MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 2

Peki… İşte bu kadar. Bu Doğrusal Cebir’in ikinci dersi ve bugünkü konular bunlar. Tam buraya bir denklemler sistemi koydum, bu bizim üstünde çalışacağımız örnek olacak.

Bakalım bununla ne yapacağız? Çözmeye bakacağız. Ve çözüm yöntemi determinantlar olmayacak. Determinantlara daha sonra bakacağız. Kullanacağımız yönteme yok etme yöntemi denir. Ve bu herhangi bir yazılım paketinin denklem çözümleri için kullandığı yöntemdir. Ve yok etme yöntemi, eğer başarırsa, cevabı elde eder. Ve genellikle de başarılı olur. Eğer sisteme giren A matrisi iyi bir matris ise, ki bunun öyle olduğunu sanıyorum, yok etme yöntemi çalışır. Cevabı gayet de rasyonel bir şekilde elde edeceğiz. Ancak, yok etme yönteminin nasıl çalıştığını gördüğümüz sürece, niye nasıl başarısız olunabileceğine de bakmayalım ki? Dolayısı ile aynı anda, yok etme yöntemiyle, bir matrisin iyi olup olmadığına nasıl karar verdiğimizi de göreceğiz.

Sonra cevabı tamamlamak için, çok anlaşılabilir bir geri yerine koyma adımı var. Aslına bakılırsa, yok etme fikrini düşünmüş olmamız gerekir, değil mi? Demek istiyorum ki Gauss bunu bizden önce düşündü, ancak daha önce doğmuş olduğu için. Bu doğal olan bir fikir.

Ve daha da önce öldü.

Pekiyi, ve fikri daha önce gördünüz. Ancak şimdi, size göstermek istediğim bölüm, yok etme yönteminin matris dilindeki verilişi, çünkü tüm ders boyunca, bütün anahtar fikirler matris işlemleri cinsinden verilecek, kelimeler olarak değil.

Ve karşılaşacağımız işlemlerden biri, tabii ki matrisleri nasıl ve neden çarpacağımız olacak. Tamam, işte burada bir denklem sistemi var.

Üç denklem ve üç bilinmeyen.

Ve bu matris var, üçe üçlük bir matris -- dolayısı ile Ax=b sistemi bu. Bu çözeceğimiz sistem, Ax eşittir -- ve sağ tarafta da, (2, 12, 2) vektörü var. Tamam.

Şimdi, yok etme işlemini anlatırken, eşitlik işaretlerini ve artıları yazmak çok sıkıcı olacak.

Asıl önemli olan matris.

Her şey bu matris’de saklı. Ancak gerisinde bu denklemler var. Bakalım yok etme gerçekte ne yapıyor. Yok etme’nin ilk adımı ne? Birinci denklemi kabul ediyoruz, bu tamam.

Şimdi bu denklemi doğru sayıyla çarpıp, doğru çarpanla çarpıp, ikinci denklemden çıkaracağım. Hangi amaçla? Amaç, bu çarpanın ne olması gerektiğini belirleyecek.

Amacımız ikinci denklemin x’ini sistemden çıkartmak.

Demek ki amacımız x’i yok etmek. Buna göre neyle çarparım -- ve yine, matrisle yapacağım, çünkü bu yol kısa.

Burada ki çarpan ne? Birinci denklemi ne ile çarpıp çıkartırım? Dikkat edin çıkartma kelimesini kullanıyorum. Bu tarzı sonuna kadar devam ettireceğim. Bir çıkartma yapacağım.

Öncelikle bu, başladığım anahtar sayı.

Ve buna ‘’pivot’’ diyoruz. Etrafına bir kutu koyup adını yazacağım. Bu birinci pivotumuz.

Birinci pivot. Tamam.

Demek ki şunu kullanacağım -- bu bu denklemin anahtar sayısı gibi. Ve şimdi çarpan ne? Demek ki önce -- birinci satırım değişmeyecek, bu pivot satırı. Ancak bunu kullanacağım -- ve şimdi, sonunda size çarpanın ne olduğunu söyleyeyim. Evet? Üç. 3 kere bu ilk denklem, şuradaki 3’ü halledecek. Tamam.

Bakalım geriye ne bırakacak? Demek ki çarpan 3.

3 kere bu, şuradaki sıfırı verir. Zaten de amacımız buydu. 3 tane 2, 8’den çıkarılınca 2 kalır ve,3 tane 1, bir’den çıkarılınca elde eksi 2 kalır.Ve şu adamcağız değişmedi. Şimdi bir sonraki adım -- bu ileriye doğru yoketme ve bu adım tamamlanmış oldu.

