MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 25

Bu ders simetrik matrisler üzerine olacak.

En önemli matris sınıfları, simetrik matrislerdir. A, A’nın devriğine eşittir.

Bu dersin ilk önemli noktası, ana noktaları hemen söyleyeceğim. Özdeğerlerinin ayrıcalığı nedir? Özvektörlerinin ayrıcalığı nedir? Matrise bu şekilde bakarız. Eğer özel tipte matrisimiz varsa, özdeğerleri ve özvektörleri hakkında bilmek isteriz ve bu özellik özdeğerler ve özvektörler hakkında, bir şeyler söylemeli. Markov matrisleri gibi ki onların özdeğeri 1 dir.

Şimdi simetrik matrisler, ana olgunun ne olduğunu, iki temel özelliğin ne olduğunu hemen söyleyebilir miyim? Simetrik matrisin özdeğerleri gerçektir. bu bir gerçek simetrik matristir. Çoğunlukla gerçek matrisler hakkında konuşacağız. Aynı zamanda özdeğerleri de gerçektir.

Özdeğerlerin karmaşık sayılar olduğu döndürme matrisi örneklerimiz vardır. Bu şimdi olmayacak.

Simetrik matrislerin özdeğerleri gerçek ve özvektörleri de çok özeldir. Özvektörler diktir, biri birine diktir, hangisini tercih edersiniz? Ben dik diyeceğim. Her ikisi de uzun kelime. Tamam, doğru.

Siz neden diye sormalısınız, en azından birinci durum için nedenini cevaplayacağım, ikinci hal için de belki, özvektörlerin dik olduğunun ispatını kitaba bırakacağım. Şunu fark edelim -- bu durum birim matriste olduğu gibi karşımıza çıkabilir. Burada simetrik matris var.

Bütün özdeğerleri kesinlikle gerçektir, birim matris için hepsi 1 idi. Özvektörler hakkında ne söylenebilir? Aslında, birim matris için her vektör özvektördür.

Öyleyse nasıl onlar diktir diyebilirim? Burada gerçekten demek istediğim, şurada yazan “diktirler” kelimesi yerine, dik “seçilebilirler” yazmam gerektiği.

Yani, her zamanki durum budur..

Eğer bütün özdeğerler farklı ise, her bir özdeğer bir doğru üzerinde olan vektörlere sahiptir ve bu doğrular birbirlerine diktir. Fakat eğer bir özdeğer tekrarlı ise, bu koca bir özvektörler düzlemi olduğu anlamına gelir ve bütün söylediğim bunlar arasında dik olanları seçebileceğimizdir. Bu nedenle cümlemin ‘’seçilebilir kısmı’’, tekrarlı özdeğer durumunda gerçekten oldukça geniş bir özgürlüğümün olduğunu gösterir..

Fakat tipik durum farklı özdeğerler halidir, tamamı gerçek, bir boyutlu özvektör uzayı, hepsi dik olan öz uzaylar.

Böylece yalnız sonucu görelim.

Eğer bunları doğru olarak kabul edersek ne olur?---- Demek istiyorum ki onlardan oluşan tam bir küme var. Böylece resmin bu kısmında özvektörlerin dik olan tam bir kümesi vardır.

Böylece, tüm özvektör kümesine sahip olmak demek – böyle normal- böyle her zamanki – belki genellikle, her zamanki durum ---A matrisini, özdeğerlerinin matrisi ve özvektörlerin matrisi cinsinden yazabiliriz. Değil mi? Olağan durumda bunu yapabiliriz, fakat matris simetrik olduğunda ayrıcalığı nedir? Bu olağan durumdur, şimdi simetrik duruma geçelim. Böylece A’nın simetrik olması durumunda bir şekilde bu biraz özel olmalı.

Köşegen üzerinde olması gereken lambdalar hala köşegen üzerindeler. Onlar gerçek, fakat onlar olması gereken yerdeler. Özvektör matrisi için ne söylenebilir? Özvektör matrisi hakkında özel olan ne. A simetrik olduğunda, özvektör matrisi bize iyi olan bir sey söyler, bu nedir? Ve bu neye götürür? Bu dik özvektörlerin ---bu vektörlerin dik olduğunu garanti etmekten başka, onları birim vektörler de yapabilirim, bu problem olmaz, sadece uzunluğunu bir olarak ölçekleriz.

