MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 15

Evet arkadaşlar ---bu dersi ölümsüz kılmaya hazır mıyız?

Hazır mıyız? Tamam öyleyse.

Bu önemli bir ders. İzdüşümler hakkında.

Bir b vektörünün a vektörü üzerindeki izdüşümünü alarak başlayalım.

Şimdi geometrinin iki boyut içinde kaldığımızda neye benzediğini görelim. Tek boyutlu alt uzay da bu doğru boyunca bir nokta bulmak istiyorum. Dolayısıyla işe tek boyutla başlıyoruz. Bu doğru üzerinde a’ya en yakın olan noktayı bulmak istiyorum. Önce problemi alayım, daha sonra bunu neden yapmak istediğimi ve neden diğer alt uzaylar üzerine izdüşüm yapmak istediğimi açıklayayım. Pekâlâ bu doğru üzerinde b’ye en yakın olan nokta nerededir? Buralarda bir yerde. Bunu birleştireyim, pekiyi buradaki amacım ne? Burada dik’lik nerede? Buradaki en önemli nokta bunun en iyi nokta olması, bu b’nin doğru üzerindeki iz düşümü, peki dik’lik nerede? Görüldüğü gibi bu bir dik açı. Bu bir hata ---bu benim ne kadar hatalı olduğum ---bu b ile P arasındaki fark ---bu a’ya dik.

Bunun bize bir denklem vermesi gerekir.

Bildiğimiz bir gerçek varsa bunun bize izdüşümün nerede olduğunu söylemesi gerektiği.

Ayrıca şunu da söyleyeyim ---bakın burada bir üçgen çizdim. Eğer trigonometri yapıyor olsaydım, doğrusal cebirle karşılaştırıldığında, bize o karmaşık sinüs teta ve cosinus teta formüllerini veren teta açısıyla ilgili uzunlukları bulmak isterdim.

Bulmak istediğimiz formül ---peki ne biliyoruz? P yani izdüşümün a’nın katları olduğunu biliyoruz, doğru mu? Bu doğru üzerinde.

Dolayısıyla bu tek boyutlu bir alt uzay ve bu diyelim ki a’nın x katı . Dolayısıyla bulmak istediğim bu x sayısı. Bunu tek boyutta yapmak kolay. Pekala bunu yapalım ve bunu daha yüksek boyutlara nasıl taşıyacağımızı görelim.

Buradaki en önemli husus her şeyin dik olması. Buradaki gerçek, a’ya dik olan bir şeyin e’ye de dik olması. Ki bu (a devrik) (b-ax), aman bu ax değil, ne olduğu önemli değil ---xa. İşte bu sıfıra eşit.

Bu temel denklemin görüyor musunuz, bu bize a’nın buna --düzeltmeye dik olduğunu söylüyor, işte bu bize x’in ne olduğunu söyleyecek.

Tahtayı biraz kaldırayım ve bunu sadeleştireyim ve işte x ortaya çıktı. Tamam.

Dolayısıyla bunu sadeleştirirsem, bakalım bir terimi bu tarafa diğer terimi öbür tarafa alalım, elime x çarpı (a devrik)a eşit (a devrik)b. Doğru mu? Elimde bir terim olarak a devrik b var ve diğer terim olarak ta (a devrik)a var, dolayısıyla işte benim (a devrik)a terimim.

Ancak bu sadece bir sayı. Ve buna bölmem gerek.

Cevabı buldum. x (a devrik)b nin (a devrik)a ya bölümü. Ve P yani bulmak istediğim izdüşüm sağdaki çarpım.

İçinde cos teta var.

Ancak açılara bakmamız gerekmiyor.

Burada sadece vektörleri elde ettik.

Ve P izdüşümüm, a çarpı bu x olur.

Veya x’in bu a ile çarpımı. Fakat sonunda x’in sağ tarafa geçmesi gerekecek. Burada hali hazırda üç formülden ikisini elde ettiğimi görüyor musunuz, tam burada. Elimde beni cevaba götürecek bu denklem var, işte bu x’in cevabı ve işte bu da izdüşüm.

Pekala bu tek boyutlu probleme bir şey daha ekleyebilir miyim? Bunu doğrusal cebirden matrislere taşıyacak bir şey. İşte yapmak istediğim en son şey bu, ama bu formülleri unutmayın.

(a devrik)b bölü (a devrik)a.

Aslında öncelikle şuna biraz bakayım.

