MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Lineer Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 20

Pekala, bu yirminci ders ve determinantlar konusunda son dersimiz olup, onun uygulamaları hakkında olacak. Peki determinantın özellikleri ve determinant için bir formül elde etmek için son iki derste çok çalıştık. Şimdi determinantı kullanacak ve, her zaman bu determinant tüm bu bilgileri tek bir sayıya paketleyecek.

Ve bu sayı bu zamana kadar formülsüz hesapladığımız bütün bu gibi şeyler için bize formüller verebilecek. Şimdi ters A ne idi? Peki yani ters A için bu formülle başlıyorum. 2 ye 2 için formülü biliyoruz değil mi? Ters A için 2 ye 2 formülü [a b; c d] nin tersi (1 bölü determinant) çarpı [d –b; -c a] dir. Bir şekilde, 3 e 3 ve n ye n de neler olduğunu görmek istiyorum.

Ve aslında neler olduğunu bu ikiye iki durumundan görebiliriz. Yani bu ters için bir formül var, ve onu neyle böldüm? Determinantla. Böylece burada bir bölü determinantı verecek bir formül arıyorum ve niçin bunun anlamlı olduğunu hatırlayın, çünkü bu determinant sıfır olmadığı sürece o mükemmeldir. Ve bu tam olarak bir tersin olduğu zamandır. Ama sormam gerek bu şeylerin herhangi birisini tanıyabiliyor musunuz. Bu d sayısının ne olduğunu geçmişten tanıyor musunuz? Sondan, son dersten, ipucum eşçarpanları düşünün.

Çünkü formülüm, bu inverse için formülüm bir bölü determinant çarpı eşçarpanlanların bir matrisi olacak. Yani bu D yi hatırlıyor musunuz? Bu neyin eşçarpanı? Eşçarpanları hatırlayın? Bu 1,1 in eşçarpanı çünkü sütun bir ve satır biri kaldırdırdığımda d ile kaldım.

Ve eksi b ne? Tamam.

Bu neyin eşçarpanı? Oh, eksi b, c nin eşçarpanı, değil mi? c yi kaldırdığımda, burada b kaldı.

Niçin eksi işareti? Çünkü bu c 2,1 pozisyonunda idi ve 2 artı 1 tek sayıdır.

Yani eksi eşçarpanın içine gitti ve bitti. Tamam.

Biraz sonra formülün ne olduğunu yazacağım.

Ters A için büyük formül işde burada.

O bir bölü A nın determinantı ve sonra bir matris.

Ve o matris eşçarpanlar matrisi C olacak. Bir şey daha gerekecek ---göreceksiniz, devriğini almak zorundayız.

Yani bu eşçarpanların matrisidir ---ama neden ona sadece eşçarpan matrisi demiyoruz ki. C nın 1,1 girdisi 1,1 in eşçarpanıdır ve bu birinci satır ve sütunu atarak elde ettiğimiz şeydir.

O, bu d dir. Ve devriğinden dolayı, yukarıda burada gördünüz, bu aşağıdaki adamın eşçarpanıdır, değil mi? Burası devriğin işe girdiği yer; burada gördüğüm, bu bunun eşçarpanı değil, çünkü devrik aldım. Bu b nin eşçarpanıdır.

b yi, b nin bulunduğu satır ve sütunu, kaldırdığımda, c ile kaldım ve sonra tekrar bu eksi işaretim var. Ve tabii ki 2,2 girdisi d nin eşçarpanı olur ve bu a dır. Tamam. Yani işte formül.

Ama neden olduğunu düşünmemiz lazım. Yani bu 2 ye 2 durumunda çalıştı ancak, diğer bir çok formül de aynı şekilde çalışabilirdi, bunun niçin doğru olduğunu görmemiz gerek. Başka bir deyişle, neden olduğunu ---yani amacım bunu anlamak.

Ve bunun bize ne söylediğini görmeye çalışalım. Bu bize diyor ki A ters için ifade ---hadi üç ve üç de bakalım, sadece a b c d e f g h i yazabilir miyim? Ve bunun tersini arıyorum.

Ve orada ne çeşit bir formül görüyorum? Bence, determinant üç çarpanın çarpımlarının bir grubudur, değil mi? Bu matris determinantı a e i, ve b f çarpı g, ve c çarpı d çarpı h, ve eksi c e g, ve böyle devam edecekleri içerecek.

Yani üç çarpanlı şeyler buraya yazılacak.

Eşçarpan matrisinde bu şeyleri yapan ne kadar çarpanlı şeylerden var? Bir tipik eşçarpan ne? A nın eşçarpanı ne? A nın eşçarpanı, burada tersin içindeki bu 1 1 elemanı nedir? A yı içeren satır ve sütunu atacak ve geriye kalanın determinantını alacağım. Bu onun eşçarpanı olur. Ve bu e i eksi h f dir.

İki şeyin çarpımı. Şimdi, gözlemim o ki A nın determinantı, n elemanın çarpımlarını içerir. Ve eşçarpan matrisi n-1 elemanın çarpımlarını içeriyor.

