Videonun mp4 versiyonunu indirmek için tıklayınız...
Takip eden içerik özel bir lisans altında sağlanmaktadır.Sizin desteğiniz MIT’nin yüksek kalitede eğitim malzemesi sağlamaya devam etmesini sağlayacaktır. Bir bağışta bulunmak veya MIT’nin yüzlerce açık kurs materyalini görmek için http://ocw.mit.edu sitesini ziyaret ediniz
25.DERS
0.21 geçen hafta yeni bir konuyu tartışmaya başlamıştık .. bu istatistik mekanikti..şimdi dönemin büyük bölümünde türetmeye ve kullanmaya çalıştığımız termodinamiğe geri dönerek mikroskobik bir yaklaşım uygulayacağız ... burada termodinamiği maddenin mikroskobik modeline dayanan ve işe mevcut olduğunu bildiğimiz atomlar ve moleküllerle başlayan bu mikroskobik görüş açısından formüle etmeye çalışacağız… tarihsel olarak makroskopik gözlemlere dayanarak tamamen deneysel bir şekilde çıkarılan bizim şu ana kadar anlattığımız termodinamikten farklı bu... hatırlarsanız önce farklı enerji seviyelerinin işgal edilme olasılıklarına bakmış ve atom ve moleküllerin farklı enerji seviyelerindeki dağılımlarını gösteren basit bir yol olduğunu bulmuştuk ..pek net olarak belirtmesem de elimde bir seri molekül ve bunların bulunabileceği eşit enerjili haller olduğunda bunların bu hallerden birinde olma olasılıkları aynı olduğunu görmüştük …yani bu hallerin enerjileri aynı ise bu hallerin moleküller tarafından işgal edilme olasılıkları da aynı oluyordu ..kısaca moleküllerin bu hallerde dağılma olasılıkları aynı idi..buna göre Boltzman olasılık dağılımını çıkarmıştık ..
1.53 dolayısıyla .. yazıyla Boltzman olasılık dağılımı ….buna göre moleküler i hal’nin işgal edilme olasılığı ile orantılı idi..burada ei bu moleküler halin enerjisi idi … dışarıdaki hallerden birinin de işgal edilmesi olasılığını da düşünürsek .. bu olasılıkların toplamının 1’e eşit olduğunu biliyoruz ..dolayısıyla toplamın bire eşit olması şart ..başka bir deyişle .. buna göre bu sadece orantı şeklinde değil şeklinde de yazılabilir … artık belli hallerin işgal edilme olasılığını biliyoruz ve bunun anlamı ---diyelimki elimizde bir seri enerji olsun ve bunlar kT’den epey küçük olsun.. kT yani Boltzman sabiti x sıcaklık enerji birimine sahiptir ..dolayısıyla sistem epey sıcak belki oda sıcaklığında belki daha da sıcak ..dolayısıyla enerji kT’den küçük olduğundan erişelibilecek çok sayıda hal var .. bunun anlamı buraya kT’den daha düşük olan çok sayıda ei değeri alabileceğimiz ve olasılığın ne kadar büyük olduğuna bakabileceğimiz..şimdi de enerjiyi düşürelim ..soğuk sıcaklıklara gidelim..bu durumda kT epey küçük bir değer alır .. dolayısıyla ei kT’den çok büyük olursa bu terim çok küçük bir sayı olur ..aniden erişilecek hal sayısında büyük bir düşme olur ..bu dağılımı grafiğe geçirirsek..bu çok basit azalan bir üstel eğri..Pi ki ei’nin fonksiyonu şunun gibi bir eğri verir …burada da çok sayıda hal vardır ..eğer klasik mekaniksel açıdan baksaydık bunlar sürekli haller olacaktı..ama elimizde kuantum mekaniksel bir görüntü olduğunda bunlar teker teker mevcut olup aralarında enerji boşlukları var..her iki durumda da olan şey şu ..eğer daha yüksek enerjilere gidersek bu tip hallerde bulunma olasılıkları gittikçe azalaca ..