Farz edin ki ---bir sonraki adımı atayım.

Dolayısıyla P a çarpı x olur. Yani artık bunu yazabilir miyim? P a çarpı bu zarif sayı, yani (a devrik)b nin (a devrik)a bölümü olur. İşte bu bizim izdüşümümüz. Bu formülleri anlamaya ve sindirmeye çalışırken size bir iki soru sorabilir miyim? Diyelim ki b’yi iki katına çıkardım.

Diyelim ki b yerine 2b yazdım. İzdüşüme ne olur? Diyelim ki bu b vektörü yerine tahtaya bunun iki katı uzunluğunda bir vektör çizdim. Şimdiki izdüşüm nedir? Oda iki katına çıkar değil mi? İki misli uzağa gider, yani b iki katına çıkarsa izdüşüm de iki katına çıkar. Ve onu burada görüyorsunuz.

Yani ek bir 2 faktörü koyarsam, P’de bu faktörü alır. Peki a’yı iki katına çıkarırsam ne olur? Üzerine izdüşüm aldığım a vektörünü iki katına çıkarırsam ne değişir? İzdüşüm de hiçbir şey değişmez. Değil mi? Çünkü ben sadece ---bu doğru değişmedi.

Eğer a’yı iki katına çıkarırsam, yada eksi a alırsam.

Yine aynı doğru olur. İzdüşüm hala aynı yerde. Ve elbette eğer a’yı iki katına çıkarırsam, yukarı da dört birim ve aşağı da da dört birim elde ederim ve bu ikisi birbirlerini götürürler ve izdüşüm aynı kalır.

Şimdi burada buna izdüşüm olarak bakarsak ---burada bir matris var. Yani izdüşüm, bizim izdüşüm matrisi diyeceğimiz bir matris ile yapılıyor. Ve başka bir deyişle izdüşüm bu b terimi üzerine etkiyen ve izdüşümü oluşturan bir matristir. Kısaca izdüşüm P, verilen girdiye etkiyen bir izdüşüm matrisidir. Burada girdimiz b, izdüşüm matrisi de P olur. Değil mi?

Aslında şu anda bana bu izdüşüm matrisinin ne olduğunu söyleyebilirsiniz. Yani bu bayağı ilginç bir matris. Hangi matris b ile çarpılıyor? Sadece, bu formülden, P’nin ne olduğunu görebilirim. P, izdüşüm matrisi, ---bu da ne? Üstte bir a devriği görüyorum, ve altta da bir (a devrik a) var.

Ve bunlar birbirini götürmez. Bu bir sayı değil.

Değil mi? Bu bir matris.

Çünkü altta bir (a devrik)a var, bu sadece bir sayı, (a devrik)a, işte bu boyun karesi, ve üstte de bir sütun çarpı satır var. Sütun çarpı bir satır bir matris olur. Dolayısıyla bu tam ölçekli n’ye n’lik matris olur, eğer n boyuttaysam. Ve bu ilginç bir durum. Eğer bunu b ile çarparsam, o zaman bunu elde ediyorum, bir kere daha gördüğünüz gibi, bu parantezleri farklı yerlere koyuyorum. Parantezleri buraya doğru olarak koyuyorum. Tamam, işte buna izdüşümü oluşturan matris diyorum.

Tamam. Şimdi, bana söyleyin ---pekala, bu matrisin özellikleri neler? Burada sadece a ve b harflerini kullanıyorum, sayıda kullanabilirim ama ilk defa bu harflerle daha açık olacak çünkü formüller basit, (a devrik)b nin (a devrik)a ya bölümü ---işte bu a ile çarpılan bir sayı, ve sonra -- bir dakika burada bir matris var ve bu matrisin rankı ne? Sırası gelmişken, bu matrisin rankı ne, evet ---size bu matrisle ilgili birkaç soru sorayım.

Biraz garip görünüyor, a a devriğin bu sayıya bölümü.

Fakat, bunun sütun uzayını da sorabilirdim.

Evet, size bunun sütun uzayını sorayım.

Pekala bir matrisin sütun uzayı nedir? Eğer bir matrisi herhangi bir şeyle çarparsanız daima bir sütun uzayı elde edersiniz, değil mi? Bir matrisin sütun uzayı, bu matrisle bir vektörü çarptığınız zaman ---herhangi bir b vektörü bu matris tarafından çarpılırsa daima sütun uzayına girersiniz. Sütun uzayı bu şekilde çalışır.

