MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 23

Haydi şimdi diferansiyel denklemlere bakalım.

Bu bölüm birinci mertebeden; birinci türev, sabit katsayılı doğrusal denklem sisteminin çözümü ile ilgili. Ve doğru yaptığımızda, hemen bir denklem, denklem sistemine dönüşüyor. Buradaki temel fikir, sabit katsayılı doğrusal denklem sistem çözümlerinin üstel fonksiyonlar olduğudur. Bir üstel çözüm aradığınızda, üstelin tepesinde ne olacağına ve onun katsayısına bakmamız gerekir ve bu da doğrusal cebir olur. Sonunda ---en sonunda bulacağımız sonuç ---matrisin üstleri’ne paralel olacak. Bir önceki dersimizin konusu A’nın K’ıncı kuvvetini veya A’nın 100. kuvvetini nasıl bulduğumuz üzerineydi. Bir matrisin yüksek dereceli kuvvetlerini nasıl hesaplarsınız? Şimdi işimiz artık kuvvetlerle değil üstlerle olacak.

Bu bir diferansiyel denklem için doğal olan birşey.

Peki. Bu örnek ile başlayabilir miyim? Sadece mekanik kısmını anlatacağım. Tek bir diferansiyel denklemi nasıl çözerim ---iki diferansiyel denklemi nasıl çözerim. Şimdi bu çözümü oluşturmaya çalışacağım. İkiye ikilik bir matrisim olacak, matris elemanları -1, 2, ve 1 ile -2 olacak, bir de başlangıç şartı vereyim. Diyelim ki sıfır anında u’dan başlasın, bunlar u1 ve u2, ve de en başta, sıfır anında herşeyin u1’de olduğunu varsayalım.

Demek ki en başta her şey u1’de.

Zaman geçtikçe ne olacak? du2/dt pozitif olacak, şuradaki u1 terimi yüzünden, dolayısı ile akış u2 bileşkesine doğru kayacak ve u1’de çıkıyor olacak. Demek ki ilerlerken, hareketi matrisin özdeğerleri ve özvektörlerine bakarak takip edeceğiz. Bu ilk işimiz. Başka birşey yapmadan önce ---matrisin özdeğerleri ile özvektörlerini bulun.

Şimdi bunu yapayım. Tamam.

Matrisimiz şurada. Belki de hemen bana ---özdeğerlerini ve özvektörlerini söyleyebilirsiniz. Neyse, sonra kontrol ederiz.

Şimdi bu matrisin herhangi bir özdeğerini bulabiliyor musunuz? İki tane özdeğer bulmamız gerekir.

Farkedebiliyor musunuz? Demek istediğim, şu matrisi yazarsam ne görürsünüz? Tekil bir matris değil mi?

Bu bir tekil matris.

Bu bana doğrudan, özdeğerlerden birinin lambda=0 olduğunu söylüyor. Şunu yapabilirim ---bu tekil bir matris, ikinci sütun birinci sütunun -2 ile çarpımı, determinantı sıfır, dolayısı ile --tekil olmalı. Demek ki özdeğerlerden biri sıfır, diğeri de matris iz’inden hesaplanabilir. İz’e baktığımda, köşegendeki değerlerin toplamı -3.

Bunun özdeğerlerinin toplamına eşit olması gerekir, onun içinde ikinci özdeğerin -3 olması gerekir. Ve tabii ki ---şunu yapabilirdim ---niye şurada (A – lambda I)’nın determinantını hesaplamıyorum ki? Şu matrisin (-1-lambda, 2; 1, -2-lambda) determinantı. Ancak sonucun ne olması gerektiğini biliyoruz.

Şu çarpımı yaptığımızda, bir lamda kare’m olur.

2 lambda ve bir tane de lambda daha, o da 3 lambda verir. Ve şimdi determinantı elde edeceğim, o da 2 eksi 2 olur, ki bu da bana sıfır verir. İşte karakteristik polinomum, lambda^2 + 3 lambda= 0, bu determinant. Şimdi bunu lamda çarpı (lamda + 3) şeklinde çarpanlarına ayırıyorum ve daha önce elde etmemiz gerekli olduğunu gördüğümüz özdeğerleri bulmuş oluyorum.

Başka neye ihtiyacım var. Özvektörlere.

Yani diferansiyel denklemi düşünmeden önce ---çözümü nedir diye düşünmeden önce, bu matrisin özvektörlerini bulayım.

Demek ki önce lambda= 0 alalım ---böylece ---bu ilk özdeğerimiz . Elimizde lambda_1 = 0 var ve ikinci özdeğer lambda_2= eksi3 olacak.

Bu arada ---bunun hakkında önemli birşey biliyorum.

Özdeğerler bana birşey anlatıyor. Nasıl ortaya çıktığını göreceğiz ama şimdilik şunu söyleyeyim -- bu sayılar -- bu özdeğer, negatif olan özdeğer, ortadan kaybolacak. Cevabımızda bir tane e üzeri (eksi 3t) terimi olacak ve bu terim zaman geçtikçe, çok, çok küçük olmaya başlayacak.

