MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 16

Pekala ..İşte16. ders ve hatırlarsanız geçen dersimizi benim izdüşüm matrisi dediğim bu formülle bitirmiştik.

Belki de bir dakikamızı ayırıp bu sihirli formülün ne yaptığını hatırlasak iyi olur. Örneğin bu ..bu bir izdüşüm oluşturuyordu ..eğer bir b ile çarpar, dolayısıyla P çarpı b’yi alırsam, b vektörünün sütun uzayındaki en yakın noktaya izdüşümünü alıyorduk. Tamam mı.

Bunu hatırlamanın bir yolu da iki tane sınır (uç) durumu almak. Diyelim ki b vektörü sütun uzayında olsun. Bu durumda P izdüşümünü uygularsam ne elde ederim? Burada sütun uzayına izdüşüm alıyorum ama burada zaten sütun uzayında olan bir vektörle başlıyorum, dolayısıyla izdüşüm uyguladığımda elime yine b geçecek. Doğru. Şimdi size bu formülden bunun nasıl çıktığını göstermek istiyorum.

Diğer uç durumunu alayım. Diyelimki vektör sütun uzayına dik.

Sütun uzayını bir düzlem olarak alıp, b’nin bundan dik olarak sarktığını düşünelim.

Bu durumda sütun uzayında b’ye en yakın olan nokta nedir? Yani eğer benim baktığım b vektörünün sütun uzayında bir bileşeni yoksa ve buna doksan derece bir açıyla yapışmışsa – ki bu durumda Pb =0 olmalı, değil mi, düzleme olan izdüşüm veya sütun uzayındaki en yakın nokta nedir? Dolayısıyla bunlar iki sınır durum olur. Ortalama bir vektör sütun uzayında bir bileşene sahip olup, izdüşüm bu kısmı yok etmekte bu kısmı ise muhafaza etmektedir. Anlaşıldı mı?

Bunun neden doğru olduğunu görebiliyor musunuz? Bu formülün neden işe yaraması gerektiğini.

Dolayısıyla bunla başlayayım. Hangi vektörler sütun uzayına dik? Sıfırı elde ettiğimi nasıl anlarım? Bir b vektörünün sütun uzayına dik olmasının neyi ifade ettiğini düşünmem gerek. Eğer bu tüm sütunlara dik ise, bunun bir başka uzayda olması gerekir. Bizim dört tane uzayımız var, bunu yapmamın sebebi bu dört uzayla ilgili bildiklerimi en iyi şekilde uygulamak. Hangi vektörler sütun uzayına dik? Bu vatandaşlar A devrik’in sıfır uzayındalar, değil mi? Bu bu bölümün birinci kısımda, bu uzayların esas geometrisi.

Eğer sütun uzayına diksem, A devrik’in sıfır uzayındayım demektir.

Pekala, A devrik’in sıfır uzayında isem ve büyük formülü b ile çarparsam, Pb’yi elde ederim, bu artık izdüşüm Pb, sıfır elde ettim gördünüz mü? Tabii ki sıfır elde ettim.

Bunun sonunda, A devrik b bana direkt olarak sıfır veriyor. İşte buradaki sıfırların sebebi.

Çünkü eğer sütun uzayına dik isem, o zaman A devrik’in sıfır uzayındayım demektir ve A devrik b sıfırdır. Pekala diğer olasılık ne? Eğer b sütun uzayındaysa, bu formülün bana doğru sonucu verdiğini nasıl görebilirim? Pekiyi, sütun uzayındaki tipik vektör nedir? Bu sütunların bir bileşimi.

Bu sütunların bileşimini nasıl yazarım? Söyleyin bana nasıl yazarım, biliyorsunuz, bu sütun uzayında olan her günkü vektörleriniz? Bunlar A çarpı bir x formunda olabilir ,değil mi? Sütun uzayı içinde olan şey, bu A çarpı bir şey. Bu sütunların bileşimini oluşturur. Kısaca bu b’ler A devrik’in sıfır uzayındadır. Sütun uzayındaki bu vatandaşlar, bu b’ler Ax’lerdir, değil mi? Buna kısa sınavlarda veya final sınavında önem vereceğim.

Bunu artık kavramalısınız, çünkü binlerce kez söyledik, sütun uzayındaki şeyler A çarpı x vektörleridir. Tamam mı?

Pekiyi bu formülümüzü kullandığımız zaman ne olduğunu görüyor musunuz? Burada bir A devrik A var ve bu tersi ile biribirlerini götürüyor.