Pekiyi, daima hangi uzaya ineriz? Pekala bu matrisin sütun uzayı nedir ---herhangi bir b vektörü ile matrisimizi çarptığımızda sonuç ne olur? Dolayısıyla P çarpı b, şimdi neredeyim? Bu doğru üzerindeyim, değil mi? Bu sütun uzayı, peki işte burada, bu matris ile ilgili gerçekler var. Bu izdüşüm matrisi P nin sütun uzayı, a’dan geçen bir doğrudur.

Ve bu matrisin rank’ı hepinizin bir ağızdan söyleyeceği gibi birdir.

Pekala. Rank’ı bir. Bu rank’ı bir olan bir matris. Aslında aynen rank’ı bir olan matrislerde alışık olduğumuz gibi davranıyor. Bir sütun çarpı bir satır -- bir sütun çarpı bir satır, matris rank’ı bir olan bir matristir; bu sütun, sütun uzayının tabanıdır. Sadece bir boyutta. Pekala. Matrisler hakkında bildiğim bu. Ama matrisler hakkında söylemek istediğim iki önemli husus daha var. Birincisi, bu matris simetrik mi? Bu matrisler hakkında sorulacak doğal bir soru. Cevabı evet. Bunun devriğini alırsam, burada aşağıda bir sayı var, (a a devrik)’in devriği a a’nın devriği olur. Dolayısıyla P simetriktir.

P devrik eşittir P. Dolayısıyla bu anahtar bir özellik, izdüşüm matrisinin simetrik olması. Bir başka özelliği ise bunun gerçel olması. İzdüşümü iki kere yaparsam ne olur? Dolayıyla ben P kare ile ilgili bir bilgi arıyorum. Ancak burada çizdiğim resme göre, herhangi bir b vektörü alırsam ve bunu izdüşüm matrisimle çarparsam beni buraya getirir, yani bu Pb’dir.

Şimdi tekrar izdüşüm alırsak ne olur? İzdüşümü ikinci kez uygularsam ne olur? Buna bir kere uyguladığımda beni buraya getirmişti, ikinci defa da beni buraya getirdi, yani olduğum yerde kaldım.

Pekala. Bu doğru üzerindeki bir noktanın izdüşümü aynı yerdir. İzdüşüm aynı noktadır. Bunun anlamı, eğer iki kere izdüşüm alırsam, birinci izdüşümde elde ettiğim cevabın aynısını elde edeceğim. Dolayısıyla bu iki özellik bana bir izdüşüm matrisine bakmam gerektiğini söylüyor.

Bu simetrik ve karesel; çünkü ikinci defa izdüşüm aldığımda birinci sonuçla aynısını elde ediyorum. Öyleyse işte burada da a’dan bu doğruya neyin izdüşümünü aldığımı bildiğim zaman kullanacağım tam formül var. Dolayıyla P’nin ne olduğunu biliyorum. Artık bir doğruya izdüşüm almak için gerekli olan tüm parçalar elimde ---lütfen bunları unutmayın.

Dolayısıyla hatırlamamız gereken üç tane formül var. x için olan formül, p veya ax için olan formül, ve P veya matris için olan formül. Güzel.

Harika. Tamam.

Şimdi daha yüksek boyutlara gitmek istiyorum.

Burada da üç tane formülümüz var ama bunlar biraz farklı; çünkü artık elimizde tek bir doğru değil ---üç boyutlu bir düzlem veya n boyutlu bir altuzay var.

Pekala. Şimdi sonraki soruya geçelim ---fakat önce neden bir izdüşüm istediğimi söyleyeyim ve sonra buna tamamen paralel gittiğimizde ne olduğunu bulabiliriz. Pekala, neden bu izdüşümü istiyorum acaba? Çünkü geçen sefer de söylediğim gibi, yeni bölüm hiçbir çözümü olmayabilen Ax= b şeklindeki denklemlerle uğraşıyor.

Bu gerçekten benim problemim. Elimde bir sürü denklem var ---bilinmeyenlerden daha çok denklem var ama onları çözemiyorum. Pekiyi, ne yaparım? Çözebileceğim bunlara en yakın olan problemi çözerim.

Peki en yakın olan ne? ax’in daima a’nın sütun uzayında olması. İşte benim problemim bu.

