam�z gerekecek, ama o negatif olamaz.

Ni�in bu hi�bir zaman negatif olamaz? G�r�� �u- do�rusal cebirde �ok fazla ad�m i�inde oldu�u gibi anahtar fikir----�u parantezleri do�ru yerlere koy.

Parantezleri Ax etraf�na koy ve ilk par�a ne? Bu x devrik A devrik ne? Bu Ax devrik olur -- yani neyimiz var? (Ax) karenin uzunlu�una sahibiz.

Elimizde---uzunluklar� karesi kesinlikle s�f�rdan b�y�k ya da muhtemelen s�f�ra e�it olan A x in s�tun vekt�r� ve Ax in sat�r vekt�r� var. B�ylece bu k���k olas�l�kla ilgilenmek gerek. S�f�ra e�it olabilir mi? �ey, uzunlu�un karesi ne zaman s�f�r olur? Sadece vekt�r s�f�rsa, de�il mi? S�f�r vekt�r�, uzunlu�unun karesi s�f�r olan tek vekt�rd�r.

Yani elimizde---bu olas�l�ktan kurtulmak istiyoruz.� Yani Ax asla- s�f�r olmas�n istiyorum, tabii ki s�f�r vekt�r� hari�.. �Ax�in asla s�f�r olmayaca��n� nas�l garanti edebiliriz? Ba�ka bir deyi�le, A n�n s�f�r uzay�n�n olmad���n� nas�l g�steririm? Rank---yani hat�rlay�n---s�f�r uzay�n�n olmad���nda rank ne idi? S�f�r uzay� yok demenin ne anlama geldi�ini biliyorsunuz. Bu s�f�r uzay� i�inde sadece s�f�r vekt�r� var demek idi. B�ylece, bir 11 e 5 matrisimiz varsa�onun 11 sat�r�, 5 s�tunu var, ne zaman s�f�r uzay� olmaz? Peki s�tunlar ba��ms�z olmal�lar---rank ne? n� 5 dir---rank n olur. Ba��ms�z s�tunlar, ne zaman---yani ben---o zaman karar�m evet, pozitif tan�ml�, Ve kabul�m�zd�r ki-- o zaman A devrik A n�n tersi vard�r---en k���k karelerin, denklemlerin hepsi iyi �al���r. Ve daha fazlas�----hatta matris pozitif tan�ml� olur.

Ve �imdi bir pozitif tan�ml� matris ile n�merik �eyler hakk�nda bir d���ncemi s�yleyeyim, hi�bir zaman sat�r de�i�-toku�lar� yapmam�z gerekmez.

Pivot pozisyonlar�nda uygun olmayan k���k say�lara veya s�f�rlara hi�bir zaman rastlamazs�n�z. Onlar hesaplamalar i�in en uygun - en g�zel matrislerdir. Ve �al��mak i�in en iyileridir. B�ylece---benzer matrislerin ilk dakikas�n� alarak pozitif tan�ml� matrislere biraz daha devam etmek istedim.

�imdi bu noktada asl�nda, gittik�e Do�rusal Cebirin kalbinin sonuna yakla��yoruz. Pozitif tan�ml�l�k her�eyi bir araya getirdi. Benzer matrisler, bu saatin geriye kalan�nda gelecek bir anahtar (kilit) konudur, ve l�tfen Pazartesi g�n� gelin. Pazartesi tekil de�er ayr��t�rmas� olarak adland�r�lanlar hakk�nda olacak, -- tekil de�erler. Onlar do�rusal cebirin merkez (ana) par�as� olmaya ba�lad�lar.

Yani, pazartesiden sonra gelebilirsiniz, ama ----Pazartesi---bu tekil de�er �eyler bu derste yap�lacak. 10 y�l �nce, 5 y�l �nce bu derslerde yoktu, �imdi o olmak zorunda.

Tamam, bu g�nk� derse uygun bir �ekilde benzer matrislerin bu fikri ile ba�layabilir miyim?

