MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 17

Pekala, bu diklik üzerine son dersimiz.

Peki iki tane vektör, dik vektörlerle karşılaştık, satır uzayı ve sıfır uzayı gibi dik alt uzayları gördük. Şimdi bugün dik tabanlı ve dik bir matrisi göreceğiz. Bu bölümde dikliği tamamen açıklığa kavuşturacağız

Ama burada ---birimdik kelimesini kullanmam gerekiyor.

Dik olan ---benim vektörler q1, q2, ..., qn’e kadar ---burada q harfini kullanmak bana sadece dik şeylerle uğraştığımı, herhangi vektörlerle değil sadece dik olanlardan bahsettiğimi hatırlatıyor. Peki bunun anlamı ne? Bundan kasıt q’nun diğer her q ile dik olması.

Bu doğal bir fikir, doksan derece açılar veren bir taban ---iç çarpımların hepsi sıfır. Tabii eğer q ---kesinlikle qi, kendisi ile dik değil. Burada en iyi seçimi yapacağız, bunu birim vektör yapacağız.

Bu durumda birim vektör için q_i devrik q_ j bir oluyor.

Boy kare de bir. İşte normal kelimesini bunun için kullanıyorum. Dolayısıyla bu kısım için normalize edilmiş birim uzunluk var.

Pekala bu dersin birinci kısmında, her şeyi daha güzel yapmak için, birimdik bir tabana sahip olmanın ne demek olduğunu anlayacağız. Bu hesaplamaları daha iyi yapar, sayısal cebirin büyük bir kısmı birimdik vektörlerle çalışmaya dayanır. Çünkü bunlar asla alıp başını gitmez, asla taşmaz veya eksik kalmaz. Bunları bir Q matrisine koyacağız ve dersin ikinci kısmın da ise A matrisimizin tabanlarının, sütunlarının birimdik olmadığını kabul edeceğiz.

Bunları nasıl yapacağım? Bu basit fikirle ilgili olan iki isim, Graham ve Schmidt. Dolayısıyla birinci kısımda böyle bir taban oluşturduk.

Bunları matrisin sütunlarına koyalım.

Dolayısıyla Q matrisine ---bu birimdik vektörleri koyacağım, q1 birinci sütun, qn’de n’inci sütun olacak.

Ve demek istediğim şey, bu özelliği yazmak istiyorum, qi-devrik qj’nin sıfır olması, bunu matris formuna getirmek istiyorum. Burada yapılacak doğru iş, Q-devrik Q’ya bakmak olur. Peki bu bölüm A-devrik A’ya bakıyordu. Dolayısıyla Q-devrik Q’ya bakmak çok doğal. Buradaki güzellik bunun mükemmel çıkması. Çünkü Q-devrik Q’nun satırlarında bu vektörler var, birinci satır q1-devrik ve n’ninci satır qn-devrik. Dolayısıyla bu Q-devrik.

Şimdi Q ile çarpmak istiyorum.

Bunu q1’den qn’ye sütunlar boyunca yapacağız

Bu Q’dur. Ve ne elde ediyorum? Bu gerçekten ---bu ilk en basit gerçek olup, matriste birimdik vektörler ve birimdik sütunlar nasıl davranır. Eğer Q-devrik Q’yu hesaplarsak ne olur? Eğer birinci satırı birinci sütunla çarparsam ne elde ederim? 1. Eğer birinci satırı ikinci sütunla çarparsak, ne elde ederim? Sıfır. İşte bu diklik’tir.

Birinci satır çarpı son sütun sıfır olur.

Dolayısıyla köşegenlerde bir diğer her yerde sıfır elde ediyorum. Bir birim matrisi elde ediyorum. Şimdi bunun nasıl --yapılacak doğru hesap budur.

Eğer birimdik sütunlarınız varsa ve burada matrisin karesel olma zorunluluğu yoksa, sadece iki tane sütunumuz olabilir.

Bunların dört veya çok sayıda bileşenleri olabilir.

Ancak bunlar birimdik olduklarından, biz Q-devrik çarpı Q yaparsak, yani Q-devrik çarpı Q veya A-devrik çarpı A, tüm skaler çarpımlarını gerektirir.

Satırlar çarpı sütunlar. Ve bu birimdik durumunda, en iyi cevabı birim matrisi buluruz.

Pekala, bu böyle ---yani şimdi elimde yeni çok önemli bir matris var. Daha önce neler gördük? Çok önceleri üçgensel matrisleri, köşegen matrisleri, permutasyon matrislerini gördük, bu önceki bölümlerde idi sonra basamaklı biçimlere baktık, sonra da, bu bölümde de izdüşüm matrisleri gördük, ve şimdi de birimdik sütunlu matrislerin yeni bir sınıfını görüyoruz. Bu çok uzun bir ifade. Üzgünüm bunlara sadece dik matrisler diyemem. Fakat bu dik matris terimi ---veya belki bunlara birimdik matrisler diyebilmem gerekir, neden ona birimdik demiyelim ki ---bence bu mükemmel bir isim oldu.

