MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Lütfen aşağıdaki alıntı biçimini kullanın:

Gilbert Strang, 18.06 Doğrusal Cebir, Bahar 2005. (Massachusetts Teknoloji Enstitüsü: MIT Açık Ders Malzemeleri). http://ocw.mit.edu ( MM, DD, YYYY) tarihinde erişildi.

Lisans: Yaratıcı Ortak Özelllik – Ticari Olmayan -- Olduğu gibi Kullanılır.

Not: Lütfen alıntınızda bu malzemeye eriştiğiniz gerçek tarihi kullanınız.

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz.

MIT Açık Ders Malzemeleri

http://ocw.mit.edu

Doğrusal Cebir, Bahar 2005

Transcript - Ders 1

Selam. Bu MIT’nin 18.06 Doğrusal Cebir'in birinci dersi. Bendeniz Gilbert Strang. Bu ders için kitabımız Doğrusal Cebire Giriş.

Dersin web sayfası web.mit.edu/18.06 olup, burada geçmiş yıllara ait problemleri, MatLab kodlarını, dersinin içeriğini bulabilirsiniz.

Ve bu birinci dersimiz. Ders 1.

Daha sonra bu video kasetleri izleyebileceğiniz web adresini de vereceğiz. Pekala, bakalım birinci dersimizde ne var. Planımı vereyim.

Doğrusal cebirin temel problemi, bir doğrusal denklem sistemini çözmektir.

Önce belli bir sayıda denklemi olan bir sistem ile başlayalım, n bilinmeyenli n denklem diyelim.

Tamam, eşit sayıda bilinmeyen ve denklem var.

Bu normal ve iyi bir durum.

Öncelikle, bir satır resmi nedir onu anlatmaya çalışacağım. Tabii ki örnek vererek. Bu her bir denklemin teker teker çizimi. Bu daha önceleri, 2’ye 2 denklemlerde doğruların birleştiği durumlar da gördüğümüz resme benziyor.

Bir dakika sonra doğruların birleştiğini göreceksiniz.

İkinci resim, bunun yanına bir yıldız koyacağım, çünkü o çok önemli.

Şimdi de size yeni gelebilecek bir resim, her bir sütunun teker teker olduğu durum.

Ve bunlar bir matrisin satırları ve sütunları.

Şimdi de üçüncüsü -- Probleme cebirsel yönden baktığımızda matris biçimi ve bir matris kullanacağım ki ona A diyeceğim.

Tamam, şimdi bir örnek yapabilir miyiz? Bütün dönem boyu bir sürü örnek çözeceğiz, ve ne olup bittiğini anlamaya çalışacağız.

Bir örnek alalım. İki denklem ve iki bilinmeyen olsun. 2x-y =0 ve -x+2y=3 ‘yu ele alalım.

Tamam hemen bile söyleyebilirim ama önce bakalım, Matrisimiz, katsayı matrisimiz ne? Bu sayıları içeren matris. Matris bir dikdörtgensel bölgedeki sayılar dizisidir. Bizim durumumuzda iki satır ve iki sütün var, dolayısı ile birinci satırda 2 ve -1; ikinci satırda ise -1 ve 2 var. Matrisimiz bu.

Ve sağında -bilinmeyen –iki bilinmeyenimiz var. Dolayısı ile x ve y gibi iki bileşeni olan bir vektörümüz var. Sağ tarafta ise iki tane değer var ki bu (0, 3) vektörü dür.

Kendimi tutamadım ve önce matris biçimini yazdım, hatta resmi çizmeden önce yaptım bunu. Dolayısı ile önce bunu bir A matrisi, katsayılar matrisi olarak düşüneceğiz, sonra da bir bilinmeyenler vektörü var.

Bizim durumumuzda yalnız iki bilinmeyen var.

Daha sonraları istediğimiz sayıda bilinmeyen olacak.

Ve bu bilinmeyenler vektörü, bunu genellikle, bu x’i kalın koyu yapacağım, sağ taraf da ise yine bir vektör, ve buna da b diyeceğim.

Demek ki doğrusal denklemler A x eşit b şeklinde olurlar, ve şimdi yapacağımız, bir örnek çözmek, ve sonra da geri dönüp büyük resmi görmeye çalışmak olacak. Bakalım bu örnek için resim ne? Satır resmine bakalım. Şimdi satır resmi geliyor.

