MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 24

İki, bir ve ---tamam. Bugünkü dersimiz özdeğerlerin kullanımı üzerine ---ve bu da Markov matrisleri olacak. Bir Markov matrisinin ne olduğunu söyleyeceğim, bu A matrisi bir Markov matrisi olacak ve kullanım alanlarını da daha sonra size açıklayacağım.

Ve ---sonra eğer zaman kalırsa, biraz da Fourier serilerinden söz edeceğim. Bu seriler izdüşüm ünitesinin harika bir uygulaması.

Bakalım bir Markov matrisi ne? Tipik bir Markov matrisi yazabilir miyim, örneğin

0.1, 0.2, 0.7 ; 0.01, 0.99, 0 ve de 0.3, 0.3, 0.4.

Bu tümü ile şu an yaratılmış bir matris. Bunu Markov yapan özellikler ne? Bu matrisin iki özelliği var.

Bu iki özellik ---birincisi tüm elemanları sıfırdan büyük. Tüm elemanları sıfır veya sıfırdan büyük. Ve tabii ki matrisin karesini aldığımda elemanlar yine sıfıra eşit veya büyük olacak. Matrisin kuvvetleri ile ilgileneceğim. Ve sözünü ettiğim özellik ---hep geçerli olacak.

Aslında ---göreceksiniz ki, Markov matrisleri olasılık fikirlerine yakından bağlantılı ve

olasılık değerleri hiçbir zaman negatif olmaz. Diğer özellik---diğer özelliği şurada fark edebiliyor musunuz? Sütünları topladığımda sonucum ne olur? Bir. Demek ki bütün sütunların toplamı bir. Ve matrisin karesini aldığımda aynı özellik yine geçerli olacak.

Demek ki Markov matrisimin tüm kuvvetleri de birer Markov matrisi ve her zaman özdeğerler ve özvektörlerle ilgileniyorum. Ve durağanlık durumu yine karşımıza çıkacak. Hatırlarsanız, geçen derste diferansiyel denklemlerde durağanlık durumundan söz etmiştik. Ne zaman ---durağan durumdu ---özdeğer ne oluyordu?

Diferansiyel denklemler için durağanlığa yol açan özdeğer ne idi? Bu değer lambda=0 idi. Hatırlıyor musunuz? Bir örnek yapmıştık ve örnekte özdeğerlerin birisi lambda=0 idi ve sonra ---bir e üzeri sıfır t’miz vardı, ve bu sabit bir sayı ---ve zaman geçtikçe, şu şey durağan kalıyordu. Şimdi ---kuvvetler durumunda, özdeğerimiz sıfır olamaz. Matrislerin kuvvetlerine baktığımızda, sıfır değerli bir özvektör, şu bölüm hemen ölecek. Bu durumda önemli olan 1’e eşit olan bir özdeğer. Demek ki durağan halimiz değeri 1 olan bir özdeğerle ve onun özvektörü ile ilintili olacak. Aslında durağan durumumuz o özdeğere karşılık gelen özvektöre eşit olacak.

Şimdi sırada ne var? Şimdi daha sonra göreceğimiz belli bir nedenle, bu matrisin 1’e eşit bir özdeğeri var. Sütunlarının toplamlarının 1 olması, bir şekilde, bire eşit bir özdeğerin varlığını garantiler ---ve bu özdeğeri bulabilirsiniz ---bir Markov matrisinin özdeğerini (A eksi lambda I)’nın determinantını bulmak zorunluluğunda olmadan bulabilirsiniz. Bu matrisin 1’e eşit bir özdeğeri olacak ve bunun niçin böyle olduğunu görmek istiyoruz.

Ve sonra diğer önemli nokta ---kilit noktalar ---şimdi bunları aşağıya yazayım.

Anahtar noktalar şunlar: anahtar noktanın biri lambda=1’in bir özdeğer olması, -- ve şimdi bir şey daha ekleyeceğim ---özdeğerlerle ilgili bir şey ---ikinci anahtar nokta diğer özdeğerlerin ---diğer özdeğerlerin büyüklüğünün 1’den küçük olduğu, mutlak değerleri birden küçük.

Aslında bazı özel durumlarda --- özdeğerlerden biri---bir başka özdeğer de 1’e eşit olabilir.

Markov matrisinin 1’den büyük bir özdeğeri olamaz.

Bu iki özelliği ---doğrusal cebir bunu bize söylemeli. Ve tabii ki doğrusal cebir bize şunu da söyleyecek ---şunu yapınca ---hatırlarsınız ---A’yı peşpeşe kendisi ile çarptığımda, K’nıncı seferde A üzeri k çarpı u0 elde ederiz ve şimdi sorun bununla ilgili özel olan ne? ---A’nın bu kuvvetleri ---ve mutlaka ki kısa sınavda size bilgisayar üzerinde A’nın bir kaç kuvvetini hesaplamanızı isteyeceğim, veya bunun bir başlangıç vektörüne uygulanmış halini.

