MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 27

Pekala, bu önemli dersimiz pozitif tanımlı matrisler üzerine olacak.

Bir önceki derste bunlara kısaca bir başlangıç yapmıştım.

Vurgulamak istediğim nokta bu bölüm, bu dersin tüm konularını, pivotları, determinantları, özdeğerleri, burada veriyor ve yeni bir şeyle kararsızlık ve sonra bu ifade de yeni bir şey var, x devrik Ax, -- aslında bu derste dikkat edilmesi gereken konu bu.

Yani, konumuz pozitif tanımlı matrisler ve amacım ne? İlk, ilk hedef, bir matrisin pozitif tanımlı olduğunu nasıl söylerim? Yani pozitif olduğunu görmek için testlerin olmasını isterim. Eğer bana 5 e 5 lik bir matris verirseniz, onun pozitif tanımlı olduğunu nasıl söylerim? Daha da önemlisi, bunun anlamı ne? Niçin bu kadar çok ilgileniyoruz bu pozitif tanımlılık özelliği ile. Ve sonra, sonunda bazı geometriler gelir. Elipsler pozitif tanımlı şeylerle bağlantılılar. Hiperboller pozitif tanımlı şeylerle bağlantılı değiller. Yani biz- biz, burada geometri de var ama genelde doğrusal cebir var ve bir minimum olduğunda bunları nasıl tanırız? Bunun uygulaması çok güzel olucak. Tamam. 2 ye 2 ile başlayacağım.

Bütün matrisler simetrik olacak, değil mi? Bu anlaşıldı mı, matris simetrik, benim sorum, o pozitif tanımlı mı? Şimdi burada bazıları var .. bunların her biri pozitif tanımlılık için tam bir test olacak. Özdeğerleri biliyorsam, benim testim onlar pozitif mi? Onların hepsi pozitif mi? Bunları biliyorsam ---yani a aslında --buradaki a sayısına bir e bir lik determinant, ve buradakilere de 2 ye 2 lik determinant olarak bakıyorum.

Böylece bu determinant testi olacak.

Bu özdeğer testi, şu determinant testi olacak. Determinantlar bütün sona kadar büyüyor mu, onlara baş alt matrisler diyebilir miyim, onlar kuzeybatı da ilk olanlar, Seattle alt matrisleri şuradan aşağıya gelen, onların hepsi yani bütün bu determinantlar pozitif olmalı, ve sonra başka bir test pivotlar olacak.

Bir ikiye iki matrisin pivotları kesinlikle a sayısıdır, ve bu çarpım determinant olduğundan, ikinci pivot determinantın a ile bölünmesi olmak zorundadır.

Ve sonra burada x devrik A x in pozitif olmasını anlamak için benim sevdiğim yeni fikrim olacak. Ama önce bu adama bakmamız gerekecek. Bu bir yıldız alır, çünkü çoğu gösterimlerde, pozitif tanımlılık durumu bu 4 numaralı test olur ve bu bir, iki, üç numaralar 4 için test olur. Tamam.

Belki bu kabloyu tıkmalıyım, nereye olduğunu biliyorsun. Tamam. Yani bu x devrik A x e bakmak gerekecek, emin olabilir miyiz? Nasıl biliyoruz ki bu özdeğer testi ve determinant testi aynı matrisleri seçer. Ve haydi, birkaç örnek yapalım.

Pekala örnekler. İki, altı, altı matrisimi seçeyim, bana söyleyin, bu matrisin pozitif tanımlı olması için buraya hangi sayıyı koymalıyım? Bana yeteri kadar büyük bir rakam verin ki matris pozitif tanımlı olsun. Haydi 2 ye 2 durumda bu şartlarla pratik yapalım.

Şimdi, size bunu sorduğumda, özdeğerleri bulmak istemezsiniz, bunun için önce determinant testini kullanmak isteriz ya da pivot testi; bu adam kesinlikle pozitif, olması gerektiği gibi, ve bu tamam. Buradaki sayı ne kadar büyük…bu sayı neden daha büyük olsa iyi olur? 18 den büyük, değil mi, çünkü onsekiz ise, hayır. Neden daha büyük? Ondokuz, değil mi? Eğer burada ondokuz olursa, bu pozitif tanımlı mı? 38.. -36 elde ederim, bu tamamdır. 18 olsaydı, buna yakından bakayım, burada 18 olsaydı, o zaman pozitif tanımlı mı? Tam değil, bu adama pozitif derdim, böylece sadece bunun sınırda olduğunu görmek bile yararlı olur. Bu matris sınırda, bu matrise pozitif yarı-tanımlı diyeceğim.

Ve bu matrisin özdeğerleri neler? Sadece bize 2 ye 2 nin özdeğerleri verildiğinden, o pozitif yarı- tanımlı ama pozitif tanımlı olmadığından, bu özdeğer testimi araya sıkıştırıyorum. Bu matrisim -- var olduğunu bildiğim özdeğerleri neler? Burada ne tür bir matrisim var? Tekil bir matris, onun özdeğerlerinden biri sıfırdır. Bunun bir sıfır özdeğeri var ve diğer özdeğer İz’den yirmi olur. Tamam.