Q’ya bir birimdik matris diyebiliriz çünkü bunun sütunları birimdik. Tamam, fakat gelenek olduğu üzere, sadece dik matrisler terimini kullanıyoruz, biz sadece bu ---bu dik matris kelimesini onun karesel olması durumunda kullanıyoruz, bu birimdik kelimesini bilinmeyen bir sebepten dolayı kullanmıyoruz.

Dolayısıyla karesel matris olması durumunda, buna dik matris diyoruz .

Peki karesel olmanın önemi ne? Çünkü bu bir karesel matris ise, bunun tersi de elimizde demektir, yani ---dolayısıyla eğer Q karesel ise, bu durumda Q-devrik Q eşittir I bize der ki ---bunu şunun altına yazayım ---bize der ki Q-devrik, Q’nun tersidir.

Birimdik sütunlu karesel bir matrisin hatırlanması kolay olan bir özelliği var. Bu da ---bunun için birkaç örnek yazayım. Bakalım.

Örneğin eğer herhangi --evet örnekler, biraz örnek yapalım. Herhangi bir permutasyon matrisi alalım, evet gelişi güzel bir permutasyon matrisi alayım.

Permutasyon Q eşittir, üç’e üç’lük diyelim, 0, 0, 1 ;1, 0, 0 ; 0, 1, 0.

Pekala. Bunun sütunlarında kesinlikle birim vektörler var. Bu vektörler kesinlikle bir birlerine diktir. Ve eğer ben ---ve dolayısıyla işte bu.

Bu onu bir Q yapar. Ve ---bunun devriğini alırsam, yani Q-devrik ile çarparsam, bunu yapayım mı? Şuraya Q-devrik’i sıkıştırayım.

Bu çarpımı bir kere daha yapayım, devrik yaparsam ---bunu bir sütun yap, bunu bir sütun yap, bunu da bir sütun yap. Ve bu devrik ayrıca ---başka bir Q olur. Başka bir birimdik matris.

Ve bu çarpımı yaptığımda I’yı elde ediyorum.

Pekala, işte bir örnek. Ve aslında ikinci bir örnek daha var. Ancak bunlar gerçekten kolay örnekler, değil mi, yani dik sütunlar elde etmek için bunları farklı yerlerine birler koymak çok kolay bir şey. Örnek çözmeye devam edelim. Peki işte başka bir basit örnek. Cos teta, sin teta, burada birim vektör var, aman, hatta bunu alayım, şey, evet. Cos teta, sin teta burada ve diğer sütunda sin teta cos teta yı istiyorum.

Fakat iç çarpımının da sıfır olmasını istiyorum.

Buraya bir eksi koyarsam, her şey tamam olur.

Dolayısıyla bu ---bir birim vektör, bu da bir birim vektör. Ve skaler çarpımını alırsam, eksi ve artı, yani sıfır elde ederim.

Örneğin Q diyelim ki bir, bir, bir, eksi bir olsun, bu bir dik matris midir? Burada dik sütunlar var, ama bu tam olarak dik bir matris değil. Bunu nasıl dik matris haline getiririm? Peki bu sütun vektörlerinin boyu nedir? Bunların kendileri ile olan skaler çarpımı ---şu anda o iki olur, doğru, bu --boyun karesi.

Boy kare 1+1 = 2 olur, boyu da 2’nin karekökü olur, dolayısıyla bunu karekök ikiye bölsem iyi olur.

Pekala, işte bir ---işte artık elimde bir dik matris var, aslında bu, --.bu gördüğünüz ---teta nın pi bölü dört olduğunda, kosinüsler ve hemem hemen ..sanırım bu eksi sinüs aşağıya iner, böylece belki de, bilmiyorum, belki eksi pi bölü dört yada bunun gibi bir şey olur. Tamam.

Son bir örnek daha yapayım, sadece daha büyüklerini de elde edebileceğinizi göstermek amacıyla. Q eşittir, bu köşedeki matrisi alayım ve bir şekilde bu şablonu tekrar edeyim, bir daha tekrar edeyim ve sonra da buraya eksi koyayım.

İşte bu dünyanın en gözde dik matrislerinden biri.

Umarım doğru yapmışımdır ---görebiliyor musunuz ---bir sütunun iç çarpımını bir başka sütunla aldığım zaman, bir bakalım, eğer bu sütunun iç çarpımını şununla alırsam elimde iki eksi ve iki artı olur, işte bu iyi.

