MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 12

Pekala. Bu 12inci dersimiz.

12inci dersimize ulaştık. Ve bu kısım doğrusal cebirin uygulaması açısından diğerlerinden daha fazlasına sahip. Ve şimdi itiraf edeceğim. Size sıfır veya satır uzayları için örnekler verirken ben küçük matrislerle çalıştım. Görüyorsunuz, çalışacağım matrisi kendim kuruyordum.

Bu konuda kendimi biraz suçlu hissediyorum, çünkü gerçekde doğrusal cebirde başka yerlerden gelen matrisler kullanır. Onlar hocalar tarafından gelişi güzel seçilmezler. Uygulamadan gelirler. Belirli bir yapıya sahiptirler. Onlarla çalışanlar bu belirli yapıyı kullanırlar.

Belirteyim ki bu hafta sonu kimya profesörleriyle bir nedenden dolayı bir aradaydım. Bu adamlar matrisler de satır indirgemesi yapıyorlardı ve hangi matrislerle çalışıyorlardı? Şey, onların küçük matrisleri onlara, her bir elamanın kaçta kaçının veya her molekülün, bir reaksiyona moleküllerden kaçta kaçı dahil oluyor ve sonuçta ne çıkıyor söylüyordu.

Ve satır indirgeme ile karışık bir reaksiyonun net resmini elde ediyorlar. Ve bu hafta sonu, Mathwork deki, o Natick de 9uncu sokağın hemen yanın da, bir çeşit doğum günü partisinde olacağım.

Burası Matlab’ın yaratıldığı yer. O çok çok başarılı, acaip başarılı bir yazılım programı. Ve konferans bu programın doğrusal cebir’de nasıl kullanıldığı hakında olacak. Ve bugün, uygulamalı matematik’te en önemli model olduğunu düşündüğüm konu hakkında konuşacağım ve bunun için kendimi iyi hissediyorum.

Ve ayrık model bir grafiktir. Yani bir grafik çizebilir miyim? Onunla ilgili bir matrisi yazacak ve bu matrislerin büyük kaynağını göreceğiz. Bir grafikte kenarlar ve köşe noktaları var. Tamam.

Ve bir grafik çizeceğim, yani burada küçük bir grafik oluşturacağım.

Geçen sefer bahsettiğim gibi, bütün web sitelerinin, bütün telefonların ya da dünyadaki bütün insanların grafikleri ile ilgileneceğiz. Burada, 1, 2, 3 köşelerini alayım, şey, bir kenar koysam iyi olur, köşe 4 e bir kenar, ve köşe 4 e başka bir kenar koyayım. Nasıl oldu? 4 köşeli bir grafik var.

Demek ki n 4 olacak --- n eşit 4 köşe.

Ve matris de m eşit bu sayı --- her kenar için bir satır olacak, yani bir iki üç dört beş kenar var, yani bu sayı satırların sayısı olacak. Ve çalışmak istediğim bu matrisi yazmam gerekir, her bir kenarın doğrultusunu vermem gerekir, böylece bir artı ve bir eksi doğrultu olduğunu biliyorum. Böylece bunu bir okla göstereceğim, demek ki 1 den 2 ye, 1 den 3 e, 2 den 3 e, 1 den 4 de, 3 den 4 e.

Bu bana gösteriyor ki, bu kenarlarda akımın akışı varsa, o zaman okun yönünde veya okun ters yönünde gitmesine bağlı olarak pozitif ya da negatif almam gerektiğini biliyorum. Fakat bu okları gelişi güzel çizdim. Tamam.

Çünkü ben --- gelecek örneğimde --- yapacağım örnekte -- voltaj, voltaj farkı, akım gibi kelimeleri kullanacağım. Başka bir deyişle, bir elektrik ağı düşünüyorum.

Ama bu sadece bir olasılık.

Uygulamalı matematik dersim bu örnek üzerine kurulu olacak.

Bu bir hidrolik ağ olabilir, yani su akışı veya petrol akışı yapıyor olabiliriz.

Diğer örnekler, bu bir yapı olabilir --- bir köprünün bir dizaynı yada Buckminster Fuller stadyumunun bir dizaynı gibi. Yada diğer bir çok olasılık. Fakat temel örnek olarak, voltajlar ve akımları alalım ve grafiğin söylediğini tam olarak gösteren bir matris yaratayım. Böylece şimdi buna ilişki (incidence) matrisi diyeceğim, ilişki matrisi. Tamam. Haydi onu yazayım ve onun özellikleri neler görelim.

Demek ki herbir satır bir kenara karşılık gelecek.