Benim problemim ax’in sütun uzayında olup, b’nin muhtemelen sütun uzayında olmaması.

Peki b’yi neyle değiştireceğim? Sütun uzayındaki en yakın vektörü seçer ve ax=p için çözüm yaparım. İşte bunu yapabilirim.

Burada P, sütun uzayında b ye yapılan izdüşümdür. İşte bu yüzden bunu yapabilmek istiyorum. Çünkü burada bir çözüm bulmalıyım. Burada x’in tepesine bir şapka koymak istiyorum, çünkü bu var olmayan x değil, en olası olanı. Dolayısıyla buradaki en iyi izdüşümü bulabilmeliyim.

Bu sağ tarafa sütun uzayında b ye en yakın olan değeri koyarsak, o zaman ne yapacağımı biliyorum, değil mi?

Pekala bu problemi çözdük. Bu problemi neden tekrar incelediğimizin sebebi artık üç boyuta olmamız, dolayısıyla elimde artık bir düzlem ve bu düzlem içinde olmayan bir b vektörü var. Ve bu b’nin düzlem üzerindeki izdüşümünü almak istiyorum. Tamam mı?

Dolayısıyla sorum şu: Bir vektörün izdüşümünü nasıl alırım? Burada aradığım şey uygun bir formül ve bu konuda doğrusal cebire güveniyorum, bana b’nin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü hesaplayacak bir formül vermesi için.

En yakın noktayı. Dolayısıyla burada doğru açı hayati önemde. Tamam.

Pekiyi, bundan sonrası ---ilk önce bu düzlemin ne olduğunu sormam gerek, bir formül çıkartmak için size bu düzlemin ne olduğunu söylemem gerek? Pekiyi size düzlemi nasıl söyleyeceğim? Size düzlemin tabanını söyleyeceğim, buna göre bir düzlemin tabanı iki vektörden oluşur a1 ve a2 ---burada da işte a1 vektörü ve işte ikincisi a2 vektörü.

Bunlar birbirine dik olmak zorunda değiller.

Ama bunlar birbirinden bağımsız olsalar iyi olur, çünkü düzleme bakacak olursak, bu düzlem a1 ve a2 tarafından tanımlanıyor --- ve tekrar geri dönersem --- bununla ilgili olarak bu düzlem bir sütun uzayıdır, pekiyi hangi matrisin sütun uzayı? Hangi matris, bu iki soruyu nasıl bağlayabilirim? Bir düzlem üzerine nasıl izdüşüm alabileceğimi düşünüyorum ve burada bir matris oluşturmaya çalışıyorum.

Eğer bunu matris terimleri cinsinde yazarsam her şey daha açık olacak.

Pekiyi hangi matris bunlara sahip ---bu sütun uzayına? Tabiî ki birinci sütununda a1’i ikinci sütununda a2’yi içeren matris.

Pekala cevabını bulmadan önce soruyu tam anlayalım. Burada iki sütunlu bir matris arıyoruz.

Ve ikiyi yaptıktan sonra artık n için hazırım.

Dolayısıyla bu iki sütunlu da olabilir n sütunlu da.

Cevabı A matrisi cinsinden yazacağım.

Buradaki nokta bu iki sütunun izdüşüm alacağımız düzlemi ve sütun uzayını tanımlamasıdır.

Pekala, elimde muhtemelen sütun uzayında olmayan bir b vektörü olsun.

Tabii ki, eğer b sütun uzayında ise izdüşüm son derece basit ve direkt olarak b’ye eşit.

Fakat büyük olasılıkla bu b eksi p kısmında bir e hatası var ve muhtemelen sıfır değil. Fakat burada güzel olan taraf şu ---geometriden veya kalkülüsten veya cebirden biliyorum ki bu vektör ---b’nin düzleme dik olan parçası.

Yani e düzleme diktir.

Eğer sezginiz de bunu diyorsa, bu son derece önemli.

Bu bize cevabı verir.

Pekala, problem bu.

Şimdi cevaba bakalım. Bu son derece zevkli bir ders oluyor. Çünkü ben problemi yazıp size bileşimleri soruyorum ---eveet, pekala P nedir?

İzdüşüm P nedir? Bu izdüşüm P, bu taban terimlerin katları veya sütunların katlarıdır. Ama ben x1 a1 artı x2 a2 yazmayı sevmiyorum, bunun yerine direkt olarak Ax yazarım. Ancak her şeyi doğru yapacaksam bu x’in tepesine bir şapka koymalıyım --- çünkü bunlar birer sayı, bunu çok daha önce yapmalıydım; dolayısıyla bu P izdüşümü, P = a (x üzeri çizgi) olur.