Bu benzer matrislerin ne anlama geldi�idir.

Burada---tekrar ba�layay�m. Tekrar yazaca��m.

Yani A ve B benzerler. A ve B ��imdi ben--- bu matrisler---art�k simetrik matrisler hakk�nda konu�muyorum,----en az�ndan art�k simetrik matrisler beklemiyorum. n ye n iki kare matris hakk�nda konu�aca��m. A ve B, n ye n matrisler olsunlar. Ve bu benzer kelimesini tan�t�yorum. Yani bunun anlam�n� s�yleyece�im. Bu demektir ki onlar, buraya yazd���m bu yolla biri birine ba�l�d�rlar, peki onu tekrar yazay�m. Bu demektir ki bir M matrisi i�in, ki tersinin olmas� gerekli, ��nk� g�receksiniz----bu matris var----ba�ka bir matris� alal�m, M ile sa�dan ve M tersi ile soldan �arpal�m. Yani soru �u; ni�in bu bile�im? Ama halihaz�rda cevab�n par�as�n� biliyorsunuz, hat�rlay�n---bunu yapt�k ----bir A matrisi ald�k---peki benzer bir �rnek yapay�m.

Varsayal�mki A- bir A matrisi�b�t�n maksimum say�da �zvekt�rlere sahip olsun. Bunlar S �zvekt�rler matrisini olu�turur. O zaman b�t�n bunlar�n ana noktas�- b�t�n b�l�m�n ana hesaplamas�, m�mk�n olan en iyi matris lambday� olu�turmak i�in bu �zvekt�rler matris ve onun tersini kullanmak idi. M�mk�n olan en iyisi, ��nk� o k��egendir. Yani, yeni s�ylemimiz de, bu A n�n lambda matrisine benzer oldu�unu s�yler.

A lambda�ya benzer, ��nk� bir matris var, bu �zel matris var---ve M var ve bu �zel M, bu �nemli adam, bu �zvekt�r matrisidir. Ama farkl� bir M� matrisi al�rsak ve M ters AM (M^-1AM) ye bakarsak, sonu� k��egen (diagonal) matris olarak de�il ama A ya benzer bir B matrisi olarak ortaya ��kar. Yapt���m �eyin---bu matrisleri bir aile i�ine koymak gibi oldu�unu g�r�yorsunuz. Bu aile i�indeki b�t�n matrisler birbirine benzerdir.

B�t�n bunlar---bu aile i�indeki her biri bir M matrisi ile biri biriyle ba�lant�l�d�r ve bu ailenin se�kin �yesi, bu k��egen matris olur. Bence, A ya benzeyen b�t�n matrislerin bu� ailesi i�inde en basit, en etkileyici, en iyi olan lambdad�r. Ama ba�ka bir �oklar� da var, ��nk� S yerine ba�ka alabilirim, her hangi eski bir matris M, tersi olan herhangi bir M matrisi alabilirim ve--- bunu bir �rnek yapsam iyi olacak.

Tamam. A olarak 2� 1� 1� 2 matrisini ald���m� varsayal�m. Tamam.

Bunun i�in �zde�er matrisi biliyor muyuz? Bu matrisin �zde�erleri, 3 ve 1 olur.

B�ylece bu�ve �zvekt�rleri bulmak kolay olacak.

Yani bu matris buna benzerdir.

Ama vurgulamak istedi�im, ayn� zamanda 2� 1� 1� 2 matrisini alabilirim, onu---bakal�m, ne ile �arpabilirim�buraya bir M matrisi uyduraca��m.

Uyduray�m --� 1, 4, 1, 0.

Ve buraya M tersi koyaca��m, ve ��nk� onu k��egen yapmam gerekli, onun tersinin bu oldu�unu biliyorum, de�il mi? Yani M ters A M olur, bu bir matris verecek; tamam, �arp�m yapmam gerekiyor, yani biraz bekleyin, b�rak�n--- sadece bu 1 -1� 4� 0 kopyalama ve bu adamlarla �arpar�m b�ylece �2, 9, 1 ve 6 elde ederim, bence.