Eh şimdi bana dur bir dakika, sağ tarafa ne oluyor diyebilirsiniz? Devam edeyim mi -sağ taraf aynı şekilde devam ediyor aslında. MatLab, önce sol tarafı halleder, sonra da geri dönüp sağ tarafı halleder. Belki de bir an için MatLab olup aynı şeyi yapmalıyım. Tamam.

Burada ‘’b’’ sütunu için yer bıraktım, yani sağ taraf için.

Ancak daha sonra dolduracağım. Tamam. Şimdi yok etme işleminin bir sonraki adımı ne? Aslında, doğru konuşmak gerekirse, şu temizlediğim 2 1 pozisyonu, satır 2, sütun 1 gibiydi, Yani 2 1 pozisyonunda sıfır elde ettim. İki bir i bu adımın endeksi gibi kullanacağım. Bir sonraki adım sütunu tamamlayıp, şu pozisyonda sıfır elde etmek olacak.

Demek ki bir sonraki adım şu üç bir adamı, 3üncü satır 1inci sütun. Ancak zaten hali hazırda bir sıfırım var. Pekala.

Demek ki çarpanlar sıfır. Bu denklemin sıfır keresini alıp, diğerinden çıkarıyorum ve işim tamam. Dolayısı ile bunu tekrarlamayacağım. Ancak burada – MatLab’ın bakması gerekli olan bir adım vardı, şu sayıya bakıp ve bu adımı yapacaktık, eğer siz önceden sıfır olduğunu söylemediyseniz.

Tamam. Şimdi ne yapacağız. Şimdi ikinci pivotu göreceğiz, bakalım ne olacak? İkinci pivot ... bakalım ... şunu yok ettik … x şimdi bu denklemden çıktı, tamam mı? Şimdi y ve z cinsinden iki denkleme düşürmüş olduk.

Ve şimdi, yine yapıyorum, burada her şey tekrarlanıyor gibi . Bu şuna benziyor – bu çok temel bir algoritma ve bunu daha önce gördünüz, şimdi beni son adım da takip edin. Şimdi bu hala birinci pivot. Şimdi ikinci pivot şu adamcağız, şurada görünen. Ve çarpan ne, doğru olan çarpan? Ve benim amacım ne? 3, 2 pozisyonunu ortadan kaldırmak, doğru mu? Bu 2, 1 adımı idi.

Şimdi de 3, 2 adımını yapacağım.

Demek ki bunların tümü aynı kalıyor, 1 2 1, 0 2 -1 ve pivot’lar da burada. Şimdi bu pivot u kullanacağım, çarpanlar ne? 2

Bu denklemin iki misli, şu satır, şu satırdan çıkarılıp bize sıfır veriyor. Demek ki sıfır, sıfır, ve bu da 5 mi? Evet sanırım 5, değil mi? Çünkü şurada 1’im var ve bunun iki mislini çıkarıyorum, ve sanırım burası 5 olur. Şurada da üçüncü pivotumuz var.

Her üç pivotun etrafına bir kutu koyalım.

Eyvah, yoksa, bir tane eksi bir mi yarattım? Üzgünüm teyp bunu benim yaptığım kadar kolay düzeltemiyor.

Tamam, çok teşekkürler.

Bu dersten A notu alacaksınız demektir. Bu şimdi doğru mu? Tamam mı?

Üç pivotumuz burada -- şimdi bu matris için bir sürü şey biliyorum. A’daki bu yoketme adımı --bu matrise bundan sonra U diyeceğim. U üst üçgensel anlamına gelecek.

Demek ki yok etme, işleminin tüm amacı A’dan U’ya dönüşebilmek. Ve de aslında bu, bilimsel hesaplama alanında en sık yapılan işlem. Ve insanlar bunu nasıl hızlandırabilirim diye düşünüyor. Biz şimdi alışılmış yoldan yapacağız. Üç pivotumuzu bulduk, ve bu arada eklemem gerekir ki pivot olarak sıfırı seçemeyiz. Sıfır bizim için bir pivot değeri değildir.

Ve hiçbir pivotum sıfır değil, dolayısı ile bu matris harika.

Bana üç pivotumu da verdi, özel bir şey yapmam da gerekmedi, sadece kuralları takip ettim, ve pivot değerlerim: 1, 2, ve 5. Bu arada, genelde ileride yapacaklarımızdan hep bahsetme alışkanlığım olduğundan, eğer bu matrisin determinantını bilseydim ... ki bilmek te istemiyorum, ama bu üç pivotu çarpmam yeterli olacaktı. Demek ki determinant 10.

Yani determinant gibi şeyler bile burada var.

Peki, şimdi bir an için işin ters gidebileceği durumdan söz edeyim, sonra iyi duruma geri döneriz. İşler nasıl ters gidebilirdi? İşlerin ters gitmesi ... burada bir kaç nokta var. Örneğin bu ilk sayı sıfır olsaydı, ciddi problemim olurdu.

