MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 22

Tamam. Başlayalım mı? Bu özdeğerler üzerine ikinci dersimiz.

İlk dersimizde ---anahtar denkleme, Ax=lambda x e ulaşmıştık. x özvektör ve lambda’lar özdeğerlerdir. Şimdi bunları kullanalım.

Ve onları bulduktan sonra –peki, yani ilk işimiz özdeğerleri ve özvektörleri bulmak olacak. Şimdi onları bulduktan sonra, onlarla ne yapacağız? Güzel, bunu görmenin iyi bir yolu matrisi köşegenleştirmektir. Matrisimiz A olsun.

Ve her şeyden önce bunun önemli bir nokta olduğunu göstermek istiyorum. Bu, yani bu formülün.

Bu, bugünkü dersin kilit noktası bu olacak.

Bu matris A, onun özvektörlerini bir S matrisinin sütunlarına koyacağım. Yani S özvektörler matrisi olacak. Ve şu S ters A S büyülü bileşimine bakacağım. Size bunun nasıl olduğunu – burada ne olduğunu gösterebilir miyim? Ve farkındaysanız, burada bir S Ters var. Bu özvektör matrisi S in tersini alabiliyor olmalıyız. Bunun için, n tane bağımsız özvektörümüz olmalı.

İşte durum budur.

Tamam. Yani A’ nın n tane linear bağımsız özvektörü olduğunu varsayalım. Bunları bu S matrisinin sütunlarına koyalım. Doğal olarak buna özvektör matrisi diyeceğim. Çünkü onun sütunları içerisinde özvektörler var.

Ve tüm yapmak istediğim A kere S çarpımını yaptığınız zaman, ne olacağını size göstermek. Yani A çarpı S. Dolaysıyla bu A çarpı, birinci sütununda onun ilk özvektörü, ikinci sütunda onun ikinci özvektörü, n-inci sütununda onun n-ninci özvektörü olan matris olur.

Ve bu matris çarpımını nasıl yapacağım? İyi, kesinlikle her seferinde bir sütun yapacağım.

Ve ne elde ederim. A çarpı birinci sütun bana cevabın birinci sütununu verir, fakat bu nedir? Bu bir özvektördür. A çarpı x1 eşit lambda çarpı x1. Ve bu lambdalara, tabii ki lambda bir diyeceğiz.

Yani bu birinci sütun. Ax1 lambda bir x1 ile aynıdır. Ax2 lambda iki x2 dir.

n-inci sütuna kadar böyle devam edersek şimdi (lambda n) xn i elde ederiz.

İyi gözüküyor, ama bir sonraki adım daha da iyi.. Bu durumda bir sonraki adım için, şu çarpan rakamları, yani şu özdeğerleri x-lerden ayırmak istiyorum.

O zaman istediğimi elde edeceğim.

Tamam, Nasıl ayıracağım? Demek ki, bu lambda 1 sayısı birinci sütunu çarpıyor. Yani onu birinci sütunun dışına çarpan olarak almak istersem, buraya bir x1 koysam iyi olacak, ve bu matris ilk elamanı lambda_1 ve diğerleri sıfır olan birinci sütun ile çarpılacak.

Bunu gördünüz mü? Bu birinci sütun için doğru olanı verdi. Çünkü nasıl olduğunu hatırlayalım. Nasıl bu orijinal can alıcı noktaya geri dönüyoruz?

Şayet x1 i çarpan bir sayı istiyorsam, o zaman bunu, x1 i şu birinci sütuna koyar ve o sayıyı da şuraya koyup yapabilirim. Burada ne olacak? Lambda olacak--- x1, x2, ..., xn olacak. Bunlar tekrar benim sütunlarım da olacak. Tekrar S’yi elde ediyorum.

S yı tekrar elde ettim. Ama şimdi o neyle çarpılmış? Sağdan neyle çarpılmış? Eğer son sütunda lambda_n –x_n olmasını istiyorsam, onu nasıl yaparım? Lambda n yi en alta koyarım ve o bu n-inci sütun ile çarpılarak bana burada lambda_n x_n yi verir. Gördüğünüz gibi matris çarpımı bizim için çalışıyor.

Böylece AS ile başladım, bunun ne olduğunu aşağıya yazdım, A kere her bir özvektördür. Bu bana lambda kere özvektörleri verdi.

Ondan sonra lambdaları ayırdığımda, burada onlar sağ taraftalar, böylece matrisim S yi tekrar elde ettik. Ve bu matrisi, köşegen matrisi, özdeğer matrisini, büyük lambda olarak adlandırdım.

Matrisler için büyük harfleri kullanacağım ve lambda bunu, burada bulunan şu özdeğerleri hatırlatır.

Köşegenler üzerinde oturan özdeğerleri görüyor musunuz? Eğer şuradaki sütunda köşegen üzerinde x2 yi isteseydim, lambda_2 nin 2, 2 pozisyonunda olmasını isterdim, köşegen pozisyonunda, bu x2 ile çarpılınca lamda_2 kere x2 yi verir.

Bu AS = S büyük lambda formülümüz olur.