Ve, Gauss- Jordan metodu ya da her ne ile olursa olsun, bu tersi hesapladığımız zaman bu şeylerin hiç birini fark etmedik. Nasıl yaptığımızı hatırlıyor musunuz? Bir matris A aldık, yanına birim matrisi kattık, ve A birim matris oluncaya kadar yok etmeyi uyguladık, Ve sonra o, birim matris aniden A nın tersi oldu.

Elbette, bu numerik olarak mükemmeldi.

Ama, esasında neler olduğunu hiç bilmedik.

Ve şimdi formülün ne olduğunu harflerle, algoritma yerine cebirsel olarak görüyoruz. Tamam.

Ama bunun neden doğru olduğunu söylemem gerekir, değil mi? Hala---bu güzel sihirli bir formül.

O nereden geliyor? Peki, sadece onu kontrol edeceğim.

Onu burada elde etmişken, yapayım ---nasıl kontrol ederiz ---neyi kontrol etmek istiyorum? Kontrol etmek istediğim A çarpı onun tersi, birim matrisi verir, yani kontrol etmek istiyorum ki A çarpı bu şeyler ---şimdi tersini yazacağım ---bu birim matrisi verir.

Yani kontrol edeceğim ki A çarpı devrik C nin ---determinantı bu tarafa getireyim, A nın determinantı çarpı birim matris’dir. İşim bu.

İşte bu kadar, bu doğruysa ve öyle, o zaman Ters A yı Devrik C yi determinanta bölümü olarak tanımlamış olurum. Tamam, ama bu neden doğru? Bu niçin doğrudur? Burada yaptıklarımı aşağıya yazayım. A var ---A burada, birinci satırda a11 ---a1n’ye kadar bu çarpımı yapacağım. Ve aşağıda son satırda an1 ---ann var. Ve eşçarpan matrisin devriği ile çarpacağım. Peki, devriği alırsam, O c11, c12...aşağıya c1n’ye kadar olacak. Farkındaysanız genellikle 1 önce geliyor, bunun anlamı satır 1 de olduğumuzdur. Ama devrik yaptım, böylece bu, bunlar eşçarpanlar oldu.

Bu birinci sütun, satır birden gelen eşçarpanlardır.

Ve sonra son sütun, satır n den gelen eşçarpanlar olurlar.

Ve bu sonuç neden iyi olmalı? Aslında, ortaya çıkan, neden bunun kadar güzel olmalı? Şimdi, bana çarpımdaki 1,1 elemanının ne olduğunu söyleyebilirsiniz.

Bu sanki bana sadece bir elemanı söylediğinizde ana fikri görebileceksiniz gibi geliyor. A nın bu satırı ile eşçarpanların bu sütununu çarptığım zaman, buradaki 1,1 deki elemanı için ne elde ederim? Burada ne elde ederim? Çünkü biz bunu gördük.

Yani, biz son derste ulaştıklarımıza dayanarak ilerliyoruz. Yani bu a11 çarpı c11, a12 çarpı c12,…, a1n çarpı c1n olur. Bunları toplamı ne olur? Bu determinant için eşçarpan formülüdür. Bu, bu eşçarpan formülü yazdığım ve son olarak elde ettiğimiz A nın determinantı, satır biri kullanırsam, i=1 olsun, o zaman, a11 çarpı onun eşçarpanı, a12 çarpı onun eşçarpanı, ve böyle devam eder gider.

Ve bu bana determinantı verir.

Ve o bu durumda çalıştı.

Bu satır çarpı bu şeyler, eminim ki, ad eksi bc dir. Ama bu formül onun her zaman çalıştığını söylüyor. Yani burada bu, bu pozisyon içinde, A nın determinantını elde ediyorum.

2 2 pozisyonu için ne olur? Satır 2 çarpı sütun iki ne, bu nedir? O sadece eşçarpanlar olur. Sadece satır iki çarpı onun eşçarpanlarıdır. Böylece tabii ki tekrar determinantı elde ediyorum. Ve burada son olan için de, bu son satır çarpı onun eşçarpanları olur. Tam olarak görüyorsunuz, farkına varıyoruz ki bu eşçarpanlar formülü sadece bu çarpanların toplamı dır, yani tabii ki düşünüyorum da, hey, burada bir matris çarpımı var.

Ve A nın determinantını elde ettik. Mükemmel.

Ama, burada bir şey daha var, değil mi? Başka ne var, neye sahip değilim ---yani bu formülü henüz tam olarak ispatlamadım, çünkü hala köşegen dışında olan şeyleri, ki sıfır olmalarını istiyorum yapmam gerekir. Değil mi? Ben sadece bunun A nın determinantı çarpı birim matris olmasını istiyorum. Ve sonra mutlu olacağım. Peki neden bu olmalıdır? Neden, bir satır çarpı farklı bir satırın eşçarpanları, ki sütun olurlar çünkü devriğini aldım, sıfır olsun ki? Başka bir deyişle, eşçarpan formülü determinantı verir-- eğer satır ve eşçarpanlar ..biliyorsunuz, Eğer A nın elemanları ve eşçarpanları aynı satır için iseler.