Dolayısıyla elimizde A çarpı x kalır. Yani sonuç Ax’dir.

Ki bu b idi. Çalıştığını görüyorsunuz? İşte tüm iş bu. Götür, Götür ve geride Ax kalsın. Ve Ax ise b idi.

Dolayısıyla bu durumda, bu b’ye eşit olur.

Yani burada geometrik olarak biz bir vektör alıyoruz ---bir sütun uzayımız var ve buna dik olan A devrik’in sıfır uzayı var.

Ve bizim tipik b vektörümüz burada. Sıfır var, dolayısıyla bizim tipik b vektörümüz var, ve onun P ye izdüşümünü alıyoruz.

Ve tabiî ki aynı zamanda bunun diğer kısmını da buluyoruz yani e’yi.

Dolayısıyla bu iki kısım, yani izdüşüm kısmı ve hata kısmı eklenerek orijinal b’yi oluşturuyor.

Pekala, bu bizim matrisimizin yaptığı iş. Dolayısıyla bu p bu P Ab’ye eşit, özür dilerim, Pb ‘ye ..bu b’ye uygulanan izdüşüm ve bu da bir izdüşümdür.

Bu, bu uzaya olan izdüşüm.

Bunun için iyi bir formül ne? Diyelim ki sizden izdüşüm matrisinin bu uzaya, yani bu dik bölgeye olan izdüşümünü istedim? Eğer bu izdüşüm P ise, bana e’yi veren izdüşüm nedir? Bu ---bu vektörün gerisini de istiyorum, bu direkt olarak (I - P) çarpı b olur, ki bu da bir izdüşümdür.

Bu dik uzaya olan izdüşüm olur.

Pekala, eğer P bir izdüşümse, I-P bir izdüşümdür. Eğer P simetrikse, I-P de simetriktir. Eğer P’nin karesi eşit P ise, o zaman (I-P)’nin karesi eşit (I-P) olur.

Bu sadece ---cebir ve sadece görüntünün bize dediğini yapıyor.

Ama cebir bizi bu ifadeye götürüyor.

P için verilen bu ifade, bu altuzay için bir taban oluşturur ve verilen bu A matrisinin sütunları da bizim sütun uzayımız için taban oluşturur. Bu sadece bir hatırlatma idi --- bu formülü daha çok göreceğiz

Pekiyi, bunu nasıl kullanacağım? Bunu bir kere daha yapalım ---geçen dersimizde başladığımız ve en iyi doğruyu aradığımız probleme devam edelim.

Hatırlarsak bu problemde ben ..belli bir noktalar dizisi aldım ..bunlar o kadar harika değildi, t = 1, 2, 3, yükseklikler de 1, 2, ve sonra tekrar 2 idi. Bu şekilde, bu güzel kırkbeş derecelik doğruyu buldum ---ancak burada üçüncü nokta doğru üzerine düşmüyordu.

Ve en iyi doğruyu bulmak istiyordum. Yani aradığım doğru, y=C+Dt idi.

Doğal olarak bu doğru bu üç noktadan geçmez, çünkü hiç bir doğru bu üç noktadan geçmez.

Buna göre en iyi doğruyu seçmem gerek, buradan geçen ve en düşük toplam hatayı veren doğruyu. Şimdi size toplam hatanın ne olduğunu söylemem gerek? Ve ---bu kazanan doğruyu belirleyecek. Eğer bilmiyorsak ---yani hatadan kastımızın ne olduğunu belirlemem gerek ---daha sonra bunu en düşüğe indirip ---en iyi C ve D’yi bulacağız. Tamam.

Eğer buradan geçersem ---yani bu noktadan geçersem, bu C+D=1 denklemini çözebilirim.

Çünkü bu noktada t eşit 1 dir ---elimde C+D olur, ve doğru sonuç çıkar. Eğer bu noktadan geçersem, C+2D =2 olur.

Çünkü t=2 olduğunda, cevabı 2 olarak elde etmek istiyorum. Üçüncü noktada, elimde C + 3D olur çünkü t =3 olup, aradığım cevap 2, yine 2 dir.

İşte bunlar benim üç denklemim.

Bunlar bir çözüm içermiyor. Ama en iyi çözüm var. Pekiyi bu en iyi çözümden kastımız ne? Şimdi biraz vakit ayırıp en iyi çözüm hakkında neler dediğimi hatırlayalım. Dolayısıyla benim denklemin Ax=b. A bu, [bir, bir, bir ; bir, iki, üç] matrisidir.

x de benim ---sadece C ve D gibi iki tane bilinmeyenim var, ve sağ taraftaki b ise bir, iki, üç olur.

