Videonun mp4 versiyonunu indirmek için tıklayınız...
Takip eden içerik özel bir lisans altında sağlanmaktadır.Sizin desteğiniz MIT’nin yüksek kalitede eğitim malzemesi sağlamaya devam etmesini sağlayacaktır. Bir bağışta bulunmak veya MIT’nin yüzlerce açık kurs materyalini görmek için http://ocw.mit.edu sitesini ziyaret ediniz
32.DERS
0.21 geçen hafta ile ilgili bir sorunuz varmı?tepkime mekanizmaları..birinci derece paralel tepkimeler ..bugün üzerinde duracağımız hususlardan biri yazdığımız bu mekanizmaların karmaşık bir kimyasal işlemi anlamanın yollarından biri olduğu..burada önce veri alıp ara ürünleri buluruz .. bazen bu verilerden hız denklemlerini belirleriz..hız denklemlerini bulduktan sonra bunun için bir tepkime mekanizması çıkarırız..burada ölçtüğünüz değerin karmaşık bir işlemi açıklamak için çıkardığınız mekanizma ile uyumlu olması gerekir..burada hatırlanması gereken gerçekten önemli bir husus da ..bir mekanizma çıkardığınızda ve de elinizde bunu destekleyen bir seri veri varsa mükemmel olur ancak bu problemi çözdüğünüz anlamına gelmez .. kimyasal işlemin bu şekilde yürüdüğünü kanıtlamaz ..çünkü daima herhangi bir yerde ölçmeyi başaramadığınız bir ara ürünün olma ihtimali vardır ..son yüzyıl içinde mekanizma çıkarımında bir çok kişi işte burada sıkışmıştır .. çok sayıda veri elde etmelerine karşın son derece önemli bir hususu kaçırmışlardır ..bu ellerinde teyit edici veriler olması yüzünden bir mekanizmayı kanıtladığını düşünen insanların yaptığı ortak bir hatadır ..belli noktaya kadar bu verilere güvenilebilir .. muhtemelen bugün veya kesinlikle gelecek ders ..bu konuyla ilgili örnekler göreceğiz .. bazı kinetik yaklaşımlar yapmaya başladığımızda da.. işlerin nerde hatalı gidebileceğini göreceğiz ..özellikle elimizde yeterli veri yoksa ve arada bir yerde oluşan az bir ara ürünü bulmaya çalışıyorsak ..
2.37 pekala geçen dersimizde birinci derece paralel tepkimeyle rı görmüştük ..bugün aynı yolda yürüyerek birinci ve ikinci yani biri birinci diğeri ikinci derece olan iki tepkime alacağız işler daha karmaşık bir hale gelecek.. ve bunun sonunda problem çözmenin lezzetini tadacaksınız..problemleri düzenlerken tahtada fazla matematiksel işlem yapmayacağız çünkü bunu yaparsak önümüzdeki üç haftayı işlem çözümüne ayırmamız gerekir ki bu da hiç zevkli bir şey olmaz ..ancak bu hiç işlem yapmayacaksınız anlamına da gelmiyor ..ödevinizin bir kısmı bunla ilgili..
3.15 pekala A’nın B+C verdiği bir tepkime alalım ..yazacağımız ilk mekanizma paralel mekanizma olup burada A® B ve A® C verir ..bu mekanizmamız ..bunun bir başka yazma biçimi ise A’nın B veya C vermesi..bu bir çeşit dallanma işlemini göstermektedir ..dallanma oranı diyorsak bu B/C oranıdır .. bu iki farklı yol üzerinden yürüyen dallanma işlemi.. burada bu birinci bu da ikinci derece olsun ..hız sabitleri de k1 ve k2 olsun ..bu tip problemleri yaparken çok sistematik olmalısınız ..yapmanız gereken ilk şey tüm hız denklemlerini yazmak ..bunların herşeyi kapsadığına emin olmalısınız..burada önce A’nın harcanma hızını daha sonra da B ve C’nın oluşma hızlarını yazalım . A için –dA/dt .. burada da parantezleri yazmayacağım .. tüm bu ekstra sembollerin hiçbir gereği yok ..A önce B oluşturmak suretiyle harcanıyor ve bu birinci derece ..ve A aynı zamanda C oluşturmak suretiyle de yok oluyor bu da ikinci derece .. daha sonra B’nin oluşma hızını yazarsak dB/dt bu sadece bir yolla oluyor .. A’ya göre 1. derece ve daha sonra C’nın oluşma hızı dC/dt ise sadece A’ya 2 derece bir tepkimeyle meydana geliyor ..bunların hepsi türevsel denklemler ..buradaki sorun bize anlamlı bilgi verecek şekilde bu üç türevsel denklemin nasıl çözüleceği..