Ama her nedense, eşçarpanları birinci satırın elemanlarından ve ikinci satırın elemanlarından alırsam, her nedense otomatik olarak sıfır elde ederim. Ve bunu söylemek ilginç ama neden böyle oluyor? Ve sadece bunu kontrol edebilir miyim? Tabii ki bu durumda onun olduğunu biliyoruz. Burada satır bir’den sayılar var ve burada satır iki’den eşçarpanlar var, doğru mu? Bunlar satır bir içindeki sayılar ve şunlar satır iki’den eşçarpanlar, çünkü c-nin eşçarpanı -b ve d nin eşçarpanı a dır.

Ve eminim ki, bu satır çarpı bu sütun bize ---lütfen onu söyleyin. Sıfırı verir. Doğru.

Tamam, öyleyse şimdi nasıl oldu? Bunu 2 ye 2 durumda da görebilir miyiz? Niçin oldu ---şey, yani, tahmin ederim onu kesinlikle bir şekilde görebileceğimizi biliyorum çünkü o tam burada duruyor.

Yani, onu biraz önce yaptık ve sonra sıfır elde ettik.

Ama neden sıfır olduğunun sebeplerini düşünmek istiyorum, bazı sebepler -- ki onu n ye n de kullanabilelim.

Böylece burada benim düşüncem şu.

Cevap olarak sıfırı elde ettiysek, bir şekilde yaptığımız bu şeyin, iki eşit satırı olan matrisin determinantını alıyor olmamızdan şüphelenmeliyiz. Yani inanıyorum ki, bunları başka satırın eşçarpanları ile çarparsak, bu determinantı alıyoruz, evet, determinantını aldığımız matris hangisi? O burada. işte bu bitti.

Biz, bununla bunu çarptığımızda gerçekten ne alıyoruz -- bunu bu aşağıdaki küçük harflerin içine koyabilir miyim ---alıyoruz --- a b; a b matrisine bakayım, bu matrisi As olarak adlandırayım. A berbat.

Tamam, pekala. Yani, şimdi bu matris kesinlikle tekildir.

Böylece onun determinantını bulursak, sıfır elde ederiz.

Ama iddia ediyorum ki onun determinantını eşçarpan kuralı ile bulursak, birinci satır boyunca gidersek, a çarpı a nın eşçarpanını alacağız.

Ve nedir --- bakın --- ikinci satır boyunca gidelim. Tamam, o halde, hangisini alırsam, biliyorum burada bir tekil matris var. Ve inanıyorum ki bu çarpımı yaptığım da, yaptığım şey determinant için bu eşçarpan formülünü kullanmak.

Ve biliyorum sıfır elde edeceğim.

Bunu tekrar deneyeceğim. Peki determinant için bu eşçarpan formülü, a çarpı onun eşçarpanını, ki bu b olur, artı b çarpı onun eşçarpanı, ki bu -a olur, yani ab - ba almam gerektiğini söyler. Tamam.

Bu, burada bir işaret haricinde yaptığımızdır.

Ah evet, bildiğiniz gibi, bir eksi herşeyi çarpıyor olabilir. Bu yüzden bu determinantı alırsam, bu A ---bunun determinantı, A berbatın determinantı a çarpı onun eşçarpanı, yani b, artı ikinci adam çarpı onun eşçarpanı, yani –a, olur. Ve doğal olarak sıfır cevabını elde ederim ve bu satır çarpı bu yanlış sütun da ne oluyor, bize tam olarak gösterir.

Tamam, bu 2 ye 2 nin resmi; ve o burada da aynı olur, bu nedenden burada yukarıda sıfır elde ettim, sıfır elde etmemin nedeni, eşçarpan matrisinin son satırı ile A nın birinci satırını çarptığımda, sanki birinci ve son satırı aynı olan bu her bir matrisin determinantını alıyormuşum gibi olur. Kitap bunları benim derste yapabildiğimden daha özel ve daha dikkatli olarak ayrıntıları ile inceliyor.

Umarım amacı gördünüz. Amacımız bu bir özdeşliktir.

Bu güzel bir özdeşlik oldu ve o bana bir matrisin tersinin ne olduğunu söyler. Yani o bize tersi, ters için bir formül verir. Tamam.

Böylece benim dersimin birinci amacı bu formülü bulmaktı. Bu oldu.

Tamam. Ve tabii ki ters çevirebilirim, yapabilirim, bir çeşit ne geldiğini görebiliyor gibiyim- bunun gibi soruları cevaplayabilirim.

Varsayalım ki bir matrisim var, 1 1 elemanını kaldırayım, bunun tersine ne olur? Sadece ve sadece bu soruyu düşün.