Demek ki her seferinde bir satırı alırım ve şimdi xy- düzlemini çiziyorum ve birinci denklemi sağlayan tüm noktaları çizeceğim. Demek istediğim, 2x-y=0 denklemini sağlayan tüm noktalara bakacağım. Başlamak için iyi bir yol, yatay doğrusu üzerinde, bu yatay doğrusu üzerinde, y’nin sıfır olduğu noktayı bulmaktır.

x-ekseni üzerinde y’ler sıfır olur, ve bu durumda, aslında, x de sıfırdır. Yani bu nokta, orijin—koordinatları (0, 0) olan bu nokta doğru üzerindedir. O bu denklemi çözer.

Şimdi sanırım aynı denklemi çözen başka bir nokta vermeliyim.

Diyelim ki x bire eşit, yani x eşittir 1 alacağız.

Bu durumda y=2 olmalı, anlaşıldı mı? Demek ki elimizde, denklemi çözen (1, 2) noktası da var.

Ve başka noktalar da koyabilirim ama bu tüm noktaları tek seferde koyayım, çünkü hepsi aynı doğru üzerindeler. Bu doğrusal bir denklem ve ‘’doğrusal ‘’ kelimesi “doğru” kelimesinin harflerini içeriyor.

Bu denklem -- bu doğru ki benim ilk satırım, birinci denklem 2x-y=0 ın çözümü.

Yani tipik olarak, belki x eşit yarım, y eşit 1 işi görür. Ve öğlede oldu??

Peki, bu birincisi. Şimdi ikincisi orijinden geçmeyecek. Bu her zaman önemli.

Orijinden geçiyor muyuz, geçmiyor muyuz? Bu durumda evet, çünkü oralada bir sıfır var. Bu durumda orijinden geçmiyor çünkü x ve y sıfır olduklarında 3 elde etmiyoruz. Şimdi tekrar söyleyeyim, y’nin sıfır olduğunu varsayalım, nasıl bir x elde ederiz? y sıfırsa, x’i eksi 3 olarak elde ederim.

Demek ki y sıfıra eşit olduğunda -3’e doğru giderim.

Böylece, bu ikinci doğru üzerinde olan bir noktayı verdi.

Şimdi bakalım farklı bir x almış olmak için diyelim ki x = -1. x eksi 1 e eşit olursa, o zaman bu 1 olur ve sanırım y de 1 olmalı, çünkü x eksi 1 e eşit, ve y de bir olacak sonra ve bu noktayı elde ederiz. Bu doğru mu? x eksi bir iken, bu da bir olur.

y 1 e eşit olduğunda, şu 2 olur, ve bir ile 2 üç yapar ve bu nokta doğrunun üzerinde olur.

Güzel, şimdi şu iki noktayı birleştiren doğru’yu çizmeliyim -- bu şimdi bana tüm doğru’yu vermiş olacak. Ve bunu da iyi yapmayı becerebildiysem, sanırım şansıma şuradan geçiyor olacak -- aslında şansına değil -- Bu noktadan geçmesi ayarlanmıştı zaten. Sanırım ki ikinci doğru bu, ve şu en önemli nokta çünkü her iki doğrununda üstünde. Şimdi isterseniz bu noktanın x = 1 ve y = 2 noktası olup olmadığını kontrol edelim. Tamam mı? Bu şuradaki nokta ve bu da her iki eşitliği çözüyor.

Şimdi şunu kontrol edelim. Eğer x bir ise, ne olur, eksi bir artı dört eşit üç (-1+4=3). Tamam. Daha önce görmüş olduğunuz bir şekli çizdiğim için özür dilerim. Ancak bu -- satır resmini görerek -- her şeyden önce, n eşittir 2 için, iki denklem ve iki bilinmeyen durumda, başlamak için doğru nokta, İyi.

Şimdi çözümü elde ettik. Şu nokta her iki dogrununda üzerinde. Şimdi sütun resmine gelebilir miyiz? Dikkat edin, bu kilit noktamız. İşte sütun resmi.

Şimdi gidip matrisin sütunlarına bakacagım.

Şu bölüme ve şu bölüme bakacağım.

