Videonun mp4 versiyonunu indirmek için tıklayınız...
Takip eden içerik özel bir lisans altında sağlanmaktadır.Sizin desteğiniz MIT’nin yüksek kalitede eğitim malzemesi sağlamaya devam etmesini sağlayacaktır. Bir bağışta bulunmak veya MIT’nin yüzlerce açık kurs materyalini görmek için http://ocw.mit.edu sitesini ziyaret ediniz
26.DERS
0.21 son günlerde istatistik mekanikle termodinamiğin mikroskobik boyutuna baktık..geçen gün kanonik bölüşüm fonksiyonlarını tanıtmış ve bunlar bir kere bilinirse hemen hemen her şeyi hesaplayabildiğimizi görmüştük ..ancak buna başlamadan evvel elinizdeki ders notlarında iki tane basım hatasını düzeltmek istiyorum..bunlar nihai sonuca pek etki etmiyorlar çünkü birbirini götürüyorlar ..bunlar web’de de düzeltildi..sayfanın sonunda çünkü bunları bugün çok kullanacağız.. sayfanın altında A=U-TS =U burası + olacak ..bunun devamında nokta nokta nokta nokta = bu da – olmalı bu işaretler sonuca pek etki etmiyor çünkü bu terimler birbirini götürüyor ..
1.54 pekala
1.57 geçen hafta kanonikal bölüşüm fonksiyonunu kullanmak suretiyle nasıl enerjiye geçtiğimizi görmüş ve U=kT2 (¶DlnQ/¶T)V,N şeklinde bir formül türetmiştik.. buna bakınca en önemli değişkenlerin V , tanecik sayısı N ve T olduğu görülmekte.. biz zaten her termodinamik değerin bu doğal değişkenlere sahip olduğunu biliyoruz ..Gibbs serbest enerjisi için bunlar sıcaklık ve basınçtı.. tabi tanecik sayısı, sıcaklık ve hacım için bu Helmhotz serbest enerjisi.. dolayısıyla bu doğal değişkenlere veya sınırlamalara bağlı olan termodinamik değer Helmhotz serbest enerjisi A’dır..dolayısıyla Helmhotz serbest enerjisinin kanonik bölüşüm fonksiyonları cinsinden yazılması büyük önem kazanır.. çünkü onunda aynı set doğal değişkenleri var..geçen hafta yaptığımı iş buydu ..bu hafta da buna devam edeceğiz.. basım hataları da burada idi ..
3.29 şimdi de Helmhotz serbest enerjisinin U enerjisi cinsinde olan değeri hakkında neler bildiğimize bakalım … yukarda yazdığımı gibi A=U-TS bu Helmhotz serbest enerjisinin tanımı ..ve ayrıca olduğunu biliyoruz..burdan S’i Helmhotz serbest enerjisi cinsinden bulabiliriz.. bu değer kısaca olur .. bunu bu esas denklemde yerine koyarsak = U – T burada eksi işaret var dolayısıyla bu + oluyor ..yapılan hatalardan biri de buydu .. T …
4.29 pekala elimizde U ile bölüşüm fonksiyonu arasında ilişki kuran bir denklem var ..dolayısıyla A ve bölüşüm fonksiyonunu ihtiva eden bir denklem istiyoruz.. bu ifadeyi azıcık düzenlersek U= A - olur..kendimize şöyle bir soru soralım A’nın buna benzeyen bir fonksiyonu varmı ? ben cevabı biliyorum ve sizle paylaşacağım .... A’nın A- bişey çarpı bir türevsel ifade gibi bir fonksiyonu varsa bunun için gibi bir ifade kullanmalıyız..bunu yaparsak - olur .. bu sonuca bakınca A T ’ye bölünüyor ve burada da T var sadece işaret farklı .. dolayısıyla bu tarafı –T2 ile bu tarafı da –T2 ile çarparsak buradaki bu ifadeyi elde ederiz.. bu da bize U=- değerini verir ..bu ifade bu iki enerjiyi birbirine bağlar ve yukarda da kanonik bölüşüm fonksiyonuna bağlı bir ifade vardı
6.41..bu ifadelerden - = U ve değeride idi..dolayısıyla bunu yerine koyarsak T2 değerleri birbirini götürür her iki tarafta da dT var . o zaman bunun integralini alalım ..
