MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 21

Bu özdeğerler ve özvektörler üzerine ilk dersimiz ve dersin konusu geriye kalan zamanın çoğunu alacaktır.

Tekrar edelim, matrisler kare olacak ve şimdi bazı özel sayılara, özdeğerlere ve bazı özel vektörlere, özvektörlere bakacağız. Ve şimdi bu ders genellikle bu sayıların ne oldukları hakkında olacak, ondan sonra diğer dersler onları nasıl kullanacağımız, onları niçin istediğimiz hakkında olacaktır.

Tamam, bir özvektör nedir? Belki özvektörlerle başlıyacağım. Bir özvektör nedir? Şimdi bir A matrisimiz olsun. Tamam.

Bir matris ne yapar? O vektörler üzerinde işlem yapar.

x vektörünü çarpar. Matrisin işleme şekli, x vektörü girer ve Ax vektörü olarak dışarı çıkar. Bir fonksiyon gibidir. Kalkülüs’te bir fonksiyon ele alındığında, içeri giren x sayısı, dışarı çıkan f(x) dir.

Burada doğrusal cebirde, daha fazla boyut içerisindeyiz.

İçeriye x vektörü girer, dışarıya Ax vektörü çıkar.

Ve genellikle ilgilendiğim vektörler, girdikleri ile aynı doğrultuda çıkanlardır. Bu çok alışılmış birşey değil. Ax in içinde olduğu çoğu vektör farklı yönleri işaret eder.

Fakat x vektörüne paralel olan belli Ax vektörleri vardır. Ve onlar özvektörlerdir.

Yani Ax, x-e paraleldir. Bunlar özvektörlerdir.

Fakat paralelle neyi anlatıyorum? Oh, onu denklemle ifade etmek daha kolay olur. Ax’in bir katı – herkes buna x’in lambda katı der.

Bu bizim büyük denklemimiz. Özel vektörler arayacağız --- ve unutmayın çoğu vektör özvektör olmayacak --- bu --- yani Ax’in x yönünde olan vektörler, aynı yönde olabileceği gibi, ters yönde de olabilir, yani lambda’yı sıfır yada negatif alabiliriz. Şey, sanırım sıfır özdeğerine sahip özvektörlerle karşılaştık. Onlar aynı yönde idiler, fakat bunlar – çok özel bir şekilde aynı yönde oluyorlar. Böylece bu -- x özvektörü. Lambda, bu çarpım faktörü her ne ise, 6 yada eksi 6 yada 0 veya karmaşık bir sayı bile olabilir; bu özdeğer olur.

Burada özdeğerimiz, şurada da özvektörümüz var.

Sıfır özdeğeri üzerinde biraz duralım.

Özdeğerler açısından bakıldığında, bu özel bir durum değildir; bir özdeğere sahibiz.

Özdeğer sıfır olduğunda bunun anlamı Ax’in sıfır çarpı x olacağı, başka bir deyişle sıfır olacağıdır. Yani x ne olacak, nereye bakmalıyız ---x’ler nedir? Özdeğeri sıfır olan özvektörler nedir? Onlar sıfır uzayı içerisindeki adamlardır. Ax eşittir sıfır.

Böylece matrisimiz tekil ise, bunu yazayım.

Eğer, eğer A tekil ise, o zaman ---tekil ne anlamındadır? Tekilin anlamı bazı x vektörlerini sıfıra taşımasıdır. Herhangi sıfır olmayan bir vektör bu nedenle,-- sıfıra giden özvektör olacaktır.

O zaman lambda eşit sıfır özdeğer olur.

Fakat şimdi biz bütün özdeğerlerle ilgileneceğiz. Lambda eşit sıfır bizim için artık çok özel değil.

Tamam. Soru şu: Bu x’leri ve lambda’ları nasıl bulacağız? Ve dikkat edin – artık Ax eşit b şeklindeki bir denkleme sahip değiliz.

Yok etmeyi kullanamam. İki bilinmeyenim var ve gerçekte onlar birbirleriyle çarpılmışlar.

Lambda ve x, ikisi de burada bilinmeyenlerdir.

Böylece, onları nasıl bulacağımızı söyleyen iyi bir fikre ihtiyacımız var. Fakat bunu yapmadan önce -- ve burada determinant işin içine girecek, size bazı matrisler verebilir miyim? Buradakiler gibi.

Bu matrisi, izdüşüm matrisini alalım.

Tamam. Şimdi bir düzlemimiz olduğunu ve bizim P matrisimiz – benim daha önce A olarak adlandırdığım matrise şimdilik P diyeceğim, çünkü – düşünüyorum, pekala. izdüşüm matrisine bakalım.

Bir izdüşüm matrisinin özdeğerleri nelerdir? Ve sorum şu: İzdüşüm matrisi için, x’ler -- özvektörler ve lambda’lar ---özdeğerler nelerdir? Buradaki önemli nokta ---determinanta ve formüllere, ve bütün bu şeylere girmeden önce, nasıl davrandıklarını bildiğimiz bazı matrisleri göz önüne alalım. Bir b vektörü aldığımızda, bu matrisin ona ne yaptığını biliyoruz, Pb izdüşümünü yaratıyor.

