MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrual Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 18

Tamam, bu ders, bu dersin ikinci yarısının başlangıcı gibi, çünkü şimdiye kadar dikdörtgensel matrislere çok ilgi gösterdik. Şimdi kare matrisler üzerine yoğunlaşacağız, yani iki büyük konudayız.

Bu yeni bölümün ilk dersi determinantlar, kare matrisin determinantları üzerine. Determinantlara ihtiyaç duymamızın en büyük nedeni özdeğerlerdir.

Yani bu determinantlar ve özdeğerler, 18.06 nın sonra ki en büyük parçasıdır. Tamam, Böylece determinant her kare matris ile ilişkili olan bir sayıdır. Yani, her kare matris onun determinantı olarak adlandırılan bu sayı ile ilişkilidir.

Onu sıklıkla det A olarak yazacağım veya yine sıklıkla A nın iki yanına dikey çubuklar koyarak yazacağım ki bunun anlamı matrisin determinantı olacak. Bunun anlamı buradaki, sihirli sayı olacak. Şey, bir sayı bütün matrisin ne olduğunu söylemeyebilir. Ama bu bir sayı, tek bir sayı içinde mümkün olduğu kadar çok bilgi istifler, ve tabii ki daha önce gördüğünüz ve onu tekrar göreceğimiz bir gerçek var ki o da determinantı sıfır değilse matrisin tersinin olmasıdır.

Determinantı sıfır olduğunda matris tekildir.

Yani determinant matris tersinin olması için test olacak, ama determinantlarda bundan daha çoğu var, öyleyse başlayalım. Tamam, şimdi soru nasıl başlayacağımda: Determinantlar için büyük bir formül, tek bir yudumda vereyim mi? Sanmıyorum. Bu büyük formüller içinde çok şey var.

Determinantın üç özelliği ile başlamayı tercih ederim, sahip olduğu üç özellik. Ve ilk özelliği söylüyorum. Birim matrisin determinantı 1’dir. Tamam.

Keşke diğer iki özellikde bu söylediğim kadar kolay olsaydı.

Ama gerçekten ikinci özellik de oldukça basit ve sonra üçüncüye geldiğimizde determinantı elde etmiş olacağız. Bu üç özellik determinantı tanımlar ve biz ---o zaman anlayabiliriz, determinantın ne olduğunu.. Onun için bir formül ne? Şimdi ikinci özellik bir matrisin iki satırını yer değiştirdiğimizde ne olduğudur?

Determinanta ne olur? Yani, özellik iki, satırların yerini değiştirirseniz determimantın işareti değişir. Bir çok artı ve eksi işareti.

Ben bile buraya,’’artı ve eksi işaretler’’ yazdım, çünkü bu konu, determinant formülleri ve tanımlarında özellikle dikkat etmemiz gereken bir nokta.

Böylece bu ..burada bu özellikle neyi anlatmak istediğimi gördünüz. Size determinantın ne olduğunu henüz söylemedin, ama o her ne ise, iki satırını değiştirdiğimde farklı bir matrisim olur, bu da determinantın işaretini değiştirir.

Ve böylece şimdi, gerçekte hangi matrislerin determinantını biliyoruz? Birden ve ikiden, şimdi determinantı biliyoruz. İyi, birim matrisin determinantını kesinlikle biliyorum ve şimdi aynı eşitlikleri, satır değiştirmeden gelen bütün başka matrislerin de determinantını biliyorum.

Yani bu noktada hangi matrislerim var? Permutasyonlar, değil mi?

Bu noktada bütün permutasyon matrislerini biliyorum, yani şimdi bir permutasyon matrisinin determinantının bir veya eksi bir olduğunu söylüyorum. Değişim sayısının çift veya tek olmasına bağlı olarak, bir veya eksi bir olur. Yani bu bir permutasyonun determinantı. Şimdi, P önceden olduğu gibi permutasyonu göstersin. Tamam, bu tahtada devam edeyim. 2 ye 2 likleri yapabilirim. Peki, özellik bir bana bu 2 ye 2 lik matrisin, ah-- tam yazsam iyi olur – Yani bu determinantı göstermek için, parantez değil, dikey çizgileri yazsam daha iyi olacak.

Özellik bir, 2 ye 2 lik durumunda, bu matrisin determinantının bir olduğunu söylüyor.

Özellik iki bana bu matrisin determinantının ne olduğunu ..? Eksi bir. Bu 2 ye 2 ler deki gibi. Şimdi, son olarak elde etmek istediğim ..iyi, en sonunda elde etmek isteğim, hepimizin bildiği bu formül, bunu şuraya bir yere koyayım, genel 2 ye 2 nin determinantı ad-bc dir. Tamam.