Eğer bu sıfır olsaydı, bu denklemde hiç X olmazdı---birinci denklemde. Bu problemi çözmeyeceğim anlamına mı gelirdi? Bırakmam mı gerekirdi. Hayır.

Ne yaparım? Satırların yerini değiştiririm.

Satır değiştiriyorum. Demek ki bir 0 olduğunda, pivotum sıfır’dır demeyeceğim. Bunu söylediğimi hiç duymayacaksınız, pivotum sıfır demeyeceğim. Ancak pivot noktasında bir sıfır varsa, o zaman belki bu satırı daha aşağıdaki bir satır ile değiştireceğim ve burası için düzgün bir pivot elde edeceğim.

Peki şimdi bu ikinci pivot 2 çıktı. Sıfır olabilir miydi? Bakalım, şuradaki 8’i biraz değiştiriyor olsaydım, problemim olurdu.

Problem yaratması için bu 8’i ne ile değiştirmem gerekirdi. Altı ile. Bu eğer 6 olsaydı, o zaman şu sıfır olacaktı ve pivot olarak kullanamayacaktım. Ancak belki bir değiş tokuş yapabilirdim.

Peki bu durumdan nasıl kurtulabilirim. Eğer sorun yaratan sıfır’ın altında bir sıfır daha yoksa, durumu kurtarmış olurum. Bakalım ne var? Bu durumda sorunumuz yok. Bu eğer bir 6 olsaydı, bir satır değişimi ile yaşamaya devam edecektim.

Tabii ki bu değişimi yapamayacağım durumlar olabilirdi, şunun altında bir sıfır olsaydı örneğin --- ancak bizim durumumuzda sıfır değildi. Aynı şekilde, şuradaki 1’de biraz farklı olsaydı yine sorun yaratılmış olurdu.

Bakın şimdi 1’i 5 yaptım --- sonucu tahmin edebiliyor musunuz?

Şuradaki sayı ne olsaydı içinden çıkamayacağım bir problem oluşurdu?

Problem dediğim, pivot pozisyonunda bir sıfırımın olması, ve değiş dokuş yapabileceğim bir satırın da bulunmaması durumu.

Demek ki şurada öyle bir sayı olabilirdi ki, bu tam bir başarısızlığa yol açardı. Eksi 4, doğru.

Eğer burada bir eksi 4 olsaydı --- eğer bu -4 olsaydı, şimdilik şuraya koyacağım. Eğer bu -4 olsaydı, aynı adımları takip edecektim. Bu -4 olacaktı, hala – 4 olacaktı.

Ancak en sonda sıfır olacaktı.

Böylece üçüncü bir pivotumuz olmayacaktı.

Matrisin tersini alamayacaktık.

Tabii ki matrisin tersini almayı gelecek hafta göreceğiz, ancak bu kelimeyi daha önce de duydunuz. Demek ki işlerin ters gittiğini bu şekilde anlıyoruz. Eğer satır değiş dokuşu yapabiliyorsak, bu geçici bir durum oluyor, kesin mağlübiyet, sıfır pivot elde edip, altında değişim yapabileceğimiz hiçbir şeyin olmadığı durum.

Tamam. Yine iyi duruma geri dönelim. Sanırım bir sonraki konu, geri koyma yöntemi. Bakalım geri koyma yöntemi ne? İyisi mi sağ tarafı da işin içine dahil edeyim. Bakalım MatLAB ne yapmalı ve biz ne yapmalıyız? Sağ tarafı fazladan bir sütun gibi koyayım.

İşte şimdi b geliyor. Demek ki 2, 12, 2. Buna şimdi genişletilmiş matris diyeceğim. Genişletme, birşeyler ekleme anlamında kullanılıyor. Bir fazladan sütun ekledim Denklemler ile çalıştığımda, her iki tarafa aynı şeyi yapmam gerek. Onun için bu adımda, birinci denklemin iki mislini ikinci denklemden çıkardım, dolayısı ile bu genişletilmiş --- hatta renkli tebeşir bile aldım, ancak gözüküp gözükmeyeceğini bilmiyorum. Demek ki bu genişletilmiş---hayır!!! Kahretsin, yanlış yeri çerçeveledim.

Burada b’miz var, bu fazladan gelen sütunumuz.

İlk adımı yaptığımda, bu ekstra sütuna, denklemlerin sağ tarafına ne oldu? Şunun 3 mislini şuradan çıkarttım, yani aldı -- 2 yerinde kaldı, ancak üç tane 2 oniki’den çıkarıldı, böylece bize 6 kaldı, ve şu 2 de aynı kaldı.

Demek ki işin yarısında elde ettiğimiz görüntü bu.

Sonuna kadar götüreyim.