Ve ben (x çizgi) yi arıyorum. Tabii bunun için bir denklem arıyorum. Dolayısıyla şimdi problemi anladım. Bu problem hata vektörünün düzleme dik olmasını sağlayacak sütunların doğru bileşiminlerini bulmak. Şimdi bunu bir denkleme dönüştürelim. Tahtayı biraz kaldırayım ve denkleme ne yaptığımızı görelim. Ana noktayı tekrar yazayım. İzdüşüm A çarpı x üzeri şapka. Ve şu andaki problemimiz bu x şapkanın ne olduğunu bulmak. Ve bunun için olan anahtar da b eksi A çarpı x üzeri şapka, yani hata.

Bu e değeri ve bu düzleme dik. Bunun bana aradığım şeyi vermesi lazım. Artık iki tane denklem arıyorum.. elimde x1 ve x2 var ---dolayısıyla iki tane denklem bulacağım; çünkü bu e şeyi düzleme dik.

Pekiyi, bu ne anlama geliyor? Bana göre bu hem a1 e hem de a2 dik. Pekala bunlar düzlemdeki iki vektör ve her şey birbirine dik ---düzlem hem a1 hem de a2’ye dik. Bir kez daha tekrarlayayım.

Bu adam düzleme dik dolayısı ile bu hem bu vektöre hem de şu vektöre dik. Tabii buna dik değil .. fakat diğer her şeye dik.

Ve düzlem bana a1 ve a2 vasıtasıyla bunu söylüyor ---elimde iki tane denklem var; (a1 devrik)(b-A(x-şapka)) eşittir sıfır ve (a2 devrik)(b –A (x-şapka)) eşittir sıfır. Bunlar benim iki denklemim.

Ancak bunları matris şeklinde istiyorum.

Bu iki denklemi beraberce bir matris denklemine koymak istiyorum ve bu gayet uygun çıktı. A devrik matrisine bakalım. Bunun birinci satırına a1 devrik’i koyalım ve ikinci satıra da a2 devrik’i koyalım, bunun (b - A(x-şapka)) ile çarpımı, sıfır, sıfır’ a eşit olur. Bu, bu denklemi çıkarmanın bir yolu .. Bunun sonucunda ortaya çıkan denklem (A devrik)(b-A(x-şapka)) olup sıfıra eşittir. Tamam mı?

Bu benim denklemim. Tamam. Şimdi bir saniye durup bunun hakkında düşünmek istiyorum. İlk olarak geriye gidip, bir doğru üzerinde çözdüğüm problemi görüyor musunuz? Bu bir doğru üzerindeydi ve matrisin tek bir sütunu vardı ve bu küçük a idi. Kısaca, bir doğru üzerine izdüşümle ilgili çözdüğüm bu ilk problemde bu büyük A’yi küçük a’ya değiştirilmiş ama elimizde daha önce çözdüğümüz aynı denklem var. a devrik e eşittir sıfır. Tamam.

Şimdi ikinci bir husus, ikinci bir yorum.

Bu dört alt uzayı bildiğime göre, artık onları da bu resme yerleştirmek istiyorum.

Size şunu sorayım, bu şey hangi alt-uzayda? Bu dört altuzayın hangisinde bu hata vektörü e -- ki bu sadece düzleme dik olarak gelir; e hangi alt uzayın içindedir? Bu denklemde? Tabii bu denklem A devrik çarpı e eşittir sıfır diyor? Buradan e’nin (A devrik) in sıfır uzayında olduğunu öğreniyorum.

Pekala bu benim denklemim.

Ve şimdi bunun doğru olduğunu görmek istiyorum.

Dolayısıyla A devriğin sıfır uzayında olan şeyler var, pekiyi, A devriğin sıfır uzayı için ne biliyoruz? Geçen dersimizde bunların bir çeşit geometrisini görmüştük ---tabii onların dik’liğini de.

Bunun ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Çizdiğimiz bu büyük şeklin sağ tarafında daima A devriğin sıfır uzayı ve A’nın sütun uzayı var ve bunlar dik’ler. Dolayısıyla e’nin A devrik’in sıfır uzayında olması bize e’nin A’nın sütun uzayına dik olduğunu söylemektedir. Evet.