5 kenardan 5 satırım var ve bu grafiğin neye benzediğini tekrar yazayım.

Tamam, birinci kenar, kenar 1, köşe bir’den köşe ikiye gider, eksi bir ve artı bir koyacağım; bunlar köşe 1, 2, 3, ve 4 e karşılık gelen sütunlar.. Bu beş satır --- birinci satır kenar bir’e karşılık gelir, 1.nci kenar 1.nci köşeden ayrılır ve 2.nci köşeye gider, ve bu --- 3 ve 4’e dokunmaz.

Kenar iki, kenar iki gider---aaha, bu kenarları henüz numaralandırmadım.

Söylemedim ama bu muhtemelen kenar bir’di. Haydi bunu kenar bir olarak alayım ---bunu kenar iki olarak alayım. Şunu kenar üç olarak alayım. Şu kenar 4 olsun. Aha, keşfediyorum --- hayır, durun bir dakika.

Bunu iki kez mi numaralandırdım? Burada ki kenar 4. Ve bu da kenar 5. Tamam mı? Pekala, yani böylece kenar bir, söylediğim gibi, 1.nci köşe’den 2.nci köşe’e gidiyor.

2.nci kenar 2 den 3’e, 2.nci köşe’den 3.ncü köşe’ye gider, yani 2inci ve 3üncü sütunda -1 ve 1 olacak.

3üncü kenar 1’den üç’e gider.

Bu 3 kenarda biraz durmak bana cazip geliyor.

Kenarlar 1, 2, 3, bu yapı ne olur? Kenar 1, 2, ve 3, tarafından oluşturulan küçük alt grafikler diyeceğim yapılar oluştururlar. Bu bir döngüdür. Ve döngü sayıları ve pozisyonları önemli olacak.

Tamam, aslında, burada döngüler hakkında ilginç bir nokta var. Kenar 1, 2, 3 e karşılık gelen şu satırlara bakarsam, ve bu adamlar bir döngü oluşturuyorsa, bana söyleyin --- eğer matrisin bu kadarına bakarsam, doğal olarak sormam gereken soru, bu satırlar bağımsız mı? Bu satırlar bağımsız mıdır? Ve onların bağımlı ya da bağımsız olduklarını buna bakarak söyleyebilir misiniz? Bu üç satır arasında bir ilişki görüyor musunuz? Evet.

Bu satırı şu satıra eklersem, bu satırı elde ederim.

Böylece, yani burada bir ipucu var gibi, bu döngüler doğrusal bağımlı sütunlara --- doğrusal bağımlı satırlara karşılık gelir. Tamam, bu ilişki matrisini tamamlayayım. Numara 4, 4üncü kenar, köşe 1’den köşe 4’e gidiyor.

Ve bu beşinci kenar üçüncü köşeden dördüncü köşeye gidiyor.

Tamam, işte matrisim burada.

5 kenar ve 4 köşeden oluştu.

Ve eğer grafiğim büyükse, büyük matrisim olur.

Ve matrisler hakkında hangi soruları sorarım? Sorabilir miyim --- işte şimdi bu tekrar etme olacak.

Bu bir yerlerden gelen bir matris.

Eğer büyük bir grafik olsaydı, bir sürü sıfırları olan büyük bir matris olurdu, değil mi? Çünkü her satırda sadece iki tane sıfır olmayan vardır.

Yani sayısı -- çok seyrek bir matristir.

Sıfır olmayanların sayısı tam olarak 2 kere 5, 2 m dir. Her satır da sadece iki tane sıfır olmayan var. Ve bu yapıda birçok şey var. Ve --- başlarken vurgulamak istediğim nokta bu grafiklerin, bu gerçek grafiklerin büyük yapılara sahip gerçek problemlerden oluştuğu idi.

Matrisler hakkında temel soruları sorabilir, ve onların yapılarından dolayı, bu soruları cevaplayabiliriz.

Böylece birinci soru, sıfır uzayı hakkında ne söyleyebiliriz? Bu matrisin sıfır uzayı için sorsam şunu sorardım, matrisin sütunlarına bakarsam, bu sütunlar bağımsız mı diye soruyorum? Bu sütunlar bağımsızlarsa, o zaman sıfır uzayında ne var? Sadece sıfır vektörü, değil mi? Sıfır uzayı bu sütunların bileşiminde ne olduğunu söyler, sıfırı elde etmek için nasıl bir bileşim olacağını söyler.

Ve bu matrisin sıfır uzayında sıfır vektöründen başka herhangi bir şey var mı? Başka bir deyişle, bu dört sütun bağımlı mı, bağımsız mı? Tamam, işte bizim sorumuz bu.