Cevabın kalan kısmında bir e üzeri (sıfır t ) terimi olacak. Ancak e üzeri (sıfır t) terimi bir’e eşit, bu da sabit bir sayı. Demek ki cevabımın iki parçası olacak, biri e üzeri (sıfır t) , biri de e üzeri (eksi 3t) ve bu zaman geçtikçe, ikinci kısım yok olacak ve birinci kısım ise bize durağan durumunu verecek.

Bu hareket etmeyecek. Şöyle olacak ---sonunda ---t sonsuza yaklaştığında, bu bölüm yok olacak ---ve elimde kalan yalnızca e üzeri (sıfır t) kısmı olacak.

Ve durağan durumu beni çok ilgilendiriyor; onun için ---bir sıfır özdeğerim olduğunda, durağan durumunu elde ediyorum. Tamam.

Peki özvektörler için ne diyebiliriz? Sıfır özdeğerinin karşılığı olan özvektör ne? Tamam. Bu matris olması gerektiği gibi tekil olup, bu özvektör ---bu sıfır uzayında olan adamdır, öyleyse matrisin sıfır uzayındaki vektör hangisi? Bakalım. Sanırım herhalde serbest değişkene 1 değerini veriyorum ve sıfır elde etmek istiyorsam, şurada ikiye ihtiyacım var. Tamam. Demek ki Ax1 = sıfır x1. Güzel. Tamam.

Peki, diğer özdeğer için ne diyebiliriz? Lamda 2, eksi 3’e eşit. Tamam.

Sonra, diğer özvöktörü nasıl elde ediyorum? Şu an için ---aklımdan yapabilir miyim? Köşegen boyunca -3’ü çıkartırım, bu da 3 eklediğim anlamına gelir ve şimdi ---öyle yapacağım. Şuraları silelim. Demek ki, köşegen elemanlarına 3 ekleyeceğim. Buradaki -1 şimdi 2 olacak ---bunu farklı karakterle yazacağım ---ve şu adama 3 eklediğimde, -2’si 1 olacak, şey, 1’i bu farklı karakterle yazamıyorum, ama bu nasıl oldu? Tamam. Şimdi bu A - 3I oldu, özür dilerim A + 3I.

Burası A + 3I. Bunun tekil olması bekleniyor değil mi? Eğer bu şeyleri ben doğru yaptıysam, bu matrisin tekil olması gerekir ve x2 özvektörü de sıfır uzayında olmalı.

Pekala. Bunun sıfır uzayı nedir? Belki -1 1, veya 1 -1. Farketmez. Her ikisi de olur. Anlaşıldı mı? Çünkü bu şunun sıfır uzayında.

Şimdi bakalım -- çünkü A çarpı şu vektör, üç kere diğer vektöre eşit. A x2, eksi3 x_2 olur. Güzel. Tamam. Şimdi A’yı yeniden elde edebilir miyim? Böylece bunu doğru olarak görelim? Bu eksi 1 idi bu da -2. İyi.

İyi. Bu ilk işimiz.

Özdeğerler ve özvektörler. Ve şimdiden özvektörler cevapla ilgili çok önemli birşey söylüyor.

Ve şimdi cevap ne? Cevap ---çözüm u(t) olacak. Şimdi ---bu özdeğerleri ve özvektörleri kullanıyorum. Çözüm bazı -- iki tane özdeğer var. Demek ki – bunun iki tane özel çözümü olacak.

İki tane tamamen üstel çözümümüz olacak. İlki ya lambda_1 çarpı t x_1 olacak -- bu denklemi çözer, aynı şekilde diğeri de çözer. Her ikisi de diferansiyel denklemimizin çözümleri. Bu genel çözümümüz.

Genel çözüm, şu üstel çözüm ile diğer üstel çözümün bir bileşimi.

Şimdi şu adamların denklemi çözüp çözmediklerini görelim. Kontrol edelim bakalım -- kontrol edeyim, örneğin. Sağlama. Şimdi -- sağlamasını yapıyorum, bu denklemin --- denklemi hatırlayalım –du/dt = Au ve şimdi e üzeri (lambda_1)x1’i yerine koyuyorum ve bakalım doğru çıkacak mı?

Sanırım bu elimizdeki denklemin çözümü.

Yerine koyuyorum. Sol tarafta, zamana göre türev alıyorum ---dolayısı ile sol taraf lambda_1 çarpı e üzeri (lambda_1 t) çarpı x_1 olacak, tamam mı? Zamana göre türev, bu zamana bağlı olan terim, bildiğimiz üstel, ve türevi bize bir lambda_1 i getiriyor.

Denklemin diğer yanında A çarpı bu şey var. A çarpı e üzeri (lamda_1 t) çarpı x1. Şimdi bu sağlama doğru mu? Burada gerçekten de eşitliğimiz var mı? Evet, çünkü (lambda_1) t her iki tarafta da var, ve diğer tarafta kalanlar bize A çarpı x1, eşittir lamda_1 çarpı x1 verir. Şimdi hatırlamamız gerekli ilk noktaya gelmiş olduk.

Bunlar saf çözümler. Ve buçözümler ---bu saf üsteller, diferansiyel denklemlerin karşılığı ---geçen sefer “saf” kuvvetlerimiz vardı.