Böylece neye sahibim? Birimdik özvektörlere sahibim. Ve bu bana özvektör matrisi hakkında ne söyler? S yerine hangi harfi kullanmalıyım? S matrisinin sütunlarında özvektörler olduğunu hatırlayın. Fakat şimdi bu sütunlar birimdikdir, böylece kullanılacak doğru harf, Q’dur. Bütün harfleri ayarladık. Böylece bu Q lambda Q ‘nun tersi olmalı. Akıllarımızda Q her zaman bu matris olmalı. Bu durumda kare matristir. Tabii ki, bunlar Q’nun sütunlarıdır. Ve bir şey daha.

Q’nun tersi nedir? Bu birimdik sütunlara sahip bir matris için, ters matrisin devriğinin aynısı olduğunu biliyoruz. Burada güzel olan, simetrik matrisin çarpanlara ayrılmasında çok iyi bir tanımlama vardır.

Ve bu doğrusal cebirin en ünlü teoremlerinden biridir; bir simetrik matrisin varsa bu şekilde çarpanlara ayrılabilir.

Bir ortogonal matris çarpı köşegen çarpı bu ortogonal matrisin devriği. Ve tabii ki, herkes hemen evet der ve bu mümkünse, bunun simetrik olduğu açıktır, değil mi? Üç şeyin çarpımına baktık ve onların devriğini aldık ve tekrar başa dönmüş olduk. Böylece bunun güzelliğini görebiliyor musunuz, bu faktorizasyonun güzelliğini… Bu özdeğerleri ve özvektörleri, bütün şeyin simetrikliğini tümü ile gösterir, çünkü şu çarpım, Q çarpı lambda çarpı Q’nun devriği -- eğer bunun devriğini alırsak bu bu pozisyonda gelir ve şu matrisi tekrar elde ederiz. Böylece bu matematikte spektral teorem olarak adlandırılır.

Bir matrisin özdeğerlerinin kümesi spektrumdur.

Spektrum kelimesi saf şeylerin bileşimi olarak ışığın spektrumu fikrinden gelir. Burada matrisimiz saf özdeğerlere ve özvektörlere ayrılmıştır. Bu, mekanik alanında, sıklıkla ana eksen teoremi olarak adlandırılır. Çok yararlıdır.

Bunun anlamını geometrik olarak göreceğiz.

Bunun anlamı şudur, bir malzemeniz varsa ve doğru eksene bakarsanız, köşegen olur, doğrultular birlikte eşleşmezler.

Tamam. Bu dersten hatırlamamız gereken budur. Şimdi özdeğerlerin neden gerçek olduğunu söylemek isterim. Bunu yapabilir miyim? Böylece yararlı olan bir şey çıkıyor. Özdeğerlerin neden gerçek olduğu sorusuna geri dönmek istiyorum. Tamam. Bildiğimiz tek şey olan Ax eşit lambda çarpı x’ten başlamak istiyorum. Peki. Şu ana kadar bildiğim kadarı ile lambda karmaşık olabilir. Şimdi öyle olmadığını göstereceğim---- ve x de karmaşık olabilir. Gerçekte, hatta A’da karmaşık olabilir. Hatta düşünmeliyiz, A karmaşık olursa ne olur? Her zaman yapabileceğimiz bir şey, her zaman olduğu gibi, bir denklemimiz varsa hepsinin karmaşık eşleniğini alabiliriz.

Böylece A eşlenik x eşlenik eşittir lambda eşlenik x eşlenik, demek oluyor -- ki burada i olan her yeri, burada eksi i’ye değiştirdim.

Yani, biliyorsunuz ki bu adımda, eşlenik işleminde, (a+ib)’nin eşleniğini alırsam (a-ib) olur.

Yani eşleniğin anlamı ve çarpımlar doğruysa, her çarpanın eşleniğini alabilirim. Şu ana kadar yaptığım tek şey, neyin doğru olacağını söylemek---her durumda, hatta x ve lambdanın karmaşık oldukları durumlar da dahil. Tabii ki, gerçek A matrislerinden bahsettiğimizden, bunu atabilirim. Gerçekte, bu zaten gerçek matrisler hakkında bana bir şeyler söyler. Henüz A= A’nın devriği hakkında hiçbir varsayımı kullanmadım. Simetri kanatlar üzerinde kullanılmayı bekliyor. Bu bana eğer, bir gerçek matris lambda özdeğerine ve x özvektörüne sahipse, lambda çizginin bir diğer özdeğeri, x çizginin ise bir diğer özvektörü olduğunu söyler. Gerçek matrislerin özdeğerleri lambda, lamda çizgi, karmaşık özdeğerleri lambda ve lambda çizgi çiftleri şeklinde oluşur.