Bakalım. Cevabı görüyor musunuz bilmiyorum.

Bir şey var mı – haydi görelim.

Sanırım onu düzgünce yapabiliriz. Ax=0 ı çözebiliriz. Sıfır uzayını bulmak için Ax=0’ı çözeyim. Tamam.

Ax nedir? Burada x için küçük harflerle x1, x2, x3, x4 u kullanabilir miyim? Yani --- 4 sütun var.

Şimdi Ax, bu matris çarpı x oldu. Ve Ax için ne elde ettim? Kamera oradaki matris çarpımında kalabilirse, ben cevabı buraya yazacağım. Ax eşit --- Ax in birinci elemanı ne? Bu birinci satırı, -1 1 0 0, alır ve x ile çarparsam ve tabii ki x2-x1 elde ederim. İkinci satır, x3-x2 olur. 3 üncü satırdan, x3-x1 elde ederim. Dördüncü satırdan, x4-x1 elde ederim. Ve beşinci satırdan, x4-x3 elde ederim. Ve bu şeylerin ne zaman sıfır olduklarını bilmek istiyorum. Bu benim denklemim, x=0. Bu A matrisinin ne yaptığını görmeye çalışın, her bir kenarda oluşan farkları, voltaj farkını hesaplayan bir matris oluşturduk.

Hatta bunun anlamını vererek başlayayım.

x1, x2, x3, x4 olan bu x vektörünü, köşelerdeki voltajlar olarak düşüneceğim. Yani yeni bir kelime, köşelerdeki voltajı tanıtıyorum. Ve şimdi bunu A ile çarparsam, şu 5 elemanı, x2-x1, ..., ve saire elde ederim. Ve bunlar nedir? Onlar voltaj farklarıdır. İşte A bunu hesaplar.

Köşelerde voltajlarım varsa ve A ile çarparsam, bu bana voltaj farklarını, kenarlar boyunca olan voltaj farkını verir.

Bu farkların tümü ne zaman sıfır olur? Yani sıfır uzayını arıyacağım.

Tabii ki, tüm x-ler sıfırsa, o zaman sıfır elde ederim.

Bu, bu tabii ki bana sıfır vektörünün sıfır uzayında olduğunu söyler. Ama, sıfır uzayında daha fazlası var. A nın bu sütunları bağımlıdır, değil mi? Çünkü bu denklemin çözümlerini bulabiliyorum. Bana sıfır uzayını söyleyin.

Sıfır uzayında olan bir vektör söyleyin, dört elemanı olan ve bu şeyleri sıfır yapan bir x söyleyin.

Bunu yapan güzel bir x nedir? 1,1,1,1, sabit voltaj. Voltajlar sabit ise, o zaman bütün voltaj farkları sıfır olur, ve bu x sıfır uzayındadır.

Sıfır uzayında başka ne var? Eğer o, evet, her zaman sorduğum gibi, sıfır uzayı için bana bir taban verin. Sıfır uzayı için bir taban sadece bu olacak. Yani --- hepsi bu.

İşte bu sıfır uzayı için bir taban.

Sıfır uzayı aslında tek boyutlu ve bundan geçen bütün vektörler doğrusudur. Yani onun için bir taban var ve işte bütün sıfır uzayı burada.

4 boyutlu uzayda bütün doğrular, 1, 1, 1, 1 in herhangi bir katıdır. Bunun sıfır uzayı olduğunu görüyor musunuz? A nın sıfır uzayının boyutu 1 dir. Ve burada onun için bir taban var ve olan her şey bunun içinde.

Güzel, Bu adam sıfır uzayında, fiziksel olarak bu ne demek, yani, uygulamada bunun anlamı ne?

Bu voltajlar sadece sabit kadar belirlenebilir demektir. Voltaj farkları akımın akışını yaratır. Bu hareketi yaratan budur. Ağımızda, 2inci köşe ve 1inci köşe arasında, bir şeylerin hareket etmesini sağlayan şey bu voltaj farkları dır. Bütün voltajlar sıfır olsaydı, hiçbir şey hareket etmezdi. Bütün voltajlar c, c, c, ve c olsalardı, o zaman hiç bir şey hareket etmezdi. Böylece, bu tek parametremiz, bu keyfi sabitimiz, bütün voltajları düşürür yada yükseltir.

Bu futbol takımlarını sıralama gibi, her ne demekse.

Bir var, bir olduğunu, orada bir sabit --- yada sıcaklıklara bakınca, daha yüksek sıcaklıktan daha düşük sıcaklığa doğru bir ısı akışı olduğunu biliyorsunuz. Eğer sıcaklıklar eşit ise, orada akış olmaz, ve böyle ölçebiliriz – Celsius ile yada mutlak sıfırdan başlıyarak sıcaklıkları ölçebiliriz.