2 ve 6 aynı kalıyor, ancak --- burada neyim var? Allahım. Bana yardım edin. Ne- ne yapıyorum --- bu hala yok etme işlemi yapıyormuşum gibi görünüyor.

Doğru olduğuna inandığım şu noktaya vardım, ve bu adımda ne yaptım? Şu pivotu 2 ile çarpıp, veya tüm denklemi 2 ile çarpıp şundan çıkardım, dolayısı ile iki tane 6’yı alıyorum, yani 12’yi ve 2’den çıkarıyorum. Eksi 10’un sağ tarafın alacağı son değer olduğunu mu düşünüyorsunuz --- U ile birlikte oluşan sağ taraf, ve buna da hep c vektörü diyeceğim; c vektörü b’ye ne olduğunu, U vektörü de A’ya ne olduğunu gösteriyor. Tamam.

Burada yok etme işlemini açıkça gördünüz.

Şimdi geriye koyma işlemi ne ona bakalım. Son durumdaki denklemlerim neler? Bunları kopyalayabilir miyim? x+2y+z=2 yerinde duruyor ve 2y-2z=6 var, ve de 5z = -10.

Peki. Bunlar, şu sayıların ima ettiği denklemler.

Bunlar UX=c’nin denklemleri.

Peki, nasıl çözerim? İlk önce hangisini çözerim? Hemen z için doğru cevabın eksi 2 olduğunu görebilirim.

Ve sonra ne yaparım? Yukarıya doğru ilerlerim.

Şimdi z’yi biliyorum. Demek ki eğer z eksi iki ise, burada 4 var, tamam değil mi?

Demek ki 2y + 4 =6, belki y=1 olabilir. Bu yönde gitme “geriye koyma” işlemi olarak bilinir.

Bunu havada yapıyoruz çünkü çok kolay. Ve sonra x var --- x’i bulalım; 2y bize 2 verir, eksi 2; belki x iki’ye eşittir. Şimdi “geriye koyma”nın ne olduğunu görüyorsunuz. Tersten giderek denklemleri çözen bir sistem, ve de kolay çünkü matrisimiz üçgensel formda.

Demek ki yok etme ve geriye koyma işlemleri bunlar. Ve hep sağ tarafı da birlikte taşıdım. Şimdi ne yapacağım? Şimdiye kadar olan, dersimizin ilk bölümü gibi.

İkinci bölümü ne? İşin içine matrisler girecek. Daha önce, x’ler, y’ler ve z’ler cinsinden birşeyler yazdım, ve sonra, doğru olan kısa şekli elde ettim, matris elemanlarını yazarak, ve şimdi de yaptığım işlemleri matris cinsinden yazmak istiyorum. Matrisleri hep taşıdım ancak bu yoketme işlemlerini şimdi de matris cinsinden ifade etmek istiyorum. İyi.

Şimdi sıra bunlarda. Bunlar, şimdi yok etme matrisleri. Tamam

Önce ilk adımla başlayayım, bu beni 1 2 1 3 8 1 0 4 1’ den aldı. Bunun üzerinde işlem yapmak istiyorum --- yok etme işlemi uygulayacağım. Tamam.

Şimdi vurgulamam gerekli bir noktayı hatırladım ve bunu öne çıkarmak istiyorum. Bunun için tahtayı yukarı kaldırayım. Çünkü matris işlemleri yaparken, büyük resmi görmemiz gerekir. Tamam.

Geçen sefer bir matris ile sağ tarafı çarptığımda elde ettiğim büyük resimden söz ettim.

Eğer elimde bir matris varsa ve onu [3, 4, 5] ile çarpıyorsam, bakalım --- matrisimiz şurada --- ne söyledim --- sanırım sadece videoteyp’e söyledim, ancak --- matris çarpımına nasıl baktığımı hatırlıyor musunuz? Bir matrisi bir vektörle çarpmak, o matrisin sütunlarının bir bileşimini yaratır. Bu, ilk sütunun üç mislini verir.

Üç kere sütun 1, artı 4 kere sütun 2 artı 5 kere sütun üç. Tamam.

Buna ileride sık sık geri döneceğim.

Şimdi vurgulamak istediğim, aynı şeyin satırlar cinsinden yapılanı. Niye? Çünkü bu dersin ilk iki haftası hep satır işlemleri ile geçti. Bu bir satır işlemi için gerekli değil. Şimdi bir satır işlemi yapayım.

Yine matrisimi ele alayım, ve de sol taraftan --- diyelim ki 1, 2, 7 ile çarpalım. Yine sonucun ne olduğunu soruyorum. Sonra da matris çarpımının nasıl işlediğini söyleyeceğim ve bunun doğru olduğunu göreceğiz.

Belki de şimdi söylediğim --- doğrusal cebirin temel fikri --- matrislerin hem satırlar hem de sütunlar cinsinden nasıl işledikleri. Tamam.

