MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 13

Pekala.. Bu günkü dersimiz, bu dersin ilk bölümü ile ilgili; Ax=b kısmı ile.. Sınav bölüm üçe odaklanacak, çünkü bu bölümde, üçüncü bölümde, dikdörtgensel matrisleri işledik, sıfır uzayları ve A devriğin sıfır uzayına baktık ve rank’a, aslında matrisin kare ve tersi alınabilir olduğunda anlaşılması kolay olan her şey, söz konusu dikdörtgensel matrisler olduğunda üstünde düşünülmesi gerekiyor. Demek ki vektör uzayları ve alt uzaylar ve her şeyden önce şuradaki 4 alt uzaya bakacağız... Pekala bugün eski imtahanlara bakacağım, soruları okuyacağım, gerektiğinde tahtaya yazacağım ve cevaplara bakacağım.

Birincisini okuyorum.

Pekala, biraz yazacağım. u, v ve w, R^7 de sıfır olmayan vektörler olsun. Olası olan --- bunlar bir vektör uzayını gerer. Bunlar R^7’nin bir altuzayını geriyor ve olası boyutlar ne? Bu direkt bir soru, u, v ve w tarafından gerilen altuzayın boyutu ne olabilir? Pekala bir, iki veya üç, doğru. Bir, iki veya üç.

Bundan fazla olamaz, çünkü üç tane vektörümüz var, ve sıfır da olamaz çünkü –vektörlerin sıfırdan farklı olduğunu söyledim. Eğer bütün bunların sıfır olmasına müsaade etmiş olsaydım, o durumda sıfır boyutlu alt uzay da işin içine girerdi.

Şimdi daha ciddi sorulara geçebilir miyim? Pekala. Elimizde 5’e 3’lük bir matris olsun.

Buna U diyelim. Bunun basamaklı biçimde olduğunu söylüyorum. Ve üç tane pivotu, r=3 olsun. Üç pivot.

Tamam. Birinci soru, sıfır uzayı nedir? Bu U matrisinin sıfır uzayı nedir? Matrisimiz 5’e 3’lük ve burada görsel olarak 5’e 3’lüğün ne anlama geldiğini görmeyi yararlı buluyorum. Bunun şekli ne? Üç sütunlu.

U’da üç tane sütun var, beş tane satır, üç tane pivot ve sıfır uzayı nedir? U’nun sıfır uzayı ---bu özel bir şeyi gerektiriyor ---aradığım cevap sadece sıfır uzayının tanımı değil, bu verilen bilgiler dahilinde, bu matrisin sıfır uzayını istiyorum. Pekiyi nedir bu? Sadece sıfır vektörü.

Bize rank’ın üç olduğu söylenmiş, dolayısıyla bu üç sütun bağımsız olmalı, bu sütunların hiç bir bileşimi sıfır vektörünü veremez ---demek ki bu sıfır uzayındaki yegane şey sıfır vektörü ve ben --- bu vektörün sıfır, sıfır, sıfır olduğunu da söyleyebilirim. Bunda bir sorun yok.

İşte sıfır uzayında olan bu.

Pekala devam edelim --- sorunun farklı kısımları var. Burada --- oo evet size 10’a 3’lük bir B matrisini soruyor, ki bu U ve 2U matrisi. Aslında, burada R yazmam gerekirdi --- belki şimdi şuraya da R yazmalıydım.

Bu birkaç yıl öncesinin, benim U’ya R’den daha çok önem verdiğim zamanların bir sınavı.

Pekala bu matrisin basamaklı biçimi nedir? Basamaklı biçimi, rankı nedir ve basamaklı şekli nedir? Bu indirgenmiş basamaklı biçimde olsun, bunun için R harfini kullanayım. Şimdi size indirgenmiş satıra göre basamaklı biçimi soracağım; yani U’nun indirgenmiş satıra göre basamaklı biçimde olduğunu, ama şimdi matrisin boyunu ikiye çıkartığımı düşünün. Satır indirgemesi yaparsak ne olur? Hangi satır indirgenmesi bizi bu matrise götürür? Dolayısıyla yok etme yapmaya başlayın.

Burada teker teker satırlar üzerinde yok etmeyi uyguluyoruz.

Tabii ki bloklar şeklinde düşünebiliriz.

Peki ne oluyor, cevap neye benzeyecek? U ve z--yada R -- bu U harfine sadık kalacağım, ama bunun indirgenmiş biçim olduğunu hatırlayacağım, ve sıfır.

