MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 14

Tamam kameralar da çalışıyor. Bu ondördüncü ders, dik’liklerle ilgili yeni bir bölüme başlıyoruz.. Vektörlerin dik olması ne anlama geliyor?. Alt uzayların dik olması ne demek? Taban elemanlarının dik olmaları ne anlama geliyor? Yani doksan derece, bu doksan-derece bölümü. Bu ne demek oluyor? Şimdi, alt uzaylara geçelim.

Burada bayağı büyük bir resim çizdim. Bu Doğrusal Cebirin resmidir. Bunu aklınızda tutun arkadaşlar, bu çizdiğim resim ve bu resim hakkında zaten bir çok şey biliyoruz.

Her alt uzayın boyutunu biliyorum. Bu boyutların r ve n-r olduğunu biliyorum. Bu boyutların da r ve m-r olduğunu biliyorum. Şimdi bu resmin ne demek istediğini gösterelim, bu açı --- bu resimde demek istediğim şeyi çizmeye çalışıyorum, bu alt uzaylar arasındaki açı 90 derece. Şimdi bunun ne anlama geldiğini söylemek zorundayım .. Bir alt uzayın dik olması ne anlama geliyor? Umarım bu resmin güzelliğini takdir ediyorsunuzdur ---bu alt uzaylar dik olacak ---şu ikisi ve şu ikisi.

Bu nokta önemli bir nokta --- bu alt uzayları anlamak hususunda attığımız önemli bir adım --- artık daha fazlasını biliyoruz --- yada birkaç dakika içinde bileceğiz. Tamam.

Herşeyden önce iki vektörün dik olması ne anlama geliyor? İsterseniz bununla başlayalım.

Dik vektörler .. dik kelimesi .. dikey anlamında kullanılan başka bir kelime. Bunun anlamı n boyutlu bir uzayda bu vektörler arasındaki açı 90 derece ---buna göre bu bir üçgen oluşturuyor ---eski Yunanlılara dönersek bu üçgen x vektörü, y vektörü ve x +y vektöründen oluşuyor ---tabii bu da hipotenüs olacak---dolayısıyla Yunanlılar bunu çok temiz bir şekilde çözmüş.

Buradaki husus ..bunlar dikse, bu bir dik açı ise, önce şu ünlü ismi analım, Pisagor ---ben ne arıyorum? Bana iki tane vektör verdiğinizde bunların dik olup olmadığını belirtecek bir şart arıyorum? Bu iki vektörün birbirine dik olduğunu nasıl söyleyebilirim? Muhtemelen cevabı biliyorsunuz --- cevabı yazayım o zaman

Dik vektörlerin ---dik’lik testi nedir? Skaler çarpım alacağım ki bunu x devrik y şeklinde yazmak istiyorum, çünkü bu bir satır çarpı bir sütun ---bu matris çarpımı bana doğru şeyi veriyor ---bu x1y1 + x2y2 ve böyle devam ediyor ---ve burada x devrik y eşittir sıfır ise bu vektörler diktir.

İşte test bu. Tamam.

Bunu başka şeylere bağlayabilirmiyim? yani ---buradaki en güzel şey n boyuttayız, elimizde iki tane vektör var, bunlar arasındaki açıyı bulmak istiyorum ve bunun için bakmamız gereken şey tahmin edebileceğiniz en basit şey skaler çarpım. Tamam.

Peki neden? Şimdi soruya cevap veriyorum, neden? Neden buna biraz haklılık ekleyelim ---bu test ---tamam. Eğer bu kenarın karesiyle bu kenarın karesinin toplamı bu kenarın karesini verirse, Pisagor bizim dik bir üçgenimizin olduğunu söyler.

Buradan x^2 +y^2 =(x+y)^2 yazabilir miyiz? Lütfen bunun her zaman doğru olduğunu düşünmeyin. Bu sadece dik olma durumunda doğrudur. Diğer üçgenler için tabii ki bu doğru değil. Diğer üçgenler için böyle değil, ama dik üçgende bu husus şu hususla bağlantılı olmalı.