7.32 bunun sonucunda + bir integral sabiti..ancak bu sabiti istediğimiz gibi alabiliriz.. bildiğini gibi enerji bir referans noktasına göre bağıl olarak alınıyordu.. dolayısıyla bunu sıfır almakta hiçbir sakınca yok ..dolayısıyla A=kTlnQ … bu son derece net bir sonuç.. atomlar hakkında bildiğimiz tüm mikroskobik hususlar enerji, kuantum mekaniği vs burada gösteriliyor ..yani tüm mikroskobik bilgi burada ..buda termodinamik değişken ve sadece maddenin mikroskobik haline bağlı..görüldüğü gibi hacım , basınç hiç önemli değil..herhangi bir türev olmaksın direkt bir eşitlik..mikroskobik ve makroskobik..bu gerçekten olağanüstü..
8.42 Elinizde A varsa her şey var demektir..aynen sabit basınç ve sıcaklıktan bahsederken elimizde G’nin olması durumunda her şeyin olması gibi .. burada da aynı şey …burada A var U var dolayısıyla her şey var ..burdan her termodinamik değişkeni hesap edebiliriz ..örneğin entropiyi bulmak istiyorsak S=-A/T-U/T.. bunu nereden mi buldum ?..A=U-TS idi buradan S’i A ve U cinsinden buldum..A ve U için kanonik bölüşüm fonksiyonları cinsinden ifadelerimiz var ..bunları burada yerine koyarsak S =klnQ + şeklinde bulunur ..burada basıncıda bulabiliriz .. basınç A’nın V’ye göre türevidir .. dolayısıyla bunun V’ye göre türevini alırsak basıncı buluruz..eğer kimyasal potansiyeli istiyorsanız kimyasal potansiyel buradaki temel denklemde A’nin tanecik sayısına göre türevidir.. dolayısıyla bunun tanecik sayısına göre türevi bize kanonik fonksiyon cinsinden kimyasal potansiyeli verir ..gerçek bir bölüşüm fonksiyonumuz varsa
10.10 herşeyimiz var A var, U var, S var , G var, P var , H var hangi değişkeni istiyorsanız elinizde .. eğer ısı kapasitesini istiyorsanız onu da bölüşüm fonksiyonu cinsinden bulmak mümkün .. herhangi bir soru varmı?
10.29 pekala .. devam edelim ..gelin entropiye bu mikroskopik teori açısından biraz daha yakından bakalım ..dolayısıyla ifadesiyle başlayalım ve bakalım nereye kadar gideceğiz..
10.59 önce A ve U’yu bildiğimiz değerler cinsinden yazalım .. şimdi sonuna kadar gidelim sonra matematiksel olarak yaptığımız işleri açıklayacağız..ancak bu işleri yapınca elde edeceğimiz ifade son derece kullanışlı olan S=-k ifadesi..pi değeri mikrohal olasılığı.. halin belli bir değerde olma olasılığı… buyurun… evet..evet haklısınız U-A teşekkürler .. notlarda öyle herhalde ..düzeltelim …şimdi bu mikro hallerin olasılığına göre denklemler çıkaracağız..hatırlarsanız S in düzen veya düzensizlik kavramalarıyla nasıl ilişkili olduğundan bahsetmiştik … burada da mikro hal miktarı düzensizlikle ilişkili ..örneğin her şeyin tam yerinde olduğu saf ve mükemmel kristallerde sıfır kelvindeki mikro hal miktarı 1 di.. dolayısıyla o mikro halde bulunma olasılığı 1 olup diğer tüm mikro hallerde bulunma olasılığı sıfırdır..dolayısıyla burada ki bu ifade önemli..bunu türetelim o zaman..