Ben devam ederken kontrol edebilir misiniz, ��nk� siz---g�r�yorum ben sadece---yine bu 2 �-4, elimde -2� 9� -24 var bu -15 eder, aa, bunu nas�l elde ettim? Ve bunlar muhtemelen 1 ve 6 olur.

Yani burada B matrisim var.� Ve burada lambda matrisim var, burada A matrisim var ve vurgulamak istedi�im bunlar�n hepsinin benzer matris olduklar�. Hepsinin ortak bir bir �eyleri var, ikiye 2 olmalar�n�n yan�nda.

Hepsinin ortak bir�eyleri var. Ve o nedir? B,� M ters A M den den in�a edildi.

A ve B nin ortak oldu�u �ey ne? Size benzer matrisler hakk�nda ana ger�e�i s�yleyece�im. Onlar ayn� �zde�ere sahiptirler.

Bu----bu b�l�m �zde�erler hakk�nda ve bu nedenle ayn� �zde�erlere sahip bu matrisler ailesi ile ilgileniyoruz. Bu �rnekte �zde�erler neler? Lambda.

Onun �zde�erlerini hesapl�yabilirim.

Onun �zde�erlerini ger�ekten h�zl� bir �ekilde hesaplayabilirim.

Bu durumda� �zde�erler 3 ve 1 olur � eminim.

Bunun i�in� �zde�erlerin 3 ve 1 oldu�unu g�r�yor musunuz? Size �zde�erlerin 3 ve 1 oldu�unu s�yledi�imde, derhal izi hesaplars�n�z, ki o 4 t�r. 4 ile ayn� ve determinant� hesaplarsan�z, 3 �arp� 1�determinant �� olur ve �evet do�rudur� dersiniz.

�imdi umar�m ki �zde�erler 3 ve 1 olur. Bunun i�in determinant� ve izi i�leme tabii tutabilir miyim? Burada iz ne? Bu matrisin izi -2 ve 6, 4 olur. Ve �yle de olmas� gerekir. Determinant ne, -12+15 = 3 olur. Determinant 3 d�r. Bu matrisimde �zde�erleri 3 ve 1 olur. Ve g�r�yorsunuz bu matrisi, akl�ma gelen her hangi bir M matrisini alarak olu�turdum ve M ters A M yi hesaplad�m. Bu matrisi elde ettim, o �zel bir �eye benzemiyor, ama o � A n�n kendisi gibi oldu, o bu 3 ve 1 �zde�erlerine sahip oldu.

Yani bu ana ger�ektir ve onu yazay�m.

Benzer matrisler ayn� �zde�erlere sahip olurlar.

Peki bunu �nemli bir nokta olarak koyaca��m. D���n ni�in?

Ni�in �yle? ��te bu matrisler ailesinin ne oldu�udur. Burada bu A ya benzer matrisler, �zde�erleri 3 ve 1 olan b�t�n matrisler olur. �zde�erleri 3 ve 1 olan herhangi bir matrisi aileden, d���nd���n�z herhangi bir matrise ba�layan bir M vard�r.

Ve sonra tabii ki, bu aile i�erisindeki en �zel olan matris, k��egeninde 3 ve 1 �zde�erleri olan, k��egen matristir. Bu ailenin birka� tane daha eleman�n� s�yleyin.

Bana �zde�erleri 3 ve 1 olan ba�ka bir matris s�yleyin. �ey, bakal�m, onu ��gen yapaca��m.

O da bu aile i�inde. �yle bir� M var ki onu buna ba�lar -- ve �una da.

Bir M matrisi var�yani bu M ters A M bu olarak ortaya ��kar. Burada b�t�n bir aile var. Ve onlar�n hepsi ayn� �zde�erleri payla��yor. Yani bu ni�in olur? Tamam.