Şimdi x parçamız gerçekte x kere -- gördünüz mü, iki’yi koyuyorum -- bir şekilde her iki denklemi de aynı anda ele alıyorum -- şu parça ve sonra ilk denklemde bir y'em var ve birinci denklemde -1'le çarpılıyor, ve ikinci denklemde 2 ve sağ tarafta, sıfır ve üç. Gördünüz mü, matrisin sütunları, A’nın sütunları burada ve sağ taraftaki b şurda. Ve şimdi denklem neyi soruyor? Bizden, bir şekilde şu vektör ile şunu doğru oranlarda birleştirip şunu elde etmemizi istiyor. Bizden, doğru olan doğrusal bileşimi bulmamızı istiyor. buna doğrusal bileşim denir.

Ve bu tüm bu dersin en temel işlemidir.

Bu sütunların doğrusal bileşim’idir.

Bu sol tarafta gördüğümüz.

Tekrar edeyim, büyük bir tanım yazmak istemiyorum.

Ne olduğunu görüyorsunuz. Burada birinci sütun var, şurada da sütun 2, bazı sayılarla çarpıp topluyorum. Bu bir bileşim -- doğrusal bileşim ve şu sayıları, sıfır üç'ü üretecek doğru sayılar yapmak istiyorum. Tamam mı?

Şimdi şunun ne olduğunu gösteren bir resim çizmek istiyorum. İşte bu cebir. Geometrisi ne? Bununla eşleşen resim ne? Tamam. Yine başa gidersek, bu vektörlerin iki bileşeni var, demek ki şöyle bir resim çizmeliyim. Şimdi şu sütunları da koyabilirmiyim? Şimdi bu sütunları olduğu gibi çizeceğim sonra da bileşimlerini yapacağım.

Demek ki ilk sütun yukarıya doğru iki ve aşağıya doğru bir, tamam mı? Böylece, ilk sütun orada.

Birinci sütun. Sütun 1.

Bu 2, -1 vektörü, ikinci sütun -- ilk bileşeni eksi bir ve yukarıya doğru iki dir.

İşte burada. Bu ikinci sütun.

İşte yine bu, bileşenlerinin ne olduğunu görüyor musunuz? Bileşenler eksi bir ve iki. Güzel.

Bu adam. Şimdi bir bileşim yapmalıyım. Hangi bileşimi yapayım? Niye doğru bileşim olmasın ki? Ne oluyor? Tamam. sıfır ile üç’ü verecek olan doğru birleşimi almam gerekli ve sonra da resimde ne olacağını göreceğiz. Yani doğru birleşim, x’i bunlardan bir tane ve şunlardan iki tane olarak almak olacak.

Bunların doğru x ve y olduğunu bildiğimiz için, burada niye doğru bileşimi alıp sonucun ne olduğunu görmeliyim ki? Tamam, peki bu doğrusal bileşimi nasıl çizerim? Demek ki şu vektörle başlıyorum, bu zaten burada, birinci sütundan bir tane, yani bu bir çarpı sütun bir, tam orada olan.

Ve şimdi üzerine eklemek istiyorum -- böylece bir sonraki vektörü, ok’un şu kısmına oturtacağım ve ikinci vektör şu yöne gidecek. Şimdi bakalım, doğru yapabiliyor muyum? Bu vektörlerden birini eklersem, sol tarafa doğru 1, üste doğru da iki gidecek, demek ki sola bir, yukarıya da 2, demek ki muhtemelen şuralarda bir yerde olacağız.

Belki de bunun için noktalı çizgi yapmalıyım.

Tamam mı? –bu sona eklenmiş olan bir tane sütun iki, ama ben sütun ikiden iki tane eklemek istiyordum. Böylece, ikincide de, sola doğru bir ve yukarıya doğru iki gideceğiz.

Herhalde şurada biter. Elimizde bir tane daha var.

Yani buraya koyduğum 2 tane sütun iki olur.

Eklemeye devam edelim. Nereye vardım? Sonucun coordinatları (apsisleri) ne? bundan 1 tane artı şundan iki tane aldığımda ne elde ederim? Tabii ki şunu elde ediyorum.

İşte burada, x sıfır ve y 3 olur, bu da ‘’b’’ oluyor. Bu ardığımız cevaptır.