12.34 burada bu terim bir şekilde ifadeden çıkmalı..bunun denklemden düşmesi gerekiyor .. hatırlarsanız şeklinde idi..13.05
13.08 bir şekilde bu ortaya çıkmalı.. bu terimi ortaya çıkmalı..şimdi bunları ortaya çıkarmaya çalışalım ..biz U ‘nun ortalama enerji olduğunu biliyoruz.. yani..1/kT’yi dışarı alalım..bunu k ile bölelim bunu da burada kT olacak..burada k’nin çıkmasını istiyoruz işte k burada ..aradığımız değer .. burada U yani ortalama enerji olur yani enerjinin olasılıkla çarpımının bölüşüm fonksiyonuna bölümü + lnQ .. A/kT sadece lnQ…dolayısıyla bu terimi dışarı aldık..
14.17 şimdi . bu toplam.. tabi bu i ye göre .. bu toplam tamamen dışarı çıksın ..bunu yapmak için bir yol bulacağız…bunu buradan bulabilirim.. bu toplam alınabilir..belki bunu 1 ile çarpmalıyım veya bir yere garip bir 1 koymalıyım..burada bir ln li terim çıkar… iki tane logaritmik terim olur .. onları birleştirebilirim .. bir oran elde edebilirim …gelin bu Ei’yı garip bir şekilde yazalım .. bunu farklı bir şekilde yazdım ..burada ’nin logaritmasını alırsam çıkar ..buradaki kT’ler birbirini götürür..geride kalır…burada yazdığım şey gayet açık..şimdi bu ifadeyi alıp bu denklemde yerine koyacağız.. buradan S/k=-burada kTler götürdü dolayısıyla sonra Ei yani ln bunlar bir parantez içinde tabi ..+ lnQ..16.09
16.15 pekala ..elimde artık çok kullanışlı bir şey var terimi şurada tanımladığımız pi terimine çok benziyor…ki dışarlamaya çalıştığım terim de bu işte..buradan pi’lar çıksın..bunun elimizde olması çok iyi.. buradan bir pi daha gelecek ki bu harika ..bunun da toplamını alarak her şeyi birleştirebilirim..yine alışık olmadığımız şekilde 1’i yazalım. …1= tüm olasılıkların toplamı..bu zaten açık..buradaki pi değerini buna benzer bir şekilde yazalım… .. ki bu 1.. tüm olasılıkların toplamı 1’e eşit ..buradaki 1’ i alıp buraya koyalım..lnQ için i’nin önemi yok o sadece bir sayı..bu şekilde denklemi şeklini alır …
18.00 harika.. şimdi bu toplamları alacağız.. bunlar Eilerin toplamı.. bu harika .. buradaki bu terimi her iki tarafta da mevcut ..dolayısıyla bunu çarpan olarak alabiliriz..sonra bu iki ln var .. bunun ln’i ve şunun ln’i
18.19 bunları da bir araya toplayabiliriz .. bunun ln’nini alıyoruz dışarıda bir – işaret var ..bunu alırsak bunun logaritmasından şunun logaritmasının çıkarılması olur ..bu da bir bölüm olarak gelir ..
18.36 buradan dolayısıyla bunlar gidiyor logaritmik terimi aldığımızda ln burada - burada da + işaret var…dolayısıyla bunu Q’ye bölüyoruz ..bu harika bakın burada da burada da var .. peki bu ne.. bu Pi.. bu Pi buda mikro hal olasılığı olan Pi..
19.31 bu da = olur..bu k’yi de göz önüne alırsak bulunur .. bir başka harika sonuç..
19.59 eğer sistemimiz yalıtılmış ise .. yalıtılmış bir sistemde .. sınırlardan bir enerji giriş çıkışı yok ..bir tanecik giriş çıkışı yok ..her bir mikro hal aynı enerjiye sahip..bu durumda değişecek olan yegane şey taneciklerin yerleri..veya onların titreşim enerjileri .. sadece ötelenmeye bakalım sadece yerler değişsin ..enerjide bir değişiklik olmayacak ..yani yalıtılmış bir sistemde enerjinizin dejenereliği mümkün olan yol sayısı olup taneciklerin yerleri ayırt edilemeyecek şekilde kolaylıkla değiştirebilir ..toplam olasılık 1 üzeri yapabildiğiniz değişiklik sayısı olur ..dolayısıyla yalıtılmış sistem için tüm mikro haller aynı enerjiye sahip.. buna referans noktası olarak sıfır diyebiliriz.. ve herhangi bir mikro hal için olan olasılıkta bir bölü yapabileceğiniz düzenleme sayısı olur..dolayısıyla herhangi bir mikro halin olasılığı 1/mikro hal sayısıdır ..bunların enerjileri aynı ..