Neyse ki bu Allahın belası şey doğru çıktı.

e’yi bulmak için çıkarmakta çok uğraştığım bu denklem bana istediğim şeyi söylüyor ---e hatasının a’nın sütun uzayına dik olduğu doğru.

Elimizdeki dört temel alt uzaydan bunun bununla aynı olduğunu biliyoruz ---e’nin A devrik’in sıfır uzayında olduğunu söylemek, e’nin sütun uzayına dik olduğunu söylemekle aynı şeydir ---tamam.

Elimizde bu denklem var. Şimdi bunu çözelim. Pekala bunu (a devrik a)(x-şapka) eşittir (a devrik)b şeklinde düzenleyeyim.

Bu bizim denklemimiz. Bu bize x’i verir.

Ve lütfen, size durmaksızın bu tek boyutlu durumu hatırlatmama izin verin. Bu tek boyutlu durumda, bu küçük a’dır. Dolayısıyla bu sadece bir sayıdır, küçük a devrik --- (a devrik) a sadece tek vektör, satır çarpı bir sütun, bu da bir sayı idi.

Bu bir sayı idi. Ve x de bu sayıların oranı idi. Ancak şimdi matrislerimiz var, bu n x n dir. (A devrik) A, n’ye n olan bir matristir. Tamam.

Çözüm için yandaki tahtaya geçebilir miyim? Pekala ---işte bu anahtar denklem, şimdi artık hatırlamamız gereken denklemler için hazırım . Bu x şapka nedir? İzdüşüm nedir? İzdüşüm matrisi nedir? Bunlar benim üç sorum ---bunları tek boyutlu durumda cevapladık, şimdi artık n- boyut durum için hazırız.

Pekala, x şapka nedir? Bunun (A-devrik A)’nın tersi (A-devrik) b olduğunu söyleyebilirim. Tamamı. Bu bizim denklemimizin çözümü. İzdüşüm nedir? Bu daha ilginç. İzdüşüm nedir? İzdüşüm A çarpı x-şapka. Bu x-şapka’nın bu resme nasıl girdiğini açıklar. x-şapka sütunların bileşimi ---bu sayıları arıyordum artık onları buldum. Bu A’nın sütunlarının bileşimi bana izdüşümü verdi.

Pekala, artık bu vatandaşın ne olduğunu biliyorum.

Bunu sadece A ile çarpacağım. A çarpı (A-devrik A)’nın tersi (A-devrik)b. Bu biraz karışık görünüyor, fakat fena değil. Bu bileşim sihirli bir bileşim. Bu benim kullandığım son derece kullanışlı bir şey ---tek boyutta neydi ---bunu ne bulmuştuk? Bunu dersin başında bulmuş olmamız gerek ---ne yapmıştık ---evet sadece tek sütun vardı ve bu küçük a idi -- küçük a çarpı (a devrik),- (a devrik) a’ya bölünüyordu, değil mi? Bu tek boyutlu durumdu.

Çok boyutta ne olduğunu gördünüz değil mi? Bunu direkt olarak bölemiyorum çünkü elimde bir sayı yok ---bunun tersini koymak zorundayım çünkü elimde n’ye n matris var.

Ancak formül aynı. Ve şimdi söyleyin bana izdüşüm matrisi nedir? b ile hangi matris çarpılıp izdüşümü veriyor? İşte burada.

İşte burada ---bilmeden de altını çizmişim ---büyük P kullandığım izdüşüm matrisi bu ve bunu tekrar yazıyorum. A çarpı (A-devrik A)’nın tersi çarpı A-devrik ---biraz müsaade ederseniz burada yaptıklarımı biraz düşünmek istiyorum.

Bu formülü buldum. Ama aklıma gelen ilk şey pek de iyi değil. Neden burada iki matris çarpımını almadım da bunu tersini istedim? Neden çarpımın tersi için bildiğim formülü kullanıp -- pekala bu A’nın tersi çarpı (A devrik)’in tersi demedim? ---Pekiyi, “hey, bu A’nın tersi çarpı (A devrik)’in tersi ” deseydim ne olurdu? Bunu yapsaydım bu videoya alınacaktı bu yüzden yapmayacağım. Pekala onu buraya yazayım, ama videolara çok dikkat edin ---tamam mı?