Tamam güzel.

Ve sonra da şu matrisi sorar: U, U, U ve 0.

Pekala bunun basamaklı biçimi nedir? Bu satırsal yok etmenin ne olduğunu anlamaya yönelik bir soru.

Bu düşünceyi aklımdan geçirdim --- ne durumdayız. Yok etmeye başlarsak temel olarak bu satırları bundan çıkaracağız --- bu bizi U, U, sıfır, eksi U ya götürecek sanırım, değil mi? Tüm her şeyi R ye indirgeyin, U’nun aslında R olduğunu varsayalım. Gerçekten de satırca indirgenmiş basamaklı biçime gidiyoruz --- peki orada duracak mıyız? Hayır, temizlemiş olmalıyız ---bunu ---bunu da kullanabiliriz --- bu doğru mu gerçekten ---bu satırı aldım --- bunları elde etmek için bu satırları bunlardan çıkarttım.

Şimdi bu satırları bunlardan çıkarttığım da bu bana sıfırı verir.

İşte. Ve şimdi eğer R’yi yani satırca indirgenmiş basamaklı biçimi arıyorsam daha fazla ne yapabilirim? Bu durumda pivotta artı olanları isterim ---dolayısıyla burayı artı yapmak için bunu eksi ile çarparım.

Artık esas olarak burada satırca indirgenmiş basamaklı biçimi görmekteyim ---yapmam gereken ufak bir şey daha var. Bu en son şeyin ne olduğunu görüyor musunuz? Eğer U satırca indirgenmiş basamaklı biçimde ise, ve artık U’ya bakıyorum. Atmam gereken son küçük bir adım daha var ---bu öyle zor bir iş değil ---ama bunu gerçekten indirgenmiş biçimde istiyorsam, ne yapmam gerek? Bazı sıfır satırlarım olabilir ve bunları kesinlikle en alta taşımalıyım. Bundan bir proje çıkaracak değilim.

Bu matrisin rankı nedir? Bu C matrisinin rankı nedir? Orijinal U’nun rankının üç olduğunu bildiğime göre bu arkadaşın rankı nedir? Altı değil mi? Rankı altı diyebilirim. Peki bu B’nin rankı ne; şimdi onla ilgilendiğimize göre? B’nin rankı altı mı üç mü? Doğru cevap üç. Rankı üç.

Artık üç tane pivotu da görebileceğimiz yere geldiğimize göre .. şükürler olsun bu kolay bir şey. Sıfır uzayının ---C devrik’in sıfır uzayının boyutu ne? Ooo.

Pekala şimdi yapacağım şey --- eğer sıfır uzayının boyutunu arıyorsam, bu matrisin boyutunu bilmem gerek --- pekala C matrisinin boyutu ne? 10’a 6 ‘lık gibi görünüyor değil mi? 10x6; dolayısıyla, C 10x6 ise m= 10 yani C’nın on satırı var, C devriğin ise on sütunu var. Yani burada 10 sütun var. Dolayısıyla elimde kaç tane serbest değişken var --- eğer C devrikte on sütunla başlarsam, bu orijinal C için m= 10 demek.

Peki bundan neyi çıkartacağım? 6 yı. Çünkü bunun ranka eşit olduğunu söyledik. Dolayısıyla elimde dört kaldı.

Teşekkürler. Tamam.

Sanırım ki bu doğru cevap --- C devrik’in sıfır uzayının boyutu dört olmalı. Doğru.

Evet. Tamam.

Bu en azından bazı boyut hesaplamalarında ortaya çıkan bir soru.

İşte bir başka tip soru.

Size bir denklem veriyorum. Ax eşittir iki, dört, iki.

Ve tam çözümü de vereceğim.

Ama size matrisi vermeyeceğim.

Bir şey daha ---bir başka vektör sıfır, sıfır, bir. tamam mı?

Tamam. İlk sorum, satır uzayı’nın boyutu nedir? A matrisinin? Bu sorudan öğreneceğiniz ana şey bir sorunun böyle başlayabileceği.

Bir çeşit tersinden cevabı verip soruyu vermemek.

Ama buradan epey bilgi edinebiliriz ve hatta bazen bu A matrisi hakkındaki tüm bilgiyi elde edebiliriz.

Tamam. Satır uzayı’nın boyutu nedir? Rankı nedir? Bu matrisin boyutu hakkında bana bir şeyler söyleyin ---pekala, üzerinde düşüneceğimiz şeyler bunlar ---her şeyden önce bu matrisin şekli ne? Kesinlikle üç tane satırı var, ancak bu 3’e 3’lük mü? Dolayısıyla çarpılan x’lerin üç bileşeni var. Peki bu matrisin üç sütunu var mı? Evet.