5.31 yapılması gereken ilk iş .. bu iki ifade A’ya bağlı ..B’nin oluşması da A’ya C’nin oluşması da A’ya bağlı .. fakat bu birinci denklem tamamen A ile ilgili .. dolayısıyla çözüme bununla başlayalım..burada tüm A’ları bir tarafa ve tüm t’leri bir tarafa koyup integral alabiliriz .. bunu çözmek için bu ifadeyi şeklinde yazabiliriz ..şimdi A’ları bir tarafa t’leri de diğer tarafa geçirip integralini alırsak bulunur ..şimdi de bu integrali çözmek zorundayız ..burada bunun A parantezine almamızın sebebi bu yazılımın daha önce belirttiğimiz gibi kısmı kesirlere ayırmada son derece kullanışlı olmasıdır..bunu çözmek için kısmi kesirleri kullanırsak .. bunu tahtada yapmayacağım..burada yazar , n1 ve n2 ‘yi bulup, bunları yerine koyar ve integrali çözerseniz bir cevap bulursunuz.. bunu yazacağım çünkü bunu ilerde kullanacağız.. buna göre bulunur .. burada gözümüze çarpan ilk şey bu mekanizme pek fazla karmaşık olmamasına rağmen .. sadece iki yol var biri birinci biri de ikinci derece ..çözüm hiç de öyle basit değil ..bu değer paydadaki üstel terime , başlangıç derişimine ve iki hız sabitine bağlı ..burada yapmanız gereken ilk iş sınır durumlarına bakmak..
08.10 aynen daha önce olduğu gibi ..inceleyeceğimiz ilk sınır durumu.. buradaki şu terim çok ilginç .. k1 + k2A0…eğer burada bunlardan biri diğerinden çok büyükse bazı terimler birbirini götürür..buradan hemen bir şeyler sezebiliriz ..bakacağımız ilk sınır durumu k2A0 yani buradaki bu değerin k1’den çok çok küçük olması ..bu sınır durumlarını incelerken böyle bir şey yazdığımızda birimlerin de tutarlı olması gerekir ..yani üç elmanın dört portakaldan daha küçük olduğu gibi bir şey söylüyor olmamalıyız.. k1 birinci derece olduğuna göre birimi 1/s dir .. k2 ikinci derece hız sabitidir ve birimi 1/s.mol/l dür ..buda mol/l olduğuna göre mol/l değerleri birbirini götürür ..ve 1/s =1/s olur ..dolayısıyla her şey mükemmel..yani buradaki yaklaşımımız doğru .. bu yaklaşım başka ne söylemektedir..buna göre B’ye dönüşme hızı ki bu daha hızlı .. k2A0 yani C’ye dönüşme hızından daha yüksek ..kısaca B ‘nin oluşma hızı C’nin oluşma hızından daha yüksek .. dolayısıyla burada bu yaklaşımdan beklentimizi çizersek .. şöyle bir şey olacağını biliyoruz ..
10.05 A’nın üstel bir şekilde azalacağını biliyoruz ..ya B’ye ya da C’ye dönüşecek ..dallanma faktörüne bağlı olarak.. ve B’nin oluşma hızı C’nin oluşma hızından daha yüksek olduğundan B şu şekilde artarken C daha yavaş bir hızla yükselecektir ..bu iki değer arasında bir oran var..
10.32 pekala ..biliyoruz ki C için olan eğim B için olan eğimden daha düşük..bunu yaptığımız yaklaşım çerçevesinde kontrol edebiliriz ..t=0 yazıp bu başlangıç eğimlerinin ne olduğunu bulabiliriz ..dB/dt B’nin başlangıçtaki oluşma eğimi olduğuna göre tabi t=0 değerinde ..bu tabi hız denklemine eşit .. dB/dt =k1A0..ve dC/dt t=0 iken ki başlangıç eğimi k1A02 hayır k2A02.. dolayısıyla bunu (k2A0)A0 şeklinde yazabiliriz …tabi k1 ‘in k2A0’dan çok büyük olduğunu biliyoruz .. bu A0‘ların bir etkisi yok..dolayısıyla sadece bunu yazmakla bile .. B’nin oluşma hızının C’ninkinden çok daha yüksek olması sebebiyle ilk baştaki sezgimizin buna benzediği .. bu basit başlangıç ifadelerinin geçerli olduğu ve buradaki eğimim buradakinden çok daha yüksek olduğu görülür..