Ba�layal�m---tek olas�l�k Ax e�it lambda x ile ba�lamak. Tamam, A n�n lambda �zde�erine sahip oldu�unu varsayal�m. �imdi burada B yi bir �ekilde bu resmin i�ine sokmak istiyorum. Hat�rlay�n B, M ters AM dir. Onu burada hat�rlayal�m. B, M ters AM�dir.

Ve onun �zde�erlerini g�rmek istiyorum.

M ters A M yi bu denklem i�ine nas�l koyar�m? Onu bir �ekilde yapay�m. Bunun i�ine M ters My� koyaca��m, de�il mi? ��te bu- sol yan� de�i�tirmedim, b�ylece sa� yan� da de�i�tirmesem iyi olur. Yani �imdiye kadar her �ey tamam. Sadece buraya koymak istiyorum�.bak�n, elde etmek istiyorum----yani �imdi M ters ile soldan �arpaca��m ve �u lambda sadece bir say�, yine �n tarafa �arpan olarak ��kar. Burada yapt���m g�venlidir. Her iki yana da ayn� �eyi yapt�m. Ve B yi elde ettim. Burada B var. Bu B �arp� bu M ters x vekt�r� e�ittir lambda �arp� bu M ters x vekt�r� olur.

Yani �imdiye kadar ne �grendik? �grendik ki B �arp� bir vekt�r, lambda �arp� o vekt�rd�r.

Lamdan�n B nin de �zde�eri oldu�unu g�rd�m.

Yani bu---e�er ----b�ylece bu----e�er lambda A n�n bir �zde�eri ise, o zaman onu bu �ekilde yazar�m ve buldum ki, lambda� B-nin bir �zde�eri olur. Bu da ispat� bitirir.

�zvekt�rler ayn� kalmazlar.

Tabii ki �zvekt�rlerinde ayn� kalmas�n� beklemiyordum. B�t�n �zde�erler ayn� iseler ve b�t�n �zvekt�rler ayn� iseler, o zaman muhtemelen matrisler de ayn� olurdu. Burada �zvekt�rler de�i�iktir. Yani �zvekt�rler----yani buradaki nokta o zaman B� nin �zvekt�rleri M ters �arp� A n�n �zvekt�r�d�r. Tamam.

Burada s�yleyeceklerim bu kadar. A n�n �zvekt�rleri x idi, ve b�ylece bu M ters----benzer matrisler, o zaman ayn� �zde�erlere sahip olurlar ve onlar�n �zvekt�rleri sadece ta��nm�� olur. Tabii ki, ge�mi�te de �yle olmu�tu----ve en �nemli benzer matrisler k��egen olanlard�r.

Peki k��egenle�tirmemizin �nemi ne idi? Tabii ki �zde�erlerin ayn� kalmas� idi.

3 ve 1. �zvekt�rlere ne oldu? �zvekt�rler A matrisi i�in her ne iseler onlar oldu, ama o zaman k��egen matrisin �zvekt�rleri nelerdir?� Bir k��egen matrisin �zvekt�rleri nedir? Onlar sadece 1� 0 ve 0� 1 dir.

Yani bu ad�m �zvekt�rleri g�zel yapt�, �zde�erleri de�i�tirmedi, her zaman �zde�erleri de�i�tirmiyoruz.

Ayn� �zde�erler. Tamam.

�imdi---b�ylece b�t�n bu matrisler var,-----�zde�erleri 3 ve 1 olan bu matrisler ailesini elde ettim. Bir g�zel aile var.

O g�zel ��nk� bu iki �zde�erler farkl�lar.

�imdi bizi daha az mutlu yapacak, iki �zde�erin de ayn� olmas� durumuna girmek zorunday�m. Ve o zaman o biraz yan�lt�c�, ��nk� hat�rlay�n, iki �zde�er ayn� oldu�u zaman, k�t� olas�l�k ne idi? Bu belki yeteri say�da �zvekt�r�m�z olmayabilirdi-- bu yeteri kadar-- �zvekt�rlerin tam seti olmayabilirdi ve k��egenle�tirme yapamayabiliriz. B�yle bir k�t� durumu tart��mam�z gerekir. Yani k�t� --- iyebilir miyim, lambda 1 lambda 2 ye e�it ise, o zaman matris k��egenle�tirilmeyebilir.