Böylece bu, bu matrisin özdeğerleri sıfırdan büyük ya da eşit, bu ‘’yarı-tanımlı’’ kelimesini ‘’sıfıra eşittir” ifadesi getirmiştir.

Ve bu matrisin pivotları neler? Yani pivotlar, peki özdeğerler sıfır ve yirmi, pivotlar, bu pivot 2 olur, ve diğer pivot ne? Başka yok.

Burada bir tekil matrisimiz var ve sadece bir pivotu var.

Bunun rankı bir olan matris olduğunu görüyorsunuz. İkinci satır 6 18 birinci satır olan 2 6 nın katıdır. Bu matris tekil ve sadece bir pivotu var, yani pivot testi uygulanamaz. x devrik A x i yapayım. Şimdi, bu ---şimdi yenilik bu.

Tamam, bu yeni bileşime, x devrik Ax e baktığımda neye bakıyorum?

x herhangi bir vektör şimdi, peki hesaplayayım, yani herhangi bir vektör, onun bileşenlerine x1, x2 diyeyim, peki bu x oldu. Ve buraya A yı koydum.

Hadi, iki, altı, altı onsekiz örneğini kullanayım, ve burada x devrik, yani x1 x2 var.

Son derste karmaşık durumda ne yapacağımızı söyledikten sonra, gerçek matrislere geri döneyim. Gerçek matrislere geri döndük.

Peki burada x devrik Ax var, ve ilgilendiğim şey, bunların hepsini çarptığımda ne elde edeceğim? x1 ve x2 nin bir fonksiyonunu elde ederim, ve bu nedir? Bakalım, Eğer bu çarpımı yaparsam, peki yapalım haydi, sadece biraz yavaş yapacağım, x1, x2, bu matrisi çarptığımda, bu 2x1, ve 6x2 olur, ve sonraki satır 6x1 ve 18x2 olur, ve şimdi bu son adımı yapacağım ve neyim var? 2x1 in karesini elde ettim, bu ikiden gelen 2x1 in karesi var. Bana 18 i veren bu var, peki, bu ortadakileri yapabilir miyim? Kaç tane x1 x2 lerim oldu? Bakalım, x1 çarpı bu 6x2 onlardan 6 tane yapar, ve sonra x2 çarpı buradaki altı tane daha yapar, oniki tane oldu.

Yani,, burada, bu sayı a olur, bu 2b olur, ve buradaki…x2 çarpı 18x2, 18 çarpı x2 nın karesi olacak, ve bu da c olur. Yani ax kare, 2bxy ve cy kare gibi oldu. (ax^2+2bxy+cy^2). Bu çarpımı düzenleyerek vurgulamak istediğim ilk şey, bana hemen bir matris verirseniz, hemen bir matris verirseniz, yapabilirim….bunlar burada görünen sayılar….bu şeylere ikinci dereceden diyeceğim, görüyorsunuz, artık doğrusal değiller.

Ax doğrusal, ama şimdi x devrik işin içine girdi, derece 2 ye, derece iki ye çıktım belki ikinci dereceden kelimesini kullanmayalım, karesel diyelim.

Karesel yapı, sadece iki derece var, doğrusal terim yok, sabit terim yok, kesinlikle küp ya da dördüncü kuvvet yok. Onların hepsi ikinci dereceden, bu benim yeni tanımım. Benim sorum ---şu sayı pozitif mi, negatif mi? Bu bir -- pozitif tanımlı matris için benim tanımım oldu. Şayet bu sayı pozitif ise, eğer, eğer, eğer, bütün x ve y ler bütün x1 ve x2 ler için pozitifse, o zaman onlara diyeceğim…o zaman bu matris pozitif tanımlı olur. Şimdi, bu adam testimizi geçiyor mu? Peki elimizdeki, -- burada cevabı önce özdeğerlere ve pivotlara sorarak bulmak istedik ve ne oldu? Başaramadık, hemen hemen başarısız olduk.

Bu onsekizi aşağıya yediye çekseydim, tamamen başarısız olurdu. Bunu silgi ile yapayım. Ve sonra 18 i geri koyacağım, çünkü, yedi tamamen felaket olurdu, ama eğer ..yedi biraz kalsın, bu şey herhangi bir şekilde pozitif tanımlı olur mu? Hayır, kesinlikle hayır.

Onun özdeğerlerini bilmiyorum, ama onlardan birinin negatif olduğundan eminim, onun pivotları iki ve sonraki pivot determinant bölü iki olacak, ve determinant…ne, bu şeyin determinantı ne? 14 -36, determinantı eksi 22 olarak elde ettim.

Sonraki pivot ne olacak..pivotlar, bu şeyin pivotları şimdi iki ve eksi 11 ya da onun gibi bir şey oldu.