22.00 bu dejenereliktir ..bunu şurada yerine koyarsak .. bu bir sayıdır ..1/omeganın toplamı omega x omegadır ..ln 1/w=-lnw …= - işaretler gider ve klnW olur ..dolayısıyla S=kln W .. bir başka çok önemli sonuç.
23.06. muhtemelen bunu daha önce gördünüz.. buna Boltzman denklemi denir ve bu son derece önemli bir mihenk taşıdır.
Bu Boltzman bir Almandı değil mi?Avusturyalı tamam teşekkür ederim.Neyse dünyanın öbür tarafından Avusturyaya gidip de mezarına bakarsanız üzerindeki omega işaretini görürsünüz...bir sanatoryumun bahçesine gömülü.
23.34
Bu görüntü..buyrun bir sorunuz mu var? Öğrenci soruyor: Buradaki büyük omegayı nasıl çıkardınız?..
Buradaki omegayı mı? burada tüm hallerin toplamını birden omegaya kadar aldık. Dolayısıyla 1/w+1/w+1/w w kez ln1/w ise bir sayı olup dışarı alınır.gerideki toplam w x 1/w olur…başka soru var mı?
Bu yüzden entropiyi…. mevcut olan hallerin sayısını … sayısını veren temel bir özellik olarak kabul edilir. İşte bu kadar basit..bu değişkenle olan bir ilişki var ki bu değişken termodinamikten bahsettiğimizde anlaması zor bir parametre olup, bu şekilde taneciklerin enerjisinin dağılımına dayanarak çok daha rahat anlaşılabilir.
25.00
Evet, bir sorunuz var mı?..
25.05
güzel bundan sonra .. serbestlik derecesi çok yüksek olan sistemlerdeki bölüşüm fonksiyonları üzerinde biraz daha duracağız ki bunların hepsinin farklı enerji şekilleri var. .Ötelenme, dönme ve titreşim gibi. Bu her serbestlik derecesi için bir bölüşüm fonksiyonu yazılabilir ve her serbestlik derecesinin enerjisi birbirine eklenince, bölüşüm fonksiyonları da birbiri ile çarpılır. Bunlara alt sistem bölüşüm fonksiyonları adı verilir.
25.50
Ötelenme bölüşüm fonksiyonu Qötelenme qötelenme’nin n‘inci kuvveti olup buda moleküler bölüşüm fonksiyonunu gösterir . Tabi ayırt edilebilir tanecikleriniz varsa. Bunu N! Bölmemiz gerekir. Burada tabii taneciklerin yerlerini bir fark yaratmadan değiştirebiliyorsanız. Bu N tane taneciğin birbiri ile yerlerini değiştirebilme sayısıdır. Dolayısıyla burada tanecikleri ayırt edilemez.
26.39
Diyelim ki…sistemin enerjisi..burada..buyurun.