Bunu burada bırakacağım, biz zaten ikiye iki durumu biliyoruz, her özelliğin ikiye iki’de doğruluğunu kontrol edebilirim. Ama bu özelliklerin bütün önemi, bana n ye n için bir formül verecek olması.

Bunun bütün önemi, bunu herhangi bir boyuttaki matris için başka önemli özellikler ve tersi alınabilirlik için bir test olan bu sayıyı verecek olmasıdır. Tamam, gördüğünüz gibi biraz yavaşlıyorum çünkü üçüncü özellik, kilit bir özelliktir.

Özellik üç, anahtar özellik olup ve onu bir şekilde tanımlayacağım ---belki 3a ve 3b gibi iki parçaya ayıracağım. Özellik 3a der ki eğer satırların birini, mesela birinci satırı, tgibi bir sayı ile çarparsam ---bunu sileceğim. Bu gideceğimiz yer ama henüz orada değiliz. Bu bildiğimiz bir şey ve göreceksiniz ki her bir özelliği sağlayacak.

Tamam, böylece bu herhangi bir matris için, herhangi bir matris için, eğer bir satırı t ile çarpar ve diğer satırları, diğer n-1 satırı, öylece bırakırsam, determinanta ne olur? t çarpanı dışarı çıkar. O bu determinantın t ile çarpımı olur.

Bu zor değil. 3a özelliğini çok abartmamalıydım, ve 3b.. Ben her zaman bu ikinci satırı aynı tutuyorum, veya şu son n-1 satır, hepsi aynı kalıyor.

Sadece çalışıyorum ---ilk satıra bakıyorum ve eğer orada bir a+a’ ve bir b+b’ varsa -- özür dilerim, yapmamalıydım, amaan.

Neden doğru yapmıyorum ---silgiyi kullanacağım. b+b’ şurada, Ne yaptığımı görüyorsunuz? Bu özellik ve şu özellik sadece birinci satırın doğrusal bileşimi hakkında, diğer satırları değiştirmeden bırakıyorum. Onların aynısını yazıyorum.

O zaman, bir toplamım olacak ---bu, buradakinin ve bunun determinantının toplamı olarak ayrılacak, formüller koyuyorum.

Belki bunu kelimelerle söylemeye çalışmalıyım.

Determinant bir doğrusal fonksiyondur.

O birinci satırın bir doğrusal fonksiyonu gibi davranır, eğer diğer bütün satırlar aynı kalırsa, şunu söylemiyorum ---dikkatinizi çekeyim. A+B nin determinantının A nın determinantı artı B nin determinantı olduğunu SÖYLEMİYORUM, bunu söylemiyorum.

Yapsam iyi olur ---yapabilir miyim ---Bunu söylemediğimi nasıl kayda geçebilirim? Görüyorsunuz, bu tüm satırların sağlayacağı ---bilirsiniz, A nın bir sürü satırı var, B nin de bir sürü satırı var. Aradığım doğrusallık bu değil. Ben sadece her bir satır içinde doğrusallığa bakıyorum. Her bir satır için doğrusallık.

Şey, sadece birinci satır ile ilgili konuştuğumu söyleyebilirsiniz, ama bunun ikinci satır için de doğrusal olduğunu iddia ediyorum, bu ..ama yapamam, hem birinci hem de ikinci içinde olan bileşim olamaz. Eğer ikinci satırda bir bileşimim olsaydı, onu kural iki yi kullanarak birinci satıra koyardım, özelliğimizi kullanarak ve sonra kural ikiyi tekrar kullanarak onu geri yerine koyardım. Yani tek tek satırlar tamam, sadece birinci satır değil, ama her bir satır kendi içinde tamam. Bunlar üç özelliğimiz, bu özelliklerden, özellik 1, 2, 3 bunlardan -- daha bir çok sey öğreneceğim.

Bir örnek ele alalım. Ne öğrenmek istiyorum? Şunu öğrenmek isterim--özellik dört burada.

Buradaki aynı sayıları kullanayım.

Özellik dört iki satır eşit olduğunda, determinant sıfırdır der. Tamam, böylece özellik dört.

İki eşit satır determinantın sıfır olmasına yol açar. Doğru, şimdi, tabii ki 2 ye 2 durumunda bunu kontrol edebiliriz, tabii ki. [a b ; a b] nın determinantı sıfır olur. Ama bunun n ye n için niye doğru olduğunu görmek istiyorum. Bir 7 ye 7’lik matriste, birinci satırın üçüncü satıra eşit olduğunu varsayalım.

Böylece bir büyük matris içinde iki satırım aynı olur. Ve bütün yapmam gereken bu özelliklerle çalışmam.

İşaret değiştiren yer değiştirme özelliği ile, her satırın kendi içinde çalışan doğrusallık özelliği. Tamam, neden olduğunu görebiliyor musunuz? Bunu özellik bir, iki, üç’den nasıl elde ederim? Çünkü bütün bunlarla çalışmak zorundayım. Her şey özellik bir, iki, üç’den gelmek zorunda.