Ve bu keyfi sabit -- aynı keyfi sabit, orada kalkülüste de vardı. Kalkülüste, bir integrali, belirsiz bir integrali alırken bir artı c vardı. Ve c nin ne olduğunu bulmak için bir başlangıç noktası ayarlamanız gerekiyordu. Burada genelde olan voltajlardan birini sabitlemek dir, sonuncusu gibi.

Alışılmış olan bu köşeyi topraklamaktır.

Voltajı sıfırlıyorsun. Ve bunu yaparak voltajı sabitlemiş oluruz ve bu bizim için bir bilinmeyen olmaktan çıkar. Bu sütun yok olur ve şu üç sütunla kalırız, bunlar da bağımsızdırlar.

Yani bu sütunu burada bırakıyorum, ama bir köşeyi topraklamanın ondan kurtulmanın yolu olduğunu unutmayacağız.

Ve bir köşe topraklama --- bir köşeyi --- bir voltajı sıfır olarak tanımlamak, bütün voltajlar için bir referans noktası oluşturur. Sonra başkalarını hesaplayabiliriz. Tamam. Şimdi bu matrisin rankının ne olduğunu sormak için yeterince konuştum. Rank ne o zaman? Matrisin rankı ne?

Böylece bir 5x4 matris var.

Onun sıfır uzayının, bir boyutlu olduğunu tespit ettim.

Kaç tane bağımsız sütunumuz var? Rankı ne? 3.

Ve ilk üç sütun, yada aslında herhangi bir üç sütun bağımsız olacak. Herhangi üç voltaj bağımsız, güzel değişkenler. 4üncü voltaj değil, ayarlamamız gerek ve genelde bu köşeyi topraklarız. Tamam.

Rank 3 tür. Rank eşit 3.

Tamam. Bakalım. Sütun uzayları hakkında soru sormak istiyor muyum? Sütun uzayı şu sütunların bütün bileşimidir. Onun hakkında daha fazlasını da söyleyebilirim ve söyleyeceğim de. A devriğin sıfır uzayına gidelim, çünkü (A devrik) Y=0 denklemi belki de uygulamalı matematiğin en temel denklemidir. Tamam, bunun hakkında konuşalım. O ilginizi hak ediyor. A devrik Y eşit sıfır. Bunu buraya yazayım. Tamam. Peki, (A devrik) çarpı y, eşittir sıfır.

Peki şimdi A devriğin sıfır uzayını bulacağım.

Oh, ve onun boyutunu sorsam, ne olduğunu bana söyleyebilirsiniz. A devriğin sıfır uzayının boyutu nedir? Bu soruyu cevaplamak için yeterli bilgiye sahibiz. A devriğin sıfır uzayının boyutu için genel formül ne idi? A devrik, hatta A devriği açıkça yazayım. Bu A devrik n x m olacak, değil mi? n ye m.

Bu durumda, 4 e 5’lik olacak.

Bu sütunlar satırlara dönüşecek. Şimdi birinci satır da -1 0 -1 -1 0 var. Matrisin ikinci satırı,1 -1 ve 3 tane sıfır(1 -1 0 0 0 ). 3üncü sütun şimdi 3üncü satır oluyor, 0 1 1 0 -1. Ve dördüncü sütun dördüncü satır olur.

Tamam, güzel, işte size A devrik.

Bu y, yani y1 y2 y3 y4 ve y5 ile çarpılacak.

Tamam, şimdi bu soruyu düşünmek için zamanınız olmuştu. Sıfır uzayının boyutu ne, eğer bütün bunları yaparsam, vay be.

Genellikle---bazen bu dönem boyunca, bu silgilerden birini arka tarafa düşürüm, bu harika bir an.

Kurtuluşu yok. Arkada yılların silgisi var. Pekala, tamam. Sıfır uzayının boyutu ne? Önce r cinsinden, sonra m ve n cinsinden genel formülü verin.

Bu çok önemli,---boyutun ne anlama geldiğine karar vermek için çok uğraştık ve sonra rankı r olan m ye n matrisi için neye eşit olduğunu anladık ve cevap m-r idi, değil mi? A devriğin sütun sayısı m=5, m=5 tane elemanı var. Ve bu sütunların r tanesi pivot sütundur, çünkü onun r tane pivot’u var.

Onun rankı r’dır. Ve m-r, devrik için serbest olandır. Yani bu 5 eksi 3, 2 olur. Ve bu sıfır uzayını bulmak istiyorum. Onun boyutunu biliyorum.