5.33 eğer düşük enerjilere gidersek olasılık artacak ..ve bu sıcaklığa bağlı ..çünkü bu terimin büyüklüğünü ei’nin kT’ye oranı belirliyor …bu orta bir sıcaklıkta olsun .. eğer düşük sıcaklığa gidersek ..eğri şuna benzer ..burada hemen hemen hiçbir hal işgal edilmez..orta sıcaklığa sahip hallerde bile enerji değeri kT’den epey yüksek olur.. başka bir deyişle kT termal enerjinin bir ölçütüdür .. bu değer ilgili hallerin doldurulmasına yetecek kadar termal enerjinin mevcut olmadığını söyler ..ve eğri son derece dikey iner ..eğer diğer aşırı durum olan çok yüksek sıcaklılara gidersek 06.41
06.44 bu eğri çok daha yatay bir hal alıp azalması çok daha uzun sürecektir..çünkü burada kT anormal büyük olup enerji de kT değerini aşacak şekilde artar ve bu olmadan da bu üstel terim küçülmez ....dolayısıyla çok sayıdaki hal işgal edilebilir.. başka bir deyişle denge durumunda çok sayıdaki hale termal olarak erişilebilir ..sistem termal dengede ise moleküller mevcut olan termal enerji ile hareket edip kendi aralarında ve kabın çeperleriyle çarpışırlar..bunun sonucunda bir termal enerji dağılımı meydana gelir ve bu dağılım sıcaklığa bağlı olarak basık veya geniş olabilir ..işte bu Boltzman dağılımı bize bunu gösterir.. bu terim genel olarak Boltzman faktörü diye bilinir çünkü bu bize belli bir halin doldurulma miktarını verir ..
7.54 pekala..bu her molekülün halini göstermekte peki tüm sistem için durum ne ?.. burada da aynı ifadeler geçerli..başka bir deyişle bunlar tek moleküllerin enerjileri tüm sisteme baktığımda .. yazıyla sistem enerjileri ve olasılıklar ..burada da aynı dağılımın geçerli olmaması için hiçbir sebep yok ..başka bir deyişle
ki bu sistem enerjisi olur ..buradaki i indisi artık tek bir moleküler hali göstermez çünkü artık tüm sistemden bahsediyoruz bu gaz fazındaki 1 mol molekül olabilir ..eğer bu sistemin halini gösteriyorsa her moleküllün enerjisi belirlenmiş demektir.. dolayısıyla bu sistemin mikrohalidir ..her moleküler hal belirlidir ..örneğin 1 mol veya 1024 tane molekül varsa bu i onların moleküler halini gösterir ..ancak buradaki mevcut hallerin .. bir toplam enerjisi var ..dolayısıyla sistemin böyle bir halde bulunma olasılığı halen sistemin toplam enerjisi ile orantılı olacak ..10.03
10.09 bu toplamlar ….
10.28 istatistik mekanikte son derece büyük öneme sahiptir ..bunun sebebi de ki biraz sonra göreceğiz tüm makroskopik termodinamik değerlerin sadece bunu bilmekle türetilebilmesi ..yani BÖLÜŞÜM FONKSİYONLARI olarak bilinen bu toplamları..işte bu sebepten bunlar son derece önemli..bunlara bölüşüm fonksiyonları diyoruz çünkü bunların yaptığı şey moleküllerin mevcut seviyeler arasında nasıl bölündüklerini belirlemek..dolayısıyla moleküler bölüşüm fonksiyonu q ile gösterilirken sistemin bölüşüm fonksiyonu Q ile gösterilip kanonik bölüşüm fonksiyonu diye bilinir ..bunlar bu kadar önemli olduklarına göre bunların farklı sistemlerdeki bazı özelliklerine bakalım ..