Onların çarpımı -22 olur, yani determinant.

Bu şey pozitif tanımlı değil. Ne olabilir ..bu adam için x devrik A x e bakalım.

Nedir? --Eğer bu çarpımı dışarıdan yaparsam, bu 18 geçici olarak 7 oldu, bu 18 de geçici olarak 7 oldu, ve bu sayı, -- bu fonksiyonu negatif yapacak bazı x1 ve x2 sayılarının olduğunu biliyorum.

Umutsuzca onların ne olduğunu düşünmeye çalışıyorum.

Belki siz görüyorsunuz, bu ifadeyi negatif yapacak x1 ve x2 nin bir değerini söyleyebilir misiniz? Ah, belki, 1 ve -1. Evet budur… bu durumda, bu çakıştı, doğru. Eğer x1 i bir olarak ve x2 yi -1 olarak alırsam, o zaman bu 2 ve 7(-1) kare daima pozitif bir şeyler verir, ama bu -12 olur ve her şey negatif olur. Elimizde 2 eksi oniki artı yedi var, bu negatif olur. Bunu çizersem, buraya küçük resmi çizebilir miyim? Bu şeyin grafiğini çizebilirsem? Yani, f(x,y) yada f(x) fonksiyonunun grafiği, -- peki bunu f(x,y) eşit bu ---x devrik Ax, bu, bu, a(x) kare, 2b(xy), ve c(y) kare.

Ve buradaki sayılarla bir örnek alalım.

Tamam, peki, burada x-ekseni var, burada y-ekseni var, burada yukarı doğru bu fonksiyon eğer isterseniz z, ya da f var. Özür dilerim;, hayatımda sadece ilk kez burada, bunların bu eksenlerin üzerine bir ok koyacağım böylece onları görürsünüz. İşte vektör bu, görüyorsunuz, x1, x2 yapacağıma onları x ve y nin bileşenleri yaptım.

Yani, peki, 2x kare, 12 xy, ve 7y karenin grafiği ne? Görmek istiyorum…Ben en iyi ressam değilim, ama bakalım….bu fonksiyonun bu grafiği -- bir şeyler söyleyin, kim bana bunun geçtiği bir nokta söyleyecek?

Orijin, değil mi? Bu ressam bile bu şeyin orijinden geçmesini sağlayabilir, o bunların sıfır olduğu yer.

Biraz daha fazla nokta, x bir ve y 0 ise, o zaman yukarıya doğru gider, yani yukarıya bu yine gider, ve ben, yukarıya doğru; 2 kere x karenin bu doğrultusuna doğru. Yani bunun anlamı bir parabol olmasıdır. Ve x in sıfır olarak kaldığını ve y nin arttığını varsayalım, peki, y pozitif de negatif de olabilir; o, 7 y karedir, bu fonksiyon yukarı doğru mu gider? x doğrultusunda o yukarı doğru gidiyor ve y doğrultusunda o yukarı doğru gidiyor; ve x eşit y ise 45 derecelik doğrultu elbette yukarı doğrudur. O zaman neyimiz olurdu, -- yaklaşık olarak, her şey pozitif olurdu, ama ne? Bu fonksiyon.. bu fonksiyonun grafiği ne? Neye benzer? Bu fonksiyonun grafiğini tanımlayan kelimeyi bana söyleyin. Bu burada -- bu pozitif tanımlı değil, herkes beni takip ediyor mu, her nedense negatif doğrultuda başladım, sizin durumda bu pozitif tanımlı değil.

Ve bu yukarıya gibi görünen grafik ne? Ama öyle mi ---burada minimumuz var mı, o orijinden geçiyor mu? Tamamen? Hayır, çünkü bu şeyin başarısız olduğunu şimdi kontrol ettik. x in, – y olduğu zamanki doğrultuda çalışmadı. Bir nokta bir semer noktasıdır, kendim için, en azından, kelimeyi söyledim. Bu şey, yukarıya bir doğrultuda, ama aşağıya başka bir doğrultuda gidiyor, ve eğer bir yerin neye benzediğini ya da semerin yaptığı şeyleri bilseydik, ileriye doğru bakarken bacağımızın yukarı aşağı gittiği gibi, ve bu şeyi çizmek tanımlamaktan daha kötü oldu --- ben sadece bir yönde yukarıya doğru ve diğer yönde, burada, semer olduğunu söyleyebilirim. Şimdi üzgünüm onu öndeki tahtaya koydum, onu örtmenizin bir yolu yok, ama bu bir semerdir.

Tamam, ve bu bir semer olur, bir doğrultuda maksimum ve diğer doğrultuda minimum olduğu noktadır. Ve aslında bakmak için en güzel doğrultu özvektörler doğrultusudur.

Bunu göreceğiz. Yani bu bir pozitif tanımlı matris değil. Tamam.

Şimdi bu örneğe geri dönüyorum, bu yediden kurtulayım, onu 20 ye çıkartalım.