12.04 pekala ..şimdi burada yaptığımız yaklaşımı uygulayalım ..bakalım bu neye karşılık geliyor..yapalım bakalım..burada yeşil tebeşir kullanalım .. k2A0 k1’den çok küçük olduğundan ihmal edilebilir.. k2A0 k1’den daha düşük bu sıfırdan başladığından k1 1’den büyük olmalı .. dolayısıyla bu k2A0 terimi de ihmal edilebilir çünkü burada k1 var ve bu k2A0 ’dan çok daha büyük ..bu iki terimden kurtulduktan sonra bu k1 değerleri de birbirini götürür .. gayet güzel görünüyor ..bu üstel terimi de üste alırsak .. olur ..bu ifade hız sabiti k1 olan birinci derece bir ifadeye benzer ..burada dallanma faktörü denkleminde C maddesi mevcut olmayıp bu yaklaşıma göre ..başka bir deyişle bu değişim A’ya göre birinci dereceye benzer ..eğer burada C gibi bir madde oluştuğunu bilmiyorsanız.. biraz analitik kimya yapıp bunu tespit edemezseniz ve sadece iki ana bileşen olan A ve B’ye bakıyorsanız ve A’ya göre hız tayini yaparsanız bu birinci derece çıkar.. mükemmel..A B’ye dönüyor hepsi bu ..ve bu sırada çok az miktarda başka bir ürün oluştuğunun farkına bile varmazsınız..
14.01 şimdi bir başka yaklaştırma daha yapalım..
14.18 diğer duruma bakalım .. k2 A0>> k1 durumuna .. bu durumda biraz daha dikkatli olmanız gerekir..burada erken zamanlara bakmak gerekiyor.. erken zamanların neden bu kadar önemli olduğunu göreceğiz.. örneğin beş dakika ..erken zamanları nasıl tanımlarsanız ..bunun anlamı t’nin sıfıra yakın olmasıdır ..bunun için bir referans zaman ölçeğimiz olmalı..tepkimeler belli bir hızda cereyan eder ..bazen 1 s bile çok kısa olabilir..yani tepkime çok hızlıdır.. tabi bu tepkime hızına bağlıdır..dolayısıyla buradaki k1 değeri problemin zaman ölçeğini belirler..birimi 1/s dir ..erken zamandan kastımız incelediğimiz zamanın bu hızla karşılaştırıldığında epey küçük olması ..dolayısıyla k1t <<1…bunun anlamı incelediğimiz zaman periyodu içinde hemen hemen A’nın Bye dönüşümü ile ilgili hiçbir şeyin olmaması..erken zamanlardan kastımız bu ..ortamda hemen hemen hiç B oluşmaması.. k1 bizim referans zamanımız.. birimi 1/s ..t’nin birimi s ..ve her şey uyumlu ..aksı takdirde erken zamanları nasıl tanımlayacağım hususunda bir fikrimiz olmazdı ..belki yıl.. örneğin binlerce yıllık bir yarılanma süresine sahip plutonyum bozunmasına bakarsak..burada toplam süreçle karşılaştırıldığında bir yıl bile erken zaman olabilir ....eğer 1 nano saniye alan bir tepkimeyle uğraşıyorsanız yıl çok çok uzun bir süredir ..burada kesinlikle bir referans zamanına ihtiyacımız var ..
16.09 pekala bu yaklaşıma göre esas olarak herhangi bir B oluşmamıştır ..süreç boyunca ..eğer A ve C’yi izliyorsak buradaki hız ikinci derece olur..dolayısıyla burada beklediğimiz şey A’nın formunu hatırlarsanız bunu 1/A = k1 t+ .. şeklinde yazıyorduk ..burada tam denklemine bakıp buradan 1/A değeri tersini alırsak olur.. burada bir yerde bir – işaret olmalı ..evet burada – olmalı.. ama bu önemli değil ..çünkü yaptığımız yaklaşıma göre bunlar zaten ihmal edilebiliyor..ancak doğru işaret eksi ..