Geçen sefer --- buna benzer karşılığımız lambda 1’in K’ci kuvveti çarpı x1’in bir katı, artı lamda 2’nin K’cı kuvveti çarpı x2 bir katı. Geçen sefer elde ettiğimiz formül bu. Görsel olarak karşılaştırmanız için tahtaya yazıyorum. Fark denklemimizde lambda’nın kuvvetlerini görüyoruz ---bu ---bunun olduğu yer ---bu cevap u_(k+1) =Au_k denkleminin çözümü idi.

Bu çözüm sonlu adımlar için idi, teker teker adım attığımız durum.

Ve kuvvetleri elde ettik, şimdi ilgilendiğimiz üsteller.

Şimdi bu—bu çözümümüz, ve c1 ile c2 nedirler? Bunları bulursak işimiz tamam. c1 ve c2 nedir? Aslında bunları biliyoruz, ancak biraz geriye bakayım.

c1’in ne olduğuna bakalım. Daha hesaplamadık ancak, e üzeri (lamda_1) t ye baktığımızda, lamda_1 sıfıra eşit dolayısı ile bu 1 çarpı x1 olur ve de x1, (2,1)’e eşit. Demek ki elimizde c1 çarpı bu şey (hareket etmeyen bölüm) çarpı bu vektör, (2,1)’e eşit olan özvektör, artı c2 kere, e üzeri (lamda_2)t, nedir? Lamda2 ‘nin eksi 3’e eşit olduğunu biliyoruz. Demek ki bu terim -3t’yi içeriyor ve bunun özvektörü de “sütun olarak” (1 -1). Bu vektör elimizdeki denklemi ve herhangi bir katını çözer. Bu vektör eğer e üzeri eksi 3t terimi varsa, denklemi çözer. c1 ve c2 dışında cevabı elde etmiş olduk. Demek ki -- bütün bu yaptıklarımı özdeğer ve özvektörleri bildikten sonra hemen buluruz. Şimdi sıra c1 ve c2’yi bulmaya geldi. Bunu da başlangıç şartımızdan bulacağız.

Şimdi şunu kullanıyorum----bana u’nun 0 daki değeri (1, 0) olarak verilmişti.

Bu başlangıç değeri c1 ve c2’yi bulmamı sağlayacak. Şimdi tahtanın alt kısımında bunu yapayım. t=0 noktasında, ---elde ettiğim c1 çarpı bu adam artı c2 ..ve şimdi sıfır zamanındayım. Dolayısı ile burası 1, burası ise 1, -1 ve bunun da u’nun 0 daki değeri olan (1, 0) sağlaması gerekir. Bu bana iki denklem veriyor. Bunların çözümü bana c1 ve c2 ‘yi verecek ve işim bitmiş olacak. Bakalım c1 ve c2 ne?

Aslında bakarak bile bulabiliriz ama iki denklem sistemini de çözebiliriz. Bakalım.

Bunların her ikisi de bir olsaydı --şimdi basitçene topluyorum, sonucum (3, 0) olurdu. Demek ki cevap ne?

Eğer c1 ile c2’nin her ikisi de 1’e eşit olsalardı, (3, 0) elde ederdi, demek ki bana lazım olan bunun üçte biri, çünkü elde etmek istediğim (1,0).

Onun için bence c1 = 1/3 ve c2=1/3 olmalı.

Sonunda cevaba eriştim. Cevabı şurada, şu tahtada tutayım. Sonuçta cevap, bunun üçte biri ile şunun üçte biri.

Şimdi görebiliyor musunuz? Bu akımla ne olduğunu görebiliyor musunuz? Akım, çözüm (1, 0)’da başladı.

Sonra zaman geçtikçe, insanlar yer değiştirmeye başladılar.

Bunun bir bölümü buraya geçti.

Ve ---ve limitte ---bir de limitimiz var değil mi? t sonsuza giderken, t çok büyük değerler aldığında, bu yok oluyor. Bu da durağanlık durum. Demek ki durağanlık durum ---durağanlık durumu ---buna u’nun sonsuzda aldığı değer diyebilirdik, bu değer sadece (2, 1)’in üçte biri. Yani 2/3’e 1/3. Şimdi yavaş yavaş ---aslında ---çözümün genel davranışını kavramaya başlıyorsunuz, diferansiyel denklemin ne yaptığını görmeye başlıyorsunuz.

Tabii ki her zaman bir durağan durumumuz olmayacak.

Bazen sıfıra yakınsayacağız.

Bazen de durum patlayacak. Bakalım bunları nasıl ayırıştıracağız? Bunu bize özdeğerler söyleyecek. Bakalım şimdi--önce şunu sorayım, kararlılık ne zaman elde edilir? Yani u(t)’nin sıfıra gitme durumu demek istiyorum.

Başlangıç şartı ne olursa olsun, çözüm ne zaman sıfıra gider? Eksi özdeğerler varsa, anlaşıldı mı? Negatif özdeğerler.

Şimdi size bir aşamayı daha sormalıyım.