Tamam görüyorsunuz, bu sadece işlem yapmaktır. Şimdi tekrar söylüyorum, bu iş n – bağımsız özvektörlerle olur.

Bunların hepsi bu; şekli de çok güzel, aynı özdeğeri tekrarlıyor olabilirim, ama – bununla ilgilenmiyorum.

S nin tersini almak istiyorum, bunlar burada devreye giriyor.

Bu n doğrusal bağımsız özvektörler ise, bu matrisin terslenebilir olduğunu söylememde devreye giriyor. Sonraki tahtaya, nelerimizin olduğunu yazayım. AS eşit S lambda.

Ve şimdi ben, soldan S’nin tersi ile çarpabilirim. Bu durumda gerçekte bunu yapabilirim, yeterki S tersi alınabilir olsun. Bu n özvektörlerin doğrusal bağımsız olduklarında sağlanır. Ve geçen dersin sonunda söyledim ve tekrar söylüyorum --- doğrusal bağımsız özvektörü olmayan çok az sayıda matrisler vardır. Bunu, bu teknik noktayı tartışmalıyız, ama güzel olan gördüğümüz bir çok matrisin n tane doğrusal bağımsız özvektörleri var, ve köşegenleştirebiliriz. Bu köşegenleştirmedir.

Onun tersini de yazabilirim ve bunu sıklıkla yapacağım. S nın tersi ile sağdan çarparsam, şu yukarıdaki denklemi alıp S’in tersi ile çarparsam, burada A kalır. Şimdi S nin tersi sağdan geliyor. Böylece şu ikisini düz tutabilir misiniz? Yani A kendi özvektörlerini çarpar, bu şekilde onları düz tutarım.

Böylece A S yi çarpar, A, S yi çarpar.

Ve o zaman S nin tersi bütününü köşegen yapar.

S yi denklemin diğer yanına koymak aynı şeyleri söylemenin başka bir yoludur. A eşit S Lambda S ters olur. Böylece bu yeni çarpanlara ayırmadır.

Bu yok etmeden LU veya Gram – Schmitt deki Q R nin yerine geçer. Ve bu bir matris kere bir köşegen matris kere ilk matrisin tersidir. Bu, bu bölüm boyunca göreceğimiz bileşimdir.

Bu bir S ve bir S tersin bileşimidir.

Tamam, bunu kullanmaya başlayabilir miyim? Örnek olarak, A kareye ne dersiniz?

A kare’nin özdeğer ve özvektörleri nelerdir? Bu kesinlikle direk ve temiz cevaplı bir soru.

Böylece A kareyi göz önüne alalım.

Yani Ax eşit lambda x ile başlarım.

Ve A kare için başlayalım. Solda A kareyi elde etmenin bir yolu, iki yanı A ile çarpmaktır. Yani ..bunları buraya yazmalıyım. Eğer Ax eşit Lambda x ise, o zaman A ile çarparım, Böylece A kare x eşittir …iyi, A ile çarpıyorum, lambda Ax. Bu lambda bir sayı idi, böylece sadece onu sola koydum. Ve ne yaptım? Bana söyleyin, bunun daha iyi görünmesini nasıl yaparım? A nın özdeğeri lambda ve özvektörü x olduğunda burada ne elde ettim, A kare ne oldu? A kare x, sadece A ile çarptık, ama şimdi Ax yerine lambda x koyacağım.

Böylece, bu basit hesaplamadan, lambda kare x elde ettik. A karenin özdeğerlerinin lambda kareler olduğu sonucu ortaya çıkar. Ve özvektörler ..her zaman bunların her ikisi hakkında düşünürüm.

Özdeğerler için ne söyleyebiliriz? Onlar karelenmişler. Özvektörler hakkında ne söyleyebiliriz? Onlar değişmedi. A için olan x değişmedi. Şimdi bunu bu formülden tekrar görelim. Bu formülden A karenin neye benzediğini nasıl görürüm? Peki yapalım…Onu yapmanın bir yolu vardı. Şuradan sadece A kareyi alarak yapalım. A kare = S Lambda S ters. Bu A dır, çarpı S lambda S ters – işte A, ki o ne? Özdeğerlerin, özvektörlerin güzelliği buradadır. S ters ve S bize birim matrisi verir, dolayısıyla S (lambda kare) (S ters) i elde ettim. Bunun bize ne söylediğini görüyor musunuz? Bu bize burada biraz önce öğrendiğimiz şeyin matris formundaki halini söylüyor.

Bu bize S nin değişmediğini, özvektörlerin değişmediğini, ama özdeğerlerin karelendiğini söylüyor.

Çünkü bu -- lambda kare nedir? O hala köşegen. Köşegenlerinde lambda_1 kare, lambda_2 kare, lambda_n kare ye kadar olan köşegen bir matristir. Bunlar, biraz önce öğrendiğimiz gibi, A kare nin özdeğerleridir. Tamam mı?

Böylece, bu özdeğer ve özvektörler bir şekilde bir matrisin içerisinde gerçekte ne olduğunu görmemizi sağlıyor.

Tabii ki buna A nın K-nıncı kuvvetine kadar devam edebiliriz. Eğer çarparsam, bunların K tanesini birlikte çarparsam, ortadaki S tersi S nin devamlı sadeleştiklerini görüyorsunuz. En solda dışarıda bir S ve ortada lambda’nın K defa çarpımı, ve S ters olacak.