Öğrenci soruyor: buraya nasıl gelindiği hakkında bir sorun var yalıtılmış sistemlerde her molekülün aynı enerjiye sahip olduğunu söylediniz bölüşüm fonksiyonlarını nasıl etkiliyor? Örneğin ötelenme bölüşüm fonksiyonu dönme bölüşüm fonksiyonunu
Pek anlamadım? Önce bir notlara bakayım notlar ne diyor bu hususta
27.25
27.45
O cümle buradaki şu terimle ilgili o denilen şey şu.. çok sayıda tanecik varsa ortalama bir enerji vardır ve bu ortalama enerjideki sapmalar çok küçüktür. Dolayısıyla sistem yalıtılmış gibi davranır. Eğer yalıtılmamış bir sisteminiz varsa, enerji sisteme girip çıkabilir. Bu enerji giriş çıkışları sırasında enerjide büyük değişimler görülebilir. Eğer sisteminizde sayılabilir sayıda molekülünüz varda ve moleküllerden biri birden bire çok büyük bir enerji soğurursa, sistemin enerjisin büyük oranda yükselir. Ama elinizde 10-24 tane molekül varsa, herhangi bir molekülün aniden çok fazla enerji kazanması sistemin enerjisini pek fazla etkilemez.. çok sayıdaki moleküller arasında olan büyük değişimler, ortalama enerjiyi değiştirmez. Dolayısıyla bu ifadeyi halen kullanabilirsiniz. Bu ifade bunun için yeterlidir. Öğrenci soruyor: peki bu enerjinin değişmemesi için sistem ne kadar büyük olmalıdır?
Eğer elinizde çok az sayıda molekül varsa bu geçerli değil, ancak elinizde 1024 tane molekül varsa bu geçerlidir. Dolayısıyla bu ifadenin geçerli olduğu büyüklük bu ikisinin arasında bir yerde ancak nerede olduğunu bilmiyorum. Eğer elinizde termodinamik bir sistem varsa, bu genellikle yeter derecede bir büyüklüktür. Termodinamiğin temeli de zaten buna dayanır, tanecik sayısına aldırmaz, sistem yeter derecede büyüktür.
29.23
Güzel çok iyi bir soruydu
29.26
Pekala şimdi buradaki mikro hal enerjisini alalım..mikro hal enerjisi, tüm moleküler enerjilerin ei ‘nin toplamıydı..bu enerjilerin her birini bir alt indekste gösterebiliriz..buna göre, bir kuantum sayısına göre toplam x bir başka kuantum sayısına göre toplam tüm moleküller için; En1+En2+En3..yani birinci molekülün enerjisi + 2. molekülün enerjisi şeklinde olur. Buradaki n sayısı, ilgili enerji halini gösterir. Ve tüm bu enerjilerin toplamı size mikro hal enerjisini verir. Enerjiyi bu şekilde yazamıyorsanız yukarıdaki bu şekilde de yazamazsınız.
30.55
Bunun anlamı taneciklerin temel olarak birbiri ile etkileşmedikleridir. bunlar.. Birbirinden bağımsızdır. Şimdi Q ‘yu yazalım.. mikro hallerin Q değeri tüm mikro hallerin toplamı halinde olarak yazılabilir . Buradaki Ei yerine tüm bu moleküler enerjilerin toplamını koyarsak, mikro hallerin toplamı tüm kuantum seviyelerini çarpımı olur bu birinci molekülün gidebileceği tüm olası halleri, bu da ikinci molekülün gidebileceği tüm olası halleri göstermektedir. Burada toplam Ei değeri moleküler enerjiler cinsinden yazarsak bu olur. Enerjiyi bileşenlerin enerjilerini toplamı cinsinden yazabildiğiniz müddetçe bu son derece hassas bir ifadedir.
32.27
Pekâlâ. Bu yazdığımız en son terimde sadece bu toplam ile ilgilidir, . sadece bu toplam ile ilgilidir ve üçüncü molekül de sadece kendisi ile ilgili olan kuantum sayıları ile ilgilenir. Dolayısıyla bu toplamları faktöriyel cinsinden yazabiliriz…………
32.47 Buna göre bulunur .
Bunlardan her biri temel olarak moleküler bölüşüm fonksiyonudur. bunlar o molekül için olan olası enerjilerdir .Dolayısıyla, toplamı o molekül için olan bölüşüm fonksiyonudur ..dolayısıyla elimizde molekül 1 için q, molekül 2 için q var..bunların hepsi aynı.. Bunlardan n tane var. dolayısıyla bu değer qN olur. Bu şekilde sistemin bölüşüm fonksiyonunun moleküler bölüşüm fonksiyonun N’inci fonksiyonu olduğunu da ispat etmiş olduk…
Bunu bu şekilde yazabilmemizin sebebi de, toplam enerjiyi yukarıda gösterildiği gibi moleküler enerjilere ayırabilmemiz. Burada moleküller birbiri ile etkileşmemektedir. Yani birbirinden bağımsızdır. Tabii, ötelenme pozisyonlarının çifte sayımı önlemek için bu ifade N! ‘e bölünmelidir… Çünkü burada tanecikler ayırt edilemez.