Şimdi onun için bir taban bulmak istiyorum.

Ve bu denklemin ne olduğunu anlamak istiyorum.

Böylece (A devrik) y nin aslında neyi temsil ettiğini, bu denklemle niçin ilgilendiğimi söyleyeyim.

Şu eski silgileri bırakacağım ve bununla devam edeceğim.

İşte uygulamalı matematiğin büyük resmi burada.

Pekiyi, bunu tamamlayayım. Voltaj farklarını akım ile bağlayan, C diyeceğim bir matris var.

Yani bunları arayacağım--bu y1 y2 y3 y4 ve y5 kenarları üzerinde akımlar var. Bunlar, kenarlar üzerindeki akımlar olur. Ve akım ve voltaj farkları arasındaki bu ilişki Ohm kanunu dur.

Buradaki Ohm kanunudur. Ohm kanunu, bir kenar üzerindeki akımın bir sayı çarpı voltaj düşüşüne eşit olduğunu söyler. Bu -- ve şu sayı, bu kenarın iletkenliği 1 bölü direnç dir. Bu eski (önceki) akım ve bu akım, direnç ve voltajdaki değişim arasındaki ilişkiyi verir. Akımın olmasına sebep olan bu voltajdaki değişimdir ve ne kadar akım olduğunu söyleyen de Ohm kanunudur. Tamam.

Ve bu yapının son adımı ( A devrik) y eşit sıfır denklemidir. Ve bu --- ne söylüyor? Onun meşhur bir ismi var.

O Kirchoff Akım Kanunu dur, KAK, Kirchoff Akım Kanunu, (A devrik) y=0. Böylece bunu çözdüğüm zaman ve bu karatahtaya geri dönüp ( A devrik) y eşit sıfırı çözdüğümde, bu kalıbı görmenizi istiyorum. Dikdörtgensel bir matrisimiz vardı, ama---ve gerçek uygulamalar, bu gerçek uygulamalar A ve A devrikten geliyorlar.

Böylece bizim dört alt uzayımız tam da bilmemiz gereken doğru şeyler.

Haydi A devriğin sıfır uzayını bulalım.

Bir dakika bekleyin, o nereye gitti? İşte burada. Tamam.

Tamam, A devriğin sıfır uzayı.

Onun boyutunun ne olması gerektiğini biliyoruz.

Haydi bulalım---bana onun içindeki bir vektörü söyleyin..

Bana ---şimdi, size ne soruyorum? Kirchoff Akım Kanunu sağlayan bu 5 akımı bulmanızı istiyorum. Yani bu kanunun ne söylediğini anlasak iyi olur. Bu kanun, A devrik y eşit sıfır, bu A devriğin birinci satırı için ne diyor? Bu diyor ki, A devriğin birinci satırı, -y1, -y3, -y4’ün sıfır olduğunu söylüyor. İzin verin---grafiği yeniden çizeyim---grafiği yeniden buraya ---belki buraya çizebilir miyim ve böylece tekrar görebiliriz. Köşe 1, köşe 2, köşe 3 vardı, köşe 4 burada dışarıda idi. Bu bizim grafiğimiz idi.

Onlar üzerinde akımlar vardı. Bir y1 akımı buraya gidiyordu. Bir y akımı vardı---Başka ne vardı? Bunların kenar numaraları neydi? y4 burada ve y3 burada. Ve sonra bir y2 ve bir y5.

Şimdi diğer tahtadakileri kopyalıyorum --- bunu görmek işimize yarayacak. Bu denklem bana ne söylüyor? Kirchoff’un Akım Kanunun birincisi. Bu grafik açısından ne anlama geliyor? y1, y3 ve y4’ü birinci köşeden çıkan akımlar olarak görüyorum. Dolayısı ile birinci denklem, birinci köşeyi ilgilendiriyor ve ne diyor? Toplam akışın sıfır olduğunu söylüyor.

A devrik y denkleminin, Kirchoff Kanunun bir denge denklemi olduğunu.. Bir koruma kanunu olduğunu.

Fizikçiler bu konularla çok keyiflenecekler.

Söylediği; giren çıkana eşit ve bizim durumda her üç ok da dışa doğru gidiyor, ve bu kural bize y1+y3+y4 ün sıfıra eşit olduğunu söylüyor. Şimdi diğerine bakalım.

İkinci satır y1-y2, bu satırda sadece bu var. Ve bunun, köşe 2 ile bir ilişkisi olmalı. Ve yine y1=y2, giren akım, çıkana eşittir diyor. Üçüncü satır, y2+y3-y5=0’dır. Bu da üçüncü köşe ile ilgili. y2 giriyor, y3 giriyor, y5 te çıkıyor ve denge sağlanıyor.