Sadece bu bağlantıyı kurabilir miyiz? Bu dik’lik testi ile bu dik’lik ifadesi arasında ne bağlantı var? Burada karesi alınan uzunluk nedir? Bunu bu denklemin altındaki tahtada sürdürelim. Bir vektörün boyunun karesinin alınmasını daha başka nasıl ifade edebilirim? Size bir vektör vereyim, vektör bir, iki, üç --- bu üç boyutlu, x in bir, iki, üç olduğu vektörün boy karesi ne olur? Boy kareyi nasıl bulursunuz? Tabii sadece bu vektörün boyunu istiyoruz ---bu bir boyunca giden, iki yukarı ve üç dışarı, ---bu üçgen olayına geri döneceğiz. Boy kare net olarak x devrik x. Nerede x devrik x’i görsem, bu boy kare, bir positif sayı elde ettiğimi bilirim, tabii bu sıfır vektör değilse doğru, sıfır vektörü boyun sıfır olduğu tek durumdur. Pekala ..bu (x1)^2 +(x2)^2 +…+(xn)^2 .

Dolayısıyla, size verdiğim örnekte bu vektör bir, iki, üç için boy kare ne idi? Bunların karesini alırsanız bir, dört ve dokuz bulursunuz, toplamı 14 olur.

Böylece 1, 2, 3 vektörünün boyunun karesi ondörttür .

Buraya bir vektör koyayım.

x vektörü 1, 2, 3 olsun.

Buna dik olan başka bir vektör ayarlayayım.

Peki dik olan vektör nedir? işte burada x^2 =1 + 4 + 9 =14. Şimdi de buna dik bir vektör bulalım --- tam bunun gibi --- bu iki vektör dik, y^2 nin boyu 5 ve x+y yine 1+2 =3 veriyor, 2-1=1 veriyor ve 3+0=3 veriyor, dolayısıyla bunun karesinin boyu 9+1+9 =19.

Elbette henüz hiçbir şey ispatlamadım

Sadece benim testim olan x devrik y’nin = 0 olduğunu kontrol ettim. Bunda şüphe yok değil mi? Herkes burada x devrik y’nın = 0 olduğunu görüyor değil mi? Tabiî ki bu 5 +14 =19 ile de uyum içinde.

Şimdi bunu harflerle yapayım. İşte y devrik y ve bu da x+(y devrik) x+y.Tamam mı?

Tekrar bakıyorum, bu her zaman doğru değil.

Tekrar ediyorum. Bunun doğru olması için dik açı olması gerekir. Şimdi de buradaki şu terimleri sadeleştirelim.

Burada x devrik x var, burada da y devrik y var, ve burada da x devrik y var.

Ve burada bir y devrik x var, bunu sadeleştirebileceğimi biliyorum çünkü burada matris çarpımı yapıyorum ve burada sadece kuralları takip ettim.

Burada x devrik x ler birbirini götürür, y devrik y lerde birbirini götürür.

Peki bu terimler ne olacak? Bu x ile y’nin iç çarpımı ile y’nin x ile iç çarpımı hakkında ne diyebilirsiniz? Bir fark var mı? Bana göre ---burada gerçek vektörlerle uğraşırken, ki şu anda onu yapıyoruz, bir fark yok, bir fark olmaz.

Eğer (x devrik)y yi alırsam bu bana sıfır verir, eğer (y devrik)x i alırsam aynı, x1y1 ve x2y2 ve x3y3 ‘e sahip oluruz ki bu da bununla aynıdır. Bu terimi atarsak ve bu ikisine bakarsak, yani burada ---denklem bunun sıfıra eşit haline geliyor.

Tamam mı? Diğer her şey birbirini götürüyor ve denklem bu şekle dönüşüyor.

İşte bu benim istediğim şey, dik açı için Pisagor teoremini kullanmak suretiyle buraya geldim. Tabii bu ikisini ihmal edeceğim, bir sorun yok, (x devrik)y aynen teste olduğu gibi sıfıra eşit

Gayet mantıklı. Tamam

Bunun geleceğini biliyordunuz. Dik vektörlerin skalar çarpımı sıfır, bunun ne kadar net olduğunu söylemek istiyorum. Çok güzel çıkıyor. Pekala. Şimdi iki vektörün ---iki vektörün ne zaman dik olduğunu biliyorum. Bu arada bu terimlerden biri sıfır olursa ne olur? x’in sıfır vektör olduğunu varsayalım, y ne olursa olsun bunlar dik mi? Elbette. Matematikteki en önemli hususlardan biri kuralları izlemenizin gerektiğidir.