Peki bu bize ne söylüyor? Bu bize diyor ki A nın K nıncı kuvvetinin özdeğeri, A’nın özdeğerinin K nıncı kuvvetidir. A küpün özdeğerleri A nın özdeğerlerinin küpüdür.

Ve özvektörler hep aynı, hep aynı.

Böylece, başka bir deyişle, özdeğerler ve özvektörler, bir matrisin kuvvetlerini en iyi şekilde anlamamıza yol acıyorlar. Bir matrisin karesini veya yüzüncü kuvvetini aldığımızda, pivotlar her yerde vardır.

L U, Eğer LU yu kendisi ile yüz defa çarpsam, yüz tane L U elde ederim. Onlarla hiçbir şey yapamam.

Ama S Lambda S tersi kendisi ile yüz defa çarparsam, özdeğerler resmine yüz defa baktığım zaman, içerideki bu adamların yüz defa…..ya da doksan dokuz defa sadeleştiğini, ve A nın yüzüncü kuvveti olarak S lambdanın yüzüncü kuvveti S tersi olduğunu görürüm. Yani, özdeğerler daha önce hiçbir şekilde yaklaşamadığımız bir matrisin kuvvetleri hakkında bize bilgi verir. Örnek olarak, bir matrisin kuvveti ne zaman sıfıra gider? Belki bu matrisi kararlı olarak adlandırmalıyım.

Böylece bir teorem yazabilirim.

Burada bu özdeğer resimlerinden bu büyük gerçeği elde ettiğimi vurgulamak için bu kelimeyi kullanıp onu bir teorem gibi yazacağım. Tamam.

K değiştikçe, büyüdükçe hangi şartlarda A nın k ıncı kuvveti sıfıra yaklaşır? Bir matrisin kuvvetlerinin sıfıra gittiğini nasıl söylerim? Bu bilgi matrisin içerisinde bir yerde saklı. Bu bilgi pivotlardan elde edilemez.

O bilgi özdeğerlerinde bulunur.

A nın gittikçe büyüyen kuvvetlerini aldığımda, bu matrisin gittikçe küçülmesi için neyi bilmeye ihtiyacım var? Şimdi, S ve S ters aynı kalıyorlar. Yani küçülmek zorunda olan, bu adam. Bütün özdeğerlerin sağlaması gereken – peki istenen ne? Özdeğerlerin birden küçük olması.

Şimdi bunu mutlak değer olarak yazacağım. Çünkü bu özdeğerler karmaşık sayı yada negatif olabilir. Dolaysıyla mutlak değer alacağım. Bunların hepsi birden küçükse, bunun aslında niçin olduğunu rahatça görüyoruz. Burada söylemeliyim ki işlemlerimi tek bir varsayım üzerinde yapıyorum -- ve varsayımımın hala geçerli olduğunu hatırlamak zorundayım.

Varsayımımız n-tane bağımsız özvektörlerimizin varlığı idi.

Bu olmadığında, bu yaklaşım çalışmaz. Tekrar ediyorum. n-tane bağımsız özvektörlerimiz yoksa, matrisi köşegenleştiremeyiz, yani köşegen matrisimiz olmaz. Köşegenleştirme S nin tersinin anlamlı olması durumunda mümkündür.

Tamam, şimdi kaldığımız noktadan devam edelim mi? Ne elde ettiğimizi ve niçin istediğimizi görüyor musunuz? Çünkü bir matrisin kuvvetleri hakkındaki bilgiyi özdeğerlerinden hemen elde ediyoruz.

Tamam, hangi matrisler köşegenleştirilebilir işi üzerinden devam edeyim.

Bu uzun kelime için üzgünüm. Yani önemli fikir şu.

A nın ---n tane bağımsız özvektörü kesinlikle olmalı ve şimdi önemli olan kelime geliyor, eğer köşegenleştirilebiliyorsa, belki bu güzel durumu açıktan elde ederim.

Güzel durum--- bütün lambda’lar farklı olduğundaki durumdur.

Bunun anlamı, tekrarlanan özdeğerlerin olmamasıdır. Bu güzel durumdur.

Matrisimiz, ve fazlası ..Matlabda rasgele bir matris alsam ve onun özdeğerlerini hesaplatsam, ...Matlab da “eig of rand of 10, 10” komutunu verirsem -- bu Matlab komutunu versem, on’a on’luk rastgele bir matris ve onun on tane özdeğerlerinin bir listesini elde edebilirim. Ve onlar farklı özdeğer olurdu. Onlar için en iyi kelime farklı olurlardır . Rastgele seçilmiş bir on’a on’luk matrisin on tane farklı özdeğeri olurdu. Ve bu olduğunda, özvektörler otomatik olarak bağımsız olurlar.