Genel hali hatırlıyor musunuz? Genel ifadede, birinci özdeğerin K’nıncı kuvvetinin bir bölümü çarpı birinci özvektör, artı ikinci özdeğerin K’cı kuvvetinin bir bölümü ile ikinci özvektör, ve böylece sonuna kadar gideceğiz. Her derste rahat hissetemek için, bunun komple bir özvektör kümesini gerektirdiğini, öyle olmaması durumunda, u0’ı özvektörler cinsinden yazamayabileceğimizi hatırlatmak zorunda hissediyorum, çünkü bu gerçekleşmezse, başlamamız bile mümkün olmayabilir. Ancak K=0 olduğunda, u0 ile başlayabiliyorsak, sonrasında, A’nın her bir kuvveti bu lambdaların birini verir.

Ve şimdi durağan durumun ne olacağını görebiliyorsunuz. Eğer lambda_1 bir’e eşit olursa, lambda_1 in K’cı kuvveti de bir’e eşit olur ve diğer özdeğerler de 1’den küçük olurlar; burada bir şekilde denklemin üstünü çizdim ---ama elimizde şu terim vardı, ancak bu terime ne oluyor ---lambdalar birden küçük olduğunda, kuvvetlerini aldığımızda, zaman içinde ilerlediğimizde, bu sıfıra gider, değil mi? Hazır üstünü çizmeye başlamışken bunu uzatabilirim. Bu terim ve bütün diğer terimler sıfıra gidecekler çünkü diğer tüm özdeğerler 1’den küçük ve yaklaşmakta olduğumuz durağan durum sadece ---burada ne vardıysa ---bu ---bu başlangıç şartının u0 kısmı, ve bu da durağan durum. Bütün bunlar genel bilgi ---yapmış olduğumuz şeyler.

Şimdi şunun neden olduğunu görmek istiyorum ---en azından 1’in niye bir özdeğer olduğunu görmeye çalışalım. Ve aslında biraz fazlası var ---bu bölümde sırf özdeğerlerle değil, aynı zamanda özvektörlerle de ilgileniyoruz. Ve özvektörle ilgili önemli bir nokta var. Onu şuraya yazayım.

x1 özvektörü ---x1 özvektörümüz başlangıç pozitif ise, özvektörün tüm bileşenleri pozitif, durağan durum pozitif olur. Eğer başlangıç ---aslında genelde ---bunda her zaman bir sıfır bileşen olabilir, ama hiçbir zaman negatif bileşen olamaz.

Tamam. Şimdi temel noktaya gelebilir miyim? Matrise nasıl bakabilirim ---bu sadece bir örnekti.

Nasıl emin olabileceğime bakalım ---bu matrisin sütunlarının toplamı sıfır, -- özür dilerim, bir olduğunda, bu özellik lambda =1 değerinin bir özdeğer olduğunu gösterir.

Şimdi bunu yeniden düşünelim.

Şimdi söylemeye çalıştığım ---şimdi yeniden A’ya bakayım ve eğer 1 sayısının bir özdeğer olduğunu düşünüyorsam, o durumda birim matrisini çıkartırım, matrisimin ilgili elemanları eksi 0.9, eksi 0.01, ve eksi 0.6’ye dönüşür, ve tabii ki diğer elemanlar oldukları gibi kalırlar, ve bu hala 0.2 ve 0.7 ve ---peki ---elde ettiğimiz matrise ne oldu şimdi? Şu matrisi, Markov matrisini 1 birim kaydırmış oldum, birim matrisi ile, ve şimdi neyi ispatlamak istiyorum? Bu yeni matris ile ilgili beklentim ne ---şu matris ile. Bunun tekil olduğuna inanıyorum.

Tekil---Bu demek ki eğer A eksi I tekil ise, bu bana özdeğerlerden birinin 1 olduğunu söyler. Özdeğerler, matrisi tekil yapmak için köşegenden çıkarmış olduğum sayılar. Şimdi niye bu matris tekil? Tabii ki determinantını hesaplayabilirim, ancak biz her Markov matrisi için işleyecek olan bir neden arıyoruz, sırf bu örnek ile kısıtlı kalmayacak bir neden.

Bu matris ile ilgili ne söyleyebiliriz? Şimdi artık sütunlarına bakabilirsiniz ---toplamları ne? Sıfır.

Sütunların toplamı sıfır, demek ki tüm sütunlar----şimdi tüm sütunları tamamlayayım--

(A eksi I) matrisinin tüm sütunlarının toplamı sıfır oluyor. Bunun (A eksi I)’ın tekil olduğu anlamına geldiğini görmek istiyorum şimdi.

Niye? Örneğin bu----çok güzel bir sınav sorusu olabilir, bir çeşit teorik sınav sorusu. Size bir matris verip, sütunlarının toplamının sıfır olduğunu söyleyip, bu matrisin tekil olması için bir neden söylemenizi isteyebilirim, çünkü bu doğru.

Peki. Sanırım ki ---aslında, yapmayı düşündüğüm, bunu görebilmenin iki veya üç yolunu bulmak. Nasıl yapabilirim? Siz nasıl yapardınız? Determinantını almak istemiyoruz. Matrisin tekil olması, şu üç sütunun bağımlı olmaları demek, değil mi? Bu sütunlar bağımlı olduklarında determinant sıfır olur. Görebiliyor musunuz ---artık bu derste, bir fikre bakmak için elimizde farklı yolların olduğu bir noktaya geldik.

Determinantı alabiliriz ama burada bunu yapmak istemiyoruz.

Bundan önce de tekil matrislerle karşılaştık ---bu sütunlar bağımlı. Peki bu sütunların bağımlı olduklarını nasıl görüyorum? Hepsinin toplamı sıfır.