Bu matrisi gerçekten pozitif tanımlı yapalım.

Tamam, bu sayı şimdi 20 oldu. c şimdi yirmi.

Tamam. O şimdi bu testi geçti, henüz ispatlamadık ama, tabii ki, pozitif pivotlar için testi geçer. Pozitif pivotlar testini geçer. Bu matrisin özdeğerlerinin pozitif olduğunu onları gerçekten bulmadan nasıl söyleyebilirsiniz ki? Tabii ki, 2 ye 2 de onları bulabilirim, ama görebiliyor musunuz ---onların pozitif olduklarını nereden biliyorum? Biliyorum ki onların çarpımı .lambda 1 çarpı lambda 2 nin pozitif olduğunu biliyorum, nasıl? Çünkü o determinant’ dır ve bu da 40-36=4 olur. Yani bu determinant 4 dür.

Ve iz, köşegen elemanların aşağıya doğru toplamı 22 olur. Yani onların çarpımı 4 ü verir.

Ve bu geriye onların ya ikisinin de pozitif ya da ikisinin de negatif olma ihtimallerini bırakıyor. Ama her ikisi de negatif olsaydı, İz 22 olmazdı.

Yani, her ikisi de pozitif, Böylece özdeğerlerin her ikisi de pozitif olur, pivotların her ikisi de pozitif olur…determinantlar pozitif, ve inanıyorum ki bu fonksiyon tabii ki, sıfır hariç her yerde pozitif tir. Bu şartı yazdığım zaman, yani inanıyorum ki x devrik, --kopyalayayım, x devrik Ax, tabii ki minimum noktası hariç, pozitif tir. Mucize beklemiyorum.

Peki onun grafiği neye benzer; ve nasıl kontrol ederim, ve onun gerçekten pozitif olduğunu nasıl kontrol ederim? Grafik için bir dakikanızı alacağım.

Bu fonksiyonun grafiği ne olurdu?—Onun bir semer noktası yok. İzin verin--- burada tahtayı sileceğim ve biraz daha bu örnekle uğraşacağım.

Yani fonksiyonun grafiğini çizmek istiyorum…Fonksiyon, 2 x kare, 12 xy ler, bu pozitif ya da negatif olabilir, ve 20 y kare. Ama vurgulamak istediğim, altı çizilmiş noktayı görüyorsunuz, bu, bu şeyler bir şekilde tamamen kare olduklarından, kareleri pozitif olarak biliyoruz, pozitif tanımlı olurlar. Bunlar bir çeşit bu adamları kapsadığından bu pozitif ya da negatif olabilir, çünkü bazıları aynı ya da farklı işaretli olabilir, bunlar yeteri kadar büyük olduklarından bu adamı kapsarlar ve her şeyi pozitif yaparlar, ve şimdi grafik neye benzer? x - doğrultusunu çizeyim, bu y -doğrultusu, ve bu da orijin, sıfırda, sıfır, buradayım, orijinden uzaklaştığımda nereye giderim? Orijinden uzaklaştığımda nereye giderim? Yukarı doğru gideceğimden eminim.

Bu orijin, merkez nokta, burada minimum olur çünkü bu şey inanıyorum, ve niçin olduğunu görsek iyi olur, onun grafiği bir çeşit çanak gibi, bu grafik çanak şeklinde, bu- burada minimum var.

Ve tamamen ikinci derece (karesel) ifadeye sahip olduğumuzdan, onun orijinde oturacağını biliyoruz, onun teğet düzlemini biliyoruz, ilk türevleri sıfır olur, yani, ilk türevlerini biliyoruz, birinci türevlerin hepsi sıfır olur, ama bu minimum için yeterli değil. Onun birinci türevleri burada sıfırdı. Yani, kısmi türevler, birinci türevler, sıfır olur.

Yeniden, birinci türevlerin içinde bir x ya da bir y olacağından, onlar orijinde sıfır olurlar.

Herşeyi kontrol eden bu ikinci türevlerdir. Bu matrisin ikinci türevleri bir şekilde bize her şeyi söyleyecek---buradaki önemli vurgulamak istediğim nokta bu.

Kalkülüs ten hatırlayın, bir minumumu olduğuna nasıl karar verirdik. Birinci koşul, türev sıfır olmak zorunda idi.

Ama o zaman bir minimum ya da bir maksimuma sahip olduğumuzu bilmiyorduk, bir minimum olduğuna karar vermek için, ikinci türeve bakmamız gerekiyordu. İkinci türev pozitif olmak zorundaydı, minimum noktasından geçerken eğim artan olmak zorundaydı.

Eğrilik yukarı doğru olmalıydı, ve bu iki boyutluda şimdi yaptığımızdır, ve n-boyutluda. Yani kalkulus te yaptığımızı yapıyoruz, İkinci türev pozitif, şimdi bir matrisin ikinci türevlerinin pozitif tanımlı olmasına karşılık gelecek. Sadece minumumun nasıl işin içine girdiğini, kalkulüse başladımda, minimumun ikinci türevin pozitif olması ile ilgili.