Yani bu güzel bir gerçek. İspatı için ders kitabını öneririm. Yani, Bu A nın, bütün özdeğerleri farklı olduğunda, kesinlikle n- tane bağımsız özvektörleri olur. Bazı özdeğerler tekrarlanıyorsa, o zaman biraz daha yakından bakmalıyız. Eğer tekrarlanan bir özdeğer varsa, bakmalıyım, saymalıyım, kontrol etmeliyim. Dolayısı ile bunun için olasılık ne….burada tekrarlanma olasılığı. Ve, sonucu vurgulayayım. Tekrarlanan özdeğerimiz varsa, n bağımsız özvektörünüz olabilir de olmayabilir de.

Olabilir, bilirsiniz, tamamen olumsuz bir durum değil.

Bir birim matris ..varsayalım ki 10’a 10’luk birim matrisi aldık. Bu matrisin özdeğerleri nelerdir? En kolay matris, birim matrisi aldık.

Onun özdeğerine baktığımda, hepsi birdir.

Yani bu bir olan özdeğer 10 defa tekrarlanmış.

Fakat birim matrisin özvektörlerinde bir eksilme yok. Gerçekten, her vektör bir özvektördür. Yani on bağımsız vektör bulabilirim. Oh, güzel, her şeye ne oldu? A bir birim matrise, bunu biraz düşünelim?

A bir birim matris ise, o zaman onun yeteri kadar özvektörü var. On bağımsız özvektör seçerim. Bunlar S nin sütunlarıdır.

Ve, ve S ters A S den ne elde ederim? Tekrar birim matris elde ederim, değil mi? A birim matris ise --ve tabii ki bu doğru lambda olur. Yani matris zaten köşegen ise, o zaman lambda bu matris ile aynıdır. A köşegen matrisinin özdeğerleri şurada hemen gözünüzün önünde duruyor.

Şimdi eğer o üçgensel ise, özdeğerler hala şurada duruyorlar, ama yani onun üçgensel olduğu durumu alalım. A nın 2 1 2 0 gibi olduğunu varsayalım. Burada sorun olacak bir durum var -- burada sorun olacak bir durum var. Öncelikle, nedir bu sorun ---Yani, biz sadece ---eğer bir matris ile başlıyorsak, hiç düşünmeden ilk yapılacak iş, özdeğer ve özvektörleri hesaplamak olmalı.

Tamam, yani özdeğerler nelerdir? Onların ne olduğunu bana hemen söyleyebilirsiniz.

Onlar iki, iki, doğru.

Bu üçgensel bir matris, dolaysıyla bu determinantı aldığımda, A eksi lambda I’ nın determinantını alalım mı? Böylece bu determinantı hesapladığımızda, Bu (2 eksi lambda) 1; 0 (2 eksi lambda) olur, değil mi? Bu determinantı al, böylece şu dikey çubukları determinantı göstermek için yaptım.

Ve determinant nedir? (2 eksi lambda)’nın karesi. Kökler nedir? Lambda 2 tane 2 ye eşit.

Yani özdeğerler, lambda = 2 ve lambda = 2 dir. Tamam, güzel. Bir sonraki adım, özvektörleri bulmak olacak. Yani özvektörler arıyorum ve bu arkadaşlar için ne buldum? Bu arkadaşlar için özvektörler, (eksi iki) kere birim matrisi çıkarttığımda, yani A eksi 2 I burada sıfır olur.

Ve sıfır uzayını arıyorum.

Özvektörler nedir? Onlar -- (A –Lambda I)’nın sıfır uzayıdır. Bu sıfır uzayı sadece bir boyutludur. Bu, yeteri kadar özvektörlerin olmadığı durumdur. Bizim cebirsel katsayımız iki dir. Söylemeliyim, özdeğerlerin hangi sıklıkta tekrarlandığını saydığımızda, bunu gördüğünüz zaman buna cebirsel katsayı deriz.

Bu katsayı, bir polinomun bir kökünün kaç kere tekrarlandığıdır? Polinomunuz (iki eksi lambda)’nın karesi olup, katlı kökümüz var.

Böylece cebirsel katsayımız ikidir.

Ama geometrik katsayımız -- ki vektörlere, özvektörlere bakar ve bunun anlamı bu şeylerin sıfır uzayı olup, ve tek özvektör (1,0) dir. Yani sıfır uzayında.

(0, 1) bu sıfır uzayında değil.

Bunun sıfır uzayı sadece bir boyutlu.

Yani bir matris var, bizim A matrisi ya da orijinal A, ki o köşegenleştirilemez. İki bağımsız özvektör bulamıyorum. Sadece bir tane var.

Tamam, böylece bu durum benim ---bu durumu halledemiyorum.

Örnek olarak, özdeğerler birden küçükse, bunun kuvvetlerinin sıfıra gittiğini şuraya bir yere yazdığım zaman, tekrarlanan özdeğerler durumunda gerçekten bunu kullanmamıştım, çünkü sebebim bu formüle dayalı idi. Ve bu formül n bağımsız özvektörlere dayalı idi.

Tamam, tekrar söylüyorum, bazı matrisler vardır ki bizler,- bunu köşegenleştirme yoluyla yapamayız, ama büyük çoğunluğunu yaparız.

Tamam, ve farklı ayrık özdeğerlere sahipsek her zaman tamamız.