Diyelim ki� lambda 1 e�it lambda 2 e�it 4 d�r. �imdi e�er �zde�erleri 4 ve 4 olan matrisler ailesine bakarsam, -- �ey, benim i�in bir olas�l�k g�z�k�yor, �zde�erleri 4 ve 4 olan bir aile i�inde bu, 4 �arp� birim matrisi i�ermeli.

Sonra ba�ka bir---ama �imdi 4� 4� 1� 0 matrisi hakk�nda da sormak istiyorum ve vurgulamak istedi�im,----buradaki bunun b�t�n �nemi---bu k�t� �eyin---odur ki -- bu adam buradaki ile ayn� aile i�inde de�il.

�zde�erleri 4 ve 4 olan matrislerin iki ailesi var, burada tamamen yaln�z ailenin d���nda olan bu var- de�il mi? Kendi kendine.

Ve di�erlerinin hepsi bu matrisle birlikteler.

Yani b�y�k aile bunu i�eriyor.

Ve o bir �ok ba�ka matrislerin hepsini i�eriyor, hepsi---asl�nda, bu 2 ye 2 i�inde, o, nerede oldu�unu g�r�yorsun�demek istedi�im--- yani bu aile kelimesini kullanarak, aile i�inde, bence onlar benzer matrisler. Yani s�ylemek istedi�im -- buna� benzer tek matris kendisidir.

4 �arp� birim matrise benzer tek matris 4 �arp� birim matristir. Kendisi kendi ba��na d��ardad�r.

Ni�in b�yle? Bu---e�er, bu 4 �arp� birim matrisimiz ise, ve onu al�rsam, onu sa�dan bir M matrisi ile �arparsam, soldan M ters ile �arparsam, ne elde ederim? Bu herhangi bir M, ama sonu� ne? �ey, 4 � �arpan olarak d��ar�ya al�rsam, b�ylece bu matrisi tekrar geri elde ettim. Yani M her ne olursa olsun, ailenin elemanlar�ndan daha fazlas�n� elde edemiyorum.

Yani, bu bir k���k ailedir, ��nk� sadece bir ki�i var.

Bir matris, �z�r dilerim, bu noktada 18:06 i�inde bu matrisleri bu noktada ki�iler olarak d���n�yorum.

Tamam, di�er aileler geriye kalanlar�n hepsini--- �zde�erleri 4 ve 4 olan t�m di�er matrisleri i�eriyor.

Bu bir �ekilde, bu aile i�inde olanlar�n en iyisi.

Bak�n, onu k��egen yapamam, bu buradaki, k��egen olsayd�... O yaln�z birisi, tek ba��na. Yani d���nmem gerek, tamam, k��egen i�in en yak�n elde edebilece�im ne? Ama o k��egenle�tirilemez. Bu---bu matrisin k��egenle�tirilemeyece�ini biliyor musunuz? Tabii ki, ��nk� k��egenle�tirilebilse idi, buna benzer olmu� olacakt�, ki de�il. Bunun �zde�erleri 4 ve 4 d�r, ama bu matrisler hakk�nda yakalamam�z gereken ne? Onun sadece bir �zvekt�r� oldu�u.

Bu bir k��egenle�tirilemez matris.

Sadece bir �zvekt�r var. Ve bir �ekilde, bu bir taneyi on ya da milyona d�n��t�rebilirsem, bir M matrisi bulabilirim, o bu ailede olur ve benzer olur. Ama en iyisi--- yani bu aile i�indeki en iyi adam bu birisi olur.