Ve birinci türev sıfır, elbette.

Türev, birinci türev, ama minimumu bize söyleyecek olan ikinci türev idi.

Ve şimdi, 18:06 da, Doğrusal Cebirde, şimdi fonksiyonumuzun bir minimumu var, fonksiyonumuz sahip olacak, bizim fonksiyon sadece x in bir fonksiyonunun değil ama çok değişkenli bir fonksiyon olacak; bu matris burada 1 e 1 di, sadece bir tane ikinci türev vardı, şimdi çok olacak. Pozitif tanımlı mı? Yani bir sayının pozitifliği bir matrisin pozitif tanımlılığına dönüşüyor.

Ve bu her şeyi, pivotları çek etmeye, determinantları çek etmeye, bütün değerleri çek etmeye götürür ya da bu minimum şeyi çek etmeye.

Tamam, bu grafiğe geri döneyim.

Bu grafik yukarı doğru gidiyor. Ve niçin olduğunu görmem gerek.

Bu fonksiyonun her zaman pozitif olduğunu nerden biliyorum? Ona bakıp bana onun her zaman pozitif olduğunu söyleyebilir misiniz? Belki 2 ye 2 de, emin olabilirsiniz ama bu şeyin her zaman pozitif olduğunu göstermenin iyi bir yolu ne? Eğer onu kareler cinsinden ifade edebilirsek, çünkü her x ve y için, herneyseler, bir şeyi karelersek, kesinlikle negatif olmayacaklarını biliyoruz.

Böylece inanıyorum ki bu ifade, bu fonksiyon, karelerin bir toplamı olarak yazılabilir. Çünkü bütün problemler, baş ağrıları bu xy teriminden geliyor.

Şunu bir kare ifade içine koyabilirsek, yani aslında, yapacağımız şey daha önce gördüğümüz kareye tamamlama olarak adlandırılan şey.

Ben kare yapmaya başlayayım ve siz tamamlayın.

Tamam, düşünüyorum da 2(x+ … şimdi kaç tane y-miz olmalı hatırlamıyorum ama bulacağız—y kare var. Kareye tamamlamak için buraya kaç tane y-koymalıyım. Ne yapmak istiyorum 2 x kareler doğru olacak, değil mi? Yapmak istediğim bu 12xy-yi doğru olarak elde etmek için doğru sayıda y-yi bunun içine koymak. Ve y-lerin bu sayısı ne? Bakalım. Çarpan olarak 2 var, ve böylece aslında buradan 6xy gelmesini istiyorum, düşünüyorum da belki buraya üç koymalıyım, size de doğru gözüküyor mu? 2 var—bu; bu çarpımı aklımızdan yapabiliriz, 2 x kare oldu, bu doğru, burada 6xy çarpı 2 den doğru verir ve şimdi kaç tane y kareye sahip olduk? Şimdi bu terimden kaç tane y karemiz oldu? 18, 18 anahtar sayı idi, hatırladınız mı? Şimdi onu 20 yapmak istiyorum, o zaman 2 taneye daha ihtiyacım var.

İki tane y kare, bunu kareye tamamlar ve -- ve o; şimdi bu fonksiyonun pozitif olduğunu görebiliyorum çünkü onun hepsi kare oldu. Onları topladığımda iki karem oldu, negatif olamazlar. Eğer geriye bu yediye gidersem ne olur? Bu 20 sayısı yerine 7 olsaydı o zaman ne olurdu? Bu hala doğru olurdu, hala bu kare olurdu, 2 x kare ve bu 12xy-yi elde etmek için, ve 18 y karem var ve sonra burada ne yapmalıyım? 11 y kareyi çıkartmam gerekirdi, eğer burada sadece yedi olsaydı, o zaman yerine, 20 olduğunda iki tane daha koymuştum, 18 olduğunda, ki o sınırdaki durumda, fazladan bir şey koymama gerek yok.

7 olduğunda, ki bu sıfırın altındaki, belirsiz durumda, -11 vardı. Tamam, Şimdi, böylece, bu şeyin bir çanak olduğunu görüyorsunuz. O yukarıya doğru gidiyor, Eğer onu bir düzlemle, diyelim ki z=1 ile, kesersem bir -- bir eğri elde ederim, bu eğrinin denklemi ne olurdu? Onu, yüksekliğini bir değeriyle kesersem, denklem bu şeyin bire eşit olması olurdu. Ve bu eğri bir elips olurdu. Böylece gerçekten, hali hazırda, bu dersi amacımızın dışındaki farklı parçalar için bloke ettim. (bu dersi hedefimizde olmayan parçalar içine bloke ettim). Amacımız testlerdi, ki bu geçti; bir minimuma bağlantıyı hedefliyoruz, grafikle yürüyoruz ve onu kestiğimizde, bu şeyi bir eşitlediğimizde, bu şeyi bire eşit yaparsam, bu—bana bir kesit verir.