17.23 pekala dolayısıyla burada da bir yaklaştırma yapmak suretiyle 1/A’yı belirlemeliyiz ..buna göre k1t ufak ve 1’den küçük ..eğer elinizde e üzeri ufak bir şey varsa aklımıza gelen ilk şey Taylor serilerini kullanmak ..dolayısıyla bunu Taylor serisine açarsak .. bunu ilerde birçok kez göreceğiz …yani değerini açarsak bu 1 + k1 t +… olur ..burada 1 derece terimlere kadar alırsak ve bunu … bu temel denklemde yerine koyarsak ..bu yukardaki yaklaştırmayı .. açarsak ..ve sadece birinci derece terimleri alır ve çarparsak ara basamakları atlayıp sadece en son basamağı yazarsak k1 + k12 + ki bu k1(1+k1t)’ye eşit + k1k2 A0t ki bu da bu terimle çarpıma eşit .. tüm bunlardan bu k2A0 terimi çıkarılıyor tabi burada da yüksek üslü zaman terimler var ..fakat onlarla ilgilenmiyoruz..sadece 1 derece zaman terimleri ile ilgileneceğiz ..tabi bu k1A0’a bölünüyor..gerekli götürmeleri yaparsak .. tabi k1t<<1 olduğunu farz ediyoruz ..burada k1 x k1 çarpı zaman var …dolayısıyla bu ikinci terim yukardaki bu yaklaştırmaya göre birinci terimden çok küçük..dolayısıyla bu ikinci terimi ihmal edebiliriz ...ancak bunu ihmal etmemiz için bir sebep yok..elimizde k1 A0 var ki bu k1’dan çok büyük ..bunu açarsak .. buradaki tüm k1’ler birbirini götürür..dolayısıyla elimizde kalır ..bu da şeklini alır .. tam bizim beklediğimiz şekilde..doğru matematiksel yaklaşımı yaparsanız sistem aynen sizi sezinlediğiniz gibi davranır ..buna göre B oluşumu hemen hemen yoktur ..ve her şey C’ye dönüşmektedir..ve C’ye göre de ikinci derecedir ..Ancak bu durum erken zamanlar için geçerlidir ..eğer daha ileriye gidersek ne olur .. eğer bu birinci derece hız sabitinin zaman ölçeğini aşarsak …ve yeter derecede uzun beklersek ..A miktarı azalır ..gittikçe küçülür ..eğer A’nın bu azaldığı durumlarda ölçüm yaparsak k2A0 değeri artık k1’den çok çok büyük olmaz.. belli bir noktada k2A0 değeri k1’dan çok daha küçük olur ..dolayısıyla bu noktada artık bu yaklaştırma geçerli olmaz geçerli olan daha önce yaptığımız yaklaştırmadır ..erken zamanlarda tepkime A’ya göre ikinci derece olup zaman ilerledikçe A azalmaktadır ve k2A0 hızı ki burada duruyor .. bu kısım gittikçe küçülür.. bir müddet sonra bu kısım onu geçer ve sistem birinci dereceye dönüşür ..işte bu durumda görmeyi beklediğimiz şey
21.52 bunu A’nın fonksiyonu olarak grafiğe geçirirsek …ikinci derece ile başlayan ve A azaldıkça birinci dereceye dönüşen bir değişim bekleriz …burada ikinci derece burada ise birinci derece kinetik var ..buda A’nın derişimi ..bunu farklı bir grafiğe geçirirsek .. burası A’nın derişimi …bunu A’nın derişim unun logaritmasına göre grafiğe geçirirsek ..uzun sürelerde bunun birinci derece olmasını bekleriz ve değişim bu şekilde doğrusal olur ancak erken zamanlarda bunun ikinci derece olması beklendiğinden değişimimiz doğrusal olmaz .. grafiği 1/A’ya karşı çizersek bu sefer doğrusal bir değişimle başlarız çünkü erken zamanlarda tepkime 2 derecedendir ancak ikinci derece davranışa devam etmek yerine A miktarı azaldıkça C oluşumu hayır B oluşumu önem kazanır tepkime birinci derece olur..dolayısıyla başlangıçta 2 derece daha sonra 1 derece..
23.23 bu konuyla ilgili bir sorunuz varmı?..bu tip problemlerin önemi size sistematik bir çözüm yöntemini göstermesidir ..önce hız denklemlerini yazarsınız ..aynen burada olduğu gibi ..bunları çözersiniz ki biz burada A’ya göre çözdük .. Bu biraz karmaşıktır ve elde edilen verilerin nasıl olduğunu anlamak için sınır durumlarına bakmamız gerekir. Burada 2 tane açık sınır durumu vardır. Buradaki hızlardan biri diğerinden daha yüksek olabilir önce 1. birinci, daha sonra 2. tepkime cereyan edebilir. Burada sezginizi kullanmanız gerekir. Bu işlem boyunca sezginiz size nasıl bir sonuç beklemeniz gerekeceğini söyleyecektir. Örneğin bu durumda, sezgimiz bize, A ya dönüşüm hızının, C’ ye dönüşüm hızından daha yüksek alınması halinde, 1. dereceden bir tepkime beklememiz gerektiğini söyler. Bu yaklaştırmayı tam çözümde de uygulamamız halinde, bunun 1. derece bir tepkimeye benzediği ortaya çıkar. Burada yapmanız gereken şey sezginizi kullanmaktır. Çünkü matematik gittikçe karmaşık bir hale gelir. Aritmetik hesaplar karmaşık olabilir ve herhangi bir yerde – bir işaret koymanız gereken bir yerde + koymanız mümkündür. Aynı benim burada yaptığım gibi. Burada yaptığım hatayı düzeltmemiş olsaydım burada, Taylor serisine açtığım zaman. Başım belaya girebilirdi. Bu – işaret, + olurdu ve k1A0 değeri birbirini götürmezdi. Doğru sonucu elde edemezdim. Sezgim, bunun 2. derece bir tepkime olduğunu söylemektedir. Eğer bir sorunla karşılaşırsanız, örneğin bir sınavdasınız, matematiksel hesapları yaparken bir sorunla karşılaştınız ve ortaya sezginizin size söylediğinin dışında bir sonuç çıkabilir. Bunu düzeltmek için vaktiniz olmayabilir. Bunun doğru olduğunu biliyorum ama bunun 2. derece olmadığını da biliyorum. Nerede yanlış yaptığımı maalesef bulamıyorum. Böyle bir durumda lütfen bize söyleyin. Bunun anlamı, en azından düşünmeye devam ettiğinizdir. 25.24. pekala..