Fakat, tabii ki, simetriyi işin içine katarak, onların hiçbir şekilde karmaşık olmadığını göstermeyi amaçlıyorum. Böylece simetriyi nasıl kullanacağım? Bu denklemin devriğini alırsak, x çizgi devrik A devrik, eşittir x çizgi devrik lambda çizgi.

Bu sadece bir sayıdır, böylece bu sayıyı nereye koyduğum beni ilgilendirmiyor. Bu tamamdır.

Şimdi simetriyi kullanmaya hazırım. Şimdi hazırım bunun tamamı sadece mekanikti.

Şimdi, tamam demenin zamanı geldi, eğer matris simetrik ise bu A’nın devriği A’nın aynısıdır.

Bu ana varsayımı kullandığımı görüyorsunuz. Şimdi tartışmayı bitirmeme izin verin. Bu şekilde bitireyim. Bu orijinal denkleme bakıyorum ve iç çarpımını alıyorum.

Her iki tarafı----- belki bununla yapacağım.

Her iki tarafı x çizginin devriği ile çarpıyorum.

X çizgi devrik, Ax çizgi eşittir lambda çizgi x çizgi devrik, x çizgi. Tamam, iyi.

Tamam, şimdi digeri nedir? Diğeri için muhtemelen bu vatandaşı kullanacağım.

Bunun hakkında mutlu muyum? Hayır.

Bir nedenle değilim. İstiyorum ki ..eğer bunun sağdan x çizgi ile iç çarpımını alırsam, (x-çizgi)-devrik Ax çizgi eşittir (x-çizgi)-devrik lambda çizgi x çizgi. Aptalca bir şey yaptım, çünkü hiçbir şey öğrenmedim.

Elde ettiğim şu iki denklem özdeş, böyle bir şey yaptığım için beni affedin, fakat kabaca bakacağım. Tamam. Skalar çarpımı yaptım, bir şekilde olmadı. Buradaki bu şeyin skalar çarpımını yapmalıyım. Bu yapacağım şeydi. Ax eşittir lambda x çizgi devrik, x doğru? Tamam.

Bu tamamdır.

Bu doğrudan şundan gelir, her iki taraf x çizgi devrik ile çarpılırsa, fakat şimdi elde etmek istediğim----orada neden x çizgilerim var? Evet.

Bunu unutun. Tamam.

Bunda tamam. Bunda, bu şekilde alıp, sağdan x ile çarparım. Fikir bu. Tamam.

Şimdi neden bu durumla daha mutluyum? İspat burada geliyor. Çünkü bu şeyi bununla karşılaştırıyorum. Ve onların sol tarafları aynı. Böyle sağ tarafları da aynıdır. Şu ikisinin karşılaştırmasını, bu karşılaştırmayı yapmak için tahtayı kaldıracağım, bu şey lambda x çizgi devrik x eşittir lamda çizgi x çizgi devrik x. Tamam.

Ve ulaşacağım sonuç, ben burada doğru yol üzerinde miyim? Ulaşacağım sonuç lambda eşittir lambda çizgi.

Diğer olasılığı takip etmek zorundayım, bu şey sıfırdır, fakat oo-- evet, bu önemli. Sıfır değil.

Bunun sıfır olmadığını bildiğim anda, onu yok ederim ve lambda eşittir lambda çizgi olduğunu görürüz.

Ve bütün mantığı anladınız mı? Bu bize ne söyler? Lambda bu simetrik matrisin bir özdeğeridir.

Onun lambda çizgiye eşit olduğunu biraz önce ispatladık, böylece lambda’nın gerçek olduğunu ispatladık, değil mi ? Eğer bir sayı kendisinin karmaşık eşleniğine eşitse, sanal kısmı yoktur. Sayı gerçektir.

Böylece lamda gerçektir. İyi.