Bana, bunu – bu eğriyi verir, ve onun denklemi bu şey eşit bir olur, ve bir elipstir.

Halbuki semer noktasından kesersem, bir hiperbol elde ederim. Tamam.

Ama benim gerçekten ilgilendiğim şeyler bu minimumlar. Tamam.

Sormam gerek, farkında mısınız, yani, buradaki bu sayılar, dışarıdaki bu 2, içerideki bu 3, burada gözüken 2-- aslında, bu sayılar yok etmeden geliyorlar.

Kareye tamamlama bizim güzel önceki Gaussun yok etme metodunun bu kareler cinsinden ifade edilmiş şeklidir.

Ne demek istediğimi size göstereyim.

Bu sayıların kaza ile geldiğini düşünmüyorum. Matrisimizi 2, 6, 6 ve 20 alırsam, ve yok etme metodunu yaparsam,ve bu pivot 2 olur ve 3 ü alırım, çarpanlar ne? Satır iki den çıkartmak için kaç tane satır bir almalıyım? Üç, bunun içinde, kareye tamamlama da, gördününüz şey dışarıdakiler pivotlar ve içeridekiler çarpanlardır. Bunu tekrar yapalım.. Bu pivot 2 dir, üç---bunların üçünü çıkarırsam bu bana 2, 6, 0 rı verir, ve ikinci pivot ne? Bunun üç katını bundan çıkarırsam, 3 çarpı 6, 18 eder, ve ikinci pivot da 2 olur.

Yani bu U dur, bu A dır, ve tabii ki L bir sıfır, 1, ve çarpanı 3 idi. Yani kareye tamamlamak, yok etme metoduyla aynı oldu. Bunların bir araya geldiğini görmek beni niçin mutlu etti? Çünkü m ye m matrisler için yok etmeyi biliyorum. Burada 2 ye 2 ler için kareye tamamlama üzerine konuşmaya başladım.

Ama şimdi burada ne olduğunu görüyorum, kareye tamamlama gerçekte bu şeyi kareler toplamı olarak parçalara ayırmaktır. O halde kritik (hassas) titiz düşünce ne? Birçok karem var, ve bu karelerin içinde çarpanlar var ama onların karesi alındı, ve soru şu, bu karelerin dışındakiler ne? Kareye tamamladığımda, dışarıda kalan bu sayılar ne? Onlar pivotlar olur.

Onlar pivotlar, ve bu yüzden pozitif pivotlar bana karelerin toplamını verir. Pozitif pivotlar, pivotlar karelerin dışına giden sayılardır, yani pozitif pivotlar, karelerin toplamı, her şey pozitif, grafik yukarıya doğru gider ve minimum örneğinde, hepsi -- hepsi biri biriyle bağlantılı. Ve 2 ye 2 durumda, bu bağlantıları görebildiniz, ama doğrusal cebir şimdi 3 e 3, m ye m matrislere çıkabilir ve gelecek sefere bunu yapalım.

2 ye 2 den ayrılmadan önce, şu ifadeyi yazacağım ‘’ ikinci türevlerin matrisi’’. İkinci türevlerin matrisi nedir? Bu bir ikinci türev şimdi, ama iki boyutta isem, 2 ye 2 matrisim varsa, o x’in ikinci türevi olur, -- x’in ikinci türevi buraya gider, -- isterseniz bunu f_xx olarak yazabilirim, f_xx, bunun anlamı x doğrultusundaki ikinci türevdir.

F_yy, y-doğrultusundaki ikinci türev.

Bunlar saf türevler, ikinci türevlerdir.

Minimum için onların pozitif olmaları gerekir.

Bu sayı bir minimum için pozitif olmalı.

Şu sayı bir minimum için pozitif olmak zorunda. Ama, bu yeterli değil. Bu sayılar bu çapraz türevlerin üstesinden gelebilmek için bir şekilde yeteri kadar büyük olmak zorundalar. Niçin bu matris simetrik? Çünkü f nin x ve y ye göre ikinci türevi eşittir---- bu ikinci türevlerin güzel bir gerçeği, onları istediğim herhangi bir sırada yapabilirim ve aynı şeyi elde ederim.

Yani bu, bununla aynı olur, ve böylece bu, ikinci türevlerin matrisidir. Ve test şu, o pozitif tanımlı olmak zorunda. 18.02 nin sonuna doğru biryerlere sıkışmasından ya da en azından kitaptan bir iki değişkenli fonksiyon için bir minimum için koşul olduğunu hatırlıyor olabilirsiniz. Haydi…ne zaman bir minimum var? İki değişkenli bir fonksiyon için, inanın, kalkülüs bunun için var. Bu koşul birinci türevlerin sıfır olmaları gerektiğidir. Ve matrisin ikinci türevlerinin pozitif tanımlı olması gerekiyor.