Bu resimde b bir özvektör müdür? Bu b vektörü özvektör müdür? Hayır, öyle değil, b bir özvektör değil– çünkü Pb, onun izdüşümü, farklı yöndedir. Peki P’nin özvektörleri nelerdir? Hangi vektörlerin izdüşümleri başladıkları yönde kalır. Cevap verin, bazı x’ler söyleyin.

Bu resimde, nerede b yada x vektörü ile başlayıp, izdüşümünü alıp, hala aynı yönde kalabilirim? Bu ancak vektör hali hazırda bu düzlemdeyse gerçekleşir. Düzlemdeki herhangi x, bir özvektör olacak. Ve P ile çarptığımda, yani bir x vektörünün izdüşümünü aldığımda – burada buna b dedim, çünkü bu alıştığım resim, ve şimdi b’nin işimize yaramadığını söyleyeceğim. Demek ki ilgilendiğimiz öyle bir x vektörü ki, düzlemde olmalı, izdüşümünü aldığımda ne elde etmeliyim – tabii ki yine x’i.

Hareket etmiyor. Demek ki düzlemdeki hiçbir x, P ile değişmiyor ve bu bana ne söylüyor? Bu bana x’in bir özvektör olduğunu söylüyor ve hatta bu özdeğerin ne olduğunu – onu şununla karşılaştırarak söylüyor. Özdeğerin, çarpanın sadece bir olduğunu söylüyor. Güzel.

Bütün düzlemi dolduran özdeğerlere sahip olduk.

Şimdi soruyorum, başka özdeğerler var mı? Ve cevabın evet olmasını bekliyorum. Çünkü üç boyutlu uzayda isem üç tane elde etmek isterim. İkisi aynı düzlemde ve biri bu düzlemde olmayan üç tane bağımsız özvektörlerimin olmasını umuyorum.

Demek ki şuraya çizdiğim b işe yaramaz. Düzlemde olmayan uygun özvektörler ne olabilir? Anlamlı olan, düzleme dik olandır. Başka bir anlamlı x var -- çünkü izdüşüm nedir? Böylece bunlar özvektörlerdir.

Buradaki başka bir adam başka bir özvektör olabilirdi.

Fakat şimdi burada başka bir tane var. Düzleme dik olan herhangi x için Px nedir? Düzleme dik olan bu adamın izdüşümü nedir? Sıfırdır, tabii ki.

Yani sıfır uzayımız var. Px şu adamlar için sıfırdır, veya isterseniz sıfır x diyelim ve bu özdeğer sıfırdır.

Bir izdüşüm matrisinin özdeğerleri nelerdir sorusuna cevabım, onlar şuradadır, bir ve sıfır.

Tamam izdüşüm matrislerini biliyoruz.

Bunları A, A devrik, A ters, A devrik olarak yazabiliriz, fakat bunu yapmadan da özdeğerlerin ne olduklarını resimden görebiliriz.

Tamam, başka matrisler var mı? İkinci bir örnek alayım. Permütasyon matrisine ne dersiniz? Bu matrise, şimdi A diyeceğim matrise ne dersiniz.

Sıfır bir, bir sıfır. Bana bir x vektörü söyleyebilir misiniz? Bakın, biraz sonra bir sistemimiz olacak -- burada özel bir şey olamayan bu matrisle sistemlere girmeden önce sadece resmi görmek için, birkaç örnek yapmak istiyorum. Çünkü o özeldir.

Demek ki hangi, hangi vektörle çarpıp aynı yönde kalabilirim. Bu adamlar için bir özvektör belirleyebilir misiniz? Bu x1 ve x2’nin permütasyonu olan bir matris. x’in iki bileşeninin yerini değiştiriyor.

Permütasyon sonucu elde edilen (x2, x1) vektörü nasıl oluyor da, başlangıçtaki (x1, x2) vektörünün bir katı oluyor? Bu adam için bir özvektör söyleyebilir misiniz? -- Aslında, özdeğeri 1 olan tek bir özvektör söyleyebilir misiniz? Demek ki hangi vektör 1’e eşit bir özdeğere sahip olup, permütasyon altında değişmez? Bu -- (1, 1) vektörü olabilir, teşekkürler.

Bir bir. Tamam, bir bir vektörünü alalım.

Bu bir özvektör olacak, çünkü Ax yaptığımda bir bir elde ediyorum. Böylece özdeğer birdir. Güzel.

Bu bir özdeğerdir, fakat burada 2 ye 2’lik matrisimiz var, ve ikinci bir özdeğer olacağını görebiliyorum.

Ve özvektör. Şimdi, bunun için ne diyelim? Vektör nedir, peki, belki onu tahmin edebilirim.

Gerçekte bu diğer vektör, bu düşündüğüm vektör -1 özdeğerine sahip bir vektör olan.

Bu matris için benim başka bir özdeğerim olacak.

Bakın, güzel bir pozitif veya negatif olmayan bir matrisin, negatif bir özdeğeri olabiliyor.