Bakalım, iyi, aslında, başka bildiğim birşey---satırların da bağımlı olduğunu gösterebilmek isterdim.

Belki o daha kolay. Eğer tüm sütunların sıfıra topladığını bilirsem, bu benim elimde olan bilgi, bu satırların doğrusal bağımlı olduğunu nasıl görebilirim? Bu satırların hangi bileşimi sıfır satırını verir? Nasıl bu üç satırı bileştirip-- şu üç satır vektörünü, sıfır vektörünü elde edebilirim? Ve bu bana, bu satırların bağımlı olduğunu söyleyecek, dolayısı ile sütunlar da bağımlı olacak, matris tekil olacak, determinant sıfır olacak---ve görüyorsunuz. Tek yaptığım satırları toplamak.

Bir kere bu satır, artı bir kere şu satır, artı bir kere şu ---bize sıfır satırını verir. Demek ki satırlar bağımlı.

Bir bakıma, şu (1,1,1), satırları çarptığı için, bir özvektör gibi davranır --- sol sıfır uzayındaki bir özvektör. Değil mi? (1,1,1) sol sıfır uzayındadır.

Tekil çünkü, satırlar bağımlı ---ve mantığı devam ettirebilirim. Bu vektör (1, 1, 1) olduğu için matrisin sıfır uzayında değil, ancak devriğinin sıfır uzayında ---bu devriği sıfır uzayında. Bu da yeterince iyi.

Eğer bir kare matrisimiz varsa --- eğer bir kare matrisimiz varsa ve satırları bağımlı ise, matris tekildir. Dolayısı ile hemen görebileceğimiz adam şu (1,1,1) olur.

Tabii ki ---başka birileri de sıfır uzayında olacak. Ve bu kimler olacak? Size şimdi matrisin kendi sıfır uzayını sormak istiyorum.

Sütunların hangi bileşimi sıfır verir? Bunu hesaplamak istemiyorum, çünkü matrisi şimdi oluşturdum ---ve zamanımı alacak ---aslında yapılabilir gibi duruyor çünkü 3’e 3’lük, ancak asıl vurgulamak istediğim, hangi vektör ---bulduktan sonra ---A’nın sıfır uzayında olur? Bunun cevabı özvektördür değil mi? x1’i bu şekilde buluruz. Sonra x1, yani özvektör, A’nın sıfır uzayında. Bu bire eşit olan özdeğere karşılık gelen özvektör olur.

İyi. Bu bizim nasıl özvektörleri bulduğumuzu gösteriyor. Bu üç sütunun bağımlı olması gerekiyor. --- sütunların belli bir bileşimi ---şu üç sütunun bileşimi sıfır sütununa eşit olur ve bileşimdeki şu üç eleman özvektörü verir.

Ve bu adam durağan durumda olur.

Peki ---şimdi şu ana kadarki düşünce tarzımdan mutluyum, ancak size daha tam cevabımı vermedim, çünkü x1’ i hesaplamadım.

Ancak şurada duruyor. Şimdi ---farklı bir şey geldi aklıma, küçük bir vurgu daha.. A ve A devrik in özdeğerleri ve özvektörleri ile ilgili. Siz bana A’nın ---A ve A devriğin özdeğerleri için ne söyleyebilirsiniz? Her iki durumda da aynılar.

Öyleler ---küçük bir noktayı belirteyim --- ancak oldukça kullanışlı çünkü özdeğerleri bulmak o kadar da kolay değil --- bunların geçerli olduğu birkaç durumu bilmekte yarar var -- Örneğin A’nın özdeğerini biliyorsam, A devriğin’kini de biliyorsun demektir. Çünkü A devriğin özdeğerleri A’ nınkilere eşit. Ve şimdi bunun niye öyle olduğuna bakabilir miyiz? A’nın özdeğerlerini bulmakla (A eksi lambda I)’nın determinantı eşit 0’ı çözeriz ve A’nın özdeğerini bulmuş oluruz. Şimdi A devriği resmin içine nasıl koyabilirim? Bir matrisin determinantının, devriğin determinantına eşit olduğu kuralını kullanırız.

A matrisinin determinantı eşit (A devrik)’in determinantıdır. Bu determinant özellikleri listesinde sonuncuydu, 10’uncu vatandaştı.

Demek ki matrisin devriğini alacağım. Bu beni şuna götürür----A Matrisinin devriğini alırım, ancak (lambda I)’yı devirdiğinde ne elde ederim? Yine (lambda I) elde ederim.

İşte hepsi bu --- mantığın tümü bu. Mantığın tek söylediği A matrisinin özdeğerlerinin bu denklemi çözüyor olduğu.

Bir matrisin determinantı, devriğinin determinantına eşit, ve bu da bana şu denklemi verir; bu da bana aynı lambdaların A devriğin de özdeğerleri olduğunu söyler.

Buna göre, Markov konusuna geri dönersek , 1, (A devrik) için bir özdeğerdir ve karşılığında özvektörü buluyoruz, (1,1,1) ve bu bize 1’in A’nın da bir özdeğeri olduğunu söylüyor. ---ancak tabi ki bunun farklı bir özvektörü var ---sol sıfır uzayı, sıfır uzayı ile aynı değil ve bunu bulmamız gerek.