Eğer bununla şunun iç çarpımını alırsak, elime bir artı ve bir eksi, bir eksi ve bir artı geçer. Güzel.

Sanırım her şey yolunda. Ve bunu şimdi neye bölmeliyim? Bunları birim vektör yapmak için, şu anda bu 1, 1, 1, 1 vektörün boyu iki olur. Yani dört’ün karekökü.

Dolayısıyla bunu birim vektör yapmak için bunu ikiye bölmeliyim, işte bir başkası. Burada çok sayıda basit örnek var .. Bu oluşturum Adhemar denilen bir kişinin adıyla anılıyor ve bunu 2, 4, 16, 64 ve böyle devam edenler için nasıl yapacağımızı biliyoruz, ancak tabii hiç kimse hangi boyuttaki matrislerin birli ve eksi birli dik matrislere izin vereceğini bilmiyor. Dolayısıyla Adhemar matrisi içinde birler ve eksi birler, ve çok sayıda birleri olan bir dik matris olup --bazılarını biliyoruz, bazı diğer boyutları, sanırım 5 x 5 olmuyordu.

Ancak bazı boyutlar var ki henüz hiç kimse buradaki gibi bir matrisin olup olmadığını bilmiyor.

Pekala, artık dik matrisleri gördünüz. Şimdi size şunu ne sorayım ---dik matrislerin olması neden iyi? Eğer dik bir matrisim varsa, bu hangi hesaplamayı kolaylaştırıyor?

Ve hatırlarsak bu matris dikdörtgensel olabiliyordu. Bunu yazayım mı ---burada bir dikdörtgensel örnek olsa iyi olacak. Dolayısıyla bunların hepsi karesel örnekler. Bunun mümkün olduğunu göstermek için buraya bir dikdörtgensel örnek yazmak istiyorum. Bana yardım eder misiniz?

Bakalım. 1, 2, 2 ; -2, -1, 2 gibi bir şeyler koyayım.

Bu ---bir matris ---eyvah bunun sütunları henüz normalize edilmemiş.

Bunu yapmayı asla unutmamalıyım.

Bunu yapmayı daima sona bırakırım, çünkü öyle yapmak daha kolay.

Bu sütunların boyu nedir? Eğer bunların --eğer bunların birim boyutta olmalarını istersem, bunları boylarına bölmeliyim ki bu 1 kare + 2 kare + 2 kare ve bu da 1 +4 +4 = 9 olur, bunun karekökünü alırsam bunu üçe bölmeliyim. Pekala.

İşte burada ---bu olmadan, elimde bir birimdik vektör var.

Yani bir birim vektör. Şimdi bu vatandaşı yerleştireyim.

Şimdi elimde iki boyutlu bir uzayın sütun uzayı için bir taban var, bir birimdik taban, tamam mı? Bu iki sütun birimdik, bunlar gerdikleri bu iki boyutlu uzay için birimdik bir taban oluşturur.

Bu arada birimdik vektörlerin bağımsız olmaları gerek.

Bunu birimdik vektörlerde göstermek kolay, çünkü bunlar hep doksan derece açı yaparlar ve sıfır veren bir bileşimleri de yoktur. Eğer bir üçüncüsünü oluşturmak istersem, buraya ya bağımsız olan bir üçüncü vektör koyarım veya biraz sonra açıklayacak olduğum Graham- Schmidt hesaplamasına giderim, veya bir ilham gelip “bak bu şekilde buraya neden bir, buraya neden iki koyup işaretleri ayarlayıp bunu kullanılır hale getirmiyorum” da diyebilirim.

Bilmiyorum bunu çok akıllıcamı yaptım.

Bakalım, hangi işaretler, bu eksi, belki buraya bir eksi işaret koysam iyi olur, bu nasıl olur? Evet, belki bu işe yarar. Sanırım bu üç sütun birimdik ve bunlar --- bunun güzelliği ---bu son örnek; belki burada hiç karekök yok ---burada Graham –Schmidt’te sorun olan şey, belki daha önceden bilsek iyi olur, çünkü ben bu vektörlerin birim vektörler olmasını istiyorum ve her zaman kare kökler karşıma çıkıyor. Hep her zaman boylara bölüyorum.

Ve bu boylar hep karekök olurlar.

Dolayısıyla bir Graham-Schmidt örneği yapınca kare köklerin ortaya çıkmaya başladığını göreceksiniz

İşte burada karekök kullanmadan yaptığımız bazı örnekler var. Pekala.

Tamam, yani çok güzel

Sonraki soru bir Q’ya sahip olmanın ne işe yaradığıdır? Hangi formüller daha kolay hale geliyor? Diyelim ki bir izdüşüm istiyorum, ve diyelim ki Q --- diyelim ki Q birimdik sütunlara sahip olsun.