Demek ki aynı uzunluğu b’de görüyorum, yani üçü, x’te de görüyorum.

Dolayısıyla bu bir 3x3 lük matris.

Peki rankı ne bunun? Rankı -- bunun sıfır uzayı hakkında bir şey söyleyin bana, Rank için doğru cevabı duydum --- Bu durumda rank 1.

Neden? Çünkü sıfır uzayının boyutu, yani A nın sıfır uzayının boyutu, bu tam çözümü bildiğime göre, bu iki dir.

Burada iki vektör görüyorum ve bunlar A’nın sıfır uzayında bağımsızdırlar; çünkü bunlar A’nın sıfır uzayında olmak zorundalar. Eğer bu vektörlerin bazı katlarını çözüm içerisine alabiliyorsam, o zaman bu bana bunun sıfır uzayında ne olduğunu söyler. Dolayısıyla bu sıfır uzayının boyutu 2 dir, ve sonra ben --- tabii ki bütün bu dört alt uzayın boyutlarını biliyorum.

Bu artık bize matrisin ne olduğunu sorar? Güzel, bu durumda matris nedir? Bunu çözmeye çalışayım mı? Pekala, yapmamı istiyor musunuz? Tamam, bu matrise bakalım, en azından başlayayım.

Eğer A çarpı şu x , iki, dört, iki veriyorsa, bu bana A matrisi hakkında ne söyler? Eğer A çarpı x bu denklemi çözüyorsa, bu durumda bu bana A’nın ilk sütununun bir, iki, bir olduğunu söyler değil mi?

A’nın ilk sütununun bir, iki, bir olması gerek, çünkü bunu x ile çarparsam, bu sadece ilk sütun ile çarpılacak ve bana iki, dört, iki’yi verecek, yani iki sütun daha bulmam gerek. Peki bunları bulmak için elimde hangi bilgiler var? Sıfır uzayını biliyorum.

Bunun sıfır uzayında olduğu gerçeği bana matris hakkında ne söyler? Bu matrisin sıfır uzayında sıfır, sıfır, bir var. Bu bana matrisin son sütununun sıfırlardan olduğunu söylemekte. Çünkü bu sıfır uzayında ve son sütunun sıfırlardan oluşması lazım.

Bu sıfır uzayında olduğuna göre ikinci sütun nedir? Bunun sıfır uzayında olması demek, A’yı bu vektörle çarpıp sıfırlar elde etmem demek. Buna göre bunun eksi bir, eksi iki ve eksi bir olması lazım.

Tamam. Bu soru tam çözümde olan bilgiyi ortaya çıkaran bir soru tipi. Güzel.

Şimdi de size hangi vektörler --- hangi b vektörleri için Ax=b’in çözülebilir olduğunu soracağım ---dolayısıyla b için bir şart arıyorum, varsa tabii.

Tüm sağ taraftaki b ler için çözülebilir mi? Hayır, kesinlikle hayır.

Peki bu ne zaman çözülebilir? Peki --- bunu sınavda da söyleyeceğim, bana sadece eğer b sütun uzayında ise demeyin, çünkü b sütun uzayında olduğu zaman onun tam olarak çözüleceğini ben de biliyorum. Dolayısıyla size bu matrisin sütun uzayının ne olduğunu soruyorum? Eğer b’nin şekli --- dolayısıyla sanırım size bu matrisin sütun uzayının ne olduğunu soruyorum, peki nedir o? Öyleyse bu matrisin sütun uzayı b’nin tüm katlarıdır --- b (1,2,1)’in bir katıdır.

Doğru mu? Eğer bu bir, iki, bir’in katlarıysa, bu çözebilir mi, ve tabii ki elbette ---evet, bu bir, iki, bir’in katı idi, ve böylece çözümü buldum.

Dolayısıyla bu elimde çok sayıda sıfır uzayının olduğu bir durum. Rank’ın büyük olduğunu hatırlayın, r’nin mümkün mertebe büyük olduğu diğer durumları hatırlayın, r, m’ye veya n’ye eşit. Bunun üzerine tam bir ders harcadık; tam rank, tam bir ders bu önemli ---önemli bir husus.