Demek ki şurada bir [0,0,0]’ı üreten bir x1 vektörü var. Aslında bunu bulmak o kadar da zor olmamalı -- bildiğiniz gibi --- konuşurken bir yandan da düşünüyorum, peki, ilerledikçe bulacağımı sanıyorum.

Buna bakarak şunu söyleyebiliriz---eğer şuraya 0,6, şuraya da 0,7’yi koyarsam --- sonra son satırı tamam olacak. Şimdi tek kalan --- şu adamı bulmak. Birinci satırı alayım . -0.54,+0.21 şuraya büyük bir sayı gelecek, değil mi? Demek ki --- ilk satırın sıfır olmasını sağlamam gerek. Elimde -0.54 +0.21 var, bu da -0.33 eder,--- ve istediğim ne? 3300? Bu doğrusal cebir tarihinde ilk kez olan bir şey, bir özvektörün bileşkesinin 3300 olması!

Ancak sanırm ki doğru. Çünkü sonra bunu -1/100 ile çarpıp --- eyvah bu 0.33 idi.

Bu yalnızca --- vay be.

Yalnızca 33. Peki.

Sadece 33. Şurada özvektörümüz var. Ve dikkat edin, sonunda hepsi pozitif çıktı.

Şimdi bu ne olacak? ---Teori bu bölümü açıklıyor. Bu bölümün ispatını vermeyeceğim. Demek ki 33, yani 0.6, 33, 0.7 oldu.

Bu şimdi doğrusal cebir kısmı.

Uygulamaya geçebilir miyim? Bu Markov matrisleri nereden geliyor? Çünkü bu dersin bir bölümü ve kesinlikle bugünün bir parçası.

Peki. ---Markov matrislerinin bir uygulamasına bakalım.

Markov matrisleri ----denklemin üstünde durup çözmeye çalıştığım denklem u_(k+1)=Au_k denklemi. A bir Markov matrisi. A Markov. Ve bir örnek vermek istiyorum.

Bir örnek üretebilir miyim? İkiye ikilik bir örnek.

Ve daha önce de kullanmış olduğum bir örnek, çünkü çünkü fikri ortaya çıkardığımı düşünüyorum. İkiye ikilik bir matris olduğunda -- 2 şehrimiz olsun, örneğin California ve Massachusetts. Ve bu bölgedeki nüfusa bakıyorum bu iki bölgede yaşayan insanlara. Ve A matrisi 1 yıl içinde olan değişikleri bana söyleyecek.

Bazı insanlar Massachusetts’ te kaldı, bazıları California’ya göç etti, bazı akıllı kişiler California’dan Massachusetts’e gittiler ve bazılarıda California’da kalıp zengin oldular.

Tamam. Elimde 4 elemanlı bir matrisim var ve bunlar bana nüfusun eyaletlere dağılım oranını veriyor ---dolayısı ile ---kesir kullanacağım, ve bunlar tabii ki negatif olmayacaklar, çünkü insan sayısı pozitif olmalı ---ve de hepsi 1’ e toplamalı, çünkü tüm toplumu ele aldım. Onun içindir ki şu iki anahtar özellik var. Elemanlar sıfıra eşit veya sıfırdan büyük, çünkü olasılıklara bakıyorum.

Yer mi değiştiriyorlar, yerlerinde mi kalıyorlar? Bütün bu olasılılar sıfır ile bir arasında.

Ve olasılıklar toplamı 1, çünkü herkesi hesaba katılıyor. Bu Markov zincirinde kimseyi kaybetmiyorum, kimseyi de kazanmıyorum.

Tüm nüfus hep sistemde kalıyor.

Peki bunu gösterecek tipik matris ne olabilir. Yani t=k+1 anında, bu u_calif ve bu da u_mass, olacak.

Ve bu oluşturacağımız bir matris kere, k anındaki u_(Calif) ve u_(Massach) olacak. Ve dikkat ederseniz bu matris sonsuza dek aynı kalacak. Bu örnek için çok kısıtlayıcı bir özellik. Bu örnekteki Markov matrisi hep aynı kalıyor, tüm zamanlarda olasılıklar hep aynı oluyor. Tamam.

Mantıklı birşey söyleyelim. K anında California da olan insanların 0.9’unun orada kaldığını varsayalım.

Demek ki California halkının 0.1’i Massachusetts’e gidiyor. Bu sütun niye 1’e topladığını görüyorsunuz, çünkü k anındaki tüm halkı işin içine katmış oluyoruz. (K+1)’inci anda 0.9’u hala California’da ve 0.1’i de burada.

Şimdi Massachusetts’te olan insanlar için ne diyeceksiniz? Şunun ikinci sütunu çarpıyor olması gerekir. Burada matris-vektör çarpım kuralını kullanıyoruz ve sonuç Massachusetts’teki insanlar oluyor.

Şimdi şunu söyleyelim. Red Sox’tan sonra yine çuvalladım. Massachusetts da yaşayanların yalnızca %80’i aynı yerde kalıyor. %20’si California’ya gidiyor.

Ve bunun toplamı yine 1, çünkü Massachusetts’teki tüm insanlar ele alınıyor.