Burada Q harfini kullanmakla bunu kast ediyorum, bunu bir kere daha yazayım, ancak ne zaman Q yazsam, onun birimdik sütunları olduğunu kast ediyorum.

Peki bunun sütun uzayına bir izdüşüm yapmak istediğimi varsayalım.

Pekala, izdüşüm matrisi nedir? Sütun uzayına izdüşüm yaptığım izdüşüm matrisi ne? Pekala, bu bana kısaca izdüşüm ünitesini tekrarlamama şansı verir, bu büyük formül de içermek üzere, ki bir satırda şu dört A’lar vardı, fakat şimdi burada Q’lar var, çünkü ben Q’nun sütun bölgesine izdüşüm alıyorum, peki bunun ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu Q (Q devrik Q) ters Q devrik’ti.

İşte bu dört Q bir satır içinde. Peki burada iyi olan şey ne? Bir sütun uzayına izdüşüm yaptığıma ve bu uzay için birimdik bir taban olduğuna göre, bu formülü bu kadar güzel yapan şey ne? Onun güzel olmasını saylayan, bunun bir birim matris olmasıdır. Burada bir ters alma yapmam gerekmiyor. Sadece (Q Q-devrik)’i elde ettim.

Dolayısıyla Q Q-devrik bir izdüşüm matrisidir

Aman tanrım, bunun özelliklerini incelemekten kendimi alamıyorum, bir izdüşüm matrisinin özellikleri nelerdir? Herhangi bir izdüşüm matrisinin bilmemiz gereken iki özelliği var. Matrisin sütunlarında birimdik taban olduğunda, bunun doğru izdüşüm matrisi olduğunu söylüyorum. Tamam.

Dolayısıyla işte izdüşüm matrisi bu.

Matrisin karesel olduğunu farz edelim ..ilk önce bana bunun sınır durumunu söyleyin .. eğer benim matrisim karesel ise ve birimdik sütunları da varsa, bu durumda sütun uzayı nedir? Eğer bir karesel matrisim varsa ve o bağımsız sütunlara sahipse, ve hatta birimdik sütunları varsa, bu durumda sütun uzayı tüm uzaydır, değil mi? Peki tüm uzay üzerindeki izdüşüm matrisi nedir? Birim matris.

Eğer bütün uzaya izdüşüm yapıyorsak, her b vektörü olması gereken yerde ve bunu izdüşümle yerlerinden oynatmam gerekmiyor. Dolayısıyla bu --eğer Q karesel ise, bunu paranteze alıyorum.

Pekala bu aynen söylediğim gibi. Eğer Q karesel ise, bu durumda burada Q devrik = Q ters olur, bunu sağa koyabiliriz, bunu sola da koyabiliriz, her seferinde de aynı birim matrisini elde ederiz, eğer bu karesel ise.

Eğer bu karesel bir matris değilse, bu durumda bu olmaz --birim matrisini elde edemeyiz. Elimizde Q Q-devrik var, ve bir kere daha izdüşüm matrisinin şu iki özelliği neydi? Her şeyden önce, o simetrik idi, burada sorun yok, bu kesinlikle simetrik bir matris.

Peki izdüşümün ikinci özelliği ne idi? Burada bir izdüşüm alıp tekrar izdüşüm alırsanız ikincisinde hareket etmezsiniz. Dolayısıyla izdüşüm matrisinin diğer özelliği: Q Q-devrik’in iki defa izdüşümünün alınması ile, Q Q-devrik’in bir defa izdüşümünün alınmasının aynı olması gerekir.

Bunlar izdüşüm matrisleri. Ve bu özelliğin hemen ortaya çıkması lazım, çünkü biz birimdik matrisler için Q-devrik Q’nun I olduğunu biliyoruz. Pekala. Onu görüyorsunuz.

Burada ortada Q devrik Q duruyor, üzgünüm, söylemek istediğim şey, Q-devrik Q’nun I olması. Dolayısıyla işte bu ortada duran, bize birim matrisi vererek sadeleşir, dolayısıyla elimizde bir tane Q Q-devrik kalır, ve her şey tamam.

Pekala. Bu izdüşüm matrisi ---tüm denklem ---bu bölümdeki tüm bu karmaşık denklemler, matrisimizde bu birimdik tabana sahip olduğumuz zaman, değerini yitirir. Peki tüm denklemlerden ne kast ediyorum? Tabii, en önemli denklem normal denklemdi, o eski A-devrik A x-şapka = A devrik b’yi hatırlıyor musunuz? Ama şimdi A yerine Q var. Şu andaki düşünceme göre elimde Q-devrik Q X-şapka = Q-devrik b var.