Ve nasıl yapıyorum? Gördünüz mü? tıpatıp birinci bileşen gibi yapıyorum. Bir iki’m var bir de eksi iki’m ve bunlar birlikte bana sıfırı veriyor ve ikinci bileşen de bir adet eksi 1’im bir de dört’üm var. Bunları birleştirip 3 elde ediyorum.

Şimdi şu resme bakın. Bu bizim kilit resmimiz.

Şu sütunla şu sütunu birleşip şu vatandaşı elde ediyorum.

Bu b idi. Bu sıfır ile üç.

Peki demek ki doğrusal bileşim fikri önemli ve aynı zamanda -- bu soruyu düşünmek ister miyiz? Niye olmasın?

Bütün bu bileşimler ne? Eğer şunu alsaydım -- x’lere ve y’lere geri döneyim? Bu öyle bir soru ki -- hep karşımıza çıkmaya devam edecek, öyleyse hemen şimdi niye bakmıyoruz ki? Eğer tüm x’leri ve tüm y’leri alsaydım, tüm bileşimleri (yani), sonuçlar ne olurdu? Ve aslında sonuç sağ tarafın hepsini elde ederdim olurdu.

Şunun ve bunun bileşimleri tüm düzlemi doldurdu.

Şunu şimdi çıkartabilirsiniz. Bunu daha geniş inceleyeceğiz.

Ancak hangi doğrusal bileşimin b’yi verdiği, ve diğer dogrusal bileşimlerin ne verdiği, yani elde edilebilecek mümkün olan tüm sağ tarafların ne olduğu -- işte bu çok temel olacak. Tamam.

Üç bilinmeyenli üç denkleme geçebilirmiyim? Cünkü ikiye iki durumu çizmek kolaydı.

Şimdi üç’e üç’lük bir örnek yapayım.

Tamam, bir tür aynı yolla başlayacağım, belki 2x-y ve z-leri almayacağım sıfır olarak (2x-y=0) ve belki bir –x+2y ve belki bir –z olarak—bunu -1 yapayım (-x+2y-z=-1), sadece değişiklik olsun diye -3z, hayır -3y, y-leri aynı doğru içinde tutmalıyım, 4z söyle 4 olsun (-3y+4z=4). Pekala.

Bu şimdi üç denklem. Üç boyuttayım, x, y, z. Ve henüz elimde bir çözüm yok. Bu durumda denklemleri anlayıp sonra da çözmek istiyorum. Tamam

Ne olup bittiğini nasıl anlarım. Bir yolu satır resmi. Sütun resmi ise diger önemli yol. Bir an matris biçimini hatırlayalım burada çünkü o kolay. Matris biçimi -- matrisimiz ne A mı? A matrisimiz sağ taraf, 2, -1 ve 0 birinci satır’dan ve -1, 2, -1 ikinci satır’dan, 0, -3 ve 4 ise üçüncü satır’dan. Demek ki 3’e 3’lük bir matris. üç denklem, üç bilinmeyen. Ve sağ tarafımız ne? tabii ki, sıfır, eksi bir ve dört vektörü. Tamam.

Demek ki yöntem bu, bu üç denklemi yazmamın kısa yolu. Ancak bugün benim önemsediğim resmi çizmek şimdi satır resmine bakalım.

Peki, şimdi üç boyuttayım, x, y ve z. Ve şu denklemleri birer birer alıp sormak istiyorum -- ve bunu sağlayan tüm noktaları çizmek istiyorum …… iki numaralı denklemi alalım.

Bunu sağlayan tüm noktaları çizersem -- yani bu denklemi çözen tüm x, y ve z‘leri alırsam -- Önce orijinin aralarında olmadıgını görürüz.

x, y, z ler 0, 0, 0 olduğunda bu denklemi çözmüyor. Peki bu denklemi çözen noktalar nelerdir? Bakalım, x 1 olsaydı, y ve z sıfır olabilirdi. Bu işe yaradı değilmi? Böylece bir nokta bulduk.

Şimdi ikinci denkleme bakıyorum, burada, sadece, ile başlamak için. Bakalım.