Bu özdeğerlerin karmaşık sayılar olduğunu varsayalım. Çünkü öyle olabileceklerini biliyoruz. Ve şimdi biz kararlılık istiyoruz --- bu istediğimiz ---tüm bunların, tüm bu e üzeri lamda t’lerin sıfıra gitmesini istiyoruz; bu da lamda’ların negatif olmasını gerektiriyor. Ancak lamda’nın karmaşık bir sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda neyi sınamalıyız? Eğer lambda_1 karmaşık sayı ise, diyelim ki lambda negatif bir değer ve de bir sanal bölümü de var. Örneğin lamda eksi 3 arti altı i’ye, (-3 + 6i), eşit olsun. Bu durumda ne olur? Şimdi bununla ilgili ---bir örnek yapalım. Eğer lambda eksi 3 artı altı i ise, bu sayı ne kadar büyük? Bu sanal bölüm bir rol oynuyor mu? Veya büyüklüğü ne, bu ifadenin mutlak değeri ne? Sadece e üzeri eksi 3t olur. Niye bu böyle, çünkü diğer bölümü ---büyüklüğü ---şu e üzeri 6it -- bunun mutlak değeri 1 olur. Tamam mı? Bu sadece cos(6t) +i sin(6t)’dir.

Ve mutlak değerin karesi, kosinüs kare + sinüs kare olacak ve bu da 1’i verecek. Bu ---bu karmaşık sayı, birim çemberin etrafında dönüyor.

Şu karmaşık sayıda--önemli olan sadece gerçek bölüm.

Yapmaya çalıştığım şu. Lamdanın gerçek kısmının negatif olması gerekiyor. Lambda karmaşık bir sayı olduğunda, bizi sıfıra götüren veya patlamaya neden olan gerçek kısmı, bizim durumda eksi üç. Sanal bölümü etki etmez, tek yapacağı iki bileşen arasında gidip gelmesi olacak.

Kararlılık bu. Ve --durağan durumumuz için ne diyebiliriz. Hangi durumlarda bir durağan durumumuz, her zaman aynı doğrultuda olacak,? Şunu yapayım--şu bölümünü çıkartayım--bu şunu gösteriyor--şu sağlamayı yapıyor---asıl önemli olanın gerçek kısmı olduğu. Demek ki durağan durumda, lambda_1 sıfıra eşit olup, diğer özdeğerler hangi değerleri almalı? Buna bakıyorum---ve yaptığımız örnek durağanlık için mükemmel bir örnek idi.

Bir sıfır özdeğerimiz var ve diğer özdeğerlerin, bunların yok olmasını istiyoruz. Diğer özdeğerlerin reel kısmı negatif. Ve kesin patlama ne zaman olur?...Eğer Lambda’nın gerçek bölümü pozitif ise sistem patlar.

Demek ki -- A’nın işaretini değiştirirsek --A matrisinin--diyelim ki matris yerine, şu A yerine, değiştirip-- tüm işaretlerini değiştirdiğim matrisi düşünün.

Bu değişim özdeğerlere ve özvektörelere ne yapar? Eğer ben A’nın özdeğerlerini ve özvektörlerini biliyorsam, eksi A için ne diyebilirim?

Özdeğerlere ne olur? Eksi A’yı aldığımda hepsi işaret değiştirir.

Demek ki sistem patlar. Şu – e üzeri -3t yerine, eğer bunu eksi’ye değiştirirsem -- şu matristeki işaretleri değiştirirsem, iz’i artı üçe değiştirmiş olurdum, ve bu durumda e üzeri artı 3t elde ederdim, bu da sistemi patlatırdı.Tabi ki sıfır değerli özdeğer aynı kalırdı. Ancak diğer adam uçardı -- işaretleri değiştirmem durumunda patlardı.

Demek ki bu -- bu kararlılığın resmi.

Ve 2’ye 2 lik bir matris için, bunu ne anlama geldiğini daha da iyi anlayabiliriz. Şunu yapabilir miyim? Şunu yapayım -- yapmak istediğim 2’ye 2 lik bir matris için, özdeğerinin gerçek kısmının negatif olup olmadığını söyleyebilir miyim -- bunun için aklımda olanı söyleyeceğim.

İki’ye iki kararlılık -- bu söyleyeceğim-- aslında küçük bir yorum . İki’ye iki kararlılık. Demek ki matrisi şimdi [a b; c d] ve her iki özdeğerin gerçek kısmının negatif olmasını istiyorum.

Peki. Şimdi ---sadece matrise bakarak, özdeğerleri hesaplamadan, özdeğerlerin negatif olup olmadıklarını veya en azından gerçek kısımlarının negatif olduğunu nasıl görürüm. Bu bana iz hakkında ne söyler? Demek ki -- buradaki a artı d ---2’ye 2 kararlı bir matris durumunda iz için ne diyebilirsiniz? Bu özdeğerlerin ---negatif olduğunu ---veya en azından gerçek bölümlerin negatif olduğu anlamına gelir. Bu durumda şunu alıp ---matrise bakıp, izini bulduğumda, ---bunun hakkında ne bilirim? Negatif olur değil mi?

Bu şunun toplamı ---bu neye eşit --- bu lamda_1 + lamda_2’ ye eşit, demek ki negatif. Bu arada, bu özdeğerler eğer karmaşık olsaydı, bu durumda +6i ve -6i ‘miz olurdu. Karmaşık kısım ---birbirlerinin eşleniği olurdu ve dolayısı ile bunları topladığımızda ortadan kalkarlardı ve iz de negatif olur.

Pekala, iz negatif olmak zorunda.