Peki bunun iyi olan yanı ne? İyi yanı bu soldaki matrisin birim matris olmasıdır. Soldaki matris, Q-devrik Q matrisi birim olur, ama genelde değildir. Genelde bu iç çarpım matrisi olup, tüm bu salak iç çarpımları hesaplamak ve sistemi çözmek zorundasınız. Buradaki iç çarpımların hepsi bir veya sıfırdır. Bu birim matrisdir.

Gitti. Ve işte cevap.

Burada hiçbir ters alma söz konusu değildir. x’in her bileşeni bir Q çarpı b’dir. Bu denklemin söylediği şey, i’ninci bileşenenin, i’ninci taban vektörünün b ile çarpımı olduğu. Bu ---muhtemelen matematiğin bazı ana kısımları için en önemli formüldür, yani elimizde birimdik bir taban varsa, bu durumda i’ninci taban vektörü üzerine olan i’ninci izdüşümün bileşeni kısaca qi-devrik b’dir.

Aradığımız x sayısı kısaca skaler çarpımdır.

Tamam. Pekala, artık dersin ikinci kısmı için hazır gibiyim.

Burada bir birimdik matris ile, birimdik vektörler ile başlayamıyorsak, bağımsız vektörlerle başlarız ve bunların birimdik olmalarını isteriz

Şimdi ben ---bunu artık yapabilir miyim? Şimdi burada Graham Schmidt geliyor? İşte Graham – Schmidt.

Bu bir hesaplama demeyeceğim, bunun yok etme gibi olduğunu söyleyemeyeceğim, çünkü bu farklı; amacımız artık üçgensel değil. Yok etme ile amacımız matrisi üçgensel yapmak idi. Şimdi ise amacımız matrisi dik yapmak. Şu sütunları birimdik yapmak. Dolayısıyla işe iki sütun ile başlayayım. Yani elimde a ve b gibi iki vektör olsun.

Ve onlar burada olanlar gibi, onları buraya çiziyorum.

İşte a. İşte b.

Örneğin, a özellikle yatay değil zaten öyle de olmamalı. Buradaki vektörlerden biri a diğeri de b. Bu iki vektörü oluşturmak istiyorum, bunlar on iki boyutlu bir uzayda bulunabilir, veya iki boyutlu uzayda da bulunabilir.

Her ne ise, bunlar bağımsızlar.

Bunun böyle olduğundan emin olmalıyım. İşe bağımsız vektörlerle başlıyorum. Ve bundan q1 ve q2’yi oluşturmak istiyorum, birimdik vektörler oluşturmak istiyorum. Ve bunu nasıl yapacağımı bana Graham-Schmidt söylüyor. Tamam.

Güzel, aslında nasıl’ı siz de söyleyebilirsiniz, buna ihtiyacımız yok ---açıkçası, bilmiyorum ---burada sadece bir fikir var, eğer bu fikir Graham’ın ise, Schmidt’in ne yaptı bilmiyorum.

Ama olsun. Pekala onu göreceksiniz.

Aslında her ikisine de ihtiyacımız yok.

Peki ne yapacağım. Bu birinci vatandaşı alacağım. Tamam mı. O gayet iyi. Bu yön iyi ama ---evet, tamam diyeceğim. Peki bu yönü de kabul edeceğim.

Burada yapmak istediğim şey ---buradaki amacım dik vektörler elde etmek ve bunlara büyük A ve B diyeceğim.

Buradaki en önemli adım herhangi iki vektörden iki dik vektör elde etmek. Ve sonra sonunda, bir sorun yok. Birimdik vektörleri elde edeceğim, nasıl olacak ---bunlar benim qs’lerim olacak, yani q1 ve q2 ve peki bunlar neler? A ve B’yi bir kere dik yapınca, güzel bakın, bu öyle zor bir şey değil ---belki de bu Schmidt’in yaptığı şey, zeki Schmidt’in, düşünce tamam boya bölmek, pekala. İşte bu Schmidt’in katkısı.

Fakat Graham’ın biraz daha düşünmesi gerekti, değil mi? Daha Graham’ın kısmını yapmadım. Bu kısım bir şeyin dışında tamam. A ile bir sorunum yok, A A olabilir. Bu ilk yön tamam. Niye olsun ki ---onun hakkında bir şikayetim yok. Sorun ikinci yönün tamam olmaması. Çünkü bu birinci ile dik değil. B ile başlayan ama A ile dik olan bir vektör arıyorum.

Bu vektör nedir? Bunu nasıl yaparım? Bu vektörden buna dik olan bir kısmı nasıl oluşturabilirim? ve unutmayın bu vektörler iki boyutta da olabilir on iki boyutta da.

Sadece bir fikir arıyorum. Peki bu fikir ne? Nerede bu vatandaşa dik olan bir vektörümüz vardı? İşte bu, tüm bölümün ilk temel hesabı bu idi.