Ve bu Jordan olarak adland�r�l�r---b�ylece bu adam Jordan, bu matrisler ailesi �zerine �al��t� ve her bir aileden en iyisini, t�m k��egen de�il ama en k��egen olan�n� se�ti, ��nk� hi� kimse yok, bu aile i�inde k��egen matris yok, yani Jordan formda -- yukar�da burada bir tane var.

Pekala, bu aile i�inde biraz daha matris g�rsek iyi olur. Tamam, �imdi kendileri 4 �arp� birim matris olmayan ama �zde�erleri 4 ve 4 olan ba�ka matrisler d���nelim. Ve ben inan�yorum ki se�ece�imiz b�t�n �rnekler birbirine benzer olacaklar; nedenini g�r�yor musunuz? Bu konuda bunlar benzer matrislerdir, doruk noktaya Jordan form�l� ile ula�aca��m.

Pekala.. O der ki her matris---Jordan formunun ne oldu�unu yazaca��m- Jordan ne ke�fetti.

O her bir aile i�inde en iyi g�r�nen matrisi buldu.

Ve b�ylece, o zaman elde ettik---o zaman k��egenle�tirilemeyenleri de i�eren b�t�n matrisleri kapsad�k.

Bu � bu kilit nokta, Jordan, bir �ekilde, yapabilece�i en yak�na gelerek k��egenle�tirmeyi tamamlad� -- ki bu onun Jordan formudur.

Ve b�ylece, b�t�n matrisleri kapsamak istiyorsan, onu resmin i�ine sokmak zorundas�n.

Eskiden, ---18:06 y� ald���m zamanda, bu Jordan formu bu dersin ula�abilece�i doruk noktas� idi.

Bence o art�k do�rusal cebirin ula�abilece�i doruk noktas� de�il, ��nk� genel bir matrisin, bu Jordan formunu bulmak kolay de�il; ��nk� o bu �zde�erlerin tam olarak ayn� olmas�na ba�l�.

Bu �zde�eri� tam olarak bilmek zorundas�n�z; rank�� tam olarak bilmek zorundas�n�z ve say�daki en ufak de�i�iklik, �zde�eri de�i�tirir, rank� de�i�tirir ve b�ylece her �ey say�sal olarak g�zel bir �ey olmaz. Ama cebir i�in, bu aileyi anlamak i�in, do�ru oland�r. Pekala bana ba�ka bir matris----biraz daha fazla matris,---yani bu ailenin daha fazla elemanlar�ndan s�yleyin. En iyisi olan� tekrar buraya� koyay�m. Tamam.

Pekala, biraz daha fazla matris.

Bakal�m, Ne ar�yorum? Arad���m matrislerin izleri ne? Yani bu aile i�inde daha fazla matris ararsam, onlar�n hepsinin �zde�erleri ayn�, 4 ve 4 olmal�. Yani onlar�n izi 8 olacak.

Yani neden sadece 5 ve 3 � alm�yorum ki---izi do�ru elde ettim, �imdi determinant ne olmal�? 16. Pekala bunu ayarlayal�m---belki de buraya bir ve buraya � 1 koymal�y�m? Tamam.

�zde�erleri 4 ve 4 olan bir matris oldu, ��nk� izi 8 ve determinant� 16 d�r.

Ve onun k��egenle�tirilebilece�ini d���nm�yorum.

Neden k��egenle�tirilemeyece�ini biliyor musunuz? ��nk� e�er k��egenle�tirilebilseydi, k��egen formu bu olmak zorundayd�.

Ama o forma sokamam, ��nk� herhangi bir M ters M ile ne yaparsam yapay�m, bu formda kal�r�m.

Bu ba�lant�y� hi�bir zaman elde edemem.