Devam edeceğim. Bana göre en iyi tekrar bu. Tüm fikirleri ortaya çıkarıyor. Kameradan özür diliyorum gözlüğümü takmam gerek --- pekala, birkaç tane doğru yanlış durumu inceleyelim --- ancak kısa sınavda doğru yanlış sorusu olmayacak.

Bu bize hızlı bir tekrar için zaman verecek. İşte biri. Eğer sıfır uzayı --- elimde bir kare matris var ---eğer bunun sıfır uzayı sadece sıfır vektörü ise, A devriğin sıfır uzayı nedir? Matris karesel olduğuna göre A devriğin sıfır uzayı hakkında ne biliyorum? Tabii sıfır vektörü hakkında da.

Güzel. Bu son derece önemli bir nokta. Pekala buna ne dersiniz? Bu 5x5 lik matrislerin oldukları uzaya bir vektör uzayı olarak bakalım. Bu dolayısıyla 25 boyutlu bir vektör uzayı.Tüm 5x5 lik matrisler. Tersi alınabilir matrislere bakın. Bunlar bir alt uzay oluşturuyor mu? Dolayısıyla elimde bu 5 çarpı ---tüm 5x5 matrislerinin uzayı var. Bunları toplayabilirim, sayılarla çarpabilirim. Ama bunları şimdilik tersi alınabilir olanlarla sınırlıyorum ---şimdi soruyorum bunlar bir alt uzay oluşturur mu? Ve sizin cevabınız epeyce cılız çıktı; ama her halükarda hayır değil mi, çünkü iki tane tersi alınabilir matrisi topladım ama cevabın da tersinin olup olmadığı konusunda bir fikrim yok. Eğer bu tersi alınabilir olanı çarparsak, içinde sıfır matrisi olmadığından bu alt uzay bile olamaz. Bunu sıfırla çarpabilmeliyim ve alt uzayda kalmalıyım --- tersi alınabilir olanlarla bu yapılamaz.

Tekil olanlar da işe yaramaz.

Bunlar sıfır --- sıfır matrisi tekil matrisler arasındadır, ancak iki tekil matrisi toplarsak cevabın tekil olup olmadığını bilmiyorum. İşte başka bir doğru - yanlış sorusu. Eğer B kare sıfırsa B de sıfırdır.

Doğru mu - yanlış mı? Eğer B kare sıfır ise-- doğru mu yanlış mı? B kare eşit sıfır, dolayısıyla B bir kare matris olmalı, dolayısıyla bunu kendisiyle çarpabilirim. Peki bu B’nin sıfır olduğunu gösterir mi? Kareleri sıfır olan matrisler var mıdır? Evet mi hayır mı? Evet öyle matrisler var. Kareleri sıfır matrisi veren matrisler vardır.

Eğer B kare sıfırsa B’nin sıfır olduğunu bilmiyoruz.

Örneğin --- buna en iyi örnek bu matristir.

Bu matris tehlikeli bir matris.

Bu matris daha sonra neyin yanlış gidebileceğine dair bir örnek olarak verilecek. Burada gerçekten basit --- dolayısıyla bu --- dolayısıyla bu matrisin karesini alırsam sıfır matris elde ederim; bu da belli, tamam mı?

m bilinmeyenli ve m denklemli bir sistem, sütunlar biri birinden bağımsızsa her sağ taraf için çözülebilir. Tamam mı? Bunu tekrar söyleyebilir miyim? Bunu kısaca yazacağım. m ye m matrisinin sütunları bağımsızsa, soru şu -- Ax=b denklemi daima çözülebilir mi? Cevabı evet veya hayırdır. Tamam mı?

Pekala, hanginiz birkaç haftadır televizyonda yayınlanan şu yarışma programını izledi? İsmi neydi, milyon dolar kazanma gibi bir şey? Nasıl milyoner olunur muydu? Bir çılgın adam sunuyor ismi neydi? Regis. Doğru.

Regis... Tamam? Doğrusal cebir yapmanız gerekirken bunu seyrettiyseniz --- tabii benim ödev yapmam gerekmediğinden ben seyrettim. Yani üç tane – ilginç – acayip nokta var, orada üç şekilde yardım alabiliyordunuz, doğru --- ama her birini bir kere kullanabiliyordunuz ve üçünü de aynı anda kullanamıyordunuz? Hatırladınız mı? Seyircinin fikrinin alınması epeyce kullanılan ve başarılı bir yoldu, dolaysıyla ben de burada seyircinin fikrini alacağım.