Bir izdüşüm yaptık ve izdüşüm bize bu kısmı verdi, yani A yönündeki bu kısmı. Şimdi de öbür tarafı istiyoruz, e kısmını. Bu kısmı.

İşte bu arkadaş bizim adamımız olacak.

Bu bizim B vektörümüz. Bu bize 90 derecelik bir açı veriyor. Dolayısıyla B bizim daha önce e dediğimiz kısım olur.

Hata vektörü. Peki nedir bu? Demek istediğim ne yapmalıyım ---burada B nedir? A A’dır, sorun yok. B ise ---pekala, bu hata kısmı nedir? Hatırlıyor musunuz? Burada orijinal b ile başlıyor ve ne çıkartıyorduk? Onun izdüşümünü, bu P yi.

Bu ---B vektörü, bu hata vektörü, orijinal vektörden izdüşümü çıkarmak olur.

Dolayısıyla burada izdüşümü istemiyorum, onu atmak istiyorum.

İstediğim dikey olan bu kısım.

Tabii burada dikey bir kısım olacak ve bu sıfır olmayacak. Çünkü bu vektörler bağımsız, B’de ---eğer B A’nın yönünde ise, yani eğer orijinal B ve A aynı yönde ise, bu durumda bir yönüm var demektir. Ancak burada iki bağımsız yön var ve benim yaptığım yegane şey bu vatandaşı bulmak. Peki bunun formülü ne? İzdüşümü çıkarmak istersem bunun için formülü ne olur? İzdüşümü hatırlıyor musunuz? Bu A’nın bir katı, peki bu kat ne? bu ---bu bülümün ilk dersinde x dediğimiz şey.

Altta bir A-devrik A var ve şurada da A-devrik b var, o bu değil mi? Sanırım bu Graham’ın formülü. Veya Graham Schmidt.

Hayır, bu Graham’ın. Schmidt her şeyi boya böldü, dolayısıyla bu formül her şeyi karmakarışık hale getiriyor ki bunu yazmak istemiyorum.

Sadece burada ne demek istediğimi görün? Dediğim şey bu vektörün A’ya dik olması.

Yani bunlar diktir. A B’ye diktir.

Bunu kontrol edebilir misiniz? Bunu nasıl görebilirsiniz, tabii ki bizim resmimiz doğru yaptığımızı gösteriyor. Bu matrisin A’ya dik olduğunu nasıl kontrol edersiniz? Bunu A devrik ile çarparım ve sıfır bulsam iyi olur, değil mi? Bunu kontrol etmem gerek. A-devrik B sıfır vermeli. Dolayısıyla bu A-devrik çarpı ---şimdi B’ye ne demiştik? İşe orijinal B ile başlayalım ve bu izdüşümü çıkaralım, ve bunun sıfır çıkması gerekir. Güzel, burada A-devrik B eksi ---ve burada başka bir A-devrik B var ve bu A-devrik A bölü A-devrik A, bu bir, bunlar biri birini götürür ve sıfır elde edilir.

Doğru. Şimdi sanırım artık buraya rakamlar koyabiliriz. Ama bu sistemi elde ettiğimden emin olmak için bir üçüncü vektör daha almalıyım. Dolayısıyla eğer elimde a, b ve c gibi bağımsız vektörler varsa ve A, B, ve C dik vektörlerini arıyorsam, o zaman tabii ki bu üçüncü vatandaş sadece C’nin boyuna bölünmeli, yani birim vektör olmalı.

İşte artık problem bu. Burada B’yi bulduk

A’yi kolaylıkla buldum. Ve şimdi --eğer fikri gördüyseniz, C için bir formül bulabiliriz.

Sanırım ---bu tipik bir ev ödevi problemi olabilir.

Size iki vektör verdiğimde, bunu yaparsınız; size üç vektör verirsem, onları birimdik yapmak zorundasınız. Dolayısıyla aynı işlemi yapıyoruz, ilk vektörde sorun yok, ikinci vektör ise bu ilkine dik, ve burada hem birinci hem de ikinci vektöre dik olan bir üçüncü vektör gerek. Bu dersin sonunda bu vatandaşı bulmamız gerek.

Bu vektör bulmak ---bu vektör C’yi, bunun bu noktada A ve B’ye dik olduğunu biliyoruz. Ancak bize verilen c ve küçük c tahtadan dışarı doğru çıkıyor bağımsız yani, buralarda bir c var, bu sinir şeyi nereye koyacağımı bilmiyorum? Belki onu şuraya, bilmiyorum, bu c ve c bir şekilde.

Ve bu dikey yönü zaten biliyorum, şu ve şu. Peki fikir ne? Bana C için olan Graham –Schmidt formülü verin.