Ve en sonunda, y4+y5=0’ın dediği, bu köşedeki toplam akışın sıfır olduğu. Bildiğiniz gibi köşelerde şarj toplanmaz.

Etrafta dolanır.

Şimdi yine doğrusal cebir sorusuna geri dönelim.

Bu denklemleri çözen y vektörü nedir? Grafiğe bakarsak bu matrisin, A devriğin sıfır uzayını görebiliyor muyum? Yok etme yapmaya mecbur kalmazsam sevinirim. Yok etme uygulayabilirim, bunu nasıl yapacağımızı biliyoruz, sıfır uzayını nasıl bulacağımızı biliyoruz.

Bu matrise yok etme yöntemini uygulayabilirim ve güzel bir indirgenmiş basamaklı biçimi elde edeceğiz, ve özel çözümler hemen kendini gösterecek. Ancak bunu yapmadan çözüm elde etmek isteriz. Önce şunu sorayım. Eğer şu matrise yok etme yöntemini uyguluyor olsaydık son satır ne olurdu? Son satır ne olacak --- yok etmeyi uyguladığımda bu matrisin son satırı R, hep sıfır olacak, değil mi? Niye? Çünkü rankımız 3. Yalnızca 3 pivotumuz olacak. Ve yok etmeyi uyguladığımızda son satırda yalnızca sıfır olacak. Yok etme yöntemi, daha önce farkettiğimizi söyleyecek, sıfır uzayının ne olduğunu --- tüm bilgiyi bağımlılıkların ne olduğunu belirleyecek. Bunları yok etme ile elde edeceğiz. Ama burada bir gerçek örnek var ve sonucu düşünerek de bulabilirim.

Şimdi sorum, y için bir çözüm ne olabilir? Akım, köşelerde hiç şarj biriktirmeden bu ağ boyunca nasıl dolanır? Bir tane y söyleyin. Tamam.

A devriğin sıfır uzayı için bir taban.

Kaç tane vektör arıyorum? İki.

İki boyutlu bir uzay. Tabanımda iki vektör olacak. Birini söyleyin bana.

Bir akım kümesi. Haydi, ben başlatayım.

y1 ile başlayayım. Tamam.

Dolayısı ile bir birim, bir amper ok’un yönünde ilerliyor. Peki sonra? y2 ne olur? O da bir’e eşit, değil mi? Ve yapmış olduğunuz, ikinci denklemde Kirchoff’un Akım Kuralını çözmüş oluyorsunuz.

Şimdi bir amperimiz 1inci köşeyi bırakıp, üçüncü köşeye geliyor.

Şimdi ne yapacağız? Başka bir deyişle, y3’e ne değer vereceğim? Bir seçimim var, ama sizin söylediğinizi niye yapmayalım ki, eksi bir değerini verelim.

Demek ki bir amperlik bir akımı bu döngü etrafında akıtıyorum.

Bu durumda y4 ve y5 ne olur? Bunları sıfır kabul edebiliriz. Bu Kirchoff Kanunu sağlar. Bunu sabırla kontrol edebiliriz, bakalım y1-y3 sıfır veriyor mu?

y1’in y2’ye eşit olduğunu biliyoruz. Diğerleri, yani y4+y5 tabii ki sıfır olur. Bir döngü boyunca her akım, akım kanununu sağlar. Şimdi başka bir tanesini nasıl alacağınızı biliyorsunuz. Şu döngü etrafındaki akımı alın. Şimdi y3=1, y5=1, ve y4=-1 olsun.

Ve şimdi ilk taban vektörümüz bu döngünün etrafına akım yolluyor, ikinci taban vektörümüz ise şunun etrafına. Ve bunlar bağımsızdırlar, ve iki çözüm – A devriğin sıfır uzayında olan iki vektör, Kırchoff’un Akım Kanunu’na iki çözüm.

Tabii ki şunu sorabilirsiniz, büyük döngünün etrafına akım yollarsak ne olur? y1=1, y2=1, y3’e bir şey koymalıyız. y5=1 ve y4=-1 olur. Buna ne demeli? Bu A devriğin sıfır uzayında var mı? Tabii ki var.

Tabanda bir üçüncü vektörümüz niye yok? Çünkü o bağımsız değil, doğru mu? Bağımsız değil. Bu vektör diğer ikisinin toplamıdır. Onun ve şunun etrafına bir akım gönderseydim, o zaman bu y3 kenarı üzerinde dengeleneceklerdi ve bütün akımlar dış döngü etrafında oluşacaktı. İşte burada olan bu, ama bu o ikisinin bir bileşimi.