Bu yeterli mi? --- Negatif bir iz, matrisi kararlı yapmaya yeterli mi? Yeterli olmaması gerekir. Değil mi? Şunu gösterebilir miyim? Şunu yapabilir miyim?-- Negatif izi olup, yine de kararlı olmayan bir matris söyleyebilir misiniz? Demek ki ---burada bir patlama -- hala bir patlama faktörü var ve bir tane de giderek azalan. Demek ki ne olacak -- sırf görmek için -- belki şunu buraya koyabiliriz.

Şimdi ---iz’in negatif olduğu ancak sistemin patladığı bir örnek yaratmak istiyorum. Peki, bir örneğe bakalım. Bakın ---şunu -2,0,0,1 yapayım.

Bu Matrisin iz’inin eksi değer aldığı bir durum ---özdeğerleri biliyorum tabii ki.

Özdeğerlerimiz -2 ve 1, ve de sistem patlıyor.

Bunun ---şurada artı değeri alan bir özdeğeri var, bu bize çözümde bir e üzeri artı t getirecek, ve ikinci bir bileşkesi olsa da patlayacak.

Başka bir şart daha gerekli. Ve bu şart determinant üzerine bir şart. Ve bu şart ne? Eğer her iki özdeğerin de -- her ikisinin de negatif olduğunu biliyoruz diyelim.

Bu bana determinant hakkında ne diyor? Tekrar sorayım. Her iki özdeğerin negatif olduğunu biliyorsam iz’imiz de negatif olur, ancak determinant pozitiftir. Çünkü iki özdeğerin çarpımına eşit. Demek ki determinant lambda_1 çarpı lambda_2. Şu – Lambda_1 çarpı lambda_2 ve her ikisi de negatif ise, çarpımı pozitif olur. Demek ki pozitif determinant ve negatif iz. Bu şartı sanal bir bölüm alınması durumunda da takip edebilirim.

Demek ki -- kararlılık hakkında bu basit ancak işe yarayan bir yorum, çünkü 2’ye 2 her zaman önemli. Peki.

Yine resme dönelim.

Bu dersimizin temel bölümü, mutlaka yapabilmemiz gerekli bölümü, otomatiğe bağlayıp yapabilmemiz gerekli bölüm, sistemi çözmektir.

Özdeğerleri bul, özvektörleri bul, katsayıları bul. Ve şuna dikkat et -- matrisin ne olduğuna bak -- şu doğrusal sistemde, elimde değil -- eğer -- eğer şu denklemler elimde olduğunda -- bu sütunlar cinsinden denklemlerim olduğunda, -- bu denklemlerin matris şekli ne olur? Demek ki ,bu denklem sistemi bir matrisin, c1, c2’yi çarpıp u(0)’ yı verdiği bir sistem. u(0) ise (1, 0).

Matris ne? Matrisin (2,1; 1,-1) olduğunu görmek kolay ancak buna bir isim vermeliyiz, en azından bir harf , -- bu matris için bir isim şurada hangi matris -- bu adımda c’leri bulmak için hangi matrisle uğraşıyoruz. Harfi S, yani özvektörler matrisi.

Tabii bunlar özvektörler, matrisimizin sütunlarında görebilirsiniz.

Demek ki bu S c eşit u(0) olur. -- katsayıları bulduğumuz şu adımda, her bir üstel çözümün ne kadarlık bir bölümünün cevapta yer aldığını bulmuş oluyorsunuz.

En başında doğru yaptıysanız, sonuna kadar doğru kalır. Eğer şu resmi görebiliyorsanız -- yani her saf üstelin u(0)’ dan başladıktan sonra kendi yoluna gittiğini görebilmemiz gerek.

Dolayısı ile herbirinin kaçta kaçının u(0) da yer aldığını bulursunuz, sonra da onlar kendi yollarını bulurlar.

Peki. Demek ki bu iki bilinmeyenli iki denklemli bir sistem -- matris bir anlamda u1 ve u2 yi eşleştirirken, özdeğerler ve özvektörler bunları ayırıyor, köşegenleştiriyorlar. Aslında -- peki --şimdi şunu yapabilirm, S ve büyük lambda cinsinden düşünebilirim. Şimdi de denklemi bu kez S ve büyük lambda cinsinden yazmak istiyorum. Tamam.

Bunu şu uzaktaki tahtada yapacağım.

Şimdi geri dönüyorum -- du/dt=Au eşitliğine dönüyorum. Buradaki matris bunları birleştiriyor.

Özvektörlerin mantığı ise bunları ayrıştırmak.

Bunu anlamanın bir yolu, u= A ---hayır A değil. S olmalı, ayrıştıran özvektör matrisi S olmalı. Bana verilen şu denklemi alıp, A ile eşleşmiş olan, A ile--herhalde bir sürü sıfır olmayan elemanı vardır--ancak ayrıştırıyorum, söylemek istediğim köşegenleştiriyorum.

Eğer köşegen matrisi elde edersem işim tamam demektir.

Tamam, şimdi yerine koyuyoruz.

Bu A Sv. Ve bu da S dv/dt.

S bir sabit. S özvektörler matrisi. Bu özvektörler matrisi.

Peki. Şimdi buraya S’nin tersini getireceğim. Ve elimde ne var. S’nin tersi A ve S bileşiminden Lambda’yı elde ediyoruz, köşegen matrisi.