Buradaki bu C nedir? Neye eşittir? Şimdi ne yapacağım? İşe verilen ile başlayacağım.

Daha önceleri de yaptığımız gibi, işe bana verilen vektörle başlayayım.

Peki bunla ne yapacağım? Bunu ondan çıkarmak istiyorum, uzaklaştırmak istiyorum, dolayısıyla buraya bir eksi işaret koyacağım, bunun A ve B yönlerindeki bileşenlerini çıkarmak istiyorum.

Bunları oradan uzaklaştırmak istiyorum.

Pekala bunu nasıl yapacağımı biliyorum. Bunu B ile yaptım.

Tamam, bunu uzaklaştırayım. Peki bunu yapsam ne olur ki? Ne yaptım ben? Küçük c’yi buldum ve bundan neyi çıkardım? İsterseniz izdüşüm diyebilirsiniz, bu A yönünde bir bileşen,.

Ve şimdi bunun bileşenini (B-devrik C bölü B-devrik B)’den çıkarmak, bu B’nin bir katı, bu onun B yönündeki bileşeni olur.

Bu bana büyük C vektörünü verir ki eğer biraz adalet varsa, bu C, A’ya dik olmalı ve B’ye de dik olmalı.

Buradaki elde edemediğimiz tek şey birim vektördür, dolayısıyla bunu elde etmek için bunu uzunluğuna bölmek gerekiyor. Tamam. Bir örnek yapayım.

Hayatı biraz daha kolaylaştırayım, sadece iki vektör alacağım. Peki bir sayısal örnek yapayım. Size iki tane vektör vereceğim ve siz de bana Graham Schmidt birimdik tabanı vereceksiniz, ve bunu matris şeklinde nasıl ifade edeceğimize bakacağız .

Pekala size iki vektör vereyim. Dolayısıyla A vektörü diyelim ki 1, 1, 1 olsun, niye olmasın? Ve B’de diyelim ki 1, 0, 2 olsun, tamam mı? Ben burada hile yapıp da Graham Schmidt’in gerekli olmaması için bunları dik yapmayacağım.

Pekala. Yani bunlar dik değil.

Peki büyük A ne? Bu aynı A’ya eşit

Bu güzel. Peki B nedir? Peki bu orijinal B olup bundan A’nın belli bir katını çıkarıyoruz. Ve buradaki kat nedir? Buraya neler girmeli? B ---işte A burada ---bu da ufak b, bu büyük A, aynı zamanda küçük a, ve bunu doğru oranda şununla çarpmak istiyorum --- bu doğru oran burada A-devrik A, işte bu benim oranım. Benim yaptığım iş de şu anda bu.

Dolayısyla bu A-devrik B, bu A-devrik B nedir, 3 gibi gözüküyor. Peki A nedir ---aman, A-devrik A ne? 3. Üzgünüm, bunun olacağını bilmiyordum. Pekala.

Ama oldu işte. Bunu neden yıkalım? Pekala. Bunu görüyorsunuz değil mi? İşte A-devrik B, ve burada da A-devrik A var, bu da kesir, bunu çıkartalım, dolayısıyla bir den biri çıkartırsam bu sıfır olur, sıfırdan bunu çıkarırsak bu eksi bir olur ve 2 -1 =1 olur.

Peki bu son olarak elde ettiğimiz vektör nedir? B dir.

Bunun doğru olduğunu nasıl bileceğim? İstediğim vektörü elde ettiğimi nasıl bileceğim? Buna göre B’nin dik olduğunu ---yani A ve B’nin dik olduğunu kontrol etmem gerekir.

Bu A B’ye dik mi? Sadece buna bakın.

Bu bir ---bununla bunun skaler çarpımı sıfırdır.

Pekala. Yani şimdi benim q1 ve q2 değerlerim ne? Bunları neden matrise koymuyorum ki? Elbette bunları hep koyarım ---dolayısyla Q, q1 ve q2’yi matrise koyacağım. Peki bunlar nedir? Şimdi q’ları yazarsam, her şeyi normalize yapıyorum demektir. Her şeyi birim vektör yapmam lazım. Dolayısıyla bu A’yı alacağım ve bunu kök üçe böleceğim.

Bu B’yi alacağım ve bunu birim vektör yapmak için kök ikiye böleceğim ve işte benim matrisim. İşte Graham – Schmid’ten gelen dik sütunları olan matrisim bu ve bu bir çeşit orijinal (1, 1, 1), (1, 0, 2) değil mi? Bunlar benim orijinal vatandaşlar. Bunlar benim işe başladığım ikili. Bu ikili de sonuçta mutlu olarak elde ettiklerim. Çünkü bunlar birimdik ler.

İşte Graham –Schmidt’in yaptığı şey.

Pekala bu matrislerin sütün uzaylarından bahsedin bana.