Pekala, çözüm yok.

Üç denklem ---elimde 3’e 2’lik bir matrisim var, iki tane bağımsız sütunum var --- dolayısıyla sütun uzayı için tabanım var, bu iki sütun bağımsızlar, bunlar sütun uzayının tabanı olur, fakat sütun uzayı bu vektörü içermiyor.

Burada en olası ---bu en olasıdan kasıt ne? Bunun doğrusal denklemlerde ortaya çıkması ---ben bunların toplamını minimize etmek istiyorum. Burada bir hata yapıyor olacağım. Burada da bir hata yapıyor olacağım. Burada da bir hata yapıyor olacağım. Ve bunların karelerinin toplamı alacağım ve bu hataları toplamış olacağım. Dolayısıyla bu karelerin toplamı.

Bu benim aradığım en küçük kareler çözümü olur. Dolayısıyla bu hatalar, Ax ile b arasındaki farktır. İşte bunu küçük yapmak istiyorum. Ve bunu ölçme şeklim ---bu bir vektör değil mi? Bu e1, e2, e3 olur. Bu Ax-b ve bu da e’dir.

Hata vektörü. Ve küçük olması boyuna bağlı. Bu vektörün boyu. İşte bu benim minimize etmek istediğim şey. Ve kare almaya uygun. Eğer bir şeyi küçük yapacaksam ---bu asla negatif bir değer değil, değil mi? Bu vektörün boyu. Burada sıfır vektörü olduğu zaman bu boy sıfır olacaktır. Bu benim tam olarak çözebileceğim bir durum, b sütun uzayında, her şey mükemmel. Ama halen bu duruma gelmedik.

Bir de e hata vektörüm olacak.

Bu bizim resmimizdeki hata vektörü nedir? Burada söylemek istediğim şey, ne olduğuna dair iki resmim var. Ne olup bittiğini gösteren iki resim var. Bu resimlerden birinde üç tane nokta ve bir de doğru var. Peki bu resimdeki üç tane hata nedir? Bu denklemde kaçırdığım üç hata ne? Bu kadar, işte o bu ---buradaki ufak parça. Doğruya kadar olan bu dikey mesafe. Burada bir --- afederseniz, burada bir var ve bir de C+D. Ve işte bu mesafe. İşte burada iki ve burada da C+2D. Dolayısıyla dikey olarak bu mesafe ---buradaki küçük hata e1 dir. Buradaki bu küçük hata da e2 dir

Buradan gelecek olan küçük hata e3 dür. Peki toplam hata nedir? Bu e1 kare +e2 kare + e3 kare şeklindedir. İşte küçültmeye çalıştığım şey de bu. Bu konuyla daha ziyade istatistikçiler ilgilenir ---bu istatistiğin büyük bir kısmını teşkil eder, bir doğruya oturtmak bilimin önemli bir kısmıdır, özellikle istatistiğin, burada kullanılacak en iyi kelime regresyondur. Ben burada doğrusal regresyon yapıyorum. Burada karelerin toplamını alarak hata ölçümü yapıyorum. Burada bir istatistikçi şöyle diyebilir, “bu problemi çözerim, çünkü bu temiz bir problem”.

Bunun sonucunda çok güzel bir doğrusal sistem elde edilir.

Ancak bu kareler hakkında biraz dikkatli olmalıyız, bu durum için. Eğer bu noktalardan biri çok sapıyorsa, diyelim ki t=0 iken, yani çok sapan bir durumda ölçüm yaptığımızı farz edelim, o zaman bu dördüncü nokta varsa bu en iyi doğru aynı olur mu? Diyelim ki bu dördüncü nokta olsun.

Hayır -- bu doğru en iyi doğru olmaz. Bu doğru olağan üstü bir hata içerir ---ve bunun karesini alınca, bu nokta diğerlerinin çok uzağında kalır.

İstatistikçiler buna dışarıda kalan adını verirler, ve bu dışarıda kalan yüzünden problemin karmaşık hale gelmesini istemezler, çünkü bu da sonunda bir hatadır. Dolayısıyla kare almaktan pek hoşlanmazlar, eğer dışarıda kalanlar varsa, bunları tanımlamak isterler.

Tamam - ben en küçük kareler metodunun kullanılmadığını söylemek istemiyorum, aksine çok fazla kullanılmaktadır ama dışarıda kalanlar için aşırı düzeltme yapmaktadır.