Yani belki hatırlarsınız; f_xx çarpı f_yy nin f_xy nın karesinden büyük olması gerektiğini, bu sadece bizim 2 ye 2 nin determinantıdır.

Ama şimdi, m ye m, 3 e 3 için de cevabı biliyoruz, çünkü m ye m matrislerde yok etme yapabiliyoruz, karelerin toplamını, sadece iki karenin toplamı yerine m kareler toplamını yapabiliriz; ve böylece -- alalım, buraya geçeyim ve 3 e 3 bir örnek yapayım.

Yani, 3 e 3 örnek. Tamam.

Evet, en sevdiğim matrisi kullanabilir miyiz? Bu matrisi daha önce gördünüz. Evet, güzel matrisi kullanalım.

Bu matris pozitif tanımlı mı? Bu -- bu matris hakkında sorular soracağım, öncelikle, o pozitif tanımlı mı? Bu matris ile ilişkili fonksiyon ne, x devrik Ax ne? Bu fonksiyonun sıfırda bir minimum var mı? Ve sonra hatta geometrisi ne? Tamam, öncelikle, bu matris pozitif tanımlı mı? Şimdi size buradaki sayıları verdim yani determinantları alabilirsiniz, belki de bu en çabuk olanıdır, bunu aklınızdan yapabilirsiniz, kısa sınavda size bir matris versem ve pozitif tanımlı mı ya da değil mi desem? Bu determinantı alabilir ve 2 cevabını verirdim.

Bu determinantı alır ve bu 2 ye 2 determinant için cevabı verirdim. Cevabım 3 olurdu ve herhangi biriniz 3 e 3 deterinant için cevabı hatırlayan var mı? 4 idi, bu özel matrisler için, determinant aldığınızda, hatırlayın onlar 2, 3, 4, 5, 6 ya kadar gittiler ve onlar sadece doğrusal olarak yukarıya gittiler. Yani bu matris ---determinantlar 2,3 ve 4 olur.

Pivotlar, bu determinant için pivotlar ne? Söyleyeceğim, onlar—birinci pivot 2 dir, sonraki pivot 3 bölü 2 olur, daha sonraki pivot 4 bölü 3 olur.

Çünkü, pivotların çarpımı bana bu determinantları vermek zorunda, bu iki pivotun çarpımı bana bu determinantı verir; bütün pivotların çarpımı bana şu determinantı verir.

Özdeğerler neler? Oh bilmiyorum.

Özdeğerler var, neyim var, bir kübik – üçüncü dereceden bu denklem? Üç tane özdeğer bulmalıyız; bugün söylediklerime inanıyorsam, bu özdeğerler hakkında ne biliyorum; ben bile sayıları tüm olarak bilmiyorum ama, belki bence ben sayıları hatırlıyorum.

Çünkü bu matrisler o kadar önemliler ki insanlar onları buluyor. Ama – bu üç özdeğer hakkında doğru olduğuna inandığınız ne---inanıyor musunuz ki onların hepsi pozitifler. Onların hepsi pozitifdir.

Bence onlar iki eksi 2 nin karekökü, iki, ve 2 artı 2 nin karekökü’dür.

Bence, basit kontroller yapmadan bu sayıları yazamam. İlk basit kontrol İz dir, yani bu sayıları toplarsam, 6 elde ederim ve bu sayıları topladığımda 6 elde ederim, diğer basit test determinant olarak, eğer ben---bunu yapabilir misiniz, bu sayıları birlikte çarpabilir misiniz? Tahminim buradaki ikisini çarpabiliriz. 2 eksi karekök 2 çarpı 2 artı karekök 2 nedir, bu 4-2 olacak, ki bu 2 olur, evet, 2 çarpı 2, bu determinantı verir, doğru; doğru olma şansı var ve bence doğru. Şimdi, x devrik Ax ne? Bu adam, -- x devrik Ax için kendime yeterince yer açsam iyi olur.

2 x1 kare, ve 2 x2 kare, ve 2x3 kare var, bunlar köşegenden gelir, bunlar kolaydı; şimdi köşegenlerin dışında bir eksi ve bir eksi var, bir araya gelerek -2 olacak; -2 ne? 1,2 ve 2,1 pozisyonundan gelenler, x1 x2 olur. Bu çarpanları kafadan yapıyorum: bu matris çarpı soldaki bu satır vektörü çarpı sağdaki bu sütun vektörü, ve biliyorum ki bu sayılar cevapta gözükecekler. Köşegen tam kare olur, bu köşegen haricinde -2x1x2 var, ve x1x3 ler yok, ve -2x2x3 var.

Ve inanıyorum ki bu ifade her zaman pozitif olur. İnanıyorum ki bu eğri, aslında bu fonksiyonun, bu f fonksiyonumuzun grafiği, ve şimdi çizebileceğimden daha fazla bir boyuttayım, o ---ama bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru gidiyor.

O çanak olur. Yani belki de doğru kelime, unuttum, çanak için uzun kelime neydi? Hımm, belki paraboloit, aklıma paraboloit geliyor.