25.29. biraz daha karmaşık sistemlere bakalım. Herhangi bir sorunuz var mı?
25.35. pekâlâ, yazıyla“birbirini izleyen seri tepkimeler” bunlar aynı zamanda paralel tepkimelerde olabilir. Burada temel olarak yaptığımız şey, 2 farklı basit mekanizma ortaya çıkarmak, daha sonra bu mekanizmaları bir araya getirerek daha karmaşık bir sistem oluşturmak.
25.58.
Dolayısıyla, yeni tip tepkimelerimiz seri tepkimeler olup, burada A C ye dönüşmektedir. Bunun için olan mekanizma ise, bir ara ürün üzerinden A B ye gitmekte ve bu da bir ara üründür. B de, daha sonra nihai ürün olan C yi vermektedir. Tabii, Hız sabiti k2… biz ya mekanizmayı bu iki basamağa göre , ya da A’nın B ye, B’nin de C ye gitmesi şeklinde yazabiliriz. Tabiî ki her iki yazım şeklide aynı şekilde geçerlidir. Şimdi bunu çözelim. Bunun özel durumlarına bakalım. Ve bu mekanizmanın sonuçlarını anlamaya çalışalım. Yapmamız gereken ilk şey, daha önce de yaptığımız gibi, herhangi bir çözüme geçmeden önce… tüm hız denklemlerini yazmaktır. Pekâlâ, -dA/dt ile başlayalım. A nın harcanması bir şekilde mümkün sadece B oluşumu ile… ve bu 1. derece bir tepkime… Bu son derece bir basittir. Bunu çözmek son derece kolaydır. Sonuç üstel bir terim çıkacak. B için dB/dt= B 1. derece bir tepkime ile A’dan oluşurken, ki bu k1A ve C oluşumu ile de yok olmaktadır…dolayısıyla tüm yolları göz önüne aldığımızda, bu değerimiz –k2.B olur. Bu da B ye göre 1. derece bir tepkimedir. Buradaki hem k1 hem k2 1. derece hız sabitleri olarak alınmalıdır . Birimleri 1/s olup, işler daha karmaşık hale gelecektir. Ama şimdilik, daha bu safhaya gelmedik. Burada dC/dt için C nin bir tek oluşma yolu vardır. B nin 1. derece bir tepkime ile yok olması… Burada 2 tane türevsel denklem mevcuttur. Bu dC/dt değeri görüldüğü gibi B ye bağlıdır. B’nin türevi ise, buradaki A’ ya bağlıdır. Dolayısıyla işler biraz karışmaktadır. Görüldüğü gibi olay epey karmaşıktır. Çözümü en kolay olan birinci denklem olup, direkt olarak çözümü yazarsak, çözüm A=A0. e-kt olarak bulunur.
28.42.
Daha sonra B’ye yoğunlaşmamız gerekmektedir. Dolayısıyla buradaki, her denklemin integre edilmiş halini bulmamız gerekmektedir… tüm kimyasal türler için… Ancak burada, kısmi türevler gibi sıkıntılar meydana çıkabilir. dB/dt yi yazalım. Bunu biraz düzenlemek gerekir tabii - k1.B = k1.A0 ancak burada “A”yı artık kullanmamız gerekmiyor. Çünkü A nın t’ ye göre olan ifadesini biliyoruz. Bu değer, şeklindedir. Evet, bu B için olan türevsel denklem… Bunu çözmemiz gerekmektedir. En son olarak üniversitede türevsel denklemler çözdüğüm zaman geçen yüzyıldı. Şaka etmiyorum gerçekten geçen yüzyıldı. Çok süre önceydi, yani… Peki, bunu nasıl çözeriz? Buradaki ince nokta, her iki tarafı ile çarpmaktır. Her iki tarafı da, bu tarafı diğer tarafı da ile çarpıyoruz. Bu denklemi çözmek için bunu yapınca, elimizde olur ..buradan bulunur
30.40.