Şimdi sanırım z bir olsaydı, x ve y sıfır olablirdi, ve bu doğruca şu eksen boyunca gidecekti. Ve heralde, şurada bir üçüncü nokta isteyecektik. x’i sıfır alayım, z’yi sıfır alayım. Bu durumda y eksi yarım olur, tamam mı? Demek ki bir üçüncü nokta var bir yerlerde --aman -- tamam. Bakalım.

Şimdi eşitliği sağlayan tüm noktaları koymak istiyorum.

Şu nokta kümesinin ne oldugunu biliyormusunuz? Bir düzlem. Bir doğrusal denklemimiz olduğunda, iyi ki, bu şeyin grafiği, yani çözüm kümesini oluşturan noktalar bir düzlem olur.

Şu üç nokta bir düzlemi tanımlar, ancak hocanız Rembrandt değil ve bu işte sanat kısmı zayıf nokta olacak.

Demek ki bir düzlem çizeceğiz, tamam mı? Bir yerlerde bir düzlem var. İşte bu benim düzlemim.

Yüzey şu vatandaşı çözen noktaların tümü.

Peki şu ne oluyor? 2 x eksi y artı sıfır z.

Demek ki z herhangi bir değer olabilir. Yine, farklı bir düzlem olacak. Üçe üçlük sistemdeki her bir satır bize üç boyutta bir düzlem verir.

Demek ki bu başka bir düzlem olacak -- şöyle çizmeye çalışacağım. Ve şu iki düzlem bir doğru da birleşir.Demek ki iki denklemim varsa, üç boyutta yalnızca ilk iki denklem, bunlar bana bir doğru verir. Bu iki düzlemin birleştiği dogruyu ve şimdi üçüncü adam (denklem) üçüncü bir düzlem. Ve bu biryerlere gidiyor.

Tamam, bu üç şey tek bir noktada birleşiyor.

Şimdi gerçekten o noktaların nerede olduğunu bilmiyorum,.

Fakat -- doğrusal cebir bunu çözecek.

Önemli olan nokta bu üç düzlem, paralel olmadığı için, özel sayılmıyorlar(özel değillerdir).

Bunlar tek bir noktada birleşirler ve bu da çözümdür.

Belki şimdi,bu satır resmini görmenin gittikçe güçleştiğini görüyorsunuzdur. iki doğrunun kesişimine baktığımızda satır resmi çocuk oyuncağı (basit) kaldı.

Üç Yüzeyin birleşimini görmeye çalıştığımızda bu çok açık değil (bu pek te açık değil) dört boyutta daha da az açık (zor ) olur.

Peki şimdi satır resmini bulabilirmiyim? Veya satır resmini üç düzlemin birleştiği noktayı bulduktan sonra bırakalım. Tek görmek istediğim satır resmini üç yüzeyden oluştuğu, ve her şeyler doğru giderse, üç yüzey tek noktada birleşir, bu da çözümü verir.

Belki şimdi sütun resmini tercih ettiğimi söyleyebilirim.

Tamam, sütun resmine bakalım.

Bu x kere -- demek ki ilk denklemde 2 x eksi 1 x ve üçüncüde hiç x yok.

Bu şunun sadece birinci sütunu.

Ve kaç tane y var? -1 tane birinci denklemden, 2 tane ikincisinde ve belki de üç tane üçüncüsünde.

Matrisimin ikinci sütunu.

Ve z kere sıfır z eksi 1 z ve 4 z.

Ve işte bu 3 sütunu birleştirerek sağ tarafı elde edeceğim, bu da sıfır, eksi 1, ve 4.

Tamam. Şimdi sol tarafta neyimiz var? Bir doğrusal bileşim.

3 vektörün doğrusal bileşimi, her biri üç boyutlu bir vektör,demek ki şimdi bu üç vektörün hangi birleşiminin şunu yarattığını görmek istiyorum.

Sütun resmini çizmeye çalışayım mı? Bu vektörlerin 3 bileşeni’i olduğuna göre -- demek ki bir çarpan – düzlemin 1.ci sütununu önceki gibi çizeyim -- x iki ve y de -1 olur. Belki buna da birinci sütun, y -- ikinci sütunun belki bir tane -1’i var ve ikisi ve de y eksi 3’tür. Şuralarda bir yerlerde, mühtemelen, (sütun 2) 2ci sütun

Ve üçüncü sütunun -- sıfır yok -1 dört, bunu şimdi nasıl çizerim. Demek ki bu ilk bileşendi. İkinci bileşen -1 di, belki burada.