İyi. Şimdi, fakat bu küçük ifadeye bağlıydı, onun sıfır olmadığı bilgisine dayanarak, onu sadeleştirebilirim, bunun üzerinde bir saniyenizi almak istiyorum? Çünkü bu önemli bir sayıdır.

X çizgi devrik x. Tamam. Şimdi bildiğimiz kadarıyla x’in karmaşık olduğunu hatırlayalım.

Burada x karmaşık, x bu bileşenlere sahip, x1, x2,……,xn’e kadar

Ve x çizgi devrik, devriği ve eşleniği alınmış, böylece x1’in eşleniği, x2’nin eşleniği, xn’in eşleniğine kadar alındı. Gerçekten size karmaşık sayılar ile ilgili önemli özellikleri hatırlatıyorum, bunlar bu derste ve sonraki derslerde karşımıza çıkacaklardır. Şu çarpım hakkında bana ne söyleyebilirsiniz? Eğer bir karmaşık vektörüm varsa, söylemeye çalıştığım, bu istediğim değer olacaktır. Bu arzuladığım değerdir.

Bir vektörle onun devriğinin çarpımını alıyorum, eğer bir vektör alırsam genellikle x devrik x ne olur? Demek istiyorum ki, x devrik x, her zaman gördüğümüz sayı.

Yani x’in uzunluğunun karesi, değil mi? Yani pozitif uzunluğun karesi, bu Pisagor’dur, bu x1’in karesi artı x2’nin karesi ve böylece devam eder. Bizim vektörümüz karmaşıktır ve etkiyi görüyorsunuz? Bunlardan bir tanesinin eşleniğini alıyorum. Şimdi bu çarpımı yaparsam, x1 çizgi çarpı x1 ve x2 çizgi x2 ve böylece devam eder. Böylece bu toplam a+ib ve bu toplam a-ib.

Demek istiyorum ki, burada ana fikir nedir? Bir sayıyı onun eşleniği ile çarparsam, bir karmaşık sayıyı eşleniğiyle, ne elde ederim? Sanal kısım kaybolur.

a+ib sayısını eşleniğiyle çarparsam, bunun sonucu ne olur? Şu ayrı küçük çarpımların her biri. Bir a kare var ve kaç tane---- b kare artı ile mi geliyor, eksi ile mi?. Artı ile.

i çarpı eksi i, ve artı b karedir.

Sanal kısım hakkında ne söylenebilir? Kayboldu, değil mi? Bir iab ve bir eksi iab var ve gitti.

Demek ki, bu yapmak için doğru olandır.

İyi bir cevap istersen, sayıları eşlenikleriyle çarp. Vektörleri x devriğin eşlenikleriyle çarp. Böylece bu sayı pozitif, bu sayı da pozitif. Sıfır vektörü dışında bütün ifade pozitif ve bu da bu sayının pozitif olduğunu bilmemi sağlar, ve onu rahatlıkla sadeleştirerek sonuca ulaşırım. Gerçekte, bu tartışmada iki şey yaptım.

Arzuladığım gibi lambdaların gerçek olduğu sonucuna ulaştım. Aynı zamanda, karmaşık değerler olduğunda ne yapılması gerektiğini de bir şekilde gördük.

Eğer bir vektör karmaşık ise, x çizgi devrik x onun uzunluğunun karesidir. Söylediğim gibi, gelecek ders -- Pazartesi, bunun doğru şey olduğunu tekrar edeceğiz ve daha sonra matrisler ve diğerleri, diğer bütün karmaşık olasılıklar için doğru şeyleri yapacağız.

Tamam, Fakat ana fikir, bir simetrik matrisin özdeğerleri, -- sırası gelmişken simetrik olmayı nerede kullandık? Burada kullandık değil mi? Farzedelim ki, A karmaşık olsun. Varsayalım A bir karmaşık sayıydı, karmaşık matris burada A çizgi yazmalıydım. Çizgiyi sildim çünkü A gerçek kabul edilmişti. Fakat şimdi bir an için öyle olmadığını varsayalım. O halde bu adımı attıktan sonra neye sahip olmalıydım? O adımda ne yaptım? Devriğini aldım.

Bu yüzden A çizgi devriğim olmalı.

A’nın simetrik olması durumunda her şeyin çalışmasını ne sağladı? Bu hemen şuna götürür.