Ve anafikir bu, yani özvektörleri taban olarak kullanırsam, bu durumda denklem sistemimiz köşegen olur. Şimdi -- ben -- herbiri--eşleştirme yok artık. dv1/dt=lambda_1 v1.

Şimdi denklem sisteminin tüm n’leri için dv1/dt =lambda_1 v1 türü ifadelerini yazalım. Bunlar bir denklem sistemini oluşturur ancak birbirlerine bağlı değiller ve onun için de çözmek kolaydır. Ve şimdi de çözümü yazayım dilerseniz. v nedir, v şimdi e üzeri lambda_1 t ye eşit olur, ve sanırım şimdi doğal olan gösterimi kullanıp v(t)= e (üzeri Lambda t) çarpı v(o) diyeceğiz. Ve u(t)= S e (üzeri Lambda t) S’nin tersi olacak.

Bu işte -- varmak istediğim formül.

Bu-- şu matris, S e (üzeri lambda t) S’nin tersi, bu benim üstelim. Bu benim e üzeri At’m ve bu S e (üzeri lambda t) S’nin tersine eşit mi? Şimdi işim,-- üstteki A matrisinin ne yaptığını anlatmak olacak.

Ne anlama geliyor? e üzeri bir matris demek ne anlama geliyor? Bu daha kolay olmalı, çünkü e üstü bir köşegen matris, ancak sonuçta bir matris. Peki e üzeri At ile ne demek istiyoruz? Çünkü gerçekten de cevabım e üzeri At’ de. Bu denklem için benim cevabım -- bu u(t), bu da e üzeri At çarpı u(0). Şimdi size bunun ne anlama geldiğini anlatmalıyım. Bir matris üsteli nedir ve bu formül diye doğrudur? Tahtanın şu alt kısmına koyacağım. Bir matris üsteli nedir? Şuraya geri döneyim.

Demek ki şimdi matris üstelinden söz ediyoruz, e üzeri At. Tamam.

Herhangi bir şeyin üstelini nasıl tanımlarız? Buradaki hile -- temel fikir -- üsteller için bir kuvvet serisi olduğu. Bu e üzeri x’i açıklamamızın en iyi yolu, kuvvet serisi yani 1+x+(1/2) x kare+(1/6)x küp +.... ve bunu elimizde bir matris olduğu durumda yapacağız. Demek ki 1 , benim birim matrisim olur. x’lerimiz At olur, x kare’miz (At)’nin karesi olur ve 2’ye bölmek gerekir. Kübik terim, x küplü terim (At)’nin küpü bölü 6 olur ve buradaki genel terim ne? Genel terim (At)’nin n-ninci kuvveti bölü -- ve bu devam eder.

Ne ile bölündüğüne bakalım. Buradaki mantığı görüyorsunuz. -- Şurada 1’ e baktım, şurada 2’ ye şurada ise 6’ya. Bunların hepsi faktoriyeldir. Demek ki sonucum da n! olacak.

Bu güzel Taylor serilerinden biri. -- Aslında bunlardan iki tane var -- Dünyada güzel iki tane güzel Taylor serisi var. e üzeri x için olan Taylor serimiz. x üzeri n’in, n faktöriyele bölümünün toplamı.

Ve tek yaptığım, aynı şeyi matrisler için de tekrarlamak.

Diğer yakışıklı Taylor serisi ise x üzeri n’lerin n! ile bölünmemiş şeklinin toplamı.

Biliyor musunuz -- şunun hangi fonksiyon olduğunu söyleyebilir misiniz? Eğer bunları alırsam ---bütün bu sıfırdan sonsuza giden toplam ne olur? Hangi fonksiyonu yazmış oluyorum? Bir ek yorum. Şunu yazarken 1+x+x kare +x küp+x üzeri 4+..... ve gördüğünüz gibi hiç bir şeye bölmüyorum. Fonksiyon ne? 1+x+x kare +x küp+x üzeri 4+..... sonsuza kadar, bu fonksiyon 1/(1-x) dir.

Bu geometrik seri, tüm serilerin en güzeli.

Aslında burada da benzer birşey olabilirdi. Eğer şunu isteseydim, (I-At)’nin tersi, bu durumda ne olurdu? -- Şimdi matrislerim var.

Her yerde matrislerim var, tıpkı şu seri gibi -- ve de hiçbir şeye bölmediğim diğer seri gibi.

Bu kez I+(At)+ (At)’nın karesi+(At)’nın küpü+ ... sonsuza kadar.

Demek ki bu, bir matris tersini bulmak için mantıklı bir yol. Şunu kesersem şurada -- bunu yapmak, t küçük olduğunda mantıklıdır. Eğer t küçük bir sayı ise, o durumda t kare çok küçük bir sayı olur, t küp ise daha da küçük olur, dolayısı ile matris tersi yaklaşık bir değer I + At olur. Dilersem daha fazla sayıda terimi sistemde tutarım. Ama ne yaptığım görebiliyor musunuz? Şunu diyorum. Normal fonksiyonlar için yaptığım her şeyi matrisler için de yapabilirim diyorum, ve üstel serinin güzel yanı ---bir anlamda üstel seri diğerinden daha güzel. Niye? Çünkü üstel seri her zaman yakınsar.

Giderek büyüyen bu sayılara bölüyorum ve A matrisi ne olursa olsun, t istediği kadar büyüsün, bu serinin -- bu terimleri her zaman sıfıra yaklaşır.