Bu kare alma yüzünden.

Pekiyi, bu vatandaşın olmadığını farz edelim, elimizde sadece üç tane denklem olsun. Ve hatayı minimize etmek isteyeyim.

Hatırlarsanız göz önüne almamız gereken iki tane resim vardı.

Bunlardan bir tanesi şuydu. Bu üç tane nokta, en iyi doğru. Ve hatalar.

Şimdi, bu resimde bu doğru üzerindeki noktalar nedir ve bu noktalar gerçekten doğrunun üzerinde midir? Bunlara P1, P2 ve P3 diyelim, bunlar üç tane sayıdır, dolayısıyla bu yükseklik P1, bu yükseklik P2 ve bu yükseklik P3 dür, pekiyi bu adamlar kim? bunların b1, ---yerine üç tane sayı olduklarını farz edelim, herkes tüm bunları görüyor değil mi ---benim şekilleri çizmem çok iyi değil ama işte bize verilen b1, verilen b2 ve verilen b3 burada.

Size söz veriyorum, bu resme ek olarak bir tane harf bile koymayacağım.

Burada b1 var, P1 bu doğru üzerinde olan, ve e1 de aradaki mesafe.

Ve iki noktasında ve üç noktasında da aynısı olacak.

Peki ne oluyor? Bu P’ler nedir? P1, P2, P3, bunlar ne? Bunlar bileşenler olup, bir doğru üzerinde bulunurlar, değil mi? Burada b değerleri olan bir, iki, iki yerine, P1, P2, P3 noktalarını koyduğumu varsayın. Biraz sonra bu sayıların ne olduğunu bulacağım. Fakat ne yaptığımın bir resmini oluşturmam gerek. Eğer bu üç denkleme P1, P2, P3 koyarsam, neye yarayacak? Bunları çözebileceğim.

Bu P’lerden geçen bir doğru. Dolayısıyla P1, P2, P3 vektörü, bu sütun uzayı içinde.

Bu, bu sütunların bir bileşimidir. Bu en yakın bileşimdir. İşte o bu resimdir.

Gördüğünüz gibi, burada iki tane resim var, bu noktaları gösteren resim, ki bu resim tahta düzleminde, bu da vektörleri gösteren resim. Buradaki bu örnekte olan b vektörü, bir, iki, iki vektörüdür. Bu durumda sütun uzayı şuradaki A tarafından gerilir.

[1, 1, 1; 1, 2, 3] matrisinin sütun uzayı tarafından. Ve bu resim en yakın noktayı gösteriyor. Buradaki, P1, P2, P3 noktası, ki bunu bu ders sonuna kadar hesaplayacağım, sütun uzayına en yakın nokta olur.

Pekala, izin verin ---bunu daha fazla uzatmayı göze alamam ---şimdi bunu hesaplayabilir miyim? Bu hesabı yapıp ---P’yi bulacağım.

Pekala. P’yi bulalım.

x’i bulun ki o C D dir, P’yi bulun ve P.

Pekala, bu ufak şapkaları üzerlerine koymak suretiyle bunun en iyi kestirim doğrusu olduğunu, mükemmel doğru olmadığını hatırlatayım.

Pekala şimdi ne yapacağım? Mekanizmayı çalıştırayım. x için olan denklem neydi? x-şapka neydi?

Bunun için olan denklem: A-devrik A x-şapka = A-devrik x ---A devrik b. Bunun istatistiğin en önemli denklemi olduğunu söylememe izin verin.

Ve tabii ki en iyi kestirimin de. Ve her neyseniz ---ne zaman bir hata veya gürültünüz varsa, bunun için ilk kullanacağınız kestirim budur. Tamam mı?

Herhangi bir şeyi, birkaç parametreye oturtmaya çalışıyorsanız, kullanacağınız denklem budur. Tamam çözelim bunu. A-devrik A nedir? Dolayısıyla, bu matrislerin ne olduğunu bulmam gerekir. 1, 1, 1; 1, 2, 3 ve 1, 1, 1; 1, 2, 3, bu çarpım bana bir matris verir. Bu çarpımdan ne elde ederim, üç, altı, altı, ve bir ve dört daha ve dokuz daha ondört olur. [3, 6; 6, 14]

Pekala. Ve hesaplamalara başlamadan önce bu matriste neyi görmeyi beklemeliyim, ve görüyorum da? Bu matrisin simetrik olmasını beklerim. Bunun tersinin olmasını beklerim. Bu dersin sonuna doğru bunun pozitif tanımlı olmasını bekleyeceğimi söyleyeceğim, ancak bu ---bu son derece önemli matris olan A-devrik A için olan ilerideki bir husus.