Tamam, iki satırı eşit olan bir matrisimizin olduğunu varsayalım.

Bu özelliklerden onun determinantının sıfır olduğunu nasıl görürüm? Bir satır değiştirme yaparım.

Özellik iki sadece bunun için var.

İkinci özelliği kullan, satırların yer değişimini kullan, bu satırların değişimi, ve aynı matrisi elde ederim..

Elbette, çünkü bu satırlar eşit idi. Yani determinant değişmedi.

Ama diğer yandan, özellik iki işaretin değiştiğini söyler. Böylece, işareti hem değişen hem de değişmeyen bir determinantımız oldu ve o zaman mümkün olan tek şey bu determinantın sıfır olmasıdır.

Buradaki sebebi gördünüz mü? Bu çok açık.

Özellik iki bize, “hey, iki eşit satırımız varsa, determinant sıfır”dır der.

Ve tabii ki bu aklımızdaki, iki satırı eşit bir matrise sahipsek, onun tersinin olmayacağı gerçeği ile örtüşür. Eğer iki eşit satırımız varsa, bunun rankının n-den küçük olduğunu biliyoruz.

Tamam, özellik 5 için hazırız. Şimdi özellik beş, onu P olarak tanıyorsunuz. O der ki, her zaman yaptığım yok etme adımı, bir katını çıkartma, birinci satırın bir katını diyelim ki k’nıncı satırdan çıkartma işlemi. Bunu niçin ne yaptığımı hatırlıyorsunuz.

Yok etmede bu çarpanları öyle seçiyorum ki bu pozisyonda sıfır elde edebileyim.

Veya satır i, satır k dan, belki şunu vurgulamalıyım -- ki burada satır biri almamın bir özelliği yok.

Tamam, simdi bu özelliği niye istediğimi görüyorsunuz, çünkü determinantını bilmediğim kocaman bir matrisle başlayıp, yok etmeyi kullanıp onu temizleyebilirim.

Bu yok etme adımları ile köşegenin altında sıfırlar elde edebilirim ve önemli olan determinantın değişmeyeceğidir. Yani bütün bu yok etme adımları tamamdır. Determinantı değiştiremezler.

Önceki bölümlerde kullandığımız dilde A nın determinantı U ile, üst üçgensel matrisin determinantı ile aynı olacak. Onun pivot’ları köşegen üzerinde. Bu nedenle bu özelliği istiyoruz. Tamam, bu özelliğin nereden geldiğini görüyor musunuz?

Burada 2 ye 2’lik durumunda yapayım.

Yani, özellik 5 e devam edeceğim. Peki ne yapıyorum? Devam edeceğim—a b c d miz olacak, ama ikinci satırdan küçük L çarpı birinci satırı çıkartacağım.

Ve işte bu determinant, ve tabii ki çarpımı dağıtabilir ve bulabilirim, gerçekten, burada ad-bc var ve bu eksi alb artı alb sadeleşir, ama sadece hile yaptım değil mi? Özellikleri kullanmak zorundayım.

Peki hangi özelliği? Eh, tabii, bu bir ---birinci satırı aynı tutacağım ve ikinci satırı da; tek c ve tek d var, ve sonra şurada [ a b ; eksi la eksi lb] nin determinantı var.

Peki bu özellik hangisi idi? 3b.

Birinci satırı aynı tuttum ve ikinci satırda bir bileşim vardı, diğer satırda ve onu ayırdım.

Tamam, böylece bu özellik 3. Bu 3cüsü, 3b diyelim isterseniz. Tamam, şimdi 3a’yı kullanalım.

3a yı nasıl kullanırız bakalım, o bana burada bir tane l’yi, bir tane -l’yi dışarı çıkartabileceğimi söylüyor.

I ve bu satırdan -l yi çarpan olarak dışarı çıkarabilirim ve problem olmaz.

Bu 3a idi. Böylece şimdi özellik üç’ü kullandım ve şimdi büyük son için hazırım. Özellik dört, bu determinantın iki eşit satırının olduğunu, determinantın sıfır olduğunu söylüyor.

Bunun her zaman nasıl işe yaradığını gördünüz mü? Bir satırın bir katını başka bir satırdan çıkarttım.

Bu bana, k’ıncı satırda, eski satır ile üsteki bir satırın bileşimini veriyor ve sonra ---madem iki eşit satırım oluştu, bu sıfır olur ve demek ki determinantın değeri yok etmeden sonra da aynı kalır.

Güzel, pekala.

Şimdi bakalım -- eğer gözlüklerimi kurtarabilirsem, özellik 6 nın ne olduğunu görebileceğim. Oh 6 kolay, şurada boş yer çok. Sıfırların satırı A’nın determinantının sıfıra eşit olmasına yol açar. Tamamı sıfır olan bir satır.