Matris simetrik olduğunda bu hemen bunu sağladı, böylece sorun olmadı, simetrikti dolayısıyla bu sorun olmadı.

Sonra A’ya elde ettim. Fakat şimdi size sormanın tam zamanı. Matrisin karmaşık olduğunu varsayalım. Simetrinin tam eşdeğeri nedir? Böylece iyi matris, burada söyleyeyim iyi matrisler, -- iyi demekle gerçek lambdaları ve dik x’leri kasdediyorum. Ve şimdi hangi matrislerin iyi olduğunu bana söyleyin? Eğer onlar….Eğer onlar gerçek matrislerse, iyi olanlar simetriklerdir. Çünkü her şey yolunda gitti. Böylece iyi…şimdi hangileri iyi onu söylüyorum.

Bunlar iyi matrislerdir.

Onlar gerçek özdeğerlere ve dik özvektörlere sahiptir. Eğer gerçek ise iyinin anlamı A’nın kendi devriğine eşit olmasıdır.

Bu yüzden ispatımız çalıştı.

Fakat A karmaşık olsaydı, A çizgi devriğin A’ya eşit olması durumunda, ispatımız hala çalışacaktı.

Ne söylediğimi görüyor musunuz? Diyorum ki eğer karmaşık matrislerimiz olsaydı ve simetrik matrisler kadar iyi demek istiyorsak, yalnızca devriğini değil, aynı zamanda eşleniğini de alacaktık.

Bunlar iyi matrisler. Ve tabii ki, en önemli hal gerçek oldukları durum, bu kısım sorun değil ve sadece A eşittir A devrik simetrik; sadece onu tekrar edeceğim. Eğer karmaşık ise iyi matrisler bunlardır. Eğer gerçek ise bu herhangi bir fark oluşturmaz, bu yüzden sadece simetrik diyeceğim.

Ve tabii ki, uygulamalarda ve örneklerde matrislerin %99’u gerçektir ve şu olmayacaktır -- ve o halde simetrik anahtar özelliktir.

Tamam. Böylece….bu nedenle bu ana olgular ve şimdi sadece bana izin verin…bu x çizgi devrik x, tamam.

Bu nedenle bir kez daha bu formda yazacağım. Böylece dik, birimdik özvektörler, gerçek özdeğerler, birimdik özvektörlerin devriği.

Bu simetrik hal, A eşittir A devrik.

Tamam, güzel.

Aslında, hatta burada bir adım ileriye gideceğim.

Varsayalım ki, simetrik matris hakkında gerçekten ne dediğimi size göstermek için bunu parçalayabilirim.

Şunu parçalayabilirim. Bundan özvektörlere dönmeme izin verin. Burada özdeğerlere gidelim, lambda bir, lamda iki ve böylece devam eder.

Burada bu özvektörlerin devriğine dönelim.

Ve şu çarpmayı yaparsam gerçekten ne olur? Ne olacağını görüyor musunuz? Lambda bir çarpı q1’in devriği var. Bu yüzden birinci satır tam olarak lambda bir q1 devrik. Eğer şimdi sütunla satırı çarparsam, bunu yapabileceğimi hatırlayın. Matrisleri çarparken, sütunlarla satırları çarpabilirim? Bunu yaptığımda, lambda bir ve sonra sütun ve daha sonra satır ve lambda iki ve sütun ve satırı elde ederim.

Her simetrik matris bu parçalara ayrılabilir. Böylece bu parçalar gerçek özdeğerlere ve bu birimdik özvektöre sahiptir.

Ve hatta bana orada hangi çeşit matris elde ettiğimi söyleyebilir misiniz? Birim vektörle devriğinin çarpımını yaptığımı varsayalım. Böylece sütun çarpı satır şeklinde bir matris elde ederim. Bu özel isimli bir matristir. Nedir? Ne tip matristir? Bu tür matrisleri 4. Bölümde gördük. A devrikte a birim vektörse, böylece A devrik A ile bölmek zorunda değilim. Bu matris izdüşüm matrisidir. Bu bir izdüşüm matrisidir.

Bu simetriktir ve karesini alırsam başka bir q1devrik q1 olacak ve bu 1 olacak. Böylece şu matrisi tekrar elde edeceğim. Her…..böylece her simetrik matris – her simetrik matris..böylece ikişer ikişer birbirilerine dik izdüşüm matrislerinin bileşimidir.