Varsayalım bir matris var, aşağıya tekil olmayan yanı tersi olan hoş bir matris yazacağım, ve sonra 1 1 deki elemanı birazcık hareket ettireceğim.

Örneğin, ona bir ekleyeceğim.

Bu ters matrise ne olur? Şey, bu formül bana söyleyebilmeli.

Determinanta ne olur ve bütün eşçarpanlara ne oluru görmek için bakmak gerekir.

Ve, resim, hepsi orada.

Hepsi burada, matris değiştiğinde tersin nasıl değiştiğini gerçekten anlayabiliriz.

Tamam, şimdi ikinci uygulamam -- bunu buraya koyayım -- Ax= b ye.

Elbette, çözüm A ters b dir.

Ama şimdi Ters A için bir formül var.

A nın tersi bir bölü bu determinant, çarpı C devrik çarpı b. Şimdi Ters A nın ne olduğunu biliyorum.

Böylece şimdi burada söylemem gereken neyim var? Herhangi bir şekilde bu cevabı - bu bir ve tek olan cevabı ---yok etme ile dersin ilk gününde elde ettiğimizle aynı olan cevabı elde etmenin bir yolu var mı? Şimdi ---şimdi cevap için bir formülüm var. Ne olduğunu görmek için onunla biraz daha oynayabilir miyim? Ve Cramer, bu tam olarak Cramer kuralı, bu formüle bakmanın başka bir yolu. Tamam.

Peki bu x için bir formül olur. İşte formül.

Eh, tabii ki, bu formül de gördüğüm ilk şey, bu x cevabının içinde determinantın her zaman olduğu. Hiç şaşırmadım.

Determinant ile bölüyoruz.

Ama sonra burada ne olduğunu biraz daha dikkatli söylemem gerekir. Ve size Cramer kuralının ne olduğunu söyleyeyim. Haydi, x1 i, ilk bileşeni alayım. Yani bu cevabın ilk bileşeni sonra ikinci bileşen ve diğer bütün bileşenler olacak.

Sadece bu formülün birinci bileşenini alabilir miyim? Peki, aşağıda A nın determinantı kesinlikle var.

Ve kahrolası birinci var ---yani C devrik b‘den ne elde ederim? C devrik b’nin ilk elemanı nedir? Cevaplamam gereken de bu. Şey, C devrik b’nin birinci elemanı ne? Tamam.

b var ---onun ne olduğunu söyleyeyim.

Her nasılsa bu çarpım içinde sağdan b elemanları ile eşçarpanları çarpacağım. Matrisden eşçarpanlar çarpı b nin elemanları. Her zaman eşçarpanları bir sayı ile çarptığımda bir şeylerin determinantını elde edeceğimi düşünürüm. Ve bu bir şeye B1 diyeyim. Yani bu bir matris olur, determinantı şuradan gelen matris.

Ve ne olduğunu göreceğiz.

Bir başka matris B2 nin determinantı x2 olacak, bunun da A nın determinantı ile bölünmesi gerek.

Bu yüzden şimdi sadece ---Cramer’in iyi bir fikri vardı.

O bu matrisin ne olduğunu farketti, bu B1 ve B2 ve B3 ve böyle devam eden matrislerin ne olduklarını farketti. Bunları tahtanın altına yazayım. Tamam.

Peki bu B1 nedir? Bu B1, ilk sütunu içinde b ve diğer geriye kalanlarda ise A olan matris olur.

Yani diğer konumlarda, o geriye kalanlarda A nın n-1 sütunu var.

O sadece birinci sütunu sağ taraftaki b ile yer değiştirilmiş olan A matrisidir. Çünkü her nasılsa bu adamın determinantını aldığım zaman, bu, bu matris çarpımını veriyor. Peki, bu nasıl olabildi? Nasıl olabilir - peki, burada kullanacağım determinant formülü ne? Tabii ki, eşçarpanları kullnacağım. Ve aşağıya doğru sütun birin çarpanlarını kullanırsam, b nin ilk elemanını ne ile çarpacağım? Eşçarpan c11 ile çarpacağım. Bunu gördünüz mü? Burada eşçarpanları kullandığım zaman, buradaki ilk elemanı aldım, buna b1 diyelim, çarpı buradaki eşçarpan. Ama bu eşçarpan ne?-- küçük bir el yordamı ile, bunun bir boyut daha küçük bir matris eşçarpan, olduğunu belirtmek isterim.

Ve o da tam olarak c11. Güzel istediğimiz de tam bu idi. Bu ilk eleman c11 çarpı b1. Ve sonraki eleman her neyse, c21 çarpı b2 olur, ve böyle devam eder.

Ve sahiden, buraya bakarsam, eşçarpan açılımı yaptığım zaman, b2 doğru şeyle çarpılmış olur, ve böyle devam eder.

Yani Cramer kuralı orada. Ve kitap çok fazla eşçarpanlar içermeyen başka çeşit güzel bir ispat verir.