Bu yine, sanki tekil matrisler için kullanacağım bir özellik.

Aslında, ileriye bakıp bu özelliklere niye gereksinimiz olduğuna bakabilirsiniz

Böylece özellik 5’i, yok etmeyi kullanacağım, bu şeyleri kullanarak bu determinantın şu determinantla aynı olduğunu söyleyip burada sıfır elde edeceğim.

Ama burada da sıfır elde edersem ne olacak? Yok etme bir sıfırlar satırı verirse ne olacak? İşte bu, tekil, tersi olmayan, rank 2- rankı N den küçükleri test etmek için daha önce kullandığım oldu, ve şimdi görüyorum ki o aynı zamanda determinantın sıfır olmasını da veriyor.

Önceki özelliklerden bunu nasıl elde ederim? Çünkü ben -- bu yeni bir kural değil, bu eski birilerinden gelmeli. Öyleyse ne yapacağız? Evet, kullan ..bu çok güzel (bu parlak bir fikir). Eğer 3a ile t’yi kullanırsanız, sıfıra eşit olur. Doğru mu?

Yani bu sıfır sıfır c d’ em var, ve bu determinantın sıfır olduğunu göstermeye çalışıyorum.

Tamam, sıfır aynı kalır --- 5, t’yi beş alabilir miyim, sadece onu yerine oturtmak için? Bu satırı 5 ile çarpacağım, 5, iyi o zaman, bunun beş tanesi ---eğer ben, bunun içinde 5 çarpanı varsa, ne olduğunu görüyorsunuz ---yani bu özellik 3a, t’si 5 olan. Bir satırı 5 ile çarparsam, 5 dışarı çıkar, öyleyse bunu niye yapıyorum? Oh, çünkü o hala sıfır sıfır, değil mi? Yani bu determinant 5 çarpı bu determinanta eşit ve determinant sıfır olmak zorunda.

Bunu olabilecek en iyi yolla yapmadığımı düşünüyorum.

Sizin, evet, senin fikrin daha iyi idi.

Evet, t’yi sıfır alarak çarp.

3b kuralında t’yi sıfır olarak almak senin fikrin miydi?

Kural 3b de t sıfır ise, ve kamerayı yine kural 3b ye getireyim ---üzgünüm ..t sıfır ise, o zaman burada sıfır sıfır’ım olur ve determinant sıfırdır.

Tamam, öyle ya da böyle, sıfırlardan oluşan bir satırın anlamı determinantının sıfır olmasıdır. Tamam şimdi ciddi olalım.

Sonraki özellikler, oluşturmaya çalıştıklarımız.

Tamam, böylece yok etme yapabilirim, bir üçgen matrise indirgeyebilirim ve şimdi bu üçgensel matrisin determinantı nedir? Sanırım, varsayalım, tamam, kural 7. Şimdi matrisimizin üçgensel olduğunu varsayalım. Böylece üçgen matrisimiz var, ve hatta bu pivotları d1, d2, ---dn olarak adlandıracağım ve burada yukarıda bir şeyler var, bunların ne olduğunu bilmiyorum, o zaman bildiğim şey buradakilerin (köşegenin altındakilerin) hepsinin sıfır olduğu bunların hepsi sıfır, ve determinantı bilmek istiyorum, çünkü bunu yok etmeden elde edeceğim.

Yani buradaysam, o zaman determinant nedir? Bunları kaldırmak için silgi kullanayım, yine bu dikey çubuklar olsun, öyleki U nun determinantını alıyorum; üst üçgensel matrisin determinantı nedir? Cevabı biliyorsunuz? O sadece d’lerin çarpımıdır. Bu -- bunlar hatta harf bile koymadığım bu şeyler, bunlar önemli olmadığından, determinant d1 çarpı d2 çarpı ... çarpı dn olur.

Bir üçgen matrisimiz varsa, o zaman, bu bize tüm yapmamız gerekenin köşegen ile çalışmak olduğunu söylüyor. Şimdi MATLAB ın yaptığı yolla, herhangi bir makul yazılım da, determinantı hesaplayabilir.

Yüz boyutlu bir matrisimiz varsa, aslında onun determinantını hesaplamanın yolu, yok etme olacak; onu üçgensel matris yap, pivotları çarp, pivotların bir çarpımı, pivotların çarpımı.

Şimdi, determinantlarda her zaman hatırlamanız gereken bir artı veya bir eksi işareti olacak. Nerede ---bu kural nerede işin içine giriyor? Olabilir mi, determinant pivotların çarpımının eksi işaretlisi olabilir mi? Determinant d1, d2,…,dn’ye kadar olur.