İzdüşüm matrisleri. Tamam.

İnsanların spektral teoremi düşünmek istemelerinin bir başka şekli de her simetrik matrisin bu şekilde parçalanabilmesidir. Bu anda tahmin ediyorum ki, öncelikle bir örnek yapmadım.

Bir simetrik matris oluşturabilirdim, öyle olduğunu kontrol ederdim, özdeğerlerini bulabilirdim, onlar gerçek olacaktı, özvektörlerini bulabilirdim, onlar da dik olacaktı ve siz bunları sayılarla görebilirdiniz, fakat belki bir an için burada harflerde bırakacağım. Bir dakika, bir nedenle belki de sayılarla yapacağım.

Çünkü tahtada bir başka dikkat çekici gerçek daha var.

Tahtada simetrik matrislerle ilgili bu çok önemli özelliği daha ileriye götüreceğim. Simetrik matrisim varsa, özdeğerlerinin gerçek olduğunu biliyorum.

O halde onların pozitif veya negatif olması sorusu ile ilgilenebilirim? Ve bunun neden önemli olduğunu hatırlayın. Differansiyel denklemler için bu kararsızlık ve kararlılığı belirler. Böylece onların gerçek olduklarını bildikten sonra sorulacak soru, onlar pozitif mi, negatif mi olduğudur. Ve bu soruyu cevaplamak için onların özdeğerlerini hesaplamak zorunda kalmaktan nefret ediyorum. Çünkü büyüklüğü diyelim 50 olan bir simetrik matrisin özdeğerlerini hesaplamak ---50 özdeğerini hesaplamak büyük bir iş.

Demek istiyorum ki, kalem ve kağıtla hayat boyu sürecek bir iş.

Demek istiyorum ki, gerçekte, birkaç yıl önce, belki 20 yıl önce diyelim veya 30 yıl önce, kimse bunun nasıl yapılacağını bilmiyordu. Demek istiyorum ki bilim bu probleme takılıp kalmıştı.

Eğer büyüklüğü 50 veya 100 olan bir matrisiniz varsa özdeğerlerini nasıl bulursunuz? Şimdi tam olarak diyorum ki nümerik olarak, çünkü kalem kağıtla yapmaya kalkışsak, ya zamanımız yada kağıdımız kalmayacak veya biz onu elde etmeden önce bir şey olacak.

Matlab kullanarak lambda eksi A, A eksi lamda I’nın determinantını hesaplayabileceğinizi sanıyorsunuz. Bu 50. dereceden polinomu ve köklerini bulabileceğinizi sanıyorsunuz. Matlab bunu yapar fakat şikayetçi olacak çünkü özdeğerlerini bulmak çok kötü bir yol. Bunu söylediğim için üzgünüm, çünkü size kendinizin yapmasını öğrettim, değil mi? Size bu determinantı bularak şu polinomun köklerini hesaplamayı öğrettim. Fakat şimdi diyorum ki, tamam, ben gerçekte ikiye ikilikler ve üçe üçlükler için demek istedim, ama 50’ye 50 için yapmanızı kastetmedim ve muhtemelen çok mutsuzsunuz çünkü bunu yapmak istemezsiniz. Ama, iyi, çünkü bu çok belirsiz bir yol, gelecek olan 50 cevap oldukça güvenilmez olacaktır. Bu yüzden bu 50 özdeğeri bulmak için yeni yöntemler çok daha iyidir. Bu sayısal doğrusal cebirin bir parçasıdır. Fakat burada kayda değer gerçek şudur ki, Matlab oldukça mutlu bir şekilde 50 pivotu bulacaktır, değil mi? Pivotlar özdeğerlerle aynı değildir. Fakat burada çok önemli bir nokta var. Eğer bir gerçek matrisin varsa, bu 50 pivotu bulabilirim ve bunların belki 28’inin pozitif ve 22’sinin negatif olduğunu görebilirim. Ve bunları güvenilir ve hızlı bir şekilde hesaplayabilirim. Buradaki çok önemli gerçek, özdeğerlerin 28’i pozitif ve 22’si negatif olacaktır, bu pivotların işaretidir, ümit ediyorum ki, siz bunun çok hoş bir şey olduğunu düşünüyorsunuz, simetrik matrisler için pivotların işareti, her zaman simetrik matrisler hakkında konuşuyorum, gerçekten de sizi simetrik matrislerin diğerlerinden daha iyi olduğuna ikna etmeye çalışıyorum.