Şimdi ne yapmış olduğumu görebiliyor musunuz? A Devriğin ---sıfır uzayını tanımlamış oldum- ve bunun da ötesinde Kirchoff’un Akım Kanununu çözmüş oldum.

Ve devre cinsinden anlamış oldum.

Tamam. Bu A devriğin sıfır uzayı. Sanırım, her zaman size sorabileceğim bir uzay daha var. Bakalım, sanırım A’nın satır uzayına ihtiyacım var ve A devriğin de sütun uzayına. Şimdi, n nedir? Onun boyut ne olur? A’nın satır uzayının boyutu ne? Orijinal A’ya bakarsam, 5 satır vardı.

Bunlardan kaç tanesi bağımsızdı? Oh, sanırım size yine rankı soruyorum, değil mi? Ve cevap 3 olacak, değil mi? Üç bağımsız satır. Bunun devriğini aldığımda üç bağımsız sütun olur. Şu sütunlar bağımsız mı, şu üçü. İlk 3 sütun, matrisin pivot sütunları mı? HAYIR. Bu üç sütun bağımsız değil. Aslında, bu, sütunlar arası bir ilişkiyi gösteriyor. Sıfır uzayında öyle bir vektör var ki, bize birinci sütun + ikinci sütun = 3cü sütun diyor.

Bağımsız değiller çünkü bir döngüden geliyorlar. Demek ki pivot sütunlarımız, matrisimizin pivot sütunlarının birincisi, ikincisi, üçüncüsü değil ama dördüncüsü olacak. Sütun 1, 2, ve 4 tamamdır. Bunlar nedir? Bunlar A devriği sütunlarıdır ve kenarlarımıza karşılık gelirler.

Şurada kenar 1, şurası kenar 2, ve şurası da kenar 4. Burada sanki ---daha küçük bir grafik var gibi.

Grafiğin bu bölümüne bakarsam, kalın olan --- kalın çizgileri kullandım, 4 köşemiz var ancak yalnızca 3 kenarımız var.

Ve bu kenarlar bağımsız adamlara karşılık geliyor. Ve şuradaki grafikte, bu üç kenar bir döngü oluşturmuyor, değil mi? Bağımsız olanlar bir döngü oluşturmayanlar. Bütün bağımlılıklar döngülerden geliyor. Bunlar A devriğin sıfır uzayında olanlar. Eğer pivot sütunlarını alırsam, bunların arasında bağımlılıklar yok ve döngüsü olmayan bir grafik oluştururlar, ve şimdi size sorayım, döngüsü olmayan grafiğin adı ne? Demek ki döngü oluşturmayan bir grafiği çok fazla sayıda kenarı olmaz, tamam mı? 4 köşem olduğu halde sadece üç kenarım var, ve yeni bir kenar eklersem, bir döngüm oluşur. Demek ki döngüsüz grafik, ve bu A’nın satırlarının bağımsız olduğu bir grafik.

Ve döngüleri olmayan grafiğe ne deriz? Buna ağaç deriz. Demek ki ağaç, döngüsü olmayan grafiktir. Son bir adım daha gidelim. Boyut için olan formülümüzü kullanacağız. Boyut formülünü kullanarak ---bu formüle bir göz atalım.

A devriğin sıfır uzayının boyutu m-r dir. Tamam.

Bu sayı --- döngülerin sayısı, bağımsız döngülerin sayısı, m ise kenar sayısıdır.

Pekiyi, r nedir? Bizim durumumuzda r nedir --- geriye gidip hatırlamanız gerekir. Rankı --- matrisin sütunlarına bakarak buluyorduk. Buna göre rankımız ne? Hatırlayalım bakalım. Hatırlarsanız ---tek boyutlu bir şeyimiz vardı ve rank n-1 idi, ve söylemek için yırtındığım da bu. Çünkü n köşeden gelen n sütunumuz vardı ve dolayısı ile bu eksi --- köşe sayısı eksi 1 olur, c yüzünden olmuştu, şu sıfır uzayındaki (1,1,1,1) vektörü yüzünden.

Sütunlar bağımsız değildi.

Tek bir bağımlılık vardı, dolayısı ile n-1’ye ihtiyacımız var.

Bu muhteşem bir formül. Şimdi bunu biraz farklı yazmaya çalışacağım. Kenar sayısı --- herşeyi doğru yerine koyayım --- Kenar sayısı m eksi bu sayı, yani, m-r. Şimdi köşe sayısını öteki tarafa yazayım. Buna göre ---köşe sayısı---diğer tarafa gideceğim, eksi kenar sayısı + döngü sayısı ---eksi eksi 1 bana 1’i verir.