Serinin toplamı sonlu bir değer alır ve e üzeri At tümü ile tanımlı olur.

Halbuki bu ikinci adam başarısız olacak, değil mi? Eğer At büyükse, eğer At’nin bir şekilde 1’den büyük bir özdeğeri varsa, karesini aldığımda, o özdeğerin karesini almış olurum, kübünü aldığımda, özdeğerin kübünü alırım -- ve seri, At’nin özdeğerleri 1’den küçük olmadığı sürece patlar. Demek ki At’nin özdeğerleri 1’den küçük olduğunda, -- onu şuraya yazayım. At’nin tüm özdeğerleri 1’den küçük olduğunda, seri yakınsar ve bu da bana matris tersini verir.

İyi, bu adam özellikle ilgimi çekiyor ve şununla ilişkilendirmek istiyorum. Şimdi

bakalım -- şunu nasıl elde ederim....bu yapmak istediğim en temel şey—e üzeriAt’yi nasıl elde ediyorum -- ve e üzeri At’nin şuna eşit olduğunu nasıl görebiliyorum? Demek istediğim, e üzeri At’yi S’yi ve Lambda’yı bulup hesaplamak istiyorum, çünkü artık e üzeri Lambda t’yi hesaplamak kolay.

Büyük Lambda’lar köşegen bir matris ve şimdi Lambda t’yi yazabiliriz--ve hemen şimdi- bir dakikada.

Ve şimdi--şunu görüyor musunuz--ne görmeyi beklediğimizi görüyor musunuz? Şunu bekliyoruz -- e üzeri At’yi S ve Lambda bilgisine dayanarak hesaplamak istiyoruz, ve şimdi tanıma bakıp, peki, “şundan nasıl bir S ve Lambda çıkarabilirim” diye bakıyorum. Görebiliyor musunuz? -- bununla şunu ilişkilendirmek istiyorum -- şu tanımı kullanarak yapmaya çalışacağım. Şunu sileyim önce----geometrik seriyi sileyim çünkü diferansiyel denklemlerde bununla işim yok ve resmin içine S’yi ve Lambda’yı getireyim.

Haydi bakalım. Birim matrisimiz tamam.

Şimdi sırada ---şunu göreceksiniz ---A’yı nasıl S ile yazacağımı ve S ile Lambda’nın ilişkisini. Şimdi tüm bu bölümün en önemli formülünü yazıyorum. A eşittir S çarpı Lamda çarpı S’in tersi ve de çarpı t ve bu da bize At’yi verir.

Peki A kare t ne olur? Önce--ikiye bölmem gerekir, bir t kare’m var bir de A kare.

Tamam. Demek ki -- şurada A matrisim--A matrisi. Şimdi karesini al.

Karesini aldığımda ne olur? Bunu daha önce de gördük. Karesini aldığımda, S Lambda kare S’nin tersi ni elde ederim değil mi? Şunun karesini aldığımda bir S var ve bu S, S’in tersi ile sadeleşir ve solda bir S, sağda bir S ters ve ortada bir lambda kare ile kalırım.

Bir sonraki S Lambda küp S’nin tersi çarpı t küp bölü 3 faktoriyel olur. Şimdi, şimdi ne yapacağım? Her şeyden S’i çekmek istiyorum.

S nin her şeyin dışında olmasını istiyorum.

Güzel, bakın, birim matrisi nasıl yazsam iyi olur? Bu taraftan S’yi diğer taraftan da S’nin tersini çekmek istiyorum. Böylece birim matrisi S çarpı S’nin tersi olarak yazıyorum.

Şurada bir S var, diğer yanda da bir S’nin tersi var, ve ortada ne var? Ortada birim matris, bir tane Lambda çarpı t, bir tane Lambda kare t kare bölü 2 -- ve e üstü Lambda t.

Bu ortada kalanlar. Bu formül e üzeri At nin formülü. Şimdi şunu sormalıyım size.

Bu formül her durumda işler mi? Bu formül her zaman işler--ancak sonsuz olduğunda işler değişebilir.

Peki her zaman işler derken ne demek istiyorum? Ve bu her zaman işlemez ve benim size orijinal formülde olmayıp bu formülde kullanılan varsayımı söylemem gerek. Buradaki varsayım, A’nın köşegenleştirilebildiği varsayımı. Hatırlayacaksınız, bazı matris alt kümeleri var ki, n bağımsız özvektörleri yok, dolayısı ile bu matrisler için bir S ters’imiz yok ve tüm köşegenleştirme çöker.

Ancak hala üçgensel hale getirebiliriz.

Bunu size anlatacağım. Ancak gerekli sayıda bağımsız özvektörleri olmayan matrisler için köşegenleştirmek mümkün değil. Bunun dışında bu altın değerinde. Peki. Formül şu--şu da matris üsteli.