Bu işi yapacak x i belirleyebilir, tahmin edebilir misin? Yani öyle bir vektör istiyorum ki, A ile çarptığımda, iki bileşkenin yerini değiştirsin ve aslının eksi işaretlisi olmasını istiyorum. Bu durumda ne yollamalıyım? (-1, 1)’i yollarsam -- sonra A ya uyguladığımda, bu çarpımı yaptığımda -- ve (1, -1) elde ederim, yani işaret değişti.

Böylece Ax=-x olur. Lambda -1 olur.

Ax orada, Ax= x idi ve burada Ax =–x dir.

Biraz ileriye atlayarak, özdeğerler hakkında özel küçük bir gerçeği söyleyebilir miyim?

n ye n matrislerin n-tane özdeğeri olacaktır.

Ve bu n’nin üç ya da dört yada daha fazla olduğunu varsayalım.

Onları bulmak o kadar da kolay değil. 3. dereceden veya dördüncü dereceden veya n inci dereceden denkleme sahip olmuş olacağız.

Fakat burada güzel bir gerçek var, hoşlanacağımız bir gerçek. Bu da özdeğerlerin toplamının, köşegen elemanlarının toplamına eşit olmasıdır.

Bu iz olarak adlandırılır ve bunu ders müfredatına özellikle koydum. Tamam bu güzel bir gerçek, gerçek odur ki lambdaların toplamı, lambdaları topladığımızda eşittir toplam – ne yapayım – şuraya yazayım mı?

Sözle ifade etmek istediğim şey, A nın köşegen elemanlarının toplamı olduğudur.

a11 + a22+…+ann olarak yazabilirmiyim? Bu köşegen elemanlarının toplamıdır. Bu örneğimizde bu sıfır. Başka bir deyişle, 1’e eşit bu özdeğeri bulduktan sonra, diğerinin bu 2 ye 2’lik matriste, -1 olması gerektiğini biliyordum, çünkü 2x2’lik durumda, bu matrisle oynamak güzel; matrisin iz’i size diğer özdeğerin ne olduğunu doğrudan söylüyor.

Buna yine döneceğiz, bunu yine göreceğiz.

Şimdi daha fazla örnek verebilirim, fakat belki de Ax=lambda x denklemi ile yüzleşip, x’i ve lambda’yı nasıl bulmamız gerektiğine bakmak daha iyi olabilir.

Şimdi soru, özdeğer ve özvektörleri nasıl bulacağız?

Nasıl çözerim, her iki denklemde iki bilinmeyenim varsa Ax =lambda_x’ i nasıl çözerim? Tamam, burada hilemiz şu. Basit bir fikir. Bunu aynı tarafa getirin ve yeniden yazın.

Bunu buraya getirip (A eksi lambda I) çarpı x eşittir sıfır gibi yazın. Anladınız mı? Ax – lambda I x im var. Yani bunu şu tarafa aldım ve sağ yanda sadece sıfır kaldı.

Tamam. Lambda’yı bilmiyorum ve x’i bilmiyorum, fakat burada bir şeyleri biliyorum.

Ancak şunu biliyorum ki, bunu sıfır vektörü olmayan bazı x’ler için çözebilirim, çünkü sıfır vektörü işe yaramaz bir vektör, o sayılmaz. O zaman bu matrisim ne olmalı? Eğer bir x varsa, ancak şimdilik ne olacağını bilmiyorum.

Aslında, önce lambda’yı bulacağım.

Ve – fakat öyle bir x varsa, bu bana bu matrisin bu özel bileşiminin, A matrisimin lambda kadar ötelenmişi gibi olduğunu söyler –lambda kadar ötelenmiş ve bu matrisin tekil olması gerekir. Bu matris tekil olmak zorunda, diğer durumda x sadece sıfır olabilir, ve sıfır matris. Tamam.

Demek ki bu tekildir. Ve tekil matrisler hakkında ne biliyoruz? Onların determimantları sıfırdır.

Böylece ---bunun tekil olma zorunluluğu gerçeğinden, biliyorum ki, A-lambda I nın determinantı sıfırdır.

Ve şimdi x’i çıkarmış oldum.

Lambda için bir denklemim var, anahtar denklem, bu karakteristik denklem, yada özdeğer denklemi olarak adlandırılır. Ve sonra – başka bir deyişle, şimdi önce lambda yı bulacak durumundayım.

Demek ki -- fikir önce lambda’yı bulmak olacak.

Ve gerçekte, tek lambda bulmayacağım. n farklı lambda bulacağım. Aslında, n tane lambda demeliyim, n farklı lambda olmayabilir.

Lambda’lar tekrarlayabilir. Bir tekrarlanan (katlı bir) lambda 18.06 deki bütün problemin kaynağıdır. Böylece, şimdilik bunların tekrarlanan olmadıklarını umalım. Burada, onlar farklılar, değil mi? Burada bu permutasyon için onlar 1 ve -1 dir. Tamam.

