MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 11

Pekala, bu Doğrusal Cebir in onbirinci dersi olacak. Ve ben 10 uncu dersin sonlarına doğru genelde elemanlarına vektör demediğimiz vektör uzaylarından bahsetmiştim. Bununla beraber, biz yine de onları toplayabiliyor ve bir rakamla çarpabiliyor olduğumuzdan onlara vektör diyebiliriz.

Sanıyorum çalıştığım örnekte vektörlerim matrislerdi. Yani elimizde bir matris uzayı vardı -- 3x3’lük bütün matrislerin uzayı. Ve ben bunlarla çalışacağım, çünkü -- siz gerçekten, toplayabildiğimiz ve rakamla çarpabildiğimiz sürece, benzer fikirlerin genelde de geçerli olduğunu görmek istersiniz. Örneğin bu yeni vektör uzayında, yani 3’e 3’lük bütün matrislerin M uzayında bunları görmek istersiniz.

Pekala, matrisleri toplayabilirim, onları rakamla çarpabilirim. İki matrisi beraber de çarpabilirim ama bunu yapmayacağım. Bu çarpma işlemi vektör uzayı resmine dahil değildir. Vektör uzayları toplama ve rakamla çarpma işlemleri hakkındadır. O halde, biz 3x3 lük matrislerle uğraşmaya devam edelim. Ve hatırlarsanız, bazı enteresan alt uzaylardan bahsetmiştim: simetrik matrislerin alt uzayı, 3x3 lük simetrik matrisler.

Ve 3x3 lük üst üçgensel matrisler. Alt uzay kelimesini kullanıyorum çünkü kuralları sağlıyor. İki simetrik matrisin toplamı da simetriktir. Şayet iki simetrik matrisi çarparsam çarpım simetrik olur mu? Hayır. Fakat ben matrisleri çarpmıyorum ki. Sadece topluyorum. Problem yok. O bir alt uzay.

Benzer şekilde, iki tane üst üçgensel matrisin toplamı da üst üçgensel bir matrisdir. Ve üst üçgensel matrisler de bir alt uzaydır.

Şimdi bu örneklere bakarak, şu alt uzay için bir taban nedir? Şu alt uazayın boyutu nedir? Ve bütün uzayın boyutu nedir? 3’e 3 lük matrisler için naturel bir taban vardır, neden onu yazmıyoruz ki? Yani 3 kere 3 lük matrisler uzayı M için bir taban arıyorum. Bulduğumda içindeki elemanların sayısı boyut olacaktır.

Pekala, bu biraz zamanımı alacak.

Gerçekten, boyut nedir? Biraz sonra ne yapacağım hakkında bir fikriniz var mı? Şu 3x3 lük matrisi tanımlamam için kaç tane rakama ihtiyacım var? Dokuz. Aradığım boyut 9 dur. Ve en belirgin taban bu olur: bu matris ve sonra şurasında 1 olan matris, şimdilik iki tane buldum, üçüncüyü de koyalım, ve devam ediyoruz ve en sonuncusu şurasında 1 olan.

Pekala, bu standart taban gibi.

Aslında bizim uzayımız aynen 9 boyutlu uzay gibi. 9 tane rakam, sütun olarak değil de kare olarak dizilmişler.

Fakat yine de biraz farklılıklar var ve bu haliyle kendisi icin doğal sayılmalılar. 3 e 3 simetrik matrislerden ne haber? Biliyoruz, onlar da bir alt uzay teşkil ederler. Birazcık düşünelim, bu alt uzayın boyutu ve bir tabanı nedir? Tamam. Şimdi aklıma şu soru geliyor: Bu 3x3 lük simetrik matrislere baktığımda, orijinal tabandaki kaç eleman bu alt uzaydadır? Bence sadece 3 tanesi. Bu simetrik.

En son olan da simetrik. Şu ortada, 2 2 pozisyonunda 1 olan da simetrik. Bu şekilde orijinal 9 taban elemanından 3 tanesi simetriktir, fakat bunların tamamı değil elbette, değil mi? Boyut ne kadardı? Boyutu ele alalım. M nin boyutu 9 idi.

Simetrik matrislerin uzayı, S nin boyutu nedir? Cevabı basit olan bir örnek aldım. 3x3 lük simetrik bir matrisde kaç tane serbest parametre vardır? Altı, değil mi? Üç tane köşegeni seçersem ve 3 tane de köşegen üstündekileri seçersem, köşegenin altındakileri zaten bilirim.