34.21.
Pekâlâ, şimdi elimizde... ama önce enerji eklendikçe bölüşüm fonksiyonlarının çarpılması kavramının sadece moleküler bölüşüm fonksiyonlarından sistemin bölüşüm fonksiyonlarına gidilmesi ile sınırlı olmadığını anlamalıyız...burada moleküler bölüşüm fonksiyonlarına da alabiliriz. herneyse toplam moleküler enerji seviyesi farklı serbestlik derecelerinin enerjisi cinsinden de yazılabilir...örneğin moleküler enerji seviyesi , ötelenme enerjisi+dönme enerjisi+titreşim enerjisi+magnetik alan enerjisi+elektrik alan enerjisi+ ekleyeceğimiz çok daha fazla enerji çeşidi var, cinsinden yazılabilir…dolayısıyla buradaki moleküler bölüşüm fonksiyonları da, alt bölüşüm fonksiyonlarının çarpımına eşit olur…bunu biraz daha açalım..
35.40
Kısaca moleküler enerjimiz olan e ötelenme enerjisi+titreşim enerjisi+dönem enerjisi+ aklınıza gelen ve birbirinden bağımsız olan tüm bu ufak enerjilerin toplamı olur
Yukarıda yaptığımız tartışmaya benzer şekilde Q moleküler bölüşüm fonksiyonlarının çarpımı olduğuna göre,moleküler bölüşüm fonksiyonu q de ötelenme bölüşüm fonksiyonu x titreşim bölüşüm fonkiyonu x vs şeklinde alt bölüşüm fonksiyonları çarpımıdır..tabi enerjiler eklenebiliyorsa..
36.36.
Eğer polimer, protein ya da DNA gibi maddelerin çözeltilerine bakıyorsak, veya bir polimer veya biyopolimer için olan konfigürasyonunu inceliyorsak, bu polimerin çözeltideki enerjisi yaklaşık olarak konfigürasyon enerjisi …örneğin proteinin bükülmesi gibi.. + olası olan her şeyin enerjisidir. Eğer konfigürasyon enerjisi bu polimerin tüm bağlarının titreşim enerjisinden ve çözelti moleküllerinin birbiri ile olan etkileşim enerjisinden ayrılabiliyorsa bu durumda genel olarak bu yaklaşımı yapmamızda bir sakınca yoktur. bunun sonucunda bu polimer için olan bölüşüm fonksiyonu yaklaşık olarak ,konfigürasyon bölüşüm fonksiyonu x geri kalan her şeyin bölüşüm fonksiyonudur…ve bu ikinci kısım bir çarpan olarak dışarı alınır ve bunu kaale almamız gerekmez. Konfiguasyon bölüşüm fonksiyonu sistemde cereyan eden değişimler hakkındaki tüm bilgiyi içerir. Gibbs serbest enerjisindeki değişim,kimyasal potansiyeldeki değişim vs. hep bu bölüşüm fonksiyonuna bağlıdır…bu alt sistemde bu ikisini birbirinden ayırabildiğimizden dolayı bu ikinci kısım işe yaramadığından dolayı atılır. Önemli olan yegane şey, konfigurasyon bölüşüm fonksiyonudur .
38.31
Şimdi kısa bir örnek yapalım.