Pekala. Şimdi de A-devrik b’yi belirleyim. Öyleyse bu b’ye burada ek bir sütun ekleyebilir miyim bir, iki, iki? Ve bir ek de, A-devrik b ye koyarsak, burası beş, ve burası da bir ve dört daha ve altı daha, onbir eder. Sanırım benim denklemin de 3C artı 6D eşittir beş, ve 6D artı –aman- 6C artı 14D eşittir 11 olur.

Sağlama açısından bakalım doğrumu yapmışım? Bir, bir, bir çarpı bir, iki, iki eşittir beş.

Bir, iki, üç, bu bir dir, dört ve altı, onbir. Her şey yolunda gözüküyor.

Bunlar benim denklemlerim. Bunlar benim ---bunlara normal denklemler adı verilir. Bunları yazıyorum ki onları çözebileyim. C ve D için çözüm yapacağım.

Burada ---bunları çözmeden bu yukarıdakiler için bir şey daha yapabilir miyim? Bu denklemleri kalkülüs’den bulmak istiyorum. Bunları bu minimize eden şeyden bulmak istiyorum. Pekala, birinci hata ne? İlk hata birinci denklem ile kaçırmış olduğumdur.

(C +D-1)’in karesi. Ve ikinci denklemde kaçırmış olduğum, ikinci hata da (C+2D-2)’nin karesi.

Ve üçüncü hatanın karesi ise, (C + 3D –2)’nin karesi olur. Bu benim ---minimize etmeye çalıştığım hataların karelerinin toplamı olur.

Pekala bunu nasıl minimize ederiz? Pekala doğrusal cebir bize minimum için olan denklemleri verir.

Aynı zamanda Kalkülüsü de kullanabilirim. Bu değişkenleri C ve D olan, iki değişkenli bir fonksiyondur ve burada minimumu arıyorum. Pekiyi bunu nasıl bulacağım? Direkt olarak kalkülüs’den, kısmi türevlerini alacağız, doğru mu? C ve D gibi iki değişkenimiz var, dolayısıyla C’ye göre kısmi türev alıp bunu sıfıra eşitleriz ve bu denklemi elde ederiz. Dolayısıyla, şeye göre kısmi türev alırsanız ---bunu yapmayacağım ---bunu size bırakıyorum. D’ye göre kısmi türev, bildiğiniz gibi doğrusal olacak. İşte bu en küçük karelerin güzelliği, burada bir şeyin karesini alıp daha sonra da bunun türevini alırsak, doğrusal bir şey elde ederim.

İşte elde ettiğim şey bu. Dolayısıyla bu hatanın C’ye göre türevi sıfır olmasından ve bu da hatanın D’ye göre türevinin sıfır olmasından oldu. Nereye bakarsanız bakın karşımıza bu denklemler çıkıyor. Sanırım bunu çözebilirim, yapacağım şey, bunları birbirinden çıkarmam gerekiyor. Tabii yok etme de yapacağım, çünkü yapmayı bildiğim yegane şey bu. Bunun iki katını bundan çıkartırsam bana ---bakalım, altı, peki iki türev eşittir bir olabilir mi? A ha.

Ama böyle değil ---bu sayıların çok kötü olarak ortaya çıkmasından korkuyordum. Ama bundan şunun iki katını çıkararak elde ettiğim denklem 2D=1 oldu. Dolayısıyla D=1/2 olup, C de yerine koyma sonunda, bu her neyse bize 6D=3 verir. Dolayısıysa C+3 =5 var, şimdi geri dönüp yerine koyarsam, doğru, üç, burada silik harflerle yapayım, 3C+6D =5 buradan 3C=2, dolayısıyla C=2/3 olur. 1/2 ve 2/3.

Dolayısıyla en iyi doğru, en iyi doğru -- 2/3 sabiti artı (1/2)t şeklindedir. Pekiyi, benim bu çizdiğim şekil az çok doğru mu? Tekrar yazalım, bu en iyi doğruyu kopyalayalım, 2/3 ve 1/2.

Bakalım ---iki bölü üç ve bir bölü iki’yi koyacağım.

Tamam. Bu P1 ne, bu t=1 deki değer. t=1 de, elimde 2/3 +1/2 var ki bu da 4/6 ve 3/6 olur, dolayısıyla P1, aman bunun üzerine ek bir şey yazmayacağıma dair söz vermiştim, dolayısıyla P1’i silip 7/6 yazıyorum.