Dolayısıyla, eğer x sıfır vektörü ise, bu sıfır vektörü ile y’nin skalar çarpımını aldığınızda daima sıfır elde etmelisiniz. Şundan eminiz, sıfır vektörü herkese diktir.

Şimdi biraz alt uzaylara bakmak istiyorum. Bir alt uzayın diğer bir alt uzaya dik olması ne anlama geliyor? Pekala, bunu yazmalıyım. Şu anda bir alt uzay S’in diğer bir alt uzay – diyelim ki T’ye göre dik olmasını tanımlayacağıma göre elimde bir çift alt uzay var demektir.

Peki bu alt uzayların dik olması ne demek? Bu bir şekilde dik vektörlerin dik alt uzaylara doğal bir şekilde genişletilmesi anlamına gelir. Peki burada özellikle dik alt uzayları düşünelim, bu duvar gibi ve üç boyutda çalışalım.

Bu tahta sonsuza gider, bu bir alt uzaydır, bir düzlem, iki boyutlu bir alt uzay.

Biraz çıkıntılı ama neyse bunu bir alt uzay olarak düşünün, yeri de bir başka alt uzay olarak alayım.

Bu çok güzel bir alt uzay, değil mi? MIT onu bu amaçla da yapmamış, orijin burası olsun ---dolayısıyla dünyanın orijini burası..

Pekala, burada doğrusal cebire hak ettiği önemi veriyoruz. Pekala.

İşte bir alt uzay, burada bir tane daha var. Yerde.

Bunlar dik mi? iki alt uzayın dik olması ne anlama geliyor ve bu özel durumda bunlar dik mi? Pekala, bu cümleyi tamamlayalım.

Bu ne anlama geliyor demek ne hakkında konuştuğumuzu biliyor olmamız demektir. Peki dik olma için mantıklı bir fikir ne olabilir? Şimdi doğru şeylere bakalım. Bunun anlamı S’deki her vektörün, S’deki her vektörün neye dik olması? T’deki her vektöre.

Bu mantıklı, güzel ve iki alt uzayın dik olması için doğru bir tanımlama.

Sadece, hey bu ne demek sorusunu görmenizi istedim. Dolayısıyla tahta ve yer ile ilgli sorunun cevabı --- bunlar alt uzay mı? Bunlar iki boyutlu değil mi, dolayısıyla biz R^3 içindeyiz .

Bu bir xz düzlemi veya öyle bir şey ve xy düzlemi.

Bunlar dik mi, yani tahtadaki her vektör orijinden başlayarak yerdeki her vektöre dik mi? Evet ya da hayır? Bir oylama yapalım.

Bazılarınız evet bazılarınız hayır diyor.

Doğru cevap hayır, dik değiller.

Bana tahtadaki bir vektör ile yerdeki bir vektörün dik olmadığını söyleyebilirsiniz, belki sanırım birkaç tanesinin dik olmadıklarını. Belki tahtadaki bu 45 derecelik vektör ve yerde de bir şey alırsam bunlar 90 derece değiller, değil mi? Hatta daha da fazlası, bana hem tahtada hem de yer düzleminde olan bir vektör söyleyebilirsiniz, dolayısıyla o vektör kendisine dik olmaz.

Elbette o iki düzlem birbirlerine dik değil. Bu nasıl olur? Her iki düzlemde de olan bir vektör hangisidir? İşde şu ara kesitteki vektör.

Bir vektör bildiğiniz gibi -- eğer iki alt uzay aynı vektörde birleşiyorsa bunlar kesinlikle dik değildir, çünkü bu vektör hem birinde hem diğerinde ise ve kendisi sıfır vektör değilse kendi kendine dik olamaz.

Ben iki alt uzayın dik olduğunu söylüyorsam, buna göre bunların sıfır olmayan bir vektörde kesişmediklerini söylüyorum demektir.

Ancak dahası da var, kesişmeme yeterli değil, o zaman bana bir örnek verin ---düzlemde ---pekala düzlemde ne zaman dik alt uzaylarımız olur? Söyleyin elimizde ---düzlem içinde çok fazla farklı alt uzaylar yok.