O halde boyut 6. Şuradakinin boyutu nedir? Üst üçgensel matrisler uzayına U diyelim. Bu durumda, 3x3 lük bütün üst üçgensel matrisler uzayının boyutu nedir? Yine 6. Yine 6.

Şurada görmediğimiz bir şeyler var, gerçekten belki bizim üst üçgensel matrisler için bir tabanımız var. Bir, iki, üç, dört ve bir çift daha, 6 tanesi üst üçgensel matristir. Yani burada bir kaza eseri olarak büyük taban alt bir uzayın da tabanını içeriyor. Fakat bu durum simetrik matrisler durumunda olmamıştı.

Genel olarak alt uzayın tabanı için taban olayını yeniden düşünmemiz gerekir. Ve bundan sonra diğer alt uzayları nasıl elde ederim? Daha önce simetrik ve üst üçgen uzayları için tabanlardan bahsetmiştik. Bu hem simetrik hem de üst üçgensel idi.

Şu alt uzayın boyutu nedir? Ne var onun icinde? Yani nedir --- bir matris hem simetrik hem de üst üçgensel köşegen olmak zorundadır. O zaman bunlar köşegen matrisler, 3x3 lük köşegen matrisler.

S arakesit U, bu notasyondan rahatsız olmuyorsunuz degil mi, boyutu nedir şimdi bunun? Yani, hem S de ve hem de U da olan vektörler, yani D uzayı. Yani S arakesit U köşegen matristir. Ve köşegen matrislerin boyutu 3 dür. Ve bu şekilde bir taban bulduk, problem yok. Tamam. Yazdığım gibi bu arakesitte hem simetrik, hem de üst üçgensel matrisler olacaklar.

Şimdi birleşim uzayına bakalım. Diyelimki elimde simetrik veya üst üçgensel matrisler var. Neden bu iyi bir şey değil? Neden --- neden o iki uzayın birleşimiyle ilgilenmiyoruz? Bunlar ya S de veya U da, veya her ikisinde de olan matrisler, köşegenler de oradalar.

Fakat bu uzay hakkında kötü olan nedir? O bir alt uzay değil. Bu aynen düzlemde bir kaç doğru aldıktan sonra durmaya benziyor. Bir doğru -- işte bu -- işte 9 boyutlu uzayın 3 boyutlu, pardon 6 boyutlu, bir alt uzayı. İşte bir başkası daha. Fakat bunlar farklı doğrultudalar. Onları bir araya getiremeyiz. Aralarını doldurmamız gerekir.

Yaptığımız şu. Artı işareti ile göstereceğim, (S + U), bu büyük uzay S ve U daki elemanların bileşimidir. Tamam. Bu benim tanımlayacağım son uzay olacak. Bir kaç alt uzaylarım var. Onların arakesitlerini alabilirim.

Ben şimdi onların birleşimi ile değil toplamlarıyla ilgileneceğim. Bu onların arakesiti, şu ise toplamları. Burada bir alt uzay için neye ihtiyacım var? S içinden herhangi bir eleman artı U içinden herhangi bir eleman alıyorum. Sadece S içinden elemanlar alıp, bunlara U dan elemanlar katmıyorum. S den herhangi bir elemanla, yani simetrik bir matrisle, U dan herhangi bir elemanı topluyorum.

Pekala, elimizde bir örneğimiz olduğuna göre, neyimiz var bana söyler misiniz? Bütün simetrik matrislerle bütün üst üçgensel matrisleri toplarsam, bir sürü matris elde ederim ve bunlar bir alt uzay oluştururlar.

Ve nedir bu -- bir vektör uzayı ve nasıl bir vektör uzayı var şimdi elimde? Simetrik matrislerle üst üçgensel matrisleri toplayarak hangi matrisleri elde ederim hususunda bir fikriniz var mı? Herhangi bir matrisi elde edebilir miyim? Bütün matrisleri elde edebiliyorum. Bütün 3x3 lük matrisleri elde edebilirim. Bu hususta düşünmekde yarar var. Bu alt uzaylar ve onların kesişimleri ve toplamlarının ne oldukları hususunda aklınızı biraz, birazcık genişletin.