12.18 ilk olarak bunların birimlerinden bahsedelim .. bunlar birimsiz ..bu bir üstel fonksiyon altta enerji birimi üste enerji birimi sonuç olarak bunlar birimsiz değerler ..bu 1 olabilir 10 olabilir her şey olabilir..1024 bile olabilir ..bunun boyutu size aşağı yukarı kaç tane halin termal olarak erişilebilir olduğunu söyler .. size verdiğim örneklere dönerseniz eğer bu terimlerin çoğu büyükse yani bu değer büyükse yani sistem çok sıcaksa birçok hal kT’den daha düşük enerjiye sahip olur veya çok sayıda ei değeri mevcut olur ve bunlar üst üste eklenir .. aynı şey bunun için de geçerli..dolayısıyla bu rakam çok büyük olabilir …eğer çok düşük sıcaklıklara gidersem bu çok düşük sıcaklıklara sadece en düşük haller dolacaktır ..diğerleri için enerji yeterli değil sadece en düşük haller uygun ..dolayısıyla en düşük enerji için bu değer 1 olur çünkü burada enerji 0’a eşit alınabilir çünkü diğer her şey kT’den büyük olur dolayısıyla bu üstel fonksiyon 1 dışındaki tüm haller için çok küçük bir değer alır ..dolayısıyla bu 1’e eşit olmalıdır ..başka bir deyişle bu fonksiyonların büyüklüğü bize sistemin molekülleri tarafından termal olarak erişilebilecek uygun hal sayısını söyler ..bunları daha iyi anlamak için iki tane özel örnek yapalım..birinci olarak en basit halle başlayalım ve mükemmel bir atomik kristal alalım ve bu 0K’de olsun..14.31
14.43 sıfır Kelvin dolayısıyla her atom veya molekül temel halde hiç aşırı termal enerji mevcut değil ..her molekül uygun yerde konuşlanmış..veya atomlar örgü yapısında ..bir başka deyimle sistem temel halde ..hepsi bu ..tabi burada istediğimiz yere sıfır koyabiliriz..buna koyarsak bu hal için bu değer 1 olur ..ve diğer her şey için sıfırdır..15.16
15.25 dolayısıyla Q değeri olduğundan bu değer şeklini alır .. hatırlarsanız kT çok küçük bir değerde dolayısıyla bu terimler de çok küçük olur ..bu sıfır Kelvin dolayısıyla bu terimlerin üstel değeri çok daha büyük sayısal değerleri çok çok küçük .. bunları ihmal edersek tüm değer yaklaşık 1 olur ..
16.09 ayrıca bir sistemin bir halde bulunma olasılığı nedir diye sorarsak bunun için bir ifademiz var..
16.22 Bu ifade şeklindedir ..burada önemli olan tek terim budur..
16.59 dolayısıyla bu yaklaşık olarak bire eşit ..bunu buraya yazdıktan sonra bu varsayımları açıklığa kavuşturalım .. bunlardan birincisi sıfır enerjiyi gelişigüzel olarak sıfıra eşitlemiştik..ancak sıfır enerjiye herhangi bir değer verebilirdik ..bu durumda her şeyin çok değişeceğini sanabilirsiniz..tabiki bu Q için elde edeceğimi mutlak değeri etkileyecektir ..fakat göreceğimiz gibi hesap edebileceğimiz hiçbir değer bundan etkilenmeyecektir ..sadece enerji ölçeğimizin sıfır enerji değeri değişecektir ..örneğin bu olasılığa bakalım burada sıfır enerjiyi nereye koyduğumuz pek önemli değil..bu terim yine bir sonraki terimden anormal derecede büyük olacaktır..tabi bir sonraki ve daha sonraki terimlerden de ..dolayısıyla bu toplamda sadece bu birinci terim önemlidir ..bu iki terim de birbirini götürür ..bu tek terimlerin 1’e eşit olup olmaması ki bunu sıfır alırsak bu olur veya bunların farklı bir sayıya eşit olmaları önemli değil çünkü en düşük haldeki olasılık değeri gene 1’e eşit olacaktır ..bu husus bizim sıfır enerji seviyesini gelişi güzel olarak nereye koyduğumuza bağlı değil ..sıfır kelvindeki hal yine temel hal olacaktır..bu husus ölçebileceğimi tüm değerler için aynıdır ..sadece ölçeğin sıfır değerinin yeri değişir onun yerini gelişigüzel değiştirirsek ..gözleyebileceğimiz ve hesaplayabileceğimiz değerler değişmeyecektir yani ölçeğin nerden başladığı önemli değildir..bir basit örnek alalım 18.44
18.48 şimdi şu örneğe bakalım ..1 mol gaz fazında ve oda sıcaklığında etrafta serbestçe dolaşan atomlar alalım ..burada yapmak istediğimiz şey bunların ötelenme hareketleri için basit bir model bulmak .. bunu ister kuantum mekaniksel isterse klasik mekanik kullanarak yapabiliriz..burada çok daha basit model kullanacağız ve bu model ilerde bizim işimize çok yarayacak..buna örgü modeli adını veriyoruz ..burada yapılan şey hacmi küçük parçacıklara bölmek örneğin bu odayı trilyonlarca küçük hacim elemanına ayırmak ..bu hacım elemanlarında her biri de hemen hemen bir atom boyutunda olsun..buradaki amaç atomun halinin sadece nerede sorusuyla belirlenebilmesi ..bu örgü elemanında mı yoksa bu örgü elemanında mı hangisinde ?..