Pekâlâ, bu ince ayarın işe yaramasının sebebi, bu terimdir. Ve bu kolaylıkla, şekilde yazılır Bu son derece basit ve kullanışlı bir şekildir. Bunu integre ettiğimiz zaman, son derece basit bir ifade elde edilir. Diğer tarafta ise halen terimi mevcuttur. Şimdi her iki tarafı da t’ye göre integralini alırsak ’nin t ye göre integrali direkt olarak kendisi olacaktır. son derece basit. Her iki tarafı 0 ile t arası integralini alırsak… 0 ile t arasında integral dt.. ifadesini çözersek, nihai olarak, B - B . Üst sınırdan alt sınırı çıkardığımız zaman bunu elde ediyoruz tabii. Bu değer direkt olarak, B0’ a eşit…t=0 iken. Bu arada başlangıç B değeri 0 dır. Dolayısıyla bu değer gider, bu da eşittir= olup bu ifadenin integralidir. Buradaki k2-k1 değeri paydaya geçer ve bu ile çarpılır . Böylelikle elimize, oluşan B için olan bir integral denklemi geçer. Herhangi bir t anında… Bu tahtada kalsın. Buradan olur pekâlâ işin 3 te 2 sini hallettik şimdi de C yi bulmamız gerekiyor.
33.07.
En son bileşen için bu tip işlemler yapmak zorunda kalmayacağız. Vaktimizi bu tip türevsel denklemleri çözmek için harcamayacağız. Bu hususta, moleküler katsayılar büyük yardımda bulunur. Bu günün sonunda, her şey A’dan başlamıştı, bu bizim başlangıç malzememizdi ve C de son bulacak. Başlangıç da elimizde A0 derişim umuz varsa, günün sonunda veya sonsuz bir süre geçtikten sonra C nin derişimi da A0 ‘a eşit olacaktır. Bunlar arasında bir ilişki var .. A ile C yi birbirine bağlayan katsayılar olduğunu biliyoruz. Tabii, bu B için de geçerli. Çünkü kütle korunmakta, atom sayısı sabit kalmaktadır.
33.58. dolayısıyla sadece C için basit matematik yapacağız.
34.07.
Dolayısıyla önce katsayılı denklemi yazalım. Herhangi bir andaki C miktarı, sonunda ne olacaktı? A0 değilmi. Fakat en son noktaya gelmeden önce, elimizde A ile B olacak. Bu değer C değerini düşürecek ve sonunda C=A0- (A+B) olacaktır. Bu yazım şekillerinden bir tanesidir. Bunu farklı şekilde de yazabiliriz. Burada C miktarı kullandığınız A miktarına eşittir. A0 değerimiz, başlangıç değeri olup, A ise geride kalan miktar yani kullanılan A miktarına eşittir. Bu henüz net olarak C miktarına eşit değil. Çünkü ortamda biraz B de mevcut. Dolayısıyla bu değer kullanılan A miktarı –ortamda bulunan, B miktarına eşitti. Umarım. A0-A doğru… -B bu da doğru. Bu kullanılan miktar, bu da B nin mevcut miktarı. Burada katsayılı ifadeyi bulduktan sonra gerisi sadece basit matematiktir. Ama C biraz karmaşık bir ifade olarak karşımıza çıkar. Bu notlarınızın bir yerinde var. Bunu yazmayacağım. Evet, problemi tam olarak çözmüş durumdayız. Şimdi bir deney yapacağız. Bu yapacağımız deneyi, tüm bu işlemleri kapsamayacak. Burada sadece bir sınır durumlarına bakacağız. Yapabileceğimiz yegâne şey bu. Yapmamız gereken ilk şey başlangıç zamanlarını belirlemek. İşlemin tam başlangıç anında, her şey nasıldı acaba? Daha sonra, daha ileri süreleri inceleyeceğiz. 35.16.
36.34.