Kasedi edit edeceğim ve bu kelimeyi içeri alacağım.

Şimdilik çanak diyelim, bu, böylece, ve eğer yapabilirsem---kareye tamamlayacağım, bunu üç karenin toplamı olarak yazarım, ve bu üç kareler üç pivotlarla çarpılacaklar. Ve pivotların hepsi pozitifler. Yani pozitif pivotlar çarpı karelerim olacak, kesin sonuç bir pozitif fonksiyon olacak ve çanak yukarı doğru gidecek.

Ve sonra, sonunda, kesersem---bu çanak boyunca dilimlersem, eğer —şimdi burada gözünüzde canlandırmanızı, genişletmenizi isteyeceğim, çünkü dört boyut içindeyim, taban içinde x1x2x3 üm var, ve bu fonksiyon z ya da f, ya da onun gibi bir şey. Ve grafiği yukarı doğru gidiyor. Ama ben 4 boyuttayım, çünkü tabanda üç var ve sonra yukarı yönde, ama şimdi bu 4- boyutlu resmi benim bir de kesersem, yani varsayalım ki bu şeyi yüksekliği bir olan boyunca kestim.

Böylece yüksekliği bir olan bütün noktaları aldım.

Bu bana - bu ikiye iki durumunda, oradaki elipsi verdi, bu bir elipsoitin denklemi olacak, başka bir değişle Amerikan futbol topu olur. Güzel, tam da Amerikan futbol topu değil.

Bir dengesiz Amerikan futbol topu, ne olabilir, elipsoitin neye benzeyeceğini size tanımlamaya çalışacağım, matrisi tam bu noktada sonlandırdığım için üzgünüm, denklemi gördüğümüzden emin olmak istedim.

2x1 kare, 2x2 kare, 2x3 kare, eksi çapraz parçaların ikisi, eşit 1? Bu Amerikan futbol topunun denklemi oldu. Peki bir Amerikan futbol topu ya da bir elipsoit demekle neyi kastediyorum? Kastetiğim, şey, bir kaçını çizeyim.

Bunun gibi, bir merkezi var, ve üç temel yöne -- doğrultuya sahiptir.

Bu elipsoit. Yani---söylediğimi anlıyorsunuz. Bir kürem olsaydı, o zaman bütün yönler aynı olurdu.

Bir gerçek Amerikan futbol topum olsaydı, yada aslında Amerikan topuna yakın bir şeyim olsaydı, çünkü ragbinin Amerikan futbol topundan daha çok kavisi var, doğrultusunun biri uzun ve diğer ikisi eşit olurdu. Bu bir özdeğeri tekrarlanan ( katlı bir özdeğere sahip) bir matrise sahip olmak gibi bir şey olurdu.

Ve sonra bir başka fark, yani bu kare, bütün özdeğerleri aynı olan bir birim matrisden ortaya çıkar.

Bizim ragbi topumuz, üç özdeğerimden ikisi aynı olduğu bir durumda ortaya çıkar. Ama, üç özdeğerin de farklı olduğu tipik durumda, bu durumda nasıl olduğunu biliyoruz. Yani bu ---bunu nasıl söylerim, bu elipsoite doğru olarak bakarsam, bir ana ekseni olacak, bir orta ekseni olacak, ve bir ikincil (minor) ekseni olacak. Ve bu üç eksenler vektörler doğrultusunda olacaklar. Ve bu eksenlerin uzunlukları özdeğerler tarafından tanımlanmış olacaklar. Eee, bunun hepsini doğrusal cebir içine döndürebilirim, çünkü özdeğerler var ve özvektörler hakkında bu matris için özdeğer ve özvektörler ile ilgili bulduğum doğru şey ne, ben size bunu söyleyeyim, doğrusal cebirin temel kuralını hatırlatayım.

Bu söylediklerimi cebire nasıl dönüştürebilirim. A yı Q olarak yazarım, özvektörler matrisi çarpı lambda, özdeğer matrisi çarpı q devrik. Şimdi biz buna Esas Eksen Teoremi diyeceğiz.

Özvektörler ana eksenlerin yönünü belirlerler, özdeğerler bu eksenlerin uzunluğunu gösterir, aslında uzunluklar , ya da yarı – uzunlukları , ya da bir bölü özdeğerleri, öyle gözüküyor. Ve bu matris çarpanlarına ayırma olur, şimdiye kadarki biz özdeğerler materyalleri içindeki en önemli matris çarpımlarını ayırma olur.

Bu bir simetrik matrisimizin köşegenleştirilmesi olur; tersi yerine devriğini yazabilirim.

Tamam, ---yani bugün yapmaya çalıştığım, pozitif tanımlı matrislerde neler olduğunu söylemek oldu. Ah, burada olan bütün bu parçaları ve doğrusal cebirin bunları nasıl birleştirdiğini gördünüz.

Tamam, Cuma günü görüşürüz.