Ve böylece bu lambdayı bulduktan sonra, ileriye bakabilir miyiz? x’i nasıl bulacağım? Bu lambdayı bulduktan sonra, lambda bu olduğunda ---bu matrisi tekil yapan sayılardan birini nasıl bulacağız? O zaman tabii ki x’i bulmak yok etme yöntemi ile olur. Değil mi? Sadece ---şimdi bir tekil matrisim var, o halde sıfır uzayına bakacağım. Sıfır uzayını bulmakta uzmanlaştık artık. Bildiğiniz gibi, yok etmeyi yaparız, pivot sütunu tanımlarız ve devam ederiz, bu da ---ve serbest değişkenlere değer vererek yapılır.

Muhtemelen, sadece bir serbest değişken olacaktır. Ona, buradaki gibi 1 değerini vereceğiz.

Ve diğer değişkeni bulacağız. Tamam.

İkinci işimiz, x’i bulma işimiz yapılabilir bir iş olacak. Şimdi ilk işimize, lambda’yı bulma işine bakalım. Tamam, başka bir örnek alabilir miyim? Ve bunu çözmeye çalışalım.

Tamam, bir örnek alalım, şöyle diyelimki kolay bir örnek olsun. 3 3 1 ve 1. Onu kolay yaptım.

Hatta onu 2 ye 2 yaptım, onu simetrik yaptım.

Ve hatta köşegen değerlerini eşit aldım.

Matrisin içine özel özellikler koydukça, özdeğerler de o ölçüde özellik taşır. Örnek olarak, simetrik matrislerin, gerçek özdeğerler olarak ortaya çıkacağını biliyorum. Özdeğerlerin güzel gerçek sayılar olduğu ortaya çıkacak. Ve bir önceki örneğimizde de, simetrik matrisimiz vardı. Gerçekten, o simetrik matrisi ve onun özdeğeri güzel gerçek sayılar 1 ve – 1 idi. Ve onun özvektörleri hakkında bir şey dikkatinizi çekti mi? (1, 1) ve (-1, 1) Bu iki vektör hakkında herhangi özel bir şey dikkatinizi çekti mi? Bunlar şansına – hayır şansına diyemem, çünkü bütün özellik burada, bunlar zorunlu olarak ne olmalılar, nedirler? Bunlar diktir. Şu vektörleri gördüğümde, (1 ,1) ve (-1, 1) aklıma hemen skaler çarpımını almaya gider.

Sıfırdır. O vektörler diktir. Bu burada da olacaktır.

Şimdi, özdeğerleri bulalım.

Gerçekte, oh, bu örnek çok kolay.

Örneğimiz çok kolay. Size önceden ne olacağını söyleyeyim. Söyleyeyim mi? Yoksa A eksi lambda I nın determinantını alıp ondan sonra mı söyleyeyim? Yaptığımız örneğe dayanarak onların niçin kolay olduklarını anlatmamı bana hatırlatırmısınız? Tamam, burada işimizi yapalım.

Haydi (A-lambda I) nın determinantını hesaplıyalım. Bu determinantımız.

Ve bu, bu şey nedir? Bu köşegenlerinden lambda’ın çıkartılmış olduğu A matrisidir.

Yani köşegen matris ötelenmiş bir matris ve bunun determinantını alıyorum. Tamam.

Şimdi çarpımlarımı yapayım. Determinantımızı alalım. Dikkat ederseniz, lamdayı tüm matris elemanlarından çıkartmadım. Lambda I olduğu için sırf köşegenlerden çıkartıyorum.

Böylece (3-lambda) nin karesi ve sonra -1 elde ettim, değil mi? Ve bunun sıfır olmasını istiyorum.

Şimdi, bunu sadeleştireceğim. Ve ne elde ederim? Yani bu çarpımı yaparsam, lambda kare eksi altı lambda artı ne olur? Artı sekiz.

Ve bunu sıfıra eşitleyeceğim. Ve onu çözeceğim

O ikinci dereceden bir denklem olur.

Çarpanlara ayırmayı kullanabilirim. Kuadratik formülü kullanabilirim. 2 tane lambdam olacak.

Bunu yapmadan önce, bana denklemde gözüken bu altı sayısının ne olduğunu söyleyin? O iz dir. Bu 6 sayısı 3 artı 3 dür. Ve burada iken, denklemde görülen bu 8 sayısı nedir? O determinantdır. Matrisimizin determinantı sekizdir. Yani 2 ye 2 durumunda bu işler çok güzeldir. (Lambda)^2 eksi (iz çarpı lambda) ---iz’imiz, doğrusal katsayımız artı determinant, sabit sayımız.

Şimdi, bakalım, kökleri bulabilir miyiz? Bunu yapmanın kolay yolunun bunu bir şeyler çarpı bir şeyler gibi çarpanlarına ayırmak olduğunu umarım.

Eğer çarpanlarına ayıramazsak, o zaman eski b^2 - 4ac formülünü kullanmak zorunda kalabiliriz, fakat ben, onu (lambda eksi bir şey) çarpı (lambda eksi bir şey) şeklinde çarpanlarına ayırabileceğimizi düşünüyorum. Bu çarpanlara ayırmayı yapabilir misiniz? Dört ve iki mi? (lambda-4) çarpı (lambda-2).