38.56
Elimizde çok çok kısa bir polimer var iki tane konfigurasyonu olsun…üç tane monomerden oluşmuş. Bunun iki tane konfigürasyonu mümkün. Bu iki konfigürasyonun enerjisi nedir? Konfigürasyonu için olan bölüşüm fonksiyonu= o enerji seviyesi için +… olarak veriliyordu…bu da + + vs. şeklindeydi…bunların hepsinin enerjisi aynıydı.burada iki tane konfigürasyon olduğuna göre dejenerelik=2 dolayısıyla bu ifadeyi konfigürasyon derecesi x konfigürasyon enerjisi şeklinde yazabiliriz…burada enerji için olan referans noktasını sıfır almamızın bir sakıncası yok. 0 çok kullanışlı bir sayıdır. E-0=1 dolayısıyla konfigürasyon bölüşüm fonksiyonu direkt olarak dejenereliğe eşit... Bu da buradaki durum için 2 olur..
40.22
Şimdide buradaki moleküllerin ideal gaz halindeki durumları için moleküler ve kanonik bölüşüm fonksiyonlarını hesaplayalım.
Burada kılavuz olarak örgü modelini kullanmak oldukça faydalıdır. Bu modelde mevcut hacim ufak bölümlere ayrılır. Burada iki boyutta gösteriyoruz ama gerçekte 3 boyutludur… daha sonra elimizdeki moleküller örgü bölgelerine bu şekilde yerleştirilir . Ve daha sonra da bu molekülleri bu örgü bölgesine kaç şekilde yerleştirebileceğimiz hesap edilir. Elimizde gaz fazında n tane molekül olsun. Bir örgü bölgesinin hacmi veya moleküler hacim v olsun ve n x v toplam hacim olsun. bir dakika… affedersiniz, burada toplam hacim bu örgü bölgelerinin hacimlerinin toplamı buna da V diyoruz, Vtoplam hacim, daha sonra burada tüm moleküllerin aynı ötelenme enerjisine sahip olduğunu varsayıyoruz…bu son derece mantıklı bir yaklaşım...ve bu enerjiler sıfıra yakın olsun burada yerleştirilmiş olan tüm moleküller aynı Eötelenme enerjisine sahip olsun ve buda sıfır olsun. Bu da moleküler bölüşüm fonksiyonu eşit … Burada tek bir enerji var o da sıfır. Dolayısıyla kaale almamız gereken yegane şey, moleküllerin dejenerasyonu. Molekül burada da olabilir şurada da olabilir herhangi bir yerde olabilir. Kısaca bu moleküllerin girebileceği bölge sayısı mevcut olan tüm bölgelerin sayısıdır. Bu da toplam hacmin moleküler hacme bölümüdür. Dolayısıyla qötelenme =V/v’dir.
43.16
Yani toplam hacim örgü hücresi sayısı x bu hücrelerin hacmidir. Toplam hacmin moleküler hacme bölümü de bize toplam örgü hücresi sayısını verir. Bir molekülü yerleştirebileceğimiz yer sayısı toplam örgü hücresi sayısına .. bu da dejenerasyona eşittir.
43.45
Şimdide toplam moleküler bölüşüm fonksiyonuna bakarsak, bu konfigürasyon bölüşüm fonksiyonu ile ötelenme bölüşüm fonksiyonunun çarpımıdır. Ve her örgü hücresinde molekül her iki konfigürasyonda da bulunabilir.
44.00
44.18
Burada q=qötelenme olduğundan titreşim, dönme vs ‘yi ihmal edeceğiz ve elimizde sadece iki tane serbestlik derecesi olduğunu farz edeceğiz.. biri ötelenme ki molekülün yeri ile ilgili biri de konfigurasyon ki molekülün yapısına bağlı..dolayısıyla bu V/v ki bu da molekülün dejenerasyonu..molekülü bu örgü yapısına yerleştirmedeki dejenerasyon..konfigurasyonda molekülün bükülmesinden kaynaklanan dejenerasyon . buyurun ..
44.53 öğrenci kız büyük harfler küçük değerleri gösteriyordu notlarda da öyle ..bu notlar yanlış..
45.05 notlar hatalımı .. genellikle büyük V büyüğü küçük v ise ufağı gösterir ..notlarda bunun tersi ise bunu düzeltmemiz gerekir..ehmmm.. bu ders 25 dimi..dolayısıyla elimizde q.. hayır doğru toplam hacım büyük V moleküler hacım küçük v …
45.32 notlarda neresi yanlış?..şurada bir yerde ..aman tanrım benim notlarım seninkinden farklı..benim notlarım doğru..dolayısıyla bir sorun yok çünkü bu en son baskı …olur böyle vakalar..