Düzlem içinde olası alt uzay olarak elimizde ne var? sıfır vektör ---epey ufak.

Orijinden geçen bir doğru veya tüm düzlem.

Pekala orijinden geçen bir doğru tüm düzleme dik olabilir mi? Asla, değil mi, asla.

Orijinden geçen bir doğru ne zaman sıfır alt uzaya diktir? Daima.

Pekala orijinden geçen bir doğru ne zaman orijinden geçen bir başka doğruya diktir? Bu bizim önümüzde açık olarak duran bir durumdur. Bunlar --- bu iki doğru doksan derece ile kesişmelidirler.

Sadece, yani bu aynen benim anlattığım basit durum gibi, bir alt uzay var, bir başka alt uzay daha var ve sadece sıfırda kesişiyorlar.

Ve bunlar dikler. Tamam.

Artık iki alt uzayın dik olmasından ne kast edildiğini biliyoruz.

Şimdi bunun sıfır uzay ve satır uzayı için de doğru olduğunu söylemek istiyorum, tamam mı.

Bu son derece açık bir durum, yani satır uzayı sıfır uzayına diktir. Bunu nasıl buldum? Rankdan, görüyorsunuz değil mi, harika, bunun anlamı bunların ---bu alt uzayların doğru şeyler oldukları, tüm uzayı iki dikey alt uzaya bölüyorlar.

Peki neden? Elimde çalışacak ne var? Bildiğim yegane şey sıfır uzayı.

Sıfır uzayı Ax = 0 ifadesini çözen vektörler kümesi. Bu vektör x ‘de, x sıfır uzayında, dolayısıyla Ax = 0.

Peki bu neden A’nın satırlarına dik? Ax = 0 yazarsam ki sıfır uzayı hakkında bildiğim her şey, sanırım burada görmenizi istediğim şey, bunun bana buradaki bu denklemin bana, A’nın satırlarını söylüyor olması. Bunu yazayım, burada A’nın birinci satırı, ikinci satırı ve n’ninci satırı.

bu A ve bu X ile çarpılıyor.

Ve bu sıfır oluşturuyor. Tamam.

Bu şekilde yazılınca göreceksiniz .

Burada söylediğim şey satır uzayındaki bir vektör, sıfır uzayındaki X vektörüne diktir. Neden olduğunu görüyormusunuz? Çünkü bu denklem size A’nın birinci satırının çarpıldığını ve bunun da skalar çarpımı olduğunu göstermekte, değil mi? A’nın birinci satırının bu x ile olan skalar çarpımı bu sıfırı oluşturur.

Dolayısıyla bu birinci satıra dik.

Ve ikinci satıra da. A’nın ikinci satırının x ile çarpımı bu sıfırı veriyor. A’nın m’inci satırının x ile çarpımı da bu sıfırı veriyor, dolayısıyla x ---bu denklem bana x’in tüm satırlar ile dik olduğunu gösteriyor.

Pekala işte burada duruyor. Bu bizim ---burada durmak zorundaydı, çünkü bundan başka sıfır uzayı hakkında bildiğimiz bir şey yok; ama sanırım artık her şey tamam, artık x’in her ayrı satırla dik olduğunu kontrol edebilirim, ama doğru konuşursak, başka neler yapmam gerekiyor? Bu alt uzayların dik olduğunu göstermek için, bu sıfır uzayındaki x’i alıp bunun satır uzayındaki her vektöre dik olduğunu göstermem gerek – peki satır uzayında daha neler var? Bu satır, satır uzayında, bu satır da satır uzayında, hepsi orada ancak bu tüm satır uzayı değil. Bunu hatırlayalım, bundan kasıt ne? Bu uzay kelimesi bize ne diyor? Satır uzayı ile ilgili daha neler var? Satırlar dışında ---bunların bileşimleri, dolayısıyla eğer x birinci satıra dikse, ikinci satıra da dikse ve bütün diğer satırlara da dikse, x in bu satırların bileşimine de dik olması gerekir.

Bu da yalnızca bir matris çarpımı.