Ama burada eşçarpanlarımız vardı, böylece size bu ispatı vermeyi uygun buldum. Peki B, genelde -- Bj nedir? Bu A nın sütun j sinin b ile yer değiştirilmiş halidir.

Böylece ---xj yi elde etmek için A nın determinantı ile bölünen bu matrisin determinantı ---bunu genel formüle değiştireyim, xj, j’ninci olan, Bj determinantının A nın determinantı ile bölünmüşü olur.

Ve şimdi Bj nin ne olduğunu söyledim. Peki, yani Cramer bir kural buldu.

Ve ona sorabiliriz; Tamam, Cramer güzel iş, ama senin kuralın pratikte kullanışlı mı? Yani, şey derdi, “benim kuralın doğruluğunu soruyor olamazsın, çünkü sadece ---bütün yapman gereken A nın determinantı ve şu diğer determinanları bulmak”. Yani tahminim şöyle derdi: Bütün yapman gereken n+1 tane determinantı bulmak, n tane B ve A.”

Ve aslında çocukken matematikle ilgilendiğim zamanlarda, Bell isimli birisi tarafından yazılan “Milyonerler için Matematik” veya bunun gibi bir şey olarak adlandırılan matematikle ilgilenen çoçukların okuduğu popüler bir kitabı okuduğumu hatırlıyorum. Ve onun doğrusal cebir hakkında olan küçük bir sayfası vardı. Ve yok etme metodunu çok karışık bir şekilde açıklamıştı. Onu kesinlikle anlamamıştım.

Ve, ve ne yaptı bilirsin, bir şekilde söyledi, şey, yok etme için bu formül var ama bu büyük formüle Cramer kuralına bakın. Yani Cramer kuralının kesinlikle gitmemiz gereken yol olduğunu söyler. Ama Cramer kuralı yapılması korkunç olan bir yoldur, çünkü bu determinantları hesaplamak yaklaşık sonsuza kadar sürer.

Yani aslında şimdi başlığı Milyonerler için Matematik diyeceğim bu kitabı düşünüyorum, çünkü burada yok etme metodu, tabii ki, anında x-leri bulurken, Cramer metodunda umutsuzca uzun hesaplamalar için ödeme yapmanız gerekebilir.

Ama harflerden oluşan bir formül, algoritma yerine cebir yapmanızı sağlar.

Yani A ters için açık formülde ve x için Cramer kuralı formülünde bazı değerler var.

Onlar güzel formüller, ama bunları kullanmanızı istemiyorum. İşte buraya kadar.

Zorunda olsaydınız, Matlab bunu asla yapmazdı.

Yani, yok etme metodunu kullanırdı.

Tamam, determinant yoluyla gelen şaşırtıcı bağlantıların bugünkü listede üç numarada olanı için hazırım. Ve bu üç numara determinantın bir hacmi vermesi gerçeğidir.

Tamam, peki şimdi bu benim son konum- bunlar arasında benim üç numaralı uygulamam ki bu determinant aslında bir şeylerin hacmine eşittir, bu özel durumu düşünmek için bu küçük alanı kullanabilir miyim? Ve sonra genel kural hakkında düşünmek için uzaktaki tahtayı kullanacağım. Peki, ne ispatlayacağım? Ya da iddia ediyorum. Matrisin determinantının bir kutunun hacmi olduğunu iddia ediyorum.

Tamam, ve siz hangi kutu diyebilirsiniz? Haklısınız. Tamam.

Peki bakalım, 3 e 3 te olduğumuzu söyleyebilir miyiz? Kabul edebilir miyiz---haydi 3 e 3 diyelim. Yani, bu yüzden biz gerçekten---3 e 3 matrisler ve üç boyutlu kutular hakkında konuşuyoruz. Ve bu yüzden bütün yaptığım ---kutunun ne olduğunu tahmin edebilirsiniz. Burada- burada, üç boyutlular. Tamam.

Şimdi matrisin birinci satırını, a11, a22,---pardon a11, a12, a13 ü aldım.

Bu satır bir vektördür. O bir noktaya gidiyor.

Bu nokta olacak ---ve bu kenar ona gidecek, kutunun bir kenarı olacak, ve bu nokta kutunun bir köşesi olacak. Yani burada 0, 0, 0, tabii ki. Ve burada matrisin birinci satırı: a11, a12, a13 var.

Peki bu kutunun bir kenarı var. Kutunun başka bir kenarı matrisin ikinci satırı olur, satır iki.

Şuradakine satır iki diyebilir miyim? Ve kutunun üçüncü satırı ---üçüncü satır ---yani kutunun üçüncü kenarı satır üç ile verilecek.

Yani, böylece satır üç burada. Bu, koordinatlar, bu kutunun bu köşesinin koordinatları nedir? a31, a32, a33. Yani kutunun bu kenarını elde ettim, bu kutunun kenarı, bu da kutunun kenarı, ve bunlar ihtiyacım olanların hepsi. Şimdi sadece kutuyu bitirdim, doğru mu? Ben sadece ---doğru kelime, tabii ki dört kenarlıdır ama bilinen nedenlerden kutu yazdım. Tamam.