Başka bir olasılıksa --- ikinci olasılık da bir arkadaşınızı aramaktı, tabii size yanlış cevap verirse artık arkadaş kalabilir misiniz onu bilemem, ama bu hiç de güvenilir değildi, örneğin ağabeyinizi arayıp diyelim ki Bosna’nın başkentini soruyorsunuz? Bilemiyor tabii ve bir tahmin yürütüyor. Pekala matrisimizde bağımsız sütunlar var, Ax=b her zaman çözülebiliyor mu? Evet diyenler ellerinizi kaldırın. Bir kaç kişi. Peki kimler hayır diyor? Aman tanrım, bu izleyiciler hiç de güvenilir değil.

Yarı yarıya. Ben de evet diyeceğim, benim oyum evet. Çünkü bağımsız sütunlardan dolayı rank tam boyut olan m’e eşit, yani elimde rankı m olan bir matris var. Bunun anlamı -- yani bunun kare matris olduğu, dolayısı ile bu tersi alınabilir bir matris ve hiçbir şey yanlış gidemez.

Bu sonucun güzel olduğu bir örnek. Bu tür durumlar ikinci bölümde görülüyor, üçüncü bölümün sonuçlarından bir tanesi, tamam.

Eski bir kısa sınavdan bir başka örnek alalım.

Bakalım o zaman. Tamam.

Size bir matris vereceğim, ancak bunu birkaç matrisin çarpımı şeklinde vereceğim, 1, 1, 0; 0, 1, 0; 1, 0, 1 çarpı diğer bir matris 1, 0, -1, 2; 0, 1, 1, -1 ve tüm sıfırlar. Tamam.

Şimdi size herhangi bir çarpım yapmadan ve b matrisini bulmadan, bu matris hakkında sorular sormak istiyorum.

Bana bir şey söyleyebilir misiniz? Şimdi ben size B matrisi hakkında soru soracağım ve bunu çarpmadan size cevabını vereceğim. Örneğin sizden sıfır uzayı için bir taban bulmanızı isteyeceğim. Sıfır uzayı için bir taban. Dolayısıyla Bx=0 denklemini çözeceğim.

Bana B’nin sıfır uzayı için bir taban verin.

Bakalım, hangi boyuttayım -- B’nin sıfır uzayı R üzeri bir şeyin bir alt uzayıdır. Burada hangi boyuttaki vektörlere bakıyorum? Çünkü boyutu bilmezsek onu bulamayız değil mi? Sıfır --- bu matrisinin 3 x 4 olacağı açıktır.

Dolayısıyla sıfır uzayını arıyorsak R^4 ‘de bulunan x vektörlerini arıyoruz.

B’nin sıfır uzayı kesinlikle R^4’ün alt uzayıdır.

Peki bunun boyutunun ne olduğunu düşünüyorsunuz? Tabii tabanı bulunca anında boyutu bileceğiz, ama önce bir an duralım, B matrisinin rankı nedir? Bakalım, Bu matrisin tersi alınabilir mi? Şurada duran kare matrisin. Sanırım ki bu böyle, B matrisinin tersi alınabilir gibi görünüyor? Bu yeteri kadar açık mı? Evet. Evet.

Burada yanlış yaptım, ama hala bu matrisin tersinin alınabilir olmasını umuyorum

Evet, çünkü eğer bu üç sütunun bileşimine bakarsam --- güzel, bu ortadaki sütunu kullanamam çünkü burada bir var ve bu pozisyonda yani sütun da--- aksi taktirde hepsi sıfır olur, dolayısıyla sıfır veren bir bileşim bize bu problemi veremez ve diğer ikisi açıkça bağımsız setlerdir --- dolayısıyla bu matrisin tersi alınabilir.

Daha sonra determinant alıp başka şeyler de yapabiliriz.

Pekala durum nedir? Eğer elimde güzel tersi alınabilir bir kare matris varsa ve bu vatandaş ve şu ikinci çarpanla çarparsam ve sıfır uzayını arıyorsam, bunun bir etkisi olur mu? Sıfır uzayı mı --yani size sorduğum şey B’nin sıfır uzayı, sadece bu kısmın sıfır uzayı ile aynı mı değil mi? Bana göre öyle.

Sanırım öyle, Çünkü eğer Bx sıfırsa bu vatandaş ile çarpım da sıfır olur ..Ama eğer bu çarpı herhangi bir x de sıfır veriyorsa, soldan bunun tersi ile çarpabilirim, çünkü bunun tersini alabiliyordum, ve bu tip Bx’lerin sıfır olduğunu bulabilirim. Bunları yazmamı ister misiniz? Eğer burada bir çarpım varsa, C çarpı -- çarpı D diyelim ve C’nin tersi de tanımlı ise bu durumda CD’nin sıfır uzayı D’ninki ile aynı olur. Eğer C’nin tersi varsa.