Demek ki bu bir Markov matrisi. Negatif olmayan elemanlar ve toplamları 1. Durağan durumumuz ne ? Başta tüm nüfusun Massachusetts de yaşıyor olduğunu düşünelim. Örneğin ilk gelen seyyahların döneminde. Şimdi neredeler? 100. anda nerede olacaklar , ilk seyyahların gelişinden ne kadar zaman geçti., 300 yıl gibi mi? Veya, 1 milyon yıl sonra nerede olacaklar? Çarpabilirim, yani matrisin kuvvetlerini alabilirim.--- ve siz bu matrisin 100üncü kuvvetinin ne olduğunu hesaplayabiliyor olmalısınız. Yapalım mı? Ama once durağan durumuna bakalım.

Ve--- başlangıç noktam ne? -- Başlangıçta California’da ‘u’ kişi var , Massachusetts’ te de ‘u’ kişi var. En başta California’ya birilerini koyalım mı? Şurasını sıfır yapalım ve Mass.’i nüfusunun --- 1000 kişi--- olduğunu varsayalım.

Demek ki en başta eyaletlerin nüfusu sırası ile sıfır ve bin. Bu nüfusu k adım sonra kaç olacağını nasıl söyleyeceksiniz u _Cal + u _Mass’ ın toplamı ne olacak? Bin. Bu bin kişi hep hesaba katılıyor. Ve böylece u_Mass ,1000’den eksilmeye başlayacak, u_Cal. da artacak.

Aslında , şunu görebilirsiniz. --- bir yıl sonra durumun ne olacağına bakalım mı? Bir zaman diliminden sonra, t=1 durumunda ne olur. Bir adımda ne oluyor? Bu matrisle tek sefer çarpıyorsunuz ve bakalım ne oluyor, sıfır kere bu sütun --- bu 1000 kere bu sütun demek, ve sanırım 200 ve 800 elde ediyoruz. Demek ki birinci adımdan sonra 200 kişi California’da yaşıyor.

Şimdi bir sonraki adımda, yine aynı matrisle çarpacağım.--- ancak California’dan yine birileri göç edecek

Bazıları geri dönecek. 20 kişi geri dönecek ve net sonuç , California’da 200’den fazla kişi olacak. Massachusetts ise 800’den az ancak toplamda yine 1000 olacak.

Aynı şeyi bir kaç kez tekrarlıyorum.

Bunu 100 kere yaparsam, şimdi nüfus ne? Bu tür bir soruyu cevaplayabilmem için özdeğerlere ve özvektörlere ihtiyacım var. Bir örnek yaratır yaratmaz ve de çözüm istendiğinde mutlaka matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulmak zorundayız.

Haydi yapalım şimdi.

Elimdeki matris 0.9, 0.2, 0.1 ve 0.8 ve özdeğerleri söyleyelim lambda eşit -- bana bir tane özdeğer söyleyin? 1, teşekkürler.

Ve başka bir tane daha söyleyin. Diğer özdeğer ne? --- iz’den veya determinanttan ---iz’i kullanmak daha kolay gibi, değil mi?

Bu matrisin izi 1.7.

Demek ki diğer özdeğer 0.7.

Ve dikkat edin 1’ den küçük.

Ve de determinant da (0.72- 0.02) olur ki , o da 0.7 verir. Anlaştık mı?

Şimdi özvektörleri bulalım.

Bu --- şimdi lambda 1’e eşit ve özvektörü bulmak için köşegenden 1 çıkartmam gerekir. Bunu şurada ve burada yapabilirim. Köşegenden 1 çıkarınca , -0.1 ve -0.2 elde ederiz. Diğerleri yerlerinde kalır. Ve şuna bakıyorum,--- burada --- bu x1 olacak.

Bu (A eksi I)’nın sıfır uzayıdır.

Pekala, herkes onun 2 ve 1 olduğunu görüyor.

Tamam. Ve şimdi ---bunun için ne diyeceksiniz. ---özvektörün pozitif olduğuna dikkat edin.

Ve şimdi doğrudan sonsuza atlayabiliriz. Sonsuz zamanda nüfus ne olacak? Şunun katı ---bu özdeğer durağan durumu veriyor.

Bunun bir katı ve hangi katı olduğuna nasıl karar veriyoruz.? 1000 kişiye toplayarak. Demek ki durağan durum c1x1 ---bu x1, ve 3’e topluyor, aslında istediğim 2. ---1000’in 2/3’ü 1000’in 1/3’ü olacak ve toplamı 1000 olacak.

Bu durağan durum olacak. Sonsuzdaki durum için bilmem gerekli olan sadece bu. Ancak örneğin 100. adımdan sonra ne olduğunu bilmek istersem, şu özvektörü bulmalıyım.

Şimdi şuna bakabilir miyiz? Köşegenden 0,7 çıkartacağım ve şunu elde edeceğim, ve şunun sıfır uzayına bakacağım, ve bu bana x2’yi verecek; ve bu nedir? Bunun sıfır uzayında ne var? Bu kesinlikle tekil, dolayısı ile hesabımın doğru olduğunu biliyorum, 1 ve eksi 1. Bir ve eksi bir.