Satırlar cinsinden nasıl işler? Demek ki bu bir satır vektörü.

Buna 1x3 lük bir matris de diyebilirim, 3x3 lük bir matrisi çarpan bir satır vektörü.

Sonuç ne? Bir satır ile bir matrisin çarpımının sonucu ne? Ve --- bir satır. Bir satır --- bir sütun. Özür dilerim.

Bir matris çarpı bir sütün, bir sütun verir.

Demek ki, matris çarpı --- Matris çarpı sütun, sütun verir. Ve hangi sütun olduğunu da biliyoruz.

İşte burada.

Satır çarpı matris’i yapıyorum.

Ve cevap ne? İlk satırın kendisi, 1 kere ilk satır --- ilk satırın kendisi artı 2 tane satır 2 artı 7 çarpı satır üç. Bir matris çarpımı yaptığımızda, bütün vektörler cinsinden ne yaptığına bakın. Ne yapıyor? --- bu durumda yaptığı satırları birleştiriyor. Ve elimizde bir bileşim var, satırların doğrusal bileşimi. Şimdi de bunu kullanmak istiyorum.

Şimdi sorum şu: ilk adımı yapacak olan matris hangisi, yani --- ikinci denklemden, birinci denklemin 3 mislini çıkartma işlemini yapan matris. Yapmak istediğim bu.

Demek ki bu matris birinci satırın üç mislini ikinci satırdan çıkaracak, ve diğer satırları aynı bırakacak. --- Cevap bu olacak. Bu matris hangisi olacaksa --- ve sizin bu matrisin nasıl olacağını bana söylemenizi istiyorum --- aradığımız matris, birinci satırı ve üçüncü satırı aynı bırakacak, ancak birincinin 3 mislini şuradan çıkararak, şu pozisyona bir sıfır yerleştirecek, sonrası da bir 2 ve bir de eksi 2.

İyi. Bunu hangi matris yapacak? Bunlar. Basit bir matris olmalı, çünkü yaptığımız da basit bir işlem.

Bir tek ikinci satırı değiştiren bir işlem yapıyoruz.

Dolayısı ile birinci satır değişmiyor.

Söyleyin bakalım, matris nasıl başlamalı?

Öncelikle --- birinci satır 1, 0, 0 olmalı çünkü böylece matrisin sadece birinci satırını alıp diğerlerine dokunmuyoruz, istediğimiz de bu.

Matrisin son satırı ne olacak? 0, 0, 1 çünkü bu da üçüncü satırın kendisini alıp, diğerlerinde bir değişiklik yaratmıyor. Anlaştık.

Şimdi hiç bir şey yapmak istemediğimi düşünelim.

Şimdi şu satırda --- belki de şu noktada bir sıfırım olabilirdi, ve o zaman da birşey yapmam gerekmezdi.

Hangi matris, çarpıldığında elinizdeki matrise hiç bir değişim yaratmaz ona bakalım. Şuraya --- [0,1,0 ] koyarsam --- bunu elde ederiz --- ve bu hangi matris olur, adı neydi bu matrisin? Birim matris. Demek ki birim matrisle işlem yaptığımızda hiç bir şey değişmez.

Her şeyi çarpıp, olduğu yerde bırakıyor.

Bu, sayılardaki 1 gibi işlev görüyor, sanki matrislerin 1 karşılığı gibi düşünebilirsiniz. Ancak bizim durumumuzda istediğimiz bu değil, çünkü biz bu satırı değiştirmek istiyoruz --- demek ki doğrusu ne --- doğrusunu yapmak için şuraya ne koymalıyım? Ne elde etmek istiyorum? Elde etmek istediğim, peşinde olduğum—birinci satırın 3 mislini çıkartmak.

Demek ki doğru matris ne? Matrisi tamamlayın lütfen.

Eksi 3 şuraya geliyor. Ve buraya gelen ne? Şu 1. Ve burası ne olur. Sıfır. Bu işte istediğimiz matris.

Bu matris şimdi birinci satırın üç mislini alıp, ikinci satıra ekleyip, yeni bir 2inci satır üretiyor. Bunu kontrol edelim mi? Herhangi bir elemanına bakalım. Bir matris çarpımında, sonuç matrisin herhangi bir elemanını nasıl kontrol ederim? Örneğin ikinci satır ve üçüncü sütundaki elemanı kontrol etmek istediğimi varsayalım.

Satır iki ve sütun üçteki eleman nereden geliyor? Bu eleman için şu adamın ikinci satırını alıp, şununkinin üçüncü sütununa bakacağım. Bu sayı ikinci satır ve üçüncü sütundan geliyor ve skaler çarpımını alıyorum; eksi 3 --- şimdi çarpıyorum --- eksi 3 artı 1 ve sıfır bana 2 veriyor.