Soldan, tersi tanımlı bir matris ile çarpım, sıfır uzayını değiştirmez. Tamam

Dolayısıyla size esas olarak bunun sıfır uzayını soruyorum.

Bu çarpımı yapmak zorunda değilim çünkü burada C’nin tersi alınabilir. Yani ilk faktör olan C’nin tersi alınabilir. Bu sıfır uzayını değiştirmez . Oldu mu? Dolayısıyla bu sıfır uzayı için bir taban yazabilir miyiz? Pekala bunun sıfır uzayı için olan taban nedir? Dolayısıyla sıfır uzayı için olan taban --- iki taneye bakıyorum, tabii ki 2 tane pivot var. Bunun rankı iki. İki tane özel çözüm arıyorum.

Bunlar üçüncü ve dördüncüden gelecek.

Serbest değişkenler. Tamam.

Demek ki eğer üçüncü serbest değişken 1 ise, sanırım burada eksi 1’e ihtiyacım olacak.

Eğer bu çarpımı yaparsam, sıfır elde edeceğim, bunda hem fikir misiniz? Eğer dördüncü değişkende bir 1 varsa, belki de ikinci değişkende bir tane 1’e ve üçüncü değişkende de bir tane -2’ye ihtiyacım var. Bunu açıkladık artık eğer geriye bakarsam bazen F dediğim bu serbest değişken kısmı --- 2 ye 2 köşesinde ---tüm işaretleri tersine dönmüş halde şurada duruyor --- yani burada eksi F değerini görüyorum ve burada da sıfır uzayı matrisi içinde birim matrisi görüyorum --- işte bu sıfır uzayı.

Başka bir soru Bx eşittir 1, 0, 1’i çözün.

Bu sorulardan biri, şimdi tam çözümleri yapın.

Bx eşit 1, 0, 1 için.

Pekala, gördüğüm kadarıyla eğer 1, 0, 1 elde etmek istiyorsam, özel çözümümüz nedir? Bir özel çözüm arıyorum ve daha sonra da sıfır uzayına bakacağım.

Pekala. B’nin birinci sütunu, B matrisimizin birinci sütunu nedir? Bu 1, 0, 1 vektörüdür. Dolayısıyla matrisimin birinci sütunu sağ taraf ile aynı.

Dolayısıyla x özel artı sıfır uzayının x’i, özel çözümü vermeli, çünkü B’nin ikinci sütunu tamamen doğru, harika. Ve elimde C çarpı birinci sıfır uzayı vektörü ile D çarpı diğer sıfır uzayı vektörü var.

Tamam mı? İki --- çözümün sıfır uzayı kısmı her zaman olduğu gibi keyfi sabitlere sahip, özel çözümde ise keyfi sabitler yok, bu tek bir özel çözüm ve bu durumda bu işimizi görür.

Tamam. Güzel.

Dolaysıyla eski sınavlardan alınan soruların üzerinden geçtik, aklınıza başka sorular geliyor mu? Evet.

Bu özel çözüm, x özel, der ki bakalım, ben bu vatandaş ile çarparsam, B’nin ilk sütununu elde ederim. Bu -- eğer bir çözümse, B ile çarparım, B çarpı bu x, B’nin ilk sütunu olur ve buna göre bu B’nin birinci sütunu sağ taraf ile aynı olur. Dolayısıyla demek istediğim şey, bu B matrisinin ilk sütununa bakın. Eğer çarpımı yaparsanız, bu -- pekala bu matrisin birinci sütunu ne olur? Bu matrisi birinci sütunla çarpıyorum.

Ve bir, sıfır, biri alır. Dolayısıyla B’nin ilk sütunu aynen bu olur . Ve böylece özel çözüm bu vatandaş olacaktır. Evet. Tamam. Evet.

Soru: Sadece bir özel çözüm mü var?

Hayır, hiç öyle değil. Hayır. Ben – bence buradaki güzel. Fakat seçtiğimiz herhangi bir çözüm de özel çözüm olabilir. Yani bu artı gibi -- bu artı şu da başka bir özel bir çözüm olabilir. Bu başka bir çözüm de olabilir.