Şimdi 100 adım sonraki çözümü yazmaya hazırım. 100 adım sonra eyaletlerde olacak nüfusu. Şimdi birinci adımı hatırlayalım. 1 e karşılık gelen [2;1] özvektörü ve 0.7 ye karsılık gelen [1 ;-1] özvektörü olan durumu. Şunu üst tarafa yazayım. u’ nun k adım sonraki değeri, bir üzeri k’nın , [2;1] özvektörü ile çarpımının bir katı ile , 0.7’nin k’ıncı kuvvetinin [-1;1] özvektörü ile çarpımının bir katı olacak, değil mi? İşte bu ---matris kuvvetlerinin nasıl işlediğini gösteriyor. Bu matris kuvvetlerini herhangi bir u0’a uyguladığımda, ---- bu şimdi u0, ve değeri [0;1000] idi. --- bunu düzeltilmesi gerek k=0. Şuraya k=0 koyup c1 [2;1] + c2[-1;1] elde ederiz.

İki denklem, iki sabit, iki bağımsız özvektör, dolayısı ile bir çözüm var ve ne olduğunu görebiliyor musunuz? Bakalım, sanırım daha önce c1’in 1000/3 olduğunu bulduk, sanırım--- bunun 1000/3 olduğunu mu düşünmüştük? Ve belki de c2 --- özür dilerim --- silgi alayım--- ve sanırım --- bunu burada elde ediyoruz. c2, şurada sıfır olmalı, ve belki burada artı 2000/3’e ihtiyacımız var.

Bu işler sanırım. {(İki çarpı bin) bölü (üç)} eksi {(ikibin) bölü üç} bize sıfır verir. Ve 1000/3+2000/3 bize 3000/3 verir ki bu da 1000 eder.

Şimdi neye yaklaştığımızı görüyorsunuz. --- bu bölüm, 0.7’nin k’ıncı kuvveti yok olan bölüm. Peki. Bu ---bu Markov matrisleri. Bu örnek nereden geldiklerini gösteriyor, insanların hiç kayıp vermeden bir yerden bir yere hareketini gösteren bir örnek --- ve toplam sayı hep aynı kalıyor.

Peki. Sadece bir yorum daha ekleyebilirimsem, çünkü Markov matrislerini elektrik mühendisliği derslerinde göreceksiniz ve onları sık sık göreceğiniz için üzgünüm, işte bu benim küçük yorumum.

Bazen ---bir sürü uygulamada satır vektörleri ile uğraşmak isterler. Dolayısı ile ---bunun yerine ---bu bizim için doğaldı değil mi? Yani özvektörlerin sütun vektörü olması doğaldı.

Yani Markov matrisinde sütun toplamlarımız 1 idi.

Şimdi ne olup bittiğine bakalım. Eğer satır vektörleri ile çalışmak istersek ve bir satır vektörü ile matrisi çarparsak--- bunun sol yandan yapmalıyız --- bu durumda şu matrisin devriğini kullanıyor olacağız --- bu kez satırlar 1’ e toplanıyor olacak.

Başka kitaplarda 1’e toplanan sütunlar yerine, satırların 1’e topladığını göreceksiniz.

Peki, güzel.

Markov hakkında söylemek istediklerim bu kadar; şimdi biraz izdüşümler hakkında birşeyler söylemek istiyorum, ve hatta biraz da -----Fourier serilerine değineceğim.

Çünkü ---fakat Fourier konusuna girmeden ---izdüşümler konusunda bir iki söz söyleyeyim. Bu ---şimdi bu ---izdüşümler ile ilgili bir nokta ve sonra da birim dik tabanlara geçeceğiz. Tabii ki taban vektörleri q1 den qn e kadar olacak.

İyi. Bir b vektörüm var. Bunun bir taban vektörü olduğunu varsayayım.

Diyelim ki nxn’deyim. ---ve de n tane birim dik vektörüm var. Uzayım n boyutlu olduğundan, bunlar komple bir taban oluşturur ---ve herhangi bir v vektörü bunlar cinsinden tanımlanabilir.

Demek ki herhangi bir v vektörü, q1’in birazı artı q2’nin birazı artı ... artı qn’in birazının bir bileşimi olacak.

Demek ki -- yani herhangi bir v. Şimdi bana bu biraz’ların ne olduğunu söylemenizi istiyorum. x1’ler ne -- yani x1 ne? Yani bir açılım arıyorum. Bu gerçekte bizim izdüşümümüz. Aslında bunun için açılım kelimesini kullanabilirim. Bu vektörü taban cinsinden yazıyorum. Ve bu tabanın özelliği, birim dik olması. Demek ki bu bana çözüm için özel bir formül yaratmalı, katsayılar için.

x1 i nasıl elde ederim? x1 için bir formül nedir? Tüm izdüşüm işlemlerini yapıp, bu Q devrik Q, bütün bunlar ---normal denklemler, ama ---elimde ---sonunda bu şık sonucu elde edeceğim. Bunu aslında hemencecik görebilirim.

x1 i nasıl elde edebilirim ve bu diğer x’leri nasıl denklemin dışına atabilirim? Yani x1 için nasıl şık ve basit bir formül elde edebilirim? Ve sonra şunu görmek istiyoruz, aslında baştan beri bildiğimiz bir şey. Peki.

Yani x1 ne? Bulmanın güzel yolu herşeyin q1 ile iç çarpımını almak. Tüm bu denklemin, her bir terimin q1 ile iç çarpımını almak.