Bildiğiniz gibi elimde satır bir devrik x eşittir sıfır var, aynı şekilde satır 2 devrik x de sıfır, bunu bir c1 ve bir c2 ile çarpma hakkına sahibim ve hala elimde sıfırlar var. Bunları toplayabilirim, dolayısıyla elimde c1 çarpı satır bir var, yani bu büyük parantezlerdeki c1 çarpı satır bir, artı c2 çarpı satır iki ve aynen bu şekilde devam ettirirsem ---devrik x sıfır olur.

Tamam değil mi? Sıfırları topladım ve sıfır buldum, kuralı takip ederek bunları topladım.

Öyle zor değil. Bütün önemli nokta bunun içinde. Tamam.

Bu şekle tekrar dönersek artık daha mutlu bir insanım. Çünkü elimde bu var ---şu anda alt uzayların nasıl yönelmiş hale geldiklerini görüyorum.

Bu alt uzaylar da yönelmiş haldeler.

Pekala neden bu diklik? Pekala bu A için A devrik için olan ifadeyle aynı. Dolayısıyla bunu tekrar ispatlamaya zaman harcamayacağım; çünkü her matris için kontrol ettik ve A devrik A kadar iyi bir matrisdir.

Dolayısıyla şurada dik’iz. Burada şunu gerçekleştiriyoruz --- bu aynen bu iki alt uzayın içine m boyutlu bir uzayı oymaya benziyor, bu da aynen bu iki alt uzayın içine n boyutlu bir uzayı oymaya benziyor.

Burada bir şey daha var. Bir önemli şey daha.

Üç boyuta gidelim.

Üç boyutta bana bir çift alt uzay söyleyin ki, tüm uzayı oymasın ve bir miktar artsın. Bir çift dik doğru düşünüyorum. Eğer ---diyelim üç boyuttayım, R^3’de ve elimde bir doğru, bir tek boyutlu alt uzay ve bir de dikey bir tane var.

Bunlar satır uzayı ve sıfır uzayı olabilirler mi? Bunlar satır uzayı ve sıfır uzayı olabilirler mi? Üç boyutta olup bir doğru olan bir satır uzayım ve yine bir doğru olan sıfır uzayım olabilir mi? Hayır mı? Neden? Çünkü boyutlar doğru değil.

Değil mi? Boyutlar doğru değil.

Buradaki boyutlar r ve n-r, Bunlar toplanınca üçe eşit oluyor. Bunlar toplanınca n oluyor. Eğer ben ---sadece şu örneği izleyin ---eğer satır uzayı tek boyutlu ise, diyelimki A öyle ki bu R^3 içinde uygun ve ben tek boyutlu satır uzayı istiyorum, 1, 2, 5 ve 2, 4, 10 alayım. Bu satır uzayının boyutu nedir? 1. Sıfır uzayının boyutu nedir? Bu durumda bana sıfır uzayının neye benzeyeceğini söyleyin. Satır uzayı bir doğru değil mi? Tek boyutlu, bir, iki ve beşten geçen bir doğru? Geometrik olarak satır uzayı neye benzer? Boyutları nedir? Buradaki n üç, rank bir, sıfır uzayının boyutu da, dolayısıyla bu x’e, x1, x2, x3 e bakıyorum, sıfır versinler diye.

Artık bildiğimize göre sıfır uzayının boyutu iki. Doğru mu? Bu bir düzlem.

Ve artık biliyoruz ve daha iyi görüyoruz, bunun hangi düzlem olduğunu? Bu bir, iki ve beşe dik olan bir düzlem değil mi? Artık görüyoruz ---görüldüğü gibi 2, 4 ve 10 bir etki yapmamışlar.

Bunları ihmal edebilirdim. Bu satır uzayını ve sıfır uzayını değiştirmedi. Sadece bu denklemi elde ettim. Evet.

Tabii ki.

Bu en kolay olanı.

Bir denklem ve üç bilinmeyen.

Şunu sormak istiyorum ---hangi denklem bana sıfır uzayını verir? Eylülde olsaydı bana bir düzlem verirdi derdiniz ve tamamen haklısınız. Ve bu düzlem size bir normal vektör verir, Kalkulusdan hatırlarsınız N denen aptal normal vektör vardı.

İşte o burada. Bir, iki, beş.

Pekala; burada söylemek istediğim ne? Söylemek istediğim, vurgulamak istediğim, bunların sadece -- en iyisi bunu yazmak.