20.10 örgü modeli.. burada bir atom olabilir burada da bir başkası ..önce toplam hacımı küçük elamanlara ayıracağız .. atomik hacma v diyelim .. toplam hacımda V olsun ..buradaki atomik hacım yaklaşık olarak 1angström3 ‘e veya 10-30 m3’e eşittir.. buradaki toplam hacmimizde makroskopik bir değer olup 1m3’e eşit olsun…gayet normal bir boyut ..şimdide moleküler bölüşüm fonksiyonumuzu bulmaya çalışalım..burada şunu vurgulayalım bu sistemde ötelenme enerjisi esas olarak sıfır alındı..başka bir deyişle tüm bu haller herhangi bir anda aynı enerjiye sahip fakat yerleri farklı o kadar ..bunun anlamı bu bölüşüm fonksiyonundaki tüm bu Boltzman terimlerinin toplamının 1’e eşit olması ..çünkü enerjiyi sıfır aldık ..bu son derece basit bir kural fakat bize doğru boyutu vermekte ..pekala burada alınabilecek kaç tane hal var acaba?..bu 1030 gibi bir sayı biliyorsunuz..
21.52 dolayısıyla q --ki buna qötelenme diyelim çünkü burada artık taneciklerin nerde olduğunu araştırıyoruz -- 1030 gibi bir sayı..eğer biraz daha hassas bir hesaplama yapar ve bu değerleri kuantum mekaniksel veya klasik mekaniksel yöntemlerle bulursak yine aynı büyüklükte bir sayı elde ediyoruz ..şimdi tüm sistemi incelemeye başlayalım …pekala bundan sonra ne oluyor ?..olası hallerin toplam sayısı ne ?çünkü bunu her olası hal için eklememiz gerekiyor ..pekala ilk atomla başlayalım bu atom herhangi bir yerde olmak zorunda..bunun için 1030 tane olasılık var ..şimdide ikinci atomu alalım ve bir yere koyalım..bunun olasılıda 1030-1 olup buda 1030 değeriyle hemen hemen aynıdır .şimdi de üçüncü atomu alalım sonra da dördüncüsünü..1 mol atomun hepsini yani 1024 tane atomu alsak bile bunlar yine hacmın ufak bir kısmını işgal eder ..milyonda bir gibi bir oran..dolayısıyla 1030 tane olasılık içinde nerde olduklarını pek önemi yoktur . milyonda birlik bir değişimi kaale almamız gerekmez..dolayısıyla Qötelenme değeri 1030x1030 dir.. başka bir deyişle tüm halleri alıyoruz .. atomlardan birini buraya koyarsam 1030 tane olasılığım var .. ikinci atomu da istediğim yere koyabilirim ..dolayısıyla sadece bu iki atom için ortak olasılık 1030 x1030 veya (1030)2 olur… dolayısıyla bu böyle devam eder ve sonunda (1030)N olur ..burada N atomların sayısı olup 1024 dir.. olağanüstü büyük bir sayı.. tüm bu hesaplamaları kuantum mekaniksel veya klasik mekaniksel olarak yapsak bile aynı sonucu elde ederiz .. göründüğü gibi bu odadaki molekül veya atomlar için astronomik sayıda hal mevcut ..bu gerçekten çok büyük..başka bir deyişle Q astronomik bir sayı ..olan şey bu
24.42 ancak burada bahsetmemiz gereken önemli bir nuans var .. oda şu :bu astronomik bir sayı ama şu ana kadar bulduğumuz sayıdan biraz daha az astronomik ..bu biraz daha dikkatli bakalım ..söylemek istediğim şey Qötelenme =qötelenme ‘nin —ki bu (1030) – N’inci kuvveti ..fakat burada bir sıkıntı var .. yukarda 2 atom alıp 1030x1030tane olası hal olduğunu söylediğimizde ortaya çıkan sorun her atomu saydığımda bunları iki kere saymış olmamız..örneğin bu iki atomum yerlerini değiştirirsem ne olur ..bu iki hal tamamen aynı ..ayırt edilemezler …ancak burada hesaba alınanlar sadece ayırt edilebilen haller ..bu ifadeleri belirlerken bunlar en azından ölçülebilecek bir fark gösteren ayırt edilebilir halleri gösteriyordu ..eğer atomlar tamamen aynı ise örneğin aynı maddeden geliyorlarsa bu ikisini ayırt etmenin bir yolu yok .. ve bunun için bir düzeltme yapmak gerekir ..üçüncü atoma geldiğimizde de bu tip yer değiştirmeler için gerekli düzeltmeleri yapmamız gerekir ..bu 3! eşit..ve genel durumda bu N!...dolayısıyla bu sonucun düzeltilmesi gerekir ..bu ayırt edilebilir tanecikler için geçerli .. başka bir deyişle eğer elimde farklı atomlar olsa ve hepsini de etiketleyebilsem bu düzeltmeyi yapmak zorunda kalmam..çünkü bu durumda bu hal ile bu iki atomun yer değiştirdiği hal arasında bir fark olur ..ancak bir mol birbirinin tıpa tıp aynı olan atom için bu geçerli değil…dolayısıyla olur ..