Şimdi gelin boyutu hesaplayalım. Bu durumda S artı U nun boyutu ne olacak? Bu örnekte 9, çünkü elimizde bütün 3x3 lük matrisler var. Orijinal simetrik uzayın boyutu 6 idi, üst üçgensel matrislerin boyutu da 6. Burada güzel bir formül görmekteyim.

Elimde iki uzay olması durumunda, birincinin boyutu artı ikincinin boyutu eşittir arakesitlerinin boyutu artı bileşimlerinin boyutu. Altı artı altı eşittir üç artı dokuz. Bu memnun edici bir durum aslında; bunlar bu alt uzaylarla yapılabilecek doğal operasyonlar. Bu şekilde boyutlar güzel bir şekilde ortaya çıkıyorlar.

İçinde bildiğimiz cinsten vektör olmayan bir başka vektör uzayı ile çalışmak istiyorum. Bu örnek diferansiyel denklemlerden geliyor. Bir kaç dakikamızı bu örnek üzerinde harcayacağız. Diyelim ki elimde şöyle bir diferansiyel denklem var: d^2 y/dx^2+ y=0.

Pekala. Bu denklemin çözümlerine bakıyorum. Bu denklemin çözümleri nelerdir? y = cos(x) bir çözümdür. y = sin(x) de bir çözümdür. İsterseniz, bana müsade ederseniz, y = e üzeri (ix) de çözümdür. Fakat neden onu alayım ki, çünkü o zaten içinde. Gördüğünüz gibi ben burada Sıfır Uzayı’na bakıyorum. Diferansiyel denklemin Sıfır Uzayına bakıyorum. Bu denklemin çözüm uzayı.

Ve biz bu çözüm uzayını bulmak istiyoruz, diferansiyel denklemin bütün çözümlerinin uzayını. Denklem şu: y’’ + y = 0. Kosinüs bir çözüm, sinüs de bir çözüm. Şimdi bana genel çözümleri söyleyin. e^(ix) e ihtiyacım yok. Onu unutalım. Bütün çözümler nelerdir? Nedir? Bunlarin bileşimidir. Genel çözüm, cosinüsün bir katı artı sinüsün bir katıdır.

O bir vektör uzayı olur. Bir vektör uzayı. Bu uzayın boyutu nedir? Bu uzay için bir taban nedir? Pekala, önce tabanı sorayım. Bu ikinci mertebeden denklemin çözüm kümesini ele alıyorsam, işte çözümler şunlardır.

Bu uzay için taban nedir? Ne sorduğumu hatırlayın. Çünkü sorumu anlarsanız çözümü de göreceksiniz. Taban demek uzaydaki her elemanın, taban vektörlerinin bileşimi olarak yazılabilmesi demektir.

Evet, sin(x) ve cos(x) bir tabandır. Bu ikisi, özel çözümler gibi, değil mi? A x = b için özel çözümlerimiz vardı. Şimdi ise diferansiyel denklem için özel çözümlerimiz var. Pardon yanlış söyledim, Ax = 0 için özel çözümlerimiz vardı. Burada sıfır uzayı için konuştuğumuz gibi, özel çözümler de sıfır uzayı içindedir. Görüyor musunuz, işte şu ikisi, çözüm uzayının boyutu nedir sizce? Bu tabanda kaç tane vektör var? İki tane, cosinüs ve sinüs.

Bunlar bu uzay için tek taban mı? Asla. e^(ix) ve e^(-ix) de bir taban olur. Daha bir sürü taban var. Doğrusal Diferansiyel Denklemler dersi, çözüm uzayı için bir taban bulmaktan ibarettir. İkinci mertebeden diferansiyel denklemin çözüm uzayının boyutu iki’dir. Bu Diferansiyel Denklemler Dersi gibi oldu, görüyorsunuz beş dakikalık Doğrusal Cebir dersi, Diferansiyel Denklemler dersini özetlemeye yetiyor... Tamam.

İşte böyle, bu şekilde bir örnek daha görmüş olduk. Bu örneklerin amacı size elemanların vektörlere benzemediğini göstermekti. Bu elemanlar fonksiyon gibiydiler.

Onlara vektör diyebiliriz çünkü onları toplayabiliyor, rakamlarla çarpabiliyor ve doğrusal bileşimlerini alabiliyoruz. Yapabileceklerimizin tamamı da zaten bunlar. Bu nedenledir ki Doğrusal Cebir’de taban ve boyut, devamlı konuştuğumuz mxn matrislerinden daha büyük rol oynarlar. Tamam. Bu konu hakkında işte bunu söylemek istemiştim.