Burada yazmak istediğim şey sıfır uzayı ve satır uzayının dik oldukları; bu öyle açık bir durum ki bunu ---bunu Ax=0 ile kontrol ettik, şimdi burada gerçek olan bir iki şey daha söylemek istiyorum.

Bunların boyutlarının toplamı tüm uzayın boyutuna eşittir.

Dolayısıyla bu kısa bir ek bilgi.

Bu benim elde edebileceğim bir şey değil --- üç boyutta aradığım bir doğru ve bir başka doğru olamaz. Bunlarda bir bir daha üç etmez. Dolayısıyla R^n de dik tümleyen kelimesini kullandım. Bu tümleyen kelimesini açarsam -- satır uzayının dik tümleyeninin, dik olan bazı vektörleri değil, tümünü içermesi gerekir. Bunun anlamı ne? Bunun anlamı tabii ki sıfır uzayı da bazı vektörleri değil, satır uzayına dik olan tüm vektörleri içerir, tamam mı? Dersin bu kısmında yaptığım şey bazı güzel geometrileri fark etmek oldu; bunu daha önce fark etmedik çünkü dik vektörleri tartışmıyorduk. Ama onlar burada duruyordu.

Ama artık bunları alabiliriz. Bu vektörler dik tümleyenler. Sanırım bu kısma Doğrusal Cebirin temel teoremlerinden biri diyebiliriz.

Doğrusal Cebirin bu temel teoremi bu dört alt uzayla ilgili, birinci kısım bunların boyutu ile ilgili olandı, belki bu kısma kısım iki demeliyim.

Boyutlarını bulduk. Şimdi de dikliklerini buluyoruz, işte bu kısım iki.

Üçüncü kısım da bunların tabanları hakkında olacak.

Dik tabanlar. Şimdi bu geliyor.

Pekala, şu an geometriden çok memnunum.

Pekala. Bu bölümde bundan sonraki amacım ne? İşte bu bölümün ana problemi. Bu bölümün ana problemi ---biraz sonra geliyor. Bir sonraki gösteri.

Ax=b durumu için bunun en son kısım olduğunu söyleyebiliriz.

Biz hiç bir çözüm olmadan bu denklem sistemini çözmek istiyoruz. Bunun saçma bir şey olduğunu söyleyebilirsiniz, ama söylemeliyim ki bu her zaman yapılan bir şey. Doğrusu bunun yapılması da gerek.

Elinizde çözülecek bir problem var. Ax=b için hiçbir çözüm olmadığı zaman, en iyi çözümü bulmak. Bu ne demek oluyor? b sütun uzayında değil.

Ve bu matris dikdörtgensel ise bu tipik bir durumdur. Eğer ---belki elimde bilinmeyen sayısından daha fazla m tane denklem var, bu durumda rank m olamaz. Dolayısıyla elimde çözümü olmayan çok sayıda sağ taraf var. İşte bir örnek.

Diyelim ki bir uydu tepemizde dolanıyor.

Onun yerini ölçüyorsunuz. Bin tane ölçüm yapıyorsunuz. Bu size yeri veren bu parametre ile ilgili bin tane denklem veriyor ---ancak bin tane paremetre yok, altı yedi tane var.

Veya ölçüm yaptığınız ---bir anket cevaplıyorsunuz.

İnsanların dayanıklılığını ölçüyorsunuz..nabızlarını alıyorsunuz.

Birisinin nabzını alıyorsunuz, tamam mı. Bu tek bir bilinmeyen.

Nabız atımı .. bir kere ölçüyorsunuz .. güzel .. ama gerçekten bilmek isterseniz birkaç kere ölçersiniz; çünkü ölçümlere dışarıdan gelen gürültü karışmış olabilir .. İşte buradaki problem bir çok problemde elimizde çok fazla denklem vardır ve sağ taraflarında gürültü olabilir.

Dolayısıyla Ax=b’yi tam olarak çözemeyiz; çünkü b’nin ölçümünde bir hata yapılıp yapılmadığını bile bilmiyorum, ama bilgi var ---burada x ile ilgili çok bilgi var.

Burada yapmak istediğim şey, bu bilgiden gürültüyü yani çöpü ayırmak. Bu tam bir doğrusal cebir problemi.