Yani, Tamam, kutunun altı var, kutunun dört tane yan kenarı var. Kutunun üstü var.

Sevimli, değil mi? Bu üç kenarı olan ve sonra a ya tamamlanan, her biri, bilirsiniz, her bir yanı a olan kutu paralel kenar olur. Ve o hacmi determinant tarafından verilen kutudur. Bunun ---yani onun, mümkündür ki bu determinantı negatif de olabilir.

Yani sadece bu durumda neler olduğunu söylemeliyiz.

Determinant negatif ise, o zaman gerçek hacim için mutlak değer almalıyız.

Yani hacim, eğer biz, hacmi pozitif olarak düşünürsek, determinantın mutlak değerini almalıyız. Ama bu, bu işaret, determinantın işareti ne? – o her zaman bize birşeyler söyler, ve o her nasılsa, bize ya bir sağ –el kurallı kutu ya da bir sol-el kurallı kutusu olduğunu söyleyecektir.

Eğer biz, kenarların ikisini tersine çevirirsek, sağ-el kutu ile sol-el kutu arasında gelir gideriz, hacmi değiştiremezdik, ama döngesel (devirsel) sırayı değiştiririz.

Peki bunun hakkında endişelenmezdim. Ve, bir özel durum ne olur? A eşit birim matris.

Pekala, bu özel durumu alalım, A= birim matris, birim matrisin determinant formülü, kutunun hacmine eşit mi? Peki, kutu nedir? Kutu nedir? A birim matris ise, o zaman bu üç satır vektörlerin koordinatları olur, ve kutu bir küp olur. O birim küp.

Yani eğer, A birim matris ise, tabii ki formülünüz doğrudur. Şey, aslında bu özellik biri ispatlar….bu hacim özellik biri sağlar.

Aslında, bu şeyleri elde edebilirdik; biz --bu kutunun hacminin determinantı tanımlayan üç özelliğe aynen sahip olduğunu gösterebilirsek, o zaman, onun bu determinant olması gerekir.

Yani, bu durum bunu ispatlamak için şık bir yolu gibi olurdu. Bu determinant eşit bu hacim çarpıcı gerçeğini ispatlamak için, önce onu birim matrisde kontrol edeceğiz. Bu güzel.

Kutu bir küptür ve onun hacmi bir olur ve bu determinant da birdir ve bu bir şu bir ile aynı olur.

Şimdi bunu alalım ..bir üst düzeye dik matrislere gidelim. Çünkü bu şansı kullanarak bir önceki bölüme gelmek istiyorum. Bir dik matrisimizin olduğunu varsayalım.

Bunun anlamı ne? Bu şeylere her zaman Q dedim. Birim matris yerine A eşit Q dik matris almanın önemi ne?

O zaman Q ne idi? Bu sütunları dik olan matris idi. Değil mi? Onlar, onun sütunları birim vektörler ---dik birim vektörler idi. Yani şimdi ne çeşit bir kutu elde ettik? Satırlardan ya da sütunlardan ne tür bir kutu geliyor, satır veya sütundan gelmesinin bence bir mahsuru yok çünkü determinant ile devriğinin determinantı aynıdır; böylece bundan hiç endişe duymam.

Ne tür bir kutu, matrisimiz bir dik matris ise kutunun şekli nedir? Başka bir küp, yeniden küp olur.

Onun birim küp ten farkı ne? Sadece döndürülmüş. O sadece bu dik matris Q, birim matrisi olmak zorunda değil.

O sadece birim küp ama uzay içinde döndürülmüş.

Böylece yeteri kadar eminim, O birim küptür, ve onun hacmi birdir. Şimdi determinant bir mi? Q nun determinantı ne? Q nun determinantı bir ya da -1 olsa iyi olur kanısındayım, böylece bizim formül -- bunu kontrol edelim ..eğer onu küpümüz varken bu basit durumda kontrol edemezsek, onu gelen durum için de elde edemeyiz.

Peki, Q nun determinantı niçin bir ya da -1 olsun ki? Q hakkında bildiğimiz ne? Q nun özelliklerinin matris ifadesi ne? Birim dik sütunlu A matrisi belirli bir denklemi sağlar.

Bu nedir? O Eğer bu dik matrisimiz varsa, o zaman bu durumda….ne olduğunu söylemenin yolu, bunların ne özellikleri var?

Q üssü, aa - Q devrik Q eşittir I.

Doğru mu? Bu nedir? Bunlar ismi Q olan matrisler olup, matrisler ki Q devrik Q, I dır. Tamam.

Şimdi buradan, söyleyim niçin bu determinant bir ya da eksi bir olur? Nasıl, bu gerçekten ---bu bir ev ödevi sorusu bile olabilir.