Tamam, bu birin üstünde ve e1 1/6 olur, doğru.

Hepsini gördünüz, değil mi? P2 ne?

t=2 iken benim doğrum nedir? t=2 iken bu 2/3 +1 değil mi? Bu 5/3 olur. 2/3 ve t=2, yani 2/3 artı 1 eşittir 5/3. Bu kesinlikle tam olarak iki’den daha küçük. Ve sonra nihayet P3, t=3 iken 2/3 +3/2 nedir? Bu 3/2 + 2/3 ile aynı. Bu belki 4/6 ve 9/6 belki de 13/6 dır.Tamam.Tekrar, bakın, buna bakın.

Bu cevabı güzelliğini takdir etmelisiniz. Bu birinci hata ne? İşte e1, e2, e3 hataları. Pekala ilk hata e1 ne? Tamam, eğer hataların toplandığına karar verirsek, bu 1/6 olur. Ve en son hata (13/6) eksi 2 = 1/6 olur. Peki bu ortadaki hata nedir? Bakalım, doğru cevap 2 idi. Ve biz 5/3 bulduk ve bu diğer yönde, eksi 1/3, eksi 2/6 olur. Bu bizim hata vektörümüz .. Bizim resmimizde ve diğer resimde burada, şu anda P ve e’yi bulduk. e bu vektör 1/6, -2/6, 1/6 ve P’de bu adam.

Güzel, belki de e’nin işareti hatalı, sanırım öyle, izin verin düzelteyim. Çünkü bu 1/6 ve bu artı P’nin orijinal b’yi vermesini istiyorum.

Ben P+e’nin b olmasını istiyorum. Dolayısıyla -1/6 +7/6 nın doğru b olup bire eşit olmasını istiyorum. Şimdi ---burada derin bir nefes alacağım ve bu hata vektörü hakkında ne bildiğimizi soracağım? Gördüğünüz gibi, tüm problem çözüldü hatta sayılar bile doğru çıktı. Dolayısıyla P burada, izin verin yazayım -- şimdi buraya b = P + e yazayım.

b inanıyorum ki bir, iki, iki idi. En yakın nokta 7/6 oldu, diğerleri ne idi? 5/3 ve 13/6. Ve e vektörü -1/6, 2/ 6, 1/3 başka bir deyişle ve -1/6 idi. Tamam.

Bu iki vektör hakkında bana bir şeyler söyleyin. Bu iki vektör hakkında bir şeyler söyleyin, güzel, bunlar toplanıp b oluyor, değil mi? Çok güzel.

Başka ne var? Bu iki vektör p, yani izdüşüm vektörü, ve e yani hata vektörü hakkında daha neler biliyoruz? Bunlar bir birine dik, doğru..

Bunu teyit etmeye cesaretiniz var mı? Bu vektörlerin skaler çarpımlarını alabilir miyim? -7/36 gibi bir şey elde ederim, bunu 10/6 ya değiştirebilir miyim? Aman, Tanrım, hemen buradaya gel.

-7/36 +20/36 -13/36 . Tanrım şükürler olsun.

Pekala. Ve bu vektör hakkında daha neler bilmeliyiz? Gerçekte biliyoruz --- çok az şey daha biliyoruz. Bu e vektörü P’ye dik, ama daha birçok şeye de dik. Bu sadece sütun uzayında bulunan bu şeye dik değil, bu kesinlikle sütun uzayında, bu sütun uzayına da dik. Dolayısyla bana bunun dik olduğu bir başka vektör daha verin. Bir tane daha çünkü bu tüm sütun uzayına dik, sadece buna değil ---bu sütun uzayında olan bir izdüşüm ancak sütun uzayında olan diğer şeylere de dik, dolayısıyla bana bir başka vektör söyleyin. Pekala matrisi yazdım, bana sütun uzayında olan bir vektör söyleyin.

Güzel bir tane seçin. Bir, bir, bir.

Bu herkesin düşündüğü şey mi?

Pekala bir, bir, bir sütun uzayında.

Bu adamın bir, bir, bir’e dik olması gerekiyor. Öyle mi acaba? Tabii ki öyle. Eğer bir, bir, bir’in skaler çarpımını alırsam -1/6+2/6-1/6 =0 elde ederim.

Ve bu bir, iki, üçe’de dik.