Buradaki üçüncü sütun; bu sıfır,eksi 1 ve dört olan sütun. İşte şuradaki.

Tekrarlayayım, problemim ne idi? Bu eşitliğin benden istediği, şu üç vektörü dogru bir şekilde birleştirip, şunu elde etmek. İyi, şimdi dogru bileşenin ne olduğunu görüyorsunuz, çünkü hocamızın özellikle seçtiği bu özel problemde, elde etmek istediğim şu sağ taraf aslında sütunların biri.. Dolayısı ile onu nasıl elde edeceğimi biliyorum.

Bakalım çözüm ne? Hangi bileşim işleyecek? Bunlardan hiçbirini ve bunlardan birini istiyorum.

Demek ki x sıfır olmalı, y de sıfır olmalı ve z bir olmalı. Bileşim bu.

Bunlardan biri kesinlikle doğru.

Bu çözdüğümüz problemde sütun 3 b ile aynı. Öyle işlemesini ben tezgahladım, bunu da (0,0,1) cevabını almak için yaptım, ve bu bana daha önce göremediğim, üç yüzeyin birleşim (kesişim) noktasını verdi. Tabii ki bunu her zaman satır resminden de göremeyebilirsiniz.

Gelecek derste, aslında, yok etme yöntemini işleyeceğiz, ve bu yöntem her biri -- tüm yazılımlar dahil -- büyük çaptaki yazılımlar dahil bu denklem sistemini sistematik olarak çözmek için kullandıgımız bir yöntemdir.

Bu bir sonraki ders.

Bunu ders içeriği listesine ekleseydim, x, y, z’yi tüm durumlarda bulmak derdim. Şimdi bir kez daha büyük resmi düşünebilir miyim? Büyük resmi görmek demekle söylemek istediğim, soldaki A matrisini olduğu gibi bırakıp, sağdaki farklı degerler koymak. Sağ tarfı farklı alayım. Tamam sağ tarafı değiştirip yine özel olan bir şey koyacağım.

Şunu değiştireyim -- önce şu iki sütunu toplarsam, bu bana bir ve bir 1 ve eksi üç verir.

Bu da özel bir sağ taraf.

Bunu bununla ve şunu toplayarak oluşturdum.

Şimdi bu yeni sağ tarafla çözüm ne? Bunun çözümü açık.

Şunların hiçbirini ve bunlardan birini almak.

Böylece gerçekte, bu yeni sağ tarafı aldığımda sadece buna dönüştü.

Tamam. Şimdi satır resminde, 3 farklı düzlemimiz var, üç farklı düzlem şu noktada kesişiyor. Sütun resminde yine aynı üç sütunum var, ama şimdi bunları şu adımı elde etmek için birleştireceğim, ve öyle görünüyor ki, sütun 1 artı sütun 2 ki buralarda bir yerde olacak -- İşte şu doğru sütun -- Bunlardan bir tane ve şundan da bir tane bana yeni b’yi verecek. Anlaştık.

Araya yeni bir örnek sıkıştırmış olduk.

Şimdi tüm b’leri, bütün sağ tarafları düşünelim.

Bu denklemleri tüm sağ taraflar için çözebilir miyim? Bu soruyu sorabilir miyim? Bu işte bir cebir sorusudur.

Ax=b yi tüm b ler için çözebilirmiyim? Şunu yazalım bakalım.

Ax=b yi tüm sağ taraftaki b ler için çözüm yaratabilirmiyim? Yani çözüm var mı? Ve eğer varsa, yok etme yöntemi bana bunu saglayacak.

Aslında sormak istediğim, her sağ taraf için çözüm var mı? Şimdi bunu farklı şekilde söyleyebilirmiyim -- doğrusal bileşen sözcükleri ile? Doğrusal bileşen dilinde, bu sütunların doğrusal bileşeni 3 boyutlu uzayı dolduruyor mu? Her b, üç boyutlu uzaydaki bütün b’ler anlamına gelir..