Matrislerle ilişkili o anahtar rakama, yani rank’a geri gidiyoruz. Rank hakkında ne biliyoruz? m den ve n den daha büyük olamayacağını biliyoruz. Bu konuda küçük bir konuşma yapmak istiyorum. Belki şuraya yazsam daha iyi olur. Rank’ı bir olan matrislerle başlıyorum.

Rankı bir olan matrislerle başlamamın nedeni onların basit olmalarındandır. Rankı bir olan matris elimizden kaçamaz. O halde şimdi rankı bir olan bir matris inşa edelim. Diyelim ki üç --- diyelim ki 2x3 lük bir matris. Size ilk satırını vereyim.

İkinci satır ne olabilir? Rankı bir olacak bu matris için bana ikinci bir satır verin. İkinci bir satır için iki sekiz on mümkün mü? İkinci satır birincinin iki katı. Bağımsız değil. Bana bir taban verin şimdi --- aynı soruları devamlı sorduğum için özür dilerim. Kısa sınavdan sonra susacağım, fakat şimdilik bana satır uzayı için bir taban verin.

Bu matrisin satır uzayı için bir taban birinci satırdır, değil mi? Birinci satır, bir dört beş. Bu matrisin sütun uzayı için bir taban nedir? Sütun uzayının boyutu da birdir, değilmi? Çünkü bir aynı zamanda rank’tır.

Hatırlıyorsunuz, sütun uzayının boyutu ranka eşittir ve bu da Devrik matrisin sütun uzayının boyutuna eşittir ki bu da matrisin satır uzayıdır. Tamam, ve bu durumda bir dir, r bir’dir. Ve elbette bütün diğer sütunlar bu sütunun katlarıdır. Bunu görmenin güzel bir yolu olması gerekir ve işte şu:

Bu matrisi ben şöyle yazabilirim: pivot sütunu, bir iki kere bir dört beş. Bir sütun kere bir satır bana matrisi veriyor, değil mi? Yani bir sütunla bir satırı çarparsam, bu iki’ye bir’lik bir matris ve bu 1’e 3’lük bir matris, 2’ye 3’lük bir matris elde ederim.

Ve her şey düzgün gözüküyor. Önemli nokta şu: rankı bir olan matrislerin tümü, bir sütun çarpı bir satır şeklinde elde edilir. Yani U ve V iki sütun vektörüdür; ama ben V yi devirerek onu satır haline getiriyorum. Rank bir matrisler, bunlardan başka şey değiller. İlerde biz rank 1 matrislerle uğraşacağız, onların determinantlarını, ki bu kolay olacak, öz-değerlerini bulacağız ve bunlar enteresan konulardır.

Rank 1 matrisleri diğer bütün matrislerin yapı taşları gibidir. Tahmin edebileceğiniz gibi eğer 5x17 lik, rankı 4 olan herhangi bir matris alırsam, görünen o ki, aslında gerçek olan şu ki, bu 5x17 lik matrisi rankları 1 olan matrislerin bileşimine indirgeyebilirim.

Yaklaşık kaç tane rank bir matrislerine ihtiyacım olacak? Rankı 4 olan 5x17 lik bir matrisim olduğuna göre, dört tane rank 1 matris gerekecektir. Rank 1olan matrisler yapı taşlarıdırlar. Bunları kullanarak - bunları kullanarak rankı dört olan herhangi bir matrisi inşa edebilirim. Elbette bu beni bir soru ile karşı karşıya bırakıyor. Rank 1 matrisleri bir uzay oluştururlar mı? 5x17 lik matrislere bakalım ve rankı 4 olanları -- rankı 4 olan matrislerin alt kümesine.

Müsade edin bunu yazayım. Sanki kısa sınav için tekrar yapıyormuşum gibi, çünkü sorularım yeteri kadar kısalar; ama siz bunların ne olduğunu biliyor musunuz? Şimdi ben 5x17 lik bütün matrisler uzayı M yi ele alıyorum.