Bu şeyi koyarsam ---bu A çarpı A ters çarpı (A devrik)’in tersi çarpı A devrik olur. Bu da ne? Bu bir birim matris, peki neler oluyor? Sorumu gördünüz mü? Bir şeyi bir şekilde yanlış yaptım ---buna izin yok.

Ve, ve bu neden böyle? Çünkü A bir kare matris değil. Kare matris olmadığından tersi yok ---dolayısıyla bunu böyle bırakmak zorundayım.

Bu kabul edilemez. Eğer tersi alınabilir bir kare matris olsaydı, o zaman şikayet etmezdim.

Bunun üzerine biraz düşünmeme izin verin.

Bunu yapmamın sebebi, A 'nın bu matris olması ve bunun da çok sayıda satırı olması ---burada sadece bir çift sütun var, a1ve a2 gibi –n ama çok sayıda satır var. Dolayısıyla kare değil.

Ve bu karesel değilse, bu A devrik A kareseldir ama onu böyle kısımlara ayıramam ---bunu sadece A karesel ise yapabilirim.

Pekiyi, A karesel ise yani A kare matris olup güzel tersi alınabilir bir matris ise ne olur? Düşünün bakalım.

Pekiyi, bu durumda buna ne olur? Dolayısıyla bu formül işe yaramalı.

Eğer A karesel tersi alınabilir güzel bir matris ise sütun uzayı nedir? Pekiyi, bu her şeyin mükemmel olduğu n’ye n tersi alınabilen bir matris ise sütun uzayı ne olur, bunun hepsi R^n.

Peki tüm uzaya izdüşüm yaparsam izdüşüm matrisim nedir? Bu birim matris olur değil mi? Eğer b’nin sadece bir düzleme değil, tüm üç boyutlu uzaya göre olan izdüşümünü alıyorsam, b zaten sütun uzayındadır ve bu izdüşüm bir birimdir ---ve bu bana doğru formülü verir, yani P, I dır. Ama eğer bir alt uzaya izdüşüm yaparsam, bu durumda bunu kısımlara ayıramam ve formüle sadık kalmam gerekir. Tamam mı?

Dolayısıyla bu tek boyut için olan formülü hatırlarsam, n boyutun da buna benzeyeceğini söyleyebilirim.

Peki herhangi bir izdüşüm matrisinde ve bu matriste olmasını bekleyeceğim özellikle neler? Bir kere matris simetrik olacak, ki öyle. (P-devrik) P’ye eşit olacak; çünkü bunun devriğini alırsam, bu terim simetrik ve bunun tersi de simetrik ve bunu devriklersem, bu şuradan çıkar ve A olur ve A-devrik de buradan çıkar ve tekrar P’ye dönerim.

P kare’nin P olduğu gibi başka bir özelliği de deneyebilir miyiz? Bunun da doğru olması gerekir.

Geometriden bildiğimize göre birinci izdüşüm bizi sütun uzayına fırlatır, ikincisi ise bizi olduğumuz yerde bırakır. Dolayısıyla bunu çarparsam, ki bunu yapayım ---bunu bir defa daha P ile çarparsam, bir tane daha A olur dolayısıyla bir tane daha A , bir tane daha (A-devrik A)’nın tersi, A-devrik olur; bir satırda sekiz tane A var bu epey saçma, bunun işe yaradığını görüyor musunuz? Dolayısıyla bunun karesini alıyorum, peki ne yapacağım ---bu çarpımı nasıl görürüm? Pekala, burada parantezleri uygun yerlere koymak istiyorum. Bu şekilde ne olduğunu görürüm ---burada bir A devrik var ---dolayısıyla bu A devrik A kendi tersi ile çarpılırsa bu terimlerin hepsi gider, değil mi?

Ve sonunda elimizde A devrik kalır ki bu da tam bizim istediğimiz şey. Dolaysıyla P kare eşittir P.

Dolayısıyla bu iki özellik geçerli.

Pekala, artık tüm formülleri bulduk. x-şapka, izdüşüm p ve izdüşüm matrisi büyük P.

Ve benim işim de bunları kullanmak. Tamam. Elimde bir sürü denklem var ama ben en iyi cevabı bulmak istiyorum. Buradaki en önemli örnek ve en genel örnek burada noktalar olması ---dolayısıyla işte uygulama.

En küçük kareler. Doğruya oturuyor.