Son terim ne olacak? İç çarpım ---q1 ile skaler çarpımını aldığımda sonuç sıfır olur. Çünkü bu taban birim dik idi.

q2 ile de skaler çarpımını aldığımda sonuç sıfır olur.

q1 ile skaler çarpımını aldığımda sonuç 1 olur.

Bu da bana x1’in ne olduğunu söyler. q1 devrik v, işte bu skaler çarpımını almak demek, bu x1 çarpı q1 devrik q1 -- artı bir sürü sıfırlar. Ve bu da bir adet 1, demek ki bunu unutabilirim. Ve doğrudan x1’i elde ediyorum.

Ne dediğimi görüyor musunuz? Söylemek istediğim, birim dik bir tabanım olduğunda, her bir taban vektörün katsayısını bulmak çocuk oyuncağı. Şimdi bu söylediklerimi ---matris dilinde söylemem gerek, ve de bu şekli ile de göreceksiniz. Şu birinci denklemi matris dilinde yazarsam ne olur? Bu denklemi matris dilinde yazdığımda, denklemim bana şu sütunları almamı söyler---siz şimdi bu işi yeterince kavradınız mı? Bu sütunları alıp x ile çarpıp v’yi elde ediyorum, değil mi? İşte bu matris formu. Tamam, işte bu matris Q.

Qx eşittir v. Bu denklemin çözümü ne? Tabii ki çözüm, x= Q ters v olur. Yani x Q ters v dir, ancak buradaki önemli nokta ne? Q ters bu durumda kolayca bulunabiliyor. Q’nun tersini alma işlemleri ile uğraşmam gerekmiyor, çünkü sütunlar birim dik. Bunların tersini biliyorum. Tersi Q devriğe eşit. Q isimli matrisi gördüğümüzde, Q kare matrisi olduğunda, bunun hemen size Q ters’in Q devrik ile aynı olduğunu hatırlatması gerek.

Demek ki ilk bileşke, ---x’in ilk bileşkesi birinci satır çarpı v olur, ve bu nedir? Çözümün ilk bileşkesi Q devriğin birinci satırı olur. Bu sadece q1 devrik çarpı v dir. Burada da elde ettiğimiz sonuç aynı idi. Tamam.

Buraya kadar—Fourier ile ilgili birşey yok. Buradaki anahtar veri, q’ların birim dik olmaları idi. Fourier serilerinin dayandığı özellik de bu.

Kalan zamanda, Fourier serileri ile ilgili birşeyler söyliyeyim.

Fourier serileri ---burada bir f(x) fonksiyonumuz var.

Ve bunu bir bileşim olarak yazmak istiyoruz ---belki bir sabit terim var. Ve sonra bir cos(x) terimi, ve bir sin(x) terimi olacak.

Ve içinde bir cos(2x) terimi olacak. Ve de bir sin(2x), ve bu böylece sonsuza kadar devam edecek. Peki şimdi, bu tür problemle yukarıdaki arasında nasıl bir fark var? Bu sonsuza kadar giden bir problem, ancak dik olma temel özelliği, sinüsler ve kosinüsler için de geçerli, demek ki Fourier serilerinin işlemesinin nedeni bu özellik. Demek ki bunun adına Fourier serisi diyoruz.

İyisi mi adını yazalım. Fourier serisi.

Demek ki fonksiyon uzayında çalışılabileceğini ilk farkeden Joseph Fourier idi.

Bir v vektörü yerine, bir f(x) fonksiyonum olabilir.

Dik q1, q2, q3, vektörleri yerine, dik fonksiyonlarım olabilir, bir sabit, cos(x) terimi, sin(x), cos(2x) bunlardan sonsuz çoklukta. Sonsuz çoklukta’ya ihtiyacım var, çünkü uzayım sonsuz boyutlu.

Ve şu anımız, sonlu boyutlu vektör uzaylarından ayrılıyoruz ve sonsuz boyurlu vektör uzaylarına geçiyoruz ve tabanımız --ve şimdi vektörler birer fonksiyon ---ve o kadar çok fonksiyon var ki ---sonuçta sonsuz boyutlu bir uzayımız oluşuyor ---ve taban vektörleri de birer fonksiyon. a0, 1 sabit fonksiyonu, ---demek ki tabanım 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x) ve böylece devam eder. Ve Fourier serilerin başarılı olması bunların dik olmasından olur.

Peki, şimdi dik demek ne anlama geliyor? İki vektörün dik olmasının ne olduğunu biliyorum – y devrik x eşittir sıfır, değil mi? Skaler çarpımı sıfıra eşit.

Peki fonksiyonların skaler çarpımı ne? Şunu iddia diyorum, skaler çarpımı ne olursa olsun ---veya daha çok iç çarpım kelimesini kullanacağız, örneğin cos(x) ile sin(x)’in çarpımı sıfır olmalı.

Ve aynı şekilde cos(x) ile cos(2x)’in çarpımı için de geçerli.

Bu skaler çarpımından ne söylemek istediğimi açıklayayım. Bir skaler çarpımını nasıl hesaplıyorum? Vektörler için olanı hatırlayalım, v devrik w yapıyorduk, bu vektörler içindi, ve v devrik w= v1 w1 +...+vn wn şeklinde tanımlanıyordu. Peki, şimdi fonksiyonlara geçelim.

İki fonksiyonumuz olsun, bunlara f ve g diyelim.