27.04 bu halen anormal büyük bir sayı .. ancak biraz öncekinden biraz daha az anormal yüksek bir sayı ..en son olarak ta ilerde defalarca kullanacağımız N! için son derece kullanışlı bir yaklaşımı tanıtmak istiyorum .. Sterling yaklaşımı ..
27.33buna göre büyük bir sayının logaritması lnN!=NlnN-N şeklindedir ..burada her iki tarafın anti logaritmasını alırsak N!=e-NNN olur..
28.03 dolayısıyla bu yaklaşık olarak olur ..değerleri yerine koyarsak bunu biraz azaltacağız bunu kısaltırsak bulunur .. yaklaşık olduğundan toplam değer şeklini alır..hala olağan üstü büyük bir sayı..halen astronomik olduğunu söylemekte bir sakınca yok ama evrenin sonuna kadar gidecek kadar değil.. biraz önce bulduğumuz sayı evrenin sonunu da aşardı ..
29.44 pekala ..bu ikinci örnekti .. burada göstermek istediğim şey ortaya çıkan sayıların olağan üstü büyük değerleri ..peki bir örnek daha yapalım .. bir polimer alalım..ve bu polimerin farklı konfigurasyonları olsun .. tabi bunların enerjileri de farklı ..mesela bazı konfigurasyonlarda polimerin iki farklı grubunun yan yana gelip hidrojen bağı yapma olasılığı var .. bu durumda moleküler enerjilerde tabi biraz değişecek .. çünkü bazı konfigurasyonlarda belli etkileşimler söz konusu .. bazı konfigurasyonlarda ise böyle bir etkileşim söz konusu değil ..
30.33 şimdi yapmak istediğim şey size son derece basit bir model tanıtmak .. bu model sayesinde proteinlerin bükülmesi veya DNA’nın hidrojen bağları yapmaları gibi olayları son derece kolaylıkla inceleyebilirsiniz.. bu son derece basit bir model.. 30.54
31.18 şimdi de bu polimerin konfigurasyonlarını göz önüne alalım.. şimdi birkaç tane konfigurasyona bakalım kısaca ..bunlardan birincisi şöyle olsun .. bu atomları etiketleyelim..işte bir başkası, bir tane daha var , bir başkası daha ..bunları aradaki farkları göresiniz diye işaretledim.. bu birincisinde etkileşim söz konusu olabilir..bunlar moleküler haller olsun .. burası da ei enerjisi olsun ..buna etkileşimden dolayı -eetkileşim diyelim..bu uygun bir enerji ..bunlarda sıfır olacak tabii ki ..her birinin altına sıfır sıfır sıfır yazalım .. buna dejenerelik diyoruz ..dejenerelik aynı enerjiye sahip farklı hallerin sayısı olup gi ile gösterilir ..bu değer bunun için 1 ve bu üçü içinse 3’e eşit ..işte modelin çerçevesi bu şekilde ..peki bu konfigurasyonal serbestlik derecesi için olan moleküler bölüşüm fonksiyonu nedir? ..buna qkonfigurasyon diyelim..bu ’ ye eşittir.. buda şeklini alır ki bu da olur .. etkileşim enerjisi uygun olduğundan negatif alınmıştı o yüzden bu terim pozitif.. dolayısıyla sonucumuz bu..hatırlarsanız olasılıkları işgal edilen haller cinsinden tanımlamıştık .. burada bu şekilde her üçünü teker teker yazmak yerine böyle yazdık… notlarda böyle yapmışız ..tabi ki bunları + + yerine bu şekilde gruplamak çok daha uygun..burada göstermek istediğim nokta bölüşüm fonksiyonları için olan ifademizi tek haller cinsinden yazmamız ..tabi bu tek moleküller halleri topluyoruz .. bu toplamı dejenereliği de dahil ederek enerji seviyeleri boyunca yapabiliriz ..dolayısıyla bu toplamı her hal için yapmayalım .. çünkü aynı enerjiye sahip 3 yerine 100 hal varsa ..bu epey sıkıcı olabilir ..bunun yerine bu toplamı enerji seviyeleri boyunca yapalım .. zaten hepsinin faktörü aynı..ve daha sonra bunun içine dejenereliği açıkça yazalım..35.42