Böylece özdeğerlerin işaretleri ile pivotların işaretleri aynıdır. Aynı sayı.

Sıfırdan büyük pivotların sayısı, pozitif pivotların sayısı pozitif özdeğerlerin sayısına eşittir.

Böylece, gerçekten çok faydalı, bu size özdeğerleri uygun şekilde hesaplamak için iyi bir başlangıç verir, çünkü onları kaç tanesinin pozitif, kaç tanesinin negatif olduğunu bilerek onları daraltabilirsiniz.

O halde matrisi birim matrisin yedi katı kadar öteleyebilirsiniz.

Bu bütün özdeğerleri yedi ile öteler.

O matrisin pivotlarını alabilirsiniz ve orijinal matrisin özdeğerlerinin kaç tanesinin yediden büyük ve kaç tanesinin yediden küçük olduğunu bilebilirsiniz. Böylece bu düzgün küçük teorem simetrik matrislerin bu bağlantısı…., kimse pivotların özdeğerler olduğunu düşünmüyor ve bunu karıştırmıyor, -- demek istiyorum ki, düşünebileceğim tek şey pivotların çarpımı özdeğerlerin çarpımına eşittir, neden? Böylece, bunun nedenini size sorsam, neden simetrik bir matrisin pivotlarının çarpımı özdeğerlerinin çarpımına eşittir. Çünkü onların her ikisinin de determinantları aynıdır.

Doğru. Pivotların çarpımı, eğer satırlar kendi aralarında değişmemişse, determinantı verir, halbuki özdeğerlerin çarpımı her zaman determinantı verir.

Böylece çarpımlar, fakat bu 50 tane için ayrı ayrı hiçbir şey söylemez, ancak şu söyler.

Tamam. Böylece bunlar simetrik matrisler hakkındaki köklü gerçeklerdir.

Tamam. Şimdi dersi tanımlarken -- son dakikaları pozitif tanımlı matrislere ayıracağımı söylemiştim, şimdi tam da o noktadayız, pozitif tanımlı matrisin ne olduğunu söylemek için hazırız. Öncelikle o simetriktir.

Her zaman simetrik matrisleri kastedeceğim.

Bu kitabın gelecek bölümü. Bunun hakkında. Eğer simetrik matrisler iyi ise, ki bu şu ana kadar dersimde vurguladığım nokta idi, o halde pozitif tanımlı matrisler, alt sınıf olarak mükemmeldir, tamam. Tam olarak en iyisidir.

O halde onlar nedir? Onlar matrislerdir, onlar simetrik matrislerdir, böylece bütün özdeğerleri gerçektir. Onların ne olduğunu tahmin edebilirsiniz.

Bunlar simetrik matrislerdir, bütün özdeğerleri….tamam, hangi kelimeyi yazacağımı söyleyin. Aslında cevap bunların isminde saklı. Bütün özdeğerler pozitif. Tamam.

Pivotlar hakkında ne söyleyebilirsiniz? Özdeğerleri veya pivotları kontrol edebiliriz. Bütün pivotlar ne? Ve o halde, son olarak bir örnek vereceğim.

Dersimde bu noktaya geldim ve tek bir örnek vermediğim için kendimi kötü hissediyorum. O halde bir tane vereyim.

Beş üç iki iki. Bu simetrik, iyi. Eminiz ki özdeğerleri gerçek. Fakat bundan başka bu özdeğerlerin işaretini de biliyoruz.

Ve aynı zamanda pivotların da işaretini biliyorum, pivotlarla ne alakası var? Eğer bütün özdeğerler pozitif ise ve -- pivotların ve özdeğerlerin işaretinin aynı olduğu bu küçük gerçek doğruysa, o halde bütün pivotların pozitif olduğu doğru olmalıdır.

Ve bu, bunu test etmek için iyi bir yol.