Bu kitap içinde alıştırmalar listesinde var ve haydi sadece onu yapalım. Nasıl elde ederim, Q nun determinantının bir ya da belki eksi bir olduğunu nasıl bulurum? İki yanın determinantını alırım, sağ tarafta—yani ben, her iki yanın determinantını aldığım zaman, haydi yapayım.

Determinantları al, determinantı al.

Birim matrisin determinantı birdir.

Bu çarpımın determinantı ne? Kural dokuz şimdi işe yarıyor, bir çarpımın determinantı, bu adamın determinantı ---belki onu koyacağım, determinant için bu sembolü kullanacağım.

O şu adamın determinantı çarpı diğer adamın determinantı olur.

Ve sonra Q devrik’in determinantı nedir? Q nun determinantı ile aynıdır.

Şimdi de Kural on işe yarıyor. Yani bu sadece bu şeyin karesi olur. Yani bu determinant bir karedir ve eminim ki o, bir ya da eksi birdir.

Mükemmel, küplerin bu özel durumları içinde, gerçekten determinant eşittir hacim elde ettik. Şimdi bunu küp olmayanlara genelleyebilir miyim? Onu önce dikdörtgene, dikdörtgen kutulara uygulayayım. Burada sadece kenarları çarpacağım… hepsinin 90 derecelik açılarını koruyayım, çünkü bunlar ---bu hayatımı kolaylaştıracak.

Ve sadece kenarları uzatayım. Varsayılan ilk kenarı uzattım, varsayalım bu ilk kenarı iki katına çıkarttım.

Bu ilk kenarı iki kat uzattığımı varsayalım, diğer kenarları aynı bıraktım. Hacime ne olur? Hacim iki kat olur, değil mi? Bir kübün hacminin iki katı olacağını biliyorum, aslında, çünkü biliyorum ki bu yeni küp tam üstte oturur ---yani, yeni eklenmiş küp tam üzerinde oturur ---tam uyar ---muhtemelen bir geometri uzmanı eşlenik filan diyebilir.

İki küpümüz olurdu. İki özdeş küpümüz

Toplam hacim şimdi iki oldu. Tamam.

Yani bir kenarı ikiye katlarsam, hacim de ikiye katlanır.

Determinanta ne olur? Bir matrisin birinci satırının iki katını alırsam, determinant üzerinde etkisi ne olur? O da ikiye katlar, değil mi? Bu kural 3a idi. Hatırlarsanız kural 3a, satır birde bir çarpanım varsa, onu dışarıya çarpan olarak alabilirdim. Yani eğer, bu satır birde bir iki çarpanım varsa, onu determinantın dışına çarpan olarak alabilirim ve bu kutunun hacminin, bu iki katı olması ile uyuşur.

Yani, böylece hacim 3a özelliğini sağlar.

Ve şimdi çok yakınım ama bu ispatın sonunu elde etmek için, bu dik açılardan uzaklaşmam gerekir; olası diğer açıları da göz önüne almam gerekir. Ve ---ya da aynı şeyi söylüyor, hacmin 3b yi sağladığını kontrol etmem gerekir.

Yani olabilir mi ---bu ispatın sonu olur. Böylece ben ---A nın determinantı eşittir kutunun hacmi. Doğru muyum? Bu hacim özellik bire sahip, sorun yok.

Kutu küpse, herşey yolunda ---kutu birim küpse, hacmi 1 dir.

Özellik iki, iki satırın yer değiştirmesi, ama bu kutuyu değiştirmiyor. Ve mutlak değeri de değiştirmiyor, yani burada sorun yok.

Özellik 3a, 3a’nın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Pekala, özellik bir birim matrisle ilgiliydi, özellik iki çok da umursamadığım artı ya da eksi olması ile ilgiliydi. Özellik 3a bir satırdaki t çarpanı ile ilgiliydi. Ama şimdi elimde yapmam gereken özellik 3b var. Özellik 3b neydi? Bu özellikleri tekrar etmenin güzel bir yolu.

Yani bu 3b, özellik 3b dedi ki---haydi yapalım 2 ye 2 de yapalım. Yani dedi ki a+a', b+b', c, d matrisin varsa bu neye eşittir? Peki bu özellik 3b dir.

Bu tek başına satır bir içindeki doğrusallıktır. Yani c d aynı kalır, ve bunu a b ve a' b' olarak ayırabilirim.

Bu özellik 3b idi, en azından 2 ye 2 durumunda. Ve şimdi göstermek istediğim bu hacmin, 2 ye 2 de bu alan olur, bu özelliği sağlaması.

Vurgulamalıyım ki, bizim elimizde paralel kenarın alanı için bir formül var. Bu paralel kenarın alanı—onu çizebilir miyim? Tamam, burada, paralel kenar burada. Satır a b var.

Bu birinci satır. Bu a b noktası.

Ve c d yi çizelim. c d buraya geliyor.

Ve paralel kenarı tamamladım.

Yani budur ---ama onu doğru yapsam iyi olur.

Gerçekten bunun koordinatları c, d dir ve bu toplam her neyse şunun koordinatları olur.

Ve tabii ki başlangıcı sıfır sıfır’dır.