Başlangıç anını t=0. Burada yaptığımız her şeyin üstel bir sınırı vardır. Ne zaman üstel bir terim görsek, erken zamanlarda, yani k1.t veya k2.t den daha hızlı olan zamanlarda, bize Taylor serilerinin kullanılması gerektiğini hatırlatır. Dolayısıyla e –kt yaklaşık olarak, 1-kt+(kt)2/2+… eğer hassas bir sonuç elde etmek isterseniz Taylor serisinde daha fazla terim kullanmanız gerekir. eğer her şey 0 çıkarsa, yeterli derece de terim kullanmamışsınız demektir çünkü herşey birbirini götürmektedir. Halbuki, sizin aradığınız şey, zamanla değişen bir fonksiyondur. Burada çok yapılan hatalardan biri, sadece birinci terimi alıp, her şeyin birbirini götürmesini sağlamaktır. Bu durumda sonuç 0 çıkar. Ve bu da B nin her an =A olduğu anlamına gelir. Bu tabii ki mantıklı bir şey değildir. Bende en başta kaç tane terim alacağımı bilmiyorum tabii ki. Bu Taylor açılımını, A denkleminde yerine koyarsak, 1. dereceden zamana bağlı bir ifade elde ederiz. Bu da yaklaşık olarak A=A0(1- k1.t)+… Şekline dönüşür. Bunu B de yerine koyarsak, bu B deki 2 terimin Taylor açılımını alırsak, B yaklaşık olarak=k1A0/k2-k1 sadece 1. derece deki terimler ile ilgilendiğimizden diğerleri birbirini götürür. Zaman değerleri birbirini götürmez. Dolayısıyla, (-k1+k2) olur… tabi k1 ve k2 birbirine eşit değilse ki burada k1 ve k2 nin birbirinden farklı olduğu varsayıyoruz. Tabii bu tüm ifade t ile çarpılmalıdır. Ve en son olarak, yukarıda çok karmaşık olduğundan dolayı yazmadığım C ifadesini alırsak, eğer C ye dönüşüm 1. derece bir ifade olarak alınırsa, C= 0 olarak çıkar. Bunun doğru olmayacağını biliyoruz. Çünkü C nin zamanla arttığını biliyoruz.. Tüm zamanlarda 0 olması mümkün değil. Dolayısıyla C için 2. derece bir tepkime alalım. Bunun sonucunda C yaklaşık olarak,A0.(k1.k2/2).t2 bulunur. Bunu sileceğim çünkü burada biraz yere ihtiyacım var. Dolayısıyla bunu yeniden yazarsak, C= A0.(k1.k2/2).t2. Bunların nasıl olduğunu görmek amacıyla bunları artık grafiğe geçirebiliriz. Burası derişim burası da zaman alınırsa; A, zaman ile doğrusal olarak azalır. Zaman ile bu şeklinde azalsın. B ise zaman ile doğrusal olarak artar başlangıçta tabii… C ise, zaman ile karesel olarak artar. İlk başta epey yatay başlar daha sonra artış gösterir. Bunlar başlangıç durumları.. Daha sonra ileri zamanlara bakarsak, yani t nin sonsuza gittiği duruma, t sonsuza gidiyor, bunu nereye yazayım? 40.15.
40.33.
Evet, t sonsuza gitsin. Burada,0 a da gidebilirim. Sonsuz demekle zaten bunu kastediyoruz.t=sonsuz değerinde tüm A yı kullanmış olacağım . dolayısla A=0 Bnin de tümü harcanmış olacağından B de = 0 olacaktır. Cnin de A0’a eşit olacağını biliyorum dolayısıyla C= A0 olacak, sonsuzda.. bunu grafiğe geçirirsem, A0’a inecek bir şekilde … değişim üstel… dolayısıyla B de, buna benze bir şekilde, üstel olarak sıfıra düşer. Burada üstel değerler var… C ise, A0 değerine çıkacak, yine üstel olarak. Burası A0 ise, değişim bu şekilde olacaktır. şimdi bunları birbirine bağlayalım. Biliyorum ki A karesel olarak başlayacak ve bu şekilde yükselecek. B ise doğrusal olarak başlayacak, üstel olarak 0 a düşecek. Bu durumda, B bir maksimum noktasından geçmek zorunda. A ise, üstel olarak 0 a düşecek . bu diyagramın en ilginç kısmı B’nin belli bir anda bir maksimum noktası vermesidir.,ki bu noktaya tmax olarak işaretleyebiliriz… bu son derece ilginç bir durum. Bunun ne olduğunu deneysel olarak bulmaya çalışabiliriz. Buradan bazı parametreler bulup, bazı değerleri belirleyebiriz. Bu değer mesela, Bmax’a karşılık gelir. Bu oluşan en yüksek B derişimidir… bunu nasıl çözeriz? Bunun için dB/dt değerini sıfır aldıktan sonra çözersek maksiumum zamanı, maksimum derişim ve hız sabitleri cinsinden buluruz. Peki, burada hız sabitlerini nasıl belirleniz? Evet söyleyin bakalım.
43.16. öğrenci: burada bir çakışma noktası var acaba oradan mı?
Hayır, bu çizim sonucu olan bir tesadüftür. Şuralarda bir yerlerde olmalı tabii.
43.38.
Bu değer tamamen hızlara bağlıdır. Bu maksimum duruma bağlı olarak, burada veya şurada da meydana gelebilir. Aşağıda bir yerde de olabilir. Evet, bu en net duruma karşılık gelmektedir.
43.57.
Pekâlâ, sınır durumların önemine bakalım. Biraz önce k1 in k2 den farklı olduğunu farz etmiştik. Evet inceleyeceğiniz durum bu olur. Bunun doğru olup olmadığını belirlememiz lazım. Bu tam çözümden daha basit bir çözüm olacaktır. Sınır durumlarından bir tanesi de k1= k2 olmasıdır. Bunu size ev ödevi olarak veriyorum. Bunu, kendi başınıza yapabilirsiniz. Çok iyi bir alıştırma olacaktır sizin için. Peki, diğer sınır durumu nedir? Burada 2 tane daha sınır durumu daha vardır. Elinizde 2 tane hız sabiti var. Bunlardan biri, diğerinde büyük olabilir
44.44.