Bundan şüphem yok. Ama bu üçgensel formu elde etmek için, bir satır değişimi yapmak zorunda olmuş olabiliriz, yani bu nedenle ---satır değişimi olmadıysa, o (determinant) pivotların çarpımı olur. Eğer, SLU kodu, basit LU kodu, kare LU doğrudan hesaplıyorsa, bazı satır değişimi yapmak zorunda kaldıysam, o zaman artı veya eksiye dikkat etmek zorundayız.

Tamam, ama olsun ---bu kural bu kadar basit.

Tamam, bunu nasıl ispatlarım? Bakalım, d’lerin sıfır olmadıklarını varsayalım.

Pivotlar sıfır değiller. Ve söyleyin, bu üstteki seylerin hiç birinin her hangi bir fark yaratmayacağını nasıl görebiliriz? Oralarda nasıl sıfır elde ederim? Yok etme ile, değil mi? Sadece bu satırı uygun bir sayı ile çarpar, bu satırdan çıkartırım, o bunu yok eder.

Bu satırı uygun bir sayı ile çarparım, bunu yok etti, uygun sayı çarparak bu yok olur. Şimdi, köşegen üzerinde olmayan bütün terimleri tek tek yok edin, sorun değil ve sadece köşegen ile kaldım. Eh, doğru konuşmak gerekirse, şimdi bir köşegen matris için, hala niçin bu determinantın böyle olduğunu anlamam lazım. Yani, bunun böyle olduğunu ümit ediyorum, ama niçin? Özellik bir, iki, üç’e geri dönmeliyiz.

Şimdi bu matris aniden köşegen oldu, determinantın sadece bu köşegen elemanlarının çarpımı olduğunu nereden biliyorum? İyi, neyi kullanacağım? Özellik 3a’yı kullanacağım, değil mi? Çarpanlamayı uygulayalım. Bunu dışarı çıkaracağım, bunu da, d1’de, ve 1 elde edeceğm. Birinci satırım bu olacak.

Ve sonra d2 yi dışarı çıkaracağım, d2’yi buraya koyabilir miyim; ve ikinci satır bunun gibi olacak, ve böyle devam edecek. Yani bütün d’leri çarpan olarak dışarı aldım ve geriye ne kaldı? Birim matris. Ve sonunda hangi kuralı kullanmalıyım? Kural bir.

Son olarak, bu noktada nihayet kural bir işin içine giriyor ve bu determinantın bir olduğunu söylüyor, yani determinant d’lerin çarpımıdır. Yani bu kural 5, yok etme kuralı, 3a d’leri çarpan olarak dışarı çıkartma kuralı ve en iyi arkadaşımız, kural bir. Ve muhtemelen kural iki, yer değiştirme kuralı da gerekmiş olabilir.

Tamam, şimdi bazı d’lerin sıfır olma durumunu da göz önüne almam gerektiğini düşünüyorum, çünkü bu d’leri, temizlik yapıp matrisi köşegenleştirmek için kullanabileceğimi varsaydım, ama ya köşegendeki sayılardan biri sıfır olursa ne olur? Şey, o zaman yok etme ile bir satırın sıfırlardan oluştuğunu biliyoruz ve sıfırların oluşturduğu bir satır, için kural 6 yı kullanacağım, determinant sıfırdır, ve bu doğrudur. Yani tekil durumu kontrol edebiliriz. Aslında, şimdi önemli bir noktaya geldim ki o da, A’nın determinantının sıfır olması, A’nın tekil olduğu zamandır.

Ve diğer zamanlarda tekil olmaz, böylece determinant, matrisin tersinin olup olmadığını test için iyi bir yöntemdir.

Yani, buna yakın olmak zorundayım çünkü herhangi bir matrisi alabilir ve buraya gelebilirim. Yaptım mı ---söyleyecek bir şey kaldı mı? İspatlar, yok etme ile A dan U ya gideceğimizi söyleyerek başlıyor.

Tamam, aslında bunu yapmadım gibi gözüküyor --- burada gerçekten, çok yeni bir şey söylemedim, Bu var, çünkü sadece nedenini hatırlayalım.

Yok etme ile verilen A dan U ya gidebilirim, güzel. Şimdi matrisin tekil olduğunu varsayalım.

Matris tekil ise, ne olur? O zaman yok etme ile sıfırlardan oluşan bir satır elde ederim ve böylece determinant sıfır olur. Ve matris tekil değilse, sıfırlar olmaz, yani belki- bunu iki parçaya bölmemi ister misiniz? A nın tersi olduğu zaman A nın determinantı sıfır olmaz. Çünkü hali hazırda ---bölüm ikide matrisin tersinin ne zaman olacağını anlattım.

Onun tersi, yok etme tüm bir pivotlar seti oluştuğu zaman vardır ve şimdi ve biz şimdi, determinantın bu sıfırdan farklı sayıların çarpımı olduğunu biliyoruz.