35.47 dolayısıyla enerji seviyeleri boyunca bölüşüm fonksiyonunun toplamını alabiliriz..buna göre olur ki burada i tekbir moleküler hali gösterir = buradaki i moleküler enerji seviyelerini göstermektedir ve dejenereliğide katarsak bu ifade halini alır ..her ikisi de aynı şeydir ..ancak bazen ifadeyi bu şekilde yazmak kolaylık sağlar ..35.51
35.53 tabi işgal edilme olasılıklarını da aynı şekilde yazabiliriz..buna göre tek haller için Pi’yi yazarsak bu olur ..veya enerji seviyelerine göre yazılan Pi
de olarak bulunur ..ilk olarak bu daha büyüktür çünkü bu dejeneredir ..buna göre bu enerji seviyelerinde bulunma olasılığı bu seviyelerin birinde bulunma olasılığının üç katıdır ..ancak bazen bunları bu şekilde incelemek daha faydalıdır ..bu ayrıca size .. hatırlarsanız buna bakarken ..eyvah gitmiş galiba ..hatırlarsanız bu olasılık dağılımında işgal edilme eğrisi x-eksenine yaklaşır ..bu bize her sıcaklıkta en olası seviyenin en düşük seviye olduğunu söyler ..ister orta sıcaklıklarda, isterse düşük sıcaklıklarda veya yüksek sıcaklıklarda olsun.. yüksek sıcaklıklarda bir önceki seviye bir sonraki seviyeden biraz daha olasıdır , bir sonrakinden de ve bir sonrakinden de .. ancak en düşük seviye her zaman an olasıdır ..ancak en düşük enerji daima en yüksek olasılığa sahip olmayabilir çünkü dejenerilikten dolayı bu enerjiye sahip çok sayıda hal olabilir ..herhangi birinin olasılığı en düşük enerjinin olasılığından çok az düşük olabilir .. buradaki durum buna örnektir .. etkileşim enerjisinin anormal yüksek olmadığını farz edelim .. dolayısıyla bu hali destekleyen belli bir enerji değişimi var ..belki %10 oranında ..oda sıcaklığında belki moleküllerin bu halde bulunma olasılığı bu hallerin herhangi birinden %10’u fazladır .. ancak bu üçünü beraber alırsak bu enerjide daha düşük enerjiden çok daha fazla sayıda molekül olabilir ..39.22
39.39 tabi aynı şeyleri moleküler bölüşüm fonksiyonlarının yanı sıra kanonik bölüşüm fonksiyonlarına da yapabiliriz..başka bir deyişle Q sistemin mikro hallerine göre olur .. bunu moleküler enerjiler boyunca olan toplam olarak ta yazabiliriz..burada Ei sistem enerjisidir ..tabi dejenereliğine katmamız gerekir dolayısıyla bu olur ..bu sistem enerjisi Ei’nin dejenereliği.. buda moleküler enerji ei’nin dejenereliği..aynı formda fakat önemli bir fark var.. bildiğini gibi bu sayı gi tipik olarak ufak bir sayıdır .. bir olabilir veya birkaç..bu sayı ise genellikle astronomiktir..bu esas olarak burada hesapladığımı değerdir..başka bir deyişle belli enerjiye sahip olan toplam sistem hali sayısıdır ..bir çok durum için bu astronomik bir sayıdır ..dolayısıyla bu sayı 1 ile 10 arasında değişirken bu sayı 1024 civarıdır ..1024 çok yüksek bir üstür ve tabiî ki bu termodinamikte ve istatistik mekanikte işlerin nasıl işlediği üzerinde büyük etki yapar ..bir çok termodinamik sonuç bu çok büyük hal sayısına bağlıdır ve bazı enerjiler buna göre tercih edilir .. aynı yukarıdaki bu örnekte olduğu gibi bu enerji daha çok tercih edilir çünkü buradaki hal sayısı buradakinden fazladır .. sistem için bu 3 değil 1024 gibi bir değerdir çünkü burada enerjiyi belli bir yere yerleştirme olasılığımız çok daha yüksektir ..42.32