Simdi bunlarla ne yapacağım? Vektörlerin n bileşkesi vardı, ancak fonksiyonlarda sürekli değerler var.

Fonksiyonun grafiğini çizmek için sadece n tane noktam yok, sürekli bir grafiğim var. Şimdi fonksiyonlarım var ---ve size sormaya çalıştığım, bir f fonksiyonum olduğunda, bir diğer g fonksiyonu ile olan iç çarpımını nasıl alırım? Ve yapabildiğim en iyi şekilde onu bununla paralel götürmek istiyorum.

Paralellik kuracaksak, en anlamlı olan, f(x) ile g(x)’i her x de çarpmak olur. --ve burada n tane çarpımım vardı, ancak burada koca bir x değerli dizim olacak --ve burada sonuçları toplamıştım.

Burada ne yaparım? Süreklilik dünyasında, toplamın karşılığı ne? Onun integrali. Demek ki, iki fonksiyonun skaler çarpımı, bu fonksiyonların integrali çarpı dx olacak. Şimdi şunu da eklemeliyim, integralin limitleri ne? Ve Fourier serisi için, bu f(x) fonksiyonu, --eğer şu olacaksa --eğer şu sağdaki, f(x) olacaksa, şu sağda gördüğüm fonksiyon, tüm bu sinüsler ve kosinüsler, hepsi periyodik, ve periyodları da 2 pi.

Yani işte bu f(x) de olması gereken oldu.

Demek ki sıfırdan 2 pi’ye integre etmem gerekir.

Benim ---herşeyim ---şimdi sıfır, 2pi aralığında, çünkü eğer şu sinüsleri, kosinüsleri kullanacaksam, f(x)=f(x+2pi) olur. Bu periyodik ---periyodik fonksiyonlar.

Ve şimdi ne biliyorum? ---Şimdi bütün doğru kelimeler elimde.

Bir vektör uzayım var, ancak vektörler şimdi birer fonksiyon.

İç çarpımlarım var ---ve iç çarpım bana bir sayı verir, pekala. Tek farkı şimdi bir toplam yerine bir integralin olması. Ve şimdi ---diklik fikri var, çünkü, aslında sadece -- bir kontrol yapalım. Diklik ---eğer integrali alırsam, --haydi sin(x) çarpı cos(x)’i --- sin(x)cos(x)dx i sıfırdan 2pi’ye integre edeyim --- sanırım sıfır elde ettik.

İşte bunun diferansiyeli, demek ki bu (1/2) (sin(x)) kare olur, yaptığım doğru mu? Sıfır ile 2pi arasında, ve tabii ki sıfır elde ederiz. Ve aynı şey şunun için de geçerli olur---trigonometrik eşitlikler de bize yardım edecek, ve bunu her çift için yapabiliriz. Ve şimdi fonksiyon uzayımız için birim dik bir fonksiyon tabanımız var ve tüm istediğimiz, fonksiyonu, tabanı cinsinden yazabilmek.

Ve şimdi, dersin son kısmı, a1’in ne olduğunu bulmak. Katsayının ne olduğunu, cos(x)’in diğer harmoniklere göre katkısının ne olduğunu görmek. Bu ---bu kolay bir soru olacak. Cevap a0’ın f’in ortalama değerine eşit olacağı. Bu sabit miktar işte şurada ki ortalama değerdir.

Ve şimdi a1’i ele alalım.

Bunu nasıl elde edeceğim ---burada bu dersin son kısmında ---a1’i nasıl bulurum? Bu birinci Fourier katsayısını.

Pekala. Vektörler için yaptığımızın aynısını yapıyorum. Her şeyin cos(x) ile iç çarpımını alıyorum. Her şeyin cos(x) ile iç çarpımını alıyorum. Sonra sol tarafta, solda ---iç çarpım f(x) çarpı cosx dx’in integrali. Ve sağ tarafta neyim var? Bakalım ---cosx ile iç çarpımı al dediğimde, bunu şimdi basit kalkülüs dilinde söyliyeyim. cos(x) ile çarpıp entegralini al. Bu bizim iç çarpımımız.

Demek ki bütün bu şeyi cos(x) ile çarpıp integralini alırsam, bir sürü sıfır elde ederim.

Hayat ta kalan tek şey şu terimdir.

Bütün diğer terimler yok olur. Yani ---ve bu terim a1 çarpı cos(x) in karesi dx in sıfırdan 2pi ye kadar entegrali olur -- bu sol taraf idi ve sağ tarafta tek kalan da şu. Ve bu kesinlikle sıfır değil, çünkü o fonksiyonun uzunluğunun karesi olur, kendisi ile alınmış iç çarpımı, ve basit bir hesap cevabın pi olduğunu gösterir.

Bu kolay bir entegral ve sonucu pi çıkıyor, böylece a1 (1 bölü pi ) çarpı bu integral olur.

Bu aslında ---Euler’in ünlü formülü --- belki onu Fourier bulmuştur ---ve Fourier serisindeki katsayılarını hesaplar.

Ve bunun birim dik taban cinsinden bir açılım olduğunu görüyorsunuz. Teşekkürler.

Peki Pazartesi günü kısa sınav için bir tekrar yapacağım ve sonra kısa sınavın kendisi çarşamba günü Walker da olacak. Tamam, Pazartesi görüşürüz.

Teşekkürler.