Böylece, özdeğerler dört ve iki olur. Yani özdeğerler – bir özdeğer, buna lambda bir diyelim, 4 dür. Lambda2, diğer özdeğer, 2 dir. Özdeğerler dört ve ikidir. Ve sonra özvektörleri bulabilirim. Gördünüz önce özdeğerleri buldum. Dört ve iki.

Şimdi özvektörler için, özvektörler nedir? Bunlar 4I veya 2I çıkartarak matrisi tekil yaptığımda, sıfır uzayında bulunan adamlardır. Bu yüzden biz – bunları (4I ve 2I ) ayrı ayrı yapmalıyız. Önce 4 için özvektörü bulayım. Böylece 4-ü çıkartacağım…Yani A eksi 4 I dır. Yani dört’ü çıkartmak şuraya -1’ler koymaktır. Bu matris hakkında önemli nokta nedir. 4 bir özdeğer ise, o zaman (A-4I) ne tür bir matris olsa iyi olurdu? Tekil. Bu tekil matris değilse, 4 doğru değildir. Fakat biz tamamız, bu matris tekildir. Ve şimdi x nedir? Bu x sıfır uzayında olur.

Böylece lambda_1’ e karşılık gelen x_1 nedir? Yani bu A -- yani budur… .Ax_1=lambda_1 x_1 yapıyorum.

Yani A eksi lambda_1’i aldım, o bu matristir, ve şimdi onun sıfır uzayındaki x_1’i arıyorum, ve bu kimdir? Sıfır uzayındaki x vektörü nedir? Tabii ki (1,1) dir.

Yani bu, şu özdeğere karşılık gelen özvektördür.

Şimdi diğer özdeğere karşılık gelen özvektör ne olacak bakalım. Bunu silebilir miyim? (A-2I) yı alalım.

Böylece şimdi köşegenden ikiyi çıkartacağım, ve burada bir ve bir kalır. Yani A-2I yine tekil matris üretti, Yani A-2I, olması gerektiği gibi, yine tekil matris oldu.

Şu vatandaşın sıfır uzayını arıyorum.

Onun sıfır uzayındaki vektör nedir? Şey, tabii ki, bir sürü vektör.

Bir özvektör dediğimde, doğru söylemiyorum.

Bir sürü özvektörden bir taban istiyorum. Herbir doğrultuda tek bir vektör istiyorum.

Bunu şeçmekte belli bir özgürlüğünüz var ancak mantıklı olanı seçmek gerek. Bunun sıfır uzayında olan vektör ne? Doğal seçim, lambda_2 için yapacağınız doğal özvektör seçimi (-1, 1) olacak.

Serbest değişkeni bir olarak aldığımda ve bu vektör üzerinde yok etmeyi yaptığımda, -1 i elde ederim ve bu özvektörü elde ederim. Yani o zaman bu matris için, bunun için özvektör, özdeğer, özvektör, özdeğere sahip olduğumuzu görüyorsunuz. Ve hatırlatmanızı istediğim noktaya geldik.

Bu problem ile şuraya ne bulduğumuzu yazayım bunun arasındaki ilişki nedir?

A eşittir sıfır bir, bir sıfıra, ve bunun özdeğeri 1 ile -1 idi, ve bir özvektörü (1, 1), diğer özvektörü ise (-1,1) idi. Ve ne farkediyorsunuz? Bu matris ile şu matris arasındaki ilişki nedir?

Bu iki matris arasında nasıl bir ilişki var? Şimdi, biri diğerinden sadece 3I kadar fazla, değil mi? Sadece şu matrisi aldım ve ben -- ben bu matrisi aldım ve 3I’yı ekledim.

Şimdi sorum şu: Özdeğerlere ne oldu ve özvektörlere ne oldu? Bu şimdi bu bölümde devamlı sorduğumuz soru gibi oldu.

Bu matrise bir şeyler yaptığımda, Eğer ben -- bu matris hakkında bir şeyler biliyorsam, - onun özdeğerleri: ve özvektörleri için ne diyebiliriz? Çünkü -- bu özdeğerler ve özvektörler bu matris hakkında bize çok önemli bilgi verecektir. Ve burada ne görüyoruz? Bu 1 ve -1 özdeğerlerime, 3I yı eklediğim zaman ne oluyor? Özdeğere sadece 3 eklemiş olduk.

1 ve -1 in 3 fazlası olan 4 ve 2 yi elde ettik. Özvektörlere ne olacak? Hiçbirşey

(1, 1) ve (-1, 1 ) ler hala özdeğerler olmaya devam ediyor.

Başka bir deyişle, basit ama kullanışlı bir gözlem.

Bir matrise 3I yı eklersem, onun özvektörleri değişmiyor ve onun özdeğerleri 3 birim daha büyük oluyor. Bunun niçin olduğunu görelim. Bunların hepsini aynı tahtada tutayım. Bir A matrisimiz ve Ax eşit lambda x olduğunu varsayalım. Şimdi bu matrise 3I i ekledim.