Doğru çalıştı. Demek ki matrisleri çarpabileceğimiz farklı yöntemler var elimizde. Neler var gözden geçirelim. Sütunlar cinsinden çarpımımız --- sütunlar cinsinden, satırlar cinsinden, her seferinde bir elemanı elde ediyoruz.

Matris çarpımını matrislerden biri bu kadar kolayken görmek iyi oldu. Bu adam bizim elemanter matrisimiz. Buna E diyelim, elemanter veya yok etme anlamında. Ve şimdi 2 1 endeksini koyayım, çünkü 2 1 pozisyonunun sabitlemek istiyorum. Biz şimdi 2 1 pozisyonundaki elemanı sıfır yapacak matrisi istiyoruz. Tamam, şimdi sıra neye geldi? Bir tane daha matrise ihtiyacım var. Demek ki bir işlem daha yapmalıyım, bir aşama daha var.

Ve bütün yok etme işlem dizinini matris dilinde ifade etmek istiyorum. Şimdi söyleyin bakalım—bir sonraki aşama, ikinci adımımız ne olacak? Çıkartma --- yapmış olduğumuz işlem neydi? Sanırım çıkartma yaptım --- hatırlıyor musunuz? Pivotumda 2 vardı ve altında da 4 vardı, dolayısı ile --- birinci satırın iki mislini üçüncü satırdan çıkardım. Üçüncü satırdan. Bunu yapacak olan matrisi söyleyin bana. Ve adını da söyleyin. Tamam adı E olacak, elemanter veya yoketme karşılığı ve kullanmam gerekli endeks ne olacak? E 3 2. Değil mi? Çünkü 3 2 pozisyonunu sabitliyor.

Ve şimdi matrisimiz ne? Hatırlamanız gerekir --- E 3 2, şu adamımı çarpmalı ve de doğru sonucu yaratmalı --- yani birinci satırı olduğu gibi bırakmalı, ikinci satırı da bırakmalı ve de üçüncü satırı buna dönüştürmeli.

Ve bunu yapan matris hangisi? 1, 0, 0, değil mi? Çünkü birinci satırı değiştirmiyoruz ve diğer satırı da değiştirmiyoruz, değiştirmek istediğimiz üçüncüsü.

Ve ne yapıyorum? Bakalım, önce şunun iki mislini çıkarıyorum --- burada ne olacak? Sıfır, çünkü birinci satır değişmiyor.

Sadece 3 2 pozisyonunda, değil mi? Anahtar sayı bu, çarpanın eksisi --- şu 3 2 pozisyonunda oturan.

Eksi 2 mi olmalı, 2’yi çıkarmak için ve de bu 1 olmalı--- ve sonuç olarak, şu satırın eksi iki mislini alıp, bunun kendisine eklemek oluyor. Tamam.

Şimdi size parçaları vermiş oldum. Her bir işlemi üreten elemanter matrisleri veya yok etme matrislerini verdim.

Şimdi sırada ne var? Dersin bu bölümünde tüm işlemleri bir araya getirecek matrisi üretmeye çalışacağız.

Şimdi bütün yaptıklarımı --- şu ana kadar yaptığımız herşeyi toparlayacağım. A ile başladık, E 2 1 ile çarptık, bu bizim ilk adımımızdı --- ve sonra da elde ettiğimiz sonucu E 3 2 ile çarptık ve bu işlem dizini bizi nereye götürdü? Şu matrise, U matrisine. Matris gösterimini niye sevdiğimi anlıyor musunuz, ufacık bir yerde, web üzerinde birkaç bitte, tüm bu derste yaptıklarımızı gösterebiliyorum.

Güzel. Şimdi matris çarpımı ile ilgili önemli noktalar var.

Belki de en önemli noktaya yaklaşmış olduk.

Ve önemli nokta şu. Şu soruyu sorduğumu düşünelim. A matrisi ile başladığımı düşünün ve buradan U matrisini elde etmek istediğimi ve tüm işi bu U matrisinin yaptığını söylemek istiyorum. Beni A’dan U’ya getiren matris hangisi? Ve cevap kolay.

Bunu aslında sormak istemiyorum --- ancak çok önemli.

Tüm işi aynı anda, tek adımda yapacak matrisi nasıl üretebilirim, tüm yok etmeyi bir kerede yapacak olan matrisi? Bakalım --- bütün bunları birleştireyim --- Söylemek için çırpındığım şey şu.

Bu parantezleri ortadan kaldırabilirim. Eğer matrisleri doğru sırada tutarsam ---matrislerin sırası ile oynayamam, ancak çarpma sırasını değiştirebilirim.

Önce şu ikisini çarp --- şu parantezlerin ne yaptığını görüyor musunuz? Söyledikleri ... önce E’leri çarp, ve bu işlem, size tüm işi tek seferde yapacak olan matrisi verecek.