Şimdi bana e üzeri (lambda t)’nin ne olduğunu söylemek kalıyor. Bunu yapabilir miyim? Şunu şu köşeye koyayım. Bir köşegen matrisin üsteli nedir? Hatırlarsanız, lambda köşegen bir matris, lambda 1’den , lambda n’ye kadar. Bu köşegen matrisin üsteli nedir? Çünkü asıl önemli nokta bunun basit olması gerektiği. Vurgulamam gerekli olan nokta, köşegen bir matrisin üstelinin, tümü ile ayrıştırılmış (decoupled) olması gerektiği, yani köşegen olması gerektiği, ve de aslında öyle. Bu matris üsteli sadece köşeğende, e üzeri lambda_1 t, e üzeri lambda_2 t, ..., e üzeri lambda_n t, ve diğer her yer sıfır.

Demek ki köşegen bir matrisim olup onu üstel formülüne koyarsam, herşey köşegen ve köşegendeki elemanlar da birer skalar olup, e üzeri lambda t şeklindeler. Bu bir anlamda şimdi burada yaptıklarım--bugünkü dersin başında belli bir A matrisi ve belli özdeğerler ve özvektörlerle yaptıklarımın formüle dökülmesi. Şimdi formülleri bir kez daha göstereyim. Bu matris üstelinin ne olduğunu bilmek durumundasınız ve bu ne zaman sıfıra giderdi? Söyleyin bakalım, bunun cevabı ne?

e üzeri At ne zaman-- t arttıkça giderek daha da küçülür? Düşünelim, S ve S-1 değişmiyor. Giderek küçülen bu olmalı ve bunun basit bir köşegen şekli var.

Ve bu lambdaların her biri sıfıra gitmeli--bunların her biri sıfıra gitmeli, onun için de özdeğerlerimin gerçek kısmının sıfırdan küçük olması gerekir. Değil mi? Eğer gerçek kısım negatif ise, bu durum--üstelin--üstelin sıfıra gitmesini sağlar.

Tamam -- işte asıl farklı olan bu.

Eğer size bir resimle gösterebilirsem---bakalım---şu çizdiğim karmaşık düzlem.

Şurası gerçek eksen bu da sanal eksen. Diferansiyel denklemin kararlılığı için özdeğerlerin nerede olması gerekir? Şurada olmaları gerekir, sol yarı düzlemde. Demek ki sol yarı düzlem, lambdaların gerçek değerleri, sıfırdan küçük olan gerçekl değerlerini gösterir.

Bakalım--matris kuvvetlerinin sıfıra gitmesi için özdeğerlerin nerede olmaları gerekir? Eğer özdeğerlerim buradaysa, matris kuvvetleri sıfıra gider.

Demek ki bu bölge matris kuvvetleri için kararlılık bölgesi. Bu bölge lambdanın mutlak değerini 1’den küçük olduğu bölge. Bu kararlılık göstergesi--bu bize A’nın katlarının sıfıra gittiğini söyler, aynı zamanda da A’nın üstelinin de sıfıra gittiğini söyler.

Tamam, şimdi son bir örnek.

Son bir örnek yazayım.

Bakalım. Son örneğim tek bir denklem olacak, u''+bu'+ku=0.

İkinci mertebeden, tek bir denklem.

Şimdi –belki burada --burada y kullanmam daha iyi olur, çünkü diferansiyel denklemlerde çoğunlukla kullandığımız y dir. Ve u’nun bir vektör olmasını istiyorum. Ve şimdi ikinci mertebeden bir denklemin 2’ye 2 lik ve birinci mertebeden bir sisteme nasıl dönüştürülebileceğine bakalım. Tıpkı Fibonaccilerde de yaptığım gibi, u’ya (y üssü, y) diyeceğim.

Tek yapacağım fazladan bir denklem eklemek olacak. Bu denklem de y üssü eşittir y üssü diyeceğim. Şunu alıyorum--şunu vektör bilinmeyeni olarak kullanarak, şimdi denklemim u üssü. Birinci mertebeden denklemim u’=( y’’, y’), u’nun türevi peki, şimdi diferansiyel denklemim bana y çift üssü’nün--bakalım neye eşit olduğunu söylüyor--bu matrisin ne olduğuna bakıyorum (y', y). A matrisini bulmalıyım. Bir tek tane ikinci mertebeden diferansiyel denklemim olduğunda ve bunu 2’ye 2’lik bir sisteme dönüştürmek istediğimde matris ne olmalı? Oldukça basit.

Matrisin ilk satırı zaten denklemde veriliyor.

Yani y''= - by'- ky --Bunda problem yok.

Ve matrisin ikinci satırına ne gelecek? Bulursak tamamlamış olacağız. Matrisin ikinci satırının y' = y' aşikar denklemi olarak tanımlanması gerekiyor, o da burada bir 1 şurada da bir sıfır var demek.

Bunlara benzer matrisler--genel halde, örneğin 5x5’lik olduğunda, yani beşinci mertebeden bir denklemim olduğunda, 5x5’lik bir matrise ihtiyacım olacaktı, ve denklemin katsayılarını şu yukarıda görüyor olacaktım ve sonra da aşikar çözümlerim için şuralara birler koyacaktım. Bu matris öyle bir matris ki beşinci basamaktan bir denklemi 5’e 5 lik birinci mertebeden bir sisteme dönüştürür.

Ve özdeğerler doğal bir şekilde, diferansiyel denkleme bağlantılı olarak bulunacaktı. Bugün diferansiyel denklemleri işlemiş olduk. Şimdi matris kuvvetlerini işlediğimiz derse paralel olarak artık matris üstellerini de yapıyoruz.

Teşekkürler.