42.40 devam edersek aynı şey sistem olasılıkları için de geçerlidir.. … bu hallerin toplamı ise olup artık enerji seviyelerinin olasılıklarını hesaplıyoruz demektir ..burada bu ayrımı yapmak önemlidir çünkü bir çok durumda önemli olan ..sistemin enerjisinin ne olduğu ..ve genelde bu molekül veya şu veya şu veya şu nerde diye dert etmeyiz veya bu enerjiyi oluşturan tek halleri önemsemeyiz ..43.44
43.52 şimdi ..yapmak istediğim şey termodinamiği türetmeye başlamak …size garanti veriyorum ki bölüşüm fonksiyonunu bilmek kaydıyla her termodinamik değeri hesaplayacağız .. şimdi bunu gösterelim ..44.22
44.32 dolayısıyla .. Q değeri bize tüm termodinamiği verecek ..işe enerji ile başlayalım ..hatırlarsanız U bizim sistem enerjimizdi ..bu ortalama enerjiye eşit..bu işgal edilen hallere bakarak bulduğumuz enerjinin ortalaması .. dolayısıyla bunu şeklinde yazabiliriz..başka bir deyişle bu bir sistem halinin enerjisiyle sistemin o halde bulunma olasılığının çarpımıdır ..tabi bunların hepsinin toplamı ..bunun ne olduğunu biliyoruz… … burada basit bir yer değiştirme yapacağız ve 1/kT değerine b diyeceğiz… bunu yapmamım sebebi türev alırken defalarca zincir kuralını kullanmak zorunda kalmamamız..dolayısıyla yukarıdaki ifade olur ..buradaki Q ‘de şeklindedir..şimdi bazı türevler almak istiyorum ..buna göre ‘ki buradan Ei gelecek - ‘ki bu çok kullanışlı çünkü bu terime çok benziyor ..47.09
47.21 dolayısıyla ortalama enerjimiz şeklinde olur ..bu - ‘ya eşit ..bu da ‘ye eşit.. artık zincir kuralını kullanabilirim… … burada dT/db terimini kolaylıkla bulabilirim .. .. en son olarak ortalama enerji=U= .. ki harika ..başka bir deyişle elimde Q ile ilgili bir ifade varsa bu enerji değerini rahatlıkla hesaplayabilirim ..bunun önce logaritmasını alıp sonra T’ye göre türevini alırsam ve çıkan sonucu kT2 ile çarparsam ortalama enerjiyi buluyorum..hiç de karmaşık değil di mi?49.12
49.17 Başka bir deyişle makroskopik termodinamik özellikler mikroskopik istatiksel mekanik bir model kullanmak suretiyle kolaylıkla belirlenebilir ..bir sonraki sonucu belirtmekle yetineceğim.. çünkü gelecek hafta buradan başlayacağım ..oda şu ..burada gördüğünüz üzere Q , V ve N’nin fonksiyonu T ise esas olarak V’ye bağlı dolayısıyla U’da bunlara bağlı.. peki hangi termodinamik değer V,N,ve T’ye bağlı ..kim hatırlıyor .. gibbs serbest enerjisimi ? helmholtz serbest enerjisimi?entalpimi ? hangisi .. kimse bilmiyor ..N,V,T’ye bağlı olan fonksiyon ne ? veya V ve T’ye bağlı olan..böyle çıkarmıştık ..helmholtz serbest enerjisi .. teşekkür ederim ..buna göre Q ile makroskopik termodinamik arasındaki en net ve basit bağlantı helmholtz serbest enerjisidir ..gelecek hafta türeteceğiniz sonuç şudur : A =-kTlnQ..bu son derece basit bir sonuç..bu sizin notlarınızda var birkaç satır ile…tabi A ‘yi biliyorsanız ve E’yi biliyorsanız her şeyi biliyorsunuz demektir…bunları kullanmak suretiyle S,H,G,mü,pi gibi değerlere kolaylıkla geçebilirsiniz ..işte bu nokta tüm makroskopik termodinamiğin izlediği nokta ..tüm bunları gelecek hafta göreceğiz ve bunlara ek olarak entropi için mevcut olan hallere bağlı olarak son derece basit bir ifade türeteceğiz..