Tamam, bu tipik bir durumdur. Çünkü her bir özdeğer için en azından bir özvektör vardır. Burada cebirsel katsayı her bir özdeğer için birdir ve geometrik katsayı da bir dir. Bir özvektör vardır.

Ve onlar bağımsız olurlar.

Önemli duruma geri döneyim, her şeyin tamam olduğu zamana.

Önemli durum, köşegenleştirebildiğimiz zaman olur.

Ben, bakalım ..böylece bu denklemi çözeyim. Bu denklemin her biri ---biri ile başlayayım --verilen u0 ile başla.

Ondan sonra denklemimizi her adımda, A ile neye sahipsem onunla çarpacağım. Bu, bu denklemi halletmek için basit olmalı. Ve onu çözebilmeliyim. Nasıl bulurum? u0 ile başlayarak ve A ile yüz defa çarparak, ne olduğunu nasıl bulurum? İyi, cevap için kesinlikle bir formül yazabilirim, yani -- u1= Au0 dır.

Ve u2, o zaman u2 ne? U2, çarptım ..u2 yi u1 tekrar A ile çarparak bulurum, yani 2 defa A oldu.

Ve formülümüz, k adım sonra, ilk u0 ın k- defa A ile çarpımı olur. Ne yaptığımı görüyor musunuz? Gelecek bölüm diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü olacak. Türevimiz olacak. Bu bölüm güzel olacak.

O fark denklemleri çözülecek, bunu ben fark denklemleri olarak adlandırırım. 0 birinci dereceden, bunu birinci derece sistemi olarak adlandıracağım, çünkü o sadece bir üst seviyeye bağlar. Ve o bir sistemdir, çünkü bunlar vektörler ve bu da bir matristir.

Ve çözüm sadece budur.

Tamam, ama, bu güzel bir formüldür.

Bu – elde edebileceğim en basit, özlü formül gibi. u100, A nın yüzüncü kuvveti çarpı u0 olur. Ama u100 ü gerçekte nasıl bulurum? Nasıl bulurum --u100 ün ne olduğunu nasıl keşfederim? Nasıl olduğunu göstereyim. İşte fikir şu:

Gerçekten çözmek için – gerçekten çözmek için – şu başlangıç vektörü u0’ı alır ve onu özvektörlerin bileşimi olarak yazarım. Gerçekten çözmek için, u0’ ı, diyelim ki birinci özvektörün belirli bir kısmı artı, ikinci özvektörün belirli bir kısmı artı, böyle devam edip, son özvektörün belirli bir kısmı gibi bir bileşim olarak yaz. Şimdi A ile çarp.

Özvektörlerin büyüsünün burada çalıştığını görmelisiniz. A ile çarp.

Öyle ise Au0 ne? Yani A kere bu. A kere ---böylece A ne ---onu n farkı parçaya ayırabilirim ve bütün yapmam gereken bu. Bu parçalardan her biri kendi kutsal yoluna gidecekler. Bu parçaların her biri bir özvektör olup, ve A ile çarptığınızda, bu parça neye dönüşür? Böylece bu, birincinin bir miktarı --- özvektörlerin birim vektör olacak şekilde normalize edilmiş olduklarını varsayalım. Dolayısıyla bu özvektörlerin ne olduğunu söyler. u0 ı elde etmek için onun bir katına ihtiyacım var. Tamam mı?

Şimdi A ile çarptığımda, ne elde ederim? c1 çarpı Ax1 elde ederim ki burada c1 yalnızca bir çarpandır. Ama Ax1 lambda_1 çarpı x1 dir. Bunu A ile çarptığımda, c2 lambda_2 çarpı x2 elde ederim.Ve burada cn lambda_n kere xn elde ederim. Ve şimdi A nın yüzüncü kuvveti ile çarptığımızı varsayalım.

A ile çarpmada yaptığımız gibi, A nın yüzüncü kuvveti ile de çarpalım.

A nın yüzüncü kuvveti ile çarptığımızda birinci terim ne olur? O bu çarpan kere lambda’nın yüzüncü kuvveti olur. İşte kilit nokta bu.

Kendi kutsal yoluna gider derken bunu kastetmiştim.

O, saf özvektördür. O öyle bir doğrultuda ki A matrisi ile çarpıldığında sadece skaler bir rakam getirir, lambda_1. Böylece bunu yüz defa yapmak bundan yüz defa getirir. Yüz kere lambda_2, …, yüz kere lambda_n. Gerçekte, burada ne görüyoruz? Aynı, köşegenleştirmede olduğu gibi lambda – büyük lambdanın yüzüncü kuvvetini görüyoruz. Ve S matrisini, özdeğerler matrisi S’yi görüyoruz.

İşte olması gereken ---bu miktar kadar.

A Lambda’nın yüzüncü kuvveti çarpı bir S matrisi çarpı bu c vektörü, bu bize orijinal şeylerin içinde bunların her birinden kaç tane olduğunu söylüyor. Yani eğer, eğer yüzüncü kuvveti gerçekten bulmak isteseydim, u0 ı alıp, bunu özvektörlerin bir bileşimi olarak açardım ---bu gerçekte S, özvektörler matrisi çarpı c, katsayı vektörüdür.