Çünkü bir, iki, üç’ün skaler çarpımını alırsam, -1+4-3 bulurum ki buda yine sıfır olur. Pekala umarım bu iki resmi de görüyorsunuz. Buradaki resim vektörlerle, buradaki resim ise en iyi doğru ile ilgili ve aynı resim, sadece --- buradaki düzlemde doğru gösterilirken, buradaki doğruyu hiç bir zaman göstermedi, bu resimde, C ve D hiç bir zaman olmadı.

Bu resimde ise C ve D vardı ---bildiğiniz gibi, bunlar bu doğruyu belirliyor. Ancak bu ikisi tamamen aynı.

C ve D, P’yi veren bu iki sütunun bileşimidir.

Dolayısıyla bunlar bu kareler.

Ve buradaki en özel ve önemli örnek bunları doğru üzerine oturtmak. Dolaysıyla bu çarşamba size doğru üzerine oturtma ile ilgili ev ödevi verilecek.

Yani burada anahtar denklemi çözeceksiniz. Bu anahtar denklemi çözdüğünüzde P =A x-şapka olacak. Bütün hepsi bu.

Pekala. Daha önce bahsettiğim ve sonra da tekrarladığım üzere, biraz doğrusal cebir yapalım, şu ana kadar yapmadık? Şimdi yapmam gerekiyor.

Bu A-devrik A matrisi ile ilgili.

İşte. Bu matrisin tersinin olduğundan emindim. Ve tabii ki bunun tersinin olduğundan emin olmak istedim, çünkü bu problemi bu matris ile çözmeyi planladım. Daha önce bu bölümün hemen başında belirttiğim gibi bunun tersinin olması gerek. Ama şimdi ---buna geri dönebilirmiyim?

Söylediğim gibi -- eğer A bağımsız sütunlara sahipse, A-devrik A nın tersi alınabilir.

Ve ilk önce önemli bir hususu tekrarlamak istiyorum, bu her şeyi oraya koyan bir şart.

A’nın bu bağımsız sütunları her şeyin oraya gitmesini garanti eder. Düşünün bakalım neden?

Neden bu A-devrik A, neden A’nın sütunları bağımsızken tersi alınabiliyor oluyor? Pekala işte ..eğer tersi olmasaydı ---dolayısıyla bunu ispatlamak istiyorum. Eğer o tersi olmayan ise, ne olur? Bu doğruya erişmek --- düşünerek bu doğruyu takip etmek istiyorum ve bakalım ne elde edeceğim.

Dolaylı ispat. Diyelim ki A-devrik Ax sıfır olsun.

Bunu ispatlamaya çalışıyorum. Şimdi işte bu ispattır.

Bu derste pek fazla ispat yapmak istemiyorum.

Ama bu son derece önemli bir husus ve bildiğimiz her şeyi o sağlıyor.

Şimdi ispata geçelim. A-devrik Ax eşit sıfır diyelim.

Burada ispatlamak istediğim şey A devrik A’nın tersinin olduğu.

Pekala şimdi neyi ispatlamaya çalışıyorum? İspatlamaya çalıştığım şey bu husus. Bunu kullanacağım, ve bu matrisin tersinin olduğunu kanıtlamak istiyorum. Tamam mı? Pekala, A-devrik Ax’in sıfır olduğunu farz edersem, hangi sonuca erişmeye çalışıyorum? x’inde sıfır olduğunu bilmek isterim. x’in sıfır olması gerektiğini göstermek istiyorum.

Bunu göstermek, x’in sıfır vektörü olduğunu ispatlamak demektir.

Bu doğru mu? Geçen bölümde işte bunu anlamaya çalıştık, yani bir matris tersinin olması, onun sıfır uzayında sadece sıfır vektörünün olması demekti.

İşte göstermek istediğim de bu. A-devrik Ax neden sıfır, x neden sıfır olmak zorunda? Bunun sebebi ne? Bunu yapmanın iki yolu var.

Bir tanesini göstereyim. İşte, hile burada. Her iki tarafın x ile skaler çarpımını alalım. Dolayısıyla her iki tarafı da x devrik ile çarpacağım. (x devrik) (A devrik) (Ax) eşittir sıfır. Bunu hile olarak yazmamalıydım. Buna böyle demek şaçma bir fikir gibi görünüyor.

Bu harika bir fikir, daha önce ortaya koymalıydım.

Pekala. Bir fikrim var.

Tamam. Şimdi, (x devrik) (A devrik) (Ax) = 0 denklemim var -- bu denkleme bakarak bunu hemen görmenizi umuyorum.