Özel çözüm bize, sadece bir tanesini almamızı söylüyor. Ama bize hangisini almamız gerektiğini söylemiyor. En işimize geleni alırız. Sanırım bu problem için uygun olanı şu. Güzel. Başka sorusu olan? Evet. Ve tabii ki, bu özel çözüm artı sıfır uzayı çözümü kalıbını unutmamak gerek.

Bu, doğrusal sistemlerin tüm matematiği boyunca devam eder. Burada yaptığımız şey doğrusal sistemlerin matematiği. Sistemlerimiz ayrık ve ve sonlu boyutludur – ve dolayısıyla bu doğrusal cebirdir.

Ancak bu özel çözüm artı sıfır uzayı çözümü --- matris boyutunun sonlu olmasına bağlı değildir. Ve bu epey yaygındır --- bu her yerde mevcuttur. Tamam. Size problemleri kitaptan almanızı tavsiye ederim, ben de aynısını yapacağım.

İşte bazı kolay doğru-yanlış soruları. Yazar bunları niye buraya koymuş bilmiyorum. Tamam. Eğer m=n ise, bu durumda satır uzayı sütun uzayına eşit olur. Böylece bunlar doğru yada yanlış sorularıdır. Eğer m=n ise, matris kare demektir ve bu satır uzayı sütun uzayına eşittir. Yanlış. Güzel. Peki eşit olan nedir? Neyin eşit olduğunu söyleyebilirim. Eğer m – pekala, evet. Bu kesinlikle yanlış -- satır uzayı ve sütun uzayı ve bu matris güzel bir örnek. Dolayısıyla burada bir kare matris var ama bunun satır uzayı, (0,1)’in katları ve sütun uzayı ise (1,0)’ın katları. Çok farklı.

Satır uzayı ve sütun uzayı bu matris için tamamen farklıdır. Tabii ki matris simetrik olsaydı, o durumda satır uzayı sütun uzayına eşit olurdu. Tamam mı?

Peki, şu soruya bakalım? A ve eksi A matrisleri aynı dört alt uzayı paylaşırlar. A ve eksi A matrislerinin sütun uzayı aynı mıdır? Sıfır uzayları aynı mıdır? Satır uzayları aynı mıdır? Cevabınız nedir? Evet mi, hayır mı?

Evet, güzel.

Buna ne dersiniz? Eğer A ve B aynı 4 alt uzaya sahipse, bu durumda A, B’nin katıdır. Örneğin---bu alt uzayların aynı olduğunu varsayalım, bu durumda A B’nin bir katı mıdır? Böyle bir soruyu nasıl cevaplarsınız? Eğer evet demek isterseniz, bu durumda bunun neden böyle olduğuna dair bir sebep bulmanız gerekir. Eğer hayır olarak cevap vermek isterseniz, tabiî ki verebilirsiniz, bu durumda da neden böyle olduğu düşünmek durumdasınız, yani demek istediğim bunun doğru olmadığına dair bir örnek verebilir misiniz? Soruyu tekrarlayayım. Ve sonrada cevabı yazayım. Tamam mı?

Bu soruyu tekrarlayayım. Doğru mu, yanlış mı? Eğer A ve B aynı dört alt uzaya sahipse, bu durumda A B’nin bir katıdır. Doğru mu, yanlış mı? Şu anda ne düşünüyorsunuz? Birkaç tane doğru var? Bir oylama yapayım mı, kaçınız doğru olduğunu düşünüyor? Tamam.

Size düşünmeniz için her şansı verdim.

Bakalım. Ben olsaydım uç durumları alırdım; pekala, farz edelim ki tersi alınabilir bir matris var. A tersi alınabilir bir matris olsun, peki sonra, diyelim ki 6’ya 6’lık tersi alınabilir bir matris. Bu durumda bunun sütun uzayı nedir? Bunun sütun uzayı R^6’nın tümüdür, ve sıfır uzayı, ve A devriğin sıfır uzayı da sıfır vektörü olurdu. Demek ki tersi alınabilir tüm matrisler bu cevabı verirdi. Elimde 6 x 6 tersi alınabilir bir matrisim olduğunda, bu alt uzayların ne olacağını biliyorum. Bu bölüm 2.7 de yapılmıştı, alt uzayların ne olduğunu bilmediğim zaman.

Satır uzayı ve sütun uzayının her ikisi de altı boyutlu uzaydalar-- tüm uzay, ve rank altı, bir başka deyişle -- bu sıfır uzayları sıfır boyutlu.

Cevabı gördünüz mü?