Ve o zaman hemen, özdeğerlerin yüzüncü kuvvetlerini yerine yazarak, cevabı hemen bulabilirim.

Bu durumda -- bakalım, Tamam. O – yani, evet. Dolaysıyla eğer u100 = A üzeri 100 çarpı u0 ise, ve uo da S çarpı c ise, o zaman bu formülün sadece şu formül olduğunu görüyoruz, ki bu, u100’ü gerçekte elde etmenin bir yolu olup -- onu buraya koyayım. u100.

Bununla baş etmemim yolu, bakalım ne; yüz adım sonraki çözüm nedir. Bu – başlangıç vektörünü, özvektörlere göre açmak ve her bir özvektör kendi yolunda gider, her bir adımda lambda ile yüz defa çarparak ve böylece yüz adım sonra lambdanın yüzüncü kuvveti olur. Bir örnek yapalım mı? Öyleyse işde formüller. Şimdi bir örnek alayım.

Örnek olarak Fibonacci dizisini kullanayım.

Yani, Fibonacci örneği, Fibonacci sayılarını hatırlıyor musunuz? F0 olarak 1 ve 1 ile başlarsak, aman, düşünüyorum da belki sıfır ile başlamalıyım.

İlk elemanı sıfır ve bir olsun.

Bunlar F0 ve F1, ilk iki Fibonacci sayıları. O zaman Fibonacci sayılarının kuralı ne idi? Ah, onlar toplam idi.

Bir sonraki bunların toplamı, yani 1 olur. Daha sonraki bunların toplamı, yani iki olur. Bir sonraki ise şunların toplamı, yani 3 olur. İyi. 1, 2, 3, 4, 5 gibi gözüküyor, ama sanki bu yolla yapmamalıyım. Bir sonraki 5 olur, doğru mu? 2 ve 3, 5 yapar.

Sonraki sekiz olur. Daha sonraki de onüç olur.

Ve yüzüncü Fibonacci sayısı nedir? Sorum bu. Yüzüncü sayı için bir formülü nasıl bulurum? Ve, örnek olarak, ne kadar hızlı büyüyorlar sorusunu nasıl cevaplarım? Bu Fibonnacci sayıları ne kadar hızlı büyüyorlar? Onlar kesinlikle büyüyorlar. Bu kararlı bir durum değil.

Onun matrisinin özdeğerleri her ne ise, birden küçük değiller, bu sayılar gittikçe büyüyor.

Ama büyüme hızları nedir? Cevap özdeğerlerde yatıyor. Yani bu matrisi bulmak zorundayım, öyleyse Fibonacci kuralını yazayım.

F (k+2) = F(k+1) + F (k), değil mi? Şimdi bu benim aklımdaki değil ---bunu u(k+1) ve Auk gibi yazmak istiyorum. Ama şu anda bende bir sistem değil, ikinci dereceden tek bir denklem var. Bu ikinci türevleri ile ikinci dereceden bir diferansiyel denkleme sahip olmak gibi bir şey.

Birinci türevler olsun istiyorum.

Burada birinci farkları olsun istiyorum.

Yani bu yol, bunu yapmanın yolu uk yi bir vektör olarak tanımlamaktadır --- görüyorsunuz, bir küçük hile ile, uk, F(k+1) ve F(k) nın teşkil ettiği bir vektör olsun.

Böylece, bu küçük hile ile, ikinci dereceden skalar sistem yerine, birinci dereceden 2 ye 2 lik bir sisteme sahip olacağız. Denkleme sadece F(k+1) eşit F(k+1) i ekleyeceğim.

Bu benim ikinci denklemim olacak.

Sonra bu sistemimiz -- bunlar bilinmeyenlerimiz, ve bir adım denklemimiz nedir? Bu durumda, yani şimdi u(k+1), budur – yani u(k+1) sol yanda, ve sağ yanda neyimiz var? uk yı çarpan bir matris var.

Bunu düzgünce görebiliyor musunuz? Eğer görebiliyorsanız, o zaman matrisin ne olduğunu bana söyleyin. Buradaki benim bu sistemimi görüyor musunuz? Onu yapay olarak bir sisteme dönüştürdüm. Yapay olarak bilinmeyenleri bir vektör yaptım. Ve şimdi matrisi bulmaya ve matrisin ne olduğunu görmeye hazırım.

Böylece bu sol tarafta ki u(k+1) nın F(k+2) F (k+1) olduğunu görüyorsunuz, ki bu da tam benim istediğim sey. Sağ tarafta, bu hatırlayın, bu uk burada – şimdilik bunun yerine F (k+1) F(k) yazayım, Yani buradaki matris ne olmalı? Güzel. Unutmayın buradaki 1 1 ve burada 1 0 olmalı.

Bir matris var. Bunun bana sistemin sağ tarafını verdiğini görüyor musunuz? Bir A matrisimiz var.

Ve bu arkadaşımız uk, yani bu basit hile ile – ikinci dereceden skalar problemi birinci dereceden sisteme dönüştürdük.

Ve şimdi ne yapacağım? Düşünmeme bile gerek yok, onun özdeğerlerini ve özvektörlerini bulacağım.