Özdeğer ve özvektörlerin ne olduklarını ve nasıl ortaya çıktıklarını görüyor musunuz? Yani şöyle, Ax eşit lambda x ise, o zaman bu, bu diğer yeni matris, lambda x e eşit bir Ax im var ve 3I x den bir 3x im olur, Böylece bunun anlamı, o sadece şurada oturan, (lambda + 3)x dir.

Eğer bunun özdeğeri lambda ise, şunun özdeğeri (lambda + 3) olur. Ve x, özvektör, her iki matris için de aynı olur. Tamam, işte bu, çok iyi.

Tabii ki o özeldir, 3I ekleyerek yeni bir matrisimiz oldu. Başka bir matris eklemiş olduğumu varsayalım. A nın özdeğerini ve özvektörlerini bildiğimizi kabul edelim. Yani, bu, buradaki bu küçük tahtadakiler çok da güzel olmayacak.

Bir A matrisimiz olsun ve bunun özvektörü x, özdeğeri de lambda olsun. Şimdi buna farklı bir matris ekleyeyim. Şimdi size soruyorum, eğer A nın özdeğerini ve B nin özdeğerini biliyorsanız, diyelim ki B, eğer bu ise – buraya baştarafa bir ‘’eğer’’ koyayım. Eğer Ax eşit lambda x ise, güzel ve B nin özdeğerleri -- bunlara ne diyelim? Alpha, alpha_1 diyelim – özel bir nedeni yok ama B nin özdeğerleri için alpha kullanacağım

Ne soracağımı görüyorsunuz, A artı B hakkında ne söyleyebiliriz? İzin verin – size önce – size önce ne düşünüyor olabileceğinizi söyleyeyim. Tamam

Eğer Ax eşit lambda x ise ve eğer B nin özdeğeri alpha ise, o zaman söyleyebilirim. Buradaki -- bu görüşün sorunu ne? Yanlıştır. Birazdan yazacağım şey yanlıştır. Bx eşit alpha x olduğunu söyleyeceğim.

Bunları topla, ve (A+B)x = (lambda +alpha) x elde edersin. Böylece “eğer A nın özdeğerlerini biliyorsam ve eğer B nin özdeğerlerini bilmiş olsaydım, o zaman bunları topladığımda A+B nin de özdeğerlerini biliyor olurdum” şeklinde düşünebilirsiniz. Ama bu yanlış.

A + B ---şey, B 3I olduğunda, bu iyi çalıştı. Fakat bu o kadar da iyi değil.

Ve oradaki bu görüşün yanlışı ne? x in aynı zamanda B nin de özvektörü olduğuna inanmamız için bir neden yok. B nın bazı özdeğerleri var, fakat genelde onun farklı özvektörleri olabilir. O farklı bir matristir.

Özel bir şey bilmiyorum. Eğer özel bir şey bilmiyorsam, o zaman bildiğim kadarıyla, onun farklı bir y özvektörü vardır, ve topladığımda sadece saçmalık elde ederim. Böylece A+B yada (A çarpı B) çok da iyi olmadı.

Genellikle A+B veya (A çarpı B) nin özdeğerleri, A nın özdeğerleri artı B nin özdeğerleri değildir. Özdeğerler doğrusal değildirler. Veya -- ve onlar çarpılmazlar.

Çünkü, özdeğerler genellikle farklıdırlar ve, ve A + B nin onun üzerine etkisinin ne olduğunu bulmanın yolu yoktur. Tamam.

Böylece bu bir uyarıdır

Eğer B birim matrisin bir katı ise, çok güzel, ama B herhangi bir matris ise, yapma. Sonra A+B için bulmalısın -- özdeğer problemini çözmelisin. Tamam. Şimdi özdeğerler hakkında başka önemli bir noktayı ortaya çıkartacak, başka bir örnek yapmak istiyorum. Bu örneği döndürme matrisinde yapalım. Tamam. Böylece işte başka bir örnek. Döndürme -- oh, ona Q desem iyi olur. Döndürmek için genellikle Q’yu kullanırım çünkü onlar dik matrislerin en önemli örneklerindendir.

Onu 90 derece döndüreyim.

Böylece, matrisimiz her vektörü 90 derece ile döndürecek bir matris olacak. Bu matrisi hatırlıyor musunuz? O, doksan derecenin cosinüsü olacak, ki sıfırdır, doksan derecenin sinusü, ki 1’dir, eksi sin90, cos90 olacak. Bu matris Q harfini almayı hak ediyor. O bir dik matristir, çok çok dik matris. Şimdi bunun özdeğerleri ve öz vektörleri ile ilgileniyoruz. 2 ye 2’lik matris, bu çok zor olamaz. Özdeğerlerinin toplamının sıfır olacağını biliyoruz, Aslında, burada şimdiden bildiğimiz bir şeyler var. İki özdeğerin toplamı nedir? Sadece biraz önce ne dediysem söyleyin. Sıfır, değil mi?

İz işinden dolayı, özdeğerlerin toplamı sıfır olacak. Ve özdeğerlerin çarpımı – determinantın özdeğerlerin çarpımı olacağı hakkında size bir şey söyledim mi? Hayır. Ama bunu bilsek iyi olur. İkinci dereceden denklem içinde bu sekizin nasıl gözüktüğünü görmüştük.