Bu iyi bir testtir, çünkü ben ..bu matrisin pivotları ne? Bu matrisin pivotları beş. Böylece pivotlar beş ve ikinci pivot nedir? Bir matriste ikinci pivot için bir formül gözlemledik mi? Sahip miyiz? Gerekli değildir, biliyorsunuz ki bir kesirli sayı da çıkabilir -- ancak bu kesirli sayı nedir? Bana söyleyebilir misiniz? Burada pivotların çarpımı determinantı veriyor. Bu matrisin determinantı nedir? On bir? Böylece ikinci pivot onbir bölü beş olmalı ki çarpım on bir olsun. Her ikisi de pozitif.

O halde bu matrisin her iki özdeğerinin de pozitif olduğunu biliyorum. Özdeğerler nedir? Bakalım, köklerini almalıyım. Siz biliyorsunuz, eksi lambda koymalı mıyım? Bunu kafadan yapabilirsiniz, lambda kare eksi kaç lamda? Sekiz mi? Doğru. Beş ve üç, iz buraya gelir, artı buraya hangi sayı gelir? Determinant, on bir, böylece bunu sıfıra eşitlerim. O halde özdeğerler, bakalım, şunun yarısı dört, bu pozitif sayıya bakınız, artı veya eksi karekök onaltı eksi onbir, düşünüyorum ki beş. Özdeğerler, bakalım, ikiye iki onlar çok kötü değil, mükemmel de değil.

Pivotlar gerçekten basit. Ve bu gerçekten diferansiyel denklemlerde arzuladığınız matris aileleridir, çünkü biliyorsunuz ki özdeğerlerin işareti kararlılık veya kararsızlığı verir.

Tamam. Pozitif tanımlı matrisler için zaman olduğunda bir başka ilgili çekici gerçeği bu araya sokabilirim. İlgili çekici gerçek, determinantlar hakkında size sormaktır. O halde determinant nedir? Eğer hatırlayabilirsem pozitif tanımlının anlamı bütün özdeğerler pozitif, bütün pivotlar pozitif, o halde determinant hakkında bana ne söyleyebilirsiniz? O da pozitifdir.

Fakat bir şekilde bu yeterli değil.

Burada bir matris eksi bir eksi üç, bu şeyin determinantı nedir? Pozitiftir, değil mi? Bu bir pozitif tanımlı matris midir? Pivotlar kaçtır? Bakalım, negatif.

Özdeğerler neler? Onlar da aynıdır.

Böylece, bir şekilde sadece matrisin determinantını istemiyorum. Burada onbir, çok iyi. Burada bütün matrislerin determinantı üçtür, bu da pozitiftir.

Aynı zamanda küçük alt determinantları da kontrol etmeliyim, belki soldan aşağıya doğru diyelim.

Bu yüzden bire bir ve ikiye iki pozitif olmalı. Orada, hepsini şurada elde ederim. Hepsini alt determinantlar olarak adlandırırım; öyle adlandırmalıyım. Bu şeyi çoğul yapmaya ihtiyacım var. Yalnız büyük determinantı değil, n tane şeyi test etmem gerekir. Bütün alt determinantlar pozitif olmalı. Bu durumda tamamım.

O halde tamamım. Bu testi geçer.

Beş pozitif ve on bir pozitiftir.

Bu testte başarısız olur, çünkü oradaki şu eksi bir negatiftir. Ve büyük determinant pozitif üçtür. Böylece siz, bu derste bazı gerçekleri bir araya getirmeyi görüyorsunuz. Ve bu gerçekten şimdi benim vurgulamak istediğim nokta.

İleride, bu derste ve özellikle gelecek Çarşamba ve Cuma, bu ders birlikte gelecek.

İlk haftada karşılaştığımız bu pivotlar, dersin ortasında karşılaştığımız bu determinantlar, son zamanlarda karşılaştığımız bu özdeğerler, burada bütün matrisler kare, kare matrisler için bir araya geliyor demek -- bu üç parça şu hoş gerçekte bir araya geliyor ki, eğer bunların birisine sahipsem diğerleri de vardır.

Ama simetrik matrisler için. Böylece bu pozitif tanımlı bölüm olacak ve sonra dersin gerçekten doruğa ulaşması, simetrik olması gerekmeyen n ye n matrisler için her şeyin bir araya gelmesini sağlamak, her şeyi orada bir araya getirmek, bu da son şey olacak. Tamam.

İyi hafta sonlar ve simetrik matrisleri unutmayın.

Teşekkürler