Yani daha fazla eleman koyabilirim---burada---i�te ba�ka bir kolay olan�. 4 ve 4, ve a�a��ya buraya 17 koyabilirim. B�t�n bu matrisler benzer olurlar. Bu birini �u birine benzer oldu�unu g�sterecek bir M matrisi bulabilirim. Genel resmi g�rebilirsiniz, herhangi bir a ve buraya herhangi bir 8 eksi a ve herhangi bir � oh, bilmiyorum, buraya ne koyarsan�z koyun olur,----her neyse, g�r�yorsunuz, bunu doldurabilirim. �zi 8 ve determinant 16 yapacak �ekilde doldurabilirim, b�t�n bu matrisler ailesini elde edebilirim ve onlar�n hepsi benzer olurlar. Pekala �zde�erlerin ne yapt���n� g�r�yoruz.

Onlar�n hepsi benzerler ve hepsinin de sadece bir �zvekt�r� var.

Peki, bana bu resme eklemek i�in izin verirseniz, onlar ayn� lambdalara ve ayn� zamanda ayn� say�da ba��ms�z �zvekt�rlere sahip olurlar.

��nk� x i�in bir �zvekt�r elde edersem, A i�in de ayn� zamanda B i�in de elde ederim; ayn� say�da �zde�erler var. Ama bundan daha fazlas� var---bundan daha fazlas� var, yani, sadece �zvekt�rleri saymak yeterli olmaz, Evet, �zde�erleri sayman�n neden yeterli olmad���na bir �rnek vereyim.

Peki ba�ka bir �rnek, i�te burada baz� matrisler,----oh, onlar� 4x4 yapay�m, tamam, burada---i�te bir matris yani korkun� r�yalar g�rmek istiyorsan�z bunun gibi olan matrisleri d���n�n.

K��egende olmayan bir tane bir, burada da bir olsun, ka� tane---bu matrisin �zde�erleri neler? Oh, yani- peki. Bu matrisin �zde�erleri neler? L�tfen, 4 tane s�f�r de�il mi? �imdi ger�ekten k�t� matrisler al�yoruz.

Yani bence, bu, Jordan iyi adamd�, ama 4 kez tekrarlanan �zde�ere sahip bunun gibi b�t�n matrisleri d���nmeliydi.

Bu matrisin ka� tane �zvekt�r� var? �ey, �zvekt�rler -- bu �zde�er s�f�r oldu�undan, �zvekt�rler s�f�r uzay�nda olacak, de�il mi? �zvekt�rler Ax=0x olmak zorunda.

Peki, s�f�r uzay�n�n boyutu ne? 2. Birileri 2 dedi.

Ve bu do�ru. Ni�in? ��nk� bu matrisin rank�n�n ne oldu�unu sorars�n, bu rank apac�k ikidir. Ba��ms�z sat�rlar�n say�s� ikidir ve ba��ms�z s�tunlar�n say�s� 2 dir, rank ikidir b�ylece s�f�r uzay�n�n boyutu 4-2 olur, yani iki �zvekt�r var. �ki �zvekt�r. �ki ba��ms�z �zvekt�r. Pekala.

S�f�r uzay�n�n� boyutu 2 dir.

�imdi, bu s�f�r� yedi ile de�i�tirdi�imizi varsayal�m.

�zde�erlerin hepsi hala s�f�r olur, ---ne hakk�nda�ka� tane �zvekt�r var? Bu matrisin �imdi rank� ne? Hala 2, de�il mi? Peki . Tamam.

Ve asl�nda, bu burada s�f�r� olan ile benzer olurdu.

Ama bu Jordan�n se�ti�i kadar g�zel de�il.

Jordan �unu� se�ti � O birler koydu � her bir eksik �zvekt�rler i�in k��egen �zerine birler koydu, ve burada bizim iki eksi�imiz var ��nk� iki taneye sahibiz, yani iki �zde�erimiz var iki tane eksik olur, ��nk� o bir 4 e 4 matristir.

Tamam, �imdi---size bu ikinci �rne�i verece�im.

0 1 0 0, bu biri kald�ray�m, eyvah, buradaki de�il. K��egen d���nda ve 0 0 0 0 .

Tamam, �imdi bu matris hakk�nda bana bir �eyler s�yleyin. Onun �zde�erleri yine 4 tane s�f�r olur. Onun rank� yine 2 olur.