Peki bu matrisin özdeğerleri ve özvektörleri nelerdir? Bakalım. Her zaman --önce biraz düşüneyim. Bu 2’ye 2’lik bir matris, dolayısıyla bunu yapmak imkansız olmamalı.

Haydi yapalım.

Matrisimiz, tekrar, bir bir ve bir sıfırdır.

Bu arada söyleyeyim matrisimiz simetrik.

Yani, sonuçta simetrik matrisler hakkında bildiğim şey özdeğerlerinin gerçek olmasıdır. Burada herhangi bir karmaşık sayı olmayacak.

Ve, özvektörler, bunları elde ettiğimde, aslında dik olacaklar. Ama 2 ye 2 de, ben gerçek değerlerin ne olduğu ile ilgileniyorum.

Bu iki sayı hakkında ne biliyorum? Şu (A eksi lambda I) ın determinantını bulmamı ister misiniz? Neden olmasın.

Yani 1eksi lambda, bir, bir, sıfır matrisinin determinantı, değil mi? Aman Tanrım, evet sıfır yerine eksi lambda olmalı.

Tamam, iki özdeğer olmalı. Daha ileriye gitmeden iki özdeğer hakkında ne biliyoruz söyleyin.

Bu iki özdeğer hakkında bana bir şeyler söyleyin.

Onların toplamı ne olmalıydı? Lambda_1 artı lambda_2 nedir? Matrisin köşegenini izlediğimizde elde edeceğimiz toplamdır.

Bir artı sıfır birdir. Yani lambda_1 artı lambda_2, bir’e eşit olmalıdır. Ve lambda_1 çarpı lambda_2, onun determinantı olarak ortaya çıkmalı, ki bu determinant eksi 1 dir. Dolayısıyla özdeğerlerin toplamının 1 ve çarpımının eksi 1 olmasını umuyorum. Ama bunun burada olduğunu görelim. Eğer bu çarpımı dağıtırsam, bu çarpı bundan (lambda kare) eksi lambda eksi bir elde ederim. Güzel

Lambda kare eksi lambda eksi bir.

Aslında, Ben başladığımız orijinal denklem ile karşılaştırın.

F(k+2) – F(k+1) – F(k)= 0. Fibonacci sayılarının sağladığı bu tümevarım, şunu sıfıra eşitlediğimizde bir şekilde buradaki özdeğerlerde kendini gösteriyor.

Öyleyse çözelim.

Şey, bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak istiyorum, ama karelerin kökünü bulma formülünü kullansam iyi olur. Lambda var --

Eksi b, birdir -- artı ya da eksi b’nin karesinin karekökü, birdir -- eksi dört kere bu çarpı bu, artı dört olur ve bölü iki olur.

Dolayısıyla burası karekök 5 olur.

Böylece özdeğerler, lambda_1 (1 + karekök 5 )’in yarısı, ve lambda_2 (1- karekök 5)’in yarısı olur. Ve elbette, onları toplarsanız bire ve çarparsanız eksi bire eşit olurlar.

Pekala. Bunlar iki özdeğer oldu.

Bu sayılar yaklaşık olarak nedir? Beşin karekökü, güzel, 2 den büyük fakat 3 den küçük olur.

Bu sayıları bilsek iyi olur. Bence, şu sayı birden büyük olur, değil mi? İşte bu doğru. Bu sayı birden büyük oldu. Yaklaşık olarak bir nokta altı bir sekiz veya böyle bir şey. Tam değil, ama olsun, bunun bir nokta altı olduğunu varsayalım.

Tam düşündüğüm gibi, o zaman lambda iki nedir? Lambda iki positif mi negatif mi? Negatif değil mi? Çünkü Ben açıkça bunun negatif olduğunu biliyorum—yani o eksi olur – ve onların toplamı bir, yani eksi nokta altı bir sekiz, olduğunu tahmin ediyorum. Oldu mu?.

--ve dahası da, bunlar iki özdeğer olurlar.

Özdeğerlerden biri birden büyük, diğeri birden küçük. Gerçekten olabileceğimiz en iyi durumdayız. Tabii ki, özdeğerler farklı olduğundan, hiç şüphesiz bu matris köşegenleştirilebilir. Bu ilk matris A, bu matris köşegenleştirilebilir mi? Kesinlikle.

İki farklı özdeğerimiz var ve birazdan özvektörleri bulacağız.

Ama onlar bağımsız olacaklar, köşegenleştirebileceğiz.

Ve şimdi, siz, benim ilk sorumu cevaplayabilirsiniz. Bu Fibonacci sayıları hangi hızla artıyorlar? Bunlar artıyorlar, değil mi? Onlar her adımda ikiye katlanmıyorlar.

İzin verin ---bu sayılara bir daha bakalım.

Beş, sekiz, onüç, bu apaçık değil.

Bir sonraki 21, 34 olmalı.

Böylece F100 ün ne olduğu hakkında biraz fikir sahibi olmak için, bana herhangi bir şey verin -- yani çok önemli olan bir sayı -- bu yüzden o -- bunlar – yaklaşık olarak -- bu Fibonacci sayılarının büyümesini ne kontrol ediyor? Onun özdeğerleri.