Görüyor musunuz, aynı soruyu farklı kelimelerle sormak istiyorum. Ax’i -- Ax’i çözmek -- bu çok önemli. A çarpı x -- bir matrisi bir vektör ile çarptığımda, sütunların bir bileşimini elde ederim. Birazdan bunu yazacağım. Ancak sütun resminde, gerçekte yaptığım, şu üç sütunun doğrusal bileşimlerini alıp, b’yi bulmaya çalışıyorum.

Ve aslında, bu matris için cevap evet olacak. Bu A matrisi için -- bu sütunlar için, cevap - evet. Bu matris -- bu örnek için seçtiğim matris iyi bir matris. Tekil olmayan bir matris.

Tersi olan bir matris. Bunlar en çok sevdiğimiz matrisler olacak. Başkaları da olabilir, ve cevabın hayır oldugu başka matrisler göreceğiz -- aslında ne zaman hayır olduğunu görebiliyorsunuz. Ters giden ne olabilir? Nasıl bir şeyler ters gidebilir ki bunlardan -- bütün bu üç sütun ve bileşimlerinden -- şu sağ taraftaki bazı b’leri elde edemeyebilirim? Ne zaman ters gidebilir? Şu bileşimleri görüyormusunuz -- Ne zaman yanlış gittigini söyleyeyim. Eğer bu üç sütun aynı düzlemde ise, bileşimleri de aynı düzlemde olur. İşte o zaman başımız dertte.

Matrisimin üç sütunu -- şu üç sütun aynı düzlemde olursa -- örneğin, sütun üç, sütun 1 ile sütun 2’nin toplamı ise, o zaman başın dertte demektir. Bu cevabın hayır olduğu yerdeki bir A matrisi olurdu., çünkü bileşimler—sütun üç, sütun bir ve iki ile aynı düzlem içinde olduğunda, bundan herhangi yeni bir şey elde etmem.

Bütün bileşimler aynı düzemde olurlar ve sadece sağ tarafda b olarak elde edebileceğim bu birisi bu düzlem içinde olacak.

Yani onu bazı sağ-taraflar için, b düzlem içinde olduğu zaman çözebilirim, ama sağ-tarafların çoğu düzlem dışında ve ulaşılamaz olacaklar.

Yani bu bir tekil durumu olacak.

Bu matrisin tersi olamaz.

Her b için bir çözüm olamaz.

Bunun için cevap hayır olacak.

Tamam. Bilemiyorum—birazcık dokuz boyutlu hakkında düşünmeye başlasak mı? Dokuz bileşenli vektörlerimizin olduğunu hayal edin.

Şey, bunları kafamızda canlandırmak zor olacak.

Ben bunu yaparmış gibi davranmıyorum, ancak bir şekilde yaparmış gibi davranalım. Sonra ki …bu 9 denklem ve dokuz bilinmeyenmiş gibi davranalım, o durumda 9 sütunumuz olacaktı, ve bunlardan her biri dokuz boyutlu uzayda bir vektör olacaktı ve bunların doğrusal bileşimlerine bakacaktık. O durumda 9 boyutlu bir uzayda, 9 vektörün doğrusal bileşimi ile uğraşıp bu bileşimlerden hangisinin doğru sağ tarafı b’yi, vereceğini bulmaya çalışacaktık. Ve şu soruyu da sorabiliriz, bunu her zaman yapabilirmiyiz? Tüm sağ taraftaki b’leri elde edebilir miyiz? Ve tabii ki bu, 9 sütuna bağlı olacaktı. Bazen cevap evet olacak.-- Eğer herhangi bir matris A’yı seçseydi, cevap evet olurdu. Eğer MatLab ve rasgele komut kullansaydım ve, bir dokuza dokuz matris seçseydim, garanti ederim ki sonuç iyi olurdu.

Tekil olmayan bir matris, tersi alınabilir bir matris, her şey güzel. Ancak, bu sütunları bağımsız olmayacakları şekilde seçersem, (mesela) dokuzuncu sütun sekizinci sütun ile aynı olursa, o zaman o yeni bir şey eklemez ve sağ tarafta elde edemeyecegim b’ler olabilir.