Her neyse ben yanlış diyeceğim. Çünkü A ve B örneğin --örnek olarak A ve B her hangi bir tersi alınabilir, 6x6 , 6 ya 6 lık matrisler olsun. Dolayısıyla bunlar aynı dört alt uzaya sahip olabilir, ancak aynı olmazlar.

Tabii ki bu matrislerde aynı olan bir şey olmalı. Bu bir çeşit doğal problem artık elimizde bir matematik problemi var.

Cevap bu doğru değil şeklinde olmalı. Bir matris diğerinin katı olmak zorunda değil. Ancak doğru olan bir şey olmalı. İşte bu sorulabilecek doğal bir soru. Eğer bunların alt uzayları aynı ise, aynı dört alt uzay --- ne olur diyebilirsiniz? Öngörü her zaman doğru olmaz.

Umarım artık doğru cevabın yanlış seçeneği olduğunu gördünüz.

Tabii ki bunların aynı ranka sahip olduklarını düşünebilirsiniz ---tabii ki aynı dört alt uzay varsa aynı ranka sahip olacaklar.

Hatta bunlar ---her neyse bu soruyu genişletip diğer olasılıkları da düşünüp bunun doğru olmadığını gösteren bir şey bulabilirim --- ama bunu yapmayacağım.

Alıştırma sorularına devam edelim.

Bu alıştırma sorularının sınav için çok uygun olduğunu düşünüyorum.

Bakalım. A’nın iki sütununun yerini değiştirirsem hangi alt uzaylar aynı kalır? Burada cevabını kolaylıkla bulabileceğimiz sorular seçiyorum. Eğer elimde bir A matrisi varsa ve bunun iki sütununun yerini değiştirirsem, hangi alt uzaylar aynı kalır? Satır uzayı aynı kalır.

Sıfır uzayı aynı kalır.

Güzel. Güzel.

Doğru. Sütun uzayı hatalı cevap olurdu. Tamam.

Pekala, bir soru daha. Aman, bu bir sonraki bölüme götürüyor. Neden bu 1, 2, 3 vektörü hem satır hem de sıfır uzayında olamaz? Bu soru ile bugünü kapatıyoruz.

Dolayısıyla V bu 1, 2, 3 bir matrisin sıfır uzayında ve satır uzayında bulunamaz. Ve benim sorum neden bulunamadığı? Neden? Dolayısıyla bu soru bizim, bize direkt olarak sorulduğundan kolaylıkla cevaplayacağımız bir soru. Pekala, hemen belirleyebilirim, bu sıfır uzayında ve aynı zamanda bir satır olamaz. Daha da ileri gidebilirim.

Bunu A’nın bir satırı yapalım. Neden olmasın? Ancak ben --- bu uzayların boyutunu biliyoruz.

Ama şimdi bunlar arasındaki bir çeşit çakışmayı soruyorum --- dolayısıyla sıfır uzayı ve satır uzayı -- bunlar aynı n-boyutlu uzaydalar. Bunların her ikisi de n-boyutlu uzayın alt uzayları ve ben kısaca bunların çakışamayacağını söylüyorum.

Böyle bir vektörüm olamaz ---hem sıfır uzayında olan hem de matrisin bir satırı olan tipik bir vektör.

Neden ki ? Bu yeni bir fikir.

Bakalım bu ne anlama geliyor.

Yani demek istediğim A çarpı bu V ---neden A çarpı bu V sıfır olamıyor? Pekala, eğer bu sıfırsa, bu da ---yine burada sıfır uzayına gidiyorum.

Dolayısıyla bu --- şimdi bu vektörü sıfır uzayına koyalım, neden matrisin ilk satırı 1, 2, 3 olamaz? Matrisi dilediğim şekilde doldurabilirim. Bu neden mümkün değil?

Bunun mümkün olmadığını görüyorsunuz değil mi? Yani bu matrisin bir satırı ise ve aynı zamanda sıfır uzayında ise, bu sayı sıfır olamaz değil mi? 14 olur.

Doğru. Pekala artık bu dört alt uzayın tam görüntüsünü çıkarmaya başladık.

n-boyutlu uzayda bulunan bu ikisi, aynı sıfır vektörü paylaşır.

Sıfır uzayı ile satır uzayı’nın kesişimi sadece sıfır vektörüdür. Zaten sıfır uzayı satır uzayına diktir.

Bu Pazartesi tatil var ve ben sizinle dik’likleri incelemek için Çarşamba günü buluşacağım. Cuma günü de görüşmek üzere, kısa sınavda başarılar.