Köşe sayısı eksi kenar sayısı artı döngü sayısı bize 1’i verir. Bu sıfır boyutlu adamlara benziyor. Bunlar grafik üzerindeki noktalar ---köşeleri birleştiren noktalar. Döngüler iki boyutlu şeyler gibi. Bunların bir anlamda bir ‘’alanları’’ var. Ve bu sayma şekli tüm grafikler için geçerlidir.

Bu Euler formülü olarak bilinir.

Euler yine karşınıza çıktı, bu adam hiç durmadı.

Tamam. Ve kontrol edebilir miyiz? Ne diyordum? Söylediğim, Doğrusal Cebir’in Euler formülünü çözüyor olduğu. Euler formülü grafik topolojisi ile ilgili muhteşem bir olgu. Yeni bir grafik çizeyim, daha çok kenarı ve köşesi olan bir grafik. Bir sürü koyayım----işte şurada bir grafik çizdim.

Formül içerisindeki bu değerler neler? Kaç tane köşem var? 5 gibi gözüküyor. Kaç tane kenarım var? Bir iki üç dört beş altı yedi.

Kaç tane döngüm var? Bir, iki, üç.

Ve Euler haklıydı. Her zaman bir tane var.

Bu formül bu değerlerin arasındaki ilikiyi anlamanız için çok önemli----köşe sayısı, kenar sayısı ve döngü sayısı arasındaki ilişkiyi. Tamam.

Bu dersi tamamlamak için şu resmi tamamlamaya çalışalım. Şuna geri gelelim, bu ifade uygulamalı matematiğin denklemlerini ifade ediyor. Bunlara voltaj farkları diyeyim, örneğin E, demek ki E=Ax.

Bu şu adımın denklemi.

Akımlar voltaj farkından oluşur. y=CE. Voltaj---akım, Kirchoff Akım Kanunu’nu sağlar. Bunlar bir kaynak terimleri olmadan elde ettiğim denklemler. Bu denklemler elektrik devrelerinin ---bu devrelerin en en önemli üç denklemi. Uygulamalı matematik bu yapıya oturuyor. Burada elimde tek olmayan şey, hareketi tetikleyecek bir dış kaynak.

Şuraya bir akım üreteci koyabilirdim. Köşelerde girip çıkacak dış akımlar yazabilirim.

Kenarlara piller koyabilirim.

Bunlar iki yöntemimiz. Eğer uçlara piller eklersem, şuralara gelirler.

Akım üretici ekliyeyim. Eğer akım üreteçleri eklersem, buralara gelirler. İşte burada, akım üreteçlerin geldiği yer burası, çünkü F dıştan gelen bir akım gibi. Demek ki kenarlarımız var, grafiğimiz var ve sonra bu köşeye 1 amperlik akım yollayıp, çıkarıyorum, ---ve bu da Kırchoff Kanununun sağ tarafını veriyor. Ve şimdi---dersi bitirmek için bu üç denklemi bir araya getireceğim.

Demek ki bilinmeyen x ile başlıyorum.

Bunu A ile çarpıyorum. Bu bana voltaj farkını veriyor. Bu tüm işin başladığı A matrisimiz. Sonra da C ile çarpıyorum.

Bu fiziksel sabitler, Ohm Kuralındaki sabitler.

Şimdi y var. y’yi A’nın devriği ile çarpıyorum ve şimdi F oldu. Tüm yaptığımız bundan ibaret.

İşte bu uygulamalı matematiğin temel denklemi.

Tümü bu üç aşamadan geliyor, son aşama da dengeleme denklemi. Daima aranacak bir denge denklemi vardır. Bunlar---uygulamalı matematiğin en temel denklemleridir. Derken--denge noktasındaki demeliyim.

Bu probleme zaman girmiyor. Newton kuralı burada işin içine girmiyor. Denklemlere her şey olup bittikten sonra bakıyorum, akımlar devre içine dağıldıktan sonra bakıyorum.

Ve tabii ki çözülmesi gerekli büyük kodlar var --- bu sayısal doğrusal cebirin denklem sistemleri çözümündeki en önemli problemi, çünkü bunlar oradan geliyor. Ve son sorum. Bana (A devrik) CA matrisi için ne söyleyebilirsiniz? Hatta (A devrik) A için. Bu soru ile dersi bitireceğim.

A devrik A matrisi hakkında ne biliyorsunuz? Her zaman simetriktir, değil mi?

Tamam. Teşekkür. Gelecek derste görüşmek üzere.