Q’nun sütun uzayıyla A’nın sütun uzayı arasındaki ilişki nedir? Size hep bu tip sorular sormak suretiyle sizi düşünmeye zorluyorum. Pekala, sütun uzayı tüm sütunların bileşimleridir ve o bu düzlemdir, değil mi? Üç boyutlu bir uzayda iki tane vektör var ve bunların sütun uzayı bir düzlem, bu matrisin sütun uzayı bir düzlem, bu düzlemler arasındaki ilişki nedir? Bu iki sütun uzayı arasında? Bunlar tek ve aynı değil mi? O aynı sütun uzayıdır.

Burada aldığım şey, bu hesapladığım B şeyi, hesapladığım bu B şeyi, b ile A’nın bir bileşimidir, ve A küçük a idi, dolayısıyla burada aynı uzayda çalışıyorum. Burada 90 derecelik açılar elde ediyorum. Burada benim orijinal sütun uzayım buna, mükemmel bir taban oluşturmaktaydı ama bu taban kadar iyi değil, çünkü o birimdik değildi.

Artık bu birimdik ve bir tabanım var ---artık yapmak istemediğim tüm izdüşümler, tüm hesaplamalar bu birimdik taban ile çocuk oyuncağı olur. Son bir nokta.

Bu bölümdeki son nokta. Ve bu, yok etmedeki gibi olur.

Yok etmeyi nasıl yapacağımızı öğrendik, tüm bu adımları biliyoruz, bunu yapabiliriz. Fakat buna geri döndüğümüzde ve bunu bir matris olarak gördüğümüzde, matris lisanında yok etme ---yok etme matris lisanında ne? Bunu yukarıya yazacağım.

A, LU idi. Bu bir matris idi, bu yok etme idi. Şimdi, aynı şeyi Graham –Schmidt için de yapalım. Doğrusal cebir ile uğraşan herkes sütunları dik veya birimdik olarak yazamayacaktır. Ve bu formülleri de yazmayacaklardır. Onlar A matrisi ile Q matrisi arasındaki ilişkiyi yazarlar.

Ve bu iki matris aynı sütun uzayına sahip, ama bazı matrisler, neyse buna R diyelim, dolayısıyla A= QR olur ki bu da aradığımız sihirli formüldür. Bu Graham – Schmidt ifadesidir. Ve ben ---bunu yakalayayım. İşte bu benim en son basamağım, bu A=QR dir. Belki bunu buraya sıkıştırabilirim. A’nın sütunları var, bunlar a1 ve a2 diyelim.

n’de iki olsun, sadece iki vektör olsun.

Tamam. Dolayısıyla bu q1 ve q1’nin bazı bileşimi çarpı bir R matrisi olur.

Bunların sütun uzayları aynıdır. Bu ---bu matris sadece 3/3, 1/kök3 , 1/kök2 gibi sayıları içerir ..belki de içerdiği her şey budur. burada 1/kök3 , 1/kök2 ve bunun gibi şeyler var ancak burada sıfır da var.

Bu A=QR için olan ana nokta R’nin üst üçgensel olmasıdır.

Bu sıfır üst üçgensel de ortaya çıkıyor.

Bunun neden böyle olduğunu görebiliriz. Bakalım, burada bunların ne olduğunu göstermek için genel formülleri yazalım.

Sanırım burada a1’in q1 ile iç çarpımı olmalı.

Ve bu da a1’in q2 ile olan iç çarpımı olmalı. Ve bunun sıfır olduğuna inanıyorum. Buralarda bir şey olmalı ve bu da iç ---a1 devrik q2, özür dilerim a2 devrik q1 ve a2 devrik q2.

Ama bu arkadaş niye sıfır oldu? Neden a1 q2 sıfır? Bu ---bu R’nin burada üst üçgensel olmasının anahtarıdır. a1 q2’in niçin sıfır olduğunu biliyorsunuz, çünkü a1 ---bu benim ---burada gerçekten bu a ve b idi.

Bu gerçekte a ve b idi. Dolayısıyla bu a-devrik q2 dir.

Ve Graham Schmidt’in demek istediği şey bu oluşturduğumuz q’ların daha önceden gördüğümüz tüm vektörlere dik olması ..Önceki vektörlerin hepsine.

İşte bir üçgensel matris elde etmemizin nedeni bu. Bu sonuç son derece tatminkar oldu.

Eğer elimde bağımsız sütunları olan bir matris varsa, Graham-Schmidt dik sütunlu bir matris oluşturur ve bunlarla olan bağlantı ise üçgensel bir matristir.

Bu son nokta, yani bağlantının üçgensel matris olması için, lütfen kitaba bakın, bunu bir kere daha görmeniz gerekiyor

Pekala. Teşekkürler.