Bu denklemden ne sonuç çıkarabilirim? Eğer elimde x-devrik A varsa ---pekala, x-devrik A-devrik Ax nedir? Bu size ne veriyor? Bunu tekrar parenteze alıyoruz, Ax’e bakıyorum ve ne görüyorum? Onun devriğini.

Burada gördüğüm şey (Ax)-devrik (Ax).

Bu sıfıra eşit. Artık (Ax)-devrik Ax, dolayısıyla ona y veya herhangi bir şey dersem, ve y devrik y sıfır ise, bu bana ne söyler? Bu vektörün sıfır olması gerekir değil mi? Bu uzunluğun karesi olur, bu (Ax) kare vektörünün uzunluğudur, yani Ax çarpı Ax. Buradan Ax’in sıfır olması gerektiği sonucuna varıyoruz. Güzel, bir yerlere geliyoruz.

Artık (Ax)’in sıfır olduğunu biliyorum, şimdi bu ufak hipotezimi kullanacağım. Her matematikçi bu hipotezi bir yerde kullanmak zorunda, değil mi? A’nın bağımsız sütunları varsa ve biz de Ax’in sıfır olduğu bir noktada isek, bu bize ne söyler? Bu size final sınavındaki sorulabilecek doldurmalı sorulara benziyor. Eğer A’nin bağımsız sütunları varsa ve Ax =0 ise, o zaman ne olur? Lütfen söyleyin.

x sıfır, değil mi? Bu benim ispatlamak istediğim şey. Bunun neden böyle olduğunu görüyormusunuz? Eğer Ax=0 ise, şimdi bunu kullanıyoruz ---burada ise bir şeyin karesi olarak kullandık, dolayısıyla yaptığımız gözlemleri ufak bir paranteze alıyorum, bu sıfır olan bir kare idi, dolayısıyla bu şey sıfır olmalı.

Şimdi A’nın bağımsız sütunları olduğundan bağımsız sütunlar hipotezini kullanıyoruz. Bu bana x’in kendi sıfır uzayında olduğunu ve böyle bir matrisin sıfır uzayında olan yegane şeyin de sıfır vektör olduğunu söylemekte. Tamam. İşte argumanımız bu ve bu sıfır uzayı anlayışımızı nasıl kullandığını görüyorsunuz.

Bu harika. Pekala.

Pekala neredeyiz? Bu tahta sanki bu matrisin bağımsız sütunlara sahip olmasından dolayı tersinin alınabilmesi gerektiğini söyleyen destekleyici bir teori gibi. İşte burada bağımsız bir durum var ---bu durumda geometri çok daha işe yarıyor. Sütunların bağımsız olduğu zaman.

Bunu belirteyim ---bunu yazayım çünkü gelecek sefer konu bu olacak. Sütunlar eğer dik’seler, kesinlikle bağımsız olurlar. Burada sıfır sütun kullanma ihtimali çıkartmalıyım, hepsinin uzunluğu bir olsun – yani bunlar birim dik vektörler ise kesinlikle bağımsızdırlar.

Aynen (bir, sıfır, sıfır), (sıfır, bir, sıfır) ve (sıfır, sıfır, bir) vektörleri gibi.

Bu vektörler birim vektörler olup birbirlerine diktir ve kesinlikle bağımsızdırlar.

Daha da fazlası da var, diyelim ki onlar ---oh bu çok güzel, yani bu matris için A-devrik A nedir? Bu üç sütunlu matris için, bu bir birim matristir.

İşte bu dersin ana noktası geliyor. Eğer birim dik vektörlerle ilgileniyorsak ve bunun için dik kelimesini kullanmalıydım ama birbirlerine dik dedim ---ve bu birim vektörlere dik kelimesini ekleyerek elde edilirler. Birimdik vektörler.

Bunlar bulabileceğiniz en iyi sütunlardır.

Sütunları birimdik olan matrisler, bir birlerine diktir, ve bunlar birim vektörlerdir, ama bunların bu üçü olması şart değil; burada size son bir örnek yapayım, peki biri böyle bir açıda ve biri de 90 derecede olsun, bu vektör cos(teta), sin(teta), bir birim vektör, bu vektör de eksi sin(teta), cos(teta) olsun. Bunlar birimdik vektörlerin favori çiftleridir. Bunların ikisi de birim vektör olup biri birlerine diktirler. Bu açıda 90 derecedir.

Gelecek haftaki işimiz neden birimdik vektörlerin harika olduğunu görmek ve daha sonra da vektörleri birimdik yapmak olacak.

Görüşmek üzere.. Teşekkürler.