Bunu nasıl çözerim? En iyi çözüm nedir? Pekala, bu problemi cebirsel olarak tanımlamak gibi bir şey, elimde bazı denklemler var ve en iyi çözümü arıyorum.

Bunu bulmanın yollarından biri ---bu denklemleri karesel tersi alınabilir bir sistem bulana dek elemek ve sonra onu çözmek, ama bu tatminkar değil.

Burada bu ölçüm mükemmel, şu ölçüm işe yaramaz diyebileceğimiz bir sebep yok.

Biz tüm ölçümleri kullanmak suretiyle ede edebileceğimiz en iyi ve en fazla bilgiye erişmek istiyoruz.

Peki nasıl?

Ortaya çıkacak bir matris düşünelim.

Böyle tipik bir A matrisi dikdörtgenseldir.

Fakat bu matris çok zaman ortaya çıkıyor ---Üçüncü Ders tamamen dikdörtgensel matrislerle ilgiliydi.

Bunun ne zaman çözülebilir olduğunu biliyoruz, onun üzerinde yok etme yapabiliyoruz, değil mi? Ama düşünüyorum da yok etme yapınca sıfır eşit sıfır değil ama başka sayılar olan bir denklem elde edebilirsiniz, yani çözüm olamaz.

Kanımca bu Yoketme Metodu çalışmayacak.

Şimdi soru şu. Yoketme Metodu bizi bir çözümün olup olmadığına götürür.

Bana göre yok. Tamam.

Peki ne yapacağız ? Pekala.

Size hemen burada anahtar rolü oynayacak matrise geçmenizi söyleyebilirim. Dördüncü bölümde anlamanız gereken matristi bu, yani A devrik A.

Ne bu ---bana bu matris hakkında bir şeyler söyleyin.

Kısaca bu A, m ye n matrisi, dikdörtgensel ama sonunda ortaya çıkan iyi matris (A devrik) A. Dolayısıyla bunun hakkında bana bir şeyler söyleyin. (A devrik) A hakkında bildiğiniz ilk şey nedir? O kare bir matris.

Karesel çünkü bu n x m bu ise m x n. Sonuç n x n. Güzel? Kare matris. Başka? Bu simetrik. O da güzel.

Bu simetrik .. Bunu nasıl yapacağınızı biliyorsunuz .. Bu matrisi devrik yaparsak ..bunu devrik yapayım , (A devrik) A.. Bunu devrik yaparsam, bu birinci devrik gelir, bu ikinci devrik gelir bunu iki kere devrik yaprasam ---aynı hale gelir yani bu simetriktir.

Güzel. Şimdi artık bir matris hakkında daha neler sorabileceğimizi biliyoruz. Bunun tersi alınabilir olup olmadığıyla ilgileniyorum. Değilse sıfır uzayı nedir? Bunları bilmek istiyorum çünkü göreceksiniz ki ---pekala, bunu yapmamam gerek ama yapacağım.

Bunu çözemeseniz, çözmeniz gereken denklemi söyleyeyim. İyi denklem her iki tarafı da A devrik ile çarpınca ele geçer, dolayısıyla çözmeniz gereken doğru denklem A devrik Ax = A devrik b dir. Bu ---bu bölümdeki temel denklem olacak. Bunu şimdi söylememde bir sakınca yok. Bunu hemen kabul etmekte de.

Tamam, size x’i de vermem gerek ----bir şekilde x’in, yani eğer mevcutsa, x bu denklemin çözümü olur ama muhtemelen değil. Buna farklı bir isim vereyim, x şapka.

Çünkü bunun bir çözüm olduğunu umuyorum.

Demek istediğim bunun benim en iyi çözümüm olduğu. En iyinin ne anlama geldiğini de söylemem gerek.

Ancak bu benim planım olacak.

En iyi çözümün bu denklemi çözen olduğunu söyleyeceğim.

Dolayısıyla, A devrik A ve bunun tersi alınabilirliği ile neden ilgilendiğimi hemen görmektesiniz.

Pekala. Bunun ne zaman tersi alınabilir? Tamam, bir durum alayım, bir tane örnek yapayım ---burada bir matris seçtim. Sadece A devrik A’nın ne olduğunu görmek için, dolayısıyla A matrisi 1, 1, 1, 1, 2, 5 olsun.