Yani şu iki durum var. O tekil ise, sıfırların oluşturduğu satırı elde ederim. Eğer onun tersi varsa, U ya gider ve ardından köşegen D’ye gider ve sonra hangi ---ve sonra d1, d2,..., dn- e kadar gider.

Formül olarak ---yani şimdi bir formülümüz var.

Determinant için bir formülümüz var ve aslında ad- bc formülünden çok daha kullanışlı bir formül. Doğru mu, belki de kontrol etmeliyim -- haydi kontrol edelim.

2 ye 2’lik. 2 ye 2’lik bir matrisin pivotları nelerdir? 2 ye 2 bir matriste yok etme ne yapar? O -- birinci pivot, güzel. İkinci pivot nedir? Çıkartma işlemi yapıyoruz yani onu bu üst üçgensel forma koyacağım. Ne yapmalıyım ---çarpanım c bölü a olur, değil mi? Bu satırı c bölü a ile çarpacağım ve çıkartıp burada sıfır elde edeceğim. Ve burada d eksi c bölü a kere b olacak. Bu 2 ye 2 de yok etme oldu. Böylece nihayet bu matrisin determinantı ---geçen yıldan cevabı bildiğimden değil, onu bu özelliklerden buldum ki bu ikiye iki nin determinantı a kere bunun çarpımıdır ve tabii ki a ile bunu çarptığımda, bununla bunun çarpımı olur ve buda ad eksi, a sadeleşir, bc olur.

Aslında bu harika, bu a’nın sıfır olmadığı durumlarda geçerli.

A sıfırsa, bu adımı yapamayız, sıfır pivot olmaz. Böylece yapmam gereken ---bütün dayanakları kapsadım, yapmalıyım ---a sıfır ise, o zaman yer değiştirme yapmalıyım, ve yer değiştirme çalışmaz ise, bu matrisin tekil olmasındandır.

Tamam, bunlar bunlar determinantın direkt özellikleridir. Ve şimdi, sonunda, iki tane daha var, dokuz ve on. Ve bunları ---yapabileceğimizi düşünüyorum.

Birincisi, burada tamamen bizim yok etme işlemi ile, pivot’ların mevcut olup olmadığı, ve sıfırdan oluşan bir satırımızın olup olmadığı ile bağlantılıdır. Bence hepsini tek bir sefer de yutabilirsiniz.

Özellik 9 ve 10’u söyleyeceğim.

Onları yazmak için hazırım. Onlar çok çok kullanışlı. Böylece sadece onları yazacağım ve kullanacağım. Özellik dokuz, iki matris çarparsam ---çarpımın deteminantını verir.

Yani A ve B gibi iki matrisi çarparsam, bu çarpımın determinantı A nın determinantı çarpı B nın determinantı olur. Ve bu benim için çok değerli bir özellik ve bu bana bir şekilde havada kalıyor gibi geliyor; çünkü matris çarpımlarını henüz bilmiyoruz ve burada aniden bu determinantın bu çarpım özelliğine sahip olduğunu görüyoruz. Unutmayın onun doğrusal özelliği yoktu, toplama özelliği yoktu. A artı B nin determinantı determinantların toplamı değildir. Ama A çarpı B nin determinantı determinantların çarpımıdır. Tamam, böylece örneğin, A nın tersinin determinantı nedir? Bu özellik dokuzu kullanarak -- onu buraya alta yazayım çünkü eğer kamera ikisini de aynı anda görüntülerse iyi olur. Yani bunları alt alta koyayım.

A’nın tersinin determinantı, -- çünkü özellik 10 bu boşluğa yazılacak, bu bana A’nın tersi hakkında, onun determinantı hakkında ne söyler? Tamam, güzel, A’nın tersi hakkında ne biliyorum? A’nın tersi çarpı A’nın birim matris olduğunu biliyorum. Yani ne yapacağım? Her iki yanın determinantını alacağım. Birim matrisin determinantı bir dir, ve A’nın tersi çarpı A nın determinantı nedir? Bu, iki matrisin çarpımıdır, A ve B’nin.

Yani, o determinantların çarpımıdır, yani ne öğrendim? Öğreniyorum ki A’nın tersinin determinantı çarpı A nın determinantı I’nın determinantıdır ki o budur. Yine, özellik biri mutlulukla kullanabilirim. Tamam. Yani bu bana A ters’in determinantının bir bölü A nın determinantı olduğunu söylüyor.

Burada benim sonucum ---bir bölü A nın deterninantı olur. Bu sanırım ki ---her zaman düşünmeye çalışırım, şey, bunu bazı durumlarda biliyor muyuz? Tabii ki, A köşegen ise, bunun doğru olduğunu zaten biliyoruz. A köşegen matris ise, o zaman onun determinantı sadece şu sayıların çarpımı olur.