Pekala, bu uygulamaya bugün başlayabilirim ama bu çok kapsamlı dolayısıyla bir ders yetmez. Dolayısıyla formüleri tekrarlamama izin verin; işte buradalar fikirleri de tekrarlayalım.

İsterseniz probleme bugün başlayalım. Elimde noktalardan oluşan bir demet veri var.

Ve bunlar bir doğruya yakın dizilmişler ancak doğru üzerinde değiller.

Bunu alalım ve t’nin bir, iki ve üçe eşit olduğunu farz edelim. Tekrar elimde bir, iki üç var ---dolayısıyla benim veri noktaları aynen zaman yönü gibi.. Bu her neyse, buna b veya y veya herhangi bir şey diyelim. Bana bu üç tane nokta verilmiş ve bunları bir doğruya oturtmak istiyorum, en iyi doğru üzerine; dolayısıyla problem birinci noktayı oturtmak. Bir, ilk nokta. İkinci nokta ise t eşit iki, b eşit bir olur ve üçüncü nokta ise t=3 ve b=2 olur.

Dolayısıyla bunlar benim üç noktam, t eşit affedersiniz, bu iki.

Pekâlâ. Bu (1,1) noktası. Bu nokta (2, 2) ve bu da (3, 2) noktası.

Ve tabi. burada bir ---yani bunlardan geçen bir doğru yok.

Dolayısıyla en iyi doğruya arıyorum.

Burada muhtemelen buralardan geçen bir doğru arıyorum. Böyle bir yerden mi geçeceğini düşünüyorsunuz? Bunu bu noktadan geçirtemem çünkü geçmez ---bu bir çeşit ---bu bunların arasından geçecek ve buradaki hata, buradaki hata ve buradaki olabildiğince küçük hata olacak. Tamam, şu anda yapmak istediğim şey A matrisini bulmak.

Çünkü bir kere A matrisini bulduğumda artık işi formüller devralır.

Dolayısıyla bu doğruya bakıyorum, b eşit C+Dt.

Bu size bugün gönderdiğim ev ödevinizde var.

En iyi doğruyu bulun ---bu C ve D sayılarını bulmaya çalışıyoruz.

Bu bana doğruyu gösterecek ve bu doğrunun mümkün olduğunca bu üç noktaya yakın geçmesini istiyorum.

Tam olarak elde edemem tabi. bunu ---bu noktalardan geçen üç tane denklem var, bu tam olarak bu noktadan geçer --- şimdi birinci noktada t=1 olsun, bunun anlamı C+D’nin de bir olduğu olur.

Bu bir, bir var. İkinci nokta t eşit iki ---dolayısıyla C+2D, 2’ye eşit çıkar, ancak ben üçüncü denklemi de bulmak istiyorum ve bu üçüncü denklemde t=3 ve C+3D, sadece 2. İşte anahtar bu ---çözmek istediğimiz ama yapamadığımız denklemleri yazmak. Bunun sebebi eğer bunları çözersek, tüm bu üç noktadan bir doğru geçirebiliriz, tabii bu sayılar bir, iki ,iki farklıysa bunu yapabiliriz.

Ama bu bir, iki, iki sayılarıyla bunu yapamayız. Dolayısıyla bizim çözemediğimiz Ax=b denklemi nedir? Ben sadece buradaki matrisin ne olduğunu, bilinmeyen x’i ve sağ tarafın ne olduğunu söylemek istiyorum.

Dolayısıyla bu matris bir, bir, bir, bir, iki, üç. Bilinmeyenler C ve D, ve sağ tarafta bir, iki, iki. Denklemimi aldım ve Ax ve b’nin ne olduğunu söyledim. Dolayısıyla bir çözüm yok. Bu üç denklem ve iki bilinmeyeni olup çözümü olmayan tipik bir durum, ama hala ben iyi çözümü arıyorum ---ve en iyi çözüm, bu çözümü olmayan Ax=b denklemini çözmeye çalışmak değil -- çözümü olan bir denklem ki o da bu.

Dolayısıyla çözülecek olan denklem bu. Bu konunun temel denklemi. Ax=b denklemini çözemiyorum ama bunu A devrik ile çarparsam inanılmaz bir şekilde çözebileceğim bir denklem elde ediyorum. Bu denklem bana x’i yani en iyi x’i, en iyi izdüşümü veriyor. Bunun arkasındaki matrisi keşfediyorum.

Pekâlâ, gelecek hafta örneği tamamlayacağım, sayısal bir örnek. Teşekkürler.