Ve biliyoruz ki, bu a+c, b+d dir —bu ispata birkaç dakika ara verip geriye bir formüle gideceğim.

Çünkü Cramer kuralının aksine, ki beni çok etkilememişti, bir paralelkenarın alanı için olan bu formülün beni çok etkilediğini görmenizi istiyorum.

Ve formülümüz ne? Bu paralel kenarın alanı nedir? Bunu geçen yıl sorsaydım, paralel kenarın alanı taban çarpı yüksekliktir derdiniz, değil mi? Bu tabanın ne olduğunu bulabilirdiniz ---bu tabanın uzunluğu neydi? a kare artı b karenin kare kökü gibi olurdu.

Ve sonra bu yüksekliğin ne kadar olduğunu bulurdunuz, her neyse, bu çok korkunç.

Bu demek, kare kökü var, ve bu yükseklik içinde başka bir iğrenç şey olurdu. Ama şimdi alan için, şimdi bulduğumuz bu formül ne? O küçük matrisimizin determinantı dır.

O sadece ad-bc dir. Karekökler yok.

Çünkü o tam olarak üç dersin tümünde üzerinde çalıştığımız bir formüldür.

Tamam, yani biliyorsunuz, burada çok önemli bir noktaya değiniyorum.

Eğer ki bir kutunun köşelerinin koordinatlarını biliyorsanız, o zaman hacim, alan ya da hacim için herhangi uzunluk ya da her hangi bir açı ya da herhangi yükseklik içermeyen mükemmel bir formülünüz oldu.

Ve benzer olarak, bu üçgenin alanı ne? Bunu buradan kestiğimi varsayalım ve şöyle bir durumda ---çünkü paralel kenar yerine üçgenle daha çok ilgileniyor olabilirsiniz.

Bu üçgenin alanı ne? Şimdi yine herkes bir üçgenin alanı tabanın yarısı çarpı yükseklik diyecektir.

Ve bazı durumlarda, bu a olan tabanı,---ve bu yüksekliği biliyorsanız, bunda bir sorun yok.

Ama burada, bildiğimiz şey köşelerin koordinatları, köşeleri biliyoruz.

Ve peki bu üçgenin alanı ne? Bunları biliyorsam, a, b, c, d ve sıfır sıfırı biliyorsam, alan ne? O sadece yarım, yani sadece bunun yarısıdır.

Yani budur, paralel kenar için ad-bc dir ve bunun yarısı, ad-bc’ nin yarısı olur. Yani demek istediğim ikiye bölümü söylemek tamamen önemsiz bir yorum. Ama üçgenlerde daha sık karşılaştığımızdan ve alan için formülü bildiğinizi hissedersiniz ama alan için iyi bir formül buradakidir. Ve bir üçgenin alanı hususunda sadece bir şey daha söyleyeceğim.

O sırf ---biliyorsun, bir şey için iyi bir formül elde etmek o kadar güzeldir ki. Bizim üçgen sıfır sıfırdan başlamasaydı ne olurdu? Bizim üçgen ne olurdu, bu olsaydı – ne olsa- yani tekrar üçgenlere dönüyorum, ama bu üçgeni bir yerlere koyayım- üçgenlerle kalıyorum sadece iki boyuttayım, ama bana herhangi bir üç köşe vermenize izin vereceğim.

Ve içinde, --- bu altı sayı alanı tanımlamalı.

Ve formül ne? Alan olacak, bir paralel kenarın yarısı olacak, bir paralel kenarın yarısı olacak. Yani, temelde bu tamamen yeni bir şey olamaz, doğru mu? Biz alanı, bunun sıfır sıfır olduğunda alanı biliyoruz. Şimdi görüş alanımızı birazcık kaydırmak ve alanın ne olduğunu da elde etmek istiyorum. Yani onun ne olduğunu yazayım, olması gerektiği gibi.

Eğer x1, y1 ve 1, x2, y2 ve 1, ve x3, y3 ve 1 i yaparsam, bunun çalıştığı ortaya çıkar, tabii ki bu sadece bir determınant işareti. Bu determinantı bulmanız için versem, bundan bu satırı çıkartabilirsiniz.

O bunu yok ederdi, bundan bu satırı çıkart, o bu biri yok eder. O zaman farklar ile yapacağınız basit bir determinantınız olurdu, ve bu küçük çıkartma olurdu, yaptığımız orijinden başlamak için üçgeni hareket ettirmekle eşdeğer olurdu.

Hızlı yaptım çünkü zaman bitti.

Ve 3b nin ispatını tamamlayamadım.

Bırakacağım ---kitapta bunun niye çalıştığını göstermek için dikkatlice çizilmiş resim var. Ama alan ve hacim için önemli olan noktayı gördüğünüzü umarım; determinant mükemmel bir formül verir. Tamam.

Ve gelecek ders özdeğerler hakkında olacak, yani gerçekten büyük şeylerle meşgul olacağız.Teşekkürler.