Hiç dokuz boyutlu uzayda, dokuz vektör alıp onların bileşimlerini yapmayı düşünebiliyormusunuz? Bu aslında en temel düşünce -- bu doğrusal cebire ısındığınızı gösterir. Aslında hayal edemediğiniz halde, bir müddet sonra edebildiğinizi sanmaya başlarsınız. Bu dokuz sütun ve tüm bileşimleri tüm 9-boyutlu uzayı dolduruyor olabilir. Ama eğer 9uncu sütun, olaki de 8inci sütunla aynı olup yeni bir şey vermiyorsa, o zaman dolduracağı şey, bunu söylemeye bile çekiniyorum, bu bir çeşit düzlem olacak, dokuz boyutlu bir uzayda olan sekiz boyutlu bir düzlem olur.

Ve zaman içinde çalışacaklarımız, bu dokuz boyutlu uzay içindeki sekiz boyutlu düzlemler olacak.

Şimdilik, matrislerin iyi işlediği durumlarla uğraşalım, öyle ki sağ taraftaki tüm b’leri elde edebilelim, ve burada sütunlarla nasıl yapabileceğimizi görüyoruz. Pekala.

Daha önce, bir noktada, sözle söylediğimi harflerle yazmak istediğimi söylediğimi hatırlıyorum.

Şimdi yine denklemlerin matris biçimine geldiğim için, şuraya yazayım. Denklemimiz matris biçimi, sistemimiz herhangi bir A matrisi çarpı bir x vektörü eşittir herhangi bir sağ taraftaki b’ye. Tamam.

Demek ki bu bir çarpım. A çarpı x.

Matris çarpı bir vektör, demek istediğim, bir matrisi bir vektörle nasıl çarparsınız. Tamam, şimdi bir matris oluşturacağım. 2 5 1 ve 3’ü seçeyim ve (1,2) olan bir x vektörü seçeyim. Bir matrisle bir vektörü nasıl çarparım? Bir an için matris notasyonumuzu ve bunu çarpımda nasıl uygulayacağımızı düşünelim.

Şimdi bir matris ile bir vektörü nasıl çarptığımı söyleyeyim.

Aslında, bunu yapacak iki yol var.

Kendi sevdiğim yolu size söyleyeyim.

Yine sütunlar. Her seferinde bir sütun.

Benim için bu matris çarpımı şunu diyor, bu sütunda 1’i ve şu sütunda 2’yi alıp toplamamı söylüyor.

Demek ki şöyle düşüneceğiz, eğer birinci sütunda 1’i alırsam ve ikinci sütundan da 2’yi alırsam, bakalım ne elde ederiz. Birinci bileşkede bir 2 ve bir 10 elde ediyoruz. Ve şurada bir 12 elde ettim.

İkinci bileşkede bir adet 1, birde 6 var. Bu da yedi eder. Demek ki şu matris çarpı şu vektör, 12 ve 7 verir. Şimdi bunu başka biçimde de yapabilirdim. Her seferinde bir satır alarak da yapabilirdim. Ve bu 12’yi elde edersiniz. Ve aslında burada yapmış oldum, bu şekilde.

İki ... şu satır çarpı şu vektörü alabilirdim.

Bu skaler çarpım fikri.

Bu vektör çarpı şu vektör, iki kere bir artı beş kere iki, 12’yi verir. Bu vektör çarpı bu vektör, 1 kere 1 artı 3 kere 2 bize 7 verir.

Demek ki satırlarla da yapabiliriz, ve her bir satır çarpı x, daha sonra skaler çarpım diyeceğiz şey.

Ancak sütunlar cinsinden de görmek istiyorum.

Bunu bir sütunun doğrusal bileşim’i olarak görüyorum.

Şimdi vurgulamak istediğim şu. A kere x, A’nın sütunlarının bir bileşimi. Umarım ki gerek duyduğumuzda A çarpı x i bu şekilde algılarsınız.

Şu anda elimizdeki bu küçük olanlarla, farklı şekillerde yapabiliriz, ama sonra, onu böyle düşünün. Tamam mı.

Demek ki bu ikiye ikilik bir sistemin resmi.

Ve sağ taraftaki b’nin değeri 12 ve 7 çıktı, ancak tabii ki doğru cevap (1,2) olacak.

Tamam, gelecek sefer, sistematik bir şekilde, yok etme yöntemini kullanarak çözümü bulmaya çalışacağız, eğer çözüm varsa -- çünkü eğer yok etme işlemi çalışmazsa, çözümü hangi durumlarda bulunmadığına bakacağız. Tamam, teşekkürler.