44.53.
1. durumdan başlayalım k1, k2 den çok büyük olsun. Bu, neyi ifade ediyor? Bunun anlamı, hız belirleyen veya sınırlayıcı basamağın 2. Basamak olduğudur. k2 , k1 ile karşılaştırıldığından çok yavaş… Bazen bunları bir boru olarak düşünüyorum. Birbirlerine bağlı kaplar olarak… üsteki kaptaki, madde miktarı A olsun, ortadaki… bir dakika…uygun tebeşir alalım tutarlı olmak açısından…Üsteki kaptaki, madde miktarı A olsun, ortadaki kaptaki madde miktarı B olsun. En alttaki madde miktarı da C olsun. İşe ilk kaptaki belli bir miktar A maddesi ile başlıyoruz.ortamda epey A vardır. Bu kaplar birbirilerine borularla bağlı. A ile B arasında çok kalın bir boru var . Çünkü Anın B ye dönüşme hızı çok yüksek, ancak B’den C ye dönüşme hızı da çok yavaş. . dolayısıyla buradaki boru çok ince. Yani B ile C yi arasında çok dar bir boru var . Evet, işlemi başlatırsam hemen bu kalın borudan dolayı A nın hepsi B ye gider. Ancak sistem burada sıkışır ve B den C ye damla damla dönüşür. Buradan ne bekleriz? Bu değerleri zamanın fonksiyonu olarak düşünürsek, beklediğimiz şey, burada matematiğin de doğru çıkması … A büyük bir hızla azalacaktır. Böyle “puff” diye aşağıya doğru inecektir. Zamana göre 1.derece, son derece yüksek bir hıza sahip. Ve tüm hepsi direkt olarak B ye dönüşecektir. B nin de doğrusal olarak, hatırlarsanız B doğrusal değişiyordu, hemen hemen A0 değerine dönüşmesi beklenir. Maksimum değerine ulaştıktan sonra, bu çok ince borudan geçerek C ye dönüşecek. Ve bir k2 hızı ile üstel olarak yavaş yavaş azalacak. En son olarak C, karesel olarak değişecek her şey B ye dönüştükten sonra, artık A nın bir önemi yok. Yapılan işlem B nin C ye dönüşmesi. Bu ince boru yoluyla… Bunun 1. derece bir hız olduğunu biliyoruz. 1.derece bir işlem. B nin C ye dönüşmesi k2 hız sabiti ile olan bir işlem. Dolayısıyla C nin, bu şekilde A0 değerine yükselmesini bekleriz. Bunun hız sabiti k2 dir tabii ki. B nin hızı da k2 olup, A’nınki de k1 dir.. bu yaklaşımı yaptığımız zaman B nin zamana göre değişiminin, 1. derece k2 ile cereyan eden bir işleme benzemesi gerekir. C de aynı şekilde k2 ile cereyan eden ve A0 değerine kadar çıkan 1. derece bir değişim vermelidir. Dolayısıyla, C yaklaşık olarak A0 a’ eşit çıkacaktır . Başka bir seçim yoktur. Tüm A, B ye dönüşmektir. Dolayısıyla sonsuz zamanda C nin değeri A0 olacağından C= A0(1-e-k2t) dir. Görüldüğü gibi, herhangi bir matematik yapmadan bu işi hallettik. Bunun doğru cevap olduğunu biliyoruz. Eğer bana inanmıyorsanız matematiğini yapın.Bunu yapmak zorundasınız zaten. Dolayısıyla bunun doğru cevap olması gerek. Eğer B ye bakarsak, B yaklaşık olarak, B k2 hızı ile yok olmaktadır. Dolayısıyla B=A.e-k2t dur. Buradaki maksimum A0 ‘a çok yakındır. Bu nedenle A değerinin altına olmalıyız. İşte bu. Eğer A nın aniden B ye dönüştüğü ilk anı ihmal edersek, ilk andan sonraki her şey, B nin C ye dönüşmesi ile ilgilidir. Tabii buradaki t değeri 0 olmaz. A son derece hızlı bir şekilde 0 olduğundan, A= A0.e-k1t olur. Bu son derece basit bir yaklaşımdır. Yaptığınız hesaplar da buna uygun çıkmalıdır .
2. Sınır durumu ise, ki bunu da ödev olarak bırakıyorum bu son derece basit bir durum, k1 in k2den çok çok büyük olmasıdır. Burada önce olayı tahmin edip, daha sonra matematiksel olarak çözmeniz gerekir.
Pekala herhangi bir sorunuz var mı? Gelecek dersimizde tersinir tepkimeleri inceleyeceğiz. Daha fazla yaklaştırma yapacağız.