Yani, örneğin, A matrisi iki sıfır sıfır üç ise, o zaman A tersi nin bir bölü iki sıfır sıfır bir bölü üç olduğunu biliyoruz, ve gerçekten bunun determinantı altı, ve şunun determinantı 1 bölü 6 olur. Ve kuralımız sağlandı. Yani bir şekilde bu ispatı. Bu özelliği ---bir şekilde bu özelliğin ispatını ---köşegen matrise indirgeyebilirsek, o zaman ister A isterse A ters olsun veya iki farklı köşegen matris A ve B olsun yapabiliriz. Köşegen için ---böylece ne söylüyorum? Köşegen matrisler için sağlandığını söylüyorum. Ama eğer elde ettiğimiz önceki özellikleri başka matrisler için de kullanmak istiyorsak, sakince bu argumanları yapmak, yok etme adımlarını yapmak zorunda olabiliriz. Ve bu bana başka bir şey daha söylüyor, bakalım başka ne söylüyor.

A kare’nin determinantı ne? Bir matris alır ve onun karesini alırsam, o zaman bu determinantı karelemiş olur.

Doğru mu? A kare’nin determinantı A’nın determinantı çarpı A’nın determinantıdır. Yani matrisi karelersem, determinantı da karelerim. Matrisi 2 ile çarparsam, determinanta ne yapmış olurum? Şimdi bunun hakkında düşünelim. Yani matrisi 2 ile çarparsam, aşağıya gerçekleri yazıyorum: A nın karesinin determinantı A nın determinantının karesidir. 2A nın determinantı ne? Bu A artı A dır. Ama bekleyin, b urada cevabın 2 A’nın determinantı olmasını istemiyorum. Bu yanlış olur. O 2A’nın determinantı değil. Nedir? Bütün matrisi iki ile çarparsam, yani A nın her elemanını iki ile çarparsam, matrisin her elemanının iki katını alırsam, determinantı hangi sayıyla çarpmalıyım? Determinanta ne oluyor? Matrisimizin n ye n olduğunu varsayalım. 2 üzeri n olur, değil mi? 2 üzeri n.

Şimdi, niye 2 üzeri n, sadece iki değil? Yani niçin 2 üzeri n? Çünkü her bir satırdan 2 çarpanı geliyor. Çarpan - her bir satırdan gelen 2 çarpanı var, yani ilk satırdan 2 çarpanını dışarı alıyorum, ikinci satırdan başka bir 2 çarpanı var, bir başka 2 n’inci satırdan geliyor, yani bütün bu ikiler çarpan olarak dışarı çıkıyorlar.

Yani bu bir hacim gibi, gerçekten, bu determinant uygulamalarının en güzel örneklerinden biri olur.

Eğer- bir kutum varsa ve her bir kenarı iki katı yaparsam, hacmi 2 üzeri n ile çarparım.

Eğer kutum 3 boyutluysa, hacmi sekiz ile çarparım. Yani buradaki 3a kuralıdır.

Bu dokuzuncu kural. Ve farkına varın ki bu bir çeşit tekil ve tekil olmayan şeyleri bu kural sayesinde kontrol ediyoruz, A nın tersi varsa, onun determinantının anlamı ne olur? Sıfır değil ve böylece bu bir anlam ifade ediyor. A nın determinantının sıfır olduğu durum, benim formülümün artık çalışmadığı durum olur.

A nın determinantı sıfırsa, bu saçma olur. A’nın tersi yok ve bir bölü sıfır anlamsız olur. Yani bu özelliği kaçırmayın. Bu bir çeşit, olabileceği kadar ilginç oldu. Ve onuncu özelliğin ifadesi son derece kolay, A devriğin determinantı eşit A nın determinantı.

Ve tabii ki, hemen onu a b c d matrisinde kontrol edelim. Ve bunu kontrol edebiliriz, işte a b c d de çalışıyor.

Bu ad- bc, şu ad – bc, öyle de oldu. Yani devriğini almak determinantı değiştirmedi. Ama ne değiştireceği -- şey, onun yaptığı listeledi, şimdiye kadar hep satırlarla çalıştım. Bir satırın hepsi sıfırsa, determinant sıfırdır. Ama şimdi, kural on ile hepsi sıfır olan bir sütunla ne yapacağımı biliyorum.

Bir sütun tamamıyla sıfırsa, bu determinant nedir? Sıfır, yine. Böylece, satırlar hakkında bütün bu özellikler gibi, iki satırın yerlerini değiştirmek determinantın işaretini değiştirir.

Şimdi, iki sütunun yer değiştirmesi işareti değiştirir, çünkü her zaman --niçin olduğunu görmek istersem, devriğini alabilirim, bu sütünlar satırlara dönüşür, yer değiştirme yaparım, tekrar devrik alırım.

Ve bir sütün işlemi yapmış olurum.