Tamam. Bu gerçek, yani şunun bununla otomatik olarak eşit olması --- her matris için geçerli. Aslında detayları söylemediğimin farkındayım ancak işleyişini görüyorsunuz ---ve bu çok önemli --- ve belki de matrisler için bu kuralı ifade eden uzun kelimeyi söyleyebilirsiniz, parantezleri değiştirebileceğiniz kuralı. Bu kuralın adı birleşim kuralı.

Şimdi bunu unutabilirsiniz.

Ancak kuralı unutmayın sakın. Demek istediğim, birleşme kelimesini unutabilirisiniz. Bilmem!!

Ama kuralı unutmayın. Çünkü doğrusal cebirde o kadar çok işlem, o kadar çok ispat göreceğiz ki, çoğu parantezlerin yer değişimine dayanacak. Ve her zaman, bunun doğru olduğunu ispatlamak kolay olmayabilir, matris çarpımının yorucu detaylarına girmelisiniz, iki türlü yapıp aynı sonucu elde ettiğinizi görmelisiniz.

Belki de bu işi yazara bırakacağım.

Evet, şimdi başlıyoruz.

Tek bir matris olsun ve buna E diyelim --- hazır bu matrisler için konuşurken başka bir matris söyleyin --- bir başka tür elemanter matris var ki, daha önce de kullanmamız gerekebileceğini söyledik.

O zaman kullanmamız gerekmemişti. Ancak sözkonusu matris, iki satırın değişimini sağlayan matris. Bunun adı bir permütasyon matrisi. Bana bu matrisin ne olabileceğini söyleyebilir misiniz? Şimdi birazcık konudan uzaklaşıp --- şuna uğraşayım --- permütasyon matrisini nereye koymam gerekeceğine bakayım.

Gördüğünüz gibi aralara hep birşeyler sıkıştırıyorum.

Demek ki permütasyon. Veya aslında bu satırların değiş tokuşunu yapacak olan, hayatımı kolaylaştırmak için birinci ve ikinci satırın yerini değiştireceğim. Demek ki elimde matrisim olsaydı --- hayır --- iyisi mi iki’ye iki’lik bir matris yapayım.

|a b; c d|. Bu satırların yerini değiştiren matrisi bulmaya çalışayım. Nedir bu matris? Bu satırların yerini değiştiren matris --- istediğim satır c d ve o burada.

Bunun kendisini alayım. Ve istediğim satır şu yukarıda olmalı, demek ki bunun da kendisini alayım. Aslında, kolay yoldan --- matrisim bu, ben buna permütasyonun karşılığı olarak P matrisi diyeceğim. Bu matrisi bulmanın kolay yolu, şu işlemi birim matrisi üzerinde uygulamak. Birim matrisinin satırlarını değiştir ve bu matris size satır değişimini yaratacak olan matris olur.

Satır yerine sütunları değiştirmek istediğimi varsayalım. Bugünkü dersimizde sütunlardan hiç söz etmedik, ancak önümüze çıkacaklar. Ne yapmam gerekirdi --- eğer matris ile başlasaydım ---yazmaya bile gerek duymuyorum, sadece soruyorum, çünkü yok etme işlemini satırlar üzerinden yapıyoruz.

Ancak matrisin sütunlarının yerini değiştirmek istediğimizi varsayalım. Bunu nasıl yapardım? Hangi matris çarpımı bu işi yapardı? Haydi yazayım hiç olmazsa.

Şunu yapacağım, şurada yazıp sonra da saklayacağım.

Diyelim ki [a b ; c d] matrisim var ve de [a c]’nin şuraya, [b d]’nin de şuraya geçmesini istiyorum. Bu işi hangi matris yapar? Bunu yapacak olan bir matris oluşturabilir miyim? Elimi koyduyum noktadan da görebildiğiniz gibi, sorduğum şu, sol tarafa bir matris koyup, sütun değişimini yaratabilir miydim? Ve cevap HAYIR.

Tekrar şu noktayı vurgulamam gerek, sol taraftan çarpım yaptığımda satır işlemi gerçekleştiriyorum.

Demek ki sütun işlemi yapmak istediğimde, permütasyon matrisini hangi yana koyarım? Sağ tarafa.

Eğer şuraya koyarsam, aslında yerim de sıkışık --- birim matrisimin iki sütunun yerini değiştireceğim.

Bu durumda sonuç doğru çıkar, çünkü şimdi her seferinde bir sütunu çarpmış olurum. Bu birinci sütun ve bize bunun kendisini al --- şu sütundan hiçbirşey alma --- şunun kendisini al, ve sonucu elde ettin.