Şimdi sadece şunu söyleyeyim, iz’in sıfır artı sıfır olduğu açık. Ve bu da toplam, lambda_1 + lambda_2 dir.

Şimdi başka zarif bir gerçek bu determinantın --, bu matrisin determinantı nedir? Bir, ve bu, lambda_1 çarpı lambda_ 2 dir.

Üzerinde çalıştığımız örnekte, özdeğerleri 4 ve 2 olarak ortaya çıkmıştı. Onların çarpımı sekiz idi. 8 olması gerekiyordu, çünkü (lambda - 4) çarpı (lambda – 2) olarak çarpanlarına ayırmıştık. Bu bize 8 sabit terimini vermişti. Bu determinant idi.

Tamam. Bu örnek ile bir şeylerin ters gideceğini söylemeye çalışıyorum.

Döndürmede bir şeyler ters gidiyor; çünkü hangi vektör döndürmeden sonra kendisi ile paralel olarak ortaya çıkar? Eğer bu matrisi her vektörü doksan derece ile döndürüyorsa, bir özvektörü ne olabilir? Bir sorunumuzun olacağını görüyor musunuz?

Özvektörler ---şey, özvektörler resmimizde girdikleri doğrultuda çıkarlar, bu burada geçerli olmayacak. Ve özdeğerler ile sorunumuz olacak.

Bunu denklemlerden görelim.

Niçin sorun bekliyorum? İlk denklem bana özdeğerlerin toplamının sıfır olduğunu söylüyor.

Yani bir artı ve bir eksi’miz var. Fakat sonra ikinci denklem bana çarpımlarının artı bir olduğunu söylüyor.

Sorunumuz var. Fakat bundan kurtulmanın bir yolu var.

Yani nasıl ---her zaman yaptığımız şeyi yapalım.

(Q eksi lambda I) nın determinantını bulalım.

Böylece sadece kuralları takip edeceğim, determinantı alacağım, sıfır olan köşegenlerden lambdaları çıkartacağım geriye kalan aynıdır. Q’nun geriye kalanını kopyalayabiliriz.

Bu determinantı hesaplayalım. Tamam, bu determinant neye eşit? Lambda kare eksi eksi bir artı ne? Ne oluyor? Denklemimiz bu. Özdeğerler için denklemimiz (lambda)^2 + 1= 0 oldu.

Lambda_1 ve lambda_2 özdeğerleri nelerdir? Onlar i, bu her ne ise, ve bunun eksi’si dir. Doğru.

Bunlar olması gereken sayılar. Toplamları sıfır yani iz’de olması gerektiği gibi ve çarpımları 1 yani determinat’da olması gerektiği gibi. Fakat matris tam gerçek olsa bile bunlar gerçek sayı olmak zorunda değiller. Yani bu olabilir.

Şimdi artık 18.06’ya karmaşık sayılar girecek. vauu doğru.

Tamam, gerçek özdeğerlere sahip olan matrisler seçtiğim sürece, kötü gün ile karşılaşmayı erteleyebiliriz, Ama sadece görmeniz için, bunu yapmaya çalışacağım. Fakat o şurada.

Bir matris, mükemmel gerçek bir matris olabilir, gayet masum görünen ikinci dereceden bir şey verebilir, fakat bu ikinci dereceden şeyin kökleri karmaşık sayılar olabilir. Ve tabii ki ---herkes onları biliyor ---Ne, karmaşık sayılar hakkında ne biliyorsunuz? Ve şimdi karmaşık sayılarla karşılaşma kötü ihtimali üzerine biraz kafa yoralım.

İki karmaşık sayı hakkında çok az bilgimiz var. Onlardan biri diğerinin karmaşık eşleniğidir. Eğer lambda bir özdeğer ise, o zaman, değiştirdiğimde, gittiğimde -- karmaşık eşleniğin ne olduğunu hatırladınız mı? Sanal parçanın işaretini değiştiriyordunuz. Güzel, bu sadece sanal idi, gerçek kısma sahip değildi, böylece sadece onun işaretini değiştirdik.

Böylece, bu özdeğerler bunun gibi bir çift olarak gelir, fakat onlar karmaşık sayıdır. Karmaşık eşlenik çiftler.

Ve bu mükemmel gerçek bir matris de olabilir.

Ve işin doğrusu -- bu daha önce işaret ettiğim gibi, eğer matris simetrik ise, bu olmaz.

Böylece eğer simetrik ya da simetriğe yakın gibi olan matrislerden ayrılmazsak, o zaman özdeğerler gerçek kalacak. Fakat simetrikten uzaklaştığımızda – bu uzaklaşabildiğimiz en son nokta, çünkü bu matris -- bu matris için Q devriğin Q ‘yla nasıl bir ilişkisi var? Bu matris ters simetriktir.

Q devrik eksi Q dur. Bu simetriğin tam tersidir. Köşegenin etrafında çevirdiğim zaman, tüm işaretlerin tersine çevirmiş olurum.

Bunlar sadece sanal özdeğerlere sahip adamlardır.