Ve şimdi şu soruyu soruyorum: Rankı 4 matrislerin alt kümesi olan matrisler bir alt uzay oluştururlar mı? Şu soruları soruyorum: İki tane rank 4 matrisi toplarsam -- rank 4 matrisini bir rakamla çarparsam, ayrıca alt uzay olması için sıfır matrisinin de orada olması gerekir. Gerçi sıfır matrisin orada olması elimizde bir alt uzayın var olduğu anlamına gelmez. Esas soru şu: iki tane rank 4 matrisin toplamı da rank 4 matrisi midir? Ne düşünüyorsunuz? Her zaman olmayabilir.

Her zaman değil. Eğer iki tane rank dört matrisi toplarsam, toplam hakkında ne diyebilirim? Aslında, rank 5 olabilir. Şu bir gerçek ki A artı B nin rankı A nın rankı artı B nin rankından daha büyük olamaz. Yani iki tane rank 4 matrisin toplamının rankı sekizden daha fazla olamaz, aslında her durumda rankın sekiz olamayacağı da kesin. Rank ne kadar büyük olabilir, M içindeki bir matrisin rank’ı ne kadar olabilir? Beş kadar olabilir, değil mi? Bunlar değişik doğal fikirler. Rank 4 matrislerden mi bahsediyoruz, rank 1matrislerden mi? Rank 1 matrislerle uğraşalım.

Rankı bir olan matrislerin alt kümesine bakalım. Bu bir alt uzay mıdır? İki tane rank 1 matrisi toplarsam, büyük ihtimal neticede rankı 2 olan bir matris elde edeceğim. Bu noktaya parmak basalım. Rank 1 matrisler bir alt uzay oluşturmuyorlar. Bütün bunları geçen dersteki boşlukları doldurmak için yaptım. Bir tane daha alt uzay sorusu soracağım. Bu örneği başka bir tahtada yapayım.

Diyelim ki R^4 deyim. R^4 deki tipik bir vektörün 4 tane bileşeni olacaktır, v1, v2, v3 ve v4. Elemanlarının toplamı sıfır olan vektörler kümesine bakalım. Yani, v1 + v2 + v3 + v4 = 0 olan bütün v vektörlerinin kümesi S olsun. Kısacası bu vektörler sürüsünü düşünüyorum. Her şeyden önce o bir alt uzay mı? Evet o bir alt uzay, bir alt uzay. Ee -- biz bunu nasıl görüyoruz? Onun alt uzay olduğunu nasıl biliyoruz?

Sağlamasını yapmam gerek. Elemanlarının toplamı sıfır olan bir vektörü 6 ile çarparsam, yeni vektörün elemanlarının toplamı da sıfır olacaktır, çünkü 6 kere sıfır sıfırdır. Elemanlarının toplamları sıfır olan iki vektör, u ve v yi alır, onları toplarsam, toplam vektörün elemanlarının toplamı da sıfırdır, çünkü sıfır artı sıfır eşit sıfırdır. Yani elimizde bir alt uzay vardır.

Bu uzayın boyutu nedir, tabanı nedir? Görüyorsunuz, bir uzayı tarif etmek için ilk önce tabanını ve boyutunu soruyorum. Elbette, boyutu tek bir adımda söylemem kolay. S nin boyutu nedir sizce? Ve bana bir taban verin --- içinde bazı vektörler verin. Tekrar boyutu tahmin etmenizi isteyeceğim. Tekrar, sanırım birinizden duydum. Üç. Evet boyut 3 dür.

Şimdi bu bizim şu denklemimize A x = 0 nasıl bağlanıyor? Bu birilerinin sıfır uzayı mı? Bu bir matrisin alt uzayı mı? Öyleyse o matrise bakarız ve bu alt uzaylar hakkında herşeyi buluruz. Bu hangi matrisin alt uzayı? Sıfır uzayı A b = 0 olan matris nedir?

Denklemimin A b = 0 olmasını istiyorum. b bir vektör. Şurada gördüğümüz matris nedir? Dört tane, birlerin matrisi. Şunu görüyor musunuz? Ab = 0 a bakınız, A yı b ile çarpıyorum ve elemanların toplamının sıfır olma şartını sağlıyorum.

Yani ben S hakkında konuşurken aslında şu matrisin sıfır uzayını kastediyorum. O halde elimizde bir matris var ve onun sıfır uzayını istiyoruz. Tamam, önce bana rankını söyleyin. O matrisin rankı bir’dir. Teşekkürler.