Şurada ise, bunun kendisini al, şundan bir şey alma ve burada da bir c var. Kısacası, sütun işlemleri yapmak için, çarpan matrisin sağ tarafa konulması gerekir. Satır işlemi yapmak için ise, soldan çarpmak gerekir. Peki, aslında yaptığımız sadece satır işlemleri.

Tamam. Ve tabii ki söz arasında söylediğim halde, şimdi daha açık bir şekilde yine söyleyeyim, matrislerin yerini değiştiremezsiniz.

Ve burada da tam bunu vurgulamak istiyorum.

A çarpı B, B çarpı A ile aynı şey değil. Bu matrisleri Gauss sırasında tutmalısınız, tamam mı? Ancak parantezleri oynatabilirsiniz, kısacası sıra değiştirmenize olanak veren değişme kuralı matrisler için çalışmıyor.. Demek ki doğru sırada tutmalıyız. Tamam.

Sonra ne geliyor? Bu çarpımı yapabilirdim.

E 3 2’yi yapabilirdim. Geri gelip ne olduğuna bakayım. Burada E 2 1 var.

Ve işte E 3 2 burada. Ve bu iki matrisi birlikle çarparsam --- E 3 2 ve sonra E 2 1, yok etmeyi yapan tek bir matris elde ederim. Bunu yapmak istemiyorum – bu çarpımı yapacaksam – bunu yapmanın daha iyi bir yolu var. Ve böylece bugünkü dersin son bir kaç dakikasında, bunu daha iyi bir yolla yapmayı umuyorum. Daha iyi yol A’dan U’ya nasıl gideceğimi değil, U’dan A’ya nasıl geri döneceğimi düşünmektir. Yani adımları tersten yapmak işin içine girecek. Ters --- burada ters kelimesini kullanacağım. Tamam. Ters matris nedir konusunda ilk adımı atayım. Tahtada gördüğünüz bütün matrislerin tersi var. Buraya tersi olmayan hiç bir matris yazmadım.

Başarısız olabileceğimiz durumlardan söz ettik, bir an için, başarısızlığa yol açacak matrisi koyalım.

Şu an için, tüm bu matrisler gayet düzgün, hepsinin tersi var. Ve terslerini alalım, öncelikle tersin ne anlama geliyor söyleyeyim ve onu bulalım? Tamam. Şimdi yavaş yavaş matris tersine doğru yol alıyoruz. Tamam, böylece bu günün son anlarındayız. Üzgünüm.

Tamam... Matris tersleri.

Pekiyi, sadece bir örnek yapıp orada bırakacağım. Alacağım örnek şuradaki E matrisi olacak. Matrisim 1, 0, 0 ; -3, 1, 0 ve 0, 0, 1. Ve bu adımı geriye çevirecek matrisi arıyorum. Bu adım neydi? Birinci satırın üç mislini ikinci satırdan çıkarmıştık.

Beni geri getirecek matris hangisi? Hangi matris beni geri getirir --- biliyorsunuz eğer 2 ,12, 2 ile başlayıp, bunu 2, 6, 2’ye çevirmişsem, şimdi yine 2, 12, 2’ye geri dönmek istiyorum.

Şimdi---yok etme işlemini geriye işletecek matrisi bulmak istiyorum, yani şu matrisle çarpılıp, birim matrisi verecek olan matrisi bulmam gerek.

Önce sözlü olarak ne yapmamız gerektiğini söyleyin, sonra da bunu yapacak olan matrisi yazarız.

Eğer bu adımda ikinci satırdan birinci satırın üç mislini çıkarırsam, bu adımın tersi ne olur? Birinci satırın 3 mislini ikinci satıra eklerim değil mi? Geri eklerim yani.

Çıkarmış olduğumu şimdi yeniden ekliyorum.

Bu durumda matrisimin tersi --- şimdi birinci satırın 3 katını, ikinci satıra eklemek istiyorum, dolayısı ile birinci satıra dokunmayacağım. Üçüncü satıra da dokunmayacağım, sadece birinci satırın 3 mislini ikinci satıra ekleyeceğim.

Bu matris tersinin olduğu belirgin bir durum.

Ne yapılacağını sözle söylemek kolay, çünkü bunun yaptığı basitçe ifade edilebilir. İkinci satırı, birinci satırın 3 misli çıkartılarak değiştirildi. İşlemi geri döndürmek için bu yönde gidiyorum. Ve eğer bu işlemi yaparsak, bu satırın 3 misli artı bu satırın kendisi, birim matrisin doğru satırı elde edilmiş olur.

Tamam, demek ki matris tersi --- bu matris E olsa, ve de bu da I olsa yani birim matris, bu adam için kullanacağımız gösterim ne? E üstü eksi 1.

E’nin tersi, peki.

Bugünlük bu kadar. Kısacık da olsa gelecek derste işleyeceğimiz konuya bir göz atmış olduk. Pazartesi görüşürüz.