Ve özdeğerlerin hangisi bu büyümeyi kontrol ediyor? Büyük olanı. Yani F100 yaklaşık olarak c1 sabiti ile lambda bir’in çarpımı olacak, bu (1+ karekök beş) bölü 2’nin yüzüncü kuvveti olur. Ve F200 -- başka bir değişle, özdeğer -- Fibonacci sayıları yaklaşık bu çarpım kadar büyüyor. Fibonacci sayıları hakkında kesin bilgiyi özdeğerlerinden elde ettiğimi gördünüz, değil mi? Tamam.

Ve tekrar, bu niçin doğru? Şu tahtaya geçeyim ve burada ne yaptığımı göstereyim. İlk başlangıç değerimiz, özvektörlerin bazı bileşimleri oldu. Ve sonra Fibonacci sayılarının teorisine doğru gittiğimiz zaman, A ile yüz defa çarpmaya başladığımızda, o bu lambda_1 in yüzüncü kuvveti oldu.

Bu terim, işi kontrol eden terim oldu.

Bu bence, (1.6) üzeri 100 e benzeyen büyük olan. İkinci term uygulamada hiçbir şey değil, değil mi? Nokta altı, ya da eksi nokta altının yüzüncü kuvveti çok küçük sayı olur.

Yani burada sadece iki terim var, çünkü 2 ye 2’lik deyiz.

Bu sayı…burada bulunan bu parça, ama o yok oluyor, burada olan bu parça, şurada olan büyüyor ve her şeyi kontrol ediyor.

Bu durumda, yani gerçekte, evrilen bir problem gibi yapıyoruz. Ax=b yerine dinamik u alıyoruz, ki bu bir statik problemi dir.

Biz şimdi, dinamik yapıyoruz. A, A kare, A küp, gibi zamanla evrilen denklemler.

Ve özdeğerler çok önemli sayılardır.

Pekala, bunu tamamlamak için, özvektörleri yazsam iyi olacak.

Yani bütün işlemleri özvektörleri bularak tamamlamalıyız. Tamam, güzel, – bu köşede – o zaman, A eksi Lambda I’ya bakmalıyım. Yani A eksi Lambda I, bu bir eksi lambda bir bir ve eksi lambda olur.

Ve şimdi buradan özvektörleri belirleyebilir miyim? B, bu iki tane lambda için, bu matris tekildir. Umarım özvektörler -- 2’ye 2’lik olduğundan kolay olmalı.

Yani eğer bu matrisin tekil olduğunu biliyorsam, o zaman u- bana öyle geliyor ki, özvektörler lambda ve bir olmak zorunda, çünkü bu çarpım bana sıfırı verecek.

Ve bu çarpım da bana --sıfır verse iyi olur.

Niçin olduğunu gördünüz mü? Bu eksi lambda kare artı lambda artı bir olur. Bu seyler sıfır olur çünkü bu lambdalar özel’dirler.

Özvektörler buradalar. x1 lambda_1 1 ve x2 lambda_2 1 olur. Bunu ikiye iki durumlarında geçerli olan küçük bir hile ile yaptım.

Ve şimdi son olarak, yapmam gereken -- aman, şimdi başlangıç değeri olan u0’ ı almalıyım. Yani bu örneği tamamen bitirmek için, bunu söylemek zorundayım, u0 ne idi? u0, F1 F0 idi. Yani u0, başlangıç vektörü F1 F0 oldu, ve onlar 1 ve 0 idi.

Dolayısıyla bu vektörü kullanmak zorundayım. Yani birinci ve ikinci özvektörü çarptığımda, u0 vektörünü verecek sayıları bulmalıyım.

Bu c1 ve c2 nin ne olduğunu verir ve sonra işim biter.

Yapmamız ..yani, son beş saniyede, formülleri öğütme yerine, fikri tekrar edeyim.

Tekrarlıyacağım çünkü esas fikir burada.

Bazı şeyler zaman içinde evrildiğinden ---bu tahtaya geri döneyim, çünkü fikirler burada.

Bazı şeyler zaman içinde birinci dereceden bir sisteme göre u0 gibi bir değerden başlayarak evrildiğinde, kilit nokta A nın özdeğer ve özvektörlerini bulmaktır. Bu -özvektörler -- bu özdeğerler neler olduğunu zaten söylerler. Çözüm patlıyor mu, sıfıra mı gidiyor, ne yapıyor?

Ve sonra, tam formülü bulmak için, u0’ ımızı almak ve onu özvektörlerin bir bileşimi olarak yazmak, ondan sonra da her bir özvektörü ayrıca takip etmelisiniz. Ve bu gerçekte A nın K nıncı kuvveti için formülün ne yaptığıdır.

Yani bu bize, A nın K’nıncı kuvveti için olan formülü, S Lambda’nın K’nıncı kuvveti, S nın tersi olan formülü hatırlatır. Tamam?.

Budur, bu fark denklemleridir.

Ev ödevinizde Fibonacci den farklı örnekler verilecek ve sadece yapmanız gereken burada yaptığımızın üzerinden takip etmeniz olacak.

Ve gelecek derste diferansiyel denklemler olacak.

Teşekkürler.