O halde r birdir. Sıfır uzayının boyutunu veren genel formül nedir? Rankı r, boyutları m ye n olan bir matrisin sıfır uzayının boyutu nedir? Sıfır uzayında kaç tane serbestlik vardır? n - r tane, değil mi? n - r. Bu durumda n 4 dür, yani 4 sütun.

Rank bir olduğuna göre sıfır uzayının boyutu 3 dür. Elbette bu durumda siz bunu kolayca görebildiniz, ama siz bunu bizim dört temel alt uzayı sistematik bir şekilde irdelerken de görebilirsiniz. O zaman bu dört temel uzay nedir? Satır uzayı basit. Satır uzayı R^4 dür. Evet, bu matrisin 4 temel alt uzayını ele alabilir miyiz? Gelin bu örneği bitirelim.

Satır uzayı bir boyutludur. Şu satırın bütün katları. Sıfır uzayı üç boyutludur. Sıfır uzayı için bana bir taban verseniz iyi olur. Sıfır uzayı için bir taban nedir? Özel çözümler. Özel çözümler için serbest değişkenlere bakmalısınız. İşte pivot burada -- serbest değişkenler iki, üç ve dört. S nin tabanı için üç vektör arıyorum, üç özel çözüm.

Şu serbest değişkene bir değerini veriyorum, o zaman bu vektörün S de olması için pivot değişkeni ne olmalı? Eksi bir? Vektörün elemanlarının toplamı daima sıfıra eşit olmalı. İkinci özel çözümün ikinci değişkeninde bir var, ve şu eksi bir dengeyi sağlıyor. Üçüncü özel çözümün üçüncü serbest değişkeninde bir var ve aynı şekilde şu eksi bir de bunu dengeliyor.

Aradığım cevap bu. S için bir taban, 3 vektör gerekir, şu üç tanesi doğal taban teşkil ederler. Tamam, şimdi bana sütun uzayından bahsedin. Bu A matrisinin sütun uzayı nedir? Sütun uzayı R^1 in bir alt uzayı olmalı çünkü m bire eşit. Sütunların sadece bir elemanı olmalı.

Yani S nin sütun uzayı, A nın sütun uzayı R^1 in içinde bir yerlerde olmalı, çünkü sadece bunlar var --- sütunlar kısa. Gerçekten sütun uzayı nedir? Ben sadece kelimelerle konuşuyorum, başka bir şey yapmıyorum. Bu matrisin sütun uzayı R^1 dir. Bu matrisin sütun uzayı şu sütunun katlarıdır.

Bu vektörün katları size R^1 in tamamını verir. Dördüncü, yani Devrik A nın sıfır uzayı nedir? Yani A yı deviriyoruz. Bu Devrik A için sıfır vektörünü verecek sütunların bileşimlerini arıyoruz. Ve hiç bir tane yok. Sıfır verebilen tek bileşim sıfır bileşimidir. Pekala.

Öyleyse boyutu kontrol edelim. Sıfır uzayı 3 boyutlu. Satır uzayı bir boyutlu. Üç artı bir dört eder. Sütun uzayı bir boyutlu, bu en küçük alt uzayın boyutu ne olabilir? Sıfır uzayının boyutu nedir? Bu bir alt uzay. Sıfır.

Başka ne olabilirdi ki? Akla uygun bir cevap -- en makul cevap sıfırdır. Yani bir artı sıfır -- bu n idi, sütun sayısı, ve şu m, satır sayısı. Bir kere daha söylersem, alt uzayın sadece bir noktası, ve noktanın boyutu elbette sıfırdır.

Ve tabanın içi boş, çünkü boyutu sıfır, taban da hiç bir şey olmamalı. O halde o en küçük alt uzayın tabanı boş küme. Ve boş kümenin içindeki eleman sayısı sıfırdır, işte bu boyuttur. Tamam. Güzel.

Geri kalan beş dakikada size doğrusal cebir ve grafikler dünyasından bahsedeceğim. Ama sadece beni ilgilendiren grafiklerden bahsedeceğim. Her şeyden önce bir grafik nedir? İlk olarak bunu size söylemem gerekir.