Bir matris yaratalım. İşte size A matrisi.

Dikkat ederseniz m=3 satır n=2 sütun var. Bunun rankı ---bu matrisin ---bu matrisin rankı iki. Tamam, sütunlar bağımsızlar. Ax=b mi? Eğer Ax=b ye bakarsak -dolayısıyla x sadece x1 x2, b ise b1, b2, b3 dür. Ax = b yi çözmeyi bekleyebilir miyim? Hiç bir yolu yok. Demek istediğim doğrusal cebir harika, ancak üç denklemi iki bilinmeyenle çözmeyi genellikle yapamıyoruz.

Bunu ancak vektör b ne ise çözebiliriz? Bunun ancak bu b1, b2, b3 vektörü sütun uzayındaysa çözebiliriz. Eğer bu, bu sütunların bileşimi ise sorun yok, ama genellikle olmaz.

Bu bileşimler bu düzlemi ancak doldurur ve pek çok vektörler bu düzlem üzerinde olmaz. Demek istediğim şey bu A devrik A matrisi ile çalışacağım.

Bu örnekte A devrik A’nın ne olduğunu bulmak istiyorum ---bu 2 x 2.

Birinci girdi üç, ikinci girdi sekiz, bu girdi ise ---bu girdi ne? Tabii ki sekiz. Biz bunun böyle olması gerektiğini biliyoruz ve bu girdi de elimdeki bu hesap makinasından bulduğum kadarıyla 30, doğru mu? 30.

Ve bu matrisin tersi alınabilir mi? Burada A devrik A var.

Ve bu tersi alınabilir değil mi? Üç, sekiz otuzun katı değil ve bu tersi alınabilir. Bu normal, bu beklediğimiz şey. Dolayısıyla bu göstermek istediğim şeydi.

İşte final, işte anahtar nokta.

A devrik A’nın sıfır uzayı, her zaman tersi alınabilir olmaz. Bana bir matris söyleyin – şunu söylemeliyim ki A devrik A daima tersi alınabilir değil .

Bu çok şey istemek olur. Kast ettiğim şey, bu A matrisinin ne olduğu, örneğin bu A devrik A’nın tersi alınabilir olmaması için. Pekala bu sıfır matris olabilir, yani bu bir uç durum gibi ---bu rankı sağladığımı farz edelim. Diyelim ki bu A yı değiştirdim, tekrar A devrik A elde ettim ve ---ne buldum? Bulduğum dokuz ---dokuz elde ettim tabii ki, ve burada bu girdi nedir? Yirmi yedi. Bu matrisin tersi var mı? Hayır. Ve neden bunun ---bunun tersinin olmadığını biliyoruz, çünkü bu matrisin rankı bir ve eğer elimde rankı bir olan matris çarpımı varsa çarpım birden büyük bir ranka sahip olamaz.

Dolayısıyla çözüm uzayının rankının bir olması beni hiç şaşırtmadı. Ve bu ---A devrik A nın rankının A’nınkine eşit olduğu zaman olan bir durumdur. Dolayısıyla A devrik A nın sıfır uzayı A nın sıfır uzayına eşit olur. Dolayısıyla A devrik A’nın rankı, A nın rankı ile aynı olur. Dolayısıyla bunun neden doğru olduğunu anlayalım. Bundan elde etmek istediğim gerçeği bulalım.

Bu bana bu karesel simetrik matrisin tersinin olduğunu söylemektedir, eğer -- işte benim çıkardığım sonuç. A devrik A ancak -- bu sıfır uzayı sadece sıfır vektörüne sahipse tersi olur.

Bunun anlamı A nın sütunları bağımsızdır. A devrik A sadece A nın bağımsız sütunlara sahip olması durumunda tersi alınabilirdir. Bu husus bana A devrik A için gereklidir. Ondan sonra gelecek sefere A devrik A nın her şeye nasıl girdiğini göreceksiniz.

Gelecek ders son derece önemli bir ders. İşte bu A devrik A nın üzerinde düşünmek suretiyle buna hazırlanıyoruz ve bunun rankı A nın rankı ile aynı ve buradan bunun tersinin var olduğuna karar verebiliriz.

Pekala .. Cuma günü görüşürüz. Teşekkürler.