Böylece bunlar aşırı uç durumlardır. Ve bunların arasında, ters simetrik ya da simetrik olmayan matrisler vardır, fakat onlar kısmen simetrik ve ters – simetrik parçaya sahiptir.

Tamam. Bütün olasılıkları gösterecek şekilde bir dizi örnek yapacağız.

İyi olasılıklar, dik özvektörler, dik özdeğerlerdir. Kötü olasılık karmaşık özdeğerlerdir. Bunun kötü olduğunu söyleyebiliriz.

Daha kötü olan başka bir şey daha var. Bugün burada kötü şeyler yapıyorum. Sonrasında gelecek ders, saf mutluluk olabilir.

Burada kötü olabilecek bir şey daha var. Böylece ben, tekrar, bunu bir örnekle göstereceğim. Diyelim ki matrisim, yine bunu alıyorum, üç üç bir ve şu adamı sıfır olarak değiştireceğim. Bu matrisin özdeğerleri nedir? Özvektörleri nedir? Bu bizim her zaman ki sorumuz.

Tabii ki, sonraki bölümde bununla niye ilgilendiğimizi göreceğiz. Fakat şimdilik, bu derse onları tanıtalım.

Ve sadece onları bulalım. Tamam.

Bu matrisin özdeğerleri nedir? Bu soruya cevap verebileceğimizi bir bakışta size söyleyebilirim.

Çünkü matris üçgenseldir.

Üçgensel matrislerdeki gibi bazı özelliklere sahip olduğumuzu bilmek gerçekten faydalıdır. Özdeğerleri doğrudan okuyabileceğimizi bilmek çok faydalıdır.

Onlar köşegenler üzerindedir. Yani özdeğerler 3 ve tekrar 3 tür. Tekrarlanan özdeğerler var. Ama bunun olduğunu görelim. Doğru yapalım.

A eksi lambda I nın determinantı, her zaman yapmak zorunda olduğumuz bu determinantır.

Köşegenden lambdayı çıkartıyorum.

Kalanını bırakıyorum, determinantı hesaplıyorum, böylece ( 3 – lambda) çarpı ( 3 – lambda) elde ederim.

Ve hiç bir şey. Bu üçgensel kısmın resme girdiği yerdir. Üçgensel kısmı – üçgensel matrisler hakkında bildiğimiz tek şey determinantının köşegenlerinin çarpımı olduğudur.

Ve bu durumda, bu tekrar aynı – yani lambda_1 birdir – üzgünüm lambda_1 üç tür ve lambda_2 üç tür.

Kolay oldu. Yani, hayır ---Niçin özdeğerleri hemen bulunabilen matrisler hakkında kötümser olayım? Bu matrislerle sorun özvektörlerindedir. Öyleyse özvektörlere gidelim. Peki özvektörleri nasıl bulurum? Özvektörler çiftini arıyorum. Özdeğeri alıyorum.

Şimdi ne yapmalıyım? Hatırlayın, (A – lambda I) x = 0, çözeceğim.

Ve ( A – lambda) x nedir? Yani üç ü çıkartalım. Ve bu matrisi sıfır, sıfır, sıfır, bir elde ederim, doğru mu? Çarpı x bana sıfırı vermeli. Doğru mu? Bu x için büyük denklemim.

Şimdi x’i, özvektörü arıyorum. Yani (A eksi lambda I)x’ i aldım, ve burada ne tür bir matrisim olmalıydı? Tekil, değil mi? O tekil olmalıdır. Ondan sonra bazı vektörler olmalı, ki var. Yani sıfır uzayında bazı vektörler var. Ve bu adamların sıfır uzayı için bana bir taban verin.

Bana sıfır uzayında bulunan bir x vektörünün ne olduğunu söyleyin. Yani 0, lambda_1= 3 e karşılık gelen özvektör olacak. Özvektör -- sıfır uzayında ne var? Bir sıfır, değil mi? Çok güzel. Şimdi, diğer özvektör nedir? Lambda_2 ye karşılık gelen özvektör nedir? Tamam, Lambda_2 tekrar 3tür. Yani aynı şeyi elde ettim.

Bana başka bir vektör verin– onun bağımsız olmasını istiyorum.

Eğer x2 yi yazacaksam, bunun x1 ile bağımlı olmasına asla izin vermemeliyim. Bağımsız özvektörleri arıyorum ve sonuç ne? Böyle biri yok. Bu dejenere (bozulmuş) matristir. Sadece bir özvektör doğrultusu var, iki değil.

Bu tekrarlanan özdeğerlerin olması olasılığı eksik özvektörlerin olma olasılığına yol açmaktadır. Ve böylece ikinci bağımsız x2 özvektörü yok.

Yani bir matris, 2 ye 2 olan bir matris, fakat sadece bir bağımsız özvektörü var. Yani bu olabilir ---o matrisler ki ---özvektörleri ---bütün hikayeyi vermiyor. Anladınız mı?

Pazartesi günkü ders bütün diğer matrisler için tüm hikayeyi verecek.

Teşekkürler. İyi bir hafta sonu dilerim.