Yani, sonuç olarak, satır bir’in herhangi bir özelliği yoktu. Çünkü satırları değiştirebilirim, ve şimdi satırlarlar için özel olmayan hiçbir şey sütunlar içinde geçerli değildir; çünkü bu aynı dır.

Tamam, ve yine belki yapmayacağım ---bakalım, yapalım mı? Belki bu on numaranın hızlı bir ispatını görmek yararlı olabilir, çabukça, çabukça on numaranın ispatı.

Alalım ---bu on numarayı.

A-devrik eşit A.

A devriğin determinantı eşit A nın determinantı. Bu biraz önce böyle söylemeliydim. Tamam.

Yani, sadece izin verin.

Herhangi bir matris A, yok etmeyi kullanırsam bu LU ya dönüşür ve onun devriği U devrik L devrik olur. Devrik alırsam. İzin verin.

Bu ispattır. Bu numara 10’un ispatıdır – onlardan hangisini kullanacağımı bilmiyorum böylece 1’den 9’a kadar hepsini koydum. Tamam.

Bir’den dokuza olanları kullanarak 10’uncu özelliği ispatlayacağım.

Bütün durumlara bakmayacağım, ama hemen hemen her durumu kapsayacak. Yani hemen hemen her durumda, A matrisi LU çarpanlarına ayrılır ve A-devrik bu şekilde çarpanlarına ayrılır.

Şimdi, sonra ne yapmalıyım? Yani bunların aynı olduğunu ispatlamak istiyorum. Burada bir çarpım görüyorum.

Öyleyse kural 9 u kullanayım. Yani, şimdi ispatlamak istediğim ---yani şimdi bunun LU, ve bunun da U-devrik ve L-devrik olduğunu biliyorum. Şimdi, sadece uygulama yapmak için, bütün bu determinantlar nedir? Yani bunlar ---bu bunu ispatlar, bunu ispatlar ve şimdi yapmaya hazırım .

L nın determinantı ne? L nın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O köşegenlerinde 1 olan alt üçgensel matris idi. Böylece bu adamın determinantı ne? 1 dir.

Her zaman, üçgensel matrisim olduğunda köşegen altındaki bütün bu sıfır olmayanlardan kurtulabilirim. L nın determinantı 1 dir. L-devrik’in determinantı hakkında ne düşünüyorsunuz? Bu da üçgenseldir, değil mi? Köşegenlerinde hala birler var, sadece sıfır olmayanlar köşegenin diğer yanına geçtiler ama neyse bunların hiç önemi yok.

Bu benim ispatım, aslında üçgensel matrislere L ve L-devrik, veya U ve U-devrik’e sahipsem, onların üçgensel olduğu zaman, köşegenlerin çarpımına geldim demektir ve devriğini alırsam, kimin umurunda? Tamam, bu ispatta her t’yi,-- virgülüne kadar her şeyi yazmadım ama bu gerçek bir ispat oldu.

Bunun somut bir ispatı gibi oldu ---üçgensel matrisi elde et ve sonra köşegen matrisleri elde et.

Tamam, bir tane daha geliyor, bunu yapmak zorundayım, çünkü bunu izleyen bütün matematik profesörleri bunu bekliyor olmalılar. Tamam, bu nedenle son dakikaya kadar beklemek zorundalar, Ne ---çok önceleri özellik 2 de, dedim ki satır değişimi yaparsan, determinant işaret değiştirir.

Yani 7 kez satır değişimi yaparsan, determinant işaret değiştirir, ama o ---aynı matriste yedi defa satır değiştirmek ve on defa satır değiştirmek mümkün mü? Bu mümkünse, kötü bir şey olurdu, değil mi? Yapabilirsem ---niçin kötü olsun ki? Benim bütün dersim biterdi, değil mi? Çünkü kural 2, yedi defa satır değişimi yaparsan, o zaman determinantın işaretinin değiştiğini söylüyor. Ama on tane satır değişimi yaparsan, determinantın işareti aynı kalır, çünkü 10 tane -1 in çarpımı artı birdir.

Tamam, yani burada saklı bir gerçek var, burada her -- her permutasyon gibi, permutasyonlar ya tek ya da çifttir. Yedi tane satır değişimi ile bu permutasyonu elde edebiliyorsam, o zaman 21 veya 23 yada 101 için de elde edebilirim; yeter ki sayı tek olsun.

Veya çift sayılı permütasyonlar, ama bu durumda bir gerçek var ki görmek için küçük bir cebirsel oyun yapmak lazım ve bunun anlamı şu: Determinant bir, iki, üç özellikleri ile de iyi tanımlanmıştır -- ve sonra da 4 ten 10 a kadar özelliği var. Tamam, bugünlük bu kadar ve öğleden sonra web üzerinden sonraki Çarşamba için ev ödevi hazırlamaya çalışacağım. Teşekkürler.