Peki onun iki �zvekt�r� var ve ikisi eksik.

Ama bu lanet olas� buradaki ile benzer de�il.

�zvekt�rlerin say�s�na bak�nca bunlar benzer olabilir gibi, ama de�iller.

Jordan�bak�n, bu bir k���k 3x3 blok ve 1x1 blok gibi olur.

Ve buradaki bir 2x2 blok ve bir 2x2� blok gibi olur, ve bu bloklar Jordan bloklar� olarak adland�l�rlar.

Peki bir Jordan blokun ne oldu�unu s�yleyeyim mi? J, blok say�s� i olan, (J_i), yani bir Jordan blokun k��egen �zerinde tekrarlanan �zde�erleri, lambda_i ler alt�nda s�f�rlar ve �zerinde birler var. Yani tekrarlanan bu adam ile bir blok var, ama o sadece bir �zvekt�re sahip. Yani bir Jordan bloku sadece bir �zvekt�re sahiptir. Buradaki bir �zvekt�re sahip, bu blok bir �zvekt�re sahip ve 2 elde ettik.

Bu blok bir �zvekt�re sahip ve �u blok bir �zvekt�re sahip ve 2 elde ettik. Ama bloklar�n boyutlar� farkl�. Ve bununla Jordan�n �ak��t��� ortaya ��k�yor. O zaman bu buradaki ile benzer de�il.� Pekala size b�t�n hikayeyi---�ey, b�t�n hikayeyi de�il, ama hikayenin ana temalar�n� anlat�yorum--- i�te buradaki Jordan teoremi.

�

Her A kare matrisi bir J Jordan matrisine benzerdir.

Ve J Jordan matrisi ne? O bir numaral� Jordan blok, iki numaral� Jordan blok, ve b�yle devam eden bir bloklar matrisidir.

Ve d numaral� Jordan blok diyelim.

Ve Jordan bloklar� bunlara benziyor, yani k��egen �zerinde �zde�erleri var ama k��egen �st�nde bu birleri oland�r. Blok numaralar�na sahibiz---blok numaralar� �zvekt�rlerin say�lar� olur, ��nk� her bir blok i�in bir �zvekt�r�m�z oldu. Pekala ne yapay�m Jordan��n fikrini �zetlersem, herhangi bir A ile ba�lar.

Onun �zde�erleri farkl�ysa, o zaman o neye benzer olur? Bu iyi durumdur.

Bir A ile ba�larsam ve o farkl� �zde�erlere,--- n �zde�ere sahipse, onlar�n hi�biri tekrarlanm�yorsa, o zaman bu bir k��egen----k��egenle�tirilebilir matris----Jordan bloklar� var----bu Jordan matris k��egendir.

O lambda olur. Yani g�zel durum---bu g�zel durum, J lambdad�r. B�t�n----d=n� tane �zvekt�r var, n� blok, k��egen, her�ey �ok g�zel.

Ama Jordan, tekrarlanan �zde�erleri ve eksik �zvekt�rleri durumlar�n� da i�eren b�t�n durumlar� kapsad�.

Pekala, bu bir Jordan tan�mlamas�d�r.

Bu ----yani---bu �eyleri nas�l hesaplayaca��n�z� hen�z s�ylemedim ve kolay de�il.

18:06 bu g�zel duruma kadar i�eriyor, bu durum 18:06 da 20 y�l �nce vard�. D�rt tekrarlanan �zde�eri olan korkun� �eylerin, Jordan matrisinin hesaplanmas�n�n, final s�nav�nda olmas�n�n m�mk�n olmayaca��n� g�rebiliyorsunuz.

Bu Jordan formuna deli divane de�ilim.

Ama pozitif tan�ml� matrisler ve Pazartesi g�n� g�rece�imiz, tekil de�er ayr��t�rmas� ile ilgili olumlu d���n�yorum. Peki Pazartesi g�r���r�z. �yi hafta sonlar�. Ho��akal�n.