Bir grafik nedir? Dersimiz Kalkülüs değil. Sinüsün grafiğinden bahsetmiyoruz. Grafik kuramı tamamen değişiktir. Bir grafik, köşelerin ve bunların bazılarının arasındaki kenarların oluşturduğu bir kümedir. Örneğin 5 tane köşem olsun ve kenarlarım -- bazı kenarları koyalım, hepsini alalım. Bir kaç tane daha ilave edelim. İşte size 5 köşeli ve bir iki üç dört beş ve altı kenarlı bir grafik.

Ve 5x6 lık bir matris, bu grafik hakkında bana her şeyi verecektir. Matrisi gelecek derse bırakalım, ama şimdi ben size beni ilgilendiren soruyu söyleyeceğim. Diyelim ki bu grafiğin sadece 5 köşesi olmasın, diyelim ki bu sınıftaki her kişi bir köşe olsun.

Şayet iki kişi arkadaşlarsa, onların köşeleri arasında bir kenar bulunsun. Bir grafik çizebilir miyim? Epey büyük bir grafik, yüzlerce, yüzlerce köşe. Ve ben kaç tane kenar var bilmiyorum. İki kişi arkadaşlarsa aralarında bir kenar var.

İşte size bu sınıfın grafiği. Benzer bir grafiği bütün Amerika için düşünebilirsiniz. yani 260 milyon köşe. Ve arkadaşlar arasında bir kenar. Ve soru şu: Bir kişiden diğer bir kişiye gitmek için kaç adım gerekir? Bu arkadaşlık grafiğinde, Amerikada birbirinden en uzakta olan arkadaşlar kimler? En uzakta ile uzaklığı kastediyorum -- örneğin, benim Clinton’dan uzaklığım 2 dir.

Clinton’ı tanıyan birisiyle aynı okula gitmiştim. Clinton’ı ben şahsen tanımam. Yani Clinton’a uzaklığım bir değil, çünkü şanslıyım veya şanssız, onu tanımıyorum. Fakat onu tanıyan birisini tanıyorum. O bir senatör ve tahmin ediyorum onlar birbirlerini tanırlar. Sizin Clinton’a uzaklığınızı bilmiyorum, nedir sizin Clinton’a uzaklığınız? Tabii ki 3 den daha büyük olamaz, değil mi?

Gerçekten, doğru. Siz beni tanıyorsunuz. Clintona uzaklığınızı 3’e indirdiğim için bana minnettar olmalısınız... Monica’ya uzaklığınız kaç? Uzaklığı 4 ün altında olan kimse varsa problem var demektir. Belki üç, değil mi? Bu durumda Hillary’nin Monica’ya olan uzaklığı kaçtır? Bu söylediklerimizi bant kaydetmese iyi olur.

Sanırım bir veya iki. Değil mi? Bu hususta daha fazla düşünmeyeceğiz. Gerçek soru şu: Büyük uzaklıklar hangisi? İnsanlar ne kadar çok uzaklaşabilirler? Bu anlamda 6 adımlık uzaklıklar film ve kitap isimlerinde kullanıldı. Göz kararı 6 uygun olabilir --- bu o kadar da çok insan değil.

Uçakta birisinin yanına oturunca onunla konuşursunuz. Aranızda arkadaşlarınızdan konuşursunuz, hangi bağlantılarınız vardır; çok defasında görürsünüz ki iki, üç veya 4 adımda bağlısınız. Ve bu dünyanın küçük olduğunu söyler, işte küçük dünya ifadesi buradan geliyor.

Fakat altı, bir uçak yolculuğunda uzaklığın 6 olduğu bir duruma rastlayabilir misiniz? Aaa, ben bilemem.

İşte sorum ve ben bu soruyu gelecek derse, 12inci derse bırakacağım. 12inci derste pek çok doğrusal cebir yapacağız. Enteresan nokta şu: Bir kaç kısa yolla uzaklık dramatik bir şekilde küçültülebilir. Örneğin, siz doğrusal cebir dersini alarak Clintona olan uzaklığınızı 3 e indirgediniz. Bu doğrusal cebir dersini almanın size fazlalıktan bir ikramiyesi.

www gibi şahane grafikleri matematiksel olarak anlamak büyük bir proje. www’ yi pek çok insan anlamak ve modellemek istiyor. Kenarlara “bağlantılar”, köşelere de “siteler” diyorlar. Bu şahane dünya grafiği ile sizi yalnız bırakıyorum, en güzel bir hafta sonu dileklerimle, pazartesi görüşmek üzere..