46.10 pekala bu sizin moleküler bölüşüm fonksiyonunuz ..sistemin bölüşüm fonksiyonu aynı şekilde ötelenme ve konfigurasyon diye ikiye ayrılabilir..sistemin ötelenme bölüşüm fonksiyonu için yapmanız gereken şey.. tüm moleküler bölüşüm fonksiyonlarının tabi ki ötelenme olanları almak ve bunun N’ninci yani tanecik sayısı üssünü almaktır .. ancak dejenerasyon var .. fazla sayıyoruz ..dolayısıyla bunu N!’a bölmeliyiz..aynı zamanda sistemin konfigurasyon için olan bölüşüm fonksiyonuda var ..bu da qkonfigurasyon değerinin N inci kuvveti ancak burada N! değerine bölmemiz gerekmiyor çünkü burada fazladan sayma yok…fazladan sayma sadece örgüye birbirinin aynı tanecikleri koyup bunların yerlerinin değiştirilmesiyle bir fark olmaması durumunda söz konusudur ..ancak burada konfigurasyondan bahsediyoruz benzer tanecikleri farklı hücrelere koymaktan değil.,biz sadece bu iki konfigurasyona bakıyoruz ..bir sonraki taneciğin de iki konfigurasyonu var .. ..bir sonraki taneciğin de iki konfigurasyonu var..dolayısıyla bu husus gerçekten önemli olup … bu N! faktörü sadece ötelenme serbestisi olması durumunda ortaya çıkar ..başka hiçbir serbestide değil..dolayısıyla toplam sistem bölüşüm fonksiyonu (V/v)N/N!x2N şeklindedir
48.06 pekala..genel olarak bu analizi titreşim, dönme ,magnetik alandaki enerji vs gibi hususlara da uygulayabilirsiniz ..bir sorunuz varmı?
48.25 pekala bundan sonraki şey artık bu öğrendiklerinizi alarak daha önce hiç yapmadığınız hesaplamaları yapmaya başlamak..örneğin ideal bir gazın genleşmesini alırsak artık entropi değişimini hesaplayabilmelisiniz ancak termodinamik olarak değil istatistik mekaniğe ve şimdi anlattığımız mikroskobik tanıma dayalı olarak..şimdi yapılacak şeyde bu ..bunu yapınca da aynı sonucu elde edeceksiniz..aksi taktirde sıkıntı var demektir.. sadece problemi yazacağım .. çünkü yapmak için zamanımız yok ..bunu gelecek hafta çözersiniz Keith gelince ..problem çok gördüğümüz bir şey .. bir kap var ortadan ayrılmış bir tarafı V1 hacmındaki gaz diğer tarafı vakum.. bu gaz toplam hacım V2 ‘ye genleşince ..entropi değişimi nedir? Termodinamikten bildiğimize göre bu şeklindedir ..ama mikroskobik bir cevabı olmalı .. bu sefer bu cevabı istatistik termodinamik kullanarak bulacağız ..burada yaptığımız şey bir başlangıç halinden başlamak ..moleküler hacma v toplam hacma V dersek .. tüm moleküllerin aynı ötelenme enerjisine sahip olduğunu farz edersek ve bunu sıfıra ayarlarsak sistemin ötelenme enerjisi sıfır olur ..bu taraftaki entropi molekülleri örgü yapısına kaç şekilde yerleştirebileceğimizin sayısı ..buradaki hacmın ufak hücrelere ayrıldığını düşünüyoruz ..dolayısıyla S=klnW. Omega molekülleri örgüye kaç şekilde yerleştirebileceğimizin sayısı ..buda esas olarak klnV/v olur..ki bu da örgüdeki bölümlerinin sayısıdır ..gelecek hafta buradan başlayarak karışmadan önceki ve karışmadan